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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE EL SALVADOR ASIGNATURA: MATEMATICA IV, ESCUELA DE CIENCIAS APLICADAS “ING. JULIO CESAR ORANTES”, GUIA Nº 5. CATEDRA DE CIENCIAS Y MATEMATICA.

Derivada Direccional – Máximos y Mínimos. I. En los siguientes ejercicios, hallar en el punto P, la derivada direccional de la función en la dirección del vector V que se indica.

1) 5y4xy3xyx,f ; 1,2P , j3i2

1V

2) 22 yxyx,g ; 3,4P , 4j3iV

3) yseneyx,h x ; 2π1,P , iV

4) yzarctgxzy,x,h ; 4,1,1P , k2jiV

II. Hallar la derivada direccional de la función en la dirección del vector jsenθicosθu .

5) 22 yxyx,f ; 4

πθ

6) y2xsenyx,f ; 3

πθ

III. Calcular el gradiente de la función en el punto que se especifica.

7) 105y3xyx,f 2 ; 2,1

8) 22 yxcosz ; 43,

9) 22 z5yzy3xw ; 21,1,

IV. Usar el gradiente para hallar en P la derivada direccional de la función en la dirección de Q.

10) 1yxyx,g 22 ; 1,2P ; 3,6Q

11) cosyeyx,f x ; 0,0P ; 2,1Q

12) cosy2xsenyx,f ; 0,0P ;

π,

2

πQ

2

V. Para cada una de las siguientes funciones encuentre los puntos críticos. Indique luego si en estos hay máximo, mínimo, punto de silla o si el criterio de la segunda derivada no proporciona información.

13) f(x, y) = x2+2xy +3y2+2x+10y+9

14) f(x, y) = 2x2-3y2+2x-3y+7 15) f(x, y) = 4x+2y-x2+xy-y2 16) f(x, y) = x2-y2-2x-4y-4 17) f(x, y) = 2x3+y3+3x2-3y-12x-4 18) f(x, y) = x3+y3+3y2-3x-9y+2 19) f(x, y) = x3+y2-6xy+6x+3y-2 VI. Usando el criterio de las segundas derivadas parciales, resuelva los siguientes Problemas:

20) Suponga que t horas después de la inyección de x miligramos de adrenalina la

respuesta es de R unidades, y x)x(cteR t , donde c es una constante positiva.

¿Qué valores de x y t producirán la respuesta máxima?. 21) Encuentre tres números positivos de tal manera que su suma sea 120 y cuyo Producto sea el máximo posible. 22) Una inyección de x miligramos de cierto medicamento A y y miligramos del

medicamento B producen una respuesta de R unidades, y y)-x(cyxR 32 , donde c

es una constante positiva ¿Qué dosis de cada medicamento ocasionaran la respuesta máxima?

23) Suponga que en la producción de cierto articulo se requieren x horas –maquinas y y horas-persona, y que el costo de producción esta dado `por

500y6xy-2x y)c(x, 23 .

Determine los números de horas-maquina y de horas-persona necesario para producir el artículo al costo mínimo

24) Una empresa elabora dos tipos de pantalones cuyos costos son $50.00 y $60.00, Si el

más barato lo vende a “x” dólares y el más caro a ”y” dólares , entonces vende 250(y-x) de los baratos y 32000+250(x-2y) de los más caros.

¿A qué precio deberá vender cada una de las marcas para obtener la máxima utilidad? .

25) Un vendedor compra dos tipos de calcetines uno a $4.00 y el otro a $5.00 el par .Si el precio de venta es “ x” dólares para el más barato y “y” dólares para el más caro, entonces puede vender mensualmente 40+3y-7x pares de calcetines de los más baratos y 25+2x-5y pares de los más caros. ¿A qué precio deberá vender cada tipo de calcetín , para obtener las máximas ganancias?

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26) Se va a construir una caja con un volumen de 2 dm3. El material de la base y la tapadera cuesta $1.00 el dm2 , mientras que el material de los lados cuesta $0.50 el dm2 ¿Qué dimensiones debe tener la caja para minimizar los costos?

27) Se va a construir una caja cerrada con capacidad de 60 dm3. El Material de la tapa

cuesta $0.10 dm2, el de la base 0.20 dm2 y el de los lados 0.02 dm2. ¿Qué dimensiones deberá tener la caja para minimizar costos?

28) Una fábrica elabora dos tipos de camisas, cuyos costos son $60.00 y $70.00.

Si la camisa más barata la vende a “x” dólares y la más cara a ”y” dólares, entonces puede vender diariamente 5(x-y) camisas de las más baratas y 500+5(x-2y) de las más caras ¿A qué precio deberá vender cada una de las marcas para obtener las máximas ganancias?

NOTA:

En economía las siguientes fórmulas se usan con mucha frecuencia: Si p es el precio y q la cantidad de artículos. I = pq ; I = Ingresos CT = CF + CV ; CT = Costos totales ; CF = Costos Fijos ; CV = Costos Variables. U = I – CT ; U = Utilidad