Guía de Ejercicios Esfuerzos y Mohr-Coulomb-preguntas

7/25/2019 Gua de Ejercicios Esfuerzos y Mohr-Coulomb-preguntas

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MIN 242Mecnica de Rocas

Departamento de Ingeniera de Minas

Universidad Tcnica Federico Santa Mara

Gua de ejercicios

Clculo de esfuerzos y crculo de Mohr

1)

Se define una matriz de rotacin [R] como:

[]=

Se define (y se puede demostrar) que la rotacin de una matriz [A] viene dado por:

[A*] = [R][A][R]T.

a.

Sea el tensor de esfuerzos []= , encontrar las ecuacionescorrespondientes a la rotacin de las componentes de cada esfuerzo.

Resp:

= 2 + 2 + 2

=2 2 + 2

=(+ ) + 2 2= 12 ( )2+ 2

b. Considerando la condicin que debe cumplir el tensor asociado a los

esfuerzos principales, a qu ngulo se encuentra el plano que contiene los

esfuerzos principales?

Resp:

2= 2

c. En qu plano se encontrara el mximo esfuerzo de corte?

Resp:

tan2= 2

d. Qu relacin existe entre los planos de esfuerzo de corte mximo y el de los

esfuerzos principales?, Cul es su significado fsico?

Resp:

tan(2) = 1

tan2

2) Dado el siguiente tensor de esfuerzos:


2/4




[]= 20 1010 40

Determinar, del crculo de Mohr:a. Centro

Resp: p = 30 MPa

b. Esfuerzos principales.

Resp: 1= 44 y 3= 16

c. Direccin del plano donde actan los esfuerzos principales.

Resp: = 67,5

3) Usted es el Jefe del departamento de geotecnia de una reconocida minera y se

encuentra con la situacin que muestra la imagen, en la cual una importante fallaestructural, sin relleno, se encuentra cercana a un tnel de acceso a la mina.

Recordando sus cursos de mecnica de rocas decide medir el campo de esfuerzos de la

zona, entregndole el siguiente resultado.

z= 30 MPa

EW= 60 MPa

xz= 20 MPa

Analizando el problema en 2D, determinar:

a) Esfuerzos principales y la direccin de estos

Resp: 1= 56,8 MPa y 3= -6 MPa

b) Definir si, dadas las condiciones de esfuerzo, existe algn riesgo en realizar la

excavacin.

Resp: n= 40 MPa; = 10 MPa

c) Determine qu pasara s:

i. Existiera agua

ii. La roca posee una cohesin c = 30 MPa.

d) Calcular la cohesin de la roca

340 / 45

Z

E


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4) Considere el siguiente estado de esfuerzos:

xx= 12 [kN/m2]

yy= 4 [kN/m2]

xy= 3 [kN/m2]

a)Determine el centro y radio del crculo de Mohr que representa el estado de

esfuerzos anterior.

Resp: p = 8 [kPa]; R = 5 [kpa]

b)Determine el ngulo de inclinacin del eje x con respecto al plano de esfuerzosprincipales.

Resp: = 18,4

c)Determine los esfuerzos en un plano rotado 30 (en sentido antihorario) con respecto

al eje de esfuerzos principales.

Resp: n= 7,4 [kPa]; = 5 [kPa]

5) Dados los esfuerzos principales siguientes:

1= 250 [kgf/cm2]

3= 50 [kgf/cm2]

a) Establezca el equilibrio de fuerzas para determinar y en un plano rotado 60 (ensentido antihorario) con respecto a 1.

b) Dibuje el crculo de Mohr y determine grficamente los valores anteriores.

c) Determine y analticamente, expresndolos primero en funcin de los esfuerzosprincipales y luego rtelo un plano 60 (en sentido antihorario) con respecto al plano

de esfuerzos principales.

Resp: n= 100 [Kgf/cm2]; = 86,6 [Kgf/cm

2]

6) Dado el siguiente estado de esfuerzos:


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a. Construya el crculo de Mohr que representa el estado de esfuerzos anterior y a

partir de l, determine la magnitud de los esfuerzos principales (1 y 3) y suinclinacin con respecto al eje x (sistema original). Adems, determine la magnitud

de los esfuerzos normal ny de cizalle en el plano EF (10).

Resp: 1= 8,7 [MPa]; 3= 2,3 [MPa]; = 19,35; n= 8,5 [MPa]; = 1,1 [MPa]

b.

Use las ecuaciones de transformacin de esfuerzos ([*] = [R] [*] [R] T) para

determinar las componentes de esfuerzo en el sistema nuevo (ll y mm) y

comprelos con ny calculados anteriormente.Resp:

5,21,1

1,15,8

mmml

lmll

c. Escriba los esfuerzos principales en funcin de x, y y xy. Determine

analticamente las magnitudes y orientaciones del plano de esfuerzos principales y

comprelos con los valores determinados grficamente en la parte (a).Resp:

1= 1/2 * (xx+ yy) + [1/4 * (xxyy)2+ xy

2)1/2

= 8,7 [MPa]

3= 1/2 * (xx+ yy) - [1/4 * (xxyy)2+ xy

2)1/2

= 2,3 [MPa]

19,3

= -70,7

x= 8 [MPa]

y= 3 [MPa]

xy= 2 [MPa]

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