ÁTOMO DE HIDRÓGENOÁTOMO DE HIDRÓGENOÁTOMO DE HIDRÓGENOÁTOMO DE HIDRÓGENO

INFORMACIÓN EXPERIMENTAL. ESPECTROS ATÓMICOS.INFORMACIÓN EXPERIMENTAL. ESPECTROS ATÓMICOS.INFORMACIÓN EXPERIMENTAL. ESPECTROS ATÓMICOS.INFORMACIÓN EXPERIMENTAL. ESPECTROS ATÓMICOS.

Sólido incandescente Espectro de radiación continua

Dispositivo experimental para la obtención del espectro de emisión del átomo de hidrógeno

Dispositivo esquemático para la obtención de espectros de absorción atómicos

Gas monoatómico

Sólido incandescente Espectro de absorción

Espectro

ContinuoEspectro de

Emisión

Espectro de Sólido Gas a baja presión

AbsorciónSólido

incandescente

Gas a baja presión

Los espectros de absorción y de emisión son característicos para cada elemento.

−=

22

2

2n

nbλ

Ecuación de Balmer (1885)

Con b=3645.6 Ǻ. Para n= 3, 4, 5 y 6

Espectros de absorción y de emisión para el átomo de hidrógeno

Ecuación de Paschen

RH= 109 677.581 cm-1

2121

22

;111

nquemayornConnn

RH

−−−−========

−−−−

λλλλνννν

Otras series (1906-1924)

Serie Valores de n1 y n2

Región del espectro

Lyman n2=1 n1=2,3,4

Ultravioleta

Balmer n2=2 n =3,4,5

UV-Visiblen1=3,4,5

Paschen n2=3 n1=4,5,6

Infrarrojo cercano

Brackett n2=4 n1=5,6,7

Infrarrojo intermedio

Pfund n2=5 n1=6,7,8

Infrarrojo lejano

Ejemplos de espectros de emisión para diferentes elementos

Átomo de hidrógeno y iones hidrogenoides.

Tratamiento mecano-cuánticoTratamiento mecano-cuántico

Ecuación de Schroedinger

ΨΨΨΨ====ΨΨΨΨ

−−−−∇∇∇∇−−−−∇∇∇∇−−−− TeN EZe2

22

22

κκκκhh ΨΨΨΨ====ΨΨΨΨ

−−−−∇∇∇∇−−−−∇∇∇∇−−−− Tee

N ErmM 22

κκκκ

),,,,,( eeeNNN zyxzyxΨΨΨΨ

2

2

2

2

2

22

eeee zyx ∂

∂+∂∂+

∂∂=∇

2222 ∂+∂+∂=∇

2222

NNNN zyx ∂

+∂

+∂

=∇

r

ZezyxV

2

),,( κ−=

Coordenadas del centro de masa y de Coordenadas del centro de masa y de Coordenadas del centro de masa y de Coordenadas del centro de masa y de la partícula de masa reducida la partícula de masa reducida la partícula de masa reducida la partícula de masa reducida µµµµ....

),,(),,(),,,,,( µµµµµµµµµµµµψψψψ zyxZYXzyxzyx CMCMCMeeeNNN ΨΨΨΨ====ΨΨΨΨ

ψψψψψψψψκκκκ EZe ====

−−−−∇∇∇∇−−−−2

22

h ψψψψψψψψκκκκµµµµ

Er

Ze ====

−−−−∇∇∇∇−−−− 2

2h

ee

e mmM

Mm≈≈≈≈

++++====µµµµ

x = r x = r x = r x = r sensensensen θ θ θ θ coscoscoscos φφφφy = r y = r y = r y = r sen sen sen sen θ θ θ θ sensensensen φφφφ

z = r z = r z = r z = r coscoscoscos θθθθ

Coordenadas esféricas polaresCoordenadas esféricas polaresCoordenadas esféricas polaresCoordenadas esféricas polares

y = r y = r y = r y = r sen sen sen sen θ θ θ θ sensensensen φφφφz = r z = r z = r z = r coscoscoscos θθθθ

Ecuación de Schroedinger en coordenadas esféricas polares.

