Matemáticas Avanzadas para Ingeniería: Potencias y...

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Potencias yRaıces deNumeros

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Matematicas Avanzadas para Ingenierıa:Potencias y Raıces de Numeros Complejos

Departamento de Matematicas

Ma3002


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Potencias y Raıces de Numeros ComplejosLas potencias y las raıces enteras de numeros complejos sonmuy faciles de calcular cuando el numero complejo esta en laforma polar. Primeramente, veremos la forma polar de unnumero complejo y posteriormente veremos la formula de DeMoivre para obtener potencias y raıces.


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Potencias yraıces

Forma polarLa forma polar de un numero complejo z = x + y i correspondeprecisamente a su representacion en coordenadas polares,donde los referentes para la ubicacion de un punto en el planoson: la distancia del punto al origen y el angulo que forma laparte positiva del eje real con el rayo que va del origen alpunto, medido en forma contraria a las manecillas del reloj.

r cos(θ)

r sen(θ)

z = x + y i

x

y

r

θ


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Potencias yraıces

Si (r , θ) son las coordenadas polares del complejo z = x + y i,diremos que θ es el argumento de z o que arg(z) = θ: si seexige que −π < θ ≤ π se dice que θ es el argumento principalde z , Arg(z) = θ. Para nosotros, argumento significaargumento principal.

z = x + y i= (r cos(θ)) + (r sen(θ)) i= r (cos(θ) + i sen(θ))= r cis(θ)

= r eθ i ← Notacion de Euler= r∠θ ← Notacion de Fasor

Si usted calcula el argumento principal de un complejo usandola tangente inversa

θ = tan−1

(Im (z)

Re (z)

)debe tener en cuenta que la division pierde a quien correspondeel signo y por tanto debemos corregir esa perdida.


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Calcule los argumentos principales de los complejos:

• z1 = +1 + 1 i

• z2 = −1 + 1 i

• z3 = −1− 1 i

• z4 = +1− 1 i

z1 = 1 + 1 i: 1er cuadrante, θ = tan−1 (+1/+ 1) = π/4Si el numero complejo esta en el primer cuadrante, el

argumento principal puede calcularse directamente de laformula:

Arg(z) = θ = tan−1

(Im (z)

Re (z)

)

Re (z1)

Im (z1)

z1

θ = Arg(z1)


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Potencias yraıces

z2 = −1 + 1 i: 2do cuadrante, θ = tan−1 (+1/− 1) = −π/4

Arg(z2) = 34 π

θ = −π/4

Im (z2)

Re (z2)

z2

Si el numero complejo esta en el segundo cuadrante, elargumento principal no sale de la tangente inversa; hay quecorregir sumando π:

Arg(z) = π + θ = π + tan−1

(Im (z)

Re (z)

)


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z3 = −1− 1 i: 3er cuadrante θ = tan−1 (−1/− 1) = +π/4

Arg(z3) = −34 π

θ = π/4

Im (z3)

Re (z3)

z3

Si el numero complejo esta en el tercer cuadrante, elargumento principal no sale de la tangente inversa; hay quecorregir restando π:

Arg(z) = −π + θ = −π + tan−1

(Im (z)

Re (z)

)


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z4 = 1− 1 i: 4o cuadrante θ = tan−1 (1/− 1) = −π/4

θ = Arg(z4) = −14 π

Im (z4)

Re (z4)

z4

Si el numero complejo esta en el cuarto cuadrante, elargumento principal sı sale de la tangente inversa:

Arg(z) = θ = tan−1

(Im (z)

Re (z)

)


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Ventaja de la forma polarSi se tienen dos complejos en la forma polar:

z1 = r1 (cos(θ1) + i sen(θ1)) , z2 = r2 (cos(θ2) + i sen(θ2))

Por identidades trigonometricas se comprueba:

z1 · z2 = r1 · r2 (cos(θ1 + θ2) + i sen(θ1 + θ2))

1

z1=

1

r1· (cos(−θ1) + i sen(−θ1))

yz1

z2=

r1r2· (cos(θ1 − θ2) + i sen(θ1 − θ2))

Ası

arg (z1 · z2) = arg(z1) + arg(z2) y arg

(z1

z2

)= arg(z1)− arg(z2)

pero estas formulas pueden ser incorrectas para Arg.


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Producto de numeros complejos

O

Z1B

C

Z2

Z1 × Z2 1. Graficar el rayo−−→OZ1

2. Graficar el rayo−−→OZ2

3. Graficar el cırculo unitario

4. Localizar la interseccion B del cırculo unitario con−−→OZ1

5. Trazar una paralela a BZ1 en el punto Z2

6. Localizar C : la interseccion de la paralela con−−→OZ1

7. La distancia de O a C es el modulo de Z1 × Z2

• Los modulos se multiplican: |z1 × z2| = |z1| × |z2|. Arribaviene como hacerlo con regla y compas.

