GUIA MATEMATICA 2011

GUIA DE LABORATORIO NRO1

TEMA: LOGICA PROPOSICIONAL

1. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones :a) La Facultad de Medicina de la

Universidad San Martin de Porras, está en Lima y Chiclayo.

b) Si Julia estudia Medicina, entonces Julia estudia Fisiología

. 2. El valor de verdad de las siguientes

proposiciones , es:

a) (3<8 ) Λ ( 02=0) ………………….

b) √−4∈R→ (−1 )2=1 ……………

3. Negar las siguientes proposiciones:a) Si Carlos estudia medicina o

trabaja, entonces no viaja.

b) Si Carlos aprobó los exámenes de admisión, ingreso a la universidad pero Carlos no ingreso o no aprobó los exámenes de admisión.

4. Si la proposición ( p Λq )→ (p→r )es falsa. Señale el valor de verdad de las siguientes proposiciones.a) [ ( p Λq )∨ (q∨∼r ) ]↔ ( p∨∼ q )

b) ∼ [∼ ( p∨q )∨ (q∨r ) ]→ (p→r )

5. Determinar mediante tablas de verdad cuales de las siguientes proposiciones son tautologías, contradicción o contingencia.a) [ ( p Λq )∨ (q∨∼ p ) ]↔ ( p∨∼q )

b) [ ( p Λq )→ r ]↔ [r∧∼ ( p∨∼q ) ]

6. Simplificar las siguientes proposiciones :a) [∼ ( p Λq )→ p ]∨ p

b) [ ( p Λq )∨ ( p∧∼ q ) ]∨ (∼ p∧∼q )

7. Determinar si los siguientes esquemas son lógicamente equivalentesa) ∼ p∧q≡∼ (p∨q )

b)∼q∨ p≡ (∼ p∧q )≡∼ p↔ (p→ q )

8. Determinar el esquema más simple de la proposición :

[ ( p∧q )∨ (p∧∼q ) ]∨ (∼ p∧∼q )

1

GUIA DE ESTUDIO NRO 1

TEMA: LOGICA PROPOSICIONAL

1. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:a) El estudiante de medicina tiene que estudiar mucho o el estudiante de

Ingeniería estudia poco.b) No es cierto que el razonamiento es importante para la medicina y la

Anatomía es importante para el estudiante de medicina.

2. Negar las siguientes proposiciones:a) Dos no es un número primob) Si Anita estudia medicina no trabaja entonces no viaja.c) Si Daniela aprobó los exámenes de admisión, ingreso al residentado pero

Daniela no ingreso o no aprobó los exámenes de admisión.

3. El valor de verdad de las siguientes proposiciones , es:a) [ (−1 )2 ]>1∨ (23=8 ) …………………………………

b) (12>7 )↔ (3<4 ) …………………………………….

4. Si “s” es una proposición falsa y “t” es verdadera. ¿Cuál de las siguientes proposiciones son verdaderas?a) p∧ ( s∧t ) b) ( p∧ s)↔tc) p→ ( t ∨s ) d) s↔ ( p∧t )

5. Si la proposición ( p Λq )→ (p→r )es falsa. Señale el valor de verdad de las siguientes proposiciones.a) ( p∨q )→ ( p↔ r )b) [ ( p∨ q )→ (q∧∼ r ) ]→∼ p

6. Si la proposición (∼ p→q )∨ ( s→∼r )es falsa. Señale el valor de verdad de las siguientes proposiciones:a) ∼ [ ( p∨q )∧∼q ]→ (p→q )b) [ ( p∧∼q )∧ (∼ p↔ q ) ]→ (p∨∼r )c) [ (r→q )∧q ]↔ [ ( q∨ r )∧ s ]

7. Determinar mediante tablas de verdad cuales de las siguientes proposiciones son tautologías, contradicción o contingencia.a) ∼ ( p→q )↔ [ ( q )→ ( p ) ] b) [ ( p Λ q )∧ (∼ p↔r ) ]→ ( p∨∼q )

8. Simplificar las siguientes proposiciones :a) (∼ p∨∼q )∧ [∼ p∧ (q→ p ) ]b) ( p→ q )→ [ p∧ (q→ p ) ]

2

A B CD

9. Determinar si los siguientes esquemas son lógicamente equivalentesa) p∧ p≡ [ ( p∨ p )↔p ]b) ∼ ( p→q )≡ p↔q≡ p↔ q≡ ( p↔ q )

10. Determinar el esquema mas simple de la proposición :a) [ ( p→q )∨∼ p ]∧ (∼q→ p )

( p∨∼q )∧ [∼ p∧ (q→ p ) ]GUIA DE LABORATORIO Nº 02

TEMA: C0NJUNTOS

01. Determinar por extensión los

siguientes conjuntos:

A={x∈Q/ 6x2−5 x+1=0 }

B={n2−9n-3

/ x∈Z , -2<n≤5}02. Determinar por compresión los

siguientes conjuntos ,

A={10 , 14 , 18 , 22 , 26 }

B={118

, 1316

, 1532

, 1764

, 19128 }

03. Sean los conjuntos

U = -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4

A={-1 , 0 , 1} ; B= { 2 , 3 , 4 } Si, M= {x∈U / x∉ A⇒ x∈B }

Hallar M.

04. Si B = { a } ; C = { , b } ;

A = P(B) C. Hallar:

a. A – ( B C )

b. ( A B ) C

c. P ( A – ( B C ) )

05.Utilizando las propiedades

conjuntistas, simplificar las

expresiones:

a . Si A⊂B, simplificar [ ( A∪B )−C ]∩[ ( A−B )∪C ]

b . Si A⊂B ∧ C∩A =Φ , simplificar [A∪ (B-C ) ]∩[B∪(C−A ) ]

06. Sombrea de acuerdo a la

operación

indicada:

3

{ [B’ (A C)’] [ C’D’] }’

07. En el Hospital E. Rebagliati

se encuentra hospitalizados

120 personas, que sufren las

siguientes enfermedades:. 45

sufren de diabetes., 46

sufren del corazón., 38

sufren de hepatitis., 7 sufren

de diabetes y del corazón., 8

sufren del corazón y

hepatitis., 10 sufren hepatitis

y diabetes y 12 no se les

detectó ninguna enfermedad.

¿Cuántos pacientes tienen

las 3

enfermedades?

