Guia Ejercicios Resueltos

CTEDRA: ESTRUCTURAS DE HA Y PRETENSADO DEPARTAMENTO: INGENIERA CIVIL

VERIFICACIN DE SECCIONES DE HORMIGN PRETENSADO GUIA DE EJERCICIOS RESUELTOS DAVALOS RUBEN FRATICELLI LUCAS

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EJEMPLOS RESUELTOS TERICOS PRCTICOS.

Ejemplo N1. Flexin simple en Pretensado.

Consideremos una viga, de seccin rectangular, sometida a un

momento de servicio de 1.000kNm. Se pide determinar la fuerza de

pretensado P necesaria para obtener un pretensado de clase T.

Considerar un hormign de calidad H-30. Calcular tambin la armadura

de pretensado necesaria, y con sta armadura calcular el momento

resistente interno. Se usar cordn de grado 270 de 7 alambres.

Suponer fpe = 1150MPa (tensin efectiva a t = ) y Mu = 1,6 M.

Como sabemos, las estructuras pretensadas se clasifican en tres grandes grupos, segn la

tensin de trabajo en la fibra ms solicitada, y son:

- Clase U (Uncracked = No fisurado): fi 0,7 - Clase T (Transicion = Transicin): 0,7 < fi



2

- fi =

+

-

Despejando Pmin tendremos:

Pmin = !" #

$%& '!"#

= (,*+,-./012 $33.33356&78.333&9 #

$9.:33&; 97&

78.333&9#P = 1403kN

Ahora, para determinar la seccin de acero de pretensado necesaria para lograr la clase T

sabemos que la tensin efectiva (segn enunciado)es de 1150MPa, por lo que la seccin necesaria resulta:

Ap = ? =

@+(A-.@@*-./012Ap = 12,20cm

2

Determinacin del Momento Resistente Interno Mximo.

El momento resistente mximo se desarrollar cuando la armadura de pretensado entre en

fluencia. Esta tensin, para el cordn de grado 270 que usaremos vale: fpy = 1700MPa. Entonces, la fuerza que desarrolla el acero de pretensado en la fluencia resulta:

Zu = 12,20cm2 170kN/cm2 Zu = 2074kN

Esta fuerza, multiplicada por el brazo de palanca interno nos dar el momento nominal de la seccin. El brazo interno, lo estimamos suponiendo lo siguiente: Para determinar z debemos determinar a, por lo tanto:

Db = a b fc a = BC

C 0 dnde Db = Zu

Entonces: a = 2(D+-.

+(01 A-./012a = 17,30cm Y finalmente: z = 80cm (17,30cm)/2 z = 71,35cm Y el Momento Nominal de la seccin resultar entonces: Mn = Zu z = 2074kN 0,7135m Mn = 1473kNm

El momento ltimo que admite la seccin con sta armadura es el minorado por el factor f = 0,90, o sea:

Mu = 0,90 1473kNm Mu = 1325kNm

Ahora debemos comparar ste valor con el de servicio, para ello determinamos el factor de mayoracin de cargas, ya que es el parmetro que nos dir la seguridad que tenemos con sta seccin. Llamando al factor de mayoracin de cargas, tenemos:

= EFEG =

@A2*-.1@(((-.1 1,325

a

Zu

z

c



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El factor resulta menor a 1,4, esto indica que por ms de que las cargas fueran solamente

permanentes la seccin no verifica, por lo que se debe ir a un redimensionado.



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Ejercicio N2. Corte en Pretensado.

Calcular la armadura de corte de la viga anterior si el Mu = 1512kNm. L = 15m.

