GUÍA DE EJRCICIOS INGRESO MATEMÁTICA I · Año 2012 – Trabajo Práctico Nº1 1 ... Resuelva las...

UNLPam UNLPam UNLPam UNLPam –––– Facultad de Agronomía Facultad de Agronomía Facultad de Agronomía Facultad de Agronomía

Licenciatura en Administración de Negocios Licenciatura en Administración de Negocios Licenciatura en Administración de Negocios Licenciatura en Administración de Negocios

AgropecuariosAgropecuariosAgropecuariosAgropecuarios

GUÍA DE EJRCICIOS INGRESO

MATEMÁTICA I Año 20Año 20Año 20Año 2011112222

Responsables:Responsables:Responsables:Responsables: Lic. Mariana Leticia Paisel DistelLic. Mariana Leticia Paisel DistelLic. Mariana Leticia Paisel DistelLic. Mariana Leticia Paisel Distel

Prof. Lorena CaveroProf. Lorena CaveroProf. Lorena CaveroProf. Lorena Cavero

Universidad Nacional de La Pampa Facultad de Agronomía

Licenciatura en Administración de Negocios Agropecuarios

A las alumnas y los alumnos que ingresan ingresan ingresan ingresan en el año 2012201220122012 a la LicenciaturaLicenciaturaLicenciaturaLicenciatura

en Administración de Negocios Agropecuariosen Administración de Negocios Agropecuariosen Administración de Negocios Agropecuariosen Administración de Negocios Agropecuarios:

Cuando se inicia una etapa tan importante en la vida de una persona como lo es el comienzo de una carrera universitaria, surge un conjunto de situaciones nuevas a enfrentar. No todas tienen el mismo impacto en cada estudiante.

Desde la Cátedra de Matemática I Cátedra de Matemática I Cátedra de Matemática I Cátedra de Matemática I pretendemos ayudarlos para iniciar el

ciclo académico con ciertos conocimientos básicos, que van a permitir abordar los nuevos conocimientos con mayor seguridad y menor preocupación. Esa es nuestra primera y más importante colaboración para que las situaciones nuevas sean desafíos interesantes y no obstáculos insalvables.

A continuación, les presentamos trabajos prácticos sobre temas que están incluidos en la currícula del polimodal o del secundario, que deberán saber resolver al comenzar las clases. Van acompañados de su solución, para que puedan comprobar la marcha de su proceso de revisión de conocimientos o aprendizaje de los que no hubieran adquirido anteriormente.

Posiblemente, durante las dos semanas anteriores al inicio del primer

cuatrimestre desarrollaremos una actividad optativa en la que analizaremos estos contenidos y ustedes podrán experimentar la forma en la que trabajaremos luego a lo largo del cuatrimestre. La modalidad de esta actividad es semipresencial y, recordamos, de carácter optativo.

En el transcurso de la primera semana del dictado de la asignatura Matemática I, se hará una somera revisión de los mismos. Pueden usar los textos con los que hayan trabajado en clase o los disponibles en la biblioteca de cada colegio.

Los temas comprendidos en este material serán evaluados oportunamente y esa evaluación se considerará para la aprobación de la asignatura.

Como recomendaciones podemos decir que no busquen soluciones memorísticas (que suelen tener corta vida), que se acostumbren a dejar constancia de todos los procedimientos realizados para responder a una consigna (lo que no queda claro cómo se hizo, se tiene por no realizado) y que tengan confianza en sus capacidades (que sin dudas las tienen).

Desde la cátedra estamos preparadas para ayudarlos si lo necesitan. Tengan confianza, trabajen y anímense a solicitar ayuda. Pueden comunicarse con el equipo docente a través del correo electrónico a:

[email protected]



o pueden encontrar un lugar para mantener la comunicación entre cada clase presencial, por consultas o para acceder a los materiales de estudio de la materia en la plataforma virtual de enseñanza-aprendizaje MoodleMoodleMoodleMoodle.

Para registrarse como usuario es necesario ingresar a

http://www.agro.unlpam.edu.ar/moodle/ y seguir los pasos que allí se detallan.



Matemática I – U1 Año 2012 – Trabajo Práctico Nº1

1

TRABAJO PRTRABAJO PRTRABAJO PRTRABAJO PRÁCTICO Nº1ÁCTICO Nº1ÁCTICO Nº1ÁCTICO Nº1 1- Ordene de menor a mayor los elementos del subconjunto de números reales que se presenta, luego grafíquelos sobre la recta real.

� a)

−−

37

;4,1;0;7;3;32

b)

−−−−−−− 1;

35

;43

;0;10;5;47

;2;32

;7;5;21;3;2

c)

−−−− π

21

;26,1;23

;421

;4;9;3;3;2;8;π;3

11 3

2.- Teniendo en cuenta que 31

p −= , ordene las siguientes expresiones de mayor a

menor 2p ( )p−− 2p�2− 3p ( )2p−−

3.- Indique cuáles de los siguientes números reales son racionales y cuáles no.

a) 0,222… b) 0,547

c) 0,365365365… � d) 2

33 +

� e) 54− f) π

g) 3 h) 6,27777…

� i) 3,0)

j) 23

� k) 8,185 � l) 62,33)

m) 1,6180339887… n) 5,14444…

o) 121

� p) 21

4.- A los números que haya clasificado como racionales en el ejercicio anterior, expréselos como fracción.

5.- Indique si cada una de las siguientes proposiciones es verdadera o falsa. Si la respuesta es la última opción, justifíquela.

a) -7 es un entero � b) -3 es un número natural � c) 4273 + es irracional � d) 5 es racional

e) π es un número real f) 43 − es racional 6.- Inserte en los espacios vacíos el símbolo ∈ o ∉ de forma tal que los enunciados sean correctos.

a) 15 ..…… N � b) 1,41421 ..… I

c) -3 ..…… Z � d) π ..… Q




2

� e) 0 ..…… Q f) 2008 ..… Z

g) 73 ..…… R h) -5 ..… I

7.- Inserte en los espacios vacíos el símbolo ⊂ o ⊄ de forma tal que los enunciados

sean correctos.

