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Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: [email protected]. Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47

VICERRECTORADO ACADÉMICO Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia (CEIDIS)

NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI”

Guía didáctica: Álgebra

Curso de Extensión

PARTE E SESIONES 17 - 19

Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor Contenidos desarrollados por: Francísco Carrera, José Luis García.

MATERIAL EN REVISIÓN

Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: [email protected]. Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47

NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI”

CURSO DE EXTENSIÓN

ÁLGEBRA

MODALIDAD: NO PRESENCIAL

DURACIÓN: 5 SEMANAS

FACILITADORES

MARTES – MIÉRCOLES – JUEVES Horario: 8:30 A.M. – 11:30 A.M.

2:00 P.M. – 5:00 P.M.

CONSULTAS

SEMANA 1: 05/11/2007 al 09/11/2007 SESIONES 1 - 4

SEMANA 2: 12/11/2007 al 16/11/2007

SESIONES 5 - 9


SEMANA 4: 26/11/2007 al 30/11/2007

SESIONES 14 - 16


1 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.

Curso Básico de Nivelación en el área de

Álgebra

Contenidos desarrollados por: Prof. Francisco Carrera Lic. José Luís García

Índice Introducción……………………………………………….. i Objetivos…………………………………………………… ii Estrategias………………………………………………….. iv Contenido Programático ………………………………. vi Tema 1 “Preliminares”

Sesión 1: Preliminares ……………………. …..1 Problemas propuestos……………………… 22 Autoevaluación 1…………………………..... 24

Tema 2 “Operaciones notables” Sesión 2: Operaciones notables……….…. 26 Problemas propuestos……………………… 42 Autoevaluación 2……………………………. 43 Sesión 3: Operaciones notables………..… 45 Problemas propuestos……………………… 53 Autoevaluación 3…………………………… 54 Sesión 4: Operaciones notables………..… 57 Problemas propuestos……………………… 66 Autoevaluación 4…………………………… 67

Datos de Identificación Ciclo: Introductorio Duración: 10 semanas Unidad Académica: Correo electrónico:

Datos de Identificación Profesores del área:

Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Nayive Jaramillo, José Luís García

Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia.


Tema 3 “Teorema del resto” Sesión 5: Teorema del resto………….…… 69 Problemas propuestos………………………78 Autoevaluación 5 …………………………...79 Sesión 6: Teorema del resto………….…… 83 Problemas propuestos………………………91 Autoevaluación 6 …………………………...92

Tema 4 “Factorización” Sesión 7: Factorización …………………….95 Problemas propuestos……………….……107 Autoevaluación 7………………………….108 Sesión 8: Factorización ………………….. 110 Problemas propuestos……………….…… 126 Autoevaluación 8…………………………. 127 Sesión 9: Factorización ………………….. 129 Problemas propuestos……………….…… 149 Autoevaluación 9…………………………. 150

Tema 5 “Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios”

Sesión 10: Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios …………152 Problemas propuestos……………….…… 182

Autoevaluación 10……………………… 183 Tema 6 “Expresiones racionales”

Sesión 11: Expresiones racionales …..… 187 Problemas propuestos ……………….….. 203 Autoevaluación 11………………………… 205 Sesión 12: Expresiones racionales …..… 209 Problemas propuestos ……………….….. 215 Autoevaluación 12………………………… 217 Sesión 13: Expresiones racionales …..… 221 Problemas propuestos ……………….….. 228 Autoevaluación 13………………………… 230

Tema 7 “Ecuaciones”

Sesión 14: Ecuaciones ……………. …..… 234 Problemas propuestos ……………….….. 250 Autoevaluación 14………………………… 252

Sesión 15: Ecuaciones ……………. …..… 256 Problemas propuestos ……………….….. 263 Autoevaluación 15………………………… 265

Tema 8 “Matrices, determinantes y sistema de ecuaciones”




Sesión 16: Matrices, determinantes y sistema de ecuaciones ……………………...……….. 268 Problemas propuestos ……………….…. 280 Autoevaluación 16……………………….. 282 Sesión 17: Matrices, determinantes y sistema de ecuaciones ……………………...……….. 286 Problemas propuestos ……………….…. 299 Autoevaluación 17……………………….. 301 Sesión 18: Matrices, determinantes y sistema de ecuaciones ……………………...………... 305 Problemas propuestos ……………….….. 310 Autoevaluación 18……………………….. 312

Tema 9 “Números complejos”

Sesión 19: Números complejos………... 316 Problemas propuestos ……………….….. 323 Autoevaluación 19……………………….. 324




Introducción Álgebra es el área de la matemática que

estudia las cantidades en una forma abstracta, a

través de símbolos, relacionándolas por medio de operaciones

simbólicas que resumen operaciones aritméticas. Las asignaturas de

las carreras de ingeniería requieren dominar con destreza dichas

operaciones. Procurando cubrir esta necesidad, se ha elaborado el

curso de nivelación en Álgebra, dirigido a estudiantes de nuevo

ingreso de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Los Andes.

Esencialmente orientado a la apropiación de los conceptos básicos

del Álgebra, el curso ofrece contenidos tales como: Operaciones

Notables, Teorema del Resto, Factorización, Máximo Común Divisor y

Mínimo Común Múltiplo de Polinomios, Expresiones Racionales,

Ecuaciones, Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones. Así

pues, se complementará la formación en el área, para lograr un

nivel adecuado que facilite el proceso de enseñanza-aprendizaje

de los estudiantes

Objetivos

Objetivo general Capacitar al estudiante en la aplicación de las herramientas

básicas del álgebra.

Objetivos específicos

Tema 1: Preliminares

Aplicar las propiedades de la potenciación, los productos y los cocientes notables en la solución de problemas.

Tema 2: Operaciones Notables

Resolver problemas relacionados con la división de polinomios. Emplear los teoremas del resto y del factor.

Tema 3: Teorema del Resto

Resolver problemas utilizando todos los productos de dos o tres factores.

Tema 4: Factorización

Utilizar los conceptos de divisor, múltiplos, máximo y mínimo común.




Tema 5: Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo de

Polinomios

Manejar expresiones racionales de todo tipo.

Tema 6: Expresiones Racionales

Resolver ecuaciones de primer grado.