La carga uniforme distribuida la obtenemos considerando que:

Mu = Qu L2 / 8 Qu = Mu 8 / L2 = 1512kNm 8 / (15m)2Qu = 53,76kN/m

El corte Vu y el momento Mu, a una distancia d del apoyo resulta:

Vu = Qu L / 2 Qu d = 53,76kN/m 15m / 2 53,76kN/m 0,80m Vu = 360,20kN

Mu = Qu L / 2 d Qu d2 / 2 = 53,76kN/m 15m / 2 0,80m 53,76kN/m (0,80m)2 / 2

Mu = 305,36kNm

Ahora, la resistencia al corte de la seccin viene dada por la siguiente expresin:

Vc = 1000 HIJK + M NO P

O Qbw d

Vc = 1000 A(E



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Z[G = 0,33

+((11+2(E



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0,65m

0,24m

0,17m

1,10m 1,60m

0,25m

1,60m

0,65m

Ejercicio N 3: viga pretensada

Consigna:

En una obra en ejecucin se pretende evaluar la factibilidad de aumentar la separacin

entre vigas para reducir costos. Como se incrementar la carga de servicio, se deber calcular la

cantidad de armadura activa y pasiva del elemento. Los moldes ya estn confeccionados. Las vigas

sern postesadas en obra a los 7 das de hormigonadas.

Datos adicionales:

- Hormign: H-35. - Acero activo: C-1900 G/270. - Acero pasivo: ADN-420. - Geometra: segn detalles adjuntos - Clase de pretensado: T. - Carga permanente luego del tesado: 6,5kN/m. - Sobrecarga de uso: 21,3kN/m. - Suponer que la seccin de transferencia se ubica sobre el eje del apoyo.

DESARROLLO

1. Datos de las secciones de anlisis:

- Seccin de apoyo

- Ag: Seccin bruta: 1,04m2 - P: Permetro: 4,50m - Ig: Momento de Inercia: 0,2219m4 - Yinf: Distancia CG a borde inferior: 0,80m - Ysup: Distancia CG a borde superior: 0,80m - Winf: Mdulo resistente inferior: 0,277m3 - Wsup: Mdulo resistente superior: 0,277m3

- Seccin de Centro:

- Ag: Seccin bruta: 0,51m2 - P: Permetro: 5,46m - Ig: Momento de Inercia: 0,1686m4 - Yinf: Distancia CG a borde inferior: 0,80m - Ysup: Distancia CG a borde superior: 0,80m - Winf: Mdulo resistente inferior: 0,211m3 - Wsup: Mdulo resistente superior: 0,211m3



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2. Cargas Exteriores.

- tD1: Permanentes en el momento del tesado: 0,00kN/m. - tD2: Permanentes luego del tesado: 6,50kN/m. - tL1: Parte de sobrecarga casi permanente: 0,00kN/m. - tL2: Resto de sobrecarga: 21,30kN/m.

3. Momentos flectores y tensiones

Se calculan los momentos flectores en el centro de tramo y en la seccin de transferencia, la cual segn enunciado consideramos en el eje del apoyo. Esto se debe hacer para tres estados de carga y dos estados de tiempo segn lo que se plasmara a continuacin.

Debe tenerse presente que la seccin de transferencia es aquella en la que puede considerarse que los elementos tensores ya han transferido totalmente la carga de pretensado al hormign. Esta seccin se puede estimar en una distancia de 50 veces el dimetro nominal de las armaduras activas desde el punto de aplicacin de esta fuerza de pretensado, para lo cual deberamos estimar dichos dimetros. Como no contamos con la experiencia necesaria para adoptar estos valores, nos ponemos del lado de la seguridad y tomamos como seccin de transferencia a la seccin que se halla sobre el eje del apoyo.

