Guia Schroedinger

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UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA DEPARTAMENTO DE FISICA

F I S I C A M O D E R N A.

Guía de Ejercicios N º 1 : Ecuación de Schrödinger . Prof. A. Jamett J. Año 2007.

1.- Un electrón se encuentra en un pozo infinito de potencial y en cualquier estado está descrito por medio

de la función de onda estacionaria siguiente:

L

xnsen

L x

2si 0 x L y (x) = 0 para

cualquier otro valor de x.

(a) Si la energía del electrón en el cuarto estado es 8 eV, ¿Cuál es su energía en el tercer estado?.

(b) Calcular la probabilidad de que el electrón se encuentre en el intervalo 0 x L/8, cuando está en elcuarto estado.

(c) ¿Cuál es la velocidad del electrón en el estado base?.

(d) Calcular el valor esperado de la posición del electrón, si se está en el tercer estado.Rp : (a) 4,5 eV. (b) 1/8 (c) 4,2 105 m/s . (d) L/2 .

2.- La figura muestra dos posibles funciones de onda para un electrón que se mueve libremente en una

caja unidimensional de longitud L y de paredes infinitas. Cuando el electrón está en el estado A , suenergía es 16,77 eV.

(a) Determine la energía del electrón en el estado B.

(b) Calcule el largo L de la caja .

(c) Calcule la probabilidad de que el electrón se encuentre en el intervalo L/3 x L cuando se

encuentra en el estado B .

(d) Encuentre la probabilidad de que se encuentre cerca del punto L/2 en el estado A.

(e) La máxima densidad de probabilidad cuando el electrón está en el estado B.

(f) Determine la velocidad del electrón en el nivel fundamental.

Rp : (a) 150,93 eV. (b) 1,5 Å (c) 2/3 (d) 0,04 (e) 1,33 1010

m-1

(f) 2,43 106

m/s .

3.- Una partícula en un pozo cuadrado infinito tiene una función de onda dada por

2 ( x) = L

2sen

L

x 2

para 0 x L y cero para cualquier otro caso . Determine (a) la probabilidad de encontrar la partícula

entre x = 0 y x = L / 4 . (b) La probabilidad de encontrar la partícula cerca de L / 2 , calculando la

probabilidad de que la partícula se encuentre en el intervalo 0,49 L x 0,51 L . (c) La probabilidad deencontrar la partícula cerca de L / 4 . ¿ De los valores obtenidos , que puede concluir ? (d) el valor de laesperanza de x

Rp : (a) 0,25 (b) 5,26 10 – 5

(c) 3,99 10- 2

(d) L/2

4.- Emplee el modelo de la partícula en una caja para calcular los primeros tres niveles de energía de un

neutrón atrapado en un núcleo de 2 10 – 5

nm .

Rp : 0,513 MeV ; 2,05 MeV ; 4,62 MeV.

5.- Una partícula en un núcleo se puede considerar como una partícula que se mueve en una caja de 10 – 14

m de ancho ( el diámetro aproximado del núcleo ). Aplicando este modelo estime la energía y el momentum

lineal de la partícula en su estado de energía más bajo .



2

m = 6,64 10 – 27

Kg .Rp : 0,516 MeV ; 3,31 10

– 20 Kg m / s

6.- Un electrón está contenido en una caja unidimensional de 0, 1 nm de ancho . (a) Calcule la energía delos cuatro primeros niveles y dibújelas en un diagrama . (b) Determine la longitud de onda de todos los

fotones que se pueden emitir , cuando el electrón efectúe las transiciones desde el nivel n = 4 hasta n = 1 .

Rp : (a) 37,7 eV ; 151 eV ; 339 eV ; 603 eV .(b) 2,20 nm ; 2,75 nm ; 4,71 nm ; 4,12 nm ; 6,59 nm ; 11,0 nm

7.- Un láser de rubí emite luz de 694,3 nm . Si esta luz se debe a transiciones experimentadas por un electrón

en una caja desde el estado n = 2 al n = 1 , encuentre el ancho de la caja.

Rp : 7,93

A

8.- Un electrón se encuentra confinado en un pozo de potencial infinito , cuyo L = 2 Å . Calcular : (a) La

más pequeña energía posible E 1 que puede tener , en eV . (b) La diferencia E de energía entre E 1 y la

siguiente energía E 2 .(c) La longitud de onda de un fotón con energía E .(d) Si en el pozo , en vez del

electrón hubiese un grano de arena , cuya masa es 10 – 7

Kg ,siendo el ancho del pozo 1 mm ¿cuáles serán los

nuevos valores de E 1 y de E?