Tema 7: Ecuaciones

Resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

Tema 8: Matrices, Determinantes y Sistema de Ecuaciones

Discutir y resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando los principios básicos de matrices y determinantes y de hallar la inversa de una matriz.

Tema 9: Números Complejos

Reconocer y emplear los números complejos.

Estrategias Realizar estudios a distancia es una tarea que requiere esfuerzo, voluntad y dedicación, pero que a su vez depara grandes satisfacciones, tanto de índole personal como profesional. Esta modalidad le permitirá.

1.- Estudiar a su propio ritmo y administrar su propio tiempo, en la

comodidad de su domicilio. 2.- Disponer de Módulos Instruccionales Asistidos Por El

Computador, M.I.A.C., que facilitan el proceso de enseñanza y aprendizaje.

Los Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador, M.I.A.C. están estructurados de la siguiente manera dentro del PLAN DEL CURSO:

− Temas: comprendidas por sesiones de clases teóricas, las

cuales abarcan todos los contenidos del curso.

− Sesiones: conformadas por temas que deben leerse, para

ser analizados e interpretados y por actividades que deben

realizarse en un tiempo determinado.

− Objetivos específicos por cada tema: muestran de manera

clara los aprendizajes que lograrán durante la interacción

con cada sesión.

− Contenidos: a través de éstos se puede interactuar con los

diferentes temas que comprende cada sesión.




− Actividades: se plantea de forma sencilla los pasos que

deben seguirse para el logro de los objetivos de enseñanza y

aprendizaje de cada sesión. Como estudiante podrás

descargar y/o revisar los contenidos en formato PDF, repasar

los temas más importantes (críticos) a través de clases

interactivas, realizar ejercicios prácticos y, al finalizar, podrás

realizar una autoevaluación, la que te permitirá determinar el

nivel de aprendizaje obtenido en cada sesión.

− Recursos: contienen los enlaces a páginas recomendadas

por el autor, ejercicios propuestos y resueltos, bibliografía y

vocabulario empleado.

− Autoevaluaciones: contiene un enlace, al que se accede

después de finalizar las actividades de cada tema. Esta la

realizarás cuando te sientas preparado para presentar la

evaluación final.

− Respuestas a las autoevaluaciones: al final de cada tema se

encuentran las respuestas a las autoevaluaciones.

− Respuestas a los ejercicios propuestos: al final de cada tema

se encuentran las respuestas a los ejercicios propuestos.

Recomendaciones generales para cursar esta asignatura:

- Realizar todas las actividades propuestas en cada sesión

- Realizar dos sesiones semanales como mínimo durante el

transcurso de 10 semanas.

- Leer pausadamente cada sesión de clase.

- Realizar cuidadosamente los ejercicios resueltos y propuestos y

verificar las soluciones a los mismos, cuyas respuestas se encuentran

al final de cada tema.

- Es indispensable realizar las autoevaluaciones de cada sesión con

la finalidad de verificar individualmente el aprendizaje logrado en

cada sesión de clases.

- No ver los resultados de las autoevaluaciones que se encuentran

al final de la unidad, antes de realizar las mismas.

- Es importante consultar a través del correo electrónico

[email protected] cualquier duda de los temas expuestos.



286 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 8: Matrices, determinantes y sistema de ecuaciones

Tema 8 / Sesión 17

Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras

Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia


.

Sesión 17


* Aplicar las propiedades de identificación de clase, operaciones de suma de producto, analizar y resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Actividades

* Leer el contenido de la sesión 17 sobre “Determinantes”

* Visitar las páginas recomendadas * Realizar ejercicios resueltos * Realizar la autoevaluación propuesta al final de la

sesión

Recursos

* Contenido de la sesión 17: “Determinantes” * Páginas Web recomendadas * La autoevaluación de la sesión 17

Determinantes

Asociado con cada matriz cuadrada A, de dimensión n × n, hay un

número que llamamos determinante de A y que denotaremos por

|A|, el cual tendrá dimensión igual a "n".

Tendremos que:

A = |A| = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

Matriz … Determinante

Dada la matriz A de dimensión n × n, entonces diremos que la

dimensión u orden del determinante |A| es “n”.

Para calcular el número asociado a cada matriz que llamamos

determinante, debemos tener en cuenta la dimensión de la matriz.

Para una matriz de un sólo elemento, es decir, de dimensión 1 × 1,

A = [a11] definimos el |A| = a11.

1. Determinante de segundo orden

Cuando la matriz A = tendremos la siguiente definición ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2221

1211

aaaa


Tema 8 / Sesión 17



para el determinante:

|A| = 2221

1211

aaaa

= a11 a22 − a12 a21 (1)

Ejemplo 8.13

Hallar el determinante de las matrices A = y B = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−1231

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −4523

Aplicando la fórmula (1), tendremos que:

|A| = 1231− = (−1)(1) − (3)(2) = −7

|B| = 4523 − = (3)(4) − (−2)(5) = 22

.

2. Determinante de tercer orden

Para una matriz A de dimensión 3 x 3, el determinante de tercer

orden (|A|) se calcula aplicando la Regla de Sarrús. Esta regla

podemos verla como resultado de ampliar la matriz A, aunque

originalmente no fue esta la justificación, con las dos primeras

columnas de dicha matriz y luego se suman el producto de los

términos de las diagonales principales y se restan el producto de los

términos de las diagonales secundarias.

Dada A = , entonces la matriz ampliada es: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

B = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aaaaaa

aaaaaaaaa

El producto de las diagonales principales es:

Primera diagonal = a11 a22 a33

Segunda diagonal = a12 a23 a31

Tercera diagonal = a13 a21 a32

Producto de las diagonales = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32

El producto de las diagonales secundarias es:

Primera diagonal = a13 a22 a31

Segunda diagonal = a11 a23 a32

Tercera diagonal = a12 a21 a33

Producto de las diagonales = a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33


Tema 8 / Sesión 17



Si ahora restamos el primer producto del segundo producto,

tendremos la fórmula para calcular el determinante de tercer orden:

|A| =

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 −

(a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33)

.