4

A B C

GUIA DE ESTUDIO Nº 02

TEMA:CONJUNTOS

01.Determinar por extensión los siguientes conjuntos:

A={12x/ x∈N∧ 1≤x<5} B={(3x−2 )∈ Números pares /1≤x≤6,x∈N }

C={( x−3)∈N / x2−3 x−4}

02. Determinar por compresión los siguientes conjuntos ,

A={1 , 12

, 14

, 18

, 116

, 132 }

B={114

, 146

, 178

, 2010

, 2312 }

C={-7 , -3 , 1 , 5 , 9 .. .. . .. .. . .. .. .. . }

03. Siendo E = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4} y los subconjuntos de E:

A = { x / x + 3 = 3 x 0 } B = { x / x 1 x < 2 }

C = { x / x + 3 = 3 2x – 1 = 3 }

Determinar: a. ( A B ) – ( A B ) b. [ ( A B ) – (B – C ) ]

04. Utilizando las propiedades conjuntistas,simplificar las expresiones:

a . Si A⊂B ∧(A∪B )∩C=Φ , simplificar [A−(B∩C ) ]′∪[ (A∪C )−(A∩B )' ]′

b.. {[ ( A '∩B )∪ (B∩A ) ]∩B '}∪A

05. Dado los conjuntos:

U = { x Z / -3 x 3 } A = { x U / ( x2 – 4 ) ( x2 – 9) = 0 }

B = x U / ( 1 – x ) A } C = x U / ( x + 1) A }

Calcular:

a. [ ( A –C ) B ] b. [ ( A B ) - C ] A c. [ ( A C ) B ]

06. Responda en cada caso:

a. En el siguiente gráfico.

b..Que expresión representa la región sombreada en la figura.

5

A B

C

Sombrear la región que representa a

M = { x U / x [ (A – C) (B C ) ] }

07. En un hospital con 420 médicos; 240 obtuvieron un aumento, 115 obtuvieron un ascenso y 60 obtuvieron ambas cosas.

a. ¿Cuánto médicos ascendieron o obtuvieron un aumento?b. ¿Cuántos médicos ni ascendieron ni obtuvieron un aumento?

08. El 65% de la población de una ciudad no ve el canal A de T.V. y el 50% no ve el canal B. Si el 55% ve el canal A o el canal B pero no los dos canales. ¿Qué porcentaje de la población ve ambos canales?.

09. En una batalla intervienen 100 soldados de los cuales:

- 42 fueron heridos en la cabeza- 43 fueron heridos en el brazo- 32 fueron heridos en la pierna- 8 fueron heridos en la pierna y el brazo- 5 fueron heridos en la cabeza y el brazo- 6 fueron heridos en la pierna y la cabeza.

Si todos fueron heridos ¿Cuántos fueron heridos en la cabeza, la pierna y el brazo?

10. En un instituto de investigación científica trabajan 67 médicos. De estos 47 investigan el cáncer, 35 investigan el sida y 23 ambas enfermedades. ¿Cuántos médicos en el instituto no estudian el cáncer ni el sida?

11. En el pabellón A de un hospital hay 40 pacientes, algunos que estudian o trabajan y otros que ni estudian ni trabajan. Se tiene que presentar un informe acerca de los pacientes sabiendo que:15 pacientes no estudian ni trabajan,10 pacientes estudian, 3 pacientes estudian y trabajan. ¿Cuántos trabajan? ¿Cuántos solo trabajan? ¿Cuántos solo estudian?.

12. De una encuesta a 270 personas para establecer preferencias de lectura de las revistas A, B, y C, se obtienen los siguientes resultados: Todos leen alguna de las tres revistas; todos menos 80 leen la revista A; 30 leen A y B pero no C; 12 leen B y C pero no A; 20 leen sólo C. El número de los que leen A y C es el doble del número de los que leen las 3 revistas. El número de los que leen sólo B es el mismo que el total de los que leen A y C. ¿ Cuántos leen sólo la revista A?

6

GUIA DE LABORATORIO Nro3 …

TEMA:ANALISIS COMBINATORIO

01. Cuántos números diferentes de 5 cifras pueden formarse con los dígitos: 1 , 2 , 3 , ......8 , 9 en los cuales no se repite ningún número.

02.¿De cuántas maneras se pueden elegir 3 hombres de entre un grupo de 15 hombres de manera que:

a. Uno de ellos debe figurar en cada grupo.

b. Dos de ellos no debe figurar en cada grupo.

c. Uno de ellos debe figurar y otros dos no deben figurar en cada grupo.

03.¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar en una fila de 5 butacas , 3 hombres y dos mujeres de modo que las mujeres no estén juntas?

04.Hallar el valor de x si :

P2x . C2

x=450

05. Se ordenan 6 libros en un estante donde 2 de ellos son de Biología. ¿De cuántas formas diferentes se

podrán ordenar los libros si los que no

son de Biología deben estar juntos?

06. De la palabra EUCALIPTO se escogen 2 consonante y 3 vocales diferentes. ¿Cuántas palabras de 5 letras pueden formarse sin que las palabras tengan necesariamente significado?

07. ¿De cuántas maneras pueden agruparse 6 médicos, 4 químicos y 3 biólogos de manera que en cada grupo hay 3 médicos , 2 químicos y un biólogo?

08 De un equipo de 12 personas; 5 de ellos son médicos. ¿Cuántos grupos de 4 miembros, se pueden formar de manera que en cada grupo esté integrado por lo menos por un médico?

7

GUIA DE ESTUDIO Nro3

TEMA: ANALISIS COMBINATORIO

01..En un Congreso Legislativo hay 20 demócratas y 10 republicanos. Se va elegir un grupo de 5 congresistas.

¿De cuántas maneras puede hacerse?a. ¿De cuántas puede hacerse, si tiene que haber 3 demócratas y 2 republicanos.b. ¿De cuántas maneras si todos han de ser del mismo partido.

02.En una clínica hay 10 médicos y 12 enfermeras, ¿Cuántos grupos de trabajo conformado por 6 médicos y 5 enfermeras pueden formarse?

03.Un equipo de investigación costa de 14 integrantes; de ellos 8 son médicos ¿Cuántos grupos de 6 miembros se puede formar de manera que se considere a lo más 4 médicos?

04.¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los dígitos 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ? de manera que no se repita los números.

05.Con 6 enfermeras y 5 médicos se van a formar comités de 4 miembros. ¿Cuántos comités se pueden formar si dicho comité debe estar integrado por lo menos por 2 médicos.

06.Para formar una junta directiva de tres miembros se presentan 6 candidatos , de los cuales se seleccionan 4 al azar ; si de éstos , solo tres ocuparán los cargos de presidente , secretario y tesorero , ¿De cuántas maneras diferentes se puede formar la junta directiva?.

07.De un grupo de 9 personas se quiere escoger un grupo de 7 para abordar un bote con 6 remos y un timón . ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar sabiendo que de las 9 personas sólo 3 pueden llevar el timón?

