GUÍA DE PROCESO ENSEÑANZA-APRENDIZAJE “APRENDO DESDE CASA”

Asignatura: Matemáticas Guía N° 02 Tercer Periodo Grado: Séptimo 1, 2, 3, 4, 5 Docentes: Jorge Jaraba Villamizar

Fecha de inicio: OCTUBRE 25 Fecha de finalización: NOVIEMBRE 10

Nombre del estudiante: Grado:

1. Conocimiento previo del tema: (Exploración, saberes previos frente al eje temático y objetivo de aprendizaje)

Operaciones con número enteros y racionales; potenciación y radicación de números enteros

2. Desarrollo del contenido:

PROPORCIONALIDAD DIRECTA Y PROPORCIONALIDAD INVERSA

Proporcionalidad directa: En múltiples situaciones de la vida cotidiana se hacen mediciones, es decir, se asignan cantidades a algunas propiedades que caracterizan a los objetos. Se denomina magnitud a una cualidad de un objeto a la cual se le puede asignar medida. La temperatura, la longitud, la superficie, el tiempo y el peso son ejemplos de magnitudes. En la interpretación de fenómenos o situaciones es útil analizar la dependencia entre dos magnitudes, por lo cual se acostumbra representar los valores en tablas y en gráficas en el plano cartesiano. Por ejemplo, en la siguiente tabla se presenta la distancia d, a la cual se encuentra un carro de juguete con respecto a un punto de partida para diferentes valores del Figura 1

La distancia se ha medido en metros y el tiempo en segundos.

TIEMPO (segundos) 0 1 2 3 4 5

DISTANCIA (metros) 0 0,25 1 2,25 4 6,25

En la figura 1 se muestra el plano cartesiano que representa la situación.

Magnitudes directamente correlacionadas:

Dos magnitudes se denominan directamente correlacionadas si, al aumentar una de ellas, la otra también aumenta o, al disminuir una de ellas, la otra también disminuye. En el ejemplo de la distancia recorrida por el juguete, se puede observar que cuando el tiempo aumenta, la distancia aumenta; luego, la distancia y el tiempo son magnitudes directamente correlacionadas.

Magnitudes directamente proporcionales:

Dos magnitudes son directamente proporcionales si la razón entre cada valor de una de ellas y el respectivo valor de la otra es igual a una constante. A esa constante se le llama constante de proporcionalidad.

Ejercicios resueltos

1. Si un tren avanza 30 km hacia el norte cada vez que transcurre una hora. El tiempo y la distancia que recorre se representan en la siguiente tabla.

TIEMPO (horas) 1 2 3 4 5

DISTANCIA (kilómetros) 30 60 90 120 150

Se observa que, al aumentar el tiempo, la distancia aumenta. Así que las magnitudes son directamente correlacionadas. Cuando se calcula la razón entre cada distancia y su respectivo valor del tiempo, se tiene

𝟕

𝟒= 𝟑𝟎

𝟔𝟎

𝟐= 𝟑𝟎

𝟗𝟎

𝟐= 𝟑𝟎

𝟏𝟐𝟎

𝟒= 𝟑𝟎

𝟏𝟓𝟎

𝟓= 𝟑𝟎

Las magnitudes distancia recorrida y tiempo son directamente proporcionales, porque la razón entre sus respectivos valores es constante e igual a 30. Es decir, la constante de proporcionalidad es 30.

2. Determinar la constante de proporcionalidad para los datos representados en la gráfica de la figura 2.

Solución

Las magnitudes que se relacionan en la figura 2 son directamente proporcionales. Así, para hallar la constante de proporcionalidad, basta calcular la razón entre los valores de las coordenadas de cualquier punto. Por ejemplo, el cálculo para los puntos (1, 1.5); (3,2) y (3, 4.5) es el siguiente:

1,5

1= 1,5 =

15

10

3

2= 1,5 =

15

10

4.5

3= 1,5 =

15

10 , entonces la constante de

proporcionalidad 𝒌 = 𝟏𝟓

𝟏𝟎

3. Completar cada tabla si se sabe que las magnitudes dadas son directamente proporcionales.

a.