Ejemplo 8.14

Hallar el determinante de A = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

112102113

Aplicando la Regla de Sarrús, tendremos que:

|A| = 112

102113

−

−

= (3)(0)(−1) + (−1)(1)(2) + (1)(2)(1) −

{(1)(0)(2) + (3)(1)(1) + (−1)(2)(−1)

= 0 − 2 + 2 − {0 + 3 + 2} = 0 − 5 = −5

3. Determinante de orden superior

Para una matriz A de dimensión n x n, superior a 3 x 3, el

determinante de dicha matriz (|A|) se calcula aplicando el

método de eliminación de Gauss-Jordan. Este método se utiliza par

la resolución de sistemas de ecuaciones, sin embargo por extensión

es aplicable a la solución de determinantes, para ello habrá que

tener presente las propiedades que tienen los determinantes.

3.1. Propiedades de los determinantes

Las propiedades que daremos a continuación son aplicables para

los determinantes de una matriz cuadrada de cualquier orden. En los

casos en que se realice alguna transformación en la matriz original, si

el determinante de la matriz resultante no varia, entonces diremos

que ambas matrices son equivalentes.

1. Si se multiplican todos los elementos de una fila (ó columna) por

un escalar c, entonces el valor del determinante queda

multiplicado por c.

2. Si todos los elementos de una fila (ó columna) tienen un factor

común, entonces éste se puede sacar fuera del determinante.


Tema 8 / Sesión 17



Ejemplo 8.15

.

Sea la matriz A = . Si multiplicamos los elementos de la

última fila por 3, tendremos la matriz B =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

212126

114

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

636126

114

Podemos ahora comprobar que:

|A| = −16 + 2 + 6 − (4 − 4 + 12) = −20

|B| = −48 + 6 + 18 − (12 − 12 + 36) = −60

|B| = (3) |A|

Similarmente, vemos que la primera columna tiene 2 como factor

común, entonces:

C = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

211123

112

Ahora comprobamos que:

|C| = −8 + 1 + 3 − (2 − 2 + 6) = −10 y

|A| = (2) |C|

3. Si todos los elementos de una fila (ó columna) son cero,

entonces el determinante es nulo.

4. Si una matriz tiene dos filas (ó columnas) iguales o

proporcionales, entonces el determinante es nulo.

Ejemplo 8.16

Sea la matriz A = . Vemos que la segunda fila es proporcional

a la primera entonces |A| = 6 − (6) = 0.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡6231

5. Cuando se intercambian dos filas (ó columnas), entonces el

determinante cambia de signo.

Ejemplo 8.17

Sea la matriz A = . Si formamos la matriz, entonces: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

411220131


Tema 8 / Sesión 17



B = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

220411131

|A| = −8 + 6 + 0 − (2 + 2 + 0) = −6

|B| = 2 + 0 + 2 − (0 − 8 + 6) = 6

.

6. Si una de las filas (ó columnas) es linealmente dependiente,

entonces el determinante es nulo.

Ejemplo 8.18

Sea la matriz A = . Podemos ver que la tercera fila es

linealmente dependiente de las otras dos, ya que es combinación

lineal de la primera y segunda fila, es decir, f3 = f1 + f2 .

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

151322231

Entonces:

|A| = 2 − 9 + 20 − (4 − 6 + 15) = 0

7. Si una de las filas (ó columnas) se forma al sumar un múltiplo de

una fila (ó columna) con otra fila (ó columna), entonces el

determinante no varía.

Ejemplo 8.19

Sea la matriz A = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

342143231

Si ahora formamos una nueva matriz B, en donde la tercera fila f3 de

esta matriz la formamos multiplicando la primera fila de A por (−2) y

sumando la tercera fila de A.

Así,

B = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

120143231

Ahora,

|A| = −12 − 6 + 24 − (−16 − 4 + 27) = −1

|B| = 4 + 0 − 12 − (0 + 2 − 9) = −1


Tema 8 / Sesión 17



8. Para una matriz triangular el determinante es el producto de los

elementos de la diagonal.

Ejemplo 8.20

Sea la matriz triangular A = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−

300420235

El producto de los elementos de la diagonal es (−5)(2)(3) = −30.

Ahora si calculamos el determinante por el método tradicional,

tendremos:

|A| = −30 + 0 + 0 − (0 + 0 + 0) = −30

.

3.2. Método de eliminación de Gauss-Jordan

El método consiste en transformar la matriz original en una matriz

triangular superior. El proceso también se conoce como el

escalonamiento de la matriz. La forma de aplicación del método la

ilustraremos con una matriz 3 x 3, en el ejemplo siguiente:

Ejemplo 8.21

Sea la matriz triangular A = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

502243231

Las bases para aplicar este método girar alrededor de las

propiedades de los determinantes, principalmente las 5, 7 y 8.

Dado que la idea es formar una matriz triangular superior,

comenzamos por buscar la combinación necesaria para que el

elemento de la posición a21 se convierta en 0.

a. Convertir en 0 la posición a21:

Para ello multiplicamos la primera fila por (−3) y luego se la sumamos

a la segunda fila, así:

nf2 = (−3)f1 + f2

Luego la nueva fila dos es:

[0 −5 4]


Tema 8 / Sesión 17



b. Convertir en 0 la posición a31:

Para ello multiplicamos la primera fila por (2) y luego se la sumamos

a la tercera fila, así:

nf3 = (2)f1 + f3

.

Luego la nueva fila tres es:

[0 6 1]

De esta forma la matriz original A se convierte en la matriz A1

A1 = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

160450231

Y continuamos el procedimiento de escalonamiento de la matriz,

para ello buscamos colocar 0 en la posición a32.

Siguiendo con el procedimiento anterior buscamos colocar 0 en la

posición . 32a

c. Convertir en 0 la posición a32:

Para ello multiplicamos la segunda fila de la matriz A1 por ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛56 y

luego se la sumamos a la tercera fila, así:

nf3 = ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛56 f2 + f3

Luego la nueva fila tres es:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡52900

De esta forma la matriz original A se convierte en la matriz A2

A2 =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

52900

450231

Ahora utilizando la propiedad 8 de los determinantes, tendremos

que:


Tema 8 / Sesión 17



|A| = | A2| = (1) (−5) (29 / 5) = −29

Si observamos la matriz original:

A = entonces, el determinante calculado mediante la

Regla de Sarrús es:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

502243231

|A| = 20 + 12 + 0 − (16 + 45 + 0) = −29

.

