8/18/2019 Guia de Materia función de probabilidad, Esperanza, varianza 2016

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Función de probabilidad: Formalmente se defne una unción de probabilidad como aquellaunción que asocia a cada elemento del espacio muestral ( x ) de una variable aleatoria ( x ) laprobabilidad que ésta tenga.

Entonces, f ( x ) será una unción de probabilidad de tal manera quef ( x ) :IR ! " #,$ % , tal que f ( x ) & P ( x ) , donde P ( x ) es la probabilidad delelemento x del espacio muestral.

Función de distribuciónse indica que la Función de distribución relaciona cada elemento del espacio muestral con laprobabilidad acumulada 'asta el valor dado. Es decir, se defne una Función de distribución comoF ( x ) : ! " #,$ % , de tal manera que

*ea X una variable aleatoria, entonces se defne F como la Función dedistribución de dic'a variable, como F ( x ) & P ( X  + x )

La Esperanza Matemáticaatemáticamente a este -valor esperado le llamaremos Esperanza / se calcula como la sumade los productos del valor de la variable por su correspondiente probabilidad. Esto es,

Esto es análogo al promedio ponderado donde el actor de ponderación (o peso) corresponde a laprobabilidad de cada elemento del espacio muestral.

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0tra orma de esta defnición es la siguiente:1onsideremos X una variable aleatoria discreta con x $ , x 2 ,  x 3 ,...  x  n  como valores posibles, /

 p ( x i ) & P ( X  &  x  i ) i & $,2,3,........n. Entonces el valor esperado de X o esperan4a matemáticade X ,

E ( X ) se defne como

5'ora bien, si la serie converge absolutamente, es

decir, 67 , este n8mero se

llama también, valor promedio de X .

*i X es una variable aleatoria / x $ , x  2 , x  3 ...  x  n los valores obtenidos o resultados de las n veces

independientes en que se 'a repetido el e9perimento /´ X   el promedio aritmético de esos n

n8meros. 5'ora bien, si n es sufcientemente grande, el promedio se acercará, en cierto sentido,a E ( X ) . Esto está en estrec'a relación a la e/ de los ;randes 4 cuadrada de la varian4a de la variable.Ella nos da una reerencia del rango en el que ?uctuarán los valores de la variable, si restamos /sumamos ésta a la esperan4a.

0tra orma de esta defnición es la siguiente: *ea X una variable aleatoria discreta. *e defne laVarianza de X , V ( X ) ,se defne como

V  ( X )= E ( x2 )− [ E ( x ) ]2

 @ambién se denota por s x2

 a desviación estándar es la ra>4 cuadrada de V ( X ) / se designa

pors x  .

EAemplos

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Distribución binomial .a distribución binomial ue desarrollada por BaCob Dernoulli (*ui4a,$GH$I#) / es la principaldistribución de probabilidad discreta para variables dicotómicas, es decir, que sólo pueden tomardos posibles resultados. Dernoulli defnió el proceso conocido por su nombre. Jic'o proceso,consiste en reali4ar un e9perimento aleatorio una sóla vez / observar si cierto suceso ocurre ono, siendo p  la probabilidad de que ocurra (é9ito) / q=!p de que no ocurra (racaso) , por loque la variable sólo puede tomar dos posibles valores, el $ si ocurre / el # sino sucede.

Esta distribución observa el n8mero de é9itos " al llevarse a cabo n e9perimentos, cu/osresultados puedan solamente ser dos. os posibles resultados en cada observación sonindependientes los unos de los otros.

especto de la interpretación de una probabilidad determinada: *i bien es cierto que

Kermite 'allar la probabilidad de que se produ4can " é9itos en n ensa/os independientes,también este valor se puede interpretar como la probabilidad de que se produ4can n − "  

racasos en esa misma cantidad de ensa/os.

Esperanza matemática*ea X una variable aleatoria distribuida binomial mente con parámetro p, en base de nrepeticiones de un e9perimento, entonces E ( X ) & np