ESCUELA POLITCNICA NACIONAL

FACULTAD DE INGENIERA ELCTRICA Y ELECTRNICA

TEORA ELECTROMAGNTICA

GUSTAVO HERRERA

FRANCISCO HIDALGO

WILMA PACHACAMA

DIEGO VELSQUEZ

Trabajo Realizado por Cargas

Puntuales

Podemos considerar una carga puntual Q, cuando esta

carga se encuentra en presencia de un campo elctrico E,

esta experimentara una fuerza elctrica F.

=

1)

Ahora bien, si deseramos mover esta carga puntual desde un punto A hacia un punto B en el espacio (con

velocidad constante), debemos analizar una pequea parte de este desplazamiento, debido a que el trabajo

se define como fuerza que acta a distancia, la fuerza aplicada realiza un diferencial de trabajo (dW) a lo

largo de una diferencial de desplazamiento (dl).

Ahora el trabajo puede ser positivo o negativo, segn la direccin de dl vector desplazamiento, con relacin

a la fuerza aplicada . Cuando dl y no estn en la misma direccin, la componente de la fuerza en la

direccin de dl debe usarse.

Teniendo como resultado la siguiente ecuacin:

2) = cos =

Reemplazando la ecuacin 1) en la ecuacin 2) llegamos a la siguiente expresin:

=

Adoptando esto como expresin definitiva para el trabajo realizado al mover una partcula cargada en un

campo elctrico, un valor positivo significara que el trabajo ha sido hecho por el agente externo para

ocasionar un cambio de posicin y un resultado negativo indicara que el trabajo ha sido realizado por el

campo.

En los tres sistemas de coordenadas las expresiones para dl son:

= + + ()

= + + ()

= + + sin ()

Ahora bien si lo que deseamos es conocer todo el trabajo que realizara esa carga en todo su

desplazamiento desde el punto A hasta B, lo que debemos realizar es la suma de todos esos trabajos de

cada diferencial de desplazamiento, con lo cual obtenemos la siguiente expresin.

De esta expresin se concluye que el trabajo no depende de la trayectoria seguida por la particula, slo

depende de la posicin inicial y final, lo cual implica que la fuerza elctrica es una fuerza conservativa.

Por lo tanto se puede definir una energa potencial que permite calcular el trabajo ms fcilmente:

El trabajo realizado por la fuerza elctrica para desplazar una partcula entre A y B ser:

Usualmente, el nivel cero de energa potencial se suele establecer en el infinito, es decir, si y slo

si (esto tiene que ver con la eleccin de la constante de integracin en la frmula

del potencial).

Potencial y diferencia de potencial

Potencial

Definicin.- Energa que toma un cuerpo al estar situado en un campo de fuerzas.

Para la fsica, el potencial es una magnitud (vectorial o escalar) que permite sealar la modificacin o el desarrollo posible de una magnitud diferente. Se denomina potencial, por otra parte, a la funcin matemtica que se usa para conocer qu tan intenso es un campo de fuerzas en un cierto punto. As, en el campo de la Fsica nos encontramos con varios trminos que utilizan el concepto que estamos abordando. De esta manera, est, por ejemplo, la llamada energa potencial que es aquella que viene a expresar la capacidad que tiene un cuerpo concreto para acometer una tarea y que depende mucho de la posicin en la que se encuentre aquel en lo que es el campo de fuerzas.

Igualmente, en este mbito cientfico tambin es muy frecuente hablar de lo que se conoce como potencial vectorial electromagntico. Potencial vectorial es tambin como se llama a este que no es ms que un campo vectorial de tipo tridimensional gracias al cual se puede llegar a conocer y establecer lo que es el campo magntico.

Potencial elctrico V

El potencial electrico es el trabajo que un campo

electrosttico realiza para movilizar una carga de

prueba positiva desde el infinito hasta un dentro del

campo electrosttico.

El potencial elctrico en un punto cualquiera dentro de

un campo elctrico es una cantidad escalar la cual se

mide es [J/C] de lo cual se define el volt, la unidad

comnmente ms utilizada, cuyo smbolo es V.