Lo cual confirma el método de eliminación de Gauss-Jordan.

Ejemplo 8.22

Sea la matriz A = ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

2113133121223211

Ahora aplicaremos el método de eliminación de Gauss-Jordan en

una forma mucho más práctica, colocando entre cada una de las

matrices la transformación realizada.

Así:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

2113133121223211

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯+− 2f1f2

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

2113133183403211

⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯+− 3f1f

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

2113414083403211

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯+− 4f1f3

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

11740414083403211

⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯+− 3f2f

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−

117404400

83403211

⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯+− 4f2f

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−

34004400

83403211

⎯⎯⎯⎯ →⎯+ 4f3f

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−

10004400

83403211


Tema 8 / Sesión 17



Así, la matriz resultante es equivalente a la matriz original A y sus

determinantes son iguales según la propiedad 7 de los

determinantes, así |A| = −16.

.


Tema 8 / Sesión 17




.

Sesión 17: Ejercicios Resueltos

Ejercicios: Resolución por determinantes Resolver por determinantes:

1. 7zy2x2

13z3yx11zyx

=−+=+−

=++

Solución:

Hallemos el valor del determinante del sistema (aplicando la regla de Sarrus): 1 1 1 1 -1 3 2 2 -1 ⇔ 1 1 1 1 -1 3

{ })1)(1)(1()1)(2)(3()2)(1)(1()3)(1(2)1)(2)(1()1)(1)(1( −++−−++−− { } 639162621 =−=−+−−++=

Hallemos el valor del numerador de la fracción de la x, aplicando la regla de Sarrus: 11 1 1 13 -1 3 7 2 -1 ⇔ 11 1 1 13 -1 3

{ })13)(1)(1()11)(2)(3()7)(1)(1()3)(1(7)1)(2(13)1)(1(11 −++−−++−− { } 12465813667212611 =−=−+−−++=

26

12

122311111

12731131111

x ==

−−

−−

=

Hallemos el valor del numerador de la fracción de la y, aplicando la regla de Sarrus: 1 11 1 1 13 3 2 7 -1 ⇔ 1 11 1 1 13 3

{ })1)(11)(1()1)(7)(3()2)(13)(1()3)(11(2)1)(7)(1()1)(13)(1( −++−++− { } 24366011212666713 =−=−+−++−=

4624

122311111172

31311111

y ==

−−

−=

Hallemos el valor del numerador de la fracción de la z, aplicando la regla de Sarrus:


Tema 8 / Sesión 17



1 1 11

.

1 -1 13 2 2 7 ⇔ 1 1 11 1 -1 13

{ })1)(1(7)1)(2(13)2)(1(11)13)(1(2)11)(2)(1()7)(1)(1( ++−−++− { } 3011417262226227 =−=++−−++−=

5630

122311111722

13111111

z ==

−−

−

=

Respuesta 5z4y2x

===

2. 7y3x2

6y2x3zyx

=+=+=++

Solución: Hallemos el valor del determinante del sistema (aplicando la regla Sarrus):

1 1 1 1 2 0 2 3 0 ⇔ 1 1 1

1 2 0

{ })6)(1)(0()3)(3)(0()6)(2)(1()0)(1(2)1)(3)(1()0)(2)(1( + + − + +{ } 6121800120180 += + − + + = − =

Hallemos el valor del numerador de la fracción de la x, aplicando la regla de Sarrus: 3 1 1 6 2 0 6 3 0 ⇔ 3 1 1 6 2 0

{ })6)(1)(0()3)(3)(0()6)(2)(1()0)(1(6)1)(3(6)0)(2(3 ++−++ { } 6121800120180 =−=++−++=

61

6

032021111036026113

x −=−

==

Hallemos el valor del numerador de la fracción de la y, aplicando la regla de Sarrus: 1 3 1 1 6 0 2 6 0 ⇔ 1 3 1 1 6 0


Tema 8 / Sesión 17



{ })1)(3)(0()1)(6)(0()2)(6)(1()0)(3(2)1)(6)(1()0)(6)(1( ++−++

.

{ } 61260012060 −=−=++−++=

616

032021111062061131

y =−−

==

Hallemos el valor del numerador de la fracción de la z, aplicando la regla de Sarrus: 1 1 3 1 2 6 2 3 6 ⇔ 1 1 3 1 2 6

{ })1)(1(6)1)(3(6)2)(2(3)6)(1(2)3)(3)(1()6)(2)(1( ++−++ { } 336336181212912 −=−=++−++

313

032021111632621311

z =−−

==

Respuesta 3z6y6x

===

3.

02z

8y

2x

1z2y

6x

14z

4y

3x

=−−

=−+

=+−

Solución

Multipliquemos cada ecuación por su m.c.d., con el objeto de eliminar los denominadores:

12z3y3x4124z

4y

3x121

4z

4y

3x

=+−⇔=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−⇔=+−

6z6y3x6z2y

6x61z

2y

6x

=−+⇔=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+⇔=−+

0z4yx42z

8y

2x80

2z

8y

2x

=−−⇔⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−⇔=−−

Hallemos el valor determinante del sistema (aplicando la regla de Sarrus) 4 -3 3 1 3 -6 4 -1 -4 ⇔ 4 -3 3 1 3 -6

{ })1)(3)(4()4)(1)(6()4)(3(3)6)(3(4)3)(1(1)4)(3(4 −−+−−+−−−+−+− { } 51722112243672348 −=−=++−+−−=

Hallemos el valor del numerador de la fracción de la x, aplicando la regla de Sarrus:


Tema 8 / Sesión 17



.

12 -3 3 6 3 -6 0 -1 -4 ⇔ 12 -3 3 6 3 -6

{ })6)(3)(4()12)(1)(6()0)(3(3)6)(3(0)3)(1(6)4)(3(12 −−+−−+−−−+−+− { } 30614416272720018144 −=−−=++−+−−=

651

306

414631

334410636

3312

x =−−

=

−−−

−

−−−

−

=

Hallemos el valor del numerador de la fracción de la y, aplicando la regla de Sarrus: 4 12 3 1 6 -6 4 0 -4 ⇔ 4 12 3 1 6 -6

{ })1)(12)(4()4)(0)(6()4)(6(3)6)(12(4)3)(0(10)4)(6(4 −+−+−−++− { } 4082438448072288096 −=−−=−+−−+−=

851

408

414631

334404661

3124

y =−−

=

−−−

−

−−

=

Hallemos el valor del numerador de la fracción de la z, aplicando la regla de Sarrus: 4 -3 12 1 3 6 4 -1 0 ⇔ 4 -3 12 1 3 6

{ })1)(3(0)4)(1(6)4)(3(12)6)(3(4)12)(1(1)0)(3(4 −+−+−−+−+ { } 2041208402414472120 −=−−=+−−−−=

451

204

414631

334014631

1234

z =−−

=

−−−

−

−

−

=

Respuesta 4z8y6x

===


Tema 8 / Sesión 17




.

