Guia de Topografia de Juan Abuid Ed. Final

GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID 1

PREFACIO

Si bien la topografa tradicional aun forma parte de los trabajos de levantamiento y

de replanteo, se encuentra en una etapa de constantes cambios de ndole tecnolgico con

avances que ocurren a gran velocidad y que estn afectando a las labores topogrficas de

campo y gabinete. Entre estos cambios se encuentran los levantamientos por satlites, GPS

y teodolitos electrnicos y digitales, estaciones totales, niveles digitales automticos, etc.

En los trabajos de gabinete, el procesamiento de la informacin se ha hecho cada

vez ms rpido y eficiente gracias a los avances de la computacin y la informtica, que

permiten la introduccin de programas y equipos que aceleran los clculos topogrficos de

cualquier tipo, la compilacin de mapas y el trazado automtico de curvas de nivel; adems

de los sistemas de informacin geogrficos (GIS).

Este texto permite dar a conocer los fundamentos tericos bsicos de la Topografa

como disciplina, entregando aquellos conceptos que son esenciales y necesarios para quien

pretenda adentrarse en su estudio. Como corresponde a la tercera y ltima edicin, incluye

nuevos temas que no fueron tratados en las ediciones anteriores, como un anlisis de

formas de los tringulos en las triangulaciones, problemas de medicin de bases en forma

indirecta debido a obstculos, emparejamiento de suelo, ajuste de redes de nivelacin,

utilizacin de programas para dibujar curvas de nivel y para procesar datos de receptores

satelitales, etc., que servir como material de consulta para personas interesadas en el tema

o para estudiantes iniciados en topografa, ya que permitir conocer conceptos nuevos y

entregar una base para estudios posteriores.

La presente es la edicin completa de esta publicacin y en cada captulo el lector se

encontrar con una descripcin precisa de los diferentes temas tratados, adems de una

breve sntesis de las principales ciencias relacionadas con la disciplina, a saber, Geodesia,

Cartografa, Fotogrametra o Sistema de Posicionamiento Global, entre otras.

EL AUTOR


INDICE Pgs.

Introduccin............................................................................................................................ 9

PARTE I : EL LEVANTAMIENTO TOPOGRAFICO

1.- Medicin a huincha............................................................................................................... 12

1.1.- Medicin de distancias verticales en terrenos con pendientes............................... 13

1.1.1.- Por escalones o resaltos...................................................................... 13

1.1.2.- Por medidas en pendientes.................................................................. 14

1.2.- Errores en medidas corrientes con huincha.......................................................... 15

1.3.- Faltas ms comunes en una medicin con huincha............................................. 17

2.- Medidas de Distancias Verticales . Nivelacin.................................................................... 18

2.1.- Tipos de Nivelacin.............................................................................................. 18

2.1.1.- Nivelacin directa o geomtrica......................................................... 18

2.1.2.- Nivelacin abierta............................................................................... 20

2.1.3.- Nivelacin cerrada.............................................................................. 20

2.1.4.- Nivelacin por doble posicin instrumental....................................... 21

2.1.5.- Nivelacin paralela............................................................................. 22

2.1.6.- Nivelacin de enlace........................................................................... 23

2.2.- Ajuste de una nivelacin. Correccin de cotas..................................................... 22

2.2.1.- Por el camino recorrido...................................................................... 22

2.2.2.- Por el nmero de posturas instrumentales.......................................... 22

2.3.- Precisin de la nivelacin directa o geomtrica................................................... 25

2.4.- Errores que se pueden cometer en una nivelacin geomtrica............................. 26

2.5.- Faltas que se pueden cometer en una nivelacin geomtrica............................... 27

2.6.- Compensacin de una red de nivelacin por mtodo de los mnimos cuadrados... 28

3.- Perfiles Topogrficos............................................................................................................ 33

3.1.- Perfil Longitudinal................................................................................................ 33

3.2.- Perfiles Transversales........................................................................................... 34

3.3.- Perfil Tipo............................................................................................................. 35


4.- Clculo de Superficies.......................................................................................................... 36

4.1.- Mtodos matemticos........................................................................................... 36

4.2.- Mtodos grficos.................................................................................................. 36

4.3.- Mtodos por coordenadas polares........................................................................ 36

4.4.- Mtodos mecnicos.............................................................................................. 36

5.- Movimiento de Tierras........................................................................................................... 38

5.1.- Registro y Clculo de Cubicaciones..................................................................... 41

5.1.1.- Parte grfica........................................................................................ 41

5.1.2.- Registro .............................................................................................. 42

6.- Medidas de ngulos y direcciones.......................................................................................... 43

6.1.- Medidas de ngulos corrientes.............................................................................. 43

6.1.1.- Rumbo................................................................................................. 43 6.1.2.- Azimut................................................................................................. 43 6.1.3.- ngulo de deflexin............................................................................ 43 6.1.4.- ngulos interiores de un polgono...................................................... 43 6.1.5.- ngulos exteriores de un polgono..................................................... 43

6.2.- Mtodos de medicin precisa de ngulos............................................................. 44

6.2.1.- Mtodo de Repeticin. Operatoria, registro y clculo........................ 44

6.2.2.- Mtodo de Reiteracin. Operatoria, registro y clculo....................... 48

6.3.- Clculo de coordenadas de un punto en el plano.................................................. 52

6.4.- Clculo de distancia horizontal, desnivel y cota de un punto............................... 53

7.- Mtodos de Levantamientos Topogrficos........................................................................... 54

7.1.- Radiacin............................................................................................................... 54

7.2.- Poligonacin.......................................................................................................... 55

7.2.1.- Procedimientos para hacer poligonales............................................... 56

7.2.1.1.- Por ngulos interiores.................................................... 56

7.2.1.2.- Por ngulos exteriores................................................... 57

7.2.1.3.- Por azimut...................................................................... 57

7.2.2.- Poligonal Cerrada................................................................................ 59

7.2.3.- Mtodos de Compensacin de Poligonales......................................... 61


7.2.3.1.- Mtodo del Teodolito.................................................... 61

7.2.3.2.- Mtodo de la Brjula..................................................... 62

7.2.3.3.- Mtodo de los Mnimos Cuadrados............................... 63

7.2.4.- Poligonal de Enlace............................................................................. 64

7.3.- Triangulacin......................................................................................................... 65

7.3.0.1.- Formas de los Tringulos................................................. 67

7.3.0.2.- Longitud de los Lados de una Triangulacin................... 72

7.3.0.3.- Dimensin de las Seales.................................................. 73

7.3.0.4.- Clculo de base que no se puede medir directamente...... 74

7.3.0.5.- Reduccin al Centro de Estacin....................................... 76

7.3.0.6.- Bases Auxiliares................................................................ 78

7.3.1.- Ajuste de un Cuadriltero.................................................................... 79

7.3.1.1.- Condicin de ngulos................................................... 83

7.3.1.2.- Condicin de Lados....................................................... 84

7.3.1.3.- Clculo de Lados........................................................... 86

7.3.2.- Ajuste de una Cadena de Tringulos................................................... 88


7.3.2.2.- Condicin del Angulo de Convergencia........................ 89


7.3.2.4.- Clculo de Lados........................................................... 92

7.3.3.- Ajuste de una Malla de Triangulacin................................................. 92


7.3.3.2.- Condicin de Giro de Horizonte.................................... 93


7.3.3.4.- Clculo de Lados........................................................... 94

7.4.- Trilateracin........................................................................................................... 95

7.4.1.- Compensacin de Cuadrilteros.......................................................... 95

7.4.1.1.- Determinacin de las discrepancias J.......................... 96 7.4.1.2.- Transformacin de ecuaciones de condicin................. 98

7.4.1.3.- Clculo de los coeficientes Cij....................................... 100

7.4.1.4.- Efecto de la diagonal L5................................................. 102

7.4.2.- Resolucin del problema..................................................................... 104

7.4.2.1.- Caso para un cuadriltero.............................................. 104

7.4.2.2.- Caso para una cadena de dos cuadrilteros.................... 105

7.4.2.3.- Ejemplos resueltos......................................................... 107


PARTE II: REPLANTEO DE ELEMENTOS GEOMETRICOS

8.- Replanteos .............................................................................................................................. 115

8.1.- Replanteo de Puntos............................................................................................... 115

8.2.- Replanteo de Rectas................................................................................................ 116

8.3.- Replanteo de ngulos............................................................................................ 117

8.4.- Replanteo de figuras planas con lados rectos........................................................ 117

8.5.- Replanteo de curvas horizontales.......................................................................... 118

8.5.1.- Replanteo de Curvas Circulares Simples............................................ 118

8.5.1.1.- Elementos Geomtricos de la Curva.............................. 118

8.5.1.2.- Trazado de Puntos Intermedios...................................... 119

8.5.1.3.- Curvas con ngulo Central Obtuso.............................. 120

8.5.1.4.- Arcos de Enlace Compuesto.......................................... 122

8.5.1.5.- Trazado de Curvas por Coordenadas Rectangulares...... 124

8.5.1.5.a.- Por incrementos sobre la tangente.................................. 124

8.5.1.5.b.- Por incrementos sobre el arco......................................... 124

8.5.1.5.c.- Por incrementos sobre la cuerda..................................... 124

8.5.1.6.- Longitud de Arco de una Curva Circular....................... 125

8.5.1.7.- Superficie bajo la Curva Circular................................... 127

8.5.2.- Replanteo de Curvas Circulares con Enlace........................................ 130

8.5.2.1.- Curvas Circulares con Enlace Parablico....................... 130

8.5.2.2.- Curvas Circulares con Enlace Clotoidal......................... 132

8.5.3.- Elipses.................................................................................................. 137

8.5.3.a.- Longitud de Arco de Elipse............................................ 137

8.5.3.b.- rea de una Elipse.......................................................... 137

8.6.- Curvas Verticales................................................................................................... 138