1 =

Matemticamente se puede expresar al potencial como:

=

0

El potencial elctrico slo se puede definir para un campo esttico producido por cargas que ocupan una

regin finita del espacio.

Para cargas en movimiento debe recurrirse a los potenciales de Linard-Wiechert para representar un

campo electromagntico que adems incorpore el efecto de retardo, ya que las perturbaciones del campo

elctrico no se pueden propagar ms rpido que la velocidad de la luz.

Si se considera que las cargas estn fuera de dicho campo, la carga no cuenta con energa y el potencial

elctrico equivale al trabajo necesario para llevar la carga desde el exterior del campo hasta el punto

considerado.

Diferencia de potencial

En la electrnica la diferencia de potencial (ddp) es el impulso que necesita una carga elctrica para que

pueda fluir por el conductor de un circuito elctrico, esta corriente cesar cuando ambos puntos igualen su

potencial elctrico.

La diferencia de potencial hace referencia al voltaje, tensin que es la presin que ejerce una fuente de

suministro de energa elctrica o fuerza electromotriz (FEM) sobre las cargas elctricas o electrones en un

circuito elctrico cerrado, para que se establezca el flujo de una corriente elctrica.

A mayor diferencia de potencial o presin que ejerza una fuente de FEM sobre las cargas elctricas o

electrones contenidos en un conductor, mayor ser el voltaje o tensin existente en el circuito al que

corresponda ese conductor.

Diferencia de Potencial Elctrica ()

Se define diferencia de potencial como el

trabajo que se realiza por un agente externo al

mover una unidad de carga () de un punto A

hacia un punto B en un campo elctrico,

conservndose en equilibrio.

Matemticamente se define diferencia de

potencial electico como:

=

=

La diferencia de potencial se mide en voltios, por lo tanto, podemos decir que en un campo elctrico existe

una diferencia de potencial de 1 voltio cuando empleamos 1 julio para mover una carga de 1 culombio.

Si la carga es positiva, entonces el trabajo realizado () por la fuerza del campo puede ser:

- Positivo cuando el potencial elctrico en el punto B es mayor al potencial elctrico del punto A, en

este caso la carga se desplaza desde el punto B al A de forma espontanea.

- Negativo cuando el potencial elctrico del punto B es menor al potencial elctrico del punto A, en

este caso implica que para trasladar una carga desde A hasta B hay que realizar una fuerza contra

el campo.

- Nulo, si los potenciales elctricos en los puntos A y B son iguales.

Si la carga 0 es negativa todo lo anterior se invierte.

Las cargas positivas se desplazan desde el punto de mayor potencial al de menor potencial.

En un campo elctrico creado por una carga puntual, la diferencia de potencial entre los puntos A y B que

estn a una distancia dA y dB viene dada por:

Si en lugar de una carga puntual, tenemos varias cargas, el potencial total ser igual a la suma de cada una

de las cargas, lo que se denomina principio de superposicin.

Potencial Elctrico entre dos Puntos.

El potencial del punto con respecto al punto se define como el trabajo realizado al mover una carga

positiva unitaria , desde hasta

=

=

Debe observarse que el punto inicial o de referencia es el lmite inferior de la integra de lnea. Por lo tanto

el signo menos no debe omitirse. Este signo apareci en eta expresin, proveniente de la fuerza = ,

que fue aplicada para poner la carga en equilibrio.

Puesto que es un campo conservativo,

=

De aqu que se considere como la entre los puntos y . Cuando es

positivo, debe realizarse trabajo para poder mover la carga unitaria positiva desde hasta y se dice

entonces que el punto est a un potencial ms alto que el punto . Cabe decir, que difiere de solo

por la inversin de los lmites superior e inferior en la integral definitoria, lo cual simplemente cambia el signo

del resultado. Ahora veremos cmo obtener potencial, en dos diferentes campos elctricos:

Campo Elctrico Uniforme Sean y dos puntos situados en un campo elctrico uniforme, estando a una

distancia de en la direccin del campo, tal como muestra la figura.