LECHE (litros) 4 7 11 13

QUESO (unidades) 14

Solución: Para ser directamente proporcionales se cumple que: (podemos emplear una letra cualquiera para hallar el valor desconocido).

𝟒

𝐦=

𝟕

𝟏𝟒 , entonces 4 x 14 = m x 7 → 56 = 7m, m =

𝟓𝟔

𝟕 , por lo tanto m = 8. Completando la tabla quedaría de la siguiente manera:

LECHE (litros) 4 7 11 13

QUESO (unidades) 8 14 22 26

b.

Solución: Para ser directamente proporcionales se cumple que: (podemos emplear una letra cualquiera para hallar el valor desconocido). n

𝟏𝟐=

𝟓

𝟏𝟓 , entonces n x 15 = 12 x 5 → 15n = 60, n =

𝟔𝟎

𝟏𝟓 , por lo tanto n = 4. Completando la tabla quedaría de la siguiente manera:

4. En la figura 3 se presentan rectángulos con la misma altura y diferente base.

a. Determinar el área de cada rectángulo en unidades cuadradas. Luego, registrar en una tabla de valores la relación entre las bases y las respectivas áreas. b. Determinar si el área y la base son magnitudes directamente proporcionales. En caso afirmativo, determinar la constante de proporcionalidad y la expresión matemática que las relaciona. Solución: a. En la siguiente tabla se presentan los valores de las bases y sus respectivas áreas.

BASE (unidades) 2 3 4 5 6

ÁREA (unidades cuadradas) 8 12 16 20 24

b. La base y el área de los rectángulos dados son directamente proporcionales porque la gráfica que une los puntos de la tabla es una línea recta que pasa por el origen. Para determinar la constante de proporcionalidad, se divide el valor del área entre

el respectivo valor de la base de cualquier pareja de datos. Así, 𝟏𝟔

𝟒= 𝟒. Luego,

la constante de proporcionalidad es k = 4. Por tanto, el área es A = 4 x b.

5. Determina a través de la gráfica si las magnitudes son directamente proporcionales.

MAÍZ 5

AREPAS 6 9 12 15

MAÍZ 2 3 4 5

AREPAS 6 9 12 15

Solución:

A partir de la gráfica se plantean las razones. Así:

𝟒

𝟐= 𝟐

𝟓

𝟒= 𝟏, 𝟐𝟓

𝟔

𝟔= 𝟏

Se puede observar que: No hay constante de proporcionalidad, pues las razones entre las magnitudes

son diferentes. Los puntos no están sobre una misma recta que pasa por el origen de las

coordenadas. Por lo tanto, las magnitudes representadas no son directamente proporcionales.

6. Para hacer un pastel por cada 100 Gramos de arina, se necesitan 2 huevos. Observa la siguiente tabla y halla la razón.

Solución: El número de huevos para hacer el pastel, depende de la cantidad de arina utilizada para su elaboración.

𝟏𝟐

𝟏𝟎𝟎𝟓𝟎

= 𝟏

𝟓𝟎

𝟏𝟐𝟒

𝟐𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟓𝟎

= 𝟏

𝟓𝟎

𝟏𝟑𝟔

𝟑𝟎𝟎𝟏𝟓𝟎𝟓𝟎

= 𝟏

𝟓𝟎

𝟏𝟐𝟒𝟖

𝟒𝟎𝟎𝟐𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟓𝟎

= 𝟏

𝟓𝟎

La razón entre el número de huevos y la harina es constante 𝟏

𝟓𝟎 y recibe el nombre de constante de proporcionalidad.

7. Determina si entre las magnitudes relacionadas en la tabla, hay proporcionalidad directa, si la hay, halla la constante de proporcionalidad

x 1 2 3

y 4 9 14

Solución: Se hallan las razones correspondientes 4

1= 𝟒

9

2=

𝟗

𝟐

14

3=

𝟏𝟒

𝟑

𝟒 ≠ 𝟗

𝟐 ≠

𝟏𝟒

𝟑 Son diferentes, por lo tanto, no hay constante de proporcionalidad. En consecuencia, las magnitudes NO son

directamente proporcionales.

