Universidad San Ignacio de Loyola Ciencias Bsicas

GUA DE TRABAJO

FUNDAMENTOS DE MATEMTICA2010-021

INTERVALOS

1. Representar cada uno de los siguientes intervalos en la notacin de desigualdad y graficar en la recta numrica. a) [2, 6] c) ]0, 10[ e) [4, [ g) ]- , [ b) [-4, 5[ d) ]- , 8] f) ]50, [ h) ;0 2. Si A = {x a) A B b) A B R/ -8 x 7} y B = {x R / -4 < x < 10}. Se pide: c) El conjunto de nmeros naturales que pertenecen al conjunto A d) El conjunto de nmeros enteros que pertenecen al conjunto A R/ -2 R/ 3 x < 4} y B = {xx 10 } y B = {x

B. B. B B

3. Sean los conjuntos A = {x 4. Dados los conjuntos A = {x

R/

1 xR/ 5x

5 } Hallar a) A15 } Hallar a) A

B B

b) A b) A

5. Se tienen los conjuntos A = {x R/ -4 < x 0} D = {x R/ x 2} . Hallar (A B) (C D) 6. Si: A = [-2; 5[ ; B = [-3; 5] ; C = ]-2; 1[ Hallar: (B B=[1 ; 5] ; C={0}. Hallar (A [ C={4;1}. Hallar a) (A

B = {x

R/ -2

x

3}

C = {x

R/ x > -1}

C)

A

7. Dado: A= ] 2 ;2 [ ; 8. Si A=[1;3[ 9. Dado B=]2;+

B)

Cb) A

C) B B)

B

C

A=[4;8[ ;

B=]6 ; 9] ;

C={5 ; 8} Hallar a) (A

C

b) (A

C) B

10. Si A, B y C representan respectivamente los intervalos [-5, 10] , [4, 12[ y ]8, 20[; se pide: los intervalos que representan cada una de las siguientes operaciones. a) A B c) A B e) B C b) A B C d) A C f) A B C 11. Dados los intervalos 12. Si a 13. Si

3;1 ; B;b d;

0; 4 ; C,B , B

;3 . Hallar (A

C) B B) C b) (A B) - C C) B

b a b

c c

d

e,A d, A

a; e , C {c} Hallar a) (A

;c

d;

a; c , C {a; b; c; d} . Hallar (A

14. Dados los intervalos: A = ]1; 3] y B = ]3; 4], halle: a) A B b) B A c) (A B) (A B) 15. Dados los intervalos: A = ]1/2; 2[; B = [2; 2] y C = [3/2; 3[, halle y exprese como intervalo o unin de intervalos. a) A B C b) C B c) (A C) B 2

16. Si A = ]1; 2]; B = ]2; 3] y C = ]3; 4], halle: A

B

C

17. Sean a, b nmeros reales tales que 0 < a < b < 1. Si se cumple que: (R - ]a; b[ ) ]0; 1[ = ]0; 1/3] [1/2; 1[ 18. Sean los conjuntos: A = ]1; 3], B = [2; 3[ halle: A) A B B) A B C) B A D) A BC 19. Halle dos intervalos diferentes A y B de modo que: A

Halle el valor de a + b.

B = [1; 2] R/ 0 x < 7/2}

20. Sean los conjuntos A = {x R/ 3 < x < 4}; B = {x R/ x = 4} y C = {x Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones. a) B es un intervalo. b) A B es un intervalo. c) B C es un intervalo. d) (A B) C es un intervalo. 21. Sean los conjuntos A = {x N/ 10 x 18} y B = {x

R/ 11 < x < 15}. Halle A

B.

22. Exprese las siguientes operaciones como un intervalo o unin de intervalos. A) R {0} B) ( ]- ; -1[ ]1; [ ) [-2; 2] C) {0} D) [0; 5] {5}

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INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE

Se denomina as a toda expresin que pueda reducirse a cualquiera de las formas: ax + b < 0 , ax + b > 0 , ax + b 0 , ax + b 0 donde y 1. Resolver las siguientes inecuaciones lineales : a) 7x + 5 < 2x 10 e) ( x 2) 2 ( x 2)(x 2) 8 b) x (4 + 2x) + 3 < 2x + 3 f) (x+1)(x2) (4x1)(3x+5) 6 < 8x 11(x 3)(x + c) 3,25 + 6,82x > 0,76x + 6,28 7) d) 10 {2x 5(x + 1) + 7} 2(1 g) 5(x 1) 3(x 2) 2x 2x) 2. Resolver las siguientes inecuaciones: 3 1 a) (2x 3) (5x 1) 5 10 3x 4 6x 7 b) 2 5 2 1 x 5 x c) 3 2 2x x 7 d) 3 x 5 10 4 x 2 x 3 5 e) 3 2 3 x 1 2x 1 f) 4 2 3 4

3 x 1 2 (x 2) (3x 2) 5 3 2 3 x 2 x 3 x 4 h) 3 2 4 2x 5 2x 2 3 x 2 i) 1 2 3 8 2x 1 x 13 5 j) 3x (x 1) 3 24 8

g)

k) l)