8.6.1.- Primer Mtodo..................................................................................... 138

8.6.2.- Segundo Mtodo.................................................................................. 141

9.- Loteo......................................................................................................................................... 142

10.- Emparejamiento de Suelo....................................................................................................... 145

10.1.- Mtodo del Centroide.............................................................................. 145

10.2.- Mtodo por Anlisis de Regresin Lineal............................................... 147


APENDICE

Apndice A: GEODESIA....................................................................................................... 150

A.1 Sistemas de Coordenadas utilizados en Geodesia.................................................... 151

A.2 Clculo de Radios..................................................................................................... 152

A.3 Longitudes de Arco................................................................................................... 153

A.4 rea de un Cuadrante Esfrico................................................................................. 155

A.5 Clculo de Coordenadas (X,Y,Z) a partir de las Coordenadas Geodsicas.............. 155

A.6 Reduccin de distancias observadas en terreno a la Geodsica................................ 155

A.7 Datum ....................................................................................................................... 156

A.8 Transformacin de Coordenadas.............................................................................. 157

Apndice B: CARTOGRAFIA.............................................................................................. 159

B.1 Clasificacin de los Mapas....................................................................................... 159

B.2 Proyeccin Universal Transversal de Mercator........................................................ 161

B.3 Convergencia de Meridianos.................................................................................... 161

Apndice C: FOTOGRAMETRIA....................................................................................... 163

C.1 Cmara Mtrica......................................................................................................... 163

C.2 Estereoscopia............................................................................................................. 163

C.3 Escala de una Fotografa........................................................................................... 165

C.4 Desplazamiento por Relieve..................................................................................... 165

C.5 Paralaje...................................................................................................................... 166

Apndice D: TEORIA DE ERRORES................................................................................ 168

D.1 Cifras Significativas.................................................................................................. 168

D.2 Operaciones con Cifras Significativas...................................................................... 169

D.3 Redondeo de nmeros............................................................................................... 169

D.4 Errores en las medidas.............................................................................................. 170

A) Causas de errores al hacer mediciones................................................................ 170

B) Tipos de Errores.................................................................................................. 171

D.5 Precisin y Exactitud................................................................................................. 172

D.6 Valor Ms Probable................................................................................................... 172


D.7 Residuos.................................................................................................................... 173

D.8 Desviacin Estndar................................................................................................. 173

D.9 Propagacin de Errores............................................................................................. 174

Apndice E: CLASIFICACION DE INSTRUMENTOS TOPOGRFICOS................... 177

E.1 Nivel.......................................................................................................................... 177

A) Clasificacin de los Niveles................................................................................. 177

B) Caractersticas de algunos tipos de niveles.......................................................... 177

C) Caractersticas constructivas de un nivel topogrfico.......................................... 179

E.2 Taqumetros y Teodolitos........................................................................................ 180

A) Clasificacin de Taqumetros y Teodolitos segn su precisin........................... 180

B) Tipos de Taqumetros y Teodolitos..................................................................... 181

C) Caractersticas Constructivas............................................................................... 181

D) Sistemas de Lectura en los Instrumentos de Medicin Angular.......................... 181

E.3 Estaciones Totales..................................................................................................... 183

Apndice F: CONTROL DE INSTRUMENTOS TOPOGRFICOS............................... 184

F.1 Control de Niveles..................................................................................................... 184

F.2 Control de Instrumentos de Medicin Angular......................................................... 186

F.3 Control del Error de Cero en Estaciones Totales...................................................... 189

Apndice G: INTRODUCCIN AL SISTEMA G.P.S....................................................... 191

G.1 Segmentos del Sistema GPS..................................................................................... 191

G.2 Principio de medicin del Sistema GPS.................................................................... 192

G.3 Errores en la determinacin de las distancias........................................................... 194

G.4 Mtodos de Posicionamiento.................................................................................... 196

A) Posicionamiento Absoluto................................................................................... 196

B) Posicionamiento Diferencial............................................................................... 197

G.5 Mtodos de Medicin................................................................................................ 198

Apndice H: REDES DE CONTROL.................................................................................. 204

H.1 Controles.................................................................................................................... 204

A) Control Horizontal............................................................................................... 204


B) Control Vertical................................................................................................... 204

C) Normas de Clasificacin...................................................................................... 205

H.2 Precisiones de la Red segn su orden........................................................................ 206

A) Horizontal............................................................................................................. 206

B) Vertical................................................................................................................. 207

C) Aplicaciones......................................................................................................... 207

Apndice I : OPERACIN BASICA DE AUTOCAD LAND DEVELOPMENT

PPPPPPPPPPPDEKSTOP

I.1 Importar los puntos.................................................................................................... 208

I.2 Dibujar Curvas de Nivel........................................................................................... 211

Apndice J: OPERACIN BASICA ESTACION TOTAL LEICA TC-1100................... 216

J.1 Caractersticas Tcnicas............................................................................................ 216

J.2 Ajustes del Usuario.................................................................................................... 217

J.3 Estacionamiento........................................................................................................ 219

J.4 Medicin de Distancias y ngulos........................................................................... 221

J.5 Poligonacin.............................................................................................................. 222

J.6 Replanteo................................................................................................................... 223

J.7 Transmisin de Datos................................................................................................ 227

Apndice K: OPERACIN BASICA DE GEO GENIUS GPS

POSTPROCESSING SOFTWARE............................................................. 229

Conversiones mtricas y otros valores importantes en topografa..................................... 251

Bibliografa ......................................................................................................................................... 254


INTRODUCCION

Topografa:

La topografa es una disciplina que nos entrega los conocimientos,

habilidades y destrezas para la toma de datos en terreno y su representacin en un plano

mediante su adecuacin a travs de una escala. Se preocupa de trasladar proyectos en un

plano de un sector determinado y llevarlo al terreno.

La primera parte de la topografa se realiza en lo que se denomina levantamiento

topogrfico y la segunda en el replanteo. Entonces, en funcin de lo dicho, la topografa

tiene mucho de ciencia, de tecnologa y de arte. Se divide en dos partes:

PLANIMETRA: esta parte se preocupa de llevar al plano todos los detalles del

terreno que pueden ser dibujados vistos de planta, como por ejemplo: ros, caminos,

cercos, bosques, construcciones, etc. Existen diversas alternativas para tomar estos

datos en terreno, dependiendo de la informacin que se disponga. Entre estos tenemos:

1.- Conocida la direccin y distancia desde un punto conocido. Entenderemos por

direccin de un punto como la medida angular desde un norte hacia dicho punto.

Existen tres tipos de norte:

Norte supuesto, es cualquier direccin que se tome como lnea de referencia o de

partida de uno o varios valores angulares.

Norte magntico, es aquel que se indica por la direccin de la aguja de la brjula.

Norte verdadero, es el que est relacionado con el polo norte terrestre.

2.- Conocida la direccin desde dos puntos conocidos.

3.- Conocida la direccin entre dos puntos conocidos y la distancia desde uno de ellos.


4.- Conocidas las distancias desde dos puntos conocidos. En este ultimo caso se puede

calcular fcilmente el ngulo desconocido a travs del Teorema del Coseno, utilizando las

dos distancias conocidas.

5.- Dada una direccin determinada, aplicar un sistema de coordenadas rectangulares.

En la asignatura de Cartografa sern definidos algunos sistemas de coordenadas y

su conversin.

La aplicacin de estos diferentes procedimientos para determinar puntos en el plano

horizontal da como origen a los tipos de levantamiento.

NP

P

PP

P

d

AA

A

B

A

B

x

y

d

d

d

( 1 ) ( 2 )

( 3 ) ( 4 )

( 5 )


I Parte:

EL LEVANTAMIENTO TOPOGRAFICO


METODOS DE LEVANTAMIENTOS TOPOGRFICOS

1.- Radiacin (Mtodo de Coordenadas Polares)

2.-Interseccin (Procedimientos 2, 3 y 4)

3.- Mtodo de Coordenadas Rectangulares (Procedimiento 5)

4.-Reseccin o Problema de Pothenot. En este mtodo se ubica un punto a travs de otros

tres ya conocidos.

ALTIMETRIA

Parte de la Topografa que se preocupa de la determinacin de

desniveles o alturas a travs de un proceso que se llama Nivelacin. Existen diferentes

tipos de nivelacin, entre ellos los mas usados son:

Nivelacin Directa o Geomtrica Nivelacin Trigonomtrica Nivelacin Baromtrica.

Mas adelante sern definidos en mayor detalle. Sin embargo, sea cual sea el mtodo

utilizado, se podr determinar la altura de un punto en forma:

Absoluta, si est referida al nivel del mar; o Arbitraria, cuando se refiere a cualquier valor.

TOMA DE DATOS EN TERRENO

1.- MEDICION CON HUINCHA

Existen de varios tipos y calidades, siendo las mejores las de acero y luego las

plsticas y de telas. El tipo de huincha utilizada depender del trabajo a ejecutar. Por

ejemplo, si se va a trabajar en estructuras rgidas se elegirn las de acero. Tambin se


debern tomar en cuenta las caractersticas de la huincha que puedan afectar a la medida

real como el alargamiento o acortamiento de esta, a causa de su baja calidad.

Ejemplo: tenemos una huincha de 50 m. Con un alargamiento de 0.15 m. Al medir una

distancia con esta huincha se obtienen 145.28 m. Es claro que la distancia real es superior a

la distancia leda en la huincha ya que la huincha realmente tiene 50.15 m. de largo. Para

resolver el problema, podemos utilizar la siguiente relacin:

Correccin = ( Valor MEDIDO / Extensin HUINCHA ) x Alargamiento Valor REAL = Valor MEDIDO + Correccin

Para el ejemplo anterior: Correccin = (145.28 / 50 ) x 0.15 = 0.436 m. Valor real = 145.28 + 0.436 = 145.716 m.

