Graficacion (1)Graficacion (1).pdf

UMSNHFacultad de Ing. Elctrica

Carrera: Ingeniera en ComputacinMateria: Graficacin

Dr. Jos Antonio Camarena Ibarrola

Septiembre de 2010

Introduccin

Aplicaciones: Simulacin

Introduccin

Video-juegos

http://www.acclaim.com/games/crazytaxi/

Introduccin

Animacin por computadora

http://www.pixar.com

Introduccin

Diseo (recorridos virtuales 3D)

The William gates Buildinghttp://www3.arct.cam.ac.uk/westC/cl/cl.html

Introduccin

Visualizacin de grficas 3D

Convective modelling group, AOS, UnivIllinois at Urbana-Champaignhttp://redrock.ncsa.uiuc.edu/AOS/home.html(NCSA storm model)

Introduccin

Interfaces en la medicina

The Sonic Flashlight, MRT Center, The Robotics Institute,Carnegie Mellon University, http://www.ri.cmu.edu/projects/project_438.html

Primitivas de Grficacin

Algoritmos de trazado de lneas. Algoritmo DDA (Digital Diferential Analizer), Algoritmo de Bresenham.

Algoritmo de Bresenham para trazado de circunferencias, Algoritmo del punto medio para trazado de circunferencias

Algoritmo del punto medio para generacin de elipses Polilneas Curvas Splines cbicas naturales, Splines de Hermite,

Curvas de Bezier. Estructura de un Programa OpenGL Despliege de lineas, tringulos, cuadrados,

circunferencias, etc mediante OpenGL

Primitivas de GraficacinTrazado de lneas

Algoritmo DDA (Digital Diferential Analizer)


Algoritmo de Bresenham

Con el signo de d1-d2 podemos decidir cual pixelEst mas cerca de la lnea ideal



Problema: Requiere modificarse para evitar aritmtica de flotantes



Esta versin usa solo aritmtica entera

Primitivas de GraficacinTrazado de circunferenciasAlgoritmo de Bresenham

La idea bsica es usar solo el signo del error en que se incurre para decidir cual pixel encender

y=r;d= -r; pixel(0,r); for(x=1;x=0) {

y--; d -= 2y;

} pixel(x,y);

}

Primitivas de GraficacinTrazado de circunferenciasAlgoritmo del punto medio

Primitivas de GraficacinAlgoritmo del punto medio para trazado de elipses

-Usamos la ecuacin de la elipse paradecidir si el punto medio est dentro o fuera de la elipse

-Como no tenemos simetra a nivel octante, tenemos que generar todo un cuadrante

Primitivas de GraficacinPolilneas

Abierta

Autointersectada

Cerrada

Primitivas de GraficacinSplines

De interpolacin De aproximacin

Primitivas de GraficacinSplines

(a) Continuidad de orden cero. (b) de primer orden c) de segundo orden

Primitivas de GraficacinCurvas Splines cbicas naturales

Cada segmento se representa por un polinomio de tercer grado (cbico)

Por cada polinomio cbico hay 4 incgnitas

Hay que resolver un sistema de 4n ecuaciones con 4n incgnitas

Si un punto de control se modifica hay que volver a solucionar el sistema de ecuaciones

En estas splines no hay control local

Tienen continuidad de segundo orden

Primitivas de GraficacinSplines de Hermite

Tienen continuidad de primer orden

Permiten control local

Restricciones

Por cada segmento hay que resolver un sistema de 4x4


Como la matriz de coeficientes no cambiaen realidad solo se requiere de una simple multiplicacinmatricial por cada segmento


Reagrupando:

Funciones de ponderacin

Primitivas de GraficacinSplines cardinales

Problema: las Splines de Hermite requieren que el usuario especifique la pendienteEn cada punto de control

Solucin: Estimar las pendientes usando las formulas

Donde t es el parmetro de tensin t>0

t

Primitivas de GraficacinCurvas de Bezier

Pierre Bzier trabajaba para la Renault diseando carroceras

Donde:

Primitivas de GraficacinCurvas de Bzier

Por ejemplo, para n=4 (nmero de puntos de control)

Primitivas de GraficacinEstructura de un programa en OpenGL

Primitivas de GraficacinDespliegue de lneas, tringulos y cuadrados en

OpenGL

Despliega dos lneas

Despliega polilnea


OpenGL

Despliega polilnea cerrada

Despliega dos tringulos


OpenGL

Despliega polgono

Algoritmos de relleno de reas

Relleno mediante ordenamiento de aristas

Relleno mediante complementacin

Relleno mediante complementacin usando una cerca

Algoritmo simple de siembra de semilla

Siembra de semilla por lnea de rastreo

Funciones de OpenGL para manejo del color de las figuras y del fondo

Algoritmos de relleno de reasRelleno mediante ordenamiento de aristas

-Procesar por cada lnea de rastreo -ordenar aristas respecto a y y luego respecto a x-Rellenar de la primera arista a la segunda, luego de la tercera a la cuarta, etc


