guia1.2

Universidad TecnicaFederico Santa MaraDepartamento de Matematica

Matematica IVPrimera Gua

Integrales DoblesPrimer Semestre 2015

Contenidos

Integracion sobre rectangulos.

Condiciones de integrabilidad.

Integracion sobre regiones generales. Teorema de Fubini.

Teorema de cambio de variable.

1. HalleR

(ey2

sen(x) + x2)dA, donde R es el cuadrado con vertices (1, 1), (1, 1), (1,1) y (1,1). Hagalocon el mnimo esfuerzo posible.Solucion. El recinto de integracion es simetrico. Se elige el elemento de area como dA = dx dy pues as laintegral entre 1 y 1 de senx entrega cero al ser una funcion impar integrada en intervalo simetrico. Noteademas que la antiderivada de ey

2

es impracticable. As, el resultado de la integracion es 4/3.

2. Calcule las siguientes integrales

(a)

21

52

(x2 y2 + xy)dydx (b) 2

0

21

x1 + x2 + y2

dxdy

(c)

pi0

pi0

| cos(x+ y)|dA (d) 2

0

10

4y

(x2 + y2 + 2)2dx dy

3. Sea el cuadrado R =[0,pi

2

][0,pi

2

]justifique la siguiente desigualdad:

0

R

sin(x+ y) dA pi2

4

Ayuda: Encuentre los maximos y mnimos de la funcion f(x, y) en la region R.

4. Sea R la region encerrada por la elipse 4x2 + 9y2 = 36. Justifique la siguiente desigualdad:

6pi

R

10

1 + x2 + y2dA 12pi.

Ayuda: Encuentre los maximos y mnimos alguna funcion f(x, y) en la region R.

5. Sean f(x, y) = y2ey2

y R el triangulo acotado por y = a, y = x/2 e y = x. Suponga que a es positivo.

(a) Establezca dos integrales repetidas paraRf(P )dA.

(b) Calcule el caso mas facil.

Solucion.

(a) El recinto de integracion se presenta a continuacion. Se tiene entonces que las posibles elecciones para laintegracion son, en primer lugar a

0

xx/2

y2ey2

dydx+

2aa

ax/2

y2ey2

dydx,

y, en segundo lugar a0

2yy

y2ey2

dxdy.

(b) Es evidente que la segunda integral es mas sencilla, pues es solo una integral, pero mas importante, sucalculo es simple. Veamos a

0

2yy

y2ey2

dxdy =

a0

y3ey2

dy

(z = y2 dz = 2ydy) = 12

a20

zez dz =1

2

(1 + (a2 1)ea2

).

Pagina 1 de 4 Coordinacion MAT024 - 2015 - 1

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 1: Recinto de integracion en celeste para el caso a = 1.

6. Calcule las siguientes integrales

(a)

10

1y

ex2

dxdy (b)

10

1x

sin y

ydydx (c)

10

pi/2arcsin y

1 + cos2 x cosxdxdy

(d)

10

1x

tan y2dydx (e)

10

1x

9 + y6dydx (f)

10

1x

1 + y4dydx

7. Calcule cada una de las siguientes integrales

(a)

30

9x2x3ey

3

dy dx

(b)

20

12 (185x)

x2x3ey

3

dy dx+

94

y25 (9y)

x3ey3

dx dy

8. Reemplace la integral dada por otra con el orden de integracion permutado. Bosqueje la region R de integracion.De ser posible, calcule el valor de cada integral.

(a)

20

x20

x3y dy dx.

(b)

10

xx/2

xy dydx+

21

1x/2

xy dydx.

(c)

10

xx/2

y sin y3dydx+

21

1x/2

y sin y3dydx.

9. Considere una funcion g continua en I = [a, b] a valores reales. Para x I se define

v(x) =

xa

g(t)dt.

Determinar k R tal que I

v(x)u(x)dx = kI

g(x)u(x)dx,

donde u es alguna funcion derivable que cumple con u(b) = 0.

10. Sea f continua en R = [a, b] [c, d]. Para a < x < b, c < y < d, se define F (x, y) = xa

yc

f(u, v)dvdu.

Muestre que2F

yx=

2F

xy= f(x, y).


11. Sea la transformacion x = u+ v, y = u2 v y R = {u+ v 2, u 0, v 0}.(a) Dibujar a S, la imagen de R bajo la transformacion.

(b) Calcular I =

S

dxdy1 + 4x+ 4y

.

Solucion.

(a) La region R en el plano uv es un triangulo con vertices en (0, 0), (2, 0) y (0, 2). En tanto, la imagen de Rbajo la transformacion en el plano xy es S = {(x, y) R2 : 0 x 2,x y x2}Estas regiones se ilustran en la figura siguiente.

0.5 1 1.5 2 u

0.5

1

1.5

2v

0.5 1 1.5 2 x

-2

-1

1

2

3

4y

Figura 2: A la izquierda el triangulo R en el plano uv y a la derecha su imagen bajo la transformacion x = u+ v,y = u2 v en el plano xy.

(b) Para determinar I utilizamos a la transformacion dada. Debemos en primer lugar calcular el Jacobianoque entrega (x, y)(u, v)

= det( 1 2u1 1) = 1 + 2u.

Con esto, se tiene que I queda como

I =

20

2u0

1 + 2u1 + 4u+ 4u2

dvdu

=

20

2u0

1 + 2u(1 + 2u)2

dvdu

=

20

2u0

1 dvdu = A(R) = 2

12. Usando coordenadas polares, hallar el area acotada por la lemniscata (x2 + y2)2 = 2a2(x2 y2).13. Sea R la region limitada por las rectas x 2y = 0, x 2y = 4, x + y = 4 y x + y = 1. Calcule usando un

cambio de variable adecuado la integralR

3xydA.

14. Una region D esta comprendida en el primer cuadrante por las curvas y = x2, y = x2 + 1, x + y = 3 y el ejey. Determine un valor de a (0, 3) tal que

D

(1 + 2x)|x+ y a|dA = 52.

15. Encuentre

T (uv)

1

y x+ 1dA, si uv es la region definida por uv = {(u, v) R2/0 u 1, 0 v 1}

y T es la transformacion (x, y) = (v + u, v u2).16. Para a, b > 0 considere el dominio D = D1 D2, donde

D1 = {(x, y) R2/ 0 x a cos b, 0 y cot b x},D2 = {(x, y) R2/ 0 y a sin b, a cos b x

a2 y2}.


Encuentre D

ln(x2 + y2)dA, 0 b pi2.


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