MECÁNICA CUÁNTICA

• Dualidad Onda Partícula: clásicamente partículas y ondas representanconceptos diferentes y mutuamente excluyentes. La materia y la radia-ción presentan propiedades de partícula y onda. Aspectos corpusculares-> predominan en la absorción y emisión de la radiación. Aspectosondulatorios se observan al estudiar el movimiento a través de unsistema.

Papel fundamental de “h ”: la pequeñez de h es lo que hace imper-ceptible el papel de las ondas de materia en el mundo macroscópico.

En lo microscópico las partículas tienen masas pequeñas -> impulsos pequeños aunque las velocidades sean altas -> longitudes de onda de De Broglie comparables con las dimensiones características de los sistemas de interés (átomos por ej.) -> propiedades ondulatorias observablesSin embargo al ser detectadas las propiedades de las corpusculares son dominantes aún cuando sus longitudes de onda sean apreciables

HIPOTESIS de DE BROGLIE

h

E

kp p

h

.

Es necesario un modelo más general que permita describir este comportamien-to dual. Interpretación probabilística de la dualidad onda-partícula - > conexión entre los modelos corpuscular y ondulatorio. Einstein unifica ambas teorías p/ la radiación, Max Born p/materia

(x,t) -> onda asociada al fotón ψ(x,t) -> onda asociada a la partícula

A partir de: I = (1/2oc) < 2> = N h < 2> ~ N

N : flujo promedio medio de fotones

|ψ(x,t)|2 medida de la probabilidad de encontrar una partícula por unidad de

longitud, en un determinado lugar y tiempo dado.

Principio de incertidumbre de HeisenbergEn mecánica clásica el análisis estadístico es usado para describir sistemas complejos (ej. gas de partículas) pero gobernados por leyes básicas deterministas (Newton).Conocidas las condiciones iniciales de posición e impulso, el movimiento futuro se determina en forma exactaProceso de medición: interacción del observador con el sistema. Física clásica: esta interacción puede minimizarse todo lo que se quiera.

Es cierto esto para sistemas microscópicos?? NO (Heisenberg)

En un experimento no se puede determinar en forma simultánea el valor exacto de una componente del impulso, por ej. “px”, y su coordenada asociada “x”. La precisión depende del proceso de medición pero debe cumplirse :

2.

xpx 2/h

• Esta limitación no tiene que ver con la calidad de los instrumentos demedición• Existen relaciones semejantes para otras componentes del impulso:

• 2da. parte del ppio. de incertidumbre:

E incertidumbre con la que se conoce la energía del sistema. t intervalo de tiempo característico de la medición o rapidez de cambio del sistema.

2.

ypy

2.

zpz

2.

tE

El ppio de incertidumbre se basa en los experimentos. Puede derivarse del

postulado de De Broglie (verificado experimentalmente) y de propiedades

de las ondas

Puesto que x y px no pueden conocerse simultáneamente en forma

exacta no se puede determinar con precisión el futuro del sistema.

En lugar de ello sólo se pueden predecir resultados probables

dando probabilidades relativas de que ocurran

Como el hecho de observar un sistema lo perturba de una forma

no predecible, la observación cambia el movimiento del sistema a

un nuevo estado que no puede especificarse completamente ->

origen de la interpretación probabilística.

Ejemplo: Ejemplo: se mide la coordenada “y” de un electrón que pertenece a un haz de electrones que se mueve a lo largo de la dirección “x”, haciendo pasar el haz a través de una rendija delgada

1m

2m

msena . 1)(m a .

a

X

Y

p

p

Xp

h

; pa

h

ap

p

Xx

y

.

py

h

p

p

XX

Y

.

hpy

Y .