1.1.- MEDIDAS DE DISTANCIAS HORIZONTALES EN TERRENOS CON

PENDIENTES.

Las medidas en terrenos no planos es una de las preocupaciones de la topografa. En cuanto

a la medicin de distancias horizontales en terrenos con pendientes se puede llevar a cabo

de dos formas:

1.1.1.-Por escalones o resaltos:

Consiste en colocar plomadas firmes en el terreno a lo largo

de la distancia a medir y luego con la ayuda de un nivel de carpintero medir distancias

horizontales entre las plomadas:


1.1.2.- Por medidas en pendientes:

L2 = h2 + ( L x )2

L2 = h2 + L2 2Lx + x2

x = - h2 / 2L , donde x es la correccin.

En una medicin de n tramos, la correccin total ser:

LhC iTX 2

2=

DH = d1 + d2 + d3 + d4 + d5


Ejemplo: Se hizo una medicin de cinco tramos con una huincha de 25 m. en un terreno

con pendiente y se obtuvieron las diferencias de altura entre puntos:

Utilizando el modelo anterior obtenemos la correccin y se la aplicamos a la distancia

total:

DH = 5 x 25 - [ (2,2502 / 50) + ( 0,8342 / 50) + ( 1,2102 / 50) + (1,8362 / 50) + (1,7602 / 50) ] DH = 124,755 m.

1.2.-Errores en medidas corrientes con huincha.-

1.2.1.-La huincha no tiene longitud estndar. Esto produce un error sistemtico

constante que puede ser eliminado chequeando la huincha con un patrn

estndar.

1.2.2.- Alineamiento imperfecto. Este error no puede ser eliminado pero si

reducido a valores despreciables, poniendo cuidado en que la direccin en que

se mide sea la mas recta posible.

1.2.3.- Error por reduccin al horizonte. En caso de hacer mediciones

extremadamente plano no se acostumbra a hacer reduccin al horizonte lo cual

introduce el error x mencionado anteriormente siendo h diferencia de nivel entre

los extremos. Cuando las medidas se hacen segn la pendiente del terreno, este


error solo se podr eliminar mediante una nivelacin entre las terminales de la

huincha. El valor de la correccin por reduccin al horizonte pequea para las

pendientes suaves es grande para las pendientes fuertes. El siguiente cuadro da

los valores de x para varias pendientes, siendo L = 100 m.:

Pendiente ( % ) Correc. Reduccin al Horizonte 0.5 0.001* 1.0 0.005* 2.0 0.002* 3.0 0.045 4.0 0.080 5.0 0.125 6.0 0.180 8.0 0.320

10.0 0.500 20.0 2.000

* Errores despreciables en las medidas corrientes. El resto de los errores son

inaceptables.

1.2.4.- Error de verticalidad en las plomadas. Estos son de ndole variable y

solo se pueden minimizar trabajando sin viento y nivelando en la mejor forma

posible la reglilla de trabajo.

1.2.5.- Lecturas imperfectas. Se producen cuando no se aprecian adecuadamente

los valores de los milmetros en las distancias medidas. Su eliminacin estar

sujeta a la determinacin con el mayor cuidado posible.

1.2.6.-La huincha no est recta. Al medir ser necesario que sta no tenga

dobleces u otras alteraciones.


1.3.-Faltas ms comunes que se pueden cometer en una medicin con huincha.

Son faltas o errores groseros y por lo tanto para no ser cometidos es necesario tener el

mximo de cuidado para que no se produzcan. Estos son:

1.3.1.- Agregar o quitar una huinchada entera.

1.3.2.- Agregar metros o decmetros.

1.3.3.- Tomar puntos falsos como principio o final de la huincha.

1.3.4.- Nmeros mal ledos.

En cuanto a la forma de obtener un valor en una medicin, esta puede ser:

Directa, cuando un instrumento aplicado varias veces sobre una longitud a medir nos da su longitud real; o

Indirecta, si no es necesario ir aplicando un patrn de medicin sobre el tramo que se quiere medir. Pueden ser determinados a travs de instrumentos o por clculos

especficos.


2.- MEDIDAS DE DISTANCIAS VERTICALES ( NIVELACION )

Estn relacionadas con la determinacin de alturas o desniveles entre

diferentes puntos. El plano mas empleado como referencia es el nivel medio del mar

que ha sido extrapolado a diferentes puntos a travs de todo el territorio nacional, por el

Instituto Geogrfico Militar. Estos puntos de nivelacin se encuentran distribuidos a

distancias aproximadas de entre 5 y 10 Km. y poseen alturas referidas al n.m.m. Estos

valores, tambin denominados cotas, se llaman valores absolutos y tomndolos como

referencia se pueden determinar las cotas absolutas en cualquier lugar.

No obstante lo anterior, en muchos trabajos se toman valores arbitrarios

o cotas arbitrarias que de acuerdo a la importancia del trabajo son justificadas. La

operacin de determinacin de desniveles se denomina nivelacin, que, como ya se

dijo, puede ser geomtrica, trigonometrica o baromtrica. A continuacin

comenzaremos un anlisis de cada una.

2.1.- TIPOS DE NIVELACION

2.1.1.-NIVELACION DIRECTA O GEOMETRICA

Se miden directamente las

alturas o desniveles. Se puede realizar con huinchas, pero lo ms comn es utilizar

el nivel topogrfico que tiene como accesorio especial una reglilla especial conocida

como mira o estada. Para obtener el desnivel entre dos puntos A y B se instala el

nivel sobre un trpode y se hace una lectura con el hilo medio (HM) hacia A

(Lectura de Atrs) y lo mismo hacia B (Lectura de Adelante). La diferencia entre

ambas lecturas resulta el desnivel entre A y B.


Ejemplo: Un punto P posee una cota IGM de 143.986. Con un nivel se obtiene una lectura

de 0.975 hacia A y otra de 2.436 hacia otro punto Q . Cul es la cota IGM del punto Q?

DVP Q = 0.975 2.436 = - 1.461 m.

Cota IGMQ = 143.986 1.461 = 142.525 m.

Ahora ya contamos con algunas relaciones:

Desnivel = Lectura Atrs Lectura Adelante Cota Punto = Cota Conocida + Desnivel Cota Instrumental = Cota Punto + Lectura de Atrs Cota Punto = Cota Instrumental Lectura Adelante

Desde ahora, utilizaremos las siguientes abreviaturas:

DV = desnivel CP = cota punto CI = cota instrumental

LAT = lectura de atrs LAD = lectura de adelante.

A continuacin analizaremos algunos tipos de nivelacin directa.


2.1.2.-NIVELACION ABIERTA.-

Parte de un punto de cota conocida (absoluta o

arbitraria) y llega a otro punto. Esta nivelacin no tiene comprobacin y por lo tanto podr

ser ejecutada solo en trabajos preliminares o que no necesiten gran precisin. Cuando se

nivela un tramo en que no bastan dos lecturas para conocer el desnivel, se hace un traslado

de la cota inicial utilizando puntos intermedios y lecturas sucesivas hacia atrs y hacia

delante. Estas lecturas se anotan en un registro especial donde tambin se incluyen las cotas

instrumentales. A continuacin veamos un registro correspondiente a este tipo de

nivelacin:

LECTURAS COTAS PTO. Atrs Intermedia Adelante Instrumental Punto

PR1 0.905 50.905 50.000 1 0.402 3.716 47.591 47.189 2 0.226 4.000 43.817 43.591 3 2.245 41.572 4 2.318 3.927 42.208 39.890 5 2.000 40.208 6 3.800 0.777 45.231 41.431 7 0.556 44.675 8 2.000 0.000 47.231 45.231

PR2 1.908 45.323 9.651 14.328

DV = LAT - LAD

Se observa que la diferencia de las sumatorias de las lecturas es el desnivel entre los

PRs. Calcular y comprobar.

2.1.3.-NIVELACION CERRADA.-

Empieza en un punto de cota conocida, pasa por el punto que interesa y luego

vuelve al punto de partida. Posee comprobacin por lo tanto las cotas inicial y final deben

ser iguales. Pero en la realidad generalmente no ocurre as, ya que se produce una

discrepancia entre ambas cotas. Esta discrepancia es conocida como error de cierre de la


nivelacin, el cual es tolerable de acuerdo a ciertas exigencias en funcin de cada trabajo

en especifico. Si este error sobrepasa el mximo exigido, la nivelacin debe hacerse de

nuevo; si no, se dice que es aceptable y se procede a lo que se conoce como ajuste o

compensacin de la nivelacin. Ms adelante veremos varios mtodos de ajuste.

2.1.4.-NIVELACION POR DOBLE POSICIN INSTRUMENTAL.-

Se realiza entre dos puntos, llevando dos nivelaciones simultaneas cuyo objetivo

es ir comparando los desniveles. Consiste en instalar el nivel dos veces entre dos puntos,

obtener dos lecturas desde cada posicin, calcular los desniveles y compararlos. Estos

deben ser iguales ya que los dos puntos son fijos. A continuacin veamos un registro:

LECTURAS DESNIVELES COTAS PTO. Atrs Intermedia Adelante DV (+) DV (-) Punto.

A 1.650 36.145 1 0.410 4.000 2.350 33.795 2 1.800 3.000 2.590 31.205 3 2.732 0.932 30.273 B 1.905 0.837 31.110

2da Posicin A 0.286 36.145 1 1.000 2.636 2.350 33.795 2 1.168 3.590 2.590 31.205 3 2.100 0.932 30.273 B 1.263 0.837 31.110


2.1.5.-NIVELACION PARALELA.-

Tambin se hace entre dos puntos, pero con una sola posicin del instrumento

que lee a dos miras ubicadas en forma paralela. Esta nivelacin posee comprobacin

pues al cambiar el instrumento, las cotas instrumentales deben ser iguales:

PTO. L. ATRAS L. ADEL. C. INSTR. C. PTO.