Ahora pasamos a determinar la carga, por unidad de longitud correspondiente al peso propio

de la viga



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tD01 = 25kN/m

3 1,04m2 = 26kN/m Seccin rectangular. tD02 = 25kN/m

3 0,51m2 = 12,75kN/m Seccin doble T. tD0 (ponderado) = (26kN/m 2 3m + 12,75kN/m 21,80m)/27,80m = 15,61kN/m Carga actuante en el momento del tesado: tD0+ tD1 = 15,61kN/m + 0,00kN/m

Carga actuante en el momento del tesado = 15,61kN/m Carga semi-permanente: tD0 + tD1 + tD2 + tL1 = 15,61kN/m + 0,00kN/m + 6,50kN/m + 0,00kN/m

Carga semi-permanente = 22,11kN/m Carga total mxima: tD0 + tD1 + tD2 + tL1+ tL2= 15,61kN/m + 0,00kN/m + 6,50kN/m + 0,00kN/m + 21,30kN/m

Carga total mxima = 43,41kN/m

Los momentos flectores se determinan mediante la siguiente expresin:

Mu (x) = Wu x (L - x)/2

Seccin Distancia al

apoyo izquierdo (m)

Momentos flectores (kNm)

En el momento del tesado (t=0)

Luego de prdidas (t=infinito) para carga

Semi-permanente

Total

Transferencia 0 0 0 0

En L/2 13,60 1443,60 2044,73 4414,56

Las tensiones se determinan como: E`

Seccin Fibra W (m3)

Tensiones (MPa)


Luego de prdidias (t=infinito) para carga

Semi-permanente Total

Transferencia Superior 0,277 0 0 0

Inferior 0,277 0 0 0

En L/2 Superior 0,211 -6,84 -9,69 -19,03

Inferior 0,211 6,84 9,69 19,03



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4. Tensiones admisibles en el hormign.

Segn lo establece el nuevo reglamento Cirsoc 201 2005 para las diferentes clases de

hormign pretensado

Expresin

Reglamentaria Valor en MPa


Compresin 0,60 fci 14,70

Traccin en apoyos simple 0,50 a 2,47 Traccin 0,25 a 1,24

Luego de perdidas

(t=infinito)

Compresin cargas permanentes 0,45 fc 15,75

Compresin carga total 0,60 fc 21,00

Traccin 5,92

Se estima que la resistencia inicial del hormign en el momento del tesado, esto es, a los 7

das vara entre el 65 y 70% de la resistencia final, adoptando 70% para nuestros clculos.

5. Tensiones admisibles en el acero de pretensado

Acero C-1900 G/270 (correspondiente a dimetro nominal de 12,7mm, cordn de siete alambres con tratamiento termo-mecnico. BR-Baja relajacin).

fpu: Tensin de traccin especificada para el acero de pretensado: 1864MPa fpy: Tensin de fluencia especificada para el acero de pretensado: 1682MPa

Por accin directa del gato =mnimo (0,80 fpu ; 0,94 fpy) = min(1.491 ; 1.581) = 1.491MPa Instante de transferencia = mnimo (0,74 fpu ; 0,82 fpy) = min(1.379 ; 1.379) = 1.379MPa En anclaje para t=0 = 0,70 fpu = 1.305MPa

6. Calculo de la fuerza de pretensado

La fuerza de pretensado de dimensiona de modo de que para la carga total la tensin en la fibra inferior no supere la tensin de traccin admisible en el centro del tramo (5,92 MPa). El pretensado deber compensar entonces una tensin igual a:

19,03 MPa - 5,92MPa = 13,11 MPa

La tensin de compresin producida en la fibra inferior de la seccin media por la fuerza de tesado vale:



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b +

cI

Dnde: o Pe: Fuerza de tesado efectiva (luego de prdidas). o e: Excentricidad media de los elementos tensores:

e(apoyo): 0,40m e(tramo) 0,65m

Luego, la fuerza efectiva de pretensado en la seccin media valdr



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7.1) ES (Elastic Short) acortamiento elstico

En este caso como la armadura est constituida por un nico elemento tensor, el acortamiento elstico del hormign no provocara una perdida en la fuerza del cable dado que, al estar apoyado el gato contra la pieza de hormign, este acortamiento seria compensado por un mayor recorrido del cilindro. 7.2) SH (Shrinkage of Concrete) Contraccin del hormign Se utiliza la siguiente expresin:

Con:

7.3) CR (Creep of concrete) fluencia del hormigon

Se utiliza la siguiente expresin:

Con:



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.