Rp : (a) 9,34 eV (b) 28,0 eV (c) 440 Å (d ) 3,4 10 – 36 eV ; 10,2 10

– 36 eV

9.- Demostrar que los niveles de energía y funciones de onda de una partícula que se mueve en el plano X Y

, dentro de una caja de potencial bidimensional de lados a y b son

E =

m2

22

(2

2

1

a

n+

2

2

2

b

n) (x , y ) = C sen

a

xn 1 sen

b

yn 2

Discutir la degeneración de los niveles cuando a = b .Hallar la constante C . Rp : 2/aEn Mecánica Cuántica, se denomina degeneración al hecho de que un mismo nivel de energía (autovalor del operadorhamiltoniamo) posea

más de un estado asociado (autofuncióndel operador hamiltoniano con el mismo autovalor). En términos de la ecuación de

Schödinger estacionaria podemos escribir:

Donde el superíndice k nos indica que hay más de unautoestado asociado a . Este subíndice toma los valores:

El número se denomina degeneración del n-ésimo nivel energético.

La degeneración del nivel es . En este caso la forma particular de la degeneración es complicada y no puede reducirse a sóloun índice adicional k

10.- ¿Cuál es el efecto sobre la separación entre los niveles de energía de una caja de potencial

unidimensional cuando el tamaño de esta , L , (a) aumenta? (b) disminuye?.¿Qué puede decir del espectro

de energías?.Rp : (a) Disminuye (b) Aumenta .

11.- Una partícula se representa por la función de onda (x) = C e-x

( 1 – e – x

) si x > 0 y (x) = 0 si x< 0 , siendo C una constante y x se expresa en nanómetros. (a) Calcular la constante C. (b) ¿Donde es másprobable encontrar la partícula? (c) Determinar el valor esperado de la posición de esta partícula y compararlo

con el valor obtenido en (b). Explique las diferencias que encuentre.

Rp : (a) 3,46 (b) 0,693 nm (c) 1,08 nm

12.- Una partícula de masa m se mueve en un pozo de potencial de ancho 2 L , -L x L , y en este pozo el

potencial está dado por V ( x ) =)( 222

22

x L Lm

x

. Además , la partícula está en un estado estacionario

descrito por la función de onda ( x ) = A ( 1 - x 2 / L2 ) para – L x L y (x ) = 0 en cualquier

otro punto . (a) Determine la energía de la partícula en términos de , m y L . (b) Calcule la constante

A. (c) Determine la probabilidad de que la partícula se localice entre x = - L /3 y x = L / 3 .

http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_Cu%C3%A1ntica



http://es.wikipedia.org/wiki/Nivel_de_energ%C3%ADa



http://es.wikipedia.org/wiki/Autovalor



http://es.wikipedia.org/wiki/Operador




http://es.wikipedia.org/wiki/Autofunci%C3%B3n



http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ecuaci%C3%B3n_de_Sch%C3%B6dinger&action=edit&redlink=1




http://es.wikipedia.org/wiki/Autoestado














3

Rp : (a) E =2

2

mL

(b) A = (15 / 16 L )

1 / 2(c) 0,580

13.- La función de onda independiente del tiempo de una partícula está dada por 0 x

x

eC x

. (a) Dibujar la

función de onda . (b) Calcular la constante C para que tal función esté normalizada. (c) Determinar la

probabilidad de que la partícula se encuentre en el intervalo – x0 x xo . Rp : (b)0

1

x (c) 0,865

14.- Un electrón de 5 eV incide sobre una barrera de 0,20 nm de espesor y 10 eV de altura. ¿Cuál es laprobabilidad de que el electrón (a ) efectúe tunelaje a través de la barrera? ( b ) se refleje?

Rp : ( a ) 1 % ( b ) 99 %

15 .- Una partícula que tiene 5 eV de energía cinética en una región donde la energía potencial es cero , se

dirige hacia una región donde hay un escalón de potencial de 4 eV . Según la mecánica cuántica ¿Cuáles son

los coeficientes de reflexión y transmisión en la posición donde comienza el escalón?. Rp :

0,14 ; 0,86

16.- Un electrón se representa por medio de la siguiente función de onda , independiente del tiempo : ( x ) = A e

- xpara x 0 y ( x ) = A e

xpara x 0 . ( a ) Dibuje la función de onda como

una función de x . ( b ) Determine la probabilidad de que el electrón se encuentre entre x y x + dx y

represente * versus x . ( c ) ¿ Por qué supondría Ud que esta es una función de onda físicamente

razonable?. ( d ) Normalice la función de onda ( e ) Determine la probabilidad de encontrar al electrón en

algún lugar entre x 1 = - 1 / 2 y x 2 = 1 / 2 .