A 2.222 38.367 36.145 1 2.350 1.200 37.167 2 .... A 2.133 38.367 36.234 1 1.423 36.944 2

2.2.-AJUSTE DE LA NIVELACION : CORRECCION DE COTAS.-

2.2.1.-Por el camino recorrido: el error de cierre se divide por la distancia total nivelada

obteniendo un valor constante el cual se multiplica por las distancias parciales y as obtener

la correccin para cada cota.

2.2.2.-Por el nmero de posturas instrumentales: el error de cierre se divide por el

numero de posturas instrumentales obteniendo una constante que se multiplica por 1, 2, 3,

4, ...,n para obtener cada correccin.


Recordemos que para ambos casos el error de cierre corresponde a la diferencia entre

la cota final y la cota inicial. Ahora veamos ambos mtodos en el siguiente ejemplo:

LECTURAS COTAS PTO. Dist. (m) Atrs Intermedia Adelante Instrumental Desnivel Punto

A 0,00 3,461 34,417 30,956 1 20,00 1,268 +2,193 33,149 2 50,00 3,967 0,524 37,860 +2,937 33,893 3 65,00 0,956 1,896 36,920 +2,071 35,964 4 90,00 2,518 -1,562 34,402 5 120,00 3,618 0,524 40,014 +0,432 36,396 6 150,00 0,640 2,173 38,481 +1,445 37,841 B 200,00 1,256 3,861 35,876 -3,221 34,620

PC1 240,00 2,067 2,571 35,372 -1,315 33,305 PC2 300,00 0,231 3,451 32,152 -1,384 31,921 PC3 330,00 2,670 3,850 30,972 -3,619 28,302 A 370,00 0,000 +2,670 30,972 18,866 18,850 e=+0,016

Por n de posturas instrumentales Por camino recorrido

PTO. Correccin Cota

InstrumentalCorregida

Cota Punto

CorregidaCorreccin Cota Corregida

A -0,002 34,415 30,956 30,956 1 33,147 -0,001 33,148 2 -0,004 37,856 33,891 -0,002 33,891 3 -0,005 36,915 35,960 -0,003 35,961 4 34,397 -0,004 34,398 5 -0,007 40,007 36,391 -0,005 36,391 6 -0,009 38,472 37,834 -0,006 37,835 B -0,011 35,865 34,611 -0,009 34,611

PC1 -0,012 35,360 33,294 -0,010 33,295 PC2 -0,014 32,138 31,909 -0,013 31,908 PC3 -0,016 30,956 28,288 -0,014 28,288 A 30,956 -0,016 30,956


2.1.6.-NIVELACION DE ENLACE.-

Es aquella que va desde un punto de cota conocida a otro tambin de cota conocida.

En el siguiente registro veremos un ejemplo con su comprobacin y ajuste.

LECTURAS COTAS PTO. DIST. (m) Atrs Intermedia Adelante Instrumental Punto

PR1 2,162 38,577 36,415 1 0 3,486 1,748 40,315 36,829 2 20 3,957 0,163 44,109 40,152 3 45 2,612 41,497 4 70 2,124 0,715 45,518 43,394 5 100 1,632 3,652 43,498 41,866 6 115 0,513 3,895 40,116 39,603 7 140 0,016 3,774 36,358 36,342 8 150 2,160 34,198 9 180 3,827 3,154 37,031 33,204 10 200 2,222 0,121 39,132 36,910

PR2 2,715 36,417 PR2 36,427

COTAS CORREGIDAS PTO. CORRECCION Instrumental Punto

PR1 0,001 38,578 36,415 1 0,002 40,317 36,830 2 0,003 44,112 40,154 3 41,500 4 0,004 45,522 43,397 5 0,006 43,504 41,870 6 0,007 40,123 39,609 7 0,008 36,366 36,349 8 34,206 9 0,009 37,040 33,212

10 0,010 39,142 36,919 PR2 36,427


2.3.-PRECISION DE LA NIVELACION DIRECTA O GEOMETRICA.-

Tipo Error

Mximo Caractersticas Usos

grosera 0,1 L

- visuales hasta 300 m.

- lecturas aproximadas al

centmetro.

Solo para reconocimientos

preliminares.

corriente 0,02 L


- lecturas en fracciones de cm.

- distancias atrs y adelante

balanceadas en forma

aproximada.

- puntos de apoyo de las miras

en objetos slidos.

Se utiliza en labores de

construccin en general.

precisa 0,01 L


- lecturas afinadas al milmetro.

- puntos de apoyo metlicos.

- lecturas atrs y adelante

equilibradas.

Para fijar puntos de

referencia en trabajos de

levantamiento topogrfico o

para faenas de construccin

de proyectos especficos

como caminos, canales, etc.

de gran

precisin 0,005 L


- lecturas en lo posible a la

dcima de milmetro.

- puntos de apoyo en clavos

metlicos especialmente

diseados; se evita nivelar con

viento y adems el nivel se

debe proteger con una sombrilla

especial para evitar el calor del

sol.

Para trabajos en que se

requiera gran precisin.


2.4.-ERRORES QUE SE PUEDEN COMETER EN UNA NIVELACIN

GEOMTRICA.-

1) Correccin imperfecta del instrumento: se evita corrigiendo el instrumento o en su

defecto se puede operar pero teniendo cuidado que las visuales hacia delante sean

iguales que las de atrs.

2) Error de paralaje: se manifiesta cuando hay un mal enfocamiento de los hilos del

retculo o de la mira. Esto hace que la imagen se vea distorsionada y no se puedan

apreciar en forma clara los valores de la mira. Por tal razn, ser necesario siempre

hacer la nivelacin de enfoque en su forma mas adecuada.

3) Error por refraccin atmosfrica: este error se produce en los das relativamente

calurosos y se manifiesta porque la mira se ve distorsionada y no se pueden leer sus

nmeros. Se recomienda para este caso, acortar las distancias de lecturas hacia atrs

y hacia delante.

4) La mira no tiene longitud estndar: con el uso, estos accesorios tienden a

deformarse especialmente en su base lo cual hace que su dimensin se acorte. Ser

necesario cuando se trabaje con miras ya gastadas, verificarlas para determinar esta

variacin en su longitud.

5) La mira no est aplomada: esto trae como consecuencia que las lecturas que se

hacen son mayores que las reales y por lo tanto para evitar esto se deber en el

instante de la visada bascular la mira hacia delante y hacia atrs, leyendo su menor

valor.

6) Imprecisin en los puntos de cambio: muchas veces, cuando se nivela, se coloca la

mira sobre un punto que es muy parecido con otros que estn a su alrededor. Esto

hace que halla un error de lectura hacia atrs cuando se cambia el instrumento, lo

que afectar al cierre de la nivelacin.


7) Mala centracin de la burbuja en el instante de hacer las visuales: esto produce un

error de lectura, por cuanto no se esta leyendo en la lnea de puntera de la

horizontal y solo se evita centrando la burbuja cada vez que se hace una visada.

8) Hundimiento del trpode: sucede en terrenos relativamente blandos y no se apoya

firmemente las patas del trpode al terreno.

9) Error de lecturas: se refiere a pequeas diferencias en la apreciacin de los

milmetros.

10) Error por curvatura de la tierra.

2.5.-FALTAS EN UNA NIVELACIN GEOMTRICA.-

1) Confundir los nmeros en la mira.

2) Anotar las lecturas en una columna que no corresponde.

3) Tomar puntos de apoyo equivocados.

4) Errores de clculo.


2.6.- COMPENSACION DE UNA RED DE NIVELACION

Mtodo de los Mnimos Cuadrados (Por ecuaciones de condicin) Dada la siguiente red de nivelacin:

64 Km.

83 K

m.

56 Km

.

53Km.

42Km.

26Km.

43 K

m.

54 Km.

a

c

b

d

ef

g

h

A B

F

C

DE

+5,241

-1,8

78

+3,261 +3,564

-4,203-2,5

44

-4,9

08

+2,277

1) a b + c = 0

2) d + e + f + b = 0 Condicin ideal

3) g + h e = 0

1) (a + V1) (b + V2) + (c + V3) = 0

2) (d + V4) + (e + V5) + (f + V6) + (b + V2) = 0 Condicin real

3) (g + V7) + (h + V8) (e + V5) = 0


Sustituyendo en 1, 2 y 3 se tiene:

(5,241 + V1) (3,261 + V2) + (1,878 + V3) = 0

(3,564 + V4) + (2,544 + V5) + (4,203 + V6) + (3,261 + V2) = 0

(4,908 + V7) + (2,277 + V8) (2,544 + V5) = 0 V1 V2 + V3 + 0,102 = 0

V4 + V5 + V6 + V2 + 0,078 = 0 Ecuaciones Especficas

V7 + V8 V5 0,087 = 0

Tenemos que:

5443422653835664

28

27

26

25

24

23

22

21 VVVVVVVVu +++++++= Mnimo

- 2K1 (V1 V2 + V3 + 0,102) = 0

- 2K2 (V4 + V5 + V6 + V2 + 0,078) = 0

- 2K3 (V7 + V8 V5 0,087) = 0

02642

11

1

== KVdVdu V1 = 64 K1

022562

212

2

=+= KKVdVdu V2 = 56 ( K1 + K2)

02832

13

3


0253

21

4

4


022262

325

5

=+= KKVdVdu V5 = 26 (K2 K3)

0242

22

6

6



0243

23

7

7


02542

38

8


Reemplazando en las Ecuaciones Especficas:

1) 64 K1 + 56 K1 56 K2 + 83 K1 = 0,102

203 K1 56 K2 = 0,102

2) 56 K1 + 56 K2 + 53 K2 + 26 K2 26 K3 + 42 K2 = 0,078

56 K1 + 177 K2 26 K3 = 0,078

3) 26 K2 + 26 K3 + 43 K3 + 54 K3 = 0,087

26 K2 +123 K3 = 0,087

203 K1 56 K2 = 0,102

56 K1 + 177 K2 26 K3 = 0,078

26 K2 +123 K3 = 0,087

FORMACION MECANICA ECUACIONES NORMALES

Fila V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 a 1 -1 1 - - - - - = - 0,102 b - 1 - 1 1 1 - - = - 0,078 c - - - - -1 - 1 1 = 0,087 p 64 56 83 53 26 42 43 54

[aa] 203 [ab] 56 [ac] 0 = 0,102

[ba] -56 [bb] 177 [bc] -26 = 0,078

[ca] 0 [cb] 26 [cc] 123 = 0,087


Obs.: [aa] = =

+++=n

innii apapapap

1

2222

211

2 ...

