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Pontificia Universidad Católica de Chile Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas

Guía Nº 1 Modelos Usuales (Recuento EAS 200) Inferencia Estadística - EAS 201

1. Un club deportivo comienza una campaña telefónica con el propósito de aumentar el número de socios. Se

sabe que de cada 20 personas que reciben la llamada una se integra al club. Si en un día se hacen 25 llamadas telefónicas

a) ¿ Cuál es la probabilidad que 2 de ellas se inscriban en el club?. b) ¿ Cuál es el número esperado de personas que se inscribirán ?. c) ¿ Cuál es la varianza del número de personas que se inscribirán?. 2. Un proceso de fabricación puede estar ajustado o desajustado, de tal forma que la probabilidad de desajuste

es del 30%. Cuando el proceso está desajustado, se produce en forma independiente un porcentaje alto de piezas defectuosas, esto es un 10%. Por otra parte, cuando el proceso está ajustado, también se producen piezas defectuosas en forma independiente pero en un porcentaje más bajo, esto es un 1%. Se selecciona una muestra de 10 piezas:

a) Asumiendo que el proceso esta ajustado: Calcular la probabilidad de que la muestra contenga: Exactamente 2 piezas defectuosas Al menos 2 piezas defectuosas b) Asumiendo que el proceso esta desajustado: Calcular la probabilidad de que la muestra contenga: Exactamente 2 piezas defectuosas Al menos 2 piezas defectuosas c) Se desconoce en que estado esta el proceso (es decir puede estar o no ajustado): Calcular la probabilidad de

que la muestra contenga: Exactamente 2 piezas defectuosas Al menos 2 piezas defectuosas 3. Un recién titulado de IC busca trabajo y para ello se dispone a enviar sus antecedentes vía correo a distintas

empresas. Por antecedentes anteriores sabe que la probabilidad de recibir una oferta de trabajo a vuelta de correo es un 25% para cada una de las cartas que envía, siendo independientes cada una de las respuestas que recibe. Si desea Asegurarse de que la probabilidad de recibir al menos tres ofertas positivas sea mayor o al menos igual a 90% ¿ Cuántas cartas debe enviar ?

4. La proporción de ejecutivos en Chile con renta superior a $ 5.000.000 es de 0,005%. Determinar la

probabilidad de que entre 5.000 ejecutivos , haya 2 con ese nivel de rentas. 5. Un dado es lanzado 15 veces . Se definen las siguientes variables aleatorias:

X1 : número de veces que ocurre el resultado 3 en los primeros 5 lanzamientos.

X 2 : número de veces que ocurre el resultado 3 en los segundos 5 lanzamientos

X 3 : número de veces que ocurre el resultado 3 en los terceros 5 lanzamientos. Calcule las siguientes probabilidades:

a) P X( )3 4 .

b) P X X( )1 2 3 .

c) P X X X( )1 2 3 6 .

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6. Los mensajes que llegan a una computadora utilizada como servidor lo hacen de acuerdo con una distribución Poisson con una tasa promedio de 10 mensajes por hora. Determine el intervalo de tiempo necesario para que la probabilidad de que no llegue ningún mensaje durante ese lapso sea 0.90.

7. El número de fallas de un determinado panel de plástico, es una variable aleatoria con una distribución

Poisson que tiene una media de 0,02 fallas por panel. a) Si se examinan 50 paneles, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de ellos tenga fallas? b) Si se examinan 50 paneles, ¿cuál es la probabilidad de que el número de paneles que tienen dos o más

fallas sea menor o igual que dos?

8. Supóngase que un libro de 585 páginas contiene en total 43 errores tipográficos, los cuales están distribuidos aleatoriamente a través del libro

¿ Cuál es la probabilidad de que 10 páginas seleccionadas al azar estén libres de errores?. HINT. asuma que la v.a. X= Nº de errores por página tiene distribución Poisson. 9. Supóngase que Xt , el número de partículas emitidas en t horas por una fuente radioactiva, tiene una

distribución de Poisson con parámetro 20t. Calcule La Probabilidad de que exactamente 5 partículas sean emitidas durante un período de 15 minutos. 10. En una fábrica el proceso de accidentabilidad se puede representar como una distribución asociada al modelo

Poisson con un promedio de 2 accidentes por semana.

¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo entre un accidente y el siguiente sea mayor a tres días ?.

11. Una empresa mantiene un sitio web que presenta ciertos problemas y que desea superar. Para ello, estudia la variable aleatoria:

X: Nº de visitas al sitio web en 5 minutos. La media histórica del nº de visitas en 5 minutos es 252,6.

a) Determine la probabilidad de que se registre a lo más una visita en un período de 10 segundos. b) Determine la probabilidad de que entre una visita y la siguiente pasen más de 3 segundos. c) Considere 25 períodos de 3 segundos. ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más dos períodos no tengan

visitas?. 12. La tabla siguiente muestra el número de accidentes diarios durante 60 días que ocurren en una determinada

empresa: N accidentes día frecuenciaº /

0 26

1 20

2 9

3 4

4 1

a) Calcule el promedio del número de accidentes por día. b) Calcule la varianza del número de accidentes por día c) Se pide que intente modelar el problema con alguna distribución usual.

13. Suponiendo que la duración de un instrumento electrónico tiene una duración X que se considera como una v.a. con distribución exponencial de parámetro 1. Suponiendo que el costo de fabricación es de US$200 y que el fabricante vende el artículo en US$500, además dada la garantía de que se reembolsará el total del valor si x 0 9, ¿ Cuál es la utilidad esperada por el fabricante ?

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14. Las llamadas telefónicas que recibe una central pueden ser consideradas como un proceso de Poisson con

tasa = 3 llamadas

min.. Calcule:

a) La probabilidad que no se reciban llamadas en 30 seg. b) El promedio de llamadas en 15 seg. c) El tiempo promedio entre dos llamadas sucesivas d) La probabilidad que la cuarta llamada llegue más de 2 minutos después de la tercera. e) El promedio de llamadas sin contestar durante el almuerzo de 30 minutos de la telefonista. f) La probabilidad de que se reciban 2 ó más llamadas entre las 18:00 y 18:02 horas.

NOTA : En el proceso de Poisson el tiempo entre dos llamadas sucesivas es exponencial con el mismo parámetro .

15. La distancia entre 2 grietas en una autopista tiene una distribución exponencial con media de cinco millas.

¿Cuál es la probabilidad de que no haya grietas grandes en un tramo de 10 millas?

a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya dos grietas en un tramo de 10 millas? b) ¿Cuál es la desviación estándar de la distancia entre grietas? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera grieta se encuentre a una distancia entre 12 y 15 millas a

partir del punto de inicio de inspección de la autopista? d) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya grietas en dos tramos de cinco millas separados entre si? e) Dado que no se encuentran grietas en el primer tramo de cinco millas, ¿cuál es la probabilidad de que

no haya en las siguientes 10 millas de la autopista? 16. El tiempo entre las llamadas que recibe la oficina de una corporación tiene una distribución exponencial con

una media de 10 minutos.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de recibir más de tres llamadas en un lapso de media hora? (b) ¿Cuál es la probabilidad de no recibir llamada alguna en un lapso de media hora? (c) Determine x, de modo tal que la probabilidad de no recibir llamada alguna en x horas sea 0.01 (d) ¿Cuál es la probabilidad de no recibir llamada alguna en un lapso de dos horas? (e) Si se escogen cuatro intervalos de media hora que no se traslapan entre sí, ¿cuál es la probabilidad de

que en ninguno de ellos se reciba llamada alguna? (f) Explique la relación que existe entre los resultados de los incisos a ) y b).