Sesión 17: Ejercicios Propuestos

1. Dadas las matrices A, B, C, D, realizar las siguientes operaciones:

a) A − 2B

b) 2C − D

c) AB − CDt

d) (B − 2A)D

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

5432

A , , , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

3502

B ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

174023

C ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

120321

D

2. Calcular cada uno de los siguientes determinantes:

a) 511

43−

−

b) 341

534032

−−

−

c) 116

520483

−−−

−


a) 1x27x42

−=−

b) x3351432x0x2

−=−−

c) 05x121173x

=


a)

1113132101223011

−−−

−−−

b)

101030432110011

4121030112

−−−−

−−−


Tema 8 / Sesión 17



5. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+=−=+

3z3y6zx22yx

b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+=−=−+

1z4y2z3x1z2yx

c) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=−=++

0z2y30yx20zyx

el sistema del caso (c) se conoce como un sistema homogéneo, el

cual siempre tiene la solución trivial x = 0, y = 0, z = 0, pero

cuando es compatible indeterminado es posible determinar otra

solución distinta a la trivial.

.


a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−−+=−++=+−+=+++

1w4z3yx2w3z2y2x2

8wz2y6x35wz5yx2

b)

⎪

7

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−=−−+−=−−−+

=++−+

0vz3y2v4w2z2y2x23v9w3z4y2x3

1v3wz2yx

. Determinar para que valores de a, el sistema es compatible

determinado, compatible indeterminado o incompatible:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−−=−=+−+=−+

1wz2y2w2ax

0wzyx1zayx


Tema 8 / Sesión 17




.

Sesión 17

Autoevaluación 17

Pregunta Nº 1

Aplicando la regla de Sarrús calcular el siguiente determinante

4522

12

103

a. 66b. 6 c. 62d. 2 Pregunta Nº 2

Resolver la siguiente ecuación 3232xx

150

−−−−

a. 4x −=

b. 45x −

=

c. 45x =

d. 2x =

Pregunta Nº 3

Calcular el valor del siguiente determinante

03031112

22403031

−−

−

a. 12 −b. 24c. 48d. 42 Pregunta Nº 4

Resolver la siguiente ecuación 3462x5x4=

−

a. 2= xb. 1x −= c. 2x −= d. 1x = Pregunta Nº 5

Resolver la siguiente ecuación 3

111x01x00103211x

−=

−

a. 12x

21x−=

=

b. 12x21x

=−=


Tema 8 / Sesión 17



c.

.

12x21x−=−=

d. 12x21x==

Una vez contestadas las preguntas, puede ver respuestas al final de la Unidad. Si sus respuestas han sido correctas, continúe con la sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión antes de continuar.


Tema 8 / Sesión 17



Tema 8: Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones

.

Sesión 17

Respuestas de la Autoevaluación 17

Pregunta Nº 1

Aplicando la regla de Sarrús calcular el siguiente determinante

4522

12

103

a. 66b. 6 Correcto c. 62d. 2 Pregunta Nº 2

Resolver la siguiente ecuación 3232xx

150

−−−−

a. 4x −=

b. 45x = Correcto

c. 45x −

=

d. 2x =

Pregunta Nº 3

Calcular el valor del siguiente determinante

03031112

22403031

−−

−

a. 12 −b. 24c. 42d. 48 Correcto Pregunta Nº 4

Resolver la siguiente ecuación 3462x5x4=

−

a. 2= xb. 1x −= c. 2x −= d. 1x = Correcto Pregunta Nº 5

Resolver la siguiente ecuación 3

111x01x00103211x

−=

−

a. 12x

21x−=

=

b. 12x21x

=−=


Tema 8 / Sesión 17



c. 12x21x== Correcto

d. 12x

21x−=−=

.


Tema 8 / Sesión 18




.

Sesión 18


* Aplicar las propiedades de sistemas de ecuaciones, analizarlos, clasificarlos y resolverlos empleando los métodos de eliminación de Gauss Jordan.

Actividades

* Leer el contenido de la sesión 18 sobre “Sistemas de Ecuaciones”

* Visitar las páginas recomendadas * Realizar ejercicios resueltos * Realizar la autoevaluación propuesta al final de la

sesión

Recursos

* Contenido de la sesión 18: “Sistemas de Ecuaciones”

* Páginas Web recomendadas * La autoevaluación de la sesión 18

Sistema de ecuaciones

Un conjunto formado por varias ecuaciones se llama un sistema de

ecuaciones, y el objetivo del mismo es hallar las soluciones que

satisfagan a cada una de las ecuaciones del conjunto. Para

determinar que varias ecuaciones forman un sistema se las escribe

unidas por una llave, por ejemplo:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

3333231

2232221

1131211

bzayaxabzayaxabzayaxa

(2)

1. Solución de un sistema de ecuaciones

La solución de un sistema de ecuaciones es el valor de las incógnitas

que satisfacen simultáneamente a todas las ecuaciones que forman

el sistema. En el proceso para resolver el sistema de ecuaciones es

posible que encontremos que el sistema tiene una solución, varias

soluciones o ninguna solución.

1.1. Clasificación de un sistema de ecuaciones

Según si el sistema tiene o no solución, lo podemos clasificar en:

a. Compatible cuando el sistema tiene solución:


Tema 8 / Sesión 18



• Determinado si la solución es única.

• Indeterminado si hay varias soluciones.

b. Incompatible cuando no hay una solución común al sistema.

.

Los métodos para resolver un sistema de ecuaciones son: reducción,

sustitución, igualación, Regla de Cramer y Eliminación de Gauss-

Jordan. Nosotros estudiaremos el Método de eliminación de Gauss-

Jordan para sistemas de ecuaciones, que está relacionado con el

proceso que vimos en la (sesión 17) para el cálculo del determinante

de una matriz. Para revisar los otros métodos se puede consultar los

autores [3].

1.2. Métodos de eliminación de Gauss-Jordan para sistema de

ecuaciones

Este método está basado en la asociación de un sistema de

ecuaciones con un sistema matricial, de esta forma el sistema (2) lo

podemos rescribir como:

AX = B (3)

Qué será un sistema matricial, donde A es la matriz de los

coeficientes, X es la matriz de las incógnitas y B la matriz de los

términos independientes.

Así:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A , , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

zyx

X⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3

2

1

bbb

B

Los pasos a seguir son los siguientes:

1. Formar una matriz ampliada anexándole a la matriz A la matriz B.

A1 = [A:B] = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3333231

2232221

1131211

baaabaaabaaa

2. Escalonar la matriz ampliada A1.

A1 = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

21

321

1131211

000

baaa

ββααα


Tema 8 / Sesión 18



3. Hallar la solución del sistema resultante:

.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==+=++

21

321

1131211

zzy

bzayaxa

ββααα

Ejemplo 8.23

Sea el sistema ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=−+=+−

8z2yx44zy2x32zyx

Para hallar la solución por el método de Gauss-Jordan, comenzamos

formando la matriz ampliada:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

821441232111

Ahora escalonamos dicha matriz, utilizando el método de

eliminación anterior, así:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

821441232111

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯+− 2f1f3

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

82142450

2111

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯+− 3f1f4

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

02302450

2111

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯+− 3f2f5

3

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−

5652002450

2111

Ahora, el sistema resultante es

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−=−=+−

56z

52

2z4y52zyx

De la tercera ecuación podemos descubrir que el valor de z = 3.

Luego, sustituyendo en la segunda ecuación tendremos:

5y − 4 (3) = −2 ⇒ y = 2

De igual forma, sustituimos estos dos valores en la primera ecuación

y tendremos:

x − (2) + (3) = 2 ⇒ x = 1


Tema 8 / Sesión 18



Así, la solución del sistema es x = 1, y = 2, z = 3.

.

Como la solución es única diremos que el sistema es compatible

determinado.

Ejemplo 8.24

Sea el sistema

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−+=−−

−=−+=++−

3wz3x51wzy4

8w2z2x32wzy2x

Comenzamos con la matriz ampliada:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−

313051114082203

21121

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

+−

+−

4f1f52f1f3

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−−−−

13621001114014516021121

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

+ 4f2f3−

+−

53f2f3

2

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−−

−

331

37

3100

331

37

3100

14516021121

⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯+− 4f3f

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−

000003

313

73

10014516021121

Claramente el sistema que nos queda es el siguiente:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−

−=−−=++−

331w

37z

31

14w5zy62wzy2x

Podemos observar que en el proceso de escalonamiento la última

fila de la matriz ampliada se convierte en solo ceros, esto indica que

una de las ecuaciones es linealmente dependiente o que es

combinación lineal de las otras, de esta forma la podemos suprimir y

el sistema se reduce a tres ecuaciones y cuatro incógnitas. En este

caso siempre diremos que el sistema tiene varias soluciones, es decir,

es compatible indeterminado.

Para determinar una solución particular tenemos que asignarle un

valor cualquiera a una de las incógnitas para poder determinar las

otras. Así, para w = 1, tendremos:


Tema 8 / Sesión 18



( )3311

37z

31

=+− ⇒ z = 24

6y − (24) - 5(1) = −14 ⇒ y = 25

x − 2 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛25 + (24) + (1) = 2 ⇒ x = −18

.

De esta forma la solución del sistema es:

x = −18, y = 25 , z = 24, w = 1

Ejemplo 8.25

Sea el sistema ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=+−=−+

20z3yx64z5yx47zyx

Comenzamos con la matriz ampliada:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

2031645147111

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

+−

+−

ff62f1f4

31

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−

22950249507111

⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯+− 3f2f

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−

2000249507111

Queda un sistema incompatible, ya que la última ecuación afirma

que:

0x + 0y + 0z = 2

Esto es absurdo, luego el sistema no tiene solución.


Tema 8 / Sesión 18




.

Sesión 18: Ejercicios Propuestos

1. Dadas las matrices A, B, C, D, realizar las siguientes operaciones:

a) A − 2B

b) 2C − D

c) AB − CDt

d) (B − 2A)D

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

5432

A , , , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

3502

B ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

174023

C ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

120321

D


a) 511

43−

−

b) 341

534032

−−

−

c) 116

520483

−−−

−


a) 1x27x42

−=−

b) x3351432x0x2

−=−−

c) 05x121173x

=


a)

1113132101223011

−−−

−−−

b)

101030432110011

4121030112

−−−−

−−−


Tema 8 / Sesión 18




a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+=−=+

3z3y6zx22yx

b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+=−=−+

1z4y2z3x1z2yx

c) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=−=++

0z2y30yx20zyx

El sistema del caso (c) se conoce como un sistema homogéneo, el

cual siempre tiene la solución trivial x = 0, y = 0, z = 0, pero

cuando es compatible indeterminado es posible determinar otra

solución distinta a la trivial.


a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−−+=−++=+−+=+++

1w4z3yx2w3z2y2x2

8wz2y6x35wz5yx2

.


Tema 8 / Sesión 18




.

Sesión 18

Autoevaluación 18

Pregunta Nº 1 Resolver por la Regla de Cramer el siguiente sistema

110z4yx8

8zy8x48z8y4x

=−−−=−+−=−+

a. 2z2y14x

===

b. 4z2y16x

===

c. 2z5y14x

===

d. 1z2y14x

===

Pregunta Nº 2 Resolver por el método de reducción el siguiente sistema de

ecuaciones

21

3x

4y

12y

5x

−=−

−=+

2y0x

a. ==

b. 2y

1x−=

=

c. 2y

0x−=

=

d. 2y1x

==


4zx

423

5zyx9z6yx

=−−=+−=+ −

y

a. 2z

2y4x =

== −


Tema 8 / Sesión 18



b. 1z7y8x

===

c. 1z2y8x

===

d. 7y = 2z

4x

−=

=

Pregunta Nº 4 Res sistema e ecuaciones empleando artificios de cálculo olver el d

1y4

13x3

2

0y2

3x4

−=−

=+

a. 2y8x

=−=

b. 2y8x

=−=

c. 3y8x

=−=

d. 2y8x

=−=



Tema 8 / Sesión 18



.