[ab] = =

+++=n

innniii bapbapbapbap

1222111 ...

203 K1 56 K2 = 0,102

56 K1 + 177 K2 26 K3 = 0,078

26 K2 +123 K3 = 0,087

Resolviendo el sistema de ecuaciones, tenemos:

K1 = 0,0006578

K2 = 0,0005623

K3 = 0,0005885

Luego:

V1 = 0,0421 V4 = 0,0298 V7 = 0,0253

V2 = 0,0053 V5 = 0,0299 V8 = 0,0318

V3 = 0,0546 V6 = 0,0236

Comprobacin:

V1 V2 + V3 = 0,102

0,042 0,005 0,055 = 0,102

V4 + V5 + V6 + V2 = 0,078

0,030 0,030 0,023 + 0,005 = 0,078

V7 + V8 V5 = 0,087

0,025 + 0,032 + 0,030 = 0,087


Por lo tanto, los desniveles corregidos son:

a = 5,241 - 0,042 = 5,199b = 3,261 + 0,005 = 3,266c = -1,878 - 0,055 = -1,933d = 3,564 - 0,030 = 3,534e = -2,544 - 0,030 = -2,574f = -4,203 - 0,023 = -4,226g = -4,908 + 0,025 = -4,883h = 2,277 + 0,032 = 2,309


3.- PERFILES TOPOGRAFICOS

3.1.-PERFIL LONGITUDINAL.-

Definicin.-

El perfil longitudinal es una representacin grfica materializada en el terreno

en una direccin o con cambios en ella a distancias especificas de acuerdo a las exigencias

e irregularidades del terreno y en el cual, a los puntos tomados se le ha calculado la cota

correspondiente. Generalmente, el perfil longitudinal se dibuja a dos escalas, una para

representar las abcisas y que corresponden a las distancias entre los puntos y la otra para

representar sus alturas o cotas. Su utilidad se manifiesta en que a travs de el podemos

trazar lneas denominadas rasantes y que en los proyectos especficos permiten cuantificar

las alturas de corte o terrapln en funcin de las pendientes que se dan a estas lneas. A

continuacin se presenta el esquema de un perfil con todas sus partes:

El perfil longitudinal sirve para: conocer la forma del terreno, trazar lneas imaginarias

(rasantes) con pendientes y distancias; y cuantificar alturas de corte y terrapln.


3.2.-PERFILES TRANSVERSALES.-

Definicin.-

Son representaciones graficas perpendiculares a los puntos tomados en el perfil

longitudinal, con un ancho establecido de acuerdo a un perfil tipo. Nos muestra las

posiciones y cotas de puntos hacia ambos lados del perfil longitudinal. Se dibujan

generalmente a una escala, aun cuando tambin en algunos casos pueden ser dos. Su

objetivo es poder determinar las superficies ya sea de corte o terrapln y con posterioridad

determinar el movimiento de tierra o volmenes de corte o terrapln. A continuacin se

muestra un registro tipo de una nivelacin transversal, correspondiente a un punto del perfil

longitudinal, adems de sus representacin grafica:

LECTURAS COTAS DIST. Atrs Intermedia Adelante Instrumental Punto

0 2,321 39,151 36,830 P.L. 3 I 2,000 37,151 8 I 1,953 37,198 4 D 3,333 35,818 8 D 3,560 35,591


3.3.-PERFIL TIPO.-

Representacin grafica que nos muestra un corte transversal de un camino, canal,

calle, avenida, etc. En el se indican las especificaciones tcnicas tanto de orden

topogrfico como constructivas. Ej.: porcentaje de pendientes, anchura de las calzadas,

bombeo o pendiente transversal, dosificaciones de las mezclas, alturas de platabandas,

dimensiones de las enfierraduras para obras de arte, etc. Ejemplos:

3.3.1.-De un camino:

3.3.2.-De una calle


3.3.3.-De un canal

Los perfiles tipo tienen como objetivo superponerse en los perfiles transversales

haciendo calzar la cota de la rasante determinada en el perfil longitudinal con la ubicacin

en el eje del perfil transversal correspondiente. Adems, en el perfil transversal se obtienen

las superficies de corte y terrapln, que pueden ser calculadas por diferentes mtodos. En

esta seccin nos vamos a dedicar a este tema: calculo de superficies y cubicaciones.

4.-CALCULO DE SUPERFICIES.-

4.1.-Mtodos matemticos: a travs de formulas que determinan el rea de figuras

especificas (tringulos, rectngulos, trapecios, crculos, etc.

4.2.-Mtodos grficos: aplicacin de reticulados.

4.3.-Mtodo por coordenadas polares: daremos nfasis a este mtodo.

4.4.-Mtodos mecnicos: se utiliza el planmetro, instrumento que consta de un puntero

que recorre el permetro de una figura y de un marcador que entrega la superficie en

cm2.


Se tiene la siguiente figura con vrtices con coordenadas (x,y):

AREA I (AI) = A12CA A13BA B32CB

AI = [(x1 + x2) / 2 * (y1 y2)] [(x1 + x3) / 2 * (y1 y3) ] [(x2 + x3) / 2 * (y3 y2)] 2AI = (x1 + x2) (y1 y2) - (x1 + x3) (y1 y3) - (x2 + x3) (y3 y2)

2AI = x1y1 x1y2 + x2y1 x2y2 (x1y1 x1y3 + x3y1 x3y3) (x2y3 x2y2 + x3y3 x3y2) 2AI = x1y1 x1y2 + x2y1 x2y2 x1y1 + x1y3 - x3y1 + x3y3 x2y3 + x2y2 - x3y3 + x3y2

+ X Y - X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3 X4 Y4

2AI =

+1 -2

AI = ( 1 - 2 ) / 2

Ejemplo: Calcular la superficie de un polgono cuyos vrtices poseen las siguientes

coordenadas: Vrtice x (m) y (m)

1 300 400 2 400 50 3 100 200 1 300 400


Utilizando el modelo anterior, tenemos:

1 = (300*50) + (400*200) + (100*400) = 135.000 2 = (400*400) + (50*100) + (200*300) = 225.000

1 - 2 = 90.000 / 2 = 45.000 m2 = 4,5 hs.

Ejercicio: en el siguiente perfil transversal se ha aplicado un galibo tipo de un camino.

Determinar por el mtodo de coordenadas rectangulares las superficies de corte y terrapln:

Respuesta: superficie de terrapln son 28,4 m2 ; superficie de corte son 18,29 m2 .

5.-MOVIMIENTOS DE TIERRAS ( CUBICACIONES ).-

En esta seccin me referir a las distintas situaciones que se presentan en el

movimiento de tierra y a su forma de clculo:


1er caso: Un perfil transversal en corte y el siguiente tambin en corte.

2do caso: Un perfil en terrapln y el otro tambin en terrapln.

3er caso: Un perfil transversal en corte y el siguiente en terrapln.


4to caso: Un perfil transversal en terrapln y el siguiente en corte. Es similar al

anterior debiendo intercambiar las formulas correspondientes.

5to caso: Perfiles transversales mixtos.


5.1.-REGISTRO Y CALCULO DE CUBICACIONES.-

5.1.1.-Parte grfica:


5.1.2.-Registro

SUPERFICIE VOLUMEN PARCIAL VOLUMEN TOTAL

PUNTO DISTANCIA

ACUM. (KM) CORTE TERRAPL. CORTE TERRAPL. CORTE TERRAPL.

54 1,060 12,3 (1) 32,6 (2) 50,43 3708,32 3401,70 1,5 (3) 3,07 3758,75

55 1,075 10,2 (1) 34,68 3761,82 3436,38 28,6 (2) 459,00 3895,38 4,0 (3) 21,82 3917,2 14,0 (4) 80,33 3997,53 18,8 (5) 10,0 (6) 53,88 4051,41

56 1,100 16,5 (4) 15,3 (5) 111,58 426,25 3873,40 4477,66 13,2 (6) 93,88 3967,28 16,5 (7) 1,2 (8) 1,76 4485,24 14,1 (9) 13,2 (10) 66,00 4033,28

57 1,120 16,0 (7) 325,00 4358,28 7,0 (8) 18,9 (9) 2,58 330,00 4360,86 13,2 (10) 66,00 4551,24 16,7 (11) 2,0 (12) 20,00 4571,24 16,9 (13) 13,2 (14) 93,34 4664,58

58 1,150 17,8 (11) 517,5 4878,36 1,0 (12) 14,5 (13) 5,00 471,00 4883,36 5135,58 14,8 (14) 117,34 5000,70


6.- MEDIDAS DE ANGULOS Y DIRECCIONES.-

6.1.- MEDIDAS DE ANGULOS CORRIENTES.-

Para medir un ngulo en terreno es necesario tener una lnea de referencia o norte que,

como se mencion en una oportunidad, puede ser supuesto, magntico o verdadero.

Podemos dar varios nombres a estos ngulos, segn el sentido en que fueron medidos. En

topografa conocemos:

6.1.1.- Azimut : es el ngulo medido a partir de una lnea de referencia en el sentido de los punteros del reloj y que van desde 0 a 400 grados en el sistema centesimal (g) y de 0

a 360 en el sexagesimal (o). El azimut puede ser tambin supuesto, magntico o

verdadero.

