1 GRAFICADEUNAFUNCIONUTILIZANDOCALCULO

Sea f(x) = 3x5 � 20x3 Gra�carla utilizando cálculo

� Campo de variacion de la función

Hallamos las raices de la función es decir f(x) = 0 donde 3x5� 20x3 = 0,

la solución es 2

q

203 ;�

2

q

203 ; 0 veamos el compòrtamiento de la función en

x = �3 f(�3) = �189

, es decir, es negativa (-1; � 2

q

203 ) y en

x = �1 f(�1) = 17

la función es positiva (� 2

q

203 ; 0) y en

x = 1 f(1) = �17

;la función es negativa (0; 2

q

203 )

y por último veamos que pasa en

x = 3 f(3) = 189

;

la solución es positiva en ( 2

q

203 ;+1)

El campo de variación de la función f es

< �� �2; 5819 + ++ 0 ��� 2; 5819 + ++++ + > f

se puede observar que la función es negativa,( su grá�ca está por debajodel eje x)en

(�1;�2:5819) [ (0; 2:5819)

la función es positiva(su grá�ca está por encima del eje x ) en

(�2:5819; 0) [ (2:5819;+1)

No tiene asintotas verticales ni horizontales

Hallamos la derivada de f

1

d(f(x))=dx =d

dx(3x5 � 20x3) = 15x2

�

x2 � 4�

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos

d

dx( 3x5 � 20x3) = 0

15x2�

x2 � 4�

= 0

de donde resultax = 0; x = 2; x = �2

son los puntos críticos

Veamos cuales son máximos relativos y cuales son mínimos relativos

Tomemos dos valores próximos a x = 0; x1 = �0:01 y x2 = 0:01 ycomparemos sus

imagenes con la imagen de x = 0

f(x1 = �0:01) = 3(�0:01)5 � 20(�0:01)3 = 2: 000 0� 10�5

f(x2 = 0:01) = 3(0:01)5 � 20(0:01)3 = �2: 000 0� 10�5

f(0) = 0; no es máximo f(0) no es mayor que los dos resultados y no esmínimo porque f(0)no es menor que los dos resultados.

Otra forma es aplicar el criterio de la primera derivada, calculemos los dosvalores en la primera derivada

d

dxf(x1 = �0:01) = 15(�0:01)2((�0:01)2 � 4) = �5: 999 9� 10�3

la derivada es negativa

d

dxf(x2 = 0:01) = 15(0:01)

2((0:01)2 � 4) = �5: 999 9� 10�3

la derivada es negativa

esto nos indica que no cambia de signo la derivada luego no existe nimáximo ni mínimo

Tomemos dos valores próximos a x = 2 x1 = 1:99 y x2 = 2:01 y compare-mos las imagenes con la imagen de 2

x1 = 1:99; f(1:99) = �63:988

2

x2 = 2:01 f(2:01) = �63:988

x = 2 f(2) = �64

esto nos indica que en x = 2 existe un mínimo relativo, para valorescercanos a dos las imagenes de esos puntos son mas grandes que la imagende 2

otra forma es aplicar el criterio de la primera derivada y para ello calcule-mos los dos valores en la primera derivada

d

dx(f(x)) =

d

dx(3x5 � 20x3) = 15x2

�

x2 � 4�

x1 = 1:99 f 0(1:99) = �2:3701

x2 = 2:01 f 0(2:01) = 2:4301

se puede ver que cambia el signo de la derivada y como va de derivadanegativa (la función es decreciente) a derivada positiva (la función es cre-ciente) en el punto x = 2 existe un mínimo relativo

Nos falta estudiar el punto x = �2 hagamos el mismo trabajo tomemosdos valore muy próximos a �2

x1 = �2:01 x2 = �1:99

x1 = �2:01 f(�2:01) = 63:988

x2 = �199 f(�1:99) = �936:081

:

x = �2 f(�2) = 64

podemos observar que para valores cercanos a �2la imagen de �2 es masgrande esto signi�ca que en �2 existe un máximo relativo

Apliquemos el criterio de la primera derivada para el punto x = �2,calculemos la derivada en

x1 = �2:01 y x2 = �1:99

x1 = �2:01 remplazando en aprimera derivada tenemosf 0(�2:01) = 2:430 1

3

x2 = �1:99reemplazando en la primera derivada tenemosf 0(�1:99) = �2:70 1

cambia de primera derivada positiva (creciente) a primera derivada nega-tiva (decreciente) el punto es un punto de máxima relativa

� CAMPO DE VARIACION DE LA PRIMERA DERIVADA

d

dx(3x5 � 20x3) = 15x2

�

x2 � 4�

Al igualar la primera derivada a cero obtuvimos los puntos críticos x = 0x = 2 x = �2

ubiquemoslos en una recta

<++++++-2- - - -0- - - - -2+++++++++> -f 0

se puede concluir que la función es creciente en los intervalos (1;�2) [(2;1)

decreciente en (�2; 2)

x = �2existe un máximo relativo y en x = 2 existe un mínimo relativo

En x = 0 no existe máximo ni minimo pero puede ser un punto dein�exión( utilizar segunda derivada)

� UTILIZAR LA SEGUNDADERIVADA PARAVER CONCAVI-DAD Y PUNTOS DE INFLEXION

Tenemos la función f(x) = 3x5 � 20x3

Su primera derivada

d(f(x))=dx =d

dx(3x5 � 20x3) = 15x2

�

x2 � 4�

su segunda derivada es

d2

dx2(3x5�20x3) =

d

dx(d

dx(3x5�20x3)) =

d

dx(15x2

�

x2 � 4�

= 60x�

x2 � 2�

La igualamos a cero 60x�

x2 � 2�

= 0, la solución es �p2;p2; 0

ubiquemos los puntos en una recta real

_�����p2 + +++0����

p2 + ++++++++ f 00

tomamos valores arbitrarios en cada región para ver el signo de la segundaderivada

x = �3 lo reemplazamos en la segunda derivada y nos da f 00(�3) =�1260 es negativa

4

x = �1 lo reemplazamos en la segunda derivada y nos da f 00(�1) = 60 espositiva

x = 1 lo reemplazamos en la segunda derivada y nos da f 00(1) = �60 esnegativa

x = 3 lo reemplazamos en la segunda derivada y nos da f 00(3) = 1260espositiva

� CAMPO DE VARIACIÓN DE LA SEGUNDA DERIVADA

Es concava hacia abajo donde la segunda derivada es negativa (-1;�p2)[

(0;p2)

Es concava hacia arriba donde la segunda derivada es positiva (�p2; 0)[

(p2;+1)

En x1 = �p2 existe un punto de in�exión porque alli cambia la segunda

derivada de negativa a positiva

En x2 = 0existe un punto de in�exión porque alli cambia la segundaderivada de positiva a negativa

En x3 =p2 existe un punto de in�exión

� GRAFICAR LA FUNCIÓN

y = 3x5 � 20x3

-4 -3 -2 -1 1 2 3

-1400

-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

200

400

600

x

y

5

-3 -2 -1 1 2 3

-200

-100

100

200

x

y

y = 3x5 � 20x3 construyamos la grá�ca restringiendo la imagen, observamosclaramente, los puntos de máxima en x = �2y de mínina x = 2

6