Guia y material de estudio. Elementos de fisica moderna.v2

RIUR Guía y material de estudio

Módulo 1: Elementos de física de las radiaciones. Tema: Elementos de física moderna.

F. Calviño-C. Tapia 1/18 Versión: 27/02/06

Guía de estudio. Elementos de física moderna Esta guía describe el conjunto de actividades que forman el tema 1 del módulo 1: " Elementos de Física Moderna " Calendario del módulo

Programación del módulo en relación con el curso 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Semana

Relación de actividades recogidas en esta guía

Dedic. (min) Actividad Tipo NP P

1 Unidades Estudio individual 15 2 Elementos de Relatividad Estudio individual 45 3 Ejercicios de Relatividad Trabajo individual 60 4 Modelo estándar. Opcional Trabajo individual 60 Total 2 h (3h)

Contenidos del módulo MÓDULO 1. ELEMENTOS DE FÍSICA DE LAS RADIACIONES Tema 1. Elementos de Física Moderna Guía de estudio actual ⇐⇐⇐⇐ 1. Introducción. 2. Unidades de masa, energía y longitud propias de la física nuclear. 3. Elementos de Relatividad. Equivalencia entre masa y energía. 4. Modelo estándar de la estructura de la materia y de las interacciones

fundamentales. Tema 2. Estructura y radiaciones atómicas Pendiente Tema 3. El núcleo atómico y su estructura interna Pendiente Tema 4. Radiactividad. Introducción a los procesos alfa, beta y gamma. Pendiente

Objetivos del tema ° Definir las unidades de masa, energía y longitud propias de la física nuclear,

así como deducir la equivalencia con las correspondientes unidades del SI. ° Definir y analizar los conceptos y magnitudes básicos de dinámica relativista

(masa relativista, momento lineal relativista energía total y energía cinética relativistas), deducir las relaciones entre ellas y aplicarlas en la resolución de problemas y situaciones prácticas.




° Recordar las expresiones matemáticas de los principios de conservación de energía y momento lineal en el marco de la relatividad.

° Deducir y aplicar la equivalencia entre masa y energía. ° Enumerar las partículas elementales y las interacciones fundamentales del

modelo estándar, así como sus principales propiedades. Definir las leyes de conservación más relevantes.

Material necesario

Atención ° Como caso excepcional, los materiales de estudio necesarios para

realizar las actividades de este tema se encuentran al final de este documento.

Plan de trabajo Actividad 1 Unidades de masa, energía y longitud propias de la física

nuclear Tipo Estudio individual

Estimada Real1 Dedicación 15 min

1. “Bájate” la tabla de unidades básicas y derivadas del SI

2. Lee detenidamente el material de estudio “Unidades” (Anexo 1)

3. Responde a las siguientes preguntas

3.1. Define las unidades de masa, energía y longitud del SI 3.2. Define las unidades de masa, energía y longitud utilizadas en física

nuclear, y sus equivalencias en el SI. ¿Se pueden utilizar esas unidades en el marco del SI?

3.3. ¿Cuáles son las dimensiones asociadas a átomos y núcleos? Actividad 2 Elementos de Relatividad Tipo Estudio individual

Estimada Real Dedicación 45 min

1. Lee detenidamente el material de estudio “Elementos de relatividad restringida” (Anexo 2)

2. Responde a las siguientes preguntas

2.1. ¿Qué se entiende por masa, energía total, energía cinética y momento lineal relativistas?

1 Anota el tiempo que has dedicado realmente a la actividad.




2.2. ¿Qué se entiende por masa en reposo?. ¿Cómo se relaciona con la masa relativista?

2.3. ¿Cuáles son las expresiones matemáticas de la energía total, energía cinética y momento lineal relativistas en función del factor de Lorentz y la masa en reposo y, si ha lugar, la velocidad?

2.4. ¿Qué se entiende por equivalencia entre masa y energía? 2.5. ¿Cuál es la expresión del principio de la conservación de la energía

en el formalismo relativista? Actividad 3 Ejercicios de Relatividad Tipo Trabajo individual

Estimada Real Dedicación 60 min 1. Resuelve los “Problemas de relatividad restringida”, compara tu solución

con la que se te propone (Anexo 3) Actividad 4 Modelo estándar de la estructura de la materia y de las

interacciones fundamentales. Tipo Trabajo individual. Opcional. Muy interesante!!