Considrese una carga de prueba positiva movindose sin aceleracin, por

efecto de algn agente externo, siguiendo la recta que une con

La fuerza elctrica sobre la carga ser y apunta hacia abajo. Para mover la

carga en la forma descrita arriba, se debe contrarrestar esa fuerza aplicando una

fuerza externa de la misma magnitud pero dirigida hacia arriba. El

trabajo realizado por el agente que proporciona esta fuerza es:

= =

Teniendo en cuenta que:

=

Sustituyendo se obtiene:

=

=

Esta ecuacin muestra la relacin entre la diferencia de potencial y la intensidad de campo en un caso

sencillo especial.

El punto tiene un potencial ms elevado que el . Esto es razonable porque un agente exterior tendra

que hacer trabajo positivo para mover la carga de prueba de hacia .

Campo Elctrico No Uniforme

En el caso ms general de un campo elctrico no uniforme, este

ejerce una fuerza sobre la carga de prueba, tal como se ve

en la figura. Para evitar que la carga acelere, debe aplicarse una

fuerza que sea exactamente igual a para todas las

posiciones del cuerpo de prueba.

Si el agente externo hace que el cuerpo de prueba se mueva

siguiendo un corrimiento a lo largo de la trayectoria de a ,

el elemento de trabajo desarrollado por el agente externo es

. Para obtener el trabajo total hecho por el agente externo

al mover la carga de a , se suman las contribuciones al

trabajo de todos los segmentos infinitesimales en que se ha

dividido la trayectoria. As se obtiene:

=

=

Como =

, al sustituir en esta expresin, se obtiene que:

=

Si se toma el punto infinitamente alejado, y si el potencial al infinito toma el valor de cero, esta ecuacin

da el potencial en el punto , o bien, eliminando el subndice ,

=

Estas dos ecuaciones permiten calcular la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera si se

conoce .

Potencial debido a una Carga Puntual

Como se sabe la expresin para la diferencia de potencial existente entre dos puntos localizados en =

y = en el campo de una carga puntual localizada en el origen es:

=

40(

1

1

) =

Se supuso entonces que los dos puntos pertenecan a la misma lnea radial o que tenan las mismas

coordenadas , permitiendo as establecer un camino simple sobre dicha radial para llevar carga

positiva.

Si ahora nos preguntamos si en los diferentes valores de para las posiciones inicial y final afectaran la

respuesta, y tambin si podemos escoger trayectorias ms complicadas entre los dos puntos sin que existan

cambios en los resultados.

Se resolvern ambas preguntas simultneamente escogiendo dos puntos cualesquiera y localizados a

distancias radiales y y cualquier valor para las otras coordenadas.

La diferencia de longitud de la trayectoria tiene componentes , en tanto que el campo elctrico solo

tiene en la direccin radial. Utilizando el producto punto resulta:

=

=

402

=

40(

1

1

)

Se obtiene la misma respuesta, con lo que se demuestra que la diferencia de potencial entre dos puntos, en

el campo que produce una carga punto, depende solamente de la distancia de cada punto a la carga y no

de la trayectoria en particular utilizada para mover la carga unitaria de un punto a otro.

Si definimos convenientemente un potencial con referencia a cero, la posibilidad ms sencilla es hacer que

= 0 en el infinito. Si alejamos el punto = hasta el infinito, el potencial se convierte en

=

40

O, como no existe razn para identificar a este punto con el subndice :

=

40

Esta expresin define el potencial en cualquier punto ubicado a una distancia de una carga puntual

situada en un origen, tomando como cero al potencial en un punto cuya distancia a la carga sea infinito.

Una manera de expresar la ecuacin anterior sin tener que definir una referencia cero, consiste en identificar

como y haciendo que

40 una constante, entonces se tiene que:

=

40+ 1

Donde 1 se puede escoger de tal forma que = 0 para cualquier valor de .

Tambin es posible seleccionar la referencia cero de una manera indirecta, eligiendo como 0 para = 0.