Tema 8: Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones

Sesión 18



110z4yx8

8zy8x48z8y4x

=−−−=−+−=−+

a. 2z2y14x

===

b. 2z5y14x

===

c. 1z2y14x

===

d. Correcto 4z2y16x

===

Pregunta Nº 2 Resolver por el cción el siguiente sistema de método de redu

ecuaciones

21

3x

4y

125

−=−

−=+

yx

a. 2y

0x =

−= Correcto

b. 2y0x

==

c. 2y

1x−=

=

d. 2y1x =

=


z4− 4zx2y3

5yx9z6yx

=−=+−=+ −

a. 2z

2y4x

==

= −


Tema 8 / Sesión 18



b. 1z7y8x

===

Correcto

c. 1z2y8x

===

d. 7y = 2z

4x

−=

=

Pregunta Nº 4 Res molver el siste a de ecuaciones empleando artificios de cálculo

.

1

y3

=

41

x32

0y2

3x4

−=−

+

2y8x

=−=

a.

b. 2y8x

=−=

c. 2y8x

=−=

3y8x

=−=

d. Correcto


Tema 9 / Sesión 19




.

Sesión 19


* Aplicar las propiedades de representar gráficamente los números complejos.

Actividades

* Leer el contenido de la sesión 19 sobre “Números complejos”

* Visitar las páginas recomendadas * Realizar los ejercicios resueltos * Realizar la autoevaluación propuesta al final de la

sesión

Recursos

* Contenido de la sesión 19: “Números complejos” * Páginas Web recomendadas * La autoevaluación de la sesión 19

Números complejos

Para hallar las raíces del polinomio:

0cbxax 2 =++ (1)

Vimos en el Capítulo 7, (ver sesión 2) que usamos la fórmula (2):

a2ac4bbx

2 −±−= (2)

Que no tiene una solución real cuando el discriminante < 0.

En este caso, definiremos la unidad imaginaria:

acb 42 −

1i −= (3)

Esta nos permite reescribir la expresión (2):

a2i)bac4(b

a2)bac4()1(b

x222 −±−

=−−±−

=


Tema 9 / Sesión 19



Las dos raíces de (1) serán:

a2i)bac4(b

x2

1−−−

= y

a2i)bac4(b

x2

2−+−

= (4)

.

De esta forma definiremos un número complejo como aquél que

incluye la unidad imaginaria como las raíces señaladas en (4).

Definición 1

Un número complejo es una expresión de la forma:

biaz += (5)

Donde a y b son números reales. Así, los llamaremos: a la parte real

de z, denotada por Re(z) y b la parte imaginaria de z y denotada

por Im(z). Esta representación (5), se conoce como la forma

binómica del numero complejo z.

Observación

Si la parte imaginaria del número complejo es cero,

entonces el número complejo será un número real. Es

decir, todos los números reales son números complejos

con parte imaginaria cero. Entonces, podemos

considerar a los números reales como un subconjunto de

los números complejos.

Notemos que las raíces difieren sólo en el signo

de la parte imaginaria.

21 xyx

Definición 2

Sea el número complejo biaz += , entonces definimos el conjugado

de z y denotaremos al número complejo. ""z

biaz += (6)

Las operaciones ordinarias de suma, resta y multiplicación, se

cumplen para los números complejos; sólo tendremos una diferencia

para la división.


Tema 9 / Sesión 19



Ejemplo 9.1

Dados i25zyi32z 21 −=+=

a. i7)i25()i32(zz 21 +=−++=+

b. i

c

1211)i25(3)i32(2z3z2 21 +−=−−+=−

. 221 i6i15i410)i25)(i32(zz −+−=−+=

i11166i1110 +=++=

.

Aquí usamos el hecho de que . 12 =i

Para la división, haremos uso del conjugado y definiremos la

operación como:

22

21

2

1

zzzz

zz

= (7)

Ejemplo 9.2

Dados :213zyi54z 21 +=−=

i1323

132

13i232

49i15i81012

)i23)(i23()i23)(i54(

i23i54

zz

2

1 −=−

=+

−−−=

−+−−

=+−

=

Representación Gráfica

Los números complejos se pueden representar gráficamente como

puntos en el plano complejo, en donde la parte real se representa a

lo largo del eje X y la parte imaginaria a lo largo del eje Y.

Im(z)

b z

r

B Re(z)

a

Gráfica 9.1 Representación gráfica de los números complejos

Para cada punto z en el plano complejo, definimos la magnitud de

z, denotada por r = | z |, como:


Tema 9 / Sesión 19



22 ba|z|r +== (8)

.

La cual es la distancia de z al origen y el argumento de z, denotado

por B como:

abtagB = ⇔ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=abarctagB (9)

Que es el ángulo entre la semirrecta 0z y la parte positiva del eje

real.

Podemos ahora usar r y B para definir una nueva forma de escribir un

número complejo, la cual llamaremos forma polar del número

complejo. Así, de la Gráfica 19.1 podemos ver que:

senBrbyBcosra == (10)

Luego,

)isenBB(cosrsenBirBcosrbiaz +=+=+= (11)

Otra forma de escribir la esta expresión es:

cisBrbiaz =+= (12)

En donde las siglas cis indican coseno del ángulo más i seno del

ángulo.

Esta forma polar permite realizar las operaciones de multiplicación y

división en una forma más sencilla. Sean:

)isenBB(cosrzy)isenBB(cosrz 222111 +=+=

Entonces:

)]isenBB(cosr)][isenBB(cosr[zz 2221121 ++=

)]BcossenBsenBB(cosi)senBsenBBcosB[(cosrr 2121212121 ++−=

) BB(cisrr)]BB(sen(i)BB[cos(rr 2121212121 +=+++=

Es decir:

)BB(cisrrzz 212121 += (13)


Tema 9 / Sesión 19



En forma similar podemos hallar una fórmula par la división:

.

)BB(cisrr

zz

212

1

2

1 += (14)

Las operaciones de potenciación y radicación se realizan utilizando

la Fórmula de Moivre

)(|| nBciszz nn = (15)

Similar

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

nk2

n8cis|z|z nn π con k = 0,1,…, n 1 (16)

Ejemplo 9.3

Sea z = -2 + 2i:

Primero hallamos la magnitud y el argumento para poder convertirlo

en su forma polar. Así:

2244|z|r =+==

43B

22tagB π

=⇒−

=

Luego,

)4/3(cis22i22 π=+−=

Ejemplo 9.4

Sea :)3/4(cis3z π=

Ahora, para expresar la forma binómica debemos hallar el valor de

la parte real e imaginaria. Así:

23)2/1(3)3/4cos(3Bcosra −=−=== π

233)23(3)3/4(sen3senBrb −=−=== π

Luego:


Tema 9 / Sesión 19



233

23)3/4(cis3z −−== π

.

Ejemplo 9.5

Sean :)3/4(cis3zy)6/11(cis6z 11 ππ ==

Entonces:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=2

cis26

3cis23

46

11cis36

zz

2

1 ππππ

i))2/1(i(2))2/(isen)2/(cos(2 ==+= ππ

Ejemplo 9.6

Sean :)2/3(cis5zy)3/2(cis2z 11 ππ ==

Entonces:

)2/3(cis5zy)3/2(cis2z 11 ππ ==

))6/(isen)6/((cos10)6/(cis10 πππ +==

i535))2/1(i23(10 +=+=

Ejemplo 9.7

Sea , entonces o hallamos utilizando la fórmula

(15), así:

)6/7(cis2z π= 3z

)]6/7(3[cis2z 33 π= = = )6/21(cis8 π )2/7(cis8 π

= = + )2/3(cis8 π )2/3[cos(8 π )]2/3(isen π =

i8−

Ejemplo 9.8

Hallar 3 1. Primero escribimos el número complejo z = 1 en forma polar, así z = 1 = cis (0)

Luego, aplicamos la fórmula (16) y tendremos


Tema 9 / Sesión 19



3 1 = ⎟⎞

⎜⎛ +

k20cis13 π , tomando los valo⎠⎝ 33

res de k = 0, 1, 2.

Entonces, las raíces serán:w = cis (0) = 1.

.

i23

21)3/2(cisw +−== π

i23

21)3/4(cisw −−== π


Tema 9 / Sesión 19



.


Se is ón 19: Ejercicios Propuestos

1. Determina ud y el argumento de cada uno de los r la magnit

siguientes números: a. i33z1 +=

b. i33z2 +−= c. i22z −−= 1

2. da una de Efectuar ca las siguientes operaciones: a. )i4(i)i23( −−− b. − i2)i23)(i2( −++ c. )i3(i23 −−

d. i21i34

−+

e. i4

)i32(i)i32(+

+−+−

f. )i24(i23i54

−+−

3. aTransformar lar cada uno de los siguientes números forma po

complejos: a. i322z1 −= b. i44z1 +−= c. i3

4. arTransform a forma binómica cada uno de los siguientes

números co lejos: mp a. )3/2(cis4 π b. )4/7(cis2 π

c. )6/7(cis32 π 5. Dados los siguientes números complejos:

).3/4(c(cisis3z

);4/(cis2z);6/11z

3

21

πππ == Calcular:

=

a. 21 zz

b. 32 zz

c. 3

2

zz

d. 3

1

zz

6. Calc da una de las siguientes operaciones: ular ca a. 3))3/π 2(cis4(

b. 4))6/(cis32( π 4 i16c. −3 i322 +−d.


Tema 9 / Sesión 19



.


Sesión 19

Autoevaluación 19

Preg nta Nº u 1 Res uolver la si nte ecuación g ie 8x4x 2 +−

a. i2/2x −+=b. i2/2x −+−= c. i/2x −+= d. i4/2x −+= Pregunta Nº 2 Transformar a forma binómica el siguiente número complejo

[?][?]120Cis2=2z

a. i26

232z −−=

b. i26

222z −−=

c. i26

222z +−=

d. i632z +−= 22

Pregunta Nº 3 Da udo los si entes números complejos s g i

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=+−=−+i3

1i2

14z);i13(3z);i32(2z);i21( ==1z

a. ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +i3

7i2

5

b. ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

i311

i25

c. ⎟⎠⎝ i3i2⎞

⎜⎛ +− 75

d. ⎟⎠

⎜⎝

+i3i2

⎞⎛ 115

Pre Nºgunta 4 Efe )i23)(i3)(i4( +−+ ctuar la siguiente operación

a. i3030 − b. i1833 −− c. i3033 − d. i1833 − Pregunta Nº 5 Det el módulo y el argumento del siguiente número complejo erminar


Tema 9 / Sesión 19



a. 2 y 125 b. 4 y 225 c. 4 y 125 d. 2 y 225

.



Tema 9 / Sesión 19



.


Sesión 19


Preg nta Nº u 1 Res uolver la sig iente ecuación 8x4x 2 +−

a. i2/2x −+−= b. i/2x −+= c. i2/2x −+= Correcto d. i4/2x −+= Pregunta Nº 2 Tra a nsformar forma binómica el siguiente número complejo

[?][?]120Cis2=2z

a. i26

232z −−=

b. i26

222z +−=

c. i26

222z −−=

d. i632z +−= 22

Pregunta Nº 3 Dado los siguientes números complejos s

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=+−=−=+i3

1i2

14z);i13(3z);i32(z);i21( = 21z

Correcto

a. ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +i3

7i2

5

b. ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +i3

11i2

5

c. ⎟⎠⎝ i3i2⎞

⎜⎛ +− 75

d. ⎟⎠

⎜⎝

+i3i2

⎞⎛ − 115 Correcto

Pre Nº 4 gunta Efe )i23)(i3)(i4( +−+ ctuar la siguiente operación

a. i3033 Correcto −b. i1833 −− c. i3030 − d. i1833 − Pregunta Nº 5 Det el módulo y el argumento del siguiente número complejo erminar


Tema 9 / Sesión 19



a. 2 y 125 b. 2 y 225 Correcto c. 4 y 225 d. 4 y 125

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