Estimada Real Dedicación 60 min 1. Usando internet conéctate con

http://particleadventure.org/particleadventure/spanish/ y sigue la ruta del modelo estándar.

2. Ten en mente que tu objetivo es, por lo menos ser capaz de,

“Enumerar las partículas elementales y las interacciones fundamentales del modelo estándar, así como sus principales propiedades. Definir las leyes de conservación más relevantes”

Importante Los resultados de los ejercicios, instrumentos de auto-evaluación, etc. recogidos en esta guía NO SE TIENEN QUE ENTREGAR, son elementos para vuestro aprendizaje. De cada módulo únicamente se deberán entregar los ejercicios referenciados en el apartado "encargos".




Anexo 1. Unidades de masa, energía y longitud En el marco del “Sistema Internacional” (SI) se definen las unidades de las magnitudes básicas (longitud, tiempo, etc.) como algunas unidades de magnitudes derivadas de cierta relevancia (fuerza, energía, etc.). El uso de las unidades del SI es de obligado cumplimiento según la normativa de mayoría de los países del mundo, entre los que se encuentra España.

Más información La definición del SI, se puede encontrar en el “Bureau International des Poids et Mesures” http://www.bipm.fr .

Importante Un error muy habitual es expresar el resultado de un cálculo únicamente como un número. Es extremadamente importante incluir sus unidades.

Curiosidad

El País. 2 Octubre 1999. La 'Mars Climate' se estrelló en Marte porque la NASA no tradujo kilómetros a millas “ … El pasado 23 de septiembre, el artefacto se perdió y debe ser ahora pura chatarra espacial. Una chatarra que costó a los contribuyentes norteamericanos la friolera de 125 millones de dólares. El comunicado de la NASA, que reconoce con bochorno ese error de colegial, añade que durante el muchísimo tiempo que colaboraron en el diseño de la sonda los dos equipos [Jet Propulsion Laboratory y Lockheed Astronautics] no se dieron cuenta de que estaban trabajando con sistemas de medidas diferentes…”




Para facilitar el uso de las unidades se suele utilizar múltiplos o submúltiplos de las mismas, los prefijos más habituales se presentan a continuación.

Prefijo Símbolo Factor

Peta P 1015 Tera T 1012 Giga G 109 Mega M 106 Kilo k 103 Hecto h 102 Deca da 101 Deci d 10-1 Centi c 10-2 Mili m 10-3 Micro µ 10-6 Nano n 10-9 Pico p 10-12 Femto f 10-15

En diversos ámbitos científicos y técnicos se utilizan unidades aceptadas por el SI aunque no forman parte estrictamente del mismo. Este es el caso de la física atómica y nuclear en que se suele utilizar, la unidad de masa atómica unificada, u, y el electrónvolt, eV, como unidades de masa y energía respectivamente.

Unidad de masa atómica unificada Se define como, “ la doceava parte de la masa de un átomo de carbono-12 ”, y su símbolo es u

Comentario En la bibliografía antigua es habitual encontrar el símbolo uma en vez de u.

Considerando que un mol de carbono-12 (12C), tiene exactamente una masa de 12 g y contiene, NA (el número de Avogrado, 6.022137x1023) átomos, podemos calcular la equivalencia entre la unidad de masa atómica unificada y el kilogramo.

kgxgxgx

gNN

gu

AA

272423 1066054.11066054.1

10022137.61112

121

1 −− =====

kgxu 271066054.11 −=

uxuNg A2310022137.61 ==




uxkg 2610022137.61 =

electrónvolt Se define como, “La energía cinética que adquiere una carga eléctrica elemental (un protón, un electrón, etc. q = 1.602176462x10-19 C) al ser acelerada, en el vacío, por una diferencia de potencial de un Volt (1 V)”,

su símbolo es eV De acuerdo a la electrodinámica la energía cinética, EC, adquirida por una carga, Q, al ser acelerada por una diferencia de potencial, ∆V, viene dada por

VQEC ∆×= con esa expresión podemos calcular la equivalencia entre electrónvolts y Joules, la unidad de energía del SI,