Se debe observar que la diferencia de potencial entre dos puntos no es una funcin de 1, y adems que el

potencial es un campo escalar y no involucra ningn vector unitario.

Un ejemplo ms entendible sobre el campo de una carga puntual es el siguiente:

Considrense los puntos y y una carga puntual q tal como muestra

la figura. Segn se muestra, apunta a la derecha y , que siempre

est en la direccin del movimiento, apunta a la izquierda. Por

consiguiente:

= (180) =

Ahora bien, al moverse la carga una trayectoria hacia la izquierda,

lo hace en la direccin de la decreciente, porque se mide a partir

de como origen. As pues:

=

Por lo cual:

=

=

Combinando esta expresin con la de para una carga puntual se obtiene:

=

40

2

=

40(

1

1

)

Escogiendo el punto de referencia en el infinito, ( ), y considerando que = 0 en ese sitio y

eliminando el subndice , se obtiene:

=

40

1

Luego de haber definido la ecuacin de potencial de una carga puntual, podemos definir la superficie

equipotencial como la superficie que componen todos aquellos puntos cuyo potencial tiene el mismo valor.

No es necesario realizar ningn trabajo para mover una carga

sobre una superficie equipotencial, ya que por definicin no hay

diferencia de potencial entre cualquier par de puntos situados en

la superficie.

Las superficies equipotenciales en el campo de una carga puntual

son esferas centradas en la carga puntual.

Si se inspecciona la forma del potencial campo de una carga

puntual se observa que es un campo que vara inversamente con

la distancia, mientras que la intensidad del campo elctrico lo

hace inversamente al cuadrado de la distancia.

Un resultado similar ocurre con el campo de fuerzas gravitacional

de una ms puntual.

Potencial de una Distribucin de Carga

Cuando existe una distribucin de carga en un volumen finito con una densidad de carga conocida entonces puede determinarse el potencial en un punto externo, esto porque la definicin de potencial involucra el campo elctrico.

Si analizamos el potencial originado por cada diferencial de carga tendremos:

Finalmente podemos integrar sobre todo el volumen para obtener:

Ntese que la variable R es la distancia a al punto con respecto a cada diferencial de volumen en cada punto del objeto cargado y por tanto depende de las coordenadas, lo cual implica el hecho de no poder sacarlo de la integral. No deber de confundir la variable r con la variable R.

De manera similar podemos encontrar el potencial elctrico de cualquier distribucin, bien sea de lnea o de superficie y que puede ser expresados como:

Para configuraciones de superficie:

Para configuraciones de lnea:

donde es la densidad superficial, es la densidad lineal.

Gradiente

La figura muestra dos puntos vecinos, M y N, de la regin en que est definida una funcin escalar V. El vector separacin de los dos puntos es:

= + +

El cambio en V desde M hasta N est dado por

=

+

+

Ahora, el operador nabla sobre V :

=

+

+

De lo que se deduce que:

=

El campo vectorial V (tambin escrito grad V) se llama el gradiente de la funcin escalar V.

Se ve que para una |dr| fija, el cambio en V en una direccin dada dr es proporcional a la proyeccin de V en esa direccin. As pues V yace en la direccin de mximo incremento de la funcin V.

El gradiente de una funcin potencial es un campo vectorial el cual es en todo punto normal a las superficies equipotenciales.

El gradiente en los sistemas coordenados cilindricos y esfricos se deriva directamente de su expresin en el sistema cartesiano. Debe anotarse que cada trmino contiene la derivada parcial de I7 con respecto a la distancia en direccin del vector unidad particular.

CARTESIANO:

=

+

+

CILINDRICO:

=

+

+

ESFRICO:

=

+

+

Aunque es vlido para grad V en cualquier sistema coordenado, debe recordarse que el operador nabla se define solo en coordenadas cartesianas.

GRADIENTE DE POTENCIAL La expresin general de la diferencia de potencial entre dos puntos es:

Si dicha ecuacin la expresamos en forma diferencial, se tiene:

de donde podemos poner:

La razn dV/ds , o sea, la derivada del potencial respecto a la distancia, tomada en la direccin de ds, se denomina gradiente de potencial. Puesto que E.cos es la componente del campo en la direccin de ds, podemos deducir la siguiente relacin:

La componente de la intensidad del campo elctrico en una direccin cualquiera es igual al gradiente de potencial en dicha direccin, cambiado de signo.