17. Un inversionista tiene dos alternativas de inversión. El retorno de cada una de las alternativas es incierto y se le puede asignar una distribución de probabilidades Normal. Para la primera inversión el retorno esperado es 10,4 y la desviación estándar es 1,2 , mientras que para la segunda alternativa el retorno esperado es 11,0 y la desviación estándar es 4,0.

a) ¿ Cuál de las dos alternativas tiene una mayor probabilidad de un retorno superior al 10% ? b) ¿ Cuál es la probabilidad de que en 5 de 10 oportunidades tenga un retorno superior al 10% con la mejor de

las alternativas ?. 18. Una grúa horquilla que estiba cajas de fruta de exportación en el Puerto de Valparaíso tiene una capacidad

máxima de 3.000 Kgs. o un pallets equivalente a 120 cajas. Específicamente las frutas que se exportan son en un 50% Manzanas en un 30% Peras y en un 20% Kiwis. Se sabe además que los pesos de las cajas de fruta son variables aleatorias normales con medias y varianzas de acuerdo a la siguiente tabla:

Fruta Manzana Pera Kiwi

Media

Varianza

( )

( ) . .

26 25 24

12 25 16 20 252

Al estar cargando un pallet con una de estas frutas la grúa se para por exceso de carga

¿ Cuál es la probabilidad que la fruta de este cargamento sea de Manzanas ?.

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19. Una empresa formada por 61 trabajadores esta subdividida en tres niveles de remuneraciones:

Operario, empleado y directivo ; donde en cada caso las remuneraciones de cada empleado independientemente siguen un modelo normal según los parámetros indicados en al siguiente tabla

936

308100$

797300$

2

2

2

nn

M

M

TotalDirectivosEmpleadosOperariosParámetros

i

i

i

Además se conocen las siguientes probabilidades:

a) La probabilidad que la remuneración Total supere los M$ 30.000 es igual a 2.62 %.

b) La probabilidad que la remuneración promedio de todos los trabajadores no supere los M$ 500 es

igual a 98.5%.

Se pide encontrar: La media 2 y la desviación estándar 2

20. Una empresa de servicios financieros tiene 40 sucursales de similar tamaño a través del país. Cada sucursal

tiene ventas anuales que constituyen una variable aleatoria de media 30.000 UF. , con una desviación estándar de 5.000 UF.

a) ¿Qué distribución aproximada tienen las ventas totales anuales de la empresa?. b) Calcule aproximadamente la probabilidad que las ventas anuales superen las 1.250.000 UF. c) ¿Qué nivel de ventas anuales totales sería superable con probabilidad 0.95?. d) Es muy deseable que cada sucursal tenga ventas anuales superiores a 38.000 UF. Se dice que en ese caso

dicha sucursal tiene un “buen año”. Determine el valor esperado del número de sucursales que tienen un buen año.

e) ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que 3 ó más sucursales tengan un buen año? f) Si se seleccionan sucursales para un estudio. ¿Cuál es la probabilidad de que la cuarta sucursal seleccionada

sea la primera en haber tenido un buen año? 21. La demanda anual “X”, [miles], de un artículo, que enfrenta una firma, puede considerarse una v.a.

normal con valor esperado 45 y desviación estándar σ a) ¿Cuál es el valor de la desviación estándar sabiendo que la probabilidad de que en un año la firma venda

más de 50.000 unidades es igual a 0.1587? b) ¿Cuántos artículos debe producirse para que la: P( que la demanda supere la oferta sea) = 3 % ? c) Suponga que la ganancia por artículo es US$ 10 y el costo fijo es US$ 300.000 al año. Determine la

distribución de probabilidades del beneficio y la probabilidad que éste se ubique entre los 180.000 y 250.000 dólares en un año.

22. El tiempo que un alumno se demora en las tardes para llegar al Campus San Joaquín de la UC es realmente

preocupante, un grupo de alumnos de IC que viven en el mismo sector saben que dicho tiempo se puede modelar con una distribución de probabilidades Exponencial de parámetro . . Además ellos saben que la probabilidad que el tiempo promedio durante 36 días sea mayor a 27 min es igual a 31.56 %.

a) ¿ Cuál es el Tiempo Esperado para llegar al Campus para éste grupo de alumnos ? b) ¿ Cuál es la Varianza del Tiempo para llegar al Campus para el mismo grupo de alumnos ? c) ¿ Cuál es la probabilidad que durante los próximos 30 días el Tiempo promedio este comprendido entre 24

y 26 minutos ?