� a) Z ..…… R � b) {0} ..… N

c) I ..…… R � d)

732,1;

31

;0 ..… Q

e) N ..…… Q � f) Q ..… I

g) Q ..…… R � h) { }3;0;3− ..… I

8.- Resuelva las operaciones planteadas.

a) QIR � b) QU I � c) ZUN d) IIZ

e) IIR f) QUR � g) IIQ h) ZIN

Dado S, definir SIN; SIZ; SIQ y SI I.

i) S={12; 35

; 7 ; 0; -38; - 2 ; 571; π; 101− ; 0,666…; 16,34}

� j) S={41− ; 26; 3 ; 3; - 9 ; -0,333…; -6214; π.

21

; 74

; 1}

9.- Si una fracción se hace 10 veces más grande se convierte en 20

120, ¿cuál es la

fracción?

� 10.- Si 52

a = y 159

b = , entonces ¿a cuánto equivale b1a2 +− ?

11.- Si a un número lo multiplicamos por 21

, luego lo dividimos por 3,0)

y por

ultimo le sumamos 41

, obtenemos 3,25. ¿Cuál es el número?

� 12.- Si en un curso, inicialmente de 40 alumnos, los 85

son mujeres, y a mediados

de año ingresan 5 mujeres más, ¿cuál será la fracción de varones del total de alumnos del curso?

13.- Complete las siguientes frases:

� a) El 20% de 100 es… � b) El …% de 180 es 49. � c) El 160% de 715 es … d) 197 es el 50% de …

e) El 15% de … es 108. f) 196 es el …% de 108. g) El 145% de … es 1310. h) 975 es el …% de 250. i) … es el 71% de 673. � j) … es el 108% de 108.




3

14.- Grafique cada uno de los conjuntos siguientes sobre la recta numérica real y anótelo como intervalo.

a) { }2x^Rxx >∈ � b) { }4x4^Rx

x ≤<−∈

� c) { }8x^Rxx ≤∈ d) { }9x3^Rx

x <<∈

� e) { }12xy2x^Rxx ≤−>∈ f) { }4xbieno4x^Rx

x >−≤∈

g) { } { }12x^Rxx2x^Rx

x <∈∩>∈ � h) { } { }6x^Rxx3x^Rx

x >∈∪<∈

15.- Marque en la recta real los intervalos que se dan a continuación y escríbalos usando notación para conjuntos y signos de desigualdad.

a) (2; 7) � b) [-3; 5]

� c) (-5; 4] d) [3; ∞)

� e) (-5;5) f) (-4; ∞)

g) [-8; 3) h) (-∞; -2]

i) [ );5,8)9;8( ∞∩ � j) ] [ ]7;33;( ∪−∞

16.- Escriba el número sin utilizar los exponentes.

a) ( )32− � b) 0

3,134

−)

� c) 2

41 −

− d) ( ) 23,0 −−

� e) 2

2

32

3

−−− − � f) 94

53

2.22.2

� g) ( ) 132

)25,0(4:41 −−

−

−−

− h) 2

5

22

55.5

−

−

−−

17.- Realice la operación indicada y escriba la respuesta sólo con exponentes positivos y de la forma más sencilla posible.

� a) 35

31

3.3 b) 4

1

45

3

3−

−

� c) 3

12

3

32

21

3.2

3.2−

−

� d) ( )2

31

3

−

e) 51

42

x.x − � f) 2

37

xx

−

g) 3

2

6

3

x.27x

−

−

− � h)

4

n.25

n

rr

−

i) 32

xx1

x

− � j) 2

32

31

1y.y.3

−




4

18.- Simplifique la expresión, escribiendo las respuestas con factores que no repitan la base y sólo con exponentes positivos.

a) 32

234

cab

cba b) 4

2

10�210�008,0−

−

c) 38 d) ( )

( )232

3122

v.u.3

v.u.2−

−−

� e) ( )( )4

32

x.2x.4.x.3

f)

12

21

22

b.a.3b.a

−

−

−−

g) ( )332 v.4.v.u.21

− � h) uvvu 11

−− −−

i) ( ) ( )21231 s.3.r.2 −−− j) 4

2 yx

+

k) 3

5 4x9

� l) 61021

19.- Resuelva aplicando propiedades (sin usar calculadora):

� a) =++ −−− 434 222 � b) =

186 33 2.8

c) ( )( ) =−+ 12.12 � d) =

−−

− −

−

3

2

21

2

3121

3

e) =

+

−

−−

31

1.21

.32

21 1

f) =−−

++−43

321

187

12

3

20.- Calcule aplicando la definición de logaritmo:

a) =9log9 b) =1log3

� c) =xlog3 x � d) =

271

�31

log3

e) =1000log � f) =3

21 2log

g) =125,0log2 � h) =9log 3

21.- Halle el valor de la incógnita aplicando la definición y las propiedades del logaritmo. � a) ( ) 3plog −= � b) 7)128(logb =

c) ( ) k125log5 = � d) m)3(log81 =

e) x)4(log 72 = � f) ( ) 13

d 35log −=

g) x3

)1(log)1000log( 12 =− � h) ( ) 2)ylog(3log.2log 3 4

32 −=−




5

22.- Exprese mediante un solo logaritmo: a) =− 9log5log aa b) =+ 4log10log aa

� c) ( ) =−+ 12log4log3log21

aaa � d) =−+ 9log4�log38�log5 aaa

e) =−+ clogblogalog kkk � f) ( ) =+++ mlogmlog2logblog�31

mmmm

23.- Resuelva las siguientes ecuaciones e inecuaciones, y grafique las soluciones halladas:

a) 10x45x +=− b) 05x

x4x5 2=

−+−

� c) 2x6

x23

2x −=−−+ � d) 2p.34 =+

e) x420x10x2 2 −=− � f) 2x.31 >−

� g) ( ) 43y2y ≥−+ � h) 11t.4 <−

� i) 6y3x12 =+ j) ( ) 089x54 =−+

� k) x13y2x7 +−>−+ l) 021

x.4 ≥−−

24.- Pase los siguientes enunciados al lenguaje matemático y resuélvalos, encontrando el valor del/de los número/s en cuestión. a) Un número más el siguiente de dicho número es igual al anterior del primer

número más seis. b) La mitad de un número aumentada en un 15% es igual a 2,3. c) Un número más el anterior a dicho número es igual al siguiente de dicho

número más seis. d) El 20% de un número natural es igual al 30% de su anterior. e) La suma de dos números consecutivos es 139. f) Si a un número le restamos su tercera parte, y luego restamos nuevamente el

