Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 1 - Curso Iberoamericano de formacin permanente de profesores de matemtica Gua Didctica Tema 15: Sucesiones y lmites Lecciones de este tema: Leccin 1: Concepto. Progresiones Leccin 2: Sucesiones. Lmite de una sucesin Leccin 3: El nmero e. Clculo de lmites Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 2 - Lecci n 1. -Concept o.Pr ogr esi ones Contenido de este documento: Introduccin y directrices metodolgicas Objetivos especficos Conocimientos previos. Prueba sondeo. Proceso sucesivo. Definicin de sucesin. Progresiones. Progresiones aritmticas. Progresiones geomtricas. Aplicaciones. Soluciones a los ejercicios planteados en la leccin I nt r oducci n ydi r ect r i ces met odol gi cas. Siempreesdeseablehacerunaenseanzalomssignificativaposible. Estaunidadlopermitepueslapresenciadelassucesiones(yen particular de las progresiones), en nuestro entorno cotidiano es un buen puntodepartidaparadesarrollarlaconunametodologaadecuada.Por estarazn,launidadseempiezamostrandoalgunosejemplosde procesosquellamaremossucesivosporquetodostienenencomnla reiteracindeunfenmenoquedalugaralaaparicinsucesivade elementos.Sonprocesosquepuedenydebendescribirseconlenguaje coloquialquetrataremosdeutilizarconelfindecrearlateora matemtica que los explique y, en este caso, conducirnos al concepto de sucesin.Nodebemosrehuirlautilizacindellenguajecoloquialpara iniciarlasexplicacionespuesserapocodidcticoiniciarlocontrminos msformalesdesdeelpuntodevistamatemtico,como,porejemplo, decirdeentradaquelassucesionessonaplicacionesdesubconjuntos finitosdelosnmerosnaturalesNenelementosdeotrosconjuntos.El mododehacerlo,comosever,permiterealizarunaintroduccin significat iva de unconcepto (el de sucesin) que posee un cierto nivel de abstraccin.Estodebemostenerloencuentacuandotratemosde comprobar que el alumnado ha captado las ideas fundamentales. Curiosidad.Nocabedudaque,pocoapoco,lasmatemticasvan penetrandoenellenguajecoloquial.Quizseadebidoaquela generalizacindelaenseanzaesthaciendollegarsusconceptosy procedimientos a la mayor parte de la poblacin. En la edicin de 1992 delDiccionariodelaRealAcademiadelaLenguaEspaola,aparecen ocho acepciones de la palabra sucesin. Entre ellas una numrica que diceas:Conjuntoordenadodetrminosquecumplenunaley determinada.Pues bien, esta acepcin no figuraba en la edicin del diccionario de 1970. Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 3 - La sucesin de Fibonacci se ha popularizado a raz de la publicacin de la obraElcdigodaVincideDanBrown.Laocasinespropicia,portanto, paradesarrollaruntallerconelqueprofundizarenaspectosdeesta sucesin tales como la obtencin de su trmino general, sus propiedades, larelacindelasucesinconelnmeroureo,lapresenciadetrminos de esta sucesin en determinados elementos de la naturaleza, etc. Otro aspecto que suele presentar dificultades de comprensin en parte del alumnadoeslautilizacindelossubndicesparalanotacindelos trminosdeunasucesincuandoseexpresadeformageneral.Es importantecerciorarsedelacerteracomprensindeestanotacinpues puede tener repercusiones en el desarrollo posