GUIA Nº 1 DE MATEMATICA PARA LOS NEGOCIOS

Contabilidad

Docente : Hebeth Gabriel Cueva Valladolid

GUIA Nº 1 DE MATEMATICA SUPERIOR

EL CÁLCULO DIFERENCIAL

INTRODUCCIÓN

Es tradicional decir que Newton y Leibnitz inventaron el cálculo infinitesimal. Normalmente se atribuye a personas concretas las invenciones concretas, pero no los métodos generales, que suelen ser resultado de la evolución histórica de los problemas y de las soluciones particulares que se han ido dando a cada uno. Sin embargo, el cálculo infinitesimal se atribuye en concreto a los mencionados investigadores, habiendo sido el método que ha posibilitado la resolución de un mayor número de problemas dispares desde su descubrimiento. Desde este punto de vista, el trabajo de Newton y Leibnitz es extraordinario pero no es el único. La situación es semejante a la atribución a Einstein de la teoría de la Relatividad. Evidentemente su trabajo es enorme; pero su labor, como la de los anteriores, tiene el merito de haber sido de una síntesis y de una imaginación inmensa para conseguir unir todos los problemas en uno y dar una sola solución a todos ellos.

Contabilidad


LIMITES

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una

función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado

valor. En cálculo concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de

convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

Limite de una función:

( ) 0, 0/0 ( )x cLim f x L x c f x L

Como se pude observar en al gráfico mientras los valores de x tanto por izquierda y derecha se Acercan a c sus respectivas imágenes se acercan a L. ALGEBRA DE LÍMITES Si existen y entonces: a) b) c) d) esto siempre y cuando LIMITE ESPECIAL

( )x aLim f x

( )x aLimg x

( ) ( ) ( ) ( )x a x a x aLim f x g x Lim f x Limg x



( )( )

( ) ( )

x a

x a

x a

Lim f xf xLim

g x Limg x

( ) 0x aLimg x

11

x

xLim e

x

Contabilidad


LIMITES LATERALES En el cálculo de límites, hay ocasiones, en las que la función a tratar no es la misma para todos los valores de existencia de la función. Es esos casos debemos de decidir que función tenemos que utilizar. Para eso utilizamos los límites laterales. Por ejemplo: Para nuestro estudio analizaremos el cálculo de los límites por derecha e izquierda de 1. De esta forma se concluye que SI hubieran sido distintos de decía que dicho límite no existía

2 1 3( )

3 2 3

x si xf x

x si x

3( ) 7

xLim f x

1( ) 7

xLim f x

1( ) 7

xLim f x

Contabilidad


LIMITES AL INFINITO Sea f(x) una función definida en el intervalo .Diremos que el límite de f(x) cuando x tiene a es si los valores de x están próximos a como queramos con tal de tomar x>a suficientemente grande

,a

Será lo mismo limites al infinito

que limites infinitos.Investigalo

In

Contabilidad


TALLER Nº 1

I. Dada las funciones y considerando que no existe ,calcular los siguientes límites. 1. 3. 2. 4. II. Calcular los siguientes límites 1. 4. 2. 5. 3. 6.

III. Calcular los siguientes límites levantando la indeterminación 1. 5. 2. 6. 3. 7. 4. 8.

2( ) 8

xLim f x

2( )

xLim x

2( ) 0

xLimh x

2[ ( ) ( )]

xLim g x x

2[ ( ) ( )]

xLim g x f x

2( ) 4

xLimg x

2

( )

( )x

g xLim

f x

2[ ( ) ( )]

xLim g x f x

2

4( 9 8)

xLim x x

2

20

3 4 5

6 7 8x

x xLim

x x

4

22 1

xLim x x

3 2

6[( 4) ( 5) ]

xLim x x

3 2

1(4 3 2 1)

xLim x x x

5

1

1( )

xLim x

x

2

21

1

3 2x

xLim

x x

4 2

4 21

3 2

2 3x

x xLim

x x

4

31

1

1x

xLim

x

2

22

4

2x

x x xLim

x x

27

2 3

49x

xLim

x

2

2

2x

xLim

x

4

3 5

1 5x

xLim

x

0

1 1

x

x xLim

x

Contabilidad


IV. Sea Determinar si existe: V. Dado Calcular si existe el límite en los puntos 1 y 4 VI. Hallar los valores de a y b en cada caso, si existen los límites en los puntos indicados: a) b) VII.Halle los siguientes límites infinitos 1. 5. 2. 6. 3. 7. 4 8.