25% de lo que quedaba, obtenemos como resultado 7. 25.- Una con flechas cada enunciado con la expresión simbólica que le corresponde:

Un número x El doble de dicho número x2 -1

La mitad de ese número 2.x El doble del siguiente de dicho número 2.x + 1 El siguiente del doble de dicho número (x – 1)2

El anterior al doble de dicho número 2.(x + 1) El cuadrado del anterior a dicho número x/2 El anterior al cuadrado de dicho número 2.x – 1

� 26.- El Balance General de una empresa, se puede resumir en una ecuación patrimonial que agrupa las principales clases de cuentas según su naturaleza. Su expresión es la siguiente ACTIVO = PASIVO + PATRIMONIO NETO, siendo PATRIMONIO NETO = CAPITAL + RESULTADO DEL EJERCICIO




6

Encuentre para cada columna de la siguiente tabla los valores correspondientes a las “x” y en el caso que se trate de RESULTADO DEL EJERCICIO tenga especial consideración con el signo e interprételo.

ACTIVO 189.560 x 313.050 35.423.879 PASIVO 101.300 1.325.874 185.320 21.894.500

PAT. NETO x x 75.412 CAPITAL 502.300 67.850 x 83.214

RES.del EJERC -12.760 x 6.890.215 X

27.- En una empresa agropecuaria están controlando los registros contables de las operaciones realizadas con el BLP durante una semana. Al final de la semana anterior, la empresa disponía en su cuenta de $34,25. En el transcurso de la presente semana se realizaron depósitos y extracciones (a través de cheques entregados a proveedores) según el detalle que se acompaña: depósito 783,25 pago con ch/ 65,36 “ “ 124,36 depósito 240,00 pago con ch/ 12,16 “ “ 654,15

De la información suministrada por el banco, en la cuenta de la empresa hay un saldo en su contra de $12,06. En la empresa, el encargado de los registros, sabe que olvidó registrar una sola operación ¿era un depósito o un pago con cheque y cuál fue su monto?




7

SOLUCIONES DEL SOLUCIONES DEL SOLUCIONES DEL SOLUCIONES DEL TRABAJO PRÁCTICO Nº1TRABAJO PRÁCTICO Nº1TRABAJO PRÁCTICO Nº1TRABAJO PRÁCTICO Nº1

1.- a)

−−

37

;3;32

;0;4,1;7

b)

−−−−−−− 21;5;3;2;

43

;32

;0;1;35

;47

;2;5;7;10

c) { }421;4;3

11;;3;9;2;26,1;2;23;3;8 3

ππ−−−−

2.- 2p ; 3p ; ( )2p−− ; 2p2− ; ( )p−−

3.- a) Es racional b) Es racional c) Es racional

d) No es racional e) Es racional f) No es racional g) No es racional h) Es racional i) Es racional j) No es racional k) Es racional l) Es racional m) No es racional n) Es racional

4.- a) 92

...222,0 = b) 1000547

547,0 = c) 999365

...365365,0 =

e) 52

54 −=− h)

18113

...27777,6 = i) 31

3,0 =)

k) 200

1637185,8 = l)

15499

62,33 =)

n) 90463

...14444,5 =

5.- a) Verdadera.

b) Falsa: los números naturales son 1; 2; 3; …

c) Falsa: 7434273 =+=+ , y I7Q7QN7 ∉→∈→⊂∈ .

d) Verdadera.

e) Verdadera.

f) Falsa: Q43I43I3 ∉−→∈−→∈ .

6.- a) 15 ∈ N b) 1,41421 ∉ I c) -3 ∈ Z d) π ∉ Q e) 0 ∈ Q f) 2008 ∈ Z g) 3/7 ∈ R h) -5 ∉ I

7.- a) Z ⊂ R b) {0} ⊄ N

c) I ⊂ R d)

732,1;

31

;0 ⊂ Q

e) N ⊂ Q f) Q ⊄ I

g) Q ⊂ R h) { }3;0;3− ⊄ I

8.- a) Q b) R

c) Z d) ∅




8

e) I f) R g) ∅ h) N i) { }571;12NS =I

{ }571;38;0;12ZS −=I

−−= 34,16...;666,0;

101

;571;38;0;35

;12QS I

{ }π−= ;2;7IS I

j) { }1;3;26NS =I

{ }1;6214;9;3;26ZS −−=I

−−−= 1;

74

;6214...;333,0;9;3;26;41

QS I

π=

21

;3IS I

9.- La fracción en cuestión es 53

.

10.- 52

b1a2 =+− .

11.- El número es 613

.

12.- La fracción total de varones del total de alumnos del curso es 31

.

13.- a) 20 b) 27,22%

c) 1144 d) 394

e) 16,2 f) 181,481%

g) 903,45 h) 390%

i) 477,83 j) 116,64

14.- a) ( )∞;2 b) ]4;4(−

c) ( ]8;−∞ d) ( )9;3

e) ( ]12;2− f) ( ] ( )∞∪−−∞ ;44;

g) ( ) ( ) ( )12;212;;2 =−∞∩∞ h) ( ) ( ) [ ]6;3R;63; −−=∞∪−−∞

15.- a) { }7x2^Rxx <<∈ b) { }5x3^Rx

x ≤≤−∈

c) { }4x5^Rxx ≤<−∈ d) { }3x^Rx

x >∈

e) { }5x5^Rxx <<−∈ f) { }x4^Rx

x <−∈

g) { }3x8^Rxx <≤−∈ h) { }2x^Rx

x −≤∈

i) { }9x5,8^Rxx <≤∈ j) { }7x^Rx

x <∈

16.- a) 8− b) No se puede resolver.




