Contabilidad

Docente : Hebeth Gabriel Cueva Valladolid

GUIA Nº 2 DE MATEMATICA SUPERIOR

EL CÁLCULO INTEGRAL

INTRODUCCIÓN

Integración antes del cálculo

La integración se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto, circa 1800 a. C., con el papiro de Moscú, donde se demuestra que ya se conocía una fórmula para calcular el volumen de un tronco piramidal. La primera técnica sistemática documentada capaz de determinar integrales es el método de exhausción de Eudoxo (circa 370 a. C.), que trataba de encontrar áreas y volúmenes a base de partirlos en un número infinito de formas para las cuales se conocieran el área o el volumen. Este método fue desarrollado y usado más adelante por Arquímedes, que lo empleó para calcular áreas de parábolas y una aproximación al área del círculo. Métodos similares fueron desarrollados de forma independiente en China alrededor del siglo III por Liu Hui, que los usó para encontrar el área del círculo. Más tarde, Zu Chongzhi usó este método para encontrar el volumen de una esfera. En el Siddhanta Shiromani, un libro de astronomía del siglo XII del matemático indio Bhaskara II, se encuentran algunas ideas de cálculo integral. Hasta el siglo XVI no empezaron a aparecer adelantos significativos sobre el método de exhausción. En esta época, por un lado, con el trabajo de Cavalieri con su método de los indivisibles y, por otro lado, con los trabajos de Fermat, se empezó a desarrollar los fundamentos del cálculo moderno. A comienzos del siglo XVII, se produjeron nuevos adelantos con las aportaciones de Barrow y Torricelli, que presentaron los primeros indicios de una conexión entre la integración y la derivación.

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Newton y Leibniz Los principales adelantos en integración vinieron en el siglo XVII con la formulación del teorema fundamental del cálculo, realizado de manera independiente por Newton y Leibniz. El teorema demuestra una conexión entre la integración y la derivación. Esta conexión, combinada con la facilidad, comparativamente hablando, del cálculo de derivadas, se puede usar para calcular integrales. En particular, el teorema fundamental del cálculo permite resolver una clase más amplia de problemas. También cabe destacar todo el marco estructural alrededor de las matemáticas que desarrollaron también Newton y Leibniz. El llamado cálculo infinitesimal permitió analizar, de forma precisa, funciones con dominios continuos. Posteriormente, este marco ha evolucionado hacia el cálculo moderno, cuya notación para las integrales procede directamente del trabajo de Leibniz.

Formalización de las integrales Aunque Newton y Leibniz proporcionaron un enfoque sistemático a la integración, su trabajo carecía de un cierto nivel de rigor. Es memorable el ataque del obispo Berkeley calificando los infinitesimales como los "fantasmas de las cantidades que se desvanecen". El cálculo adquirió una posición más firme con el desarrollo de los límites y, en la primera mitad del siglo XIX, recibió una fundamentación adecuada por parte de Cauchy. La integración fue rigurosamente formalizada por primera vez por Riemann, empleando límites. A pesar de que todas las funciones continuas fragmentadas y acotadas son integrables en un intervalo acotado, más tarde se consideraron funciones más generales para las cuales no se aplica la definición de Riemann, y Lebesgue formuló una definición diferente de la integral1 basada en la teoría de la medida. También se propusieron otras definiciones de integral, que amplían las definiciones de Riemann y Lebesgue. Notación Isaac Newton usaba una pequeña barra vertical encima de una variable para indicar integración, o ponía la variable dentro de una caja. La barra vertical se confundía

fácilmente con o , que Newton usaba para indicar la derivación, y además la notación "caja" era difícil de reproducir por los impresores; por ello, estas notaciones no fueron ampliamente adoptadas. La notación moderna de las integrales indefinidas fue presentada por Gottfried Leibniz en 1675 Para indicar summa (en latín, "suma" o "total"), adaptó el símbolo integral, "∫", a partir de una letra S alargada. La notación moderna de la integral definida, con los límites arriba y abajo del signo integral, la usó por primera vez Joseph Fourier en Mémoires de la Academia Francesa, alrededor de 1819–20, reimpresa en su libro de 1822.4 5 En la notación matemática en árabe moderno, que se escribe de derecha a izquierda, se usa un signo integral invertido

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INTEGRACIÓN INDEFINIDA

Definición.-La función se le llama antiderivada o primitiva de

Si para todo elemento que pertenece al intervalo I.