Rp : (a)

( b ) P (x x + dx) = *dx = A2

e- 2x

dx para x 0 y

A 2 e - 2x dx para x 0

( c ) (x) es continua ; 0 cuando x ; esfinita en - x

( d ) A = ( e ) 0,632

17.- Una partícula se mueve desde los valores negativos

del eje X , hacia una barrera de potencial , el cual está dado

x 0 ; Vpor los siguientes valores : V ( x ) = 0 si

(x ) = V 0 si 0 x a ; V ( x ) = 0 si x a . Para el

caso en el cual E V 0 , determine los coeficientes de lasoluciones de la ecuación de Schrödinger, en función delcoeficiente de la solución que representa la onda incidente

Rp : B = ( - A ( 2

+ k 2

) senh a ) / R C = A ( k 2

- ik ) e- a

/ R

D = - A ( k 2 + ik ) e a / R F = - 2 A ik e - k i / R

Donde R = ( 2 – k

2) senh a - 2ik cosh a

18 .- Considerando las funciones de potencial mostradas en la figura , escriba las

funciones de onda en cada una de las regiones del eje X , suponiendo que la

en que V 0 E partícula incide desde el lado positivo del eje X , para el caso'oV .

Rp : 4 = A e – ikx

+ B eikx

; 3 = C xe ' + D xe ' ;

2 = E eik’x

+ F e –ik’x

; 1 = G e – ikx



4

19.- Dada la función potencial mostrada en la figura y suponiendo que lapartícula procede desde el lado negativo del eje X , escriba la función de onda

en cada una de las regiones para el caso en que E V 0 .

Rp : 1 = A eikx

+ B e – ikx

; 2 = C eik’x

+ D e –ik’x

;

3 = E e – ikx

+ F eikx

; 4 = G e –i k’x

+ H eik’x

;

5 = I e ikx .

20.- Indicar cuáles de las siguientes funciones son funciones propias del operador d /dx :

(a) eikx

, (b) xe (c) sen kx . Indicar en cada caso el valor propio . Repetir para el operador d

2/ dx

2.

Rp : (a) Sí , ik (b) Sí , (c) No (a’) Sí , - k 2 (b’) Sí ,

2 (c’) Sí , - k

2.

21.- Determinar si las funciones de onda de los estados estacionarios de un pozo cuadrado infinito de ancho L

son funciones propias del operador (a) p (b) p2 . En caso afirmativo calcular los valores propios

correspondientes. Rp : (a) No. (b) Sí ;

2

L

n .

22.- Para los conmutadores que se indica , probar que [ x , p x ] = i ; [ y , p x ] = 0[ z , p x ] = 0 .

23.- Una partícula está representada por la función de onda (x,t) =a

2cos

a

x

t E i

e

en el intervalo – a

/ 2 x a / 2 y (x,t) = 0 en los demás puntos del eje X . (a) Determine si la función está normalizada. (b)

Calcular los valores de expectación ( esperados) de x , p , x2 y p

2 para esta partícula. Rp : (a) Sí (b)

0 ; 0 ; 0,033 a2

; ( / a )2

.

24.- La función de onda estacionaria de un oscilador lineal está dada por 2

2

1

0

22 xa

ea x

. Encuentre

los valores esperados de x y p2

en este estado.

Rp : 0 ; m2

1

25.- Un protón se encuentra en un pozo unidimensional de paredes infinitas. La figura muestra dos estados

posibles del protón dentro del pozo. Si el protón en el estado A tiene una energía de 8,58 MeV. (a) Escriba la

ecuación de onda estacionaria para cada estado. (b) Calcule la probabilidad de que el protón se encuentre en

el intervalo L/4 x 3L/4 , en ambos estados . (c) Determine la energía del protón en el estado B. (d)Calcule el ancho del pozo. (e) Determine la longitud de onda del fotón emitido en la transición espontánea

entre ambos estados.

Rp: (a) a L

x

sen L

42

; L

x

sen Lb

32

(b) 0,5 ; 0,394 (c) 4,82 MeV. (d) 2 10-14

m (e) 5,29 10-13

m.

26.- Una partícula se encuentra en el interior de un pozo infinito de potencial, siendo V = 0 si 0 x L

y V = para todo otro valor de x. La partícula está en un estado estacionario descrito por la función

L

xsen

L x

52 .