9

c) 16− d) 9

100

e) 95− f)

321

g) -1028 h) 251

17.- a) 23 b) 31

c) 223

d) 3 232

33 =

e) 10 3103

xx = f) 343 13313

xxxx ==

g) 6x9

h) 20n12r −

i) ( )( )1x1xxxx 224 +−=− j) 31

35

y3y6y3 +−

18.- a) c�b�a b) 52

c) 21

2 d) 52

42

v3u2

⋅⋅

e) x�3�2 f) 82 ba9 ⋅⋅

g) 2

6

uv�2

h) v�u

1

i) 62

22

r�s3�2

j) 224 yyx2x ++

k) 512

56

x�3 l) 21

35

19.- a) 41

b) 262144218 =

c) 1 d) 675124

e) 32

f) 45

20.- a) 1 b) 0

c) 3 d) -4 e) 3 f) -3 g) -3 h) 4

21.- a) 1000

110p 3 == − b) 2b =

c) 3k = d) 41

m =




10

e) 14x = f) 5d =

g) 3x = h) 38

10y =

22.- a) 95

loga b) 40loga

c) 01log12

4�3log a

21

a ==

d) 9

2log

21

a

e) cb�a

logk f) 3 4m m�b�2log

23.- a) 35

x = b) 1x −=

c) 3

14x = d)

32

p;2p −=−=

e) 2x;5x −== f) 1x;31

x >−<

g) 3

10y ≥ h)

21

t0 <<

i) x42y −= j) 57

x −=

k) 1x3y +−> l) Rx ∈

24.- a) El número en cuestión es el 4.

b) El número en cuestión es nuevamente el 4. c) El número es 8. d) El número natural buscado es 3. e) Los dos números son 69 y 70. f) El número es el 14.

25.- Un número x El doble de dicho número 2x La mitad de ese número x/2 El doble del siguiente de dicho número 2.(x + 1) El siguiente del doble de dicho número 2.x + 1 El anterior al doble de dicho número 2.x – 1 El cuadrado del anterior a dicho número (x – 1)2 El anterior al cuadrado de dicho número x2 -1

26.- ACTIVO 189.560 1.815.4141.815.4141.815.4141.815.414 313.050 35.423.879 PASIVO 101.300 1.325.874 185.320 21.894.500 PAT. NETO 88.88.88.88.260260260260 489.540489.540489.540489.540 75.412 CAPITAL 502.300 67.850 6.639.1646.639.1646.639.1646.639.164 83.214 RES.del EJERC -12.760 59.88059.88059.88059.880 6.890.215 ----7.8027.8027.8027.802

27.- Faltó registrar un pago con cheque por $213,53.




11

TRABAJO PRÁCTICO Nº 3TRABAJO PRÁCTICO Nº 3TRABAJO PRÁCTICO Nº 3TRABAJO PRÁCTICO Nº 3 1.- Dados los conjuntos { }b;aA = y { }3;2;1B = escriba por extensión los siguientes

productos cartesianos: � a) =AxB

b) =2A c) =2B d) Represente en diagramas de Venn y en gráficos cartesianos cada uno de los

productos encontrados anteriormente. 2.- Dados los conjuntos { }24;12;6;3A = y { }12;8;4;3B = , escriba por extensión la relación que se da en cada caso:

a) BA:R1 → , tal que ..."dedivisores"...R1 =

� b) AB:R2 → , tal que ..."dedivisores"...R2 =

c) AA:R3 → , tal que ..."dedivisores"...R3 =

� d) BB:R4 → , tal que ..."dedivisores"...R4 = � 3.- Considere los conjuntos { }4;3;2;1;0A = y { }10;8;6;4;2B = . Si se define R: A→B

mediante la desigualdad x.2y ≤ , donde By,Ax ∈∈ , escriba la relación como conjunto de

pares ordenados (x; y), y determine el dominio y la imagen. Represente mediante diagramas de Venn y en ejes cartesianos. 4.- Cada una de las siguientes relaciones se encuentran definidas de A en A, siendo

{ }e;d;c;b;aA = .

i) Indique cuáles son funciones y en las que no lo sean justifique la respuesta. ii) Clasifique las que son funciones en: inyectivas, sobreyectivas o biyectivas. iii) Halle en cada caso la relación inversa y diga si es o no función.

� a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }d;e;d;d;b;c;a;b;a;aR1 =

b) ( ) ( ) ( ) ( ){ }e;d;e;c;e;b;e;aR2 =

� c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }a;e,e;a;d;c;c;b;b;aR3 =

� d)

e)

� f)

g)




12

h)

� i)

� j)

k)

5.- Dados los conjuntos { }6;5;3;2;1A = y { }12;10;9;6;5B =

a) Definir la relación ( ){ }12yx/y;xR <+= con x en A, e y en B.

b) La relación definida en el apartado a), ¿es función? ¿Por qué?

6.- Dados los conjuntos { }3;0;1;2A −−= y { }6;5;2;1B =

a) Defina el producto cartesiano de .AB × b) Se define la relación AB:R → dada por la desigualdad 3yx >− , con .Ay,Bx ∈∈

Escriba la relación como conjunto de pares ordenados. c) Indique dominio e imagen de la relación anterior. d) Halle la relación inversa.

7.- Dados los conjuntos { }5;4;3;2;1J = y { }64;8;4;2;1D =

a) Escriba por extensión los pares ordenados que pertenezcan a la relación DJ:R → , tal que R = “…es la mitad de…”

b) Indique dominio e imagen. c) Represente mediante diagramas de Venn. d) ¿Es función? En caso afirmativo clasifíquela, en caso negativo justifique.