2 , si 2

1 , si 2 1

2 1 , si 1

( )

x xx

x

x

x x

f x

1( )lim

xf x

2( )lim

xf x

2 3 , 0 1

( ) 3 , 1 4

1, 4 5

x x x

f x x x

x x

3 2

2

2

3 9 27, 3

3

2 1 , 3 3

22 57, 3

3

( )

x x xx

x

ax bx x

x xx

x

f x

2

3 2

2

, 1 1

( ) , 1 3

, 3

2

3

2

x

f x x

x

ax bx x

x

x x

bx x

0 3x 0 3x 0 3x 0 1x

6

2 3x

xLim

x

4 1

2x

xLim

x

3

2

2 1

1x

x xLim

x

3

2 1x

xLim

x x

1

xLim x

x

1

1x

xLim

x

2

5

3 2x

xLim

x x

4

3 2

2 3 1

2 1x

x xLim

x x

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Continuidad Definición: (Continuidad en un punto) Sea una función f definida en un cualquier intervalo I se dice que f función es continua en un punto si se cumple: i) f(a) exista ii) Exista

iii) Definición: (Continuidad en un Intervalo) Sea f una función definida en cualquier intervalo I, se dice que f es continua en el intervalo I si es continua en todos sus puntos. Geométricamente la representación de continuidad es la gráfica de una función que no presenta cortes ni saltos, es hecha en un solo trazo sin levantar el lápiz del papel.

Función continua Función discontinua

Ejemplos de funciones continuas

1º Toda función polinómica es continua en R 2º Las funciones racionales son continuas salvo en los puntos que anulan al denominador.

3º Las funciones seno, coseno, exponenciales y logarítmicas son continua en sus dominios respectivos 4º Las funciones Irracionales son continuas en sus respectivos dominios

a I

( ) ( )x aLim f x f a

( )x aLim f x

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Definición (función discontinua en un punto)

Una función f se le llama discontinua en un punto si no se cumple algunas de las condiciones

de continuidad

Definición (Continuidad esencial) son de dos tipos

Continuidad esencial de Primera especie: cuando los límites laterales existen pero son

diferentes

Continuidad Esencial de Segunda Especie: Cuando por lo menos uno de los límites laterales

no existe

Definición (Continuidad evitable)

Una función tiene una discontinuidad evitable, en un punto a, si existe límite de la función en

el punto, a, pero o no coincide con el valor de la función, f(a), o a no pertenece al dominio de

f. Es decir, verifica 2ª pero no se cumple 1º o 3ª.

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Asíntotas Verticales

La recta x = c es una asíntota vertical de una función f(x) si se cumple alguna de las siguientes

condiciones:

i) ii)

iii) iv)

Ejemplo:

La recta x= 2 es una asíntota vertical

Asíntotas Horizontales

La recta x = L es una asíntota horizontal de una función f(x) si se cumple alguna de las

siguientes condiciones:

i)

ii)

( )x cLim f x

( )x cLim f x

( )

x cLim f x

( )x cLim f x

2( )

xLim f x

2( )

xLim f x

1( )

2f x

x

( )xLim f x L

( )xLim f x L

Contabilidad


Ejemplo:

La recta y=2 es una asíntota horizontal

Asíntotas Oblicuas

La recta y = ax + b es una asíntota oblicua de una función f(x) si se cumple alguna de las

siguientes condiciones:

i) ii)

iii) iv)

Ejemplo:

La recta y=2x+2 es una asíntota oblicua

2( )

1

xf x

x

2lim 2

1x

x

x

2lim 2

1x

x

x

( )limx

f xa

x

( )limx

f xa

x lim ( ( ) )

xf x ax b

lim ( ( ) )x

f x ax b

22( )

1

xf x

x

2

2

( ) 2lim lim 2x x

f x x

x x x

22lim ( ( ) ) lim ( 2 ) 2

1x x

xf x ax x

x

Contabilidad


Un Límite especial

Interés compuesto continuamente.

Cuando el interés se cobra no sólo por el capital original sino también sobre los intereses

devengados, estamos frente al interés compuesto, la fórmula se obtiene

Donde:

: Es el monto final

C: es el capital inicial

t: es la tasa de interés

n: es el tiempo

Ejercicios

1. ¿Cuánto debería cancelar usted al cabo de 3 años por un préstamo de s/ 1000 000 con un

interés de 8% compuesto anualmente?

2. ¿Cuánto debería cancelar usted al cabo de 5 años por un préstamo de s/ 23 000 con un

interés de 10% compuesto anualmente?