7.4) RE (Relax of tendons) relajacin de los cables Se utiliza la siguiente expresin:

7.5 FR (Friction) - Friccin



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Este tipo de perdida se da generalmente en elementos postesados, aunque tambin puede ocurrir en elementos pretesados sobre todo y se da el uso de desviadores para forzar una determinada direccin, y se producen durante la puesta en tensin de los cables.

El Cirsoc 201 -2005 artculo 18.6.2.1 propone la siguiente expresin para el clculo de las prdidas por friccin:

Donde:

Los valores K y p deben obtenerse en forma experimental. Los fabricantes q tienen un sistema de pretensado dan los valores correspondientes a sus sistemas aunque estos pueden variar fuertemente de acuerdo con la calidad de ejecucin de los trabajos en obra.

Se pueden obtener algunos valores estimativos a partir de la siguiente tabla provista por el reglamento



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Llamemos

A = K*lpx + p*px Por lo que:

e-A *100 = representara el porcentaje fuerza aplicada en el gato q todava se mantiene en la seccin estudiada A los efectos de hallar el valor neto de la perdida por friccin se ignora las dems perdidas.

En rigor de verdad las perdidas deberan trabajarse en conjunto, pero dado la complejidad que esto conlleva, el reglamento permite hallarlas por separado y luego sumarlas.

Analizando nuestra seccin critica, es decir el centro del tramo ser: K = 0,0020/m (tabla propuesta por el reglamento) Lpx = 13,30 m (mitad de la luz total) p = 0,20 (tabla propuesta por el reglamento) px = 0,1633 radianes Segn lo que indica la siguiente ilustracin

Entonces ser: A = 0,0020 * 13,60 + 0,20 * 0,1633 = 0,05986 Por lo que e-A *100 = 94,19 %



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Esto quiere decir que la fuerza, o en su defecto la tensin (la diferencia esta solamente en el factor 1/As) ser en el centro un 5,81 % menor que en el extremo debido a las fuerzas internas de friccin del cable contra las vainas y hormign. Podemos hacer: Tensin efectiva = Po/As = (2841,02 KN/2072,70mm2)*1000 = 1370,68 MPa Tensin transferencia = tensin efectiva/0,9419 = 1370,68/0,9419 = 1455,23 MPa Incremento de tensin = tensin de transferencia - tensin efectiva = 84,55 Mpa

7.6) Acuamiento de anclajes

Se trata de una perdida de tensin que al igual que la friccin se da nicamente en elementos postesados. Se supondr que en este caso se utilizan los sistemas convencionales de cuas, ya que nuevas tecnologas de anclaje evitan totalmente cualquier tipo de corrimiento en el momento de la transferencia de carga por lo que se anulan las perdidas de este tipo.

La friccin y el fenmeno de Acuamiento de los anclajes estn ntimamente relacionados a tal punto que el efecto de prdida producido por este ltimo es en algn momento anulado por la friccin, ahora negativa, del cable en retroceso dentro de la vaina. Es decir, a una cierta distancia desde el anclaje activo, la perdida debida al corrimiento o desplazamiento del anclaje ser anulada por la friccin del cable que retroceder.

Mas detalladamente podemos decir, dado que los corrimientos de los anclajes tienden a producir movimientos relativos entre los elementos tensores y las vainas, se ponen en juego fuerzas de rozamiento que, si las piezas que se estn pretensando son suficientemente largas, terminan por anular los efectos de Acuamiento a una cierta distancia del apoyo activo.