8.- Halle el dominio de f, siendo:

� a) 5x.3x)x(f 24 +−= b) 4xx3

)x(f−−=

c) 8x)x(f −= d) ( ) 2x9xf −=

� e) 5x)x(f 2 −= f) ( )9x3

1xf 2 −

=

� g) 1x.2

1x4)x(f 2

−+−= � h) 4 x)x(f =

9.- Considere las funciones reales definidas por las fórmulas

x.5x.2)x(f 2 += 3x

1)x(g

+= 6x.2)x(h −=

� a) Determine el dominio de f; g y h.




13

b) Analice, justificando la respuesta, la verdad de las siguientes afirmaciones: i) f(2)=28

ii) g(-3)=0

iii) h(a+3)=2ª

� iv) 1x.5x.2)1x(f 2 −+=−

� v) -5∈Im(f)

vi) 0 ∈ Im(f)

vii) π ∈ Im(h)

� viii) 0 ∈ Im(g)

� ix) -4∈ Im(g)

x) Im(h)=R � 10.- Una agencia de renta de automóviles, los alquila a razón de $100 el día más $1,50 por kilómetro recorrido. Si y es el costo en pesos de alquilar el automóvil por día, y x indica el número de kilómetros recorridos en un día: a) Determine la función y=f(x) que expresa el costo diario de renta de un

automóvil. b) ¿Cuál es f(250)? ¿Qué representa? c) Si se dispone de $1000 ¿Cuántos kilómetros puede recorrer como máximo en un

día? d) Comente el dominio restringido de esta función. � 11.- Por un curso destinado a productores agropecuarios se deben abonar, en total, $2400. Ese importe se reparte en partes iguales entre los asistentes. Sabiendo que el cupo mínimo de asistentes es 4 y el máximo es 20. Realice una tabla de valores para distinta cantidad de asistentes, y grafique.

12.- Sabiendo que una recta puede escribirse con su ecuación: * explícita o polinómica y = ax + b; * segmentaria 1 = x/c + y/d; * implícita o general Ax + By + C = 0

pase cada una de las siguientes, a sus dos expresiones equivalentes cuando ello sea posible:

� a) 1x2y −= b) 06y3x2 =+−

c) 4x5,1y −−= � d) 14y

3x =−+

� e) 01x32y =−+ f) 7x4y −=

g) 8y −= h) 317x −=

� 13.- Grafique las rectas del apartado anterior y encuentre las relaciones de las mismas con los distintos parámetros. 14.- En los enunciados siguientes encuentre una ecuación de la recta que satisfaga las condiciones planteadas:

� a) Pasa por (2; 8) y tiene pendiente 6.

b) Pasa por el origen y tiene pendiente -5.




14

c) Pasa por (-2; 5) y tiene pendiente 41− .

d) Pasa por (-2; 5) y tiene pendiente 41 .

� e) Tiene pendiente 2 y su intersección con el eje y es 3.

f) Tiene pendiente 21− y su intersección con el eje y es -3.

g) Tiene pendiente 0 y su intersección con el eje y es -3.

� h) Es horizontal y pasa por (-3; -2).

i) Es vertical y pasa por (-1; 4).

j) Pasa por (0; 0) y (2; 3).

� k) Pasa por (-6; 1) y (1; -4).

16.- Escriba las ecuaciones de las rectas cuyos gráficos se dan a continuación e

indique la pendiente y los puntos de intersección con los ejes.

� a)

b)

� c)

� d)

e)

f)




15

� 17.- Se ha verificado estadísticamente que si el precio de un bidón de fertilizante es de $200, la demanda es de 18.000 unidades. En cambio, si el precio es de $250, la demanda es de 10.000 unidades. a) Halle la expresión analítica de la función de demanda, suponiendo que es lineal. b) Halle la cantidad de demanda si el precio del fertilizante es de $220 por bidón. c) Grafique la función. Interprete en el gráfico la respuesta del punto anterior.

18.- Una empresa adquirió un vehículo para distribución de los productos que

comercializa en $ 62.000. Si se considera que el mismo estará agotado al finalizar 8 años y que a ese momento su valor residual será nulo, depreciándose linealmente ¿cómo podría expresar el valor que va adquiriendo en los distintos ejercicios? Encuentre la tasa de depreciación anual.

Resuelva el caso anterior, suponiendo que al final de los ocho años, el valor estimado de recupero por venta del vehículo, es de un 20% de su valor de adquisición.

19.- Un consultor de pronósticos se sirve de la ecuación t.20,06,9n += para predecir el número de mujeres entre 35 y 44 años que estarán en la fuerza de trabajo, n es el número de mujeres entre 35 y 44 años que estarán en la fuerza de trabajo (medida en millones) y t indica el tiempo en años a partir de 1991 (t=0 corresponde a 1991). a) Grafique la ecuación. b) Identifique la pendiente y la intersección con el eje vertical. c) Interprete el resultado de la pendiente y de la intersección con n. d) Prediga el número de mujeres de este grupo de edad que pertenecerán a la

fuerza de trabajo en el año 2005. ¿Y cuántas serán en el 2015?

20.- La empresa Mariote fabrica linternas de bolsillo con un costo variable de $4 por unidad y un costo fijo mensual de $500. Por problemas técnicos no puede fabricar más de 800 linternas por mes. Exprese la función de costo total mensual y determine su dominio y su imagen. Realice su gráfico.

21.- Para cada par de rectas que se dan a continuación, diga si son paralelas,

perpendiculares o no se da ninguna de las dos situaciones.

a) 3x7y;2x7y −=+= � b) 03yx5;2x5y =−+−+=

� c) x2y;01y2x −==++− d) 01y3x;4yx3 =+−=+

� e) 12yx;3x5y

52

=++=

� f) 1y

3x;010y2x

23

=−

+=+−

g) 030y3x;x310y =−−−= h) 12yx;01y5x2

54

=+=−−−

22.- Determine en cada caso la ecuación de la recta que satisfaga las condiciones

especificadas: a) Que tenga ordenada al origen igual a 4 y sea paralela a la recta xy = .

b) Que tenga ordenada al origen igual a 5− y sea paralela a la recta 5yx =+ .

c) Que pase por ( )3;1P = y sea perpendicular a la gráfica de 4y3x2 =+ .

d) Que pase por ( )4;1 − y sea paralela a la recta 1y2x4 =− .

e) Que sea paralela al eje x y con ordenada al origen en 8 .




