DIEGO GOMEZ

ARNALDO ARIAS

EDWIN RODRIGUEZ

CRISTIAN ROMERO

LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES

OBJETIVOS

Entender la aplicacin de la tcnica del lugar geomtrico de las races para analizar la

estabilidad inestabilidad de un sistema de control.

Introducir, en forma bsica, dos tipos de controladores en un diagrama de bloques de un

sistema de control y observar su influencia sobre la respuesta del sistema.

Observar el efecto de la aparicin de un retardo (asociado con la captacin y transmisin de

una seal) sobre la respuesta de un sistema.

Introducir la terminologa bsica que se usa con la herramienta de lugar geomtrico de las

races.

1. Qu es un lugar geomtrico de las races?

El lugar geomtrico de las races es la trayectoria formada por las races de una ecuacin

polinmica cuando un parmetro de sta vara.

En el caso de Sistemas de Control, la ecuacin polinmica resultante es la ecuacin

caracterstica, y el LGR es la trayectoria en el plano S (complejo) de las races de sta

ecuacin cuando algn parmetro est cambiando (LUGAR GEOMTRICO DE LAS

RAICES (LGR) ):

Podemos ver ms claramente el parmetro variable de la siguiente forma:

Con K como parmetro variable.

2. Qu es una rama?

Los nodos estn conectados por ramas, y las ramas son segmentos lineales que tienen

ganancias y direcciones asociadas. La seal se transmite a travs de una rama solamente en la

direccin de la flecha.

3. Cunto vale la ganancia K en un polo?:

Desde cero al infinito

Puntos de origen (k = 0)

Corresponde a los polos de lazo abierto donde los puntos de origen del lugar de las races son

los polos de GH(s). Los polos incluyen los que se haya en el plano S finito y en el infinito

Puntos terminales (k =)

Los puntos terminales del lugar de las races son los ceros de GH(s). Los ceros incluyen los

que se haya en el plano S finito y en el infinito

4. Y cunto vale la ganancia K en un cero?

Ceros de lazo abierto. Los ceros de la funcin de transferencia a lazo abierto pertenecen al

lugar de races y corresponden a . Si hay t polos ms que ceros,

entonces t posiciones se harn infinitas a medida que k se aproxime a infinito.

5. Qu formas o qu herramientas se utilizan para saber en dnde es que el lugar

geomtrico de las races cruza el eje imaginario?

Interseccin con el eje imaginario. Las intersecciones con el eje imaginario se encuentran

calculando los valores de k que surgen de resolver la ecuacin caracterstica para .

El punto en el cual el lugar geomtrico corta el eje imaginario puede ser calculado de dos formas,

utilizando el Criterio de Routh-Hurwitz o partiendo del hecho de que la raz en dicho punto

solamente tendr parte imaginaria

El uso de Criterio de Routh-Hurwitz proporciona el valor de la ganancia crtica utilizando la ecuacin caracterstica a lazo cerrado

El otro mtodo consiste en sustituir en la ecuacin caracterstica a lazo cerrado s = jw y se obtienen dos ecuaciones con dos incgnitas, K y w

Es posible obtener numricamente el corte con el eje imaginario por ambos mtodos con iguales

resultados.

A continuacin se presenta un resumen de cada uno de los pasos a seguir para la construccin del

lugar geomtrico de las races de forma tal que sirva de referencia rpida para realizar un esbozo del

lugar deseado.

Paso 1 Dibujar sobre el Plano s los polos y ceros del lazo abierto.

Paso 2 Determinar que parte del eje real pertenece al lugar geomtrico. A partir de la condicin de

ngulo se determina que las partes del eje real que pertenecen al lugar geomtrico son aquellas que

se encuentran a la izquierda de un nmero impar de polos y ceros.

Paso 3 Determinar el nmero de asntotas, NA, la ubicacin de su punto de partida, A, y del

ngulo de las mismas, A, utilizando las Ecuaciones siguientes (Lugar Geomtrico de las Races

(LGR)):

Paso 4 Si existe, calcular los puntos de ruptura o despegue del eje real.

Paso 5 Dibujar un esbozo completo del lugar geomtrico de las races.

Paso 6 Si existe, calcular el corte con el eje imaginario.

6Cmo se sabe, con el lugar geomtrico de las races, si un sistema es inestable?

Las funciones continuas cuyos valores absolutos crecen indefinidamente tienen sus polos en el

semiplano derecho cruzando el eje imaginario. Si una funcin de transferencia tiene uno de sus

polos en esa zona la respuesta natural tender a infinito, independientemente del valor de la entrada,

y por tanto el sistema ser inestable.

Al trazar el lugar geomtrico se da una Estimacin (o calculamos), los puntos donde los lugares

geomtrico de las races cruzan el eje imaginario. Esto se puede obtener determinando el K, para el

cual el sistema se torna inestable (cruza el eje imaginario). Una manera de determinarlo es

reemplazar en la ecuacin caracterstica s por j.w, de esta manera tenemos dos ecuaciones (una para

la parte real de la ecuacin y otra para la imaginaria), con dos incgnitas: K y w.

