a) ¿Cuál es el valor numerico de P(x) para x=1;-1;2;-2?

P(X)= x3-3x2-6x+8=

-

P(1)= (1)3-3(1)2-6(1)+8= 0

p(-1)= (-1)3-3(-1)2-6(-1)+8= 10

P(2)= (2)3-3(2)2-6(2)+8= -8

P(-2)= (-2)3-3(-2)2-6(-2)+8= 0

X= 1 y x = -2 son raices o ceros de polinomios p()

p(x). Por lo que reafierma el concepto de raices de polinomios.

1) Q(x)= x4-5x2+4

Q(x)= x4+0x3-5x2+0x+4

x= 4; -4 ; 2; -2

1 0 -5 0 4

2 2 4 -2 -4

1 2 -1 -2 0

Guia de Estudio: Raices de Polinomios

Un numero "a" se dice que es una raiz del polinomio p(x), si el valor numerico de p(x) para x=a es cero (0), es decir , "a " es

una raiz de p(x) si y solo si p(a)=0

Un polinomio es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o

desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de

suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos.

Ejemplo

Ejercicios

se deben buscar los numeros divisibles entre el numero independiente, en este caso es el numero 4.

Utilizamos la regla de ruffini para calcular las posibles raices o ceros del polinomio.

Se utilizan los coheficientes del polinomio

x=2 (x-2)

Q(x)= x3+2x2-1x-2

x= 2;-2;1;-1

1 2 -1 -2

-2 -2 0 -2

1 0 -1 0

Q(x)= x2+0x-1

x2=

Resultado: P(x)

2) S(x)= 2x3-7x2+8x-3

x= 3;-3;1;-1 x = ±3/2 ; ±1/2

x= 2;-2;1;-1

2 -7 8 -3

X= 1 = (X - 1)

1 2 -5 3

2 -5 3 0

S(X)= 2x2-4x+22-5x +3

x1 : 5-1/4 = 4/4 = 1 x2 : 5+1/4= 6/4= 3/2

x = 1 = (x-1)

x = 3/2 = (x-3/2)

Resultado: 2x3-7x2+8x-3 3= (x-1).(x-1).(x-3/2)

Este sera el nuevo polinomio, pero con un grado menos a la expresion original

buscamos numeros divisibles del nuevo termino independiente.

Aplicamos ecuacion de segundo grado:

�=(−�±√(�^2−4��))/2�

�=(−0±√(0^2−4(1)(−1)))/(2(1)) x= (±√4)/2

�1=2/2 (−2)/2 = -1

x= -2 (x+2)

x=1 (x-1) x= -1 (x+1)

x4-5x2+4 (x-2) (x+2) (x-1) (x+1)

�=(−�±√(�^2−4��))/2�

�=(−(−5)±√(〖(−5)〗^2−4(2)(3)))/(2.2) �=(5±√(25−24))/4

a=1

b=0

c=-1

a=2

b=-5

c=3

3) P(x)= 2x4 + x3 - 8x2 - x + 6

x = ±6; ±3; ±2; ±1 x= ±3/2; ±1/2

x = ±2;±1

2 1 -8 -1 6

x=-2 = (x+2)

-2 -4 6 4 -6

2 -3 -2 3 0

x= 1 = (x-1)

1 2 -1 -3

2 -1 -3 0

x= 3/2 = (x-3/2)

3

2 3 3

2 2 0

x= -1 = (x+1)

-1 -2

2 0

Resultado: P(x)= 2x4 + x3 - 8x2 - x + 6 6 = (x+2).(x-1).(x-3/2).(x+1)

4) E(x) = x4 + x3 - 11x2 - 9x + 18

x= ±18; ±9; ±6; ±3; ±2; ±1

1 1 -11 -9 18

x= 3 = (x-3)

3 3 12 3 -18

1 4 1 -6 0

x = -3 = (x+3)

-3 -3 -3 6

1 1 -2 0

E(x) = x2 + x - 2

En este ejercicio aplicaremos el caso 2. Se buscan los numeros divisibles del termino idependientes y del

coheficiente del primer termino. Si al calcular las posibles raices o ceros del pòlinomio a traves de la regla de

ruffini, no da 0, se debera utilizar raices fraccionarias.

Aplicamos ecuacion de segundo grado:

�=(−�±√(�^2−4��))/2� �=(−1)±√(〖(1)〗^2−4(1)(-2)))/(2.1)

�=(-1±√(1+8))/2

x1= -1 + 3/2 = 2/2 = 1 x2= -1 - 3 / 2 = -4/2 = -2

x= 1 = (x-1)

x=-2 = (x+2)

Resultado: E(x) = x4 + x3 - 11x2 - 9x + 18 : (x-3). (x+3). (x-1). (x+2)

5) A(x) = 2x4 - x3 - 15x2 + 23x + 15

x= ±15; ±5; ±1 ±3; ±1 x= ±15/2; ±5/2; ±1/2

x= ±2; ±1

2 -1 -15 23 15

x = -1/2 = (x + 1/2)

-1

2 -1 1 7 -15

2 -2 -14 30 0

x = -3 = (x + 3)

-3 -6 24 -30

2 -8 10 0

A(x)= 2x2 - 8x + 10

x1= 8 + 4i / 4 x2= 8 - 4i / 4

x1= 8/4 + 4i / 4 = 2 + i x2= 8/4 - 4i/4 = 2 - i

x= 2 + i = [x- (2-i)]

x= 2 - i = [x - (2+i)]

Resultado: A(x) = 2x4 - x3 - 15x2 + 23x + 15= (x + 1/2) . (x+3) . [x -(2-i)] . [x-(2+i)]

a=1

b=1

c=-2

�=(−�±√(�^2−4��))/2� �=(−1)±√(〖(1)〗^2−4(1)(-2)))/(2.1)

�=(-1±√(1+8))/2

Aplicamos ecuacion de segundo grado: a=2

b=-8

c=10

�=(−�±√(�^2−4��))/2� �=(8)±√(〖(-8)〗^2−4(2)(10)))/(2.2)

�=(8±√(-16)/4 Se coloca "i" debido a que la raiz no

puede ser negativa, e "i" es √-1.

6) E(x)= 15x3 - 31x2 + 0x +4

x= ±4; ±2; ±1 x= ±4/15; ±4/5; ±4/3; ±2/15; ±2/5; ±2/3; ±1/15; ±1/5; ±1/3

x= ±15; ±5; ±3; ±1

15 -31 0 4

x = 2 = (x - 2)

2 30 -2 -4

15 -1 -2 0

x = -1/3 = (x + 1/3)

-1

3 -5 2

15 -6 0

x = 2/5 = (x - 2/5)

2

5 6

15 0

Resultado: E(x)= 15x3 - 31x2 + 0x +4 = (x-2) . (x + 1/3) . (x - 2/5)

En este ejercicio usaremos el caso 2.