08. Calcular x + n , si: V 3n-2=210 donde C8

x=45

09. El número de combinaciones de x objetos tomados de 3 en 3 está en relación a 1 con el número de combinaciones de los mismos objetos tomados de 2 en 2. Calcular el número de objetos.

10.¿Cuántas señales diferentes pueden hacerse izando 6 banderas de colores diferentes una sobre otra , si se puede izar cualquier número a la vez?

11.En una clínica trabajan 18 enfermeras: a. ¿Cuántas guardias diferentes de 3 enfermeras pueden formarse? b.¿En cuántas guardias de las formadas en (a)estará una enfermera

8

determinada?


TEMA: PROBABILIDADEs

01.Si se lanza una moneda 3 veces, calcular la probabilidad de que:a. Ocurran dos caras.

b. Ocurran al menos dos caras.

.02.Consideramos el experimento de “el

lanzamiento de dos dados“. Calcular la probabilidad de:

a. Obtener una suma de 7

b. Obtener una suma de 6

03. En una ánfora hay 25 bolas blancas; 30 bolas rojas y 40 bolas negras. Expresar porcentualmente las probabilidades de extracción de cada uno de los colores en un solo intento.

04.Andrés , Beto y Carlos ejecutan un penal , las probabilidades que tienen para hacer un gol son 1/3 , 1/2 , y 1/4 respectivamente . ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos haga un gol?

05.Se elige un comité de 6 personas de un grupo de 7 médicos y 4 enfermeras. Calcular la probabilidad de que en dicho comité haya una enfermera por lo menos..

06. Se escogen al azar 3 relojes de 15 , de los cuales 6 son defectuosos . ¿Cuál es la probabilidad de que haya escogido 2 relojes defectuosos?.

07. De 150 pacientes examinados en una clínica, se encontró que 90 tenían enfermedades cardiacas, 50 tenían diabetes y 30 tenían ambos padecimientos. ¿Qué porcentaje de los pacientes tenían uno u otro de los padecimientos?

08. La probabilidad de que llueve en Chosica el 12 de octubre es 0.10; de que haya trueno es 0.05 y de que llueve y truene 0.03 ¿Cuál es la probabilidad de que llueve o truene ese día?

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GUIA DE ESTUDIO NRO 4 - A

TEMA: PROBABILIDADES

01.En cierta comunidad el 70% de las personas fuman ,40 % tienen cáncer pulmonar. y 25% fuman y tienen cáncer pulmonar . Si F y C denotan los eventos de fumar y tener cáncer pulmonar (Completando la tabla adjunta) .

F F c

C

C c

Determinar la probabilidad de un individuo escogido al azar:

a. No fume pero tenga cáncer pulmonar.b. Fume pero no tenga cáncer pulmonarc. No fume ni tenga cáncer pulmonard. Fume o no tenga cáncer pulmonar e. No fume o no tenga cáncer pulmonar.

02. En una gran población de moscas de fruta. 38% de ellos sufre una mutación en las alas. 40 % una mutación en los ojos y el 15 % ambas mutaciones. Se escoge una entre todos. ¿Cual es la probabilidad de que al menos tenga una de las mutaciones?

03. Hallar la probabilidad de sacar un corazón o una espada en una simple extracción de un mazo de casinos de 52 cartas?

04.Un experimento aleatorio consiste en disponer los dígitos 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 uno a continuación de otro. Calcular la probabilidad de:

a. Que el 3 aparezca junto al 4 y en ese orden. b. El número formado sea par. c. El número formado sea mayor que 6 x 10 7.

05. Una caja contiene 100 tubos fluorescentes. La probabilidad de que haya al menos un tubo defectuoso es 0.05 y de que haya al menos 2 tubos defectuosos es 0.01. ¿Cuál es la probabilidad de que la caja contenga:

a. Ningún tubo defectuoso? b. Exactamente 1 tubo defectuoso. c. A lo más un tubo defectuoso.

06. Sean A y B dos eventos que no son mutuamente excluyentes tales que:P(A) = 0.20 ; P(B) = 0.30 y P(A B) = 0.10 . Calcular P(AB)

07. En un salón de clase el 30 % de los alumnos son hombres y el 10 % de los hombres son de provincia mientras que el 80 % de mujeres son de Lima. Si del salón de clase se selecciona uno al azar ¿Cuál es la probabilidad de que sea de Lima?

08. Suponga que en un sorteo la probabilidad de ganar el primer premio es 2/5, la de ganar el segundo premio es de 3/8. Si la probabilidad de ganar al menos uno

10

de los 2 premios es 3/4.¿ Cual es la probabilidad de ganar solo uno de los dos premios?.

GUIA DE LABORATORIO NRO4 - B

TEMA: PROBABILIDADES

01. Cierta Universidad en formación en su primer año de funcionamiento tiene 3 Facultades: Medicina, Ingeniería y Administración. La clasificación de los alumnos por sexo es como sigue:

Fac. Med. Adm. Ing. Total

Hom. 250 350 200 800

Muj. 100 50 50 200

Total 350 400 250 1000

Se selecciona aleatoriamente del grupo, Si se sabe que el estudiante es hombre

a. ¿Cuál es la probabilidad de que esté en medicina?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que esté en administración?

c. Si el estudiante es mujer. ¿Cuál es la probabilidad

02. Se tiene dos cajas. En la caja 1 hay 5 sobres sellados; tres de ellos contienen billetes de S/. 100.00 y dos de ellos billetes de S/. 50.00. En la caja 2 hay 10 sobres sellados; 7 de ellos contienen billetes de S/. 100.00 y 3 billetes de S/. 50.00. Si se selecciona una caja de al azar y de ello se toma un sobre ¿Cuál es la probabilidad de que contenga un billete de S/.50.00?

03. Dado: P(A) =0.5,P( A U B) = 0.7. y PA/B) = 0.5 . Hallar P(B)

11

04. Este problema se refiere a la miopía entre hermanos en familias con dos hijos. Sea S1 el evento de que el hermano mayor sea miope, y S2

representa el evento de que el hermano menor sea miope. Si se sabe que P(S1) = 0.4, P(S2) = 0.2 y P(S1S2) = 0.1

Se pide: a. Calcular P(S1 U S2);

b.¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los hermanos sea miope?;

c. Calcular P(S1|S2) y P(S2|S1).

05. Esta pregunta trata sobre la relación entre el sobrepeso y la presión sanguínea (BP) en los

hombres. La siguiente tabla muestra las probabilidades correspondientes a las diferentes combinaciones de estas variables.