Aplicaciones de la proporcionalidad.

REGLA DE TRES SIMPLE

La regla de tres simple es un procedimiento empleado para resolver situaciones de proporcionalidad entre dos magnitudes. Consiste en hallar el valor de una magnitud a partir de tres valores conocidos, dos de ellos de la misma magnitud.

Regla de tres simple directa:

Un problema se denomina de regla de tres simple directa cuando las magnitudes que intervienen son directamente proporcionales. Para resolver un problema de regla de tres simple directa se procede de la siguiente manera:

Se nombra la cantidad desconocida con una letra y se elabora una tabla con las magnitudes que intervienen.

Se plantea una proporción de acuerdo con la propiedad fundamental de las magnitudes directamente proporcionales y se encuentra el término desconocido.

8. Resolver las siguientes situaciones problema aplicando regla de tres simple directa.

a. Un paquete que contiene 6 tornillos cuesta $5700 pesos. ¿Cuál es el precio de 9 tornillos de la misma especie?

a. Si un carpintero hace 35 cajas de madera en una semana. ¿cuántas cajas fabricará en 12 días?

Solución:

b. Un paquete que contiene 6 tornillos cuesta $5.700 pesos. ¿Cuál es el precio de 9 tornillos de la misma especie?

El precio y el número de tornillos son magnitudes directamente proporcionales tornillos aumenta, se espera que el precio aumente en la misma proporción.

Sea p el precio de los 9 tornillos. Al comparar las magnitudes en la tabla, la proporción correspondiente es:

Precio Número de artículos

5700 6

p 9

Aplicamos la ley fundamental de las proporciones:

𝟓.𝟕𝟎𝟎

𝟔=

𝒑

𝟗 ,entonces 6 x p = 5.700 x 9 → 6 p = 51.300 → p =

𝟓𝟏.𝟑𝟎𝟎

𝟔 → p = 8550

Así, el precio de los 9 tornillos es 8550 pesos

b. Si un carpintero hace 35 cajas de madera en una semana. ¿cuántas cajas fabricará en 12 días?

Harina en gramos 100 200 300 400

Huevos 2 4 6 8

Solución:

Las magnitudes que intervienen son: obra y tiempo.

Notamos que a "mayor" tiempo el carpintero podrá fabricar "mayor" número de carpetas. Los valores de una magnitud deben estar en las mismas unidades. Así: 1 semana = 7 días.

Obra (Número de cajas Tiempo (Días)

35 7

C 12

Como C es la cantidad de cajas a fabricar tendremos: 35 x 12 = C x 7, multiplicando, 420 = 7 C Dividiendo por 7

𝟒𝟐𝟎

𝟕=

𝟕 𝐂

𝟕 Simplificando tendremos

𝟔𝟎𝟒𝟐𝟎

𝟕𝟏

= 𝑪 por lo tanto C = 60

El carpintero fabrica 60 cajas en los 12 días.

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

Un problema se denomina de regla de tres simple inversa cuando las magnitudes que intervienen son inversamente proporcionales. Para resolver un problema de regla de tres simple inversa se procede de la siguiente manera:

Se nombra la cantidad desconocida con una letra y se elabora una tabla con las magnitudes que intervienen.

Se plantea una proporción de acuerdo con la propiedad fundamental de las magnitudes inversamente proporcionales y se encuentra el término desconocido.

3. Actividad desarrollada:

9. Resolver las siguientes situaciones problema aplicando regla de tres simple inversa. Plantear y resolver los siguientes problemas.

a. Seis máquinas de una fábrica producen los artículos de un pedido en 7,5 horas de funcionamiento. ¿En cuánto tiempo se producirían los artículos si hubiera nueve máquinas disponibles?

b. El combustible empleado para el funcionamiento de seis máquinas dura 5,4 días. ¿Para cuántos días alcanza la misma cantidad de combustible, si solo se emplean cuatro máquinas?