1

0(1 ) x

xLim x e

(1 )n

nM C i

nM

Ten en cuenta que el tiempo

y la tasa deben estar siempre

en las mismas unidades

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Si el interés se capitaliza más de una vez al año:

Siendo

M: número de capitalizaciones en el año

n : Número de años

Ejercicios

1. Ejemplo una empresa pide prestado s/ 1000 000 al 8% de interés anual compuesto

trimestralemente.¿cuánto debe cancelar al cabo de 3 años?

2. ¿En cuánto tiempo S/ 10 000 produce una ganancia de S/ 7280, con una tasa de interés

compuesto del 20 % anual?

3. Un inversionista nos ofrece S/ 40 000 dentro de 2 años, siempre y cuando le entreguemos

una cantidad al 25 % anual. ¿Cuánto le debemos dar?

Capitalización continua

El interés se compone continuamente, aumentando “m” a tal punto que puede aproximarse al

infinito. Si m se aproxima al infinito. Si m se aproxima al infinito, el término (1 )mni

m

de la fórmula anterior se aproxima a ine , donde e es aproximadamente 2,71828 que está

definido como:

De donde el valor final de (M) de un capital cuyo interés se capitaliza continuamente sería

(1 )mn

n

iM C

m

12

3

0.081000000(1 ) 1268000

4M

(1 )in m

m

ie Lim

m

in

nM Ce

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Ejercicios

1.-Una empresa pide prestado 300 000 soles a una tasa de interés de 8% anual compuesta

continuamente ¿Cuánto se debe pagar al final de tercer año?

0,08 3

3 300000(2,71828) 3813747xM

2.-Calcular el interés y el Monto que generará un documento financiero de s/ 3 000 000

durante 92 días si se considera una tasa de interés del 4 % anual con capitalización continua.

Taller N º 2

1. Indica los puntos en los que las funciones son continuas

a) d)

b) e)

c) f)

2. Analizar la continuidad o discontinuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados.

a) b)

02x

01x

2( ) 2 3f x x x

1( )

1

xf x

x

2( ) 1f x x

2

2

2 3( )

1

x xf x

x

2

1( )

6f x

x x

2( ) 4f x x

2

2 , 2

1 , 2

4

3 3 3 , 2

2

2

4

( )

x

x

xx

x

x x

x

f x

2 3

, 1

2 , 1

4

1 2 , 1

1

2 2 2 2

( )

x

x

xx

x

x x

x

f x

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c)

3. Determinar las constantes para que la función sea continua los puntos indicados

a) 2

2

2 , 1

1 5

, 5

1( ) ,

3 1 2

2 35

5

3 1 x

x

x

A

xf x

x

x x

Bx B

x x

b)

c)

4. Analiza que tipo de discontinuidad existe para cada función

i) ii)

iii) iv)

2

2 2 , 2

21

, 24

4 , 2

16 32

( )

xx

x

x

xx

x

f x

0

1x

2

2

2 , 2

42 , 2

3 3 3 , 2

2

( )

x xx

xx

xx

x

f x

2

2

3 , 3

91

, 32

2 10 4, 3

3

( )

x xx

x

x

xx

x

f x

2

2

2 , 2

41

, 24

3 3 3 , 2

2

( )

x xx

x

x

xx

x

f x

2

-x+6 , 2

5 , 2

x , 2

( )

x

x

x

f x

2 , si 3

2 , 3 2

3 2 , si 2

( )x c x

cx k si x

x k x

f x

2

3 2

2

, 1 12

( ) 3 , 1 3

, 32

ax bx xx

x

f x x x x

xbx x

03x

01x

05x

01x

02x

03x

Contabilidad


5. Encuentre las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes funciones

a) b)

c) d)

e) f)

6. Determinar si la función tiene una asíntota vertical o una discontinuidad evitable en x=-1.

a) b)

c) d)

7. Si se invierten 100 dólares a una tasa anual del 5% capitalizado continuamente,

encontrar el monto total final

8. Si se depositan s/ 100 en una cuenta de ahorros que gana interés a una tasa anual de

4 % capitalizable continuamente. ¿Cuál será el valor de la cantidad al final de 2 años?

9.-Si se invierten $/ 10000 a una tasa anual de 3% capitalizable continuamente,

encuentre el monto total al final de 2 años

10. La mesa directiva de una compañía acuerda redimir algunas de sus acciones

preferentes en 5 años. En ese tiempo se requerían S/ 1000 000.Si la compañía puede

invertir dinero a una tasa de interés anual de 5v% capitalizable continuamente. ¿Cuánto

debe invertir en ese momento de modo que el valor futuro sea suficiente para redimir

las acciones?