Por la relación de De Broglie

Por otro lado

La onda asociada a la partícula es difractada por la rendija. El intentar medir la coordenada “y” introduce una incertidumbre en el impulso py del electrón que se deflecta por un ángulo entre - y . Antes de pasar por la rendija, py era cero (exacto) y se sabía poco de su posición “y”. Luego de pasar por la rendija el impulso y está entre –py y py

ya

(py~ py)

El fenómeno de difracción implica interferencia entre partes de la onda de una misma partícula y no entre partes diferentes de ondas correspondientes a

distintas partículas

* http://www.youtube.com/watch?v=DfPeprQ7oGc (exp. de Young c/electrones)* http://www.raulbarrachina.com.ar/otros/young/index.html (Interf. por 2 rendijas)

Propiedades de las ondas de materia

El principio de incertidumbre de Heisenberg puede ser derivado combinando las relaciones de De Broglie con propiedades válidas para todas las ondas.

Para ondas que viajan sin distorsión: ).( tvxf

Onda que se propaga hacia la derecha.

Onda que se propaga hacia la izquierda

F (x)

x

La onda viaja sin distorsión

Caso Particular: ondas armónicas

).(2

cos.).(2cos.)cos(.),( 000 vtxyT

txywtkxytxy

Frecuencia:T

1

Velocidad de fase

λ: Longitud de ONDA

Los ceros de y(x,t) se encuentran en:

kwtknxnwtkx nn /2/)12(2/)12(

kwdtdxv n // Velocidad con que se mueven los nodos y todos los puntos de la onda

)cos(0 tkxyy )(0 tkxsenyy ó

En forma más general: )(exp.),( 0 tkxiytxy

en tres dimensiones: )(exp),( 0 trkiytry

k

Vector de ondas, indica la dirección de propagación de la onda

2k

Si se trata de una onda de partículas monocromática en 1D no existe incertidumbre -> el impulso (h/) está definido y px = 0. La

incertidumbre en la posición “x” será x= pues la amplitud es constante en todo el eje “x”

Si se quiere una onda con amplitud variable para generar un pulso o paquete de ondas localizado en el espacio se debe superponer ondas

armónicas mezclando frecuencias

PAQUETE DE ONDAS ONDA LOCALIZADA

Superposición de ondas con frecuencias y longitudes de onda diferentes ->análisis de

Fourier

2/1.

2/1.

t

xk

)..(.),( txksenAtxyiii dkkAAi )(

Para distribuciones continuas

Velocidad del paquete velocidad de grupoi

ig

kdk

dV

Medios dispersivos ( por ej.: Luz en vidrio)

• ONDAS DE PARTÍCULAS

onda defunción :),(),( txtxy

dxtx2

),( Probabilidad de encontrar una partícula entre x y x+dx en un dado tiempo t 1D

partícula la de velocidadg

V

V

Ppio. de incertidumbre

VIBRACIÓN DE PUNTO CERO

Cuando T 0 ºK => EK = 0 ?

NO !! Es incompatible con el principio de incertidumbre.

Si los átomos de un cristal están quietos

En realidad para T= 0 ºK el estado de mínima energía para un oscilador armónico es que existiendo cierta vibración alrededor del punto de equilibrio.

K

Ex p 0

MÍNIMOEUK

Ejemplo: Se sabe que un electrón existe dentro de una región de 10-10

m. de extensión, que es el diámetro de un átomo de H. ¿Cuál es la incertidumbre en la cantidad de movimiento y su energía cinética aproximada?

]/[1025.5][102

].[1005.1

2

25

10

34

skgmm

sJ

xp

].[9.1][1005.322

1922

VeJm

p

m

pEk

Postulados de la mecánica cuántica

1. La partícula tiene asociada una función de onda compleja

2. Ecuación de Schrödinger:

3. Deben ser finitas, continuas y simplemente valuadas para todo x y t.

4. Densidad de probabilidad de encontrar a la partícula en x en el tiempo t

),( tr

t

)t,x(i)t,x().t,x(V

x

)t,x(

m2 2

22

x

t)(x,y ),(

tx

2* ),(),().,( txtxtx

1),(2

dxtxCONDICIÓN DE NORMALIZACIÓN:

),( tx

E

Autovalores de Energía.