6.1.2.-Rumbo : es un ngulo agudo que va de 0 a 100g o de 0 a 90 a partir de una lnea Norte-Sur. El rumbo debe indicar el cuadrante en que se encuentra inserto. En

topografa los cuadrantes son Norte-Este (NE), Sur-Este (SE), Norte-Oeste (NO) y Sur-

Oeste (SO).

6.1.3.-Angulo de deflexin : es el ngulo formado por la prolongacin de una lnea y su desvo correspondiente. Los ngulos de deflexin pueden ser derechos o izquierdos y

van de 0 a 200g.

6.1.4.-ngulos interiores de un polgono : son aquellos formados por los lados adyacentes y hacia el interior de un polgono cerrado. Su sumatoria debe ser igual a

180 (n-2) o bien 200g (n-2), donde n es el numero de lados del polgono.

6.1.5.-ngulos exteriores de un polgono : son aquellos ngulos formados por los lados adyacentes y hacia la parte externa de un polgono cerrado. Su sumatoria es 180

(n+2) o bien 200g (n+2), donde n es el numero de lados del polgono.


6.2.- METODOS DE MEDICION PRECISA DE ANGULOS.-

Estos mtodos se utilizan cuando se requieren ngulos medidos en forma precisa

como para trabajos de poligonacin de precisin, replanteos y levantamientos topogrficos

de gran envergadura a travs de triangulaciones. Estos mtodos son los de repeticin y

reiteracin y ambos sern descritos ahora:

6.2.1.- METODO DE REPETICIN.-

Para poder aplicar este mtodo se necesita un teodolito repetidor, es decir, un

instrumento que permite repetir la medida del ngulo horizontal, acumulando lecturas

sucesivas sobre el limbo horizontal. El valor acumulado se divide por el nmero de

repeticiones, como se ver ms adelante. Estos teodolitos, que se usan para este sistema de

medicin, tienen un eje vertical de rotacin que permite girar el instrumento arrastrando el

limbo horizontal, lo que se denomina movimiento general, y un eje vertical de la alidada o

anteojo que permite girar el instrumento manteniendo fijo el limbo horizontal, con lo que se

produce un movimiento relativo del anteojo respecto del limbo. Ambos sistemas de rotacin

estn dotados de sendos tornillos de presin y de coincidencia o tangencia.

Lo que se trata de aprovechar en este mtodo es la ventaja de poder multiplicar un

ngulo en forma mecnico, obteniendo la lectura del producto de esa multiplicacin con la

misma precisin que la lectura de un ngulo simple.

En un teodolito se podr leer un ngulo como 25,002g cuando su valor est

comprendido entre 25,0015g y 25,0025g. Si este ngulo real se repite 5 veces sobre el limbo

horizontal, es decir, se multiplica por 5, se leer en el limbo una cifra en el orden de

125,012g cuando su valor est comprendido entre 125,0115g y 125,0125g. Tanto en la

medida simple del ngulo como en el ngulo multiplicado, el error de lectura posible en el

nonio es de 5cc. Al dividir por 5 el valor obtenido despus de 5 repeticiones, el ngulo real resultante es 25,0024g. El error de lectura posible es de 5cc : 5 = 1cc.


La precisin de este mtodo aumenta con el nmero de veces que se multiplica, o

repite, el ngulo. En las primeras repeticiones la precisin aumenta notoriamente para ir

decreciendo despus, por lo que se recomienda 5 6 repeticiones. Si se requiere mayor

precisin es preferible hacer el trabajo con un teodolito de mayor resolucin angular.

A continuacin se presenta un detalle de operatoria, registro y compensacin para un

ngulo medido por repeticin.

1) Se suelta el tornillo de presin del movimiento general de rotacin y se apunta el

anteojo aproximadamente sobre el punto A. Se bloquea el movimiento general y

con su tornillo de tangencia se apunta exactamente sobre A. Esta lectura se anota y

se denominar calaje.

2) Se suelta el movimiento sobre el eje de la alidada y se apunta el anteojo hacia B, se

aprieta el tornillo de presin y se lleva la visual, con el tornillo de tangencia de la

alidada, exactamente sobre B.

3) Se anota la lectura del ngulo horizontal observado.

4) Se suelta el movimiento general y, rotando el teodolito siempre en el sentido

horario, se vuelve a apuntar hacia A por segunda vez, se aprieta el tornillo de

presin y se apunta exactamente sobre el punto A mediante el tornillo de tangencia

del movimiento general.

5) Se suelta el tornillo de presin de la alidada y se apunta el anteojo hacia B, se

aprieta el tornillo de presin y se apunta exactamente con el tornillo de tangencia de

la alidada. Con esto se completa la segunda repeticin.

6) Se repiten las operaciones 4 y 5, cuantas veces sea necesario hasta completar el

nmero de repeticiones para, finalmente, anotar el ngulo horizontal que se observa.


7) Se repiten las operaciones 1 a 6 para los ngulos BEC y CEA. En este ltimo caso

se est midiendo un ngulo suplementario respecto de 400g por lo tanto se transita

el instrumento, se cala hacia C y se gira sobre la alidada cuando se va desde C hacia

A y se gira sobre el movimiento general cuando se va desde A hacia C. En ambos

casos el giro se realiza en el sentido de los punteros del reloj.

REGISTRO POR REPETICIN

POSICION DIRECTA DIRECTA TRANSITO

Angulo AEB BEC CEA

Calaje 345,62 200,00 63,33

Valor 1era vez 129,86 345,42 133,66

Valor 4ta vez 282,5950 381,70 344,66

Giros completos 800,0000 400,0000 0,0000

Angulo total 1082,5950 781,7000 344,6600

Diferencia 736,9750 581,7000 281,3300

Angulo provisorio 184,2438 145,4250 70,3325

Correccin -0,0006 -0,0005 -0,0002

Angulo corregido 184,2432 145,4245 70,3323

184,2438 145,4250 70,3325 = 400,0013g = + 0,0013 184,2432 145,4245 70,3323 = 400,0000g

Esta forma de operar permite eliminar los errores

instrumentales compensables. Se debe girar siempre el

teodolito en sentido horario, ya se gire sobre la alidada o

sobre el movimiento general.. Si hay error de arrastre

entre la alidada y el limbo, el error es siempre en el

mismo sentido, tanto para el ngulo como para su

suplemento; este se puede compensar en proporcin al

ngulo como se puede ver en el ejemplo.


El registro se calcula, despus de haberse anotado los ngulos que indica el limbo, de la

siguiente manera:

1) La medida del primer ngulo ledo (que se obtiene de restar el calaje al valor de la

1era vez) se multiplica por el nmero n de repeticiones y se suma al calaje para

obtener el nmero de Giros Completos.

2) Los giros completos en grados se suman el valor de la n vez para obtener el

Angulo Total.

3) Al ngulo total se resta el calaje para obtener la Diferencia.

4) La diferencia se divide por n para obtener el Angulo Provisorio.

5) Se repite este clculo para los ngulos suplementarios.

6) Se suman todos los ngulos provisorios.

7) Se restan 400g a esta diferencia para obtener el error.

8) El error se reparte proporcionalmente entre los ngulos provisorios, es decir, el

error dividido por 400g se multiplica por cada ngulo provisorio y se obtiene cada

Correccin.

9) Se aplican las correcciones a cada ngulo provisorio obteniendo el Angulo

Corregido. La sumatoria de los ngulos corregidos debe ser 400g.


6.2.2.- METODO DE REITERACIN.-

La medida de un ngulo por reiteracin puede ejecutarse con un teodolito repetidor o

con uno reiterador. El mtodo se basa en medir varias veces un ngulo horizontal por

diferencia de direcciones y en diversos sectores equidistantes en el limbo, para evitar,

principalmente, errores de graduacin.

En una misma reiteracin se pueden medir ngulos colaterales. El ngulo de

reiteracin es de 200g dividido por el nmero de reiteraciones.

A continuacin se presenta en detalle la operatoria para una medida angular por

reiteracin y su correspondiente registro. Se supone que deben ser medidos los ngulos

P1AP2 , P1AP3 y P1AP4.

Una vez instalado el instrumento y en condiciones de observar, se proceder de la

siguiente forma:

1) se dirige el anteojo del teodolito en posicin directa hacia el punto P1, con el

instrumento calado en cero o cercano a cero. Se fija el tornillo de presin y se afina

la puntera con el tornillo de tangencia.

2) Se suelta el tornillo de presin de la alidada, se busca el punto P2 girando hacia la

derecha, se fija el tornillo de presin y se afina la puntera con el tornillo de

tangencia. Se anota el ngulo resultante en el limbo.

3) Se repite la operacin para P3, despus para P4 y todos los dems puntos o vrtices

hasta volver a apuntar sobre P1, girando siempre hacia la derecha y anotando el

ngulo observado en cada punto.

4) Se hace trnsito y se vuelve a apuntar sobre P1 mediante el tornillo de tangencia. Se

anota el ngulo observado.


5) Se repiten en trnsito las operaciones 2 y 3 registrando los valores angulares

observados, con lo cual se tiene la primera reiteracin.

6) La segunda reiteracin se inicia fijando en el limbo el ngulo de reiteracin y

apuntando en directa hacia P1, fijando el limbo y soltando despus el anteojo para

mirar sucesivamente hacia P2, P3 ,P4, etc., hasta volver a P1, girando siempre el

anteojo hacia la derecha. Se anota el valor angular que efectivamente se observe

para cada punto hasta volver sobre A.

7) Se repiten en trnsito las operaciones 4 y 5.

8) Se vuelve a apuntar sobre P1 con el respectivo ngulo de reiteracin, repitiendo todo

el ciclo hasta la ltima reiteracin.