Solución:

a. El tiempo empleado en la producción y el número de máquinas son magnitudes inversamente proporcionales, porque si el número de máquinas aumenta, se espera que el tiempo empleado disminuya en la misma proporción.

Sea t el tiempo que emplean 9 máquinas en hacer la producción.

Como se trata de una situación de proporcionalidad inversa, al comparar las magnitudes de la tabla, la proporción correspondiente

es: 𝟕,𝟓

𝒕=

𝟗

𝟔

Tiempo Número de máquinas

7,5 6

t 9

𝟕,𝟓

𝒎=

𝟗

𝟔 9 x t = 7,5 x 6 Se aplica la propiedad fundamental de las proporciones. 9 t = 45

𝒕 = 𝟒𝟓

𝟗 , entonces 𝒕 = 𝟓 Se halla el valor de t. Así, las nueve máquinas emplean 5 horas en hacer la producción.

b. El combustible empleado para el funcionamiento de seis máquinas dura 9 días. ¿Para cuántos días alcanza la misma cantidad de combustible, si solo se emplean tres máquinas?

Solución:

Sea m el tiempo de duración del combustible para 3 máquinas.

Tiempo Número de máquinas

9 6

m 3

Como se trata de una situación de proporcionalidad inversa, la proporción correspondiente es: 𝟗

𝒎=

𝟑

𝟔

Al aplicar la regla de tres simple inversa se debe hacer un intercambian entre las magnitudes. Así:

Al aplicar la regla de tres simple inversa se debe hacer un intercambian entre las magnitudes. Así:

9 x 6 = 3 x m = Se aplica la propiedad fundamental de las proporciones

54 = 3 𝒎 𝟑𝟐,𝟓

𝟒

𝟓𝟒

𝟑= 𝒎 el valor de m es 18.

Con las 3 máquinas en funcionamiento, el combustible dura 18 días.

4. Tarea. Realiza la siguiente actividad:

ACTIVIDAD EN CASA PARA ENTREGAR POR: WHATSAPP O PLATAFORMA SEGÚN CONDICIONES DADAS

1. A partir de cada tabla de proporcionalidad directa, halla la constante de proporcionalidad y la expresión que relaciona las dos magnitudes y construye su gráfica. Justificar evidenciando las operaciones realizadas para obtener dichos resultados, TODAS LAS HOJAS DEBEN LLEVAR ESCRITO SU NOMBRE COMPLETO Y CURSO; de no ser así, no se recibirán actividades en el tercer periodo.

2. Completar cada tabla de magnitudes directamente proporcionales y determinar la expresión que relaciona las dos

magnitudes. Justificar evidenciando las operaciones realizadas para obtener dichos resultados, TODAS LAS HOJAS DEBEN LLEVAR ESCRITO SU NOMBRE COMPLETO Y CURSO; de no ser así, no se recibirán actividades en el tercer periodo.

3. Determina a través de la gráfica si las magnitudes son directamente proporcionales. Justificar evidenciando las operaciones realizadas para obtener dichos resultados, TODAS LAS HOJAS DEBEN LLEVAR ESCRITO SU NOMBRE COMPLETO Y CURSO; de no ser así, no se recibirán actividades en el tercer periodo.

4. Un panadero horneó cierta cantidad de galletas y quiere empacarlas en bolsas que contengan el mismo número. Ensayó de la siguiente manera. Justificar evidenciando las operaciones realizadas para obtener dichos resultados, TODAS LAS HOJAS DEBEN LLEVAR ESCRITO SU NOMBRE COMPLETO Y CURSO; de no ser así, no se recibirán actividades en el tercer periodo.