5

a) Haga un diagrama que muestre x y 2 x en función de x.

b) Calcule la probabilidad de hallar esta partícula en el intervalo entre 0,5L y 0,6L.

c) Determine el valor esperado de p.

d) ¿Cuál es la energía cinética de la partícula?.e) Si la partícula experimenta una transición al nivel fundamental de este pozo, ¿Cuál es la longitud de

onda del fotón emitido?.

Rp: (b) 0,1 (c) 0 (d)2

22

2

25

Lm

(e)

6

2 Lcm

27.- Una partícula de masa m , se mueve en el plano XY, tal que su energía potencial V = 0 si 0 x

a ; 0 y b y V = fuera de la región anterior.a) Encuentre la expresión general de la función de onda de los estados estacionarios.

b) Si a = b , determine todos los estados y niveles de energía posibles que están en el rango de energía

hasta2

225

am

, e indique el orden de degeneración de cada nivel de energía.

Rp : (a) b

ynsen

a xnsenC y x y x

nn y x

,, (b) 2;1 2,11,21,1 od od ; .2;1 3,11,32,2 od od

28.-Una partícula de masa m se mueve en el eje X y está descrita por

2

,

xmb

ibt ee At x

, donde A y

b son constantes. Obtenga la energía potencial para este sistema. Rp : 2 mb2x

2

29.- Evalúe el conmutador [ x ,2

x p ] . Rp : x

22

30.- Una partícula está dada por la función de onda t

iE

e

L

x

L

t x

cos2

, en el intervalo – L / 2 x

L / 2 y 0, t x en los demás puntos del eje X.

a) Determine si la función dada está normalizada.

b) Calcule la probabilidad de hallar la partícula en el intervalo 0 x L / 4.

c) Calcule la probabilidad de encontrar la partícula cerca de x = L / 4.d) Determine el valor esperado de p2 para esta partícula.

Rp : (a) Sí (b) 0,409 (c) 0,02 (d)2

22

L

31.- Un electrón de masa “m” se encuentra en un cubo metálico de lado “a”. Aplicando el modelo del

electrón libre, suponiendo que fuera del metal la energía potencial es infinita : (a) Escriba y resuelva laecuación de Schrödinger para la función de onda que representa al electrón. (b) Determine la expresión

general de la energía del electrón. Escriba todas las funciones de onda que representan al electrón, cuando

este se encuentra en los tres niveles de energía más baja e indique que niveles son degenerados, y en el

caso afirmativo su orden de degeneración. (d) Si el lado “a” es “grande”, calcule la densidad de estados.(e) Si la energía del electrón en su estado fundamental fuese 1 eV, calcule el valor del lado “a”. (f) ¿Cuál

es el valor de la energía en el nivel más próximo al fundamental?.

32.- Un electrón se encuentra en un pozo infinito de potencial y en cierto estado está descrito por medio

de la función de onda estacionaria siguiente:

L

x A x

2cos si - L/4 x L/4 y (x) = 0

para cualquier otro valor de x.(a) Determinar la constante de normalización de la función y graficar la función.

(b) Calcular la probabilidad de que el electrón se encuentre en el intervalo 0 x L/8.(c) Calcular el valor esperado de la energía cinética del electrón.

(d) La energía del electrón en este estado es 37,7 eV, determinar el ancho del pozo .

Rp : (a) L

2(b) 0,41 (c)

2

222

Lm

(d) 0,55 Å .



6

33.- Un electrón libre que se mueve unidimensionalmente desde la izquierda, choca con un escalón depotencial con una energía E > V0 , siendo V0 = 3 eV. (a) Encuentre las funciones de onda en todas las

regiones. (b) Si k 1 = 2 k 2 , calcule la energía total de la partícula, en eV. (c) Calcule la probabilidad de que

el electrón se reflejado por el escalón de potencial.(d) Determine la velocidad del electrón en cada región.

Rp : (a) xk i xk i xk ieC xe Be A x 211

21; (b) 4 eV. (c) 1/9 (d) 5,9 105 m/s

5.-Dos partículas sin interacción y clásicas en una caja bidimensional cuadrada. Cada partícula está

determinada por sus coordenadas espaciales y sus momentos: (x,y) y (px,py), por lo tanto el

sistema está determinado por: {x(1),y(1) ,px(1),py(1}. La energía cinética podría sustituir auna de las componentes de los momentos ya que E=p(1)2 /2m+p(2)2 /2m: {x(1),y(1),px(1),py(1),E}. fN=1x1x1=3.

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