Ejemplo

Si , pues

También y

Son antiderivadas

¿Qué se Observa? al calcular las antiderivadas de una función no se determina una única

función sino una familia de funciones que se difieren entre si en una constante. En

General la representación de su antiderivada más general de f(x) la representaremos

por:

Definición-Si es una antiderivada de sobre un intervalo I .Entonces a su

antiderivada general la denotaremos por:

En otras palabras la integral de una función que se designa con no es más

que su antiderivada general . De ahora en adelante llamaremos integrando a lo

que está dentro de la integral es decir a

Teorema

:F I R :f I R

(́ ) ( )F x f x

2( ) 2 ( )f x x F x x (́ ) 2 ( )F x x f x

2( ) 3F x x2( ) 1F x x

( )F x C( )F x ( )f x

( )F x C

( ) ( ) ( )G x f x dx F x C

( )f x dx

( )F x C

( )f x dx

( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

( ) ( )kf x dx k f x dx

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Fórmulas de Integración

Las fórmulas que más usaremos son las siguientes:

1.

2.

3.

4.

Algunos Métodos de Integración:

Cambio de variable

Dada el método consiste en elegir del integrando una función apropiada de

tal forma que aparezca su derivada para luego identificarla con alguna fórmula

conocida.

Integración por partes:

Dada la fórmula de integración por partes es:

Donde el son elegidas del integrando de la primera integral.

Fracciones Parciales

Las integrales del tipo se pueden escribir como integrales del tipo:

1

1

nn x

x dx Cn

axax e

e dx Ca

1lndx x a C

x a

ln

nn a

a dx Ca

( )f x dx

( )f x dx

( )f x dx uv vdu

,u dv

1

( )( )dx

x a x b

1 1 1

( )( )dx A dx B dx

x a x b x a x b

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Taller Nº 1

Resolver las siguientes integrales

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

7 3

4

3 7x x xdx

x

2 2z z z dz

1 5

3dx

x x

3 23 26

yey y dy

1

( 1)( 2)dx

x x

2( 1)x dx

2

1xdx

x

2x x

x

e edx

e

4 23 4

5

x x xdx

x

2 2( )x xe e dx

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11.

12.

13.

14.

15.

Aplicaciones

16. La tasa de crecimiento de la población en una ciudad nueva es estimada por medio

de:

En donde t está en años. Determine la forma de la ecuación, para encontrar el número

de la población.

17. Debido a una competencia nueva, el número de suscriptores a cierta revista está

disminuyendo a una velocidad de:

Suscripciones por mes, donde t es el número de meses desde que la competencia entró

al mercado. Determine la forma de la ecuación para el número de suscriptores a la

revista.

18. La tasa de crecimiento de una especie de bacterias es estimada por medio de:

3(2 3)x dx

1

( 4)( 2)

xdx

x x

3

( 2)( 3)( 1)dx

x x x

500 300dN

tdt

3

480ds

dt t

800 200 tdNe

dt

1

4

xdx

x

2

3

xdx

x

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En donde N es el número de bacterias (en miles) después de t horas. Si N (5) = 40,000,

Determine N (t).

19. Una enfermedad se propaga en el tiempo a razón de

personas por día. Si cuando comienza la enfermedad hay 5 enfermos, encuentre la

función N (t) y descríbala usando la información del problema.

20. Es Julio 31 y un tumor ha estado creciendo dentro del cuerpo de una persona de

modo que t días a partir del 1 de Julio el volumen del tumor ha incrementado a una tasa

de:

Centímetros cúbicos por día

Usando el método de sustitución y el de integración por partes resolver

21.

22.

23.

24.

25.

1/ 21( 6)

100t

2

(2 1) s ss e ds

2 3(3 1)x x xdx

2 13( 5)x x dx

xedx

x

2

2 3

3 4

xdx

x x

24 (6 )dN

t tdt

0 8t

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26.

27.

28.

29.

30.

2 100( 1) 2x xdx

xxe dx

ln( )x x dx

ln( )x dx

2( 1) xx e dx

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Trabajo Nº 1

Resolver las siguientes integrales

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

2 2( 2)x dx

22x x x dz

1 6 3

3 1dx

x x x

25 34

4

yey y dy

3

( 2)( 3)dx

x x

2(2 3)x dx

3

1xdx

x

3 2x x

x

e edx

e3 2

3

3 5

2

x x xdx

x

3 3( )x xe e dx

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11.