02111 22

2 ====

++++++++∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂++++ ∂∂∂∂∂∂∂∂ ψψψψκκκκµµµµψψψψψψψψθθθθψψψψ Ze

esenr 02111

222222

2====

++++++++

∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂ ψψψψκκκκµµµµ

φφφφψψψψ

θθθθθθθθψψψψθθθθ

θθθθθθθθψψψψ

rZe

esenr

sensenrr

rrr h

(((( )))) )()()(,, φφφφθθθθφφφφθθθθψψψψ ΦΦΦΦΘΘΘΘ==== rRr

Método de separación de variables: tres ecuacionesMétodo de separación de variables: tres ecuacionesMétodo de separación de variables: tres ecuacionesMétodo de separación de variables: tres ecuacionesdiferenciales ordinarias.diferenciales ordinarias.diferenciales ordinarias.diferenciales ordinarias.

)()( 2

2

2

φφφφφφφφ

φφφφ ΦΦΦΦ−−−−====ΦΦΦΦ

md

d

)1()(

)(1

2

2

++++−−−−====−−−−

ΘΘΘΘΘΘΘΘ

llsen

md

dsen

dd

sen θθθθθθθθθθθθθθθθ

θθθθθθθθθθθθ )( ΘΘΘΘ senddsen θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ

)1(2)(

)(1 2

2

22 ++++====

++++++++

ll

rZe

Er

drrdR

rdrd

rRκκκκµµµµ

h

Las funciones que son soluciones deestas ecuaciones diferenciales debencomportarse bien (¡desde el punto de vistamatemático!).matemático!).Ejemplo:

)()( 2

2

2

φφφφφφφφ

φφφφ ΦΦΦΦ−−−−====ΦΦΦΦ

md

d

LasLasLasLas funcionesfuncionesfuncionesfunciones ΦΦΦΦ((((φφφφ))))solucionessolucionessolucionessoluciones dededede lalalalaecuaciónecuaciónecuaciónecuación diferencialdiferencialdiferencialdiferencialsonsonsonson univaluadas,univaluadas,univaluadas,univaluadas, esesesesdecirdecirdecirdecir::::

)()( 2

2

2

φφφφφφφφ

φφφφ ΦΦΦΦ−−−−====ΦΦΦΦ

md

d

decirdecirdecirdecir::::ΦΦΦΦ((((φφφφ)))) ==== ΦΦΦΦ((((φφφφ ++++ 2222ππππ),),),), sólosólosólosólocuandocuandocuandocuando mmmm tomatomatomatomavaloresvaloresvaloresvalores enterosenterosenterosenteros....

φφφφd

Soluciones se ensamblan como productos Soluciones se ensamblan como productos Soluciones se ensamblan como productos Soluciones se ensamblan como productos de las funciones que son solución de las de las funciones que son solución de las de las funciones que son solución de las de las funciones que son solución de las

ecuaciones diferenciales ordinarias.ecuaciones diferenciales ordinarias.ecuaciones diferenciales ordinarias.ecuaciones diferenciales ordinarias.

)()()(),,( ,,,, φφφφθθθθφφφφθθθθψψψψ mmllnmln rRr ΦΦΦΦΘΘΘΘ====

|n entero mayor o igual a 1.

