GUIA de robotica

UNIVERSIDAD DE PAMPLONA Unidad de Ingeniería Mecatrónica

Facultad de Ingenierías. Programa de Ingeniería Mecatrónica. Taller de Repaso

Robótica II

VERSION 3 – Ph.D. César Augusto Peña C

CODIFICACIÓN Taller I Tema: Herramientas matemáticas, cinemática y dinámica

Recordar y afianzar los conocimientos básicos en robotica. OBJETIVOS ESPECIFICOS: 1.- Realizar ejercicios utilizando las herramientas matemáticas que permiten especificar la posición y orientación de un objeto en el espacio. 2.- Describir analiticamente el movimiento espacial de un robot enfatizando las relaciones entre la posición y la orientación del extremo final del robot con los valores que toman sus coordenadas articulares. 3.- Relacionar los movimientos del robot y las fuerzas implicadas en el mismo. REQUISITOS: Conocer los conceptos generales de: 1.- Herramientas matemáticas para la localización espacial 2.- Cinemática del robot 3.- Dinámica del Robot

1.- Calculadora (Opcional) PROCEDIMIENTO 1.- Teniendo en cuenta las dimensiones del objeto que se ilustra en la figura 1, obtener las matrices homogeneas correspondientes a los sistemas de coordenadas (solidarios al objeto), que se describen en la figura 2. Indicar los sistemas coordenados erroneos en caso que extistan (los sistemas deben ser dextrogiro). Nota: el ancho del objeto es de 25 mm y el sistema S1 = S0 , ubicados en la posición [0 , 0 , 0] .

Figura 1. Dimensiones del objeto

OBJETIVO:

EQUIPOS Y HERRAMIENTAS



Robótica II


Figura 2. Sistemas de coordenadas ejercicio 1.

€

S1 =

_____ _____ _____ 0_____ _____ _____ 0_____ _____ _____ 0_____ _____ _____ _____

"

#

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%

&

' ' ' '

€

S2 =

_____ _____ _____ __________ _____ _____ __________ _____ _____ __________ _____ _____ _____

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S3 =

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S4 =

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S5 =

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€

S6 =

_____ _____ _____ __________ _____ _____ __________ _____ _____ __________ _____ _____ _____

"

#

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Robótica II


2. Hallar los matrices homogeneas correspondientes a los ejes coordenados de la figura 3.


€

S1 =

_____ −1 _____ 101 _____ _____ −20

_____ _____ _____ −60_____ _____ _____ 1

#

$

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S2 =

_____ _____ _____ __________ _____ _____ __________ _____ _____ __________ _____ _____ _____

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S6 =

_____ _____ _____ __________ _____ _____ __________ _____ _____ __________ _____ _____ _____

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Robótica II


3. Hallar los matrices homogeneas correspondientes a los ejes coordenados de la figura 4.


€

S1 =

1 2 0 1 2 00 1 0 0

−1 2 0 1 2 −200 0 0 1

#

$

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&

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( ( ( (

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S2 =

_____ _____ _____ __________ _____ _____ __________ _____ _____ __________ _____ _____ _____

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S3 =

_____ _____ _____ __________ _____ _____ __________ _____ _____ __________ _____ _____ _____

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S4 =

_____ _____ _____ __________ _____ _____ __________ _____ _____ __________ _____ _____ _____

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S5 =

_____ _____ _____ __________ _____ _____ __________ _____ _____ __________ _____ _____ _____

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€

S6 =

_____ _____ _____ __________ _____ _____ __________ _____ _____ __________ _____ _____ _____

"

#

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Robótica II


4. Dibujar los ejes coordenados de acuerdo a la convención Denavit Hartenberg y obterner los parametros del mismo.

Figura 5. Robot de 4 GDL 5. Obtener la matriz homogénea T que indica la localización del sistema final con respecto al sistema de referencia de la base del robot.