JVCeV 1919 10602176462.1110602176462.11 −− ×=××=

JeV 1910602.11 −×=

eVJ 18102415.61 ×=

Comentario En el apartado de Relatividad Especial, veremos que masa y energía son magnitudes equivalentes. En ese momento introduciremos una nueva unidad de masa basada en el eV

Unidades de longitud Las dimensiones asociadas a los átomos y los núcleos atómicos son extremadamente pequeñas. En la física atómica y nuclear se suele utilizar las siguientes unidades,

Orden de magnitud atómico mA 100

101 −= (Ångströn)

Orden de magnitud nuclear mfm 15101 −= (femtometro o Fermi)




Anexo 2. Elementos de relatividad restringida

Albert Einstein fue uno de los científicos del S XX más conocidos por el gran público. En 1905, publicó dos de sus artículos más importantes, uno sobre el “Efecto fotoeléctrico”, y otro sobre la "Relatividad especial o restringida". Del segundo artículo se puede deducir la conocida expresión E=mc2. Esa es, sin lugar a dudas, la fórmula de la física más célebre, sin embargo su significado exacto es, en general, poco conocido.

A continuación se estudia el significado de la expresión de Einstein, así como algunas de las magnitudes de la relatividad especial.

Curiosidad Einstein (http://www.aip.org/history/einstein/) fue galardonado con el premio Nóbel de física de 1921 (http://www.nobel.se/physics/laureates/1921/index.html) por la explicación del efecto fotoeléctrico y no por su gran contribución a la física moderna: La Relatividad.

Postulados La teoría de la relatividad especial se puede desarrollar a partir de dos postulados básicos,

� Principio de la relatividad. Las leyes de la física son idénticas en todos los sistemas de referencia inerciales.

� Constancia de la velocidad de la luz. La velocidad de la luz en el vacío es independiente de la velocidad de la fuente emisora. (Constante Universal)

De estos postulados se pueden deducir los siguientes resultados, • Conservación de la Energía total, el momento lineal y el momento angular • La velocidad máxima de cualquier partícula es c • Dilatación temporal y Contracción espacial • Substitución de las transformaciones Galileanas para posiciones y

velocidades por las de Lorentz. • Cambio de la nociones clásicas de simultaneidad y sincronización de

relojes.




La demostración de estos resultados queda fuera del alcance del curso. Únicamente trataremos algunos aspectos muy básicos que son de interés para la asignatura.

La expresión E=mc2 E, denota la energía total de una partícula libre, es decir no sometida a fuerzas externas. La m denota la masa relativista y la c es la velocidad de la luz en el vacío (c = 2.99792458x108 ms-1). La energía total de una partícula libre es una función de su velocidad. Al ser la velocidad de la luz una constante tenemos que concluir que la masa relativista es una función de la velocidad.

Atención La masa relativista depende de la velocidad por lo que es un concepto diferente al de masa inercial de la física clásica.

La energía total relativista es una magnitud que se conserva. Como veremos más adelante, podemos separarla en dos términos, uno relacionado con la masa en reposo, que recibirá el nombre de Energía en reposo, y otro relacionado con la velocidad o Energía cinética relativista.

Masa relativista La masa relativista viene representada por la siguiente expresión,

Donde, m0, es la masa en reposo de la partícula, v, es su velocidad y c es la velocidad de la luz en el vacío.

Atención La masa en reposo, m0, coincide con la masa inercial de la física clásica. En general, al hablar de “masa de una partícula” implícitamente se está haciendo referencia a su masa en reposo

( )2

20

1cv

mvm

−=




Energía en reposo y Energía cinética relativistas En la física clásica la energía cinética es la única utilizada en el estudio del movimiento de una partícula libre. En términos generales, es la energía asociada al movimiento, es decir a que la partícula se desplaza con velocidad v. En relatividad, la energía de una partícula libre consta de dos términos, la energía en reposo – debida a la masa en reposo – y la energía cinética – debida al movimiento – Para obtener la expresión de ambos términos partimos de la expresión de la energía total,

( )2

2

20

0

1,

cv

cmvmE

−=

Teniendo en cuenta que v<c, podemos expandir el denominador en serie, obteniéndose

( ) ��

��

�++= ...