Este mtodo elimina errores instrumentales promediando valores. El anteojo se

debe rotar siempre en sentido horario. Si hay error de arrastre entre la alidada y el

limbo, el error para todos los ngulos es en el mismo sentido y se puede compensar,

modificando los valores en forma de anular la diferencia de la ltima lectura con 0g. La

exactitud de los resultados aumenta con el nmero de reiteraciones.


REGISTRO POR REITERACIN.-

EST. N Reit. Punto DIRECTA TRANSITO PROMEDIOPROMEDIO REDUCIDO

COMP. ( seg.)

ANGULOS CORREGIDOS

1

P1 P2 P3 P4 P1

0.01 39.63 74.18 98.39

399.99

200.00 239.64 274.19 298.39 200.01

0.0050 39.6350 74.1850 98.3900 400.0000

0.0000 39.6300 74.1800 98.3850 399.9950

e =- 0.0050

+ 0 + 5 + 9 + 12 + 50

0.0000 39.6305 74.1809 98.3862

400.0000

2

P1 P2 P3 P4 P1

100.00 139.64 174.19 198.38 99.99

300.00 339.64 374.18 398.39 300.00

100.0000 139.6400 174.1850 198.3850 99.9950

0.0000 39.6400 74.1850 98.3850 399.9950

e =-0.0050

+ 0 + 5 + 9 + 12 + 50

0.0000 39.6405 74.1859 98.3862

400.0000

3

P1 P2 P3 P4 P1

200.00 239.64 274.16 298.39 200.01

0.00 39.63 74.18 98.40 0.01

200.0000 239.6350 274.1700 298.3950 200.0100

0.0000 39.6350 74.1700 98.3950 400.0100

e =+0.0100

- 0 - 10 - 19 - 25 - 100

0.0000 39.6340 74.1681 98.3925

400.0000

A

4

P1 P2 P3 P4 P1

300.00 339.64 374.17 398.39 299.99

100.00 139.63 174.18 198.41 100.00

300.0000 339.6350 374.1750 398.4000 299.9950

0.0000 39.6350 74.1750 98.4000 399.9950

e =-0.0050

+ 0 + 5 + 9 + 12 + 50

0.0000 39.6355 74.1759 98.4012

400.0000

COMPENSACION UNITARIA

CU = - e .

ng. Giro

Para primera reiteracin:

CU1 = 0.0050 . = 0.0000125 seg./grado

399.9950

Compensacin:

P1 = 0.0000 x 0.125 = 0.000 seg. 0 seg.P2 = 39.6300 x 0.125 = 4.954 seg. + 5 seg.P3 = 74.1800 x 0.125 = 9.273 seg. + 9 seg.P4 = 98.3850 x 0.125 = 12.298 seg. + 12 seg.P1 = 399.9950 x 0.125 = 50.000 seg. + 50 seg.

CU2 = + 0.125 seg./grado CU3 = - 0.250 seg./grado CU4 =+ 0.125 seg./grado

ngulos definitivos

P1 0.0000 P2 39.6351 P3 74.1777 P4 98.3915

P1 400.0000


Para el clculo del registro se procede de la siguiente forma:

1) Se calcula el promedio de los valores obtenidos para cada direccin

correspondientes a las punteras que sobre los diversos puntos se efectuaron, tanto

en directa como en trnsito. Para los efectos del promedio, deber considerarse el

orden de magnitud real del ngulo, lo que equivale a restar el ngulo de reiteracin

y tener en cuenta los giros completos realizados.

2) El promedio reducido se calcula sumando algebraicamente a la primera direccin lo

que sea necesario para que su promedio quede en 0g. Este valor angular se suma,

con su signo, a cada una de las dems direcciones del promedio.

3) El promedio ponderado se obtiene haciendo que la ltima direccin cierre un giro

completo, 400g, las dems direcciones se corrigen con el mismo signo, en

proporcin a la magnitud de su promedio reducido.


6.3.-CALCULO DE COORDENADAS DE PUNTOS EN UN PLANO.-

Para esto tomaremos como eje de referencia la recta Norte Sur (NS).

Luego,

donde DH es la distancia horizontal y es el azimut correspondiente. Ejemplo: completar el siguiente cuadro.

DATOS COORDENADAS (g) DH (m) N (m) E (m)

85.30 75,25 17,222 73,253 108.64 236.40 278.16 52.75 301.21 107.15

cos AZ1 = N / d1 N = d1 cos AZ1 sen AZ1 = E / d1 E = d1 sen AZ1 cos (200 AZ2) = S / d2 S = d2 cos (200 AZ2) sen (200 AZ2) = E / d2 E = d2 sen (200 AZ2) cos (AZ3 200) = S / d3 S = d3 cos (AZ3 200) sen (AZ3 200) = O / d3 O = d3 sen (AZ3 200) cos (400 AZ4) = N / d4 N = d4 cos (400 AZ4) sen (400 AZ4) = O / d4 O = d4 sen (400 AZ4)

N S = DH cos E - O = DH sen


6.4.- CALCULO DE LA DISTANCIA HORIZONTAL DESNIVEL Y COTA DE

UN PUNTO.-

cos = (G/ 2) / (G / 2) = G / G G = G cos G = di = distancia inclinada cos = DH / G DH = G cos

DH = G cos2

COTAB = COTAA + hi + DV HM

tg = DV / DH DV = DH tg

DH = G sen2 z

DV = DH ctg z

COTA PUNTO = COTA ESTACION + h.i. D.V. H.M.


Ejemplo: se instala un taqumetro en la estacin A con cota arbitraria 42,450 m. y se mide una altura instrumental de 1,52 m. se visa hacia una mira aplomada en un punto B

observando un ngulo vertical de 110,25g, y las siguientes lecturas estadimtricas: HS = 3.029 , HM = 1.000 e HI = 0.786. Calcular la distancia AB y la cota del punto B.

G = (HS HI) * 100 = (3.029 0.786)* 100 = 224.30 m.

DH = G sen2 z = 224.30 * sen2 110.25g = 218.536 m.

DV = DH ctg z = 218.536 * ctg 110.25g

DV = - 35.493 m.

CB = CA + hi + DV + HM

CB = 42,450 + 1,52 35,493 + 1,000

CB = 10,277 m.

7.- METODOS DE LEVANTAMIENTO TOPOGRFICO.-

7.1.- RADIACIN.-

Consiste en medir distancias y ngulos desde un punto fijo hacia todos los puntos que

posteriormente se van a dibujar. Para sta metodologa es necesario un instrumento que

mida ngulos horizontales y verticales, adems de medir las distancias correspondientes.

Este instrumento se conoce con el nombre de taqumetro y adems debe incorporar la mira

o estada como accesorio. El taqumetro es un instrumento ptico-mecnico que consta de

un anteojo topogrfico con dos movimientos de rotacin lo que permite al instrumento leer

ya sea ngulos horizontales o verticales. Los hay de diferentes tipos y marcas, y por ende,

de diversas precisiones. Por lo general poseen un sistema de lectura que permite leer las

cifras y apreciar las fracciones de una unidad de medida angular. Los mas conocidos son

los de marcas WILD, CARL ZEISS, FENNEL KASSEL y otros.

La figura muestra un caso tpico de radiacin y al lado su registro:


7.2.- POLIGONACION.-

Consiste en formar un polgono en el terreno, y luego desde cada vrtice hacer una

radiacin hacia los detalles planimtricos, como muestra la figura:

EST. PTO. AZIMUT DIST. A NM 0,00 314 1 83,74 328 2 98,46 285 3 107,21 270

Si la poligonacin se hace por ngulos interiores, la sumatoria de los ngulos medidos debe tener una discrepancia de la sumatoria real no mayor a 2 minutos centesimales por la raz cuadrada del numero de lados del polgono. Error mximo angular = 2c n En este caso: n=5, e.m.a. = 25 = 4,47c Es decir, como la sumatoria real es: 200 (5 2 ) = 600, entonces la sumatoria de los ngulos medidos debe estar comprendida entre 599,9553g y 600,0447g


La frmula 2c n significa que el valor ptimo puede ser sobrepasado o quedado bajo, lo

que da el error mximo. La diferencia entre estos dos valores es lo que constituye el rango

de variacin y por lo tanto, un trabajo no ser aceptado si no cumple con estos valores.

Ahora bien, cuando se est dentro del intervalo, el error puede ser ajustado o compensado

en forma proporcional al numero de valores angulares que tiene la poligonal.

7.2.1.- PROCEDIMIENTOS PARA REALIZAR POLIGONALES.-

7.2.1.1.- Por ngulos interiores : existen dos formas:

Ordenamiento estaciones sentido punteros del reloj, calaje del cero hacia la estacin de adelante.

Ordenamiento estaciones sentido antihorario (retrogrado), calaje del cero hacia la estacin de atrs.

< A = 91,25 < B = 102,33 < C = 90,20 < D = 116,24 = 400,02

EMAX = 2 4 = 4c Error obtenido : 400,02 400 = 0,02g = 2c Correccin = 2 / 4 = 0,5 c


ngulos corregidos :

< A = 91,25 0,0050 = 91,2450

< B = 102,33 0,0050 = 102,3250

< C = 90,20 0,0050 = 90,1950

< D = 116,24 0,0050 = 116,2350

= 400,0000

7.2.1.2.- Por ngulos exteriores: el procedimiento es similar al anterior pero, como su nombre lo indica, se deben medir los ngulos exteriores del polgonos cuya sumatoria

debe estar dentro del rango de variacin permitido.