5(1 2x ) 3

1 4 10 x (1 3 x ) 2 4 6x 7 5 3

3(2x 5) 5 (x 7) 3 (7 2x) 4 2

3. Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones lineales: a) 7 < x 2 < 4 i) b) 6 < 2x 3 5 c) 9 2x 3 x 9 j) 2x 1 d) 4 2 3 k) 3x 8 2 e) 1 6 3 l) 1 3x f) 3 10

x 2 5 x 7 2

4 x 2x 1

2 3x 3x 14 4x 3 3 x 2 2 1 3

x 2 < 2x 1 0 donde y . , ax2 + bx + c 0 , ax2 + bx + c 0

1. Resolver las siguientes inecuaciones: a) x x2 9 0 b) 5x2 9 > 0 c) 6x2 < 10 11x2 d) x

10 7 x 8x 16

0 0

e) x 22

4x 4 0 f) x g) x2 (7x + 6) > x + 59 h) 3x2 0 2. Resolver las siguientes inecuaciones: a) (x + 2)(x 3) 2 x b) 5x(x 1) 2 (2x2 7x) 8 c) (2x + 1)(x 3) < 9 + (x + 1)(x 4) d) (x 2)(x + 3) (x + 3)(2x 1) 2 x(5 x 1) 7( x 2) e) ( x 4) 2f)3x 2 2x(x 4) x 12

g) (x h) (x i) j)

5)(x3)2

5)(2x

75)2 16

x2 3x2 3

x 9 65

3 214 x 2 1 15 0

4x 2 1 5

3. Resolver las siguientes inecuaciones: a) x2 ax bx + ab 0, si: a < b < 0 b) x2 + ax bx ab 0, si: 0 < a < b c) ax 2 a 2 x abx 0 si a 0 b. d) (a x)(x b) < 0 , si a < 0 < b 4. Si A = {x R/ x2 5x + 6 > 0} B = {x R/ x + 3 > 2} Hallar el intervalo solucin para A B

5. Un granjero desea delimitar un terreno rectangular y tiene disponible 200 metros de cerca. Encuentre las dimensiones posibles del terreno si su rea debe ser de al menos 2 100 metros cuadrados. 6. En cierto estanque se cran peces. Si se introducen n de ellos all, se sabe que la ganancia de peso promedio de cada pez es de 600 3n gramos. Determine las restricciones de n si la ganancia total en peso de todos los peces debe ser mayor que 28,800 gramos. 7

7. Un fabricante puede vender x unidades de un producto cada semana al precio de p dlares por unidad, en donde p = 200 x. Qu nmero de unidades deber venderse a la semana para obtener ingresos mnimos por $9900? 8. Una compaa tiene una capacidad de produccin mxima de 10 000 unidades de cierto articulo. Las ventas mensuales x del producto, cuando su precio es $ p, esta dado por p = 200-3x. el costo de producir x unidades del mismo articulo es C = 650 + 5x dlares. Cuntas unidades de este articulo debern producirse y venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos el 25% de la capacidad mxima de produccin?

9. Un fabricante puede vender el 100% de las unidades de un producto a $25 cada una. El costo C (en dlares) de producir x unidades cada semana est dado por C = 300 + 24x 0,1x2. Cuntas unidades debern producirse y venderse a la semana para obtener alguna utilidad? 10. Al precio de p dlares por unidad, x unidades de cierto artculo pueden venderse al mes en el mercado con p = 600 5x. Cuntas unidades debern venderse cada mes con el objeto de obtener ingresos de por lo menos $18 000? 11. El costo fijo de producir x artculos es S/. 100 y el costo unitario es 40x . Si stos se pueden 2

vender al 80% del costo fijo. a) Cuntos deben producirse y venderse para obtener utilidades de al menos 5 veces el costo fijo? b) Cuantos deben producirse para que los costos no superen los S/. 2500? 12. Un fabricante de relojes puede producir un reloj marca TIC TAC con un costo de $15 por unidad. Se estima que si el precio de venta del reloj es x dlares, entonces el nmero de relojes que se vende por semana es 125 x . a) Expresa el monto semanal de las utilidades del fabricante como funcin de x. b) Determina cul debe ser el precio de venta, si se busca que la utilidades semanales alcancen un valor mximo. 13. Un fabricante de cierto producto artesanal puede producir y vender x unidades cada semana al precio de p nuevos soles por unidad, en donde p = 200 x. El costo de producir x unidades es 2800 + 45x nuevos soles. Cuntas unidades debera producir y vender el fabricante por semana para generar utilidad de al menos 3200 nuevos soles? 14. Un analista encontr que las ganancias de su empresa en cientos de miles de dlares estn dadas por G = 3x2 35x + 50, donde x es la cantidad. Para qu valores de x la empresa tiene perdidas?

15. Un editor puede vender 12 000 ejemplares de un libro al precio de $25 cada uno; por cada dlar de incremento en el precio, las ventas bajan en 1/30 de los ejemplares iniciales. Qu precio mximo deber fijarse a cada ejemplar con el objeto de lograr ingresos por lo menos de $ 300 000? 16. Un peluquero atiende un promedio de 100 clientes a la semana iniciales y les cobra 5 dlares por corte. Por cada incremento del 15% en la tarifa, el peluquero pierde el 10% de clientes iniciales. Qu precio deber fijar de modo que los ingresos semanales no sean menores de los que l obtiene por una tarifa de $ 5? 8

17. Un supermercado se encuentra con grandes existencias de manzanas que debe vender rpidamente. El gerente sabe que si las manzanas se ofrecen a p centavos por libra, vender x libras, con x = 1000 20p. Qu precio mximo deber fijar con el fin de obtener ingresos por lo menos de $120? 18. Al precio de 8 dlares por unidad se venden 24 unidades de cierto artculo al mes en el mercado. Si el precio y la cantidad aumentan en la misma cantidad, el ingreso aumentara en por lo menos 144 dlares. Cunto ha aumentado el precio por lo menos? 19. Al precio de 5 dlares por unidad se venden 25 unidades de cierto artculo al mes en el mercado. Si el precio y la cantidad aumentaron en la misma proporcin, el ingreso aumentara a por lo menos el 400% dlares. A cunto ha aumentado el precio y la cantidad por lo menos?

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