211, 2

22

00 cvcmvmE

reagrupando,

( ) ��

��

�++= ...

21, 2

22

02

00 cvcmcmvmE

el primer término, m0c2, corresponde a la Energía en reposo, E0, que no depende de la velocidad, el otro es la energía debido al movimiento, es decir la Energía cinética, EC. Por tanto,

( ) 2000 cmmE =

Energía en reposo

( ) ��

��

�+= ...

21, 2

22

00 cvcmvmEC

Energía cinética relativista Esa expresión no es de gran utilidad para calcular la energía cinética ya que aparece una serie en (v2/c2). Este inconveniente se soluciona calculando la energía cinética como la diferencia entre la total y la de reposo.

( ) ( ) )(,, 0000 mEvmEvmEC −=

Substituyendo por las expresiones de E y E0, obtenemos




( ) 20

2

2

20

0

1, cm

cv

cmvmEC −

−=

Reagrupando,

( )��

�

�

��

�

�

−−

= 11

1,

2

2

200

cv

cmvmEC

Si introducimos el factor de Lorentz, γ, y la velocidad relativa, β=v/c,

( ) ( ) 21

2

2

21

1

1 −−=−

= βγ

cv

v

Factor de Lorentz

Finalmente obtenemos

( ) ( )1, 200 −= γcmvmEC

Energía cinética relativista Así, conocidas la velocidad y la masa en reposo de una partícula, podemos

calcular exactamente su energía cinética.

Atención La expresión de la energía cinética relativista es diferente de la conocida expresión clásica EC=1/2 mv2. Solamente se podrá utilizar la expresión clásica como una aproximación a la relativista cuando v<<c.

Atención En general, al hablar de “energía de una partícula” implícitamente se suele estar haciendo referencia a su energía cinética




Momento lineal relativista La energía es insuficiente para determinar el movimiento de una partícula libre, necesitamos conocer además la dirección y sentido en que se mueve. El momento lineal cumple esa tarea.

El momento lineal relativista se define como el producto de la masa relativista por el vector velocidad,

( ) vmvmp �� =, introduciendo el factor de Lorentz, tenemos

( ) vmvmp �� γ0, = Momento lineal relativista

Operando con las expresiones de energía total y momento lineal, podemos encontrar la siguiente relación,

420

222 cmcpE += Relación entre momento lineal, masa

en reposo y energía relativistas donde, p, es el módulo del momento lineal.

Atención A diferencia de la física clásica, en el marco de la relatividad especial una partícula puede presentar masa en reposo nula. En ese caso su energía total viene dada por E=pc. La velocidad de una partícula de masa nula es exactamente igual a la de la luz en el vacío, además si la velocidad de una partícula es igual a c, entonces su masa en reposo es nula: m0=0 ⇔⇔⇔⇔ v=c

Atención Siempre se deberán utilizar las expresiones relativistas.

En particular, al aplicar el principio de conservación de energía es necesario incluir el término de energía en reposo. Un error muy habitual es olvidarse de este término




Leyes de conservación La Teoría de la relatividad especial es coherente con los principios de conservación de la energía total, el momento lineal y el momento angular.

Se debe prestar mucha atención al aplicar esos principios, ya que las expresiones relativistas difieren de las clásicas. En particular, para la conservación de la energía siempre debemos considerar los dos términos, el de la masa en reposo y el de la energía cinética.

Conservación de la energía Si dos partículas, de masas m0(1) y m0(2), y energías cinética EC(1) y EC(2), colisionan dando lugar a tres partículas diferentes a las anteriores, 3, 4 y 5. La conservación de la energía se expresa como sigue,

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ])5()5()4()4()3()3()2()2()1()1( 00000 CCCCC EEEEEEEEEE +++++=+++ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ])5()5()4()4()3()3()2()2()1()1( 2

02

02

02

02

0 CCCCC EcmEcmEcmEcmEcm +++++=+++ Si separamos los términos de masa en un lado y los de energía cinética en el otro, ( ) ( )[ ] ( ) ( ))5()4()3()2()1()2()1()5()4()3( 2

00000 CCCCC EEEEEcmmmmm ++−+=+−++ Este resultado nos permite llegar a dos conclusiones que únicamente son válidas en el marco de la relatividad: Si la energía cinética del estado inicial, EC(1)+EC(2), es superior a la del estado final, EC(3)+EC(4) +EC(5), entonces la masa total del estado final, m0(3)+m0(4) +m0(5), excede a la del estado inicial, m0(1) +m0(2).