Mantener la lista de aristas ordenada en lugar de ordenarla al final


Eliminar duplicados correspondientes a los vrtices que no sonMximos ni mnimos (Ej vrtice 4 y 12)

Algoritmos de relleno de reasRelleno mediante complementacin

En este ejemplo se procesaron las aristas en el sig. orden: d,b,e,c,aCualquier orden funcionaNo se procesan las aristas horizontales

Algoritmos de relleno de reasRelleno mediante complementacin

Modificacin usando una cerca

En este ejemplo se procesaron las aristas en el sig. orden: d,b,e,c,aCualquier orden funcionaNo se procesan las aristas horizontales

Algoritmos de relleno de reasAlgoritmo simple de siembra de semilla

Conectividad 4

Conectividad 8


Semilla inicial

Se detiene porque se asumi conectividad 4

Algoritmos de relleno de reasAlgoritmo de siembra de semilla por lnea de rastreo

Algoritmos de relleno de reaFunciones de OpenGL para manejo del color de las

figuras y del fondo

void glColor3f( GLfoat red, GLfoat green, GLfoat blue)

Una vez ejecutada esta instruccin las figuras que se dibujen tendrn este color

void glColor4f( GLfoat red, GLfoat green, GLfoat blue, GLfoat alpha)

Igual que la anterior pero tiene un parametro de transparencia

void glClearColor3f( GLfoat red, GLfoat green, GLfoatblue)

Para especificar el color del fondo

Algoritmos de recorte

Cdigos de regin para determinar la visibilidad de lneas

Algoritmo de recorte explcito en 2D

Algoritmo de Sutherland-Cohen

Algoritmo de la subdivisin del punto medio

Algoritmo de Cyrus-Beck para recorte de regiones convexas

El concepto de recorte

Antes del recorteDespus del recorte

Algoritmos de recorteCdigos de Regin para

determinar la visibilidad de lneas

0110

1010

0101

1001

Bit 0 IzquierdaBit 1 DerechaBit 2 ArribaBit 3 Abajo

Algoritmos de recorteCdigos de Regin para

determinar la visibilidad de lneas

Algoritmos de recorteAlgoritmo de recorte explcito en 2D

Deduciendo la ec de larecta que va de(x1,y2) a (x2,y2)


De manera Similar


La interseccin con el extremo superior ocurre en:

Algoritmos de recorteAlgoritmo de recorte explcito en 2D.

Ejemplo

Recorte la lnea que va de(-3/2,1/6) a (1/2,3/2)

Algoritmos de recorteAlgoritmo de recorte explcito en 2D. Ejemplo

Algoritmos de recorteAlgoritmo de Sutherland-Cohen

Algoritmos de recorteAlgoritmo de la subdivisin del punto medio

Ideal para implementar en hardware

Algoritmos de recorteAlgoritmo de Cyrus-Beck para recorte de

regiones convexas

El Algoritmo de Cyrus-Beck hace uso del hecho de que un punto a est dentrode un rea de recorte convexa respecto a cierta rea que define un borde si se cumple la desigualdad:

donde n es un vector normal a la lnea que define el borde y b es cualquierpunto en ese borde

El Algoritmo de Cyrus-Beck hace uso de la ecuacin paramtrica de unalnea recta que va de P1 a P2


regiones convexas

podemos obtener el valor de t para el cual la lnea coincide con la fronteradel rea de recorte despejndolo de:

Donde f es cualquir punto de esa frontera


regiones convexas. Ejemplo

Recortar la lnea que va de (-1,1) a (3,3)



La directrz es:

Para la arista V5V6 la normal es:

Algoritmos de recorteAlgoritmo de Cyrus-Beck para recorte de regiones

convexas. Ejemplo

Para terminar el ejemplo solo resta decir que la lnea recortada comienzaen t = 1=4 y termina en t = 5=6, lo cual corresponde a una nueva lnea queva de (0,3/2) a (7/3,8/3)

Repitiendo para el Resto de las aristasCompletamos la tabla

Pipeline de visualizacin bidimensional

Coordenadas locales

Coordenadas mundiales

Puerto de visin

Funciones OpenGL para visualizacin 2D

Pipeline de visualizacin bidimensionalCoordenadas locales

Tambin se llaman coordenadas de modelado

Una figura se define en coordenadas relativas a un punto de la misma figura, por ejemplo el centro de la misma

Por ejemplo los vrtices de un rectngulo pudieran establecerse relativos a la esquina inferior e izquierda del mismo

Pipeline de visualizacin bidimensionalCoordenadas mundiales

Todas las figuras que forman un dibujo deben transformarse a un nico sistema de coordenadas.