€

T=0A4 =

_____________ _____________ _____________ __________________________ _____________ _____________ __________________________ _____________ _____________ __________________________ _____________ _____________ _____________

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

6. Obtener el modelo de cinemática inversa del robot dado:

€

T=0A4 =

nx ox ax pxny oy ay pynz oz az pz0 0 0 0

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

€

θ1 =

€

d2 =

€

d3 =

€

θ4 =

Eslabón θ i di ai α i 1 2 3 4



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7. Obtener la jacobiana geométrica correspondiente a los 3 primeros grados de libertad por

el método de propagación de velocidades.

€

˙ v x˙ v y˙ v z˙ w x˙ w y˙ w z

"

#

$ $ $ $ $ $ $

%

&

' ' ' ' ' ' '

=

_______________ _______________ ______________________________ _______________ ______________________________ _______________ ______________________________ _______________ ______________________________ _______________ ______________________________ _______________ _______________

"

#

$ $ $ $ $ $ $

%

&

' ' ' ' ' ' '

˙ q 1˙ q 2˙ q 3

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

8. Obtener el modelo dinámico, mediante la formulación de Euler-Lagrange, del robot

cartesiano de 2 GDL de la figura 6. Las masas de los eslabones 1 y 2 (m1, m2) se considera concentrada en los puntos indicados.

Figura 6. Robot Cartesiano de 2 GDL

€

F1 =

€

F2 =

Z0

X0

Z0

Z1

X1

Y2

Z2

d1

d2

Base

Eslabón 1

Eslabón 2



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Algoritmo Denavit – Hartenberg: •D-H 1.- Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón móvil de la cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). Se numerará como eslabón 0 a la base fija del robot. •D-H 2.- Numerar cada articulación comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad) y acabando en n •D-H 3.- Localizar el eje de cada articulación. Si ésta es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento. •D-H 4.- Para i de 0 a n-1 situar el eje zi sobre el eje de la articulación i+1. •D-H 5.- Situar el origen del sistema de la base {S0} en cualquier punto del eje z0. Los ejes x0 e y0 se situarán de modo que formen un sistema dextrógiro con z0 •D-H 6.- Para i de 1 a n-1, situar el sistema {Si} (solidario al eslabón i) en la intersección del eje zi con la línea normal común a zi-1 y zi. Si ambos ejes se cortasen se situaría {Si} en el punto de corte. Si fuesen paralelos {Si} se situaría en la articulación i+1 •D-H 7.- Situar xi en la línea normal común a zi-1 y zi •D-H 8.- Situar yi de modo que forme un sistema dextrógiro con xi y zi . •D-H 9.- Situar el sistema {Sn} en el extremo del robot de modo que zn coincida con la dirección de zn-1 y xn sea normal a zn-1 y zn . •D-H 10.- Obtener θi como el ángulo que hay que girar en torno a zi-1 para que xi-1 y xi queden paralelos. •D-H 11.- Obtener di como la distancia, medida a lo largo de zi-1, que habría que desplazar {Si-1} para que xi y xi-1 quedasen alineados. •DH 12.- Obtener ai como la distancia medida a lo largo de xi (que ahora coincidiría con xi-

1) que habría que desplazar el nuevo {Si-1} para que su origen coincidiese con {Si}. •DH 13.- Obtener αi como el ángulo que habría que girar entorno a xi (que ahora coincidiría con xi-1), para que el nuevo {Si-1} coincidiese totalmente con {Si}. •DH 14.- Obtener las matrices de transformación i-1Ai •DH 15.- Obtener la matriz de transformación entre la base y el extremo del robot T = 0A1 1A2 ... n-1An. •DH 16.- La matriz T define la orientación (submatriz de rotación) y posición (submatriz de traslación) del extremo referido a la base en función de las n coordenadas articulares

MARCO TEORICO – FORMULAS UTILES



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€

i−1Ai = Rotz θi( )T(0,0,di)T(ai,0,0)Rotx α i( )

€

i−1Ai =

Cθi −Cα iSθi Sα iSθi aiCθiSθi Cα iCθi −Sα iCθi aiSθi0 Sα i Cα i di0 0 0 1

%

&

' ' ' '

(

)

* * * *

(Matriz D-H)