12.

13.

14.

15.

Aplicaciones

16. El ritmo de depreciación de una máquina es inversamente proporcional al

cuadrado de t+1, siendo V el valor a los t años de su adquisición. Si el valor inicial era

500 000 dólares y su valor decreció 100 000 en el primer año, estimar su valor los cuatro

años después de su compra.

17. El ritmo de desembolso de una subvención estatal de 2 millones de dólares es

proporcional al cuadrado de 100-t .El tiempo t se mide en días y Q es la cantidad que

resta por desembolsar. Calcular la cantidad que resta por desembolsar tras 50 días,

suponiendo que el desembolso se realiza en 100 días.

18. Un grupo de biólogos estudió los efectos alimenticios en ratas a las que alimentó con

una dieta en la que 10% era proteína. La proteína consistió en levadura y harina de maíz.

El grupo encontró que en cierto periodo, la razón de cambio aproximada del alimento

promedio de peso G (en gramos) de una rata, con respecto al porcentaje P de levadura

en la mezcla proteínica fue:

Si G = 38 cuando p = 10 encuentre G.

19. Una población de microorganismos está cambiando al ritmo:

Donde t es el tiempo en días. Suponiendo que la población inicial es de 1000.Escribir una

ecuación que describa el comportamiento de la población en todo instante.

3(2 3)x dx

1

( 4)( 2)

xdx

x x

3

( 2)( 3)( 1)dx

x x x

1

3

xdx

x

4

xdx

x

dV

dt

dQ

dt

225

dG p

dp

0 100p

3000

1 0.25

dP

dt t

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20. El ingreso Marginal para un fabricante es :

Encuentre el ingreso para 10 unidades.

Usando el método de sustitución y el de integración por partes resolver

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

2 90(4 2 3) (8 2)x x x dx

32 4 6(12 6) s ss e ds

3 4 2(4 2 4) 4x x x x xdx

2 3 93 ( 12)x x dx

1

1

xedx

x

2

3 2

3 4

3 2 4

x xdx

x x

2 xx e dx

2 ln( )x x dx

ln( 2)x dx

2(3 4) xx e dx

3 2(́ ) 3 2 8I x x x x

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INTEGRACIÓN DEFINIDA

Básicamente lo que nos importa es la interpretación geométrica que a la integral

definida se le da

Propiedades

1.

2.

3.

4.

5.

[ ( ) ( )]f x g x dx Area entre las curvas

[ ( ) ( )] ( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

( ) ( )

b b

a a

kf x dx k f x dx

( ) ( ) ( )

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

( ) ( )

b a

a b

f x dx f x dx

[ , ]x a b

( ) 0

a

a

f x dx

[ , ]x a b

[ , ]x a b

[ , ]x a b

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Teoremas Fundamentales

Teorema del valor Medio para Integrales. Sea f una función continua en el

intervalo cerrado [a, b] ,entonces existe un número talque :

Primer Teorema fundamental del Cálculo .Sea f una función continua en el

intervalo [a,b], entonces la función F definida por :

Es derivable en [a, b] y además

Segundo Teorema Fundamental del cálculo. Sea f una función continua en [a,b]

y sea F una función talque :

Entonces:

Generalización del Primer Teorema Fundamental del cálculo. Si f es continua

en los reales y g,h son funciones diferenciables sobre los reales entonces :

Cálculo de áreas

Para el cálculo de áreas es suficiente calcular el área del rectángulo que pudiera tener

como base a dx ó dy, siempre y cuando esté bien definido es decir que al desplazarlo

paralelamente en al región el área se siga manteniendo para cualesquier valor de x en el

intervalo cerrado [a, b]

[ , ]c a b

( ) ( )( )

b

a

f x dx f c b a

( ) ( )

x

a

F x f t dt a x b

( ) ( )d

F x f xdx

[ , ]x a b

(́ ) ( )F x f x [ , ]x a b

( ) ( ) ( )

b

a

f x dx F b F a

( )

( )

[ ( ) ] ( ( )) (́ ) ( ( )) (́ )

g x

h x

df t dt f g x g x f h x h x

dx

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Excedente del Productor y del consumidor

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Taller Nº 2

1. Calcule las siguientes integrales Definidas

a) b)

c) d)

e) f)