A los efectos prcticos puede suponerse que la friccin acta con igual intensidad tanto en el proceso de alargamiento como en el de acortamiento del cable. En la figura siguiente se ha indicado con p a la pendiente de la curva que indica la variacin de la fuerza en los elementos tensores, considerando solamente perdidas por friccin. Se acepta adems variacin lineal para la fuerza debida solamente ala friccin. Puede demostrarse que, suponiendo pendiente constante e igual tanto para la carga como para la descarga, valen las siguientes expresiones.

set = Area rayada de la figura (KNm)/Aps * Eps Donde set corresponde al deslizamiento esperable del anclaje. Comnmente es provisto

por el fabricante del producto. Aps = seccin de un cordn de armadura activa Eps = modulo de elasticidad del elemento tensor

Longitud afectada = (set*Aps *Cant de Cord.*Eps/p)1/2



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Pcorrimiento = Longitud afectada * 2 *P

Para nuestro caso ser: Suponemos un corrimiento de anclaje = set = 6 mm Luego habamos calculado para una distancia de 13, 60 m una perdida por friccion de 84,55

Mpa, correspondiente a una fuerza de 175,25 KN. Esto equivale a 12,88 KN/m de perdida. Por lo que: P = 12,88 KN/m

Con estos datos podemos calcular: Longitud afectada = ((6 mm * 98,70 mm2 * 21.195000 Mpa/12,88 KN/m)* 1/1000000)1/2 Longitud afectada = 13,72 m

Esto quiere decir que a una distancia de 13,72 m desde el anclaje activo, el efecto de perdida

debido a corrimientos de anclajes ser compensado y anulado por los efectos de friccin negativa del elemento tensor. Como vemos la seccin media crtica en anlisis no sufre prdidas significativas ya que se encuentra a una distancia de 13,60 m del anclaje activo, a solo 12 cm de donde esta pedida se anula. Adoptamos entonces q no hay perdidas por acuamiento de anclajes en la seccin media.

En el cuadro siguiente se resumen los valores obtenidos. Se aclara lo siguiente: la tensin

admisible en el acero es verificada en la seccin central sin considerar la reduccin por acuamiento de anclajes, como dijimos anteriormente. Esto hace que quedemos del lado de la seguridad respecto del valor pico que estara despues d ela seccion central. De todas maneras, el caso recomendado es el de verificar en el pico del diagrama.



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444 - ESTRUCTURAS DE HORMIGN ARMADO Y PRETENSADO

DVALOS, RubnD. FRATICELLI, LucasS.- 20

8) Verificacin de La resistencia a flexin Supondremos inicialmente (y luego verificaremos) que se trata de una seccin controlada

por traccin Calculamos Mu

Mu = 1,2*Md + 1,6*Ml Donde:

Md = 2044,73 KNm Ml = 2369,83 KNm

Luego: Mu = 1,2*2044,73 + 1,6*2369,83 Mu = 6245,40 KNm

La tensin en el acero en el momento de la rotura se puede determinar a partir de la siguiente formula:

Donde: Fps = tensin de la armadura para el calculo de la resistencia nominal Fpu = tensin de traccin especificada para el acero de pretensado p = 0,55 para barras conformadas de pretensado 0,40 para barras alambres y cordones de relajacin normal 0,28 para alambres y cordones de baja relajacin 1 = 0,85 para hormigones menores o iguales a 30 Mpa de resistencia 1 = 0,85 0,05*(Fc 30 Mpa)/7 para hormigones mayores a 30 Mpa de resistencia p = cuantia de armadura tesa = As/(b*dp) dp = distancia desde la fibra mas comprimida hasta el baricentro de la armadura tesa d = distancia desde la fibra mas comprimida hasta el baricentro de la armadura no tesa w = cuanta mecnica de la armadura traccionada no tesa w= cuanta mecnica de la armadura comprimida no tesa



Suponiendo que:

a) la seccin se comporta como rectangular b) no existe armadura de compresin c) no ser necesario adicionar armaduras pasivas

Tendremos:

fpu = 1864 MPa p = 0,28 1 = 0,85 0,05*(35 30 Mpa)/7 = 0,8143 dp = 1,45 m p = cuantia de armadura tesa = 2072,70/(650*1450) = 0,002199

Entonces: Fps = 1788,94 Mpa

Determinamos la fuerza provista por la armadura: T = fps * Aps T = (1788,94 Mn/m2 *2072,70 mm2)*1/1000 T = 3707,93 KN

La profundidad del eje neutro ser: a = T / (0,85 * fc * b) a = (3707,93 KN/(0,85*35Mpa*0,65m))*1/1000 a = 0,1917 m 0,25 m = Hf (altura del ala en la seccin central) es correcta la

suposicin que hicimos respecto al comportamiento como viga rectangular.