Autofunciones.

DATOS: V(r) + las condiciones de contorno

)(.)().())()()(

.(2 2

2

2

2

2

22

rErrVz

r

y

r

x

r

m

En tres dimensiones:

Si V(x,t) es independiente del tiempo (x,t) es separable en su dependencia temporal y espacial:

)/exp()(),( iEtxtx

)(.)().()(

.2 2

22

xExxVx

x

m

Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

Partícula Libre

Para una partícula libre 0)( rV

1D:

..2 2

22

Exm

0..222

2

Em

x

Para una partícula libre

m

k

m

pE

.2

.

.2

222

)1(

)1(

Por lo tanto de

0.2

2

2

k

x

ikxAx exp.)(

ikxAx exp.)(

Soluciones:

)(exp.)( kxiAx

x

•POZO CUADRADO INFINITO

Partícula en una caja

L xó 0 x

Lx0 0)(

V(x)

xV

Por Ej.: movimiento de un electrón libre en un metal

)(. )(

. 2 2

22

xEdx

xd

m

0)(..2

)(

22

2

xmE

dx

xd

2

2 ..2

Emk

Solución:xkikxi eBeAx ... ..)(

(2)

Condiciones de contorno:

0)( x L y x 0 xpara 0)( x

)(...2)( kxseniAx BA

0)(...2)( kLseniAL

.1,2,3,....n .

k .. n L

nnLk

• Los k están discretizados LA ENERGÍA ESTA CUANTIZADA!!

)2( de

m

kE n

n.2

.22

• Las autofunciones son de la forma

)(xnLx0

...2

L

xnsen

L

L xó 0 x 0

• EN región (II)

• En x=L

•Pozo cuadrado finito

“La probabilidad de encontrar la partícula fuera del pozo NO es

nula”

“EFECTO TUNEL” (E<V0)

E<V0

ESTADOS LIGADOS, ENERGIAS DISCRETAS

n = 1 estado fundamental

Región x<0, Ep(x)=0 Región x>0, Ep(x)=E0

Escalón de potencial

Caso: E < Eo

Condiciones de continuidad:

en el punto x=0, la función

de onda debe ser

continua y también lo debe ser su derivada.

Partículas Función de

onda

Probabilidad

incidentes

reflejadas

transmitidas

A diferencia del resultado clásico esperado existe probabilidad

de encontrar a la partícula en la región x > 0

|A|2=|B|2 todas las partículas que alcanzan el escalón de potencial rebotan, incluyendo las que penetran en la región x > 0.

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/escalon2/escalon2.htm#

Barrera de Potencial

“Efecto Túnel”

•Región x<0

•Región 0<x<a, aquí E<E0

Región x>a

E < Eo

Condiciones de continuidad de la función de onda y de su derivada

primera en los puntos x=0, y x=a:

Se denomina coeficiente de transmisión a la proporción de

partículas incidentes que son transmitidas

Cuando a >> 1 el coeficiente de transmisión se reduce a:

T~ 16 E/Eo (1 – E/Eo) exp(-2a) ; 2 = 2m ( E - Eo) / ħ2

El coeficiente de transmisión disminuye a medida que se incrementa la anchura de la barrera de potencial y/o crece

•Pozo cuadrado finito

“La probabilidad de encontrar la partícula fuera del pozo NO es nula”

“EFECTO TUNEL” (E<V0)E<V0

ESTADOS LIGADOS, ENERGIAS DISCRETAS

Estados NO-LIGADOS Energías continuas

E > V0

1- Resolución del escalón de potencial para Energías mayores y menores que la altura del potencial. Coeficientes de reflexión y transmisión.

2- Resolución de la barrera de potencial. Coeficientes de reflexión y transmisión. Efectos túnel