• Los argumentos se suman: se dibuja el argumento de z2

con un transportador se le suma el argumento de z1.


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Inverso de un Numero complejo

O

A

B

z

1/z

z

1

1. Graficar z2. Graficar el conjugado de z , z3. Trazar el rayo del origen a z4. Graficar el cırculo unitario5. Localizar B6. Localizar A7. Trazar el segmento z − B8. Trazar por A un segmento paralelo a z − B9. Localizar la interseccion sobre el rayo 0 a z

• Observe como se calcula el inverso del modulo de z (esdecir, el modulo del inverso de z): las lıneas rosas sonparalelas y los puntos auxiliares A y B estan sobre elcırculo unitario.


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Potencias y RaıcesLas potencias y las raıces de un numero complejo son faciles decalcular cuando el complejo esta en su notacion polar:(

r · eθ i)n

= rn · en·θ i

n√r · eθ i = n

√r · e

θn

i


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Formula de MoivreSea n un numero entero no negativo y un numero complejo zoescrito convenientemente en la forma polar zo = a cis (α).Supongamos que deseamos obtener un complejo z = r cis (θ)tal que

zn = zo

Es decir,zn = rncis (n θ) = zo = a cis (α)

Ası

rn = a y n · θ = α + 2π k , para algun entero k

y por lo tanto:

r = n√a y θ =

α + 2π k

n

Si queremos que los resultados no se repitan, escogemosk = 0, 1, 2, . . . , k − 1


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Potencias yraıces

Potencias y RaıcesLas potencias y las raıces de un numero complejo son faciles decalcular cuando el complejo esta en su notacion polar:(

r · eθ i)n

= rn · en·θ i

n√r · eθ i = n

√r · e

θn

i

Todas las raıces de una numero complejo z = r CIS(θ) puedenser calculadas por la formula:

zk = n√r CIS

(θ + 2 k π

n

)para k = 0, 1, . . . , n − 1

A zk=0 se le llama raız principal.


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EjemploSi z = 1 + 2 i, calcule z4 y la raız principal de 5

√z .

Usamos que el modulo de z es r =√

5 ≈ 2.2360 y que elargumento es θ = tan−1( 2

1 ) ≈ 1.10714 radianes y aplicamos laformula anterior:

(1 + 2 i)4 ≈(2.2360e1.10714 i

)4

≈ 2.23604 e4×1.10714 i

≈ 25 e4.4285 i

≈ 25 cos(4.4285) + 25 sen(4.4285) i≈ −6.99999− 24 i

5√

1 + 2 i ≈ 5√

2.2360e1.10714 i

≈ 5√

2.2360 e1.10714

5i

≈ 1.1746 e0.22142 i

≈ 1.1746 cos(0.22142) + 1.1746 sen(0.22142) i≈ 1.14593 + 0.25797 i


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EjercicioEncuentre todas las raıces de z3 = 2.


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EjercicioEncuentre todas las raıces de z3 = 2. Debemos escribir z en suforma polar: como 2 queda sobre la parte positiva del eje real,su argumento principal es cero y su modulo es 2:

Si z = 2 , entonces Arg(2) = θ = 0 , |2| = 2

•••


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• Para k = 0: Raız cubica principal

z0 =3√

2 · cis

(0

3

)=

3√

2 · cis (0) =3√

2

••


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z0 =3√

2 · cis

(0

3

)=

3√

2 · cis (0) =3√

2

• Para k = 1: Segunda raız cubica

z1 =3√

2 · cis

(0 + 1 · 2π

3

)= −

3√

2

2+

3√

2 ·√

3

2i

•


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z0 =3√

2 · cis

(0

3

)=

3√

2 · cis (0) =3√

2

• Para k = 1: Segunda raız cubica

z1 =3√

2 · cis

(0 + 1 · 2π

3

)= −

3√

2

2+

3√

2 ·√

3

2i

• Para k = 2: Tercera raız cubica

z2 =3√

2 · cis

(0 + 2 · 2π

3

)== −

3√

2

2−

3√

2 ·√

3

2i


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Las tres raıces cubicas de z = 2:

z = 2

3√

2

2π3

2π3

2π3

r0

r1

r2


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Las cuatro raıces cuartas dez = 1 + i =

√2 · cis(π/4) =

√2∠π/4:

z = 1 + i

8√2 =4√√

2

2π4

= π2

π2

π2

π2

π16

=π/4

4

r0 raız principal de z

r1

r2

r3

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