Pipeline de visualizacin bidimensionalpuerto de visin

La parte de una grfica que se desea desplegar se denomina ventana

La ventana se especifica en coordenadas mundiales El puerto de visin especifica donde se desplegar el contenido de

la ventana El puerto de visin se especifica en coordenadas de dispositivo

Pipeline de visualizacin bidimensionalpuerto de visin

Manteniendo fijo el tamao de la ventana y aumentando el tamao del puerto de visin se obtiene un efecto de zoom in (acercamiento)

Manteniendo fijo el puerto de visin y cambiando la ventana de posicin se obtiene un efecto de paneo de diferentes partes de una grfica

Se requiere una transformacin de ventana a puerto de visin

Pipeline de visualizacin bidimensional

Pipeline de visualizacin bidimensionalFunciones OpenGL de visualizacin bidimensional

Para especificar la ubicacin y tamao del puerto de visin en OpenGL usamos la funcin

glViewport(int x, int y, int ancho, int alto)

La funcin gluOrtho2D sirve para poder especificar directamente en coordenadas mundiales al dibujar, por ejemplo:

gluOrtho2D(0.0,450.0,0.0,375.0)

Nos permite especificar vrtices (x,y) tales que

x est en el rango [0,450] y y en [0,375]

Transformaciones geomtricas

Transformaciones afines Transformaciones geomtricas bidimensionales bsicas:

Traslacin, escalamiento, rotacin Coordenadas homogneas Transformaciones compuestas: Escalamiento respecto a un

punto fijo; Rotacin respecto a un punto arbitrario Reflexiones Transformaciones geomtricas en 3D simples: Escalamiento,

traslacin, rotacin respecto a los ejes X, Y y Z Rotacin respecto a un eje arbitrario por: (a) Composicin de

matrices, (b) Cjto de vectores ortogonales, (c) cuaternios Transformaciones geomtricas con OpenGL Manejo de Pilas de matrices con OpenGL

Transformaciones geomtricasTransformaciones afines

Una transformacin afn es aquella que puede expresarse de la siguiente manera:

xyxx tPbPaQ ..

yyxy tPdPcQ ..

y

x

y

x

y

x

t

t

P

P

dc

ba

Q

Q

O bien:


Las transformaciones afines son lineales si se aplica la transformacin a todos los puntos

que forman una lnea se obtiene otra lnea que tambin se puede obtener aplicando la transformacin solo a los extremos de la lnea y se generan los puntos intermedios mediante algn algoritmo de trazado de lneas como el de Bresenham

si se transforma un punto que est a la mitad de la lnea, este punto de ubicarla justamente a la mitad de la lnea transformada


Ejemplos de transformaciones afines:

Traslacin

Escalamiento

Rotacin

Reflexin

Cizallamiento

Transformaciones geomtricastransformaciones geomtricas bidimensionales bsicas

Traslacin

Trasladamos un punto (x,y) mediante:


Traslacin

Toda transformacin geomtrica tiene dos interpretaciones:

x

y

(2,3)v

x

y

(1,2)

u

v

u

u=x-1

v=y-1

x=u+1

y=v+1

x

y

(2,3)

(1,2)

x

y

x=x-1

y=y-1

x=x+1

y=y+1

Pasar de un sistema de Coordenadas a otro

Modificar la forma o posicin de objetosen un sistema decoordenadas


Traslacin


Traslacin

El escalamiento simple tiene implcita una traslacin. En el ejemplo se us un factor de escalamiento de 2 tanto en x como en y


Rotacin

Obtenemos:

De la figura:

Finalmente!


Rotacin

Se puede expresar matricialmente como:

La rotacin tambin implica una traslacin

Transformaciones geomtricasCoordenadas homogneas

Las coordenadas (x,y) tiene un nmero infinito de maneras de representarse en coordenadas homogneas (xh,yh,h)

La forma estndar h=1, es decir (x,y,1) Ventajas:1. Todas las transformaciones se pueden hacer

como productos matriciales, incluso la traslacin2. Facilita la composicin de transformaciones.

Muchas transformaciones sucesivas se convierten en una sola (gran ahorro!)

Transformaciones geomtricasCoordenadas homogneas

Todas las transformaciones como productos matriciales:

Transformaciones geomtricasTransformaciones compuestas

Escalamiento respecto a un punto fijo

Traslacin de manera que el punto fijo coincida con el origen

Escalamiento simple

Traslacin de manera que el punto fijo regrese a su posicin


Escalamiento respecto a un punto fijo

Ahora se aprecia la ventaja de trabajar en coordenadas homogneas


Rotacin respecto a un punto arbitrario

Trasladar de manera que el punto de rotacin coincida con el origen

Rotar y luego Trasladar de manera que el punto de rotacin regrese a su posicin original