Obtención numérica de la Jacobiana geométrica por el método de propagación de velocidades:

€

0Ai =0ni

0oi0ai

0 pi0 0 0 1

"

# $

%

& '

€

0Zi=0Ai 1: 3,3( )

€

i pn=0An 1: 3,4( )−0Ai 1: 3,4( )

€

0Zi=0Ai 1: 3,3( )

€

Ji =

0Zi−1×i−1pn

0Zi−1

$

% &

'

( ) Rotación

0Zi−1

0$

% &

'

( ) Translación

*

+

, ,

-

, ,

€

J = J1 J2 … Jn[ ] Ecuaciones utilizadas para la obtención del modelo dinámico mediante la formulación de Euler-Lagrange:

Donde:

L : Función Lagrangiana.

L = Ec − Ep

τ i =ddt∂L∂ !qi

−∂L∂ qi



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Ec: energía cinética. Ep: energía potencial. τi: fuerza o pares aplicado sobre qi. qi: coordenadas generalizadas (articulares)

MÉTODO RECURSIVO EULER-LAGRANGE

1. Asignar a cada barra un sistema de referencia de acuerdo D-‐H. 2. Obtener las matrices de transformación 0Ai para cada barra i. 3. Obtener las matrices Uij definidas por:

€

U ij =∂ 0A i

∂qj

4. Obtener las matrices Uijk definidas por:

€

U ijk =∂U ij

∂qk

5. Obtener las matrices de PseudoInercias Ji para cada barra i.

€

J i =

xi2dm

i∫ xiyidmi∫ xizidmi∫ xidmi∫yixidmi∫ yi

2dmi∫ yizidmi∫ yidmi∫

zixidmi∫ ziyidmi∫ zi2dm

i∫ zidmi∫xidmi∫ yidmi∫ zidmi∫ dm

i∫

#

$

% % % % % %

&

'

( ( ( ( ( (

Expresión alternativa:

€

J i =

12−Ixxi

+ Iyyi+ Izzi( ) Ixiyi

I xizimix i

I xiyi

12

Ixxi− Iyyi

+ Izzi( ) Iyizimiy i

I xiziI yizi

12

Ixxi+ Iyyi

− Izzi( ) miz imix i miy i miz i mi

#

$

% % % % % % %

&

'

( ( ( ( ( ( (

donde:

€

Ixxi = yi2 + zi

2( )dmi∫



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€

Iyyi = xi2 + zi

2( )dmi∫

€

Izzi = xi2 + yi

2( )dmi∫

€

Ipqi = pqdmi∫ p,q = xi ,yi ,zi

6. Obtener la matriz de Inercia D cuyos elementos vienen definidos por:

€

dij = Traza U kjJ kU kiT( )

k=(max i, j )

n

∑

con i, j =1,2,...,nn = número de grados de libertad

7. Obtener los término hikm definidos:

€

hikm = Traza U jkmJ jU jiT( )

j=(max i, k,m )

n

∑

con i,k,m =1,2,...,nn = número de grados de libertad

8. Obtener el vector columna H de fuerzas de Coriolis y Centrifugas, cuyos

elementos son:

€

hi = hikm ˙ q k ˙ q mm =1

n

∑k =1

n

∑con i =1,2,...,nn = número de grados de libertad

9. Obtener el vector columna C de Fuerzas de Gravedad, cuyos elementos

son:

€

ci = −mjgU jij rj( )

j=1

n

∑con i =1,2,...,nn = número de grados de libertad

Donde: g: es el vector de gravedad expresado en el sistema de la base {S0} y viene expresado por (gx0 , gy0 , gz0 , 0)



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irj: es el vector de coordenadas homogéneas del centro de masas del elemento j expresado en el sistema de referencia del elemento i.

10. La ecuación del modelo Dinámico es:

€

τ = D˙ ̇ q + H + C Adicionalmente se pueden incluir fuerzas adicionales, tal como la fuerza producto del rozamiento en las articulaciones. Un modelo típico de esta fuerza propone que es proporcional a la velocidad de la articulación.

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