Importante Se puede “crear” masa a partir de la energía cinética. Esto es imposible en el marco de la física clásica.

El análisis contrario también es válido, si la masa del estado inicial excede a la del estado final, entonces la energía cinética del estado final es superior a la del inicial. Por tanto, se puede “generar” energía cinética a partir de la masa.

Importante Se puede “crear” energía cinética a partir de la masa. Esto es imposible en el marco de la física clásica.




Conservación del momento lineal La conservación del momento lineal tiene un tratamiento idéntico al ya conocido de la cinemática clásica, la única variación es que se debe utilizar la masa relativista, γm0. Recuerda que el momento lineal es una magnitud vectorial y como tal se debe de tratar.

Recordatorio Siempre se debe de considerar la conservación de energía y momento lineal conjuntamente, ya que la energía total, el módulo del momento lineal y la masa en reposo están relacionados entre sí.

Relación entre energía cinética y momento lineal Tanto la energía cinética – magnitud escalar – como el momento lineal – magnitud vectorial – dependen de la velocidad de la partícula, por tanto debe existir una expresión que relacione el módulo del momento lineal con la energía cinética.

En la física clásica la relación es muy simple, EC=p2/2m, la expresión equivalente relativista es un poco más compleja. Caso m0=0 Es el caso más simple pues la energía total y la cinética coinciden,

CEpcE == Relación entre p y EC en el caso de m0=0

Caso m0≠≠≠≠0 En este circunstancia la relación es,

0

2

)1( mpEC +

=γ

Relación entre p y EC en el caso de m0≠0

Nótese que en el límite, γ → 1, se recupera la expresión clásica.




Importante. Límite Clásico Las expresiones clásicas – siempre más fáciles de utilizar – son válidas en el límite γγγγ →→→→ 1. En términos de velocidades eso es equivalente a v<<c. En términos de energía cinética es equivalente a EC<<m0c2.

Atención. Límite Clásico Un error muy común cuando se trabaja en el límite clásico, es olvidarse del término de masa en la expresión de la energía total. La expresión de la energía total en el límite clásico es:

E=m0c2+m0v2/2

Equivalencia entre masa y energía En general la masa en reposo de una partícula se utiliza en las ecuaciones de balance energético – conservación de la energía – por ello es más conveniente conocer la energía en reposo que la masa en reposo.

La mayoría de las veces encontraremos las masas atómicas, nucleares, etc. tabuladas en unidades de masa atómica unificada. El factor de conversión se obtiene calculando la energía en reposo de una masa de una unidad de masa atómica unificada.

kgxu 271066054.11 −= -1s299792458m=c

JmskguE 1018270 10492419.11099792458.21066054.1)1( −−− ×=×××=

eVJ 18102415.61 ×=

MeVJMeVJuE 49.931102415.610492419.1)1( 1210

0 =×××= −

MeVuE 49.931)1(0 =

Si introducimos las unidades de masa MeV/c2, podemos concluir

249.9311 cMeVu =

Así, una partícula cuya masa sea de 1u, tiene una masa de 931.49 MeV/c2, y una energía en reposo de 931.49 MeV




Energía interna Las partículas con estructura interna – como átomos o núcleos – pueden encontrarse en estados excitados (este concepto lo estudiaremos más adelante). Es necesario incluir la energía del estado excitado – la energía interna – en los balances energéticos.

Supongamos que el núcleo X, inicialmente en reposo, se desintegra dando lugar al núcleo Y y a la radiación z. Supongamos también que el núcleo Y queda en un estado excitado de energía E*. Este proceso se representa por la expresión,

zYX +→ * En ese caso, la conservación de energía se formula como,

( ) ( ))()(* 222 zEcMYEEcMcM CzCYX ++++= Conservación de la energía en el caso de que una de las partículas

se encuentre en un estado excitado de energía E*.

Nótese que la energía cinética de X no aparece en la expresión ya que éste se encuentra inicialmente en reposo (EC(X)=0).