BPNormal BP Alta

Peso

Normal

0.6 0.1

Sobrepeso 0.2 0.1

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo seleccionado al azar tenga sobrepeso o presión alta

b) Calcular la probabilidad condicional de que un individuo tenga presión sanguínea alta dado que se sabe que tiene sobrepeso-

06. En un sistema de alarma , la probabilidad que se produzca un peligro es de 0.10. Si éste se produce, la probabilidad que la alarma funcione es de 0.95. La probabilidad que funcione la alarma sin haber habido peligro es de 0.03. Determinar la probabilidad que haya un peligro y la alarma no funcione..

12

GUIA DE ESTUDIO NRO 4 - B

TEMA: PROBABILIDAD

01. Las preguntas 02 AL 06 están relacionadas con el uso del siguiente tabla donde se relaciona categoría de trabajo y grupos de edades:

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

GRUPOS DE EDADES A1 A2 A3 A4

CATEGORIATRABAJO < 25 26-30 31-35 >35TOTAL------------------------------------------------------------------------------------------------------B1 MEDICOS 0 5 25 75

B2 SERVICIOS DELABORATORIOCLINICO 20 30 35 35

B3 SERVICIOS DEDIETAS 3 6 6 10

B4 SERVICIOS DEREGISTROSMEDICOS 7 15 8 12

B5 SERVICIOS DEENFERMERIA 200 375 442 203

B6 FARMACIA 1 12 8 3

B7 TECNOLOGIARADIOLOGICA 4 10 19 12

B8 SERVICIOSTERAPEUTICOS 5 25 15 10

B9 OTROS SERVICIOS 20 35 50 25------------------------------------------------------------------------------------------------------TOTAL 260 513 608 385Calcular:

02.. La probabilidad de que una persona escogido al azar pertenezca al servicio de dietas:

03. La probabilidad de que una persona escogido al azar sea medico o tenga edad entre 26 a 30 años:

13

04. La probabilidad de que una persona tenga edad mayor de 35 años dado que pertenece al servicio de laboratorio clínico:

05. La probabilidad de que una persona tenga categoría de trabajo de

farmacia y edad menor de 25 años:

06. La probabilidad de que una persona tenga categoría de trabajo de

medico o de tecnología radiológica.

07. En una elección el 55 % de los votantes están registrados como

independientes y el 45% están registrados como gobiernistas. Existen

dos candidatos a la alcaldía un independiente y un gobiernista. En l a

elección, 80% de los independientes y 10% de los gobiernistas votaron

por el independiente; el 20% de los independientes y el 90% de los

gobiernistas votaron por el gobiernista. Si se selecciona un votante al

azar ¿Cuál es la probabilidad que haya votado por el gobiernista

08. En una clínica se ha determinado de que el 40% de los trabajadores

fuman cigarrillos, el 55% son mujeres y el 75% son mujeres o fuman

cigarrillos . Se elige un trabajador al azar, se pide:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que fume cigarrillos y sea varón?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que fume cigarrillos dado que es varón?

09. Se realizó un estudio para examinar si las personas con un IQ alto tienden a casarse entre ellos,y si esto está relacionado también con el sexo; para lo cual se obtuvieron datos de 1000 parejas. Sea M el evento que denota que el miembro masculino de la pareja tiene un IQ alto y F el evento que denota el hecho de que el miembro femenino de la pareja tenga un IQ alto. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

P(FM) = 0.05 , P(M) = 0.20 Y P(F) = 0.10

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la esposa tenga un IQ alto, dado que su esposo también lo tenga?

b) Si al menos uno de los miembros de la pareja tiene un IQ alto. ¿Cuál es la probabilidad de que la esposa lo tenga?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que solamente la esposa tenga un IQ alto?

10. Sean los eventos A y B dados en con P(A), P(B) > 0. Se tiene los

siguientes resultados P(A/B)=0.8, P(AB)=0.2 y P(A’)=0.80, por

consiguiente, se pide calcular los valores de las probabilidades de P(B’)

y P(B/A’).

Los problemas 13 al 16 están en relación al siguiente enunciado: En la

siguiente tabla se presenta los resultados de un estudio histológico para medir

la variabilidad de la evaluación de manchas cervicales a través de la presencia

o ausencia de un determinado tipo de célula anormal. Cada slide fue revisado

14

por un particular graduador y se volvió a revisar después de 6 meses por el

mismo graduador.

Primera Segunda revisión

Revisión Presencia Ausencia Total

-----------------------------------------------------------------------

Presencia 1763 489 2252

Ausencia 403 670 1073

----------------------------------------------------------------------

Total 2166 1159 3325

a. ¿Cuál es la probabilidad que células anormales estén ausentes en ambas revisiones?

b. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar ausencia en la segunda revisión dado que las células anormales estaban presentes en la primera revisión?

c. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar presencia en la segunda revisión dado que células anormales estaban ausentes en la primera revisión?.

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GUIA DE LABORATORIO NRO 5

TEMA:INTERVALOS Y ECUACIONES

01. Se tiene los siguientes intervalos: A = < -2 , 2] ; B = [ -3 , 0 >; c = [-4 , 3] Siendo el conjunto universal

E = [-5 , 4> ; Hallar:

a. (E A ) (E B)

b. A ( C B )

c. (A- B)

02. Dado los intervalos:

A = < -2 , 2> ; B = [ 0 , 5> ;

C = [2 , 7]; Hallar:

a. ( A C ) – B

b. ( A B ) C

03 . Si M={x∈R/x∈[−6 , 3 ]→ x∈[ 0 , 5 ] }S={x∈R/x<−6 ∨x>0 }

Hallar: M∩S'

04. Sean los conjuntos:

A={x∈R / 1

x2∈[ 1

16 ,

14 ]}

,

B={x∈R / 3

x+4∈[ 35 , 3]}

Hallar:

( A∪B )−( A∩B )′

05.Resolver:

( x+4 )2=2x (5 x−1 )−7( x−2 )

06 . Si M={x∈R/6x2−5 x+1=0} S= {x∈R/6x2−x−2=0 }

16

Hallar M∪S

07. Calcular el valor de “m” en la

ecuación: x2 + (2m + 5 )x + m =

0; sabiendo que una raíz

excede a la otra en tres

unidades.

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GUIA DE ESTUDIO Nro 5

TEMA: INTERVALOS Y ECUACIONES

01. Se tiene los intervalos siguientes:

A = < -5 , 2]; B = [ -6 , 0 > ; C = [-1 , 3]

Siendo el conjunto universal E = [-10 , 4> ; Hallar:

a. (E A ) (E B) b. ( A - C) – ( B - C) c. ( B – A) (C - A) d. ( C – B) (AB)

02. Si se dan los conjuntos:

A = < -2 , 7> - { 1 }; B = < - ,-2 > ; C = [6 , +> Afirmamos que:

I. ( A B ) C = < - , 6 ]II. (C – A) = [ 7 , +>III. ( A C ) B = < 6 , 7 > < - , -2>IV. A = < - , -2 > [7 , +>¿Cuáles son verdaderas?