Rotacin respecto a un punto arbitrario

De nuevo se aprecia la ventaja de trabajar en coordenadas homogneas

Transformaciones geomtricasReflexiones

Reflexin respecto al eje x Reflexin respecto al eje y

Transformaciones geomtricasReflexiones

Reflexin respecto al origenReflexin respecto a la recta x=y

Transformaciones geomtricas Transformaciones geomtricas en 3D simples

Escalamiento

Transformaciones geomtricas Transformaciones geomtricas en 3D simples

Traslacin

Transformaciones geomtricas en 3D simplesRotacin alrededor del eje X, Y o Z

Rotacin alrededor del eje X

Rotacin alrededor del eje Y

Rotacin alrededor del eje Z

Transformaciones geomtricas en 3D simplesEjemplos

1000

0100

0010

0001

1000

05.100

005.10

0005.1

1000

05.100

00866.05.0

005.0866.0

1000

0100

0010

0002

1000

0100

500010

500001

1000

0100

3.600866.05.0

7.43005.0866.0

Transformaciones geomtricasRotacin respecto a un eje arbitrario

Si el eje es paralelo a unoDe los ejes del sistema deCoordenadas:1) Trasladar de manera queUn punto que pasa por elEje de rotacin coincidaCon el origen2) Rotar alrededor del eje3) Traslacin inversa respectoAl paso 1

Rotacin respecto a un eje arbitrarioDeterminacin de la matriz de transformacin

por composicin de matrices

Rotacin respecto a un eje arbitrarioDeterminacin de la matriz de transformacin por

composicin de matrices

Rotacin respecto a un eje arbitrarioDeterminacin de la matriz de transformacin por

composicin de matrices

Adems:

Para rotar un punto p alrededor de un eje arbitrario usamos:

Rotacin alrededor de un eje arbitrariobsqueda de un conjunto de vectores

ortogonales

u es el vector alrededor del cual se desea rotar

Rotacin alrededor de un eje arbitrariousando cuaterniones

Un cuaternio es un nmero con una parte real y tres partes imaginarias

Se cumple que

Adems


Un cuaternio es tambin un par formado por un escalar y un vector de 3 componentes

El producto se calcula como:


Para rotar un punto p alrededor de un vector u un cierto ngulo tetaRealizamos el producto de cuaternios:

Como q es un cuaternio unitario se cumple que su inverso multiplicativo es:

Transformaciones geomtricas con OpenGL

Para traslacin usamos glTranslatef(tx,ty,tz) Para el escalamientoglScalef(Sx,Sy,Sz) Para la rotacinglRotatef(teta,x,y,z)donde teta es el ngulo en grados que deseamos rotar

alrededor de un vector especificado por x,y y z, por ejemplo para rotar 30 grados alrededor del eje y usariamos:

glRotatef(30,0,1,0)

Transformaciones geomtricas Manejo de Pilas de Matrices con OpenGL

La funcin glPushMatrix() realiza una copia de la matriz superiory la pone encima de la pila, de tal forma que las dos matrices superioresson iguales.glPopMatrix() desecha la matriz que est en el tope de la pila.

Visualizacin 3D

Proyeccin en paralelo

Proyeccin en perspectiva

Pipeline de visualizacin tridimensional

Volumen de visin

Funciones de visualizacin 3D en OpenGL

Visualizacin 3Dproyeccin en paralelo

En z=0:

Visualizacin 3Dproyeccin en paralelo

En forma matricial, en coordenadas homogneas

Visualizacin 3Dproyeccin en perspectiva

(xc,yc,yc)

En z=0:

Visualizacin 3Dproyeccin en perspectiva

Visualizacin 3DPipeline de visualizacin tridimensional

Pipeline de visualizacin 3DCoordenadas locales

Tambin se llaman coordenadas de modelado

Un objeto se define en coordenadas relativas a un punto del mismo objeto, por ejemplo el centro del objeto

Ej podemos definir un cubo como

x

z

y

(-0.5,0.5,-0.5)

(-0.5,-0.5,-0.5)

(0.5,-0.5,0.5) (-0.5,-0.5,0.5)

(0.5,-0.5,-0.5)

(0.5,0.5,-0.5)

(-0.5,0.5,0.5) (0.5,0.5,0.5)

Pipeline de visualizacin 3DCoordenadas mundiales

Al definir una escena, transformamos las coordenadas de todos los objetos que la componen a un referente nico, porejemplo una de las esquinas de la habitacin.

Visualizacin 3DVolumen de visin

Visualizacin 3DFunciones de visualizacin 3D en OpenGL

Para definir el volumen de visin usamos:

glFrustum(left, right, bottom, top, near, far) Si el volumen de visin es simtrico podemos usar:

gluPerspective(fovy, aspect, near, far) donde fovy es el ngulo del campo de visin en el plano yz el

cual debe estar en el rango de 0 a 180 grados, aspect es la relacin ancho/alto del frustum, se recomienda hacer que coincida con la relacin ancho/alto de la ventana de despliegue, near y far deben ser valores positivos, por ejemplo:

JGlu.gluPerspective(60.0, 1.0, 1.0, 20.0);

Supresin de lneas y superficies ocultas

Supresin de segmentos de lnea ocultos

Algoritmo del horizonte flotante

Determinacin de la ecuacin de un plano

Determinacin del vector Normal a un plano

Deteccin de caras posteriores. Algoritmo de Roberts

Algoritmo del Buffer Z o buffer de profundidad

Algoritmo del buffer A para superficies transparentes

Algoritmo del buffer Z por lnea de rastreo

Mtodo de proyeccin de rayos

Mtodo del rbol BSP

Funciones OpenGL para suprimir superficies ocultas

Supresin de lneas y superficies ocultas

Al suprimir las lneas ocultas se elimina la ambigedad

Supresin de lneas y superficies ocultasSupresin de segmentos de lnea ocultos


22 )()(

)exp()4/7cos()2/3(cos)5/1(

zxa

aazsenxy



Si para cada valor dado de x, el valor y de la curva en el plano actual es mayor que el valor y para todas las curvas anteriores, entonces la curva es visible para ese valor especfico de x, en caso contrario ser invisible.