2. Calcule el valor o los valores de c en el intervalo talque f(x) es el valor

promedio de f en para

3. Calcule el valor promedio de f en el intervalo Si

4. Calcular la derivada de las siguientes integrales

a) b)

c) d)

5. Halle el área de la región limitada por la curva y las líneas x=1 y x=3

6. Halle el área de la región limitada por la curva y las líneas x=-2 y x=2

7. Halle el área de la región limitada por la curva y la recta y=x

1

2

0

( 2)x dx

3

1

1

( 3)( 2)dx

x x

1

2 2

0

2 ( 2)x x dx

1

4 3

1

( 3 2)x x x dx

24

4 3

0

(2 4) x xx e dx

4

2

( 2) xx e dx

1,3

1,3 3 2( ) 3 6f x x x

0,3 2( ) 9f x x

2

3

x

x

t dt

3

2

1

2

2

( 2 1)

x

x x

t t dt

4

2

ln

( 1)

x

x

u du2

1

(3 1)x

x

t dt

24y x

2 4y x

2y x

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8. La tonelada de un mineral cuesta $ 46. Los estudios indican que dentro de “x”

semanas, el precio estará cambiando a una razón de cambio dada por la siguiente

fórmula:

Donde P es el precio.

a) ¿Cuánto costará la tonelada de este mineral dentro de 10 semanas?

b) ¿Se debe vender todo el mineral posible ahora o se debe de esperar dentro de 10

semanas?

9. Para cierto fabricante la función de ingreso marginal es :

Calcula el incremento en el ingreso, cuando la demanda aumenta de 15 a 20 unidades,

si el ingreso esta en dólares.

10. En cierta fábrica, el costo marginal es dólares por unidad cuando el nivel de

producción es

unidades. ¿En cuánto aumentará el costo total de fabricación si el nivel de producción

aumenta de 6 a 10 unidades?

11. Se estima que dentro de “ x ” meses la población de Tumbes cambiará a una razón

de

personas por mes. ¿En cuánto crecerá la población de Tumbes durante los próximos 3

años?

12. La ecuación de demanda de un producto es

y la ecuación de oferta es

Halle el Excedente del consumidor y del productor.

20,09 0,0006dP

xdx

2(́ ) 3 60R x x x

2(́ ) 3( 4)C q q

2x x

2400q p

560

qp

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Trabajo Nº 2

1. Calcule las siguientes integrales Definidas

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

k) l)

m) n)

2. Calcule el valor o los valores de c en el intervalo talque f(x) es el valor

promedio de f en para

3. Calcule el valor promedio de f en el intervalo Si

4. Calcule el valor promedio de f en el intervalo Si

5. Calcule el valor promedio de f en el intervalo Si

1

2 2

0

( 2)x dx

3

1

1

( 3)( 4)dx

x x

3

2 3 2

1

( 2)x x dx

1

2 4

1

( 3 2)x x x dx

3 25

2 2 1

0

(3 4 1) x x xx x e dx

4

2

2

( 2) xx e dx

3,3

3,3 3 2( ) 2 3 4f x x x

0,5 3( ) 9f x x

3

1

1

( 3)( 2)( 1)dx

x x x

1 4 3

0

3 2( )x x x

dxx

24

2 3

0

( 1) x xx e dx

4

2

ln xdx

x

3

2

1

3

2

( 3 1)

x

dxx x

4 4 3

2

3 2( )x x x

dxx

4

4 3

0

2 xe dx

4

2

2

( 2) xx e dx

2 3( ) ( 3)f x x x1,4

2,6 2( ) 9 3f x x x

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6. Calcular la derivada de las siguientes integrales

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

22

3

3

x

x

t dt3 2

2

3 1

2

2

( 2 1)

x x

x

t t dt

4

ln

1( )

2

x

x

udu

3

1

2( 2)x

x

t dt

2 4

2

ln

( 1)

x

x

u duln

2

( 2)

x

x

t dt

2

2

34( 1)

x

x

m dm3

(3 1)

x

x

t dt

4

ln

( 3)

x

x

u duln

(3 1)

x

x

t dt

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VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

En esta sección nuestro objetivo será el de encontrar el volúmenes obtenidos cuando

cierta región gira alrededor de un eje paralelo a algunos de los ejes de coordenadas,

puesto que los que haremos es aproximar sumando infinitas veces volúmenes de sólidos

conocidos tales como discos o en todo caso cilindros ,cabe recordar algunas de las

formulas que se necesitan :

Como el objetivo es hallar el volumen de un sólido generado por la rotación de un área alrededor de un eje indicado, consideraremos el caso particular en el que la curva

Definida entre los puntos -2 y 2 gira alrededor del eje x.