03. Dado los intervalos:

A = < -2 , 2> ; B = [ 0 , 5> ; C = [2 , 7]; Hallar:

b. ( A C ) – B b. ( A B ) C c. (A U B) - ( B C )04. Sean los conjuntos :A = { x R / 4 < x2 < 16 } ; B = { x R / 5 < x2 +4 <13 }

Hallar: (A B ) ( A B )

05. Si 06. Si:A = { x R / x < -5 , 5> x [0,8] }

B = {x R / x [-4 , 6] x [4,10] }

C = {x R / x [ -5 , 2 ] x [0 , 8 ] } Hallar (A B ) C.

06. Resolver las siguientes ecuaciones por factorización:

a. x2 – 11x + 28 = 0

b. 2x2 + x – 1 =0

c. x2 + 4x - 45 = 0

d. 3x2 – 6x + 3 = 0

e. x2 – 4x - 21 = 0

f. 3x2 + x - 10 = 0

18

07. Resolver en R , completando cuadrados.

a. x2 – 6x + 6 = 0

b. 5x2 + 4x – 1 = 0

c. x2 + 5x - 5 = 0

d. 2x2 – 2x – 1 = 0

e. x2 + 2x - 4 = 0

f. 16x2 + 24x + 5 = 0

08. Hallar las raíces de : 5x 2 – 3x – 2 = 0

.

09 Resolver la ecuación

1

1+1

1+1x

= x2+1

¿ Cuál es la mayor raíz?

10.Resolver la ecuación :

1x−a

+ 1x−b

=1a+ 1b

11. Si y , son las raíces de la ecuación ax2 + bx + c= 0 ; calcular en función de

a , b, y c el valor de las siguientes expresiones:

12. Si una de las raíces de la ecuación (2n – 1 ) x 2 + (5n + 1)x –3 = 0 es –3 .

Determinar el valor de n y el de la otra raíz.

13. Hallar la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación:

(2k + 2)x2 + (4 – 4k)x + k- 2 = 0 , sabiendo que una de dichas raíces es

inversa de la otra.

19


TEMA: INECUACIONES

01. Resolver las siguientes

inecuaciones:

a ) 5≥4x-5≥10

b ) 13(3x−7 )≤7

2( x−4 )

02. Resolver:

2x-152

≤53(2−x )>

23(8−5x )

03. Dado los conjuntos :

A={x∈R / (x−5)2≥( x+2 )(x−3)}B=¿¿

¿

04. Resolver por el método de

factorización.

2x2−( x−2)( x+5 )≤7( x+3 )

05. Si:

A= {x R / 3 x−1>−( x−4 )¿¿ y B = {x R / x2 –7x +12 0}

Hallar A B .

06. Resolver las siguientes inecuaciones racionales

a . x+1x-2

>0

b . (x-1 )2−( x+2)2

(x−2)2−( x+1)2≥0

07. Hallar el conjunto solución de:

x3 - 3x3 – 13x + 15 > 0

08. Resolver:

−x3+x2+22x−40x2+7x

≥0

20


TEMA: INECUACIONES

01. Resolver las siguientes inecuaciones:

a ) -2+x≤4x-8< 3 b ) x-22

≤2x+33

−(3 x+2)

c ) x2+x-3

3>x+2

6 d ) 2x<

2x3+3−4x

4


a ) 32( x−1 )≤3x+2<5+

x2

b ) -x+2≤3x−42

<4x-1

c ) x2+6

5<3x

4+11

5>2x−14

5

03. Si el triple de un número, disminuido en 6 es mayor que la mitad del

número, aumentado en 4 y el cuádruplo del número, aumentado en 8

es menor que el triple del número, aumentado en 15. Hallar el número.

04. El cociente intelectual IQ está dado por IQ =

EMEC

x100 donde EM =

Edad Mental y EC = Edad cronológica. Si 80 IQ 140 para un

grupo de niños de 12 años de edad . Encontrar el rango de las edades

mentales.

05. Resolver por el método de factorización.

a . x2−5x−6≥0 b . 5x-2x2+3<0 c . 4 (x-1 )2<9x-2( x+1)2

06.. Sean los conjuntos:

A = {x R / x2 – x –2 0 y B = {x R / x2 –4x -5 0}

Hallar A -B

07. Resolver las siguientes inecuaciones racionales

a . 1x+1

+2x+3

>−3 b . x+4x-3

>xx+1

c . x+4x-7

<xx+1

d . 3x+1

−5x−1

>

21


a.

x2x+1 < 1 b.

x+2

x2+1 > 0 c.

xx−1

≤1

d.

1

x2−2 x+1≥4

e.

x+1

x2+3 < 0 f.

1x > 3


a. 2x3 + 3x2 – 11x – 6 0 b. 2x4 – 7x3 – 11x2 + 22x + 24 < 0

10. Hallar el conjunto solución de :

a.

( x−1 )(x−2)( x−3 )( x−4 )

≥1 b.

4x−24

x2−2x−15< 1

11. Resolver:

a.

1

x2+x− 1

x2−x< 1

x2−1 b.

13x−7

≥ 13−2x

c . ( x+3 )3( x−3)2 (x2−1)(x2+1)( x−2 )4 ( x+3 )3

≥0

22

GUIA DE LABORATORIO NRO 7

TEMA: VALOR ABSOLUTO Y SISTEMA DE ECUACIONES

01. Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:

a )|x+4|=3x−9

b) |x+3|=|2 x+1|

02. Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones.

a ) |2x-4|>3 x+1

b )|x2 -4|≤−2 x+4

03. Si A = { x ∈R/ |x+1|<|2x+2|} y B = { x ∈R/ ||x|+2|≤|x|2 }

Hallar A ¿ B.

04. Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.

23

a . |x2−2x+4|=|x−1|

b . |1+x2−2x|>3−x

05. Resolver:

|x+1x+3

|2

−2|x+1x+3

|>0

06. Resolver los siguientes sistemas

de inecuaciones.

a . ¿ { x2−2x−3>0 ¿¿¿

07. Resolver los siguientes sistemas

de ecuaciones.

.13-x

+1y−2

=2

73-x

−3y−2

=4

08. A un espectáculo asistieron 600

personas, los boletos de adulto

cuestan S/. 5 y los de niño S/. 2 .