Para implementar este algoritmo simplemente hay que mantener un arreglo del mismo tamao que la resolucin de la imagen en el eje x. Los valores de este arreglo representan el horizonte y este horizonte flota" a medida que cada curva esdibujada.



Si para algn valor dado de x, el valor y correspondiente de la curvaen el plano actual es superior al mximo valor o inferior al mnimo valorentre todas las curvas anteriores, entonces la curva actual en dicho valor x es visible, si no se cumple ninguna de las dos cosas, entonces es invisible.



Para implementar el algoritmo del horizonte flotante se requieren entonces dos arreglos uno para almacenar los valores mximos y el otro para almacenar los mnimos, a estos arreglos se les denominan horizontes flotantes superior e inferior respectvamente.

Supresin de lneas y superficies ocultasDeterminacin de la ecuacin de un plano

La ecuacin de un plano es:

O en su forma normalizada (d=1)

Supresin de lneas y superficies ocultasDeterminacin del vector normal a un plano

Si tenemos la ecuacin del plano:

Supresin de lneas y superficies ocultasDeteccin de caras posteriores

Algoritmo de Roberts

La cara es posterior si no se cumple:

Las lneas compartidas entre dos caras que son posteriores deben suprimirse

Supresin de Lneas y superficies ocultasAlgoritmo del buffer Z o buffer de profundidad

Eliminacin de caras posteriores

Eliminacin de superficies ocultas


Las partes visibles de una escena se pueden descubrir haciendo algo similar al algoritmo del horizonte flotante, es decir, podemos mantener un arreglo con las distancias desde el observador hasta la superficie mas cercana por cada pixel del plano de visin

A diferencia del algoritmo del horizonte flotante, el arreglo que necesitamos es un arreglo bidimensional del tamao de la resolucin de la imagen deseada. La profundidad se mide la coordenada z, por esta razn, a este arreglo le llamamos buffer de profundidad o buffer Z.


Los valores de profundidad de una cara se pueden obtener a partir de la ecuacin del plano correspondiente a esa cara mediante

Por cada objeto que forma parte de una escena, por cada cara que forma parte del objeto y por cada punto (x,y,z) de la cara , calcular su profundidad z y compararla con la almacenada en el buffer Z para el correspondiente (x,y), si la profundidad del punto es menor, reemplaza a la del buffer Z.


La principal ventaja de este mtodo es su simplicidad, las desventajas son:

Demasiados clculos innecesarios puesto que en demasiadas ocasiones los pixelssobreescriben pixels anteriores

Posibles errores de cuantizacin

No soporta objetos transparentes

Supresin de Lneas y superficies ocultas Algoritmo del buffer A para superficies transparentes

El algoritmo del buffer A es una modificacin del algoritmo del buffer Z para soportar objetos translcidos, la nica razn por la que recibe ese nombre es por que la A est en el extremo opuesto a la Z

En el buffer A, en lugar de almacenar simplemente un valor de profundidad se almacena un apuntador a una lista ligada. Si el primer elemento de la lista es un objeto opaco, entonces la lista termina ah

si se trata de un objeto translcido, entonces la lista contina con el siguiente objeto mas cercano en la misma direccin, el cual tambin pudiera ser otro objeto translcido, la lista contina de manera que el ltimo objeto es opaco

Para saber el color de un pixel se debe recorrer la lista asociada a ese pixel

Supresin de Lneas y superficies ocultas Algoritmo del buffer Z por lnea de rastreo

Para acelerar el mtodo del buffer Z, se puede proceder por lnea de rastreo, las posiciones horizontales adyacentes a lo largo de la lneadifferen tan solo una unidad, si se ha determinado que la profundidad en la posicin (x,y) es z, entonces la profundidad de la siguiente posicin (x+1,y) en la misma lnea de rastreo ser:

El valor a/c permanece constante mientras no noscambiemos de polgono

Supresin de Lneas y superficies ocultas Mtodo de proyeccin de rayos

Consiste en trazar una lnea perpendicular al plano de visin, determinar a cuales polgonos intersecta esta lnea y elegir la interseccin mas cercana al plano de visin, esto se hace por cada pixel del plano de visin.

En el mtodo del buffer de profundidad se sigue el rden de los polgonos de la escena para determinar el mas cercano para cada pixel

En este mtodo se sigue el orden de los pixels y se sigue un rayo por cada pixel, este mtodo ahorra clculos.