Ahora pasamos a determinar el momento nominal Mn Mn = T* (dp a/2) Mn = 3707,93 KN * (1,45 m 0,19 m/2) Mn = 5024,24 KNm



Se deber verificar la condicin resistente: *Mn Mu con = 0,90 0,90 * 5024,24 KNm = 4521,82 KNm Mu = 6245,40 KNm malas condiciones.

Se deber agregar armadura pasiva. Se procede de la siguiente manera: Se adopta colocar 12 dimetros de barra de 20 mm cada una. A una distancia desde de

fibra mas comprimida de 1, 57 m, es decirlas barras tendrn un recubrimiento de 2 cm que tambin se respetara segn las paredes laterales, segn se ilustra en el siguiente grafico:



Entonces tenemos que

T= T + T1 Donde: T1 = As * Fy * n

T1 = Fuerza proporcionada por la armadura no tesa a colocar As = area de una barra de armadura adicional a colocar FY = 420 Mpa (las barras a agregar no tesas, se suponen en fluencia en el momento de la

rotura) n = numero de barras a agregar

T1 = (3,14 cm2 * 420 MPa * 12) * 1/10

T1 = 1582,56 KN

T= 3707,93 KN +1582,56 KN

T= 5290,49 KN

La profundidad del eje neutro ser ahora:



a= T/(0,85 * fc * b)

a= (5290,49 KN / (0,85 * 35 MPa * 0,65 m) * 1/1000

a= 0,2736 m Hf = 0, 25 m suponemos aproximadamente Igual a Hf

Determinacin de Mn:

Mn= T* (dp a/2) + T1*(d-a/2)

Mn= 3707,93 KN * (1,45 m 0,2730 m/2) + 1582,56 KN * (1,57 m 0,2730 m/2)

Mn= 4870,366 KNm + 2268,599 KNm

Mn= 7138,965 KNm Se deber verificar nuevamente la condicin resistente:

*Mn Mu con = 0,90 0,90 * 7138,965 KNm = 6425,069 KNm Mu = 6245,40 KNm Buenas condiciones

9) verificacin de la condicin de seccin controlada por traccin ps = 0,003 * (dp c)/c Con c = a/1 = 0,2730 m ps = 0,003 * (1,45 m 0,2730 m)/0,2730 m ps = 0,01293 0,005 seccin controlada por traccin Buenas Condiciones 10) verificacin de cuanta mnima Deber cumplirse : 1,20 * Mcr = * Mn Donde: Mcr = momento de fisuracin calculado para las cargas que producen una tensin mxima de traccin igual a fr Fr = 0,70*(fc)1/2

Fr = 0,70*(35)1/2 = 4,14 MPa



Tensin de compresin fibra inferior por pretensado = Pe/Ag + (Pe * e * y)/Ig = 13,12

MPa Tensin critica = 13,12 MPa + 4,14 Mpa = 17,26 MPa Mcrit = Tension Critica * Winf = (17,26 Mpa * 0,211 m3) * 1000 = 3641,86 KNm

La condicin era: 1,20 * 3641,86 KNm = 4370,232 KNm 6425,069 buenas condiciones

Como recomendaciones de material bibliogrfico, se citan:

- Hormign Armado y Pretensado Carlos Larsson. 2da Edicin. - Ejemplos de Aplicacin del CIRSOC - Ing. Victorio Hernndez Balat. - Flexin simple en Hormign Pretensado Ing. Victorio Hernndez Balat. - Hormign Pretensado y Prefabricacin Ing. Victorio Cisaruk.

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