Si la taquilla fue de 2 400

¿Cuántos niños asistieron al

espectáculo?

24


TEMA: VALOR ABSOLUTO Y SISTEMA DE SCUACIONES .

01. Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:

02. Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones.

a ) |3x-5|<2x+1 b ) |2x+13

|≤23

c )|6-3x1+x

|≤12

d ) |x+22x-3

|<4 d ) |2x+5|>3 e )|x2−5 x+4

x2−4|≥1

03. Hallar la suma algebraica de todas las soluciones de la ecuación:

a. b. |x2|2

+3|x2|≤7

4 .

04 ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

a . Si |x|>2⇒12x+7

∈ [1/9 , 1 ]

b . Si |3x-2|≤3⇒4x+3∈ [5/3 , 29/3 ]c . Si |x-1|<2⇒3

x+9∈<1/4 , 3/8>¿

¿

05. Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.

a . . |1-|x||=2 b . |x2−3x−6|≤|6+x|

06. Hallar el conjunto solución de :

a. |x

2−5x−14x−1

|>0 b.

|x−1|−2x+3

≤0

26

a ) |3x-2|=10 b) |x2+2|=2 x+1 c ) |x2 -2|=3d )|3-|x||=2 e) ||x2+1|−1|=2 x−1

c. |3 x2−5x−2|≤|3 x2+4 x+1| d.

|7 x−1|−2 x2

x−1≥5

e.||x+5

7|+1|

2

−3||x+57|+1|−4=0

07 Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones.

a . ¿ {4x2−1>0 ¿ ¿¿09. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones.

a . x+y = 2 b . 2x+ y=11 c . 4x+3y+4=0 3x-2y=9 3x-y=9 6x+5y+7=0

d . 4x+6y=0

3x−4y=−17

610. Un almacén de productos químicos tiene dos soluciones ácidas. Uno de ellos

contiene 25% de ácido y la otra contiene 15% de ácido. ¿Cuántos galones de de

cada tipo deberá mezclar para obtener 200 galones de una mezcla que contenga

18% de ácido?

11. Una mueblería fabrica sofás y divanes. Cada sofá requiere de 8 horas de trabajo

y S. 60 de materiales. Un diván requiere de 6 horas de trabajo y S/. 35 de

materiales. Si se dispone de 340 horas de mano de obra y S/. 2 250 para

materiales cada semana. ¿ Cuántos sofás y divanes se fabricaran en una

semana?.

12. Dos clínicas contratan a 53 personas, de ellos 21 son médicos. Si la tercera

parte que labora en una de las clínicas y los tres séptimos que laboran en la otra

clínica son médicos. ¿Cuántos empleados tienen cada clínica?.

27

GUÍA DE LABORATORIO NRO 8

TEMA: RELACIONES

1.) Dados los conjuntos A = { 0, 1, 2, 4 } y

B = { 3 , 5 } ; Hallar :

a) A x B b)A x A c) B x

A

2.)Dado los conjuntos A = {2, 3, 5};

B={xZ /0 x 3}; C={xZ /-1 x

2};

Establecer la validez de las

siguientes afirmaciones.

a.) (A x B) (B x A), tiene 24

pares ordenados.

b.) (A B )2 tiene 4 pares

ordenados.

c.) A2 B2 C2 tiene un par

ordenado.

3.) Sea A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7, 8}

y dada las relaciones:

R 1 = { (x , y) / x + y = 5 };

R 2 = { (x , y) / 2x + y > 5 }

Hallar n (R1) + n (R2)

4.) Calcular el área de la región

representada por la relación

definida en R por:

R = {(x, y) / 9 x2 + y2 16}

28

5.) Sea M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},

si R = {(x , y) / 2x – y = 5} y

R M x M.

Si m es la suma de todos los

elementos del dominio de R y n es

la suma de todos los elementos

del rango de R. Halla m. n.

6.) Hallar la inversa de las siguientes

relaciones:

a.) R1 ={(x, y)R x R / y=x2–2x–3}

b.) R2 = {(x, y) R x R / y=√ x+2 }

7.) Construir el gráfico de las

siguientes relaciones definidas en

R, hallar su dominio y rango.

a.) R1 = {(x, y) / x 2y y [-2, 1]}

b.) R2 = {(x, y) / x2 + y2 9 x0}

c.) R3 = {(x, y) / x2+y2 25 x2 >2y+1}

d.) R4 = {(x, y) / x2+y2>16 x>y}

8.) Dada las relaciones:

R1 = {(x, y)R2 /|x|≤4 ,y¿−3 }; y

R2 = { (x, y)R2 /y5x-4y+12 ¿ 0}.

Calcular el área de la región: R1∩R2

29


TEMA: RELACIÓN

1.) Sean los conjuntos A = {x Z/ -1 x 1} y B = { x N / 1 < x < 3} Hallar:

a.) (A x B) B2

b.) (A – B) x (A B).

2.) Sea U = {0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12} y sean las siguientes relaciones definidas en

U, según sus correspondientes reglas de correspondencia.

a.) R1= {(x , y) / y = 3x}

b.) R2= {(x , y) / y = x2}

c.) R3 = {(x , y) / xy = 24}

d.) R4 = {(x , y) / y > 2x}

Determinar por extensión cada una de las relaciones indicando dominio y rango.

3.) Dado: A = x N / 4 x + 1 8 B = x Z / x+1 3

Tabular las siguiente relaciones definidas en A x B

R= x , y AxB / x y + 3; R = x , y AxB / x + y = 6

R = x , y AxB / y + 1 2x; R4 = x , y AxB / 2x - 3y 2

4.) Si: R1 = { (x , y) Z2 / x = y + 1 }

R2 = {(x ,y) Z2 / y2 + 2 = x + 3}; Hallar R1 R2 .

5). Hallar el dominio; rango y graficar las relaciones siguientes;

R1 = {(x, y)R2 / y = 2x -1, x [-2, 1]}

R2 = { (x , y)R x R / y = x2 }

6) Hallar el dominio; rango y graficar las relaciones siguientes;

R1 = {(x, y) RxR / y2 - 4y + x – 2 = 0}

R2 ={(x, y)RxR/x2+ y2+4 x−6 y+4=0 }

30

7) Hallar la inversa de las siguientes relaciones:

a.) R1 = { (x , y)R x R / y = x2 –2x – 3}

b.) R2 = { (x , y) R x R / y= √ x+2 }

8) Construir el gráfico de las siguientes relaciones definidas en R, hallar su dominio

y rango.