Anexo 3. Problemas de relatividad restringida 1. En el marc de la teoria de la relativitat especial: a) Calculeu l'energia total, l'energia cinètica i el mòdul del moment lineal d'un neutró que té

una velocitat de 0.3c. A quina velocitat la seva energia cinètica serà igual a la meitat de l'energia total?

b) Repetiu els càlculs per al cas d'un electró que tingui la mateixa velocitat. Les masses en repòs del neutró i de l'electró són mn = 939.57 MeV/c2 i me = 0.511 MeV/c2. Solució a) Calculem, en primer lloc, el valor del paràmetre γ per a la velocitat de 0.3 c

��

�

� =−=−=

−−βγ

Per al neutró, l'energia total és

�� =×== γ

l'energia cinètica és

�� −=−= γ

�� =×−=

i el moment lineal és

��

��

��

��

��

�

��

××××

×��

��

��

�

Si volem que l'energia cinètica sigui igual a la meitat de l'energia total, tindrem

��

��

�� γγγγγ ��

d'on

�� γβ

b) Per a l'electró l'energia total és

�� ×γ




l'energia cinètica és

�� −=−= γ

�� ×= ��

i el moment lineal és

��

��

�

��

��

��

�

��

××××

×��

��

��

�

La velocitat per a la qual l'energia cinètica és igual a la meitat de l'energia total és la mateixa que en el cas dels neutrons, perquè no depèn de la massa en repòs. 2. Les expressions clàssiques per al càlcul de l'energia i el moment lineal són perfectament

vàlides sempre que les velocitats no siguin molt elevades. En qualsevol cas, però, en utilitzar-les es comet un error que cal quantificar.

a) Determineu la velocitat màxima per a la qual es pot utilitzar l'expressió no relativista per

calcular l'energia cinètica d'una partícula de massa en repòs m0 amb un error relatiu inferior a l'1%.

b) Repetiu el càlcul per al cas del moment lineal. R: a) 0.1154c b) 0.1411c��

3. En un sistema accelerador de partícules, la diferència de potencial efectiva d'acceleració és de ∆V. A la sortida d'aquest sistema, les partícules accelerades es troben sotmeses a l'acció d'un camp magnètic perpendicular a la direcció del seu moviment, la qual cosa fa que descriguin una trajectòria circular. La relació entre la inducció del camp magnètic, el moment lineal i el radi de la trajectòria és p = eBr, on B és la intensitat de la inducció magnètica, p el mòdul del moment lineal, r el radi de la trajectòria i e la càrrega elèctrica de l'electró.

a) Si accelerem protons que estan inicialment en repòs, amb ∆V = 10 MV, calculeu quina

intensitat ha de tenir la inducció magnètica del camp perquè el radi de la seva trajectòria sigui d'1 m. La massa en repòs del protó és de 938.272 MeV/c2.

b) Amb una intensitat d'inducció magnètica d'1 T, el radi de la trajectòria circular d'un feix d'electrons és d'1.5 m. L'energia cinètica dels electrons del feix en penetrar en el sistema accelerador era de 10 MeV. Calculeu quin és el valor ∆V.

R: a) 0.458 T b) 439.189 MV� 4. Un electró i un positró que es desplacen a una velocitat de 0.99999c respecte del sistema del

laboratori xoquen frontalment. En el xoc, l'electró i el positró desapareixen i es produeix una parella muó-antimuó (mµc

2 = 105.7 MeV).




a) Calculeu el valor de les energies cinètiques de l'electró i del positró abans del xoc. b) Calculeu els valors de les energies cinètiques del muó i de l'antimuó produïts. c) Determineu les velocitats del muó i de l'antimuó respecte del sistema del laboratori. R: a) 113.752 MeV b) 8.56 MeV c) 0.38c��

5. Un antiprotó � amb una energia cinètica de 2/3 GeV xoca contra un protó p que es troba en repòs en el laboratori. S'anihilen mitjançant la reacció:

� γγ +→+ ��

Considereu que els dos fotons surten en la direcció de l'antiprotó incident, en sentits oposats,

i preneu com a energia en repòs del protó i de l'antiprotó la quantitat d'1GeV. Es demana: a) Quines són les energies dels fotons emergents? R: a) 2/3 GeV, 2 GeV �

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