7.2.1.3.- Mtodo por azimut : es el mtodo ms utilizado y obedece a una orientacin que se traslada de una estacin a otra permitiendo as que esta se mantenga en todo el

recorrido. En la figura se puede apreciar ms fcilmente:

ESTACION PUNTO AZIMUT CORRECCION AZIMUTCORREGIDO A NM 0.00 B 88.46 0.00 88.46

B A 288.46 C 187.30 0.01 187.29

C B 387.30 D 295.31 0.02 295.29

D C 95.31 A 28.50 0.03 28.47

A D 228.50 B 88.50 0.04 88.46


Como el azimut de llegada es de 88,50 entonces el error es de 4g y se debe corregir. La

correccin ser 0,0400 / 4 = 0,0100


7.2.2.- POLIGONAL CERRADA.-

Una poligonal cerrada es aquella que cumple con las

siguientes condiciones:

Si no cumple con estas condiciones, quiere decir que hay un error de cierre de la

poligonal, que no debe superar como ya se dijo el error mximo de 2c n . En este caso

el error debe ser distribuido proporcionalmente en todas las estaciones.

Ms adelante veremos que hay diferentes mtodos para compensar una poligonal, y

veremos en que casos se debe utilizar uno y no otro. Por ahora solo diremos que estos se

desarrollan en funcin de:

El numero de estaciones. Las proyecciones. La distancia total recorrida. Una combinacin entre proyecciones y distancias.

En el siguiente registro se presenta una poligonal tpica con todos los datos de terreno

y el calculo de coordenadas. Se debe tener en cuenta la compensacin de los ngulos

verticales, cuya suma debe ser de 200g de ida y de vuelta. La diferencia se divide por dos y

se aplica a cada ngulo.

N = S E = O


EST. PTO. AZ Z G HM AZCOMP. ZCOMP. NM 0.0000 A2 99.2830 100.49 215 1.32 99.2780 100.48 A1 hi=1.32 A4 37.8550 102.20 135 1.32 A1 299.2830 99.53 215.5 1.49 A2

Hi=1,49 A3 73.7770 98.8325 162.5 1.49 73.7670 98.83 A2 273.7770 101.1725 163 1.54 A3

hi=1,54 A4 309.4800 101.32 291 1.54 309.4650 101.32 A3 109.4800 98.68 292 1.36 A4

hi=1,36 A1 237.8750 97.81 134.6 1.36 237.8550 97.805

PROYECCIONES EST. PTO. DH = G sen2 z DV = DH ctg z N = DH cos Az E = DH sen Az A1 A2 215.328 -1.623 2.441 215.224

A4 A2 A1

A3 162.695 2.990 65.160 149.077 A3 A2

A4 291.375 -6.042 43.161 -288.160 A4 A3

A1 134.640 4.644 -111.530 -75.425


7.2.3.- METODOS DE COMPENSACIN DE POLIGONALES.-

7.2.3.1.- METODO DEL TEODOLITO.-

Este mtodo funciona en base a las proyecciones. Se obtienen las proyecciones

y luego se calcula diferencia entre las sumatorias norte y sur y luego entre las sumatorias este y oeste. Luego estas

diferencias se dividen por la sumatoria total de las proyecciones obteniendo una constante que se multiplica por las

proyecciones iniciales para obtener las proyecciones compensadas. Se debe tener en cuenta que la sumatoria de las

correcciones debe ser igual al error, para que la poligonal efectivamente cierre.

PROYECCIONES CORRECCION PROY. COMPENSADAS COORDENADAS EST

. PTO

. AZIMUT DH NORTE ESTE N-S E-O NORTE ESTE NORTE ESTE A1 A2 220.557 190 -180.16 -60.33 -0.33 +0.057 -179.83 -60.39 1000.00 1000.00 A2 A3 171.22 310 -278.85 135.41 -0.52 -0.13 -278.33 135.28 820.17 939.61 A3 A4 40.60 260 208.89 154.79 +0.39 -0.15 209.28 154.64 541.84 1074.89 A4 A5 378.71 263 248.42 -86.32 +0.46 +0.08 248.88 -86.40 751.12 1229.53 A5 A1 300.00 143 0.00 -143.00 0.00 +0.13 0.00 -143.13 1000.00 1143.13

N = 457.31 S = 459.01 E = 290.20 O = 289.65 Error N-S = 459.01 457.31 = 1.70 N-S = 457.31 + 459.01 = 916.32 KN-S = Error N-S / N-S = 0.00185

Error E-O = 290.20 289.65 = 0.55 E-O = 290.20+ 289.65 = 579.85 KE-O = Error E-O / E-O = 0.00094... Correcciones: N-S = PROYN-S * KN-S

E-O = PROYE-O * KE-O


7.2.3.2.- METODO DE LA BRUJULA.-

Este mtodo varia en lo siguiente: para obtener la constante se divide el error por

la distancia total recorrida y luego para obtener las correcciones, la constante se multiplica por cada distancia parcial:

PROYECCIONES CORRECCION PROY. COMPENSADAS COORDENADAS EST PTO AZIMUT DH NORTE ESTE N-S E-O NORTE ESTE NORTE ESTE

A1 A2 220.557 190 -180.16 -60.33 -0.28 0.09 -179.88 -60.42 1000.00 1000.00 A2 A3 171.22 310 -278.85 135.41 -0.45 -0.15 -278.40 135.26 820.12 939.58 A3 A4 40.60 260 208.89 154.79 0.38 -0.12 209.27 154.67 541.72 1074.84 A4 A5 378.71 263 248.42 -86.32 0.38 0.12 248.80 -86.44 750.99 1229.51 A5 A1 300.00 143 0.00 -143.00 0.21 0.07 0.21 -143.07 999.79 1143.07

N = 457.31 S = 459.01 E = 290.20 O = 289.65 DH = 1166 m. Error N-S = 459.01 457.31 = 1.70 KN-S = Error N-S / DH = 0.0014

Error E-O = 290.20 289.65 = 0.55 KE-O = Error E-O / DH = 0.0004

Correcciones:

N-S = Distancia * KN-S

E-O = Distancia * KE-O


7.2.3.3.- METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS.-

En este mtodo las correcciones se obtienen a travs de

sumatorias de trminos cuadrados la cual debe ser mnima (de ah el nombre del mtodo), cuyo anlisis es mas conocido como

regresin lineal. A continuacin del ejemplo se presentan las formulas que deben ser utilizadas:

EST. Si SXi SYi Pi Mi Ni Ami BPi SXi APi Bni SYi SXi SYi X Y

A1 220.57 190 -60.329 -180.168 0.572 0.192 1.708 -0.029 0.116 0.087 -0.087 0.346 0.258 -60.242 -179.910 1000.000 1000.000A2 171.22 310 135.418 -278.858 -1.218 0.592 2.508 -0.090 -0.247 -0.337 0.186 0.508 0.694 135.081 -278.164 939.758 820.090 A3 40.60 260 154.800 208.895 1.244 0.922 1.678 -0.141 0.252 0.110 -0.190 0.340 0.150 154.910 209.045 1074.839 541.926 A4 378.71 263 -86.323 248.430 -0.815 0.283 2.347 -0.043 -0.165 -0.208 0.124 0.475 0.599 -86.531 249.029 1229.749 750.971 A5 300.00 143 -143.00 0.000 0.000 1.430 0.000 -0.218 0.000 -0.218 0.000 0.000 0.000 -143.218 0.000 1143.218 1000.000

0.566 -1.701 -0.217 3.419 8.241 -0.566 1.701 0.000 0.000

Frmulas: (con Si = Distancia horizontal y = Azimut) SXi = Si sen SYi = Si cos ex = SXi ey = SYi Pi = ( (SXi * SYi) / (Si * 100) ) ; P = Pi Mi = ( (SXi 2) / (Si * 100) ) ; M = Mi Ni = ( ( SYi 2) / (Si * 100) ) ; N = Ni SXi = A*Mi + B*Pi SYi = A*Pi + B*Ni SXi = SXi + SXi SYi = SYi + SYi

A = ( -N*ex + P*ey ) / ( M*N P2) B = ( P*ex - M*ey ) / ( M*N P2)


7.2.4.- POLIGONAL DE ENLACE

Una poligonal de enlace es aquella que parte de un punto de coordenadas conocidas y llega a

otro punto tambin de coordenadas conocidas. La diferencia de estas coordenadas nos entrega el valor de la suma de las proyecciones

ya sea en norte o en este, por lo tanto podemos determinar el error de cierre de la poligonal, lo que nos permite su posterior

compensacin con alguno de los mtodos existentes. En el siguiente registro se presenta una poligonal de enlace compensada por el

mtodo de la brjula. Se deja como tarea al lector utilizar otros mtodos y comparar las coordenadas finales:

Proyecciones Correcciones Proyecciones Compensadas Coordenadas

E

S

P

T

AZ Z G DH = Gsen2z N E N-S E-O N E N E E1 E2 75.47 97.74 66.1 66.0 24.8 61.2 0.0 0.0 24.8 61.2 1000.0 1000.0E2 E3 56.30 102.11 101.0 100.9 64.0 78.0 0.1 0.1 64.1 78.1 1024.8 1061.2E3 E4 58.57 102.51 90.8 90.7 54.9 72.2 0.1 0.0 55.0 72.2 1088.9 1139.3E4 E5 58.67 97.52 84.0 83.9 50.7 66.8 0.1 0.0 50.8 66.8 1143.9 1211.5E5 E6 46.15 100.21 67.0 67.0 50.2 44.4 0.1 0.0 50.3 44.4 1194.7 1278.3E6 E7 69.35 100.10 58.3 58.3 27.0 51.7 0.0 0.0 27.0 51.7 1245.0 1322.7E7 E8 57.79 99.91 70.2 70.2 43.2 55.3 0.1 0.0 43.3 55.3 1272.0 1374.4E8 = 314.8 429.6 1315.3 1429,7 e = - 0.5 - 0.1 KNS = 0.00093 KEO = 0.00018


7.3.- TRIANGULACION

ANTECEDENTES GENERALES

Definicin.-

La triangulacin es un mtodo de levantamiento topogrfico que permite

ubicar puntos en terreno

Guia de Topografia de Juan Abuid Ed. Final

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