R1 = {(x , y) / x 2y y [-2 , 1] }

R2 = {(x , y) / x2 + y2 9 x 0 }

R3 = {(x , y) / x2 + y2 25 x2 > 2y + 1}

R4 = {(x , y) / x2 + y2 > 16 x > y}

31

GUÍA DE LABORATORIO NRO 9

TEMA: FUNCIONES1.) Hallar “m” y “n “para que:

A = {(2, 5), (-1, -3 ), (2, 2m-n ), (-1 , m- n ), (m + n , n) } sea una función encontrar los elementos de f.

2.) Dada las siguientes relaciones:a.) ¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones?b.) Determinar el dominio y rango solo de las funciones.R1 = {(x, y) R2 / y = x}

R2 = { (x, y) R2 / y = x2}

R5 = {(x, y) R2 / y = |x+1|}

R6 = {(x, y) R2 / y = √ x+5 }

3.) Sea f una función real; de variable real, hallar lo que se indica:

f ( x+3)=x2−1 , Hallar f (m+2)-f (1 )

m−3 , m≠3

4.) Sea f una función real de variable real definida por : f(x) = mx + b, talque :

2f(2) + f(4)= 21 y

f(-3) – 3f(1) = - 16.

Hallar el valor de: 1/2 f(1).

32

5.) Si f(x) = √ x+2−6x2

a.) Determinar el dominio de la

función.

b.) Calcular f(-1/2) + f(2/3).

.

6.) Hallar el Rango de f(x):

a.) f ( x )= x2+2x−3

x+3

b.) f(x) =

x2

2−x

c.) h(x) =

4

x2+4

7.) Trace el gráfico de las

siguientes funciones indicando

su dominio y rango.

a . ) f ( x )=¿ {2x-3 ; si x>5¿ ¿¿¿

c .) f (x )=¿ {2-x ; si -6<x≤−2 ¿ {-x2 ; si -2<x≤3 ¿ ¿¿¿

33

GUÍA DE ESTUDIO NRO 9

TEMA: FUNCIONES

1.) Dada la función: f = { (1 , a+b), (1, 8), ( 2, 2a – b), ( 2, 1), (a, b)};

Determine su dominio y rango.

2.) Dada las siguientes relaciones:

R3 = {( x, y) R2 / x = y2 }

R4 = {( x, y)R2/x2 + y2 = 25 x 0}

R6 = {( x, y) R2 / y = √ x+5 }

R7 = {( x, y) R2 / x = 5 }

a.) ¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones?

b.) Determinar el dominio y rango solo de las funciones.

3.) Si f(x-3) = x2

+ 1, hallar f (x +1).

4.) Sea f una función real; de variable real, hallar lo que se indica:

a . .) f ( x+3 )=x2−1 , Hallar f (m+2)-f (1)m−3

, m≠3

b . ) f ( x+1)=x2−1 , Hallar f (m+1 )-f (1)m

, m≠ 0

5.) Dada la función f(x) =

5x−23 ; hallar el elemento del dominio que tiene

como imagen 5/6.

6.) Sea f una función real de variable real definida por: f(x) = mx + b , talque:

2f(2) + f(4) = 21 y f(-3) – 3f(1) = - 16. Hallar el valor de: 1/2 f(1).

7.) Si f: R R, es una función cuadrática tal que f(0)= 1, f(1)= 0, f(3)= 5;

Hallar el valor de “k” , donde k =

f (−1)+ f (1)f (0 )+ f (6 ) .

8.) Si f: R R, es una función definida por f ( x )=3x−2

x+2 ,

Rango de f es [ 1, 5], Hallar el Dominio de f.

34

9.) Hallar el Rango de f(x):

b.) f(x) =

x2

2−x

10.) Grafique las siguientes funciones y determine su dominio y rango:

a.) f ( x )=|x−3|+2 b.) g(x) = −|x+1|+2

c.) h(x) = √ x−3+4 d.) f ( x )=|x2−9|

e. g( x )=x2−|x| f.)h( x )=√ x( x−4 )

11.) Trace el gráfico de las siguientes funciones indicando su dominio y

rango.

b . f ( x )=¿ {x-3 ; si x>3 ¿¿¿¿

12.) Hallar el rango de las siguientes funciones:

a.) f(x) =

−x

x2−4

b.) f(x) =

x2

x2−4

c.) h(x) = −2 x2+5 x−9

35

GUÍA DE LABORATORIO NRO10

TEMA: FUNCION INVERSA: COMPOSICIÓN Y ÁLGEBRA DE FUNCIONES

1.) Hallar La función inversa de:

f(x)= 3x – 1, si x ∈[−1,2 ] , graficar f y f -1 indicando dominio

y rango.

2.) Sea la función f(x) = 3x + 2k,

hallar el valor de “k” de modo

que f(k2) = f-1(k+2)

3.) Si f(x) = 4x - 3 si x [-4 , 3>;

y g(x) =

2x−13 si x [ -2 ,

6> ; Hallar .

a.) f o g

b.) g o f

4.) Resolver en cada caso:

a.) Si f(x) = 4x + 2 y g(x) = x + n;

Hallar el valor de “n” de modo

que:

f g 3 = g f (n - 1)

b.) Si f(x-2) =

2x−3 calcular el

valor de x de modo que

(fof)(2/x) = 5

c.) Si f(x) = x 2 + 2 y g(x) = x +m,

determinar el valor de “m” de

modo que:

(f o g) (3) = g o f (m-1).

5.) Dadas las funciones:

f = (2 , 6) , (4 , -4) , (6 , 5) , (9 ,

1) , (10 , 2) ,(-3 , 3)

g = (1 , 4) , (3 , 2) , (5 , 6) , (7 ,

9) , (8 , -3)

Hallar:

a.) f +g b.) f . g

c.) f o g d.) g o f

36

GUÍA DE ESTUDIO NRO 10

TEMA: FUNCION INVERSA: COMPOSICIÓN Y ÁLGEBRA FUNCIONES

1.) Si se sabe que f(-1)= 4 y f(3)= -2, donde f es una función lineal , hallar la

ecuación que defina a la función inversa de f y calcular f -1 (-3).

2.) Sea la función f:[1 , + > R definida por f(x) = x2 - 2x + 4 establecedor

si f tiene inversa ; realizar el gráfico de f y f -1.

3.) Sean f y g funciones definidas por:

f ( x )=¿ { x2−5x , si x<−2 ¿¿¿¿

g( x )=¿ {2x-4 , si x> -2¿ ¿¿¿

Hallar:

a.) f(0) + g(0) b.) f(1).g(-3)

c.) fog (-2) d.) gof (-3)

4.) Sean f y g funciones definidas por:

f(x + 1) = x2 + 2 ; g( x-3 ) = 3x – 5

Hallar:

a.) f(0) + g(0) b.) f(1) .g(-3) c.) fog(-2) d.) gof(-3)

5.) Hallar el dominio de las siguientes funciones:

a.) f(x)= x2 + 1

x2 -1

b.) f ( x )= x

x-1−√x2−1

c.) f ( x )=√ x−1 .