Supresin de Lneas y superficies ocultas Mtodo del rbol BSP

El algoritmo del pintor es probablemente la mas simple de las tcnicas para resolver el problema de HSR, se trata de ordenar los polgonos en orden ascendente de profundidad y desplegarloscompletos comenzando por los de mayor profundidad, los de menor profundidad cubrirn a los de mayor profundidad de la misma manera que en un lienzo al pintar un rbol, este cubre la parte del paisaje que queda detrs de el.

Ejemplo en el que el Algoritmo del pintor falla


Para solucionar el problema de los polgonos traslapados, se puede dividir el espacio sucesivamente hasta que las diferentes regiones en las que el espacio se haya dividido sean lo suficientemente pequeas para que en su interior ningn polgono se traslape en profundidad con ningn otro polgono.

Un rbol BSP (por Binary Space Partitioning) sirve para representar la manera en que el espacio ha sido dividido.


El espacio es particionado estableciendo planos que dividen a los polgonos en aquellos que quedan de un lado y aquellos que quedan del otro lado

Un rbol BSP tiene tantos niveles como planos divisorios, cada plano divisoriodivide el espacio en dos (de ah lo de binario).

Supresin de Lneas y superficies ocultas Funciones OpenGL para suprimir superficies ocultas

La eliminacin de caras posteriores se lleva a efecto usando:

glEnable(GL_CULL_FACE);glCullFace(modo);donde modo puede tomar el valor de GL_FRONT, GL_BACK o

GL_FRONT_AND_BACK. Utilizamos GL_BACK para eliminar caras posteriores, si

usamos GL_FRONT se eliminan las caras frontales. Si utilizamos GL_FRONT_AND_BACK se eliminan tanto las

caras frontales como las posteriores, quedando solamente los puntos y lneas que no forman polgonos.

La eliminacin de caras se desactiva mediante:glDisable(GL_CULL_FACE);

Supresin de Lneas y superficies ocultas Funciones OpenGL para suprimir superficies ocultas

Para usar las rutinas de deteccin de visibilidad mediante buffer de profundidad debemos solicitar que configure un buffer de profundidad y un buffer de refresco (el buffer del color), esto lo hacemos de la siguiente manera:

glutInitDisplayMode(GLUT_SINGLE|GLUT_RGB|GLUT_DEPTH);

Para inicializar el buffer de profundidad y el buffer del color hacemos:

glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT|GL_DEPTH_BUFFER_BIT);

Como los valores de profundidad en el sistema de coordenadas de pantalla 3D estn normalizados y quedan en el rango de cero a uno, esta instruccin asigna puros valores de 1.0 al buffer de profundidad.

La deteccin de la visibilidad se activa mediante:

glEnable(GL_DEPTH_TEST);

Y se desactiva mediante:

glDisable(GL_DEPTH_TEST);

Iluminacin

Reflexin difusa Ecuacin de Lambert Reflexin especular Modelado de la iluminacin Determinacin del vector Normal a un vrtice Sombreado de Gourad Sombreado de Phong Funciones de OpenGL para manejo de

Iluminacin Radiosidad Funciones OpenGL para Iluminacin

Reflexin difusa

(a)Reflexin especular perfecta

(b)Reflexin especular imperfecta

(c)Reflexin difusa

Reflexin difusa

Cuando la luz incide en un objeto opaco, la luz reflejada en su superficie lo har en todas direcciones de manera uniforme

L es el vector que indica la direccin de la fuente de luzN es el vector Normal (perpendicular) a la superficieV es el vector que indica la posicin del observador

Reflexin difusa

La brillantez de una superficie donde la luz es reflejada de forma difusa no depende de la posicin del observador sino de la inclinacin de dicha superficie respecto a la fuente de luz

A la reflexin difusa tambin se le conoce como reflexin Lambertiana

Ecuacin de Lambert

Para mltiples fuentes de luz se convierte en:

n

nni,d.NLII

N

Reflexin especular

Is= I

icosn = I

i(R.V)n

donde Ii

es la intensidad de luz incidente

es el ngulo entre la direccin del

observador V y la direccin espejo R.

n es un ndice que indica el grado de

perfeccin de la superficie

Modelado de la iluminacin

Modelo local. Es aquel que solo toma en cuenta la luz que llega

directamente de la fuente de luzEj Modelo de Iluminacin de Phong Modelo Global.Es el que considera no solo la luz que llega de

manera directa sino aquella que llega de manera indirecta (reflejada de otros objetos)

Ej Iluminacin por proyeccin de rayosEj Radiosidad


Iluminacin directa solamente(Modelo de iluminacin local

Iluminacin directa e indirecta(Modelo de iluminacin global)


I = kaIa+ I

i(k

d(L.N) + k

s(R.V)n)

El modelo de iluminacin de Phong (1975) toma en cuenta que en una superficie ocurre en cierto grado la reflexin difusa, en cierto grado la reflexin especular y un trmino denominado luz ambiental donde se trivializa la iluminacin indirecta


Ka es el coeficiente de reflexin de la

superficie para la luz ambiental; kd es el

coeficiente de reflexin difusa y ks es el

coeficiente de reflexin especular

Un coeficiente de reflexin es la proporcin de luz incidente que es reflejada por una superficie.