23. Se toman 2 muestras independientes de tamaño 40 y 50 de una v.a. cuya media es 20 y cuya varianza es 25. ¿ Cuál es la probabilidad que el promedio de las dos muestras se diferencie (en valor absoluto) en más de 0.6 ?.

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24. Una compañía de televisión por cable desea estimar la proporción de sus clientes que comprarán una

revista con los programas de TV. La compañía desea tener una probabilidad del 95% de que su estimación será correcta en 0.05 puntos, respecto de la proporción real.

¿ Qué tamaño de muestra se necesita si a) Por experiencias anteriores en otros lugares similares se sabe que el 30% compra la revista ?. b) La información dada en a) no existe?

25. El dueño de una tienda de discos ha comprobado que el 20% de los clientes que entran a su tienda realizan

alguna compra. Cierta mañana entraron a la tienda 180 personas, que pueden ser consideradas como una m.a.s. de todos sus clientes.

a) ¿Cuál será la media de la proporción muestral de clientes que realizaron alguna compra? b) ¿Cuál es la varianza de la proporción muestral? c) ¿Cuál es el error estándar de la proporción muestral? d) ¿Cuál es la probabilidad que la proporción muestral sea menor a 0.15?

26. Se tiene una máquina de llenado de cereales en cajas de 500 gramos. Supóngase que la cantidad de cereal

que se coloca en cada caja es una v.a. N( 500, 400). Para verificar que el peso promedio en cada caja se mantiene, se toma una m.a. de 25 cajas en forma periódica y se pesa su contenido. El gerente de producción ha decidido detener el proceso toda vez que el peso promedio en la muestra exceda 510 gramos o sea inferior a 490 gramos ¿ Cuál es la probabilidad de detener el proceso?

27. Según el último Censo (abril 2002), el número promedio de personas por vivienda en el Gran Santiago es

3,66. Suponga que la varianza de la variable anterior es 5,00.

a) Se seleccionan al azar 144 viviendas del Gran Santiago. ¿Cuál es la distribución de probabilidad del promedio de personas en la muestra?

b) Calcule la probabilidad que el Nº promedio de personas en la muestra se encuentre entre 3,29 y 4,03. c) Suponga que la selección planteada en a) se repite 600 veces. ¿En cuántos de los 600 ensayos, seria

razonable esperar, que el número total de personas en los 144 viviendas de cada muestra se ubique entre 474 y 580 personas?

d) Si se seleccionan los 144 hogares y resulta un promedio de 4,04 personas por hogar. Un estadístico considera improbable la cifra anterior y deduce que o bien el promedio actual de la población es mayor que en abril de 2002 o bien que en la encuesta se tendió a omitir los hogares pequeños. ¿Qué opina Ud., cuál puede ser una tercera causa para un promedio tan inusual?

28. Al sumar números, un computador aproxima cada número al entero mas cercano. Supongamos que todos los

errores de aproximación son independientes y distribuidos uniformemente en el intervalo ( -0,5 ; +0,5). a) Si se suman 1.500 números. ¿Cuál es la probabilidad que la magnitud del error total exceda 15? b) ¿Cuántos números pueden sumarse juntos a fin que la magnitud del error total sea menor que 10 con

probabilidad 0,90? NOTA: Esta guía pretende hacer recordar al alumno los modelos:

Bernoulli; Binomial; Poisson; Exponencial; Normal ; Uniforme.

Debemos recordar al alumno que estos modelos serán comúnmente utilizados durante el transcurso de este curso, por lo cual deberán saber para cada uno de ellos:

La función densidad de probabilidad, Los parámetros correspondientes El valor Esperado, La varianza La Función distribución de probabilidad acumulada, usando tabla o con la fórmula

correspondiente.