16

f) Que pase por ( )1;2P −= y sea perpendicular a la recta que une los puntos ( )4;1

y ( )3;2 .

g) Que represente al eje x. h) Que represente al eje y. � 23.- Demuestre por medio de pendientes que los tres puntos ( )1;3P = ; ( )0;6Q = y

( )4;4R = son los vértices de un triángulo rectángulo.

24.- En una empresa manufacturera se presentan las siguientes ecuaciones relacionadas con su actividad. Costo total = costo variable + costo fijo ⇒ es lo que se gasta para producir lo que se va a vender; Ingreso total= precio por unidad (p)*número de unidades vendidas (q) ⇒ es lo que se percibe por las ventas; Utilidad = Ingreso total – Costo total ⇒ es el resultado (ganancia o pérdida) de las ventas. Si una empresa fabrica un producto para el cual el costo variable por unidad es de $6 y el costo fijo de $80.000 y cada unidad se vende a $10 ¿cuál es el número de unidades que deben venderse para obtener una utilidad de $60.000?

25.- Complete el siguiente cuadro:

Parábola

Coordenadas del vértice

Ecuación del eje de simetría

Raíces

� 2)2x(y +=

� 7x4xy 2 +−=

� )2x)(2x(y −+=

2)1x(2y +−=

x21

y −=

� 2xy 2 +−=

( )( )3x1xy −+=

( ) 13xy 2 −−=

1xy 2 −=

( )22x2y +−=

( )21xy −=

2xy 2 +=

� ( ) 32x21

y 2 −+=

26.- Sabiendo que la ecuación de una parábola puede escribirse en forma:




17

* polinómica cbxaxy 2 ++= ;

* factorizada )xx)(xx(ay 21 −−= ;

* canónica v2

v y)xx(ay +−= ; a) pase a la forma polinómica:

� i) )23

x)(5x(y +−= ii) 3)1x(31

y 2 −−=

iii) 2)2x(52

y += � iv) 1)2x(5y 2 +−=

b) escriba, si es posible, en forma factorizada:

i) 6xxy 2 −+= � ii) 6x5xy 2 −+−=

� iii) 8)3x(2y 2 ++= iv) 3)1x(5,2y 2 −+=

c) exprese en forma canónica:

i) )2x)(1x(y +−= � ii) 5x3xy 2 ++=

� iii) )3x)(1x(2y −+−= iv) 23x12x2y 2 −−−=

27.- Resuelva las ecuaciones obteniendo soluciones exactas.

a) 018x5x2 2 =−+ � b) 04y7y3 2 =+−

� c) 05zz2 =++ d) 2t106t11 =+

e) 8x2x3xx5 22 ++−=− � f) 2

x11

x31x −=−+

� g) ( ) ( )22 3x4x2 +=+ h) ( )x24

x2

x3x2x 22

+−=−−

� i) xa2a15x 22 −= j) ( ) 2xxm6m =− 28.- Teniendo en cuenta los datos dados, halle la ecuación de la función cuadrática correspondiente. Exprésela en forma polinómica. a) Una raíz es 1x −= , pasa por el punto ( )8;1 − y su coeficiente principal es 2.

b) Sus raíces son 2x1 = y 5x2 = , y además pasa por el punto ( )2;3 −

� 29.- Considerando el gráfico. a) Halle una fórmula que describa el área sombreada. b) ¿Qué valores puede tomar la variable x? c) ¿Cuánto vale x cuando el área sombreada es de 132m2?

30.- Al lanzar un proyectil, la altura “y” (expresada en metros) que alcanza el mismo en función del tiempo transcurrido “x” (en segundos) está dada por

yx23

x5 2 =+−

¿Cuándo alcanza la altura máxima? ¿Cuándo es nula? ¿Cuándo asciende y cuándo desciende?

31.- Un mono se encuentra colgado de la rama de un árbol, cuando descubre que en el piso hay una fruta, y decide bajar a buscarla. La fórmula siguiente describe la altura a la que se encuentra el mono en cada momento de su caída: h(t)=7,2-5t2.




18

a) ¿Cuánto tarda el mono en tocar el suelo? b) ¿En qué instante se encuentra a 1m de altura? c) ¿A qué distancia del suelo se encuentra el mono cinco décimas de segundo

después de haberse soltado? � 32.- En una isla se introduce una cantidad de abejas el 1 de marzo. La siguiente función permite calcular la cantidad de abejas que hay en la isla x días después del 1 de marzo: C(x)=-2x2+ 400x+6000. a) ¿Qué día la población de abejas es mayor? b) ¿Cuál es la mayor cantidad de abejas que llega a haber en la isla? c) ¿Cuándo se extinguen las abejas? 33.- La suma de los cuadrados de tres números naturales pares y consecutivos es igual a 200. ¿Cuáles son esos números? � 34.- Halle los dos números pares consecutivos cuyo producto es 728. 35.- La función de oferta para una determinada lámpara de escritorio está dada por 15x5,0x1,0p 2 ++−= , donde x es la cantidad ofrecida (en miles) y p es el precio

unitario. Trace la gráfica de la función de oferta. ¿Cuál es el precio unitario que induce al proveedor a introducir 5000 lámparas en el mercado? 36.- Una compañía de investigación de mercado estima que si en este momento se produce la introducción en el mercado de un nuevo producto agroquímico, el número N de productores agropecuarios que lo utilizarán luego de x meses podrá calcularse

mediante la fórmula ( )x12x9

10N −⋅⋅= , con 12x0 << . Estime el número máximo de

productores que usarán el producto.