2V R HH

R

2y x

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Para conseguir el volumen utilizando integrales es conveniente considerar un rectángulo

dentro del área y ver que produce cuando este gira alrededor del eje indicado, de esta

forma pudiéramos generalizar el proceso de sumas infinitas y utilizar integración

definida para tal fin.

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2 ( )

b

a

xf x dx

2 2[ ( ) ( )]

b

a

f x g x dx

2 ( )

b

a

f x dx

Volumen del disco

Volumen del Anillo

Volumen de la Corteza Cilíndrica

( )f x

dx

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Taller Nº 3

1.-Calcule el volumen generado cuando las siguientes funciones giran alrededor del eje

indicado en sus intervalos respectivos.

a) eje de giro recta y=0

b) eje de giro recta x=0

c) eje de giro recta x=0

d) eje de giro recta y=0

e) eje de giro recta y=0

f) eje de giro recta x=0

2. Calcule el volumen generado cuando el área encerrada por las funciones gira

alrededor de los ejes indicados en sus respectivos intervalos

a) alrededor de la recta y=0

b) alrededor de la recta y=0

c) alrededor de la recta y=0

d) alrededor de la recta y=0

( )f x x

2( )f x x

( )f x x

( )f x x

2( )f x x

( )f x x

[0, 4]x

[ 2,5]x

[ 1,3]x

[0, 2]x

[ 2,5]x

[0, 2]x

( ) 1g x

2( )g x x( )f x x

2( ) 3f x x

( )f x x

( )f x x

2( ) 1f x x

( ) 1g x

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3. Calcule el volumen generado cuando el área encerrada por las funciones gira

alrededor de los ejes indicados

a) alrededor de la recta x=0

b) alrededor de la recta x=4

c) alrededor de la recta x=5

d) alrededor de la recta x=0

( ) 1g x2( ) 3f x x

( )f x x

( )f x x

2( ) 1f x x

1x

( )f x x 2( )g x x

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Trabajo Nº 3

1. Calcular el área encerrada por las siguientes gráficas

a) b)

c) d)

e) f)

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g) h)

Sugerencia: ayudarse del programa geogebra sobre todo para calcular los puntos de

intersección

2. Hallar el área de la región limitada por la curva y las líneas x= 1 y x=3

3. Hallar el área de la región limitada por la curva y las líneas x= -2 y x=2

4. Hallar el área de la región limitada por la curva y las líneas x= 0 y x=4

5. Hallar el área de la región limitada por la curva y las líneas x= 5 y x=10

6. La compañía minera “Buenaventura” vende la tonelada de cobre a $ 58,5. Los

estudios indican que dentro de “x” semanas, el precio por tonelada estará cambiando a

una razón de cambio dada por la función:

Donde P es el precio.

Halle el precio de la tonelada de cobre dentro de 5 semanas.

7. La Empresa Graña y Montero Petrolera S.A. vende el barril de petróleo a $ 92,52. Los

estudios de mercado indican que dentro de “x” meses, el precio del barril estará

cambiando a una razón dada por la siguiente función

24y x

2 4y x

3y x

4y x

20,012 0,05dP

x xdx

20,0084 0,012dP

x xdx

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Donde P es el precio.

Halle el precio del barril de petróleo dentro de dos meses.

8. En cierta fábrica, el costo marginal es dólares

por unidad cuando el nivel de producción es unidades. ¿En cuánto aumentará el costo

total de fabricación si el nivel de producción aumenta de 6 a 10 unidades?

9. El costo marginal en una empresa está dado por:

Hallar el incremento en los costos totales, si la producción aumenta de 80 a 110

unidades

10. Si la función de demanda es y la función de oferta es

Determinar el excedente del consumidor y del productor.

11. SI la función de demanda es y=2-x y la función de oferta y=x entonces halle el

excedente del productor y consumidor.

12. Si la función de demanda es y= 3-x y la función de oferta y=2x entonces halle el

excedente el productor y consumidor.

0,002(́ ) 1,2 xC x e

(́ ) 3 16C q q

216y x 2 1y x