Grafos: Fundamentos y Algoritmos Autores: Eduardo Moreno y Héctor Ramírez La teoría de grafos es un área relativamente nueva de las matemáticas, siendo considerado el trabajo de Leonhard Euler, sobre el problema de los puentes de Königsberg (1736), el primero en este tema. A partir de ese momento, hemos presenciado un vertiginoso crecimiento gracias a importantes aportes que han hecho matemáticos, ingenieros y otros científicos, quienes han encontrado en esta área las herramientas necesarias para modelar y resolver problemas de muy distinta índole. El objetivo de esta monografía es introducir los conceptos fundamentales en teoría de grafos y ciertos problemas clásicos en esta área. Estos problemas son estudiados desde un punto de vista teórico y práctico, ilustrando su uso en distintos ámbitos a través de la modelación de problemas reales (provenientes de la vida cotidiana o de la ingeniería) e implementando algoritmos que resuelvan eficientemente cada uno de éstos. La interacción entre problemas sobre grafos y algoritmos está en el centro de esta monografía. En efecto, cuatro de los seis capítulos de este documento están dedicados al estudio de un problema clásico en teoría de grafos, sus propiedades y el estudio de algoritmos que permiten resolverlo, mientras que los dos capítulos restantes contienen temas introductorios. A continuación detallamos los contenidos de cada uno de los seis capítulos de esta monografía. En el capítulo 1 se entrega una introducción al concepto de algoritmo, explicando qué es un algoritmo, identificando distintos tipos de algoritmos, definiendo la eficiencia de un algoritmo dado, mediante el concepto de complejidad computacional e ilustrando cómo se calcula tal eficiencia. Estos conceptos son explicados con ejemplos de la vida cotidiana, que no están relacionados con grafos, por lo que este primer capítulo es autocontenido e independiente del resto. Sin embargo, este capítulo es fundamental para la lectura de los últimos cuatro capítulos. En el capítulo 2 se explica qué es un grafo (dirigido y no-dirigido) y se introducen las principales definiciones y propiedades que estos tienen. Éstas son ampliamente utilizadas en los capítulos posteriores. En el capítulo 3 se estudia el problema de conectar un grafo construyendo un árbol recubridor de peso mínimo. En el capítulo 4 se analiza el problema de encontrar el camino más corto en un grafo cuyas aristas pueden tener costos positivos o negativos. En el capítulo 5 se introducen el concepto de red y nociones asociadas como corte y flujo factible. Luego, se estudia el problema de flujo en redes, que consiste en encontrar el máximo flujo que se puede enviar desde un origen a un destino dentro de la red. En cada uno de estos tres capítulos se estudia la manera de resolver eficientemente estos problemas usando algoritmos apropiados para estos fines y analizando la complejidad obtenida para cada uno de ellos. Finalmente, en el capítulo 6 se explica el problema de encontrar un ciclo que recorra, sin repetición, todos los vértices o aristas del grafo, conocidos como ciclo Euleriano o Hamiltoniano, respectivamente. Además, usando estos problemas se entrega una breve intuición sobre los problemas de clase P y NP.