)()()(),,( ,,,, φφφφθθθθφφφφθθθθψψψψ mmllnmln rRr ΦΦΦΦΘΘΘΘ====

l = 0, 1, …, (n-1).

m = l, l-1,…,0,…,-l+1,-l

n l Rn,l(r) 1 0

0a/Zr23

0

eaZ

2 −−−−

2 0 0a2/Zr

0

2/3

0

eaZr

2aZ

221 −−−−

−−−−

2 1 0a2/Zr

0

2/3

0

eaZr

aZ

621 −−−−

3 0 22/3rZrZZ2 3 0

0a3/rZ

000

e27a

rZ18

arZ

2aZ

3812 −−−−

++++

−−−−

3 1 0a3/Zr

00

2/3

0

eaZr

aZr

6aZ

38122 −−−−

−−−−

3 2 0a3/Zr

2

0

2/3

0

eaZr

aZ

158122 −−−−

l m ΘΘΘΘl,m(θθθθ)ΦΦΦΦm(φφφφ) 0 0 2/1)4/1( ππππ 1 0 θθθθππππ cos)4/3( 2/1 1 1 φφφφθθθθππππ i2/1 esen)8/3( 1 -1 φφφφ−−−−θθθθππππ i2/1 esen)8/3( 2 0 )1cos3()16/5( 22/1 −−−−θθθθππππ 2 1 φφφφθθθθθθθθππππ i2/1 ecossen)8/15( 2 -1 φφφφ−−−−2 -1 φφφφ−−−−θθθθθθθθππππ i2/1 ecossen)8/15( 2 2 φφφφθθθθππππ i222/1 esen)32/15( 2 -2 φφφφ−−−−θθθθππππ i222/1 esen)32/15(

−−−−====

0

22

2 21

aeZ

nE

κκκκ

mxa 100 105292.0 −−−−====

2

2181018.2

n

ZJxE −−−−−−−−====

)()()r(R),,r( mm,ll,nm,l,n φφφφΦΦΦΦθθθθΘΘΘΘ====φφφφθθθθψψψψ

ANÁLISIS DE LAS FUNCIONES

Conviene hacer el análisis de la parte radial y de la parte angular por separado.

)r(R l,n )()( mm,l φφφφΦΦΦΦθθθθΘΘΘΘ

Análisis de las funciones radiales R n,l(r)

Para el estado basal del átomo de hidrógeno (y ione s hidrogenoides):

0a/Zr

2/3

00,1 e

aZ

2)r(R −−−−

====

r

Postulado de Born: ψ2(r,θ,φ) = R2(r)Θ2(θ)Φ2(φ) representa una función de densidad de probabilidad.

0a/rZ2

3

0

0,12 e

aZ

4)r(R −−−−

====

r

Volumen dV asociado al incremento dr (cuando la distancia cambia de r a r + dr).

rdr4rdrd

r34

ddV 2

3

ππππ====

ππππ====

Volumen αααα 4ππππr 2Volumen αααα 4ππππr 2

4ππππr2 R(r)2

a0/Z 2a0/Z 3a0/Z

En general: Número de nodos = n - l l l l - 1

Orbital 2s más penetrante que el orbital 2p: mayor densidad radial cerca del núcleo.

Orbital 3s más difuso: Mayor densidad radial cerca y lejos del núcleo

Análisis de la parte angular ΘΘΘΘllll,m(θθθθ)ΦΦΦΦm(φφφφ)

m φφφφΦΦΦΦθθθθΘΘΘΘ====φφφφθθθθEsféricos armónicos: )()(),(Y mm,lm φφφφΦΦΦΦθθθθΘΘΘΘ====φφφφθθθθl

s

pz

2

1

41

π

θ

πcos

43 2

1

),(Ym φφφφθθθθl

)()( mm,l φφφφΦΦΦΦθθθθΘΘΘΘ

pz

px

py

θ

π

cos4

φθ

πcossen

43 2

1

φθ

πsensen

43 2

1

1s1s1s1s

),(Ym φφφφθθθθl

)()( mm, φφφφΦΦΦΦθθθθΘΘΘΘl

2zd ( )1cos3

165 22

1

−θ

π

22 yxd

− ( )φθ

π2cossen

1615 22

1

1

xyd ( )φθ

π2sensen

1615 22

1

xzd ( )φθθ

πcoscossen

415 2

1

yzd ( )φθθ

πsencossen

415 2

1