7. Cmo se sabe, con el lugar geomtrico de las races, si un punto sobre el eje real del plano

imaginario es lugar geomtrico de races?

Primero se parte de una suposicin o hiptesis que ser comprobada mediante el mtodo.

Si se supone que existe una raz s1 entre el polo p1 y el origen, se deben trazar los vectores

correspondientes para comprobar el ngulo de los mismos. En la Fig.1 (a), (b) y (c) se pueden

observar dichos vectores, a partir de la cual se puede determinar que la sumatoria de ngulos es tal

como lo expresa la Ecuacin1, de donde se puede concluir que la condicin de ngulo no se cumple

por lo que dicho segmento no pertenece al lugar geomtrico.

Ecuacin1:

Si ahora se supone que existe una raz s2 entre el polo p1 y el cero z1, se pueden observar los

nuevos vectores en las Figs. 2 (a) y (b), a partir de las cuales se puede determinar que la sumatoria

de ngulos es tal como lo expresa la ecuacin 2, de donde se puede concluir que la condicin de

ngulo se cumple por lo que dicho segmento pertenece al lugar geomtrico.

Ecuacin 2 :

8. El lugar geomtrico de las races es una tcnica que se basa en la funcin de transferencia

de lazo abierto o de lazo cerrado?

Se basa en la funcin de transferencia de lazo cerrado debido a que el lugar geomtrico de las

races (L.G.R.) de una funcin de lazo cerrado H(s) representa todas las posiciones posibles de los

polos de lazo cerrado de un sistema con ganancia proporcional k y realimentacin unitaria. Dado un

sistema de lazo cerrado, sus polos determinan las caractersticas bsicas de su respuesta transitoria.

Habitualmente, lo que se desea es poder ajustar los polos y ceros del sistema de lazo abierto para

situar los del lazo cerrado en la posicin ms interesante para nuestros propsitos.

DIAGRAMA DE BLOQUES

a). Sobre el diagrama de bloques de SIMULINK efecte variaciones sobre la ganancia y observe lo

que pasa con la respuesta del sistema ante una entrada en escaln unitario. Anote sus observaciones

acerca del amortiguamiento en la respuesta y las oscilaciones presentadas sobre la misma. Vare K

sobre los siguientes valores: 0.1; 0.2; 0.333; 0.5; 0.8; 1; 2; 5; 10

0.1

0.2

0.33

0.5

0.8

1

2

5

10

Las observaciones en acerca del amortiguamiento en la respuesta y las oscilaciones presentadas

sobre la misma con respecto a un control con accin proporcional cuyo objetivo es lograr que el

error se aproxime a cero, en el desarrollo de estas simulaciones se encontr que cuando la ganancia

esta entre 0.1 y 0.2 el sistema no cambia o no demuestra un cambio brusco que nos de seas de

inestabilidad. A medida que la ganancia toma valores ms altos se observa como la inestabilidad

del sistema es ms visible se ve como aumenta proporcionalmente con la ganancia y viendo

claramente cmo se da un sobrepaso u overshoot.

b) Elabore el lugar geomtrico de las races y correlacione la respuesta observada en

simulink con el lugar geomtrico obtenido en la ventana de comandos de matlab

(herramienta rltool).

Con k=1 obtenemos la siguiente funcin de transferencia, la cual en la grafica muestra los

siguientes polos y ceros adems de los lugares geomtricos:

La funcin est dada por:

c) Aada un retardo sobre la combinacin sensor transmisor del lazo de realimentacin y repita

las simulaciones del punto anterior para los siguientes valores de K: 0.1; 0.2; 0.5; 1; 2; 10; 14; 20;

50.

0.1

0.2

0.5

1

0.2

10

14

20

50

Al Aadir un retardo sobre la combinacin sensor transmisor del lazo de realimentacin se

pretenda segn la teora consultada crear una limitante que nos haga que el sistema de control sea

estable, pero en cambio se corrobora que es una fuente de inestabilidad, pero aun as al hacer el

aumento de la ganancia la inestabilidad tambin es proporcional a esta, y es a lo ltimo para un

valor de K =50 intenta de manera algo torpe dar un valor satisfactoria

d) Elabore el lugar geomtrico para el sistema de control con este retardo incorporado y

correlacione nuevamente las observaciones de la tabla con el lugar geomtrico de las races hallado.

Con k=1 utilizamos la funcin de transferencia y encontramos los polos y ceros de la funcin al

obtener la funcin de transferencia final:

e). Simule ahora que se utiliza un controlador proporcional-derivativo y repita las variaciones sobre

la ganancia K pero ahora sobre el siguiente rango en que se puede mover K: 0.2; 0.5; 1; 2; 10; 50;

80; 150; 180; 220; 250; 300

0.2

0.5

1

2

10

50

80

150

220

300

Al usar el controlador proporcional-derivativo la accin derivativa suele mejorar el comportamiento

del controlador, ya que permite aumentar las acciones proporcional e integral.se puede ver como al

emplear el derivativo se mejorar el comportamiento del sistema el cual a grandes valores de la

ganancia es ms estable procesos y no poseen grandes retardos pero que s presentan grandes

desfases.