En el sistema M.K.S., los gradiente de potencial se expresan en voltios por metro, y por la relacin que

hemos visto, la intensidad del campo elctrico se puede expresar en las mismas unidades que el gradiente.

De hecho, es ms corriente expresar la intensidad de un campo elctrico en V/m que en Nw/Cul.

Puesto que el campo que rodea a un conjunto de cargas cualesquiera es tridimensional, en general, el

potencial en un punto ser funcin de las coordenadas x, y, z del punto.

Podemos tomar entonces la direccin de ds paralela a los ejes con lo que los tres gradientes de potencial

dan entonces las tres componentes rectangulares de E, es decir:

Es fcil ver que en una regin en la cual el potencial tenga el mismo valor en todos los puntos, las tres

derivadas parciales de la funcin que lo define sern nulas y, por consiguiente, las tres componentes do la

intensidad del campo elctrico son nulas y en dicha regin al campo es cero.

Inversamente, si la intensidad del campo elctrico en una regin es nula, el potencial es el mismo en todos

los puntos.

Una de las propiedades tiles del concepto de gradiente de potencial es que frecuentemente es mucho ms

sencillo calcular la intensidad del campo elctrico en un punto, hallando primero una expresin del potencial

en el punto y utilizando despus la expresin que los relaciona, que calcular directamente la intensidad par

los mtodos descritos anteriormente.

El gradiente de un campo escalar es un campo vectorial. El vector gradiente de evaluado en un

punto genrico del dominio de , ( ), indica la direccin en la cual el campo vara ms

rpidamente y su mdulo representa el ritmo de variacin de en la direccin de dicho vector gradiente.

El gradiente se representa con el operador diferencial nabla seguido de la funcin (cuidado de no

confundir el gradiente con la divergencia, sta ltima se denota con un punto de producto escalar entre el

operador nabla y el campo).

Tambin puede representarse mediante , o usando la notacin . La generalizacin del

concepto de gradiente a campos vectoriales es el concepto de matriz Jacobiana.

Se toma como campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio una presin P (campo escalar de

3 variables), entonces el vector gradiente en un punto genrico del espacio indicar la direccin en la cual

la presin cambiar ms rpidamente.

Otro ejemplo es el de considerar el mapa de lneas de nivel de una montaa como campo escalar, que

asigna a cada pareja de coordenadas latitud/longitud un escalar altitud (campo escalar de 2 variables).

En este caso el vector gradiente en un punto genrico indicar la direccin de mxima inclinacin de la

montaa. Ntese que el vector gradiente ser perpendicular a las lneas de contorno (lneas "equiescalares")

del mapa.

El gradiente se define como el campo vectorial cuyas funciones coordenadas son las derivadas parciales

del campo escalar, esto es:

Esta definicin se basa en que el gradiente permite calcular fcilmente las derivadas direccionales.

Definiendo en primer lugar la derivada direccional segn un vector:

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el nico vector que, multiplicado por el vector unitario,

da la derivada direccional del campo escalar:

Con la definicin anterior, el gradiente est caracterizado de forma unvoca. El gradiente se expresa

alternativamente mediante el uso del operador nabla:

PROPIEDADES:

Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por =cte.

Apunta en la direccin en que la derivada direccional es mxima.

Su norma es igual a esta derivada direccional mxima.

Se anula en los puntos estacionarios (mximos, mnimos y puntos de silla).

El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es,

Expresin en diferentes sistemas de coordenadas

A partir de su definicin puede hallarse su expresin en diferentes sistemas de coordenadas.

En coordenadas cartesianas, su expresin es simplemente

En un sistema de coordenadas ortogonales, el gradiente requiere los factores de escala, mediante la

expresin

Para coordenadas cilndricas ( , ) resulta

y para coordenadas esfricas ( , , )

En un sistema de coordenadas curvilneo general el gradiente tiene la forma:

donde en la expresin anterior se usa el convenio de sumacin de Einstein.