19

SOLUCIONES DEL TRABAJO PRÁCTICO Nº3SOLUCIONES DEL TRABAJO PRÁCTICO Nº3SOLUCIONES DEL TRABAJO PRÁCTICO Nº3SOLUCIONES DEL TRABAJO PRÁCTICO Nº3

1.- a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3;b;2;b;1;b;3;a;2;a;1;aAxB =

b) ( ) ( ) ( ) ( ){ }b;b;a;b;b;a;a;aAxA =

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3;3;2;3;1;3;3;2;2;2;1;2;3;1;2;1;1;1BxB =

d)

2.- a) ( ) ( ) ( ) ( ){ }12;12;12;6;12;3;3;3R1 =

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }24;12;12;12;24;8;24;4;12;4;24;3;12;3;6;3;3;3R2 = c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }24;24;24;12;12;12;24;6;12;6,6;6;24;3;12;3;6;3;3;3R3 = d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }12;12;8;8;12;4;8;4;4;4;12;3;3;3R4 =

3.- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }8;4;6;4;4;4;2;4;6;3;4;3;2;3;4;2;2;2;2;1R =

( ) { }4,3;2;1RDom =

( ) { }8;6;4;2RIm =




20

4.- i) a) 1R es función. b) 2R no es función pues e no tiene

imagen.

c) 3R no es función pues a tiene

dos imágenes. d) Es función.

e) Es función. f) No es función pues el elemento d tiene dos imágenes.

g) Es función. h) Es función.

i) No es función pues a tiene dos imágenes.

j) 2R no es función pues e no tiene

imagen. k) Es función.

ii) a) 1R no es inyectiva ni sobre. g) Es biyectiva.

d) No es inyectiva ni sobre. h) Es biyectiva.

e) No es inyectiva ni sobre. k) No es inyectiva ni sobre.

iii) a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }e;d;d;d;c;b;b;a;a;a no

es función. b)

( ) ( ) ( ) ( ){ }d;e;c;e;b;e;a;e no es

función.

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }e;a;a;e;c;d;b;c;a;b es

función. d)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }e;c;d;c;c;c;b;c;a;c no es

función.

e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }e;b;d;c;c;e;b;b;a;c no

es función. f)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }d;c;d;b;e;c;a;c;a;d no es

función.

g) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }e;e;d;c;c;d;b;a;a;b es

función. h)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }e;e;d;d;c;c;b;b;a;a es

función.

i) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }e;e;c;d;d;c;a;b;c;a;b;a

no es función. j)

( ) ( ) ( ) ( ){ }a;e;d;d;e;a;c;b no es

función.

k) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }a;e;c;d;b;c;d;b;a;a no

es función

5.- a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ };5;6;6;5;5;5;6;3;5;3;9;2;6;2;5;2;10;1;9;1;6;1;5;1R =

b) No es función pues varios elementos del dominio tiene más de una imagen.

6.- a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−−−−−−−−

=×6;3;5;3;2;3;1;3;6;0;5;0

;2;0;1;0;6;1;5;1;2;1;1;1;6;2;5;2;2;2;1;2BA

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }6;0;6;1;6;2;5;0;5;1;5;2;2;2R −−−−−=

c) { } { }6;5;2)RIm(0;1;2)R(Dom =−−=

d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0;6;1;6;2;6;0;5;1;5;2;5;2;2R 1 −−−−−=−

7.- a) ( ) ( ) ( ){ }8;4;4;2;2;1R =

b) { } { }8;4;2)RIm(4;2;1)R(Dom ==




21

c)

d) No es función porque hay dos elementos del dominio que no están relacionados con ningún elemento del conjunto de llegada.

8.- a) R b) { }4R −

c) [ )∞;8 d) [ ]3;3−

e) ( )5;5R −− f) { }3;3R −−

g)

2;21 h) R

9.- a) ( ) RfDom = ( ) { }3RgDom −−=

( ) RhDom = b) i) Falso. ii) Falso, pues g(-3) no existe. iii) Verdadero. iv) Falso, pues f(x-1)=2x2+x-3. v) Falso. vi) Verdadero. vii) Verdadero. viii) Falso. ix) Verdadero. x) Verdadero

10.- a) ( ) x5,1100xf += b) ( ) 475250f = , es el costo de recorrer los 250Km. c) Con $1000 se pueden recorrer 600Km. d) El dominio de la función es [ ]k;0 , siendo k la cantidad máxima de kilómetros

que se pueden recorrer en un día.

11.- 4 600 5 480 6 400 7 342,86 8 300 9 266,67

10 240 11 218,18 12 200 13 184,61 14 171,43 15 160 16 150 17 141,18 18 133,33 19 126,32

20 120 200

300

400

500

600

700

Tosto por asistente




22

12.- a) 1x2y:FE −= b) 2x32

y:FE +=

11yx

:FS2

1=

−+ 1

2y

3x

:FS =+−

01yx2:FI =−− 06y3x2:FI =+−

c) 4x5,1y:FE −−= d) 4x34

y:FE −=

14yx

:FS3

8=

−+

− 1

4y

3x

:FS =−

+

08y2x3:FI =++ 012y3x4:FI =−−

e) 1x32

y:FE +−= f) 7x4y:FE −=

11yx

:FS2

3=+ 1

7yx

:FS4

7=

−+

01yx32

:FI =−+ 07yx4:FI =−−

g) 8y:FE −= h) puedeseno:FE

puedeseno:FS puedeseno:FS

08y:FI =+ 017x3:FI =+

14.- a) 4x6y −= b) x5y −=

c) 29

x41

y +−= d) 2

11x

41

y +=

e) 3x2y += f) 3x21y −−=

g) 3y −= h) 2y −=

i) 1x −= j) x23

y =

k) 723

x75

y −−=

16.- a) La recta graficada es 2xy += .