Cantidad de galletas por bolsa 12 6 8 4 3

Cantidad de bolsas 2 4 3 6 8

a. ¿Cuántas galletas horneó el panadero?

b. La cantidad de galletas por bolsas y la cantidad de bolsas, ¿Son magnitudes directa o inversamente proporcionales? ¿Por

qué?

c. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

5. Resuelve los siguientes problemas (Regla de tres simple directa). Justificar evidenciando las operaciones realizadas para

obtener dichos resultados, TODAS LAS HOJAS DEBEN LLEVAR ESCRITO SU NOMBRE COMPLETO Y CURSO; de no ser así, no se recibirán actividades en el tercer periodo.

a. Si 8 litros de leche cuestan $ 18.400, ¿Cuánto costarán 15 litros?

b. La rueda delantera de una bicicleta da 2,000 vueltas para recorrer 3 km. ¿Cuántas vueltas dará para recorrer 7 km?

c. Si con $230.000 se pueden comprar 32 metros de tela, ¿cuántos metros de la misma tela se podrán comprar con $570.000?

d. Si para cubrir una superficie de 128 m2 se necesitaron 1.230 baldosas, ¿cuántas baldosas de las mismas se necesitarán para

cubrir una superficie de 3.450 m2?

e. Se supone que para fabricar 350 kg de jabón se necesita 250 kg de grasa. ¿Cuántos kilogramos de grasa se necesitarán para fabricar 830 kg de jabón de la misma clase?

f. Una empresa de transporte cobró $240.000 pesos por transportar 680 kg en mercancía, ¿cuánto cobrará por transportar

5460 kg de mercancía a la misma ciudad?

g. Una motobomba de una piscina extrae 378 litros de agua en 9 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en extraer 2100 litros?

6. Resuelve los siguientes problemas (Regla de tres simple inversa). Justificar evidenciando las operaciones realizadas para obtener dichos resultados, TODAS LAS HOJAS DEBEN LLEVAR ESCRITO SU NOMBRE COMPLETO Y CURSO; de no ser así, no se recibirán actividades en el tercer periodo.

a. Si 25 telares tejen una cantidad de tela en 60 horas. ¿Cuántas horas invertirán 42 telares en tejer la misma cantidad de tela?

b. Un grupo de 15 personas tiene alimentos para 24 días. Si se quiere que el alimento dure 6 días más, ¿cuántas personas

tendrán que ser retiradas del grupo?

c. Trabajando 8 horas diarias un grupo de trabajadores hace una obra en 20 días. ¿En cuántos días harán otra obra igual si trabajan 10 horas diarias?

d. Un constructor que dispone de 30 obreros, se compromete a hacer una obra en 4 meses; por razones ajenas a su voluntad

se vio en la necesidad de concluir la obra en 100 días. ¿Cuántos obreros más serán necesarios?

e. Cinco jóvenes excursionistas tienen alimento para 5 días. Si a última hora desisten de ir dos de ellos, ¿para cuántos días tendrán víveres los demás?

f. Un móvil a una velocidad de 60 kilómetros por hora ha empleado 4 horas para recorrer un trayecto. Si aumenta la velocidad

a 80 kilómetros por hora, ¿cuánto tiempo empleará en recorrer este trayecto?

5. Autoevaluación del estudiante (¿Qué aprendí, en qué debo profundizar?)

OBSERVACIÓN: (Importante, lee y analiza detenidamente).

La guía se debe resolver en el cuaderno de matemáticas (NO SOBRE LAS FOTOCOPIAS), tomar foto o escanear y enviar CON UNA PORTADA DE PRESENTACIÓN. Todas las hojas Deben tener el mismo tipo de letra y ESCRITO A MANO su curso y nombre completo. Si no lo hace, no se recibirá la actividad.

Les informo que en el colegio no se recibirán guías ni trabajos de matemáticas, estos se deben ENVIAR UNA SOLA VEZ; ya sea por WhatsApp (Cualquier formato) o plataforma institucional (Por la plataforma se debe enviar un solo archivo ya sea en formato PDF o Word, de lo contrario no se tendrá en cuenta para su calificación).

ENVIAR LA ACTIVIDAD A MAS TARDAR A LAS 5:00 p.m. DEL DÍA 10 DE NOVIEMBRE DE 2021.

Actividad recibida después de la fecha y hora de envío se calificará con nota máxima de 50 siempre y cuando todo esté resuelto correctamente y envíe a más tardar el siguiente día hábil.