EJEMPLOS:

1. Dada la funcin su vector gradiente es el siguiente:

2. Dada la funcin su vector gradiente es el siguiente:

3. Dada la funcin su vector gradiente es el

siguiente:

EJERCICIO

Una carga total de (40/3) nC se distribuye uniformemente alrededor de un anillo circular de 2 m de radio.

Halle el potencial en el punto situado sobre el eje, a 5 m del plano del anillo. Compre el resultado con el que

se obtiene si toda la carga se concentra en el origen en forma de carga puntual.

=

4

=(

40

3) 109

2 2=

108

3 /

= 29 , = (2)

= (10

8

3 )(2)

4(109

36 )29= 22.3

2

0

Si la carga est concentrada en el origen:

=(

40

3) 109

4(5)= 24

Relacin entre Campo y Potencial Concluimos que toda carga, q, positiva que se abandone libremente en el seno de un campo elctrico, se mover espontneamente hacia potenciales decrecientes. Esto quiere decir que el campo elctrico tambin se dirige del mismo modo y, por tanto, sus lneas de fuerza atraviesan a las zonas equipotenciales (perpendicularmente a ellas) y en el sentido de dirigirse de mayor a menor potencial. Esta relacin entre las lneas del campo elctrico y las superficies equipotenciales se puede ilustrar grficamente, como se muestra, a modo de ejemplo en el dibujo adjunto, para el caso del campo creado por una carga puntual de signo positivo. Para este caso particular, las lneas de fuerza del campo elctrico forman un haz que emerge de la carga en todas las direcciones y se dirige hacia el exterior. Las superficies equipotenciales son superficies esfricas (ordenadas de mayor a menor potencial como 1, 2 y 3) con centro en la carga.

Para encontrar una expresin operativa que d cuenta de la relacin entre el campo y la diferencia de potencial, escribimos en forma diferencial la frmula que relaciona el trabajo elctrico que realizan las fuerzas del campo cuando se traslada una carga, q, desde un punto A hasta otro punto B:

En funcin de la fuerza elctrica que lleva a la carga (y, por tanto, del campo elctrico), el mismo trabajo se expresa:

Igualando (1) y (2) se obtiene la relacin entre el campo y el incremento de potencial:

Et representa a la componente del campo, que atraviesa perpendicularmente a la superficie equipotencial a lo largo de la direccin e, perpendicular a dicha superficie. El signo menos recuerda que lo hace dirigindose en el sentido hacia donde decrece el potencial.

Energa en Campos Elctricos Estticos Considere el trabajo requerido para ensamblar, carga por carga, una distribucin de n= 3 cargas puntuales. La regin se supone inicialmente libre de carga y con E=0 en todas partes. Como se puede apreciar, el trabajo requerido para

colocar la primera carga Q1, en la posicin 1 es

cero.

Por tanto, cuando Q2, se mueve hacia la regin se

requiere un trabajo igual al producto de esta carga

por el potencial de Q1.

El trabajo total realizado al colocar estas 3 cargas es:

El potencial V2,1 debe leerse el potencial en el punto 2 debido a la carga Q1 en la posicin 1. (Esta

notacin, poco usual, no aparecer de nuevo) El trabajo We es la energa almacenada en el campo elctrico

de la distribucin de carga.

Ahora, si las 3 cargas se trajeran a su sitio en orden inverso, el trabajo total sera:

Cuando las 2 expresiones arriba se suman, el resultado es 2 veces la energa almacenada:

y

Para una regin que contiene n cargas puntuales. Para la regin con densidad de carga p(C/m3) el proceso

sumatorio se convierte en una integracin,

Otras expresiones para la energa almacenada son:

En un circuito elctrico, la energa almacenada en un capacitor est dada por:

Donde C es la capacitancia (en faradios),V es la diferencia de potencial entre los dos conductores que

constituyen el capacitor y Q es la magnitud de la carga total sobre uno de los conductores.