I = kaIa+ f

attIi(k

d(L.N) + k

s(R.V)n) donde f

att=1/(d2)

I = kaIa+ I

i(k

d(L.N) + k

s(R.V)n)

Al modelo de iluminacin de Phong se le puede incluir un factor de atenuacin de la luz que dependa de la distancia a la fuente de luz d


1.El costo de la iluminacin de Phong se puede reducir si se hacen las sig.

consideraciones:

o La fuente de luz est muy lejos (en infinito), entonces L es constante

o El observador est muy lejos, entonces V es constante

Para transformaciones geomtricas

consideramos un observador muy lejano y para

clculo de iluminacin consideramos una fuente de

luz muy lejana.

El vector H

El vector R es muy costoso de detrerminar, entonces definimos el vector H:

H = (L+V)/2

Ahora,I = k

aIa+ I

i(k

d(L.N) + k

s(N.H)n)

El trmino (N.H) vara de la misma forma que (R.V)Estas simplificaciones implcan que I = f(N)


Iluminacin de Phong para diferentes valores de Ks y Kd variando desde 0.0 a 1.0 con incrementos de 0.2 (Ka=0.7 y n=10.0 en todas las imgenes)


Iluminacin para diferentes valores de Ksy de n (Ka=0.7, Kd=1.0 para todas las imgenes)

Determinacin del vector Normal a un vrtice

NA= (N

1+ N

2+ N

3+ N

4)/4

La normal a un vrtice se define como el promedio de las normales a los polgonos de los que forma parte el vrtice en cuestin

Ejemplo:

Determinacin del vector Normal a un vrtice

Por supuesto, primero debemos determinar la normal en cada plano

(x1,y1,z1)

W

V

(x2,y2,z2)

(x0,y0,z0)

N V = (x1,y1,z1)(x0,y0,z0)

W = (x2,y

2,z

2)(x

0,y

0,z

0)

N = V x W

= (vx,v

y,v

z)x(w

x,w

y,w

z)

= ((vywz- v

zwy),

(vzwx- v

xwz),

(vxwy- v

ywx))

Cada N debe ser normalizada:N = (N

x/|N|, N

y/|N|, N

z/|N|)

donde

|N| = sqrt(Nx2 + N

y2 + N

z2)

Sombreado de Gourad

El proceso de sombreado de Gourad de cada polgono de que est hecho el objeto consiste en:

1. Determinar el vector normal en cada uno de los vrtices del polgono

2. Aplicar el modelo de iluminacin de Phong o alguna variante para determinar la intensidad en cada vrtice

3. Interpolar linealmente las intensidades de los vrtices para determinar

Sombreado de Gourad

Sombreado de Gourad

El sombreado de Gourad evita que se vean las divisiones entre los polgonos que forman un objeto

Como la reflexin especular solo es calculada en los vrtices, la interpolacin de Gourad no maneja de manera adecuada la reflexin especular

Sombreado de Phong

Las normales a los vrtices se interpolan a travs de los polgonos

La intensidad de luz se calcula en cada pixel usando la normal interpolada

La luz especular en cada pixel se determina de manera adecuada

El costo de la interpolacin de Phong es mucho mayor que el de Gourad porque en el de Gouradla intensidad de luz solo se calcula en los vrtices

Sombreado de Phong

Funciones de OpenGL para manejo de Iluminacin

Para definir una fuente de luz, debemos establecer sus parmetros.

La siguientes dos lneas establecen una fuente de luz en la posicin (-2,2,2), el cuarto elemento del arreglo light_pos indica si los tres elementos anteriores del arreglo se deben interpretar como una posicin (uno) o como una direccin (cero) lo cual implica que la luz se considera local o muy lejana respectivamente.

GLFloat light_pos[]=(-2.0,2.0,2.0,1.0); glLightfv(GL_LIGHT0,GL_POSITION,light_pos);


Las siguientes dos lneas sirven para especificar la luz ambiental como blanca (primeros tres valores del arreglo light_Ka)

GLFloat light_Ka[]=(1.0,1.0,1.0,1.0); glLightfv(GL_LIGHT0,GL_AMBIENT,light_Ka); Las siguientes dos lneas sirven para especificar la

luz difusa como blanca (primeros tres valores del arreglo light_Kd)

GLFloat light_Kd[]=(1.0,1.0,1.0,1.0); glLightfv(GL_LIGHT0,GL_DIFFUSE,light_Kd);


Las siguientes dos lneas sirven para especificar la luz especular como blanca (primeros tres valores del arreglo light_Ks)

GLFloat light_Ks[]=(1.0,1.0,1.0,1.0);

glLightfv(GL_LIGHT0,GL_SPECULAR,light_Ks);


Los coeficientes de reflexin dependen del material del que estn hechos los objetos.