Su pendiente es 1a = , su intersección con el eje de las abscisas es 2x −= y su intersección con el eje de las ordenadas es 2y = .

b) La recta graficada es 4xy +−= . Su pendiente es 1a −= , su intersección con el eje de las abscisas es 4x = y su intersección con el eje de las ordenadas es 4y = .

c) La recta graficada es 2x3y +−= .

Su pendiente es 3a −= , su intersección con el eje de las abscisas es 32

x = y

su intersección con el eje de las ordenadas es 2y = . d) La recta graficada es xy = .

Su pendiente es 1a = , su intersección con el eje de las abscisas es 0x = y su




23

intersección con el eje de las ordenadas es 0y = . e) La recta graficada es 3xy += .

Su pendiente es 1a = , su intersección con el eje de las abscisas es 3x −= y su intersección con el eje de las ordenadas es 3y = .

f) La recta graficada es 2xy += . Su pendiente es 1a = , su intersección con el eje de las abscisas es 2x −= y su intersección con el eje de las ordenadas es 2y = .

17.- a) 50000p160d +−= , siendo d la

demanda y p el precio unitario. b) 14800 bidones.

c)

18.- 62000t7750d +⋅−= , donde d es la depreciación anual y t el tiempo transcurrido en años. La tasa de depreciación anual es del 12,5%.

62000t�6200d +−= , donde d es la depreciación anual y t el tiempo transcurrido en años, suponiendo que al final de los 8 años aún conserva un 20% del valor de adquisición. La tasa de depreciación anual es del 10% en este segundo caso.

19.- a) b) Pendiente=0,2 y la

intersección con el eje de las y es el punto (0; 9,6)

c) Ordenada al origen: valor de n cuando t=0, es decir, millones de mujeres entre 35 y 44 años que están en la fuerza del trabajo en 1991. Pendiente: millones de mujeres entre 35 y 44 años que ingresan a la fuerza del trabajo por año.

0

2

4

6

8

10

12

14

0 5 10 15

tiempo (en años) a partir de 1991

Mill

ones

de

muje

res

entr

e 35 y

44 a

ños

que

per

tenec

en a

la

fuer

za d

el t

rabaj

o

d) a) 200512,4 201514,4




24

20.- x=número de linternas que se fabrican; y=costo.

x4500y +=

( ) [ ]800;0xfDom =

( ) [ ]3200;500xfIm =

21.- a) Son paralelas. b) Son paralelas. c) Son perpendiculares. d) Son perpendiculares. e) No son ni unas ni otras. f) Son paralelas. g) Son perpendiculares. h) No son ni unas ni otras.

22.- a) 4xy += b) 5xy −−=

c) 23

x23

y += d) 6x2y −=

e) 8y = f) 3xy +=

g) 0y = h) 0x =

23.- Las rectas que contienen a los lados son:

2x31

y:PQ +−=

12x2y:QR +−= 8x3y:PR −=

Es un triángulo rectángulo pues la recta PQ es perpendicular a la recta PR.

24.- Deben producirse 35000 unidades.

25.- Parábola Coordenadas del

vértice Ecuación del eje

de simetría Raíces

2)2x(y += ( )0;2− 2x −= -2 raíz doble

7x4xy 2 +−= ( )3;2 2x = No tiene

)2x)(2x(y −+= ( )4;0 − 0x = 2±

2)1x(2y +−= ( )0;1− 1x −= -1 raíz doble

x21

y −= ( )0;0 0x = 0 raíz doble

2xy 2 +−= ( )2;0 0x = 2±

( )( )3x1xy −+= ( )4;1 − 1x = -1 y 3

( ) 13xy 2 −−= ( )1;3 − 3x = 2 y 4

1xy 2 −= ( )1;0 − 0x = 1±




25

( )22x2y +−= ( )0;2− 2x −= 2− raíz doble

( )21xy −= ( )0;1 1x = 1 raíz doble

2xy 2 += ( )2;0 0x = No tiene

( ) 32x21

y 2 −+= ( )3;2 −− 2x −= 62 ±−

26.- a) i) 215

x27

xy 2 −−=

ii) 38

x32

x31

y 2 −−=

iii) 58

x58

x52

y 2 ++=

iv) 21x20x5y 2 +−=

b) i) ( )( )3x2xy +−=

ii) ( )( )3x2xy −−−= iii) No se puede escribir en forma factorizada. iv) ( )( )09,2x09,0x5,2y +−≅

c) i) 49

21

xy2

−

+=

ii) 4

1123

xy2

+

+=

iii) ( ) 81x2y 2 +−−=

iv) ( ) 53x2y 2 −+−=

27.- a) 2x1 = y 29

x2 −= b) 34

x1 = y 1x2 =

c) No tiene solución real. d) 23

x1 = y 52

x2 −=

e) 34

x1 = y 2x2 −= f) 2x1 = y 31

x2 =

g) 1x1 −= y 37

x2 −= h) 1x1 = y 31

x2 =

i) a5x1 −= y a3x2 = j) m3x1 −= y m2x2 =

28.- a) 6x4x2y 2 −−=

b) 10x7xy 2 +−=

29.- a) ( ) 2x4x56xA −= b) La variable x puede tomar valores dentro del intervalo ( )4;0 . c) 3x =

30.- Alcanza la altura máxima a los seg203

.

La altura es nula en 0x = y en seg103

x = . Asciende entre 0seg y seg203

, y




26

desciende entre seg203

y seg103

.

31.- a) Tarda 1,2seg en tocar el suelo.

b) Se encuentra a 1m de altura a los 1,11seg. c) Se encuentra a 5,95m del suelo.

32.- a) La población es mayor el 8 de junio.

b) El número máximo de abejas es 26000. c) Las abejas se extinguen el día 1 de octubre.

33.- Esos números son 6; 8 y 10.

34.- Los números son 26 y 28.

35.- Un precio de $15 por unidad, induce al vendedor a introducir 5000 lámparas en el mercado.

36.- El número máximo de productores que usarán el nuevo agroquímico se estima en 40.

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