1x+2

d.) f ( x )=1+√ x −2x+1

x+2

37

6.)Si f ( x )=¿ {x2 si x∈[ -10 , -7>¿ {2x si x∈ [-4 , 0> ¿¿¿¿

y g( x )=¿ {-x2+x si x∈<−8 , -4 ] ¿ {-x+3 si x∈<−4 , 0 ] ¿ ¿¿¿

Hallar: f + g y graficar la función (f+g)(x) indicando dominio y rango

7. Un médico posee libros de medicina cuyo valor es de $.1500, para efectos

tributarios, aquellos se deprecian linealmente hasta llegar a cero en un período

de 10 años; es decir el valor de los libros decrecen en una razón constante, de

manera que es igual a cero al cabo de 10 años.

Exprese el valor de los libros como una función del tiempo y dibuje la gráfica.

8. La temperatura medida en grados Fahrenheit en una función lineal de la

temperatura medida en grados Celsius. Utilice el hecho de que 0º

Celsius es igual a 32º Fahrenheit y 100º Celsius es igual a 212º

Fahrenheit.

a.) Escribir una ecuación que representa esta función lineal.

b.) Convertir 15º Celsius a Fahrenheit.

c.) Convertir 68º Fahrenheit a grados Celsius.

9. Un laboratorio compra una maquinaria nueva por $15 000, si se deprecia

linealmente por $. 750 al año y se tiene un valor de desperdicio de $. 2

250.

a.) ¿Por cuánto tiempo la maquina estará en uso?.

b.) ¿Cuál será el valor de la máquina después de 6años de uso?

10. Una prueba para metabolismo de azúcar en la sangre, llevada a cabo en

un intervalo de tiempo, muestra que la cantidad de azúcar en la sangre

era una función del tiempo t (medido en horas) y dada por: A( t) = 3.9 +

(0.2)t – (0.1)t2

Encuentre la cantidad de azúcar en la sangre: Al principio de la prueba;

una hora después; dos horas y media después de iniciado.

38


TEMA: ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

01. Hallar el valor de x: a) 2x2+x−1=1

b) 7e2x−3=e3x

c) 32 x−1 .93x+4=(27 )x+1

d) 9 log x(x2−10 x+25 )=132 log x√x−1

02. Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas:a. log (3x - 2) = log (x+1) + log 4

b. log2(x-1) = 3 +23

(log2 3+log2 2)

- 2log2 4

c. log5(2x-39 + log5(x-3) = 3log524

03. Si log 2 = 0.3010 y log 3 = 0.4771,calcular:

a. log 1225

b. log[√54 . (18)²]

c. log 6 √120

04.Hallar x:

a) Loga√ 3 x−1x+2

=0

b) Log9 (3x-1)² = ½

c) Logx+1 (5x+19)=2

39

d) 16 log x2

=8 x

e) log 8Logx−log xx=log 2log 1

10( 1x)❑

05. Resolver: a) Log2 (x² - 4) = Log2 (4x - 7)

b) Log √ x−5 + Log √2x−3= Log 3

c) Log4 (2x + 2) – Log4 (3x + 1) = 12

06 .Cuando se somete a un tratamiento de radiación las células cancerosas; la proporción de células sobrevivientes al tratamiento esta dado por P(r)=e -kr donde r=es el nivel de radiación y k una constante. Se ha encontrado que 40% de las células cancerosas sobreviven cuando r=500 Roengten. ¿Cuál debe ser el nivel de radiación para que solo sobreviva el 1%?

07. Suponga que el número de casos de SIDA diagnosticadas crece exponencialmente. En el Perú había 85 casos en 1990 y 330 casos en el año 2000. Exprese este número en la forma: P(t)=aebt, donde a y b son constantes y t es el tiempo medido en años a partir de 1990 ¿Cuántos casos de SIDA habrá en el año 2010 y en el año 2015?

40

GUIA DE ESTUDIO NRO11

TEMA: FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

01. Hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones:

a. 35 x−2=( 127 )

x+2

c.

x−1√ 127=(243 )

x+2x2−1

b. 23 x−4=8x2+1

2

d . 3√ (125 )5x−1=( 15 )

x−12

02. Verifique las proposiciones siguientes y escribir en forma logarítmica con la base apropiada.

a.(27 )−4 /3= 181

b. ( 827 )

−1/3

=32

c.

2−2=12

d. (16 )3 /4=8 e. ( 8125 )

2 /3

= 425

03. Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a). log x = log 3 + 2 log 2 - 34

log 16

b). log7 (x-2) + log7 (x-5) = 2log72 c). log3x log 3- log3x3 - 10 = 0

04 SiLogbN=h, …..y….Logba=k. Hallar en términos de h y k, la expresión: Logab²N

05. De las expresiones que se da, hallar el valor de x:

a. Log2( 1128 )=3x−2 b.

log √3( 127 )

x−1

= x + 4 c. Log2

√2x2+x−3=0

d .Log0.5x√ 1

64=2 x+3 e.Log0.2

( 1125 )=x2−1

06. Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas

a. Log x + Log(2x-5) = 2Logx b. Log (x² + 1) – 2 Logx =Log 2 – Log x

c. 2 Log (x - 1) + Log (2x + 4) = Log (x - 1)

07. Si Log 2 = 0.3010 y Log 3 = 0.4771, Hallar:

a. Log 480 b. Log 75; c. Log 1500;

d. Log[ (2.7 )3 (0.81 )45 : (90 )

54 ]

08-. Resolver el sistema de ecuaciones:a) log3 x – log9 y = 0 b) log2 (x + y) – log3(x-y)=1 x² - 3y² + 44 = 0 x² - y² = 2c) log2x + log4y + log4z = 2 log3y + log9z + log9x = 2 log4z + log16y + log16x = 2

09. Los siguientes datos los recolectó un investigador durante los primeros 10 minutos de un experimento destinado a estudiar el crecimiento de bacterias.

Minutos 0 10

Número de

bacteria

s

5000 8000

Suponiendo que el numero de bacterias crece exponencialmente ¿Cuántas Bacterias habrá después de 30 minutos?

10. Los biólogos han determinado que en condiciones ideales, el número de bacterias en un cultivo crece exponencialmente. Suponga que al comienzo se encuentra 2000 bacterias en cierto cultivo y 20 minutos más tarde, hay 6000.

41

¿Cuántas bacterias habrá al cabo de una hora?

42

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