11. Un fondo de inversión se establece por un solo pago, de modo que al final e 30 años

habrá s/ 50 000 en el fondo. Si el interés se capitaliza continuamente a una tasa anual

de 6 %.¿cuánto de dinero debe pagarse inicialmente?

12. Encuentre el monto total y el interés compuesto si se invierten $ /4000 durante 6

años y el interés se capitaliza continuamente a la tasa de 9 %

13. Para una relación particular presa – depredador, se determinó que el número “y” de presas

consumidas por un depredador a lo largo de un período fue una función de la densidad de

presas “x” (el número de presas por unidad de área)

21

( ) xx

f x

2 4

5( )x

xf x

2

2 2( )

x

xx

f x

2

3 1( ) x

xf x

2

2

4

4 3( ) xx

x xf x

1

4( )

xf x

101 0.1

xx

y

2 6 7

1( ) xx

xf x

2 1

1( ) x

xf x

1( ) x

xf x

2 1

1( ) x

xf x

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Si la densidad de presas aumentara sin cota. ¿A que valor se aproximaría y?

14. La población de cierta ciudad pequeña t años a partir de ahora se pronostica que será:

Determine la población a largo plazo

3 2

3 2

36,000 10,000 5000( )

2 6N t

t t

t t

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DERIVADAS

Definición [Derivada de una función]

La derivada de una función en x viene dada por:

Siempre y cuando el límite exista

Definición [Recta tangente]

La recta tangente de una función f se define como en donde

Es la pendiente de la recta tangente.

Teorema:

“Si una función y = f (x) es derivable en x = a, entonces es continua en x = a ”

El teorema anterior establece una condición necesaria, pero no suficiente, para que una

función sea derivable. por lo tanto podemos asegurar que si una función que no es

continua en x = a, no será derivable ahí. Sin embargo conviene preguntarse si una

función continua en x = a, es derivable en ese punto. La respuesta es negativa.

Ejemplo: Sea f (x) = x calcular f ’(0)

0

( ) ( )(́ )

h

f x h f xf x Lim

h

( )f x mx b

(́ )m f x

Si una función tiene derivada

en un punto, se dice que ella es

derivable en dicho punto

0 0

0 0'(0) lím lím

h h

h hf

h h

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Con límites laterales tenemos que es 1, si h 0+, y –1 si h 0– . Por lo tanto este

límite no existe, luego f ’(0) no existe o no es derivable en x = 0.

Teoremas acerca del Álgebra de derivadas

Proposición: “ Si las funciones f, g son derivables en el punto x a, b, entonces las

funciones f + g, f – g, fg y f/g (g (x0) 0 ) son derivables en x0 y además:

Nota: Viendo la gráfica de la

función anterior ésta tiene una

“esquina aguda” o “punta” en x =

0. Lo cual anunciaremos como

“Una función es derivable en x = a

si es continua y “suave” en ese

punto”

Usaremos las

siguientes notaciones

para derivadas

df,́ (́ ), , ,

dxx

dyy f x f

dx

,

2

)[( )( )]´ (́ ) (́ )

)[( )( )]´ (́ ) (́ )

)[( )( )]´ (́ ) ( ) ( ) (́ )

'( ) ( ) ( ) '( ))

( )

i f g x f x g x

ii f g x f x g x

iii fg x f x g x f x g x

f f x g x f x g xiv

g g x

Contabilidad


Contabilidad


Taller Nº 3

1. Aplicando la definición de derivada, hallar ( )f x

a) 2 1( ) xf x b) 22( ) x xf x

c) 2( ) 2f x x x d) 2 6( ) 5f x x

2. Calcular la derivada de las siguientes funciones:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k)

l) 32

1( ) x

xef x e m) 3 2 33( ) ( 4 4) 5 f x x x x n)

o) 1 x

xy

p)

2

2

22 1 1

2( ) ln xx

xbf x e

q) 2

2

1ln

x

xy

2 6ln(4 )y x

4 23 3xy x (2 3)(6 1) xy x 2

( 3)

1

x

xy

3 23 4x xy x 2 (2 3)( 3) xy x 2

(2 4)

7

x

x xy

3 28 1y x 7 3(2 3)(6 1) xy x

3

2

(2 3)

4

x

xy

2

3

x

xy

2 4 66 n 10( ) 5xL x x xf x te

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