Las siguientes dos lneas sirven para especificar una superficie que al incidir luz ambiental blanca la reflejar roja

GLFloat material_Ka[]=(1.0,0.0,0.0,1.0); glMaterialfv(GL_FRONT,GL_AMBIENT,material_Ka); Las siguientes dos lneas sirven para especificar los

coeficientes de reflexin difusa para cada uno de los tres colores bsicos.

GLFloat material_Ka[]=(1.0,1.0,1.0,1.0); glMaterialfv(GL_FRONT,GL_DIFFUSE,material_Kd);


Las siguientes dos lneas sirven para especificar los coecientes de reflexin especular para cada uno de los tres colores bsicos.

GLFloat material_Ka[]=(1.0,1.0,1.0,1.0);

glMaterialfv(GL_FRONT,GL_SPECULAR,material_Kd);

Las siguientes dos lneas sirven para especificar que un objeto tiene luz propia y el color de esta.

GLFloat material_Ke[]=(1.0,1.0,1.0,1.0);

glMaterialfv(GL_FRONT,GL_EMISSION,material_Ke);


La siguiente lnea sirve para especificar que tan perfecta es la reflexin especular, es decir, el exponente n del modelo de iluminacin de Phong

Por ejemplo, para asignar el valor de 10.

glMaterialfv(GL_FRONT,GL_SHININESS,10);

Iluminacin por proyeccin de rayos

Es un mtodo de iluminacin global(toma en cuenta la iluminacin indirecta)

Este mtodo modelala reflexin especularpero no la difusa

El mtodo es dependiente de laposicin del observador


La proyeccin recursiva de rayos es un mtodo que resuelve simultneamente los siguientesproblemas:

Deteccin de superficies visibles

Sombreado por iluminacin directa

Agregar efectos de reflexin especular global

Determinacin de la geometra de las sombras


El primer trmino es la contribucin local proviene directamente de la fuente de luz y se calcula con el Modelo de iluminacin de Phong

El segundo es la cantidad de luz reflejada que proviene de la direccin de reflexin de otro punto Pr (iluminacin indirecta)

El tercero es la cantidad de luz reflejada que proviene del punto Pt en la direccin de refraccin (iluminacin indirecta)

Este es un modelo recursivo pues I(Pr) e I(Pt) tambin se determinan usando la misma frmula


Para implementar este mtodo conviene construir un rbol donde se van guardando las diferentes contribuciones de luz

Las hojas de este rbol son las primeras en tener completa su informacin

La raz es la ltima en completarla, entonces se puede decir cual es la intensidad de luz que corresponde a un pixel.

La altura del rbol es un parmetro que se interpreta como el nmero de intersecciones que se desea encontrar cuando se le da seguimiento al rayo,

Un rbol de mayor altura corresponde con una mejor renderizacin pero evidentemente mas costosa


Para encontrar la direccin de refraccin T usamos la ley de Snell

NLT 12

12

2

1 cos

cos

Iluminacin por proyeccin de rayosEjemplo


Profundidad cero Profundidad uno


El mtodo tambin es til para determinar la forma de las sombras

Radiosidad

Modelo global (Luz directa a indirecta)

Modela la interaccin de la reflexin difusa

Mtodo independiente de la posicin del observador

Cada superficie es dividida en parches

Se basa en la ley de conservacin de la energa

Se asume que todas las superficies son difusores perfectos

Cada parche refleja luz recibida por cada uno de los dems parches

Las fuentes de luz se modelan como parches que emiten luz propia

Radiosidad

La interaccin entre parches depende su relacin geomtrica

Complejidad O(n^2) por lo que se procura hacer parches grandes

Las sombras se calculan correctamente Es un algoritmo que trabaja en el espacio de

definicin de objetos ya que es independiente del observador

Requiere de una etapa posterior de interpolacin similar a la de Gourad para que no se noten los parches

Radiosidad

Aiij

Aj 2

ji

i

ijAiAj dAdAr

coscos

A

1FF

Una vez que la escena se ha dividido en parches, se calcula la relacin entre cada par de parches para calcular los Factores de forma

Si r es razonablemente grande

Ajj2

ji

dAiAjij dAr

coscosFF

Radiosidad

La analoga de Nusseltdice que podemos considerar la proyeccin del parche j sobre la superficie de una semi-esfera centrada en el rea elemental dAi como equivalente a considerar el parche mismo

Radiosidad

Si usamos un semi-cubo es menos costoso calcular las proyecciones

RadiosidadEjemplo

Funciones OpenGL para Iluminacin

La Librera grfica OpenGl no tiene implementada ninguna tcnica de modelado global de iluminacin

Las funciones de iluminacin de OpenGL que presentamos anteriormente son una modificacin del modelo local de iluminacin de Phong

Recordar que un modelo local no contempla la luz indirecta

Sin embargo, podemos implementar las tcnicas de Radiosidad o de proyeccin de rayos y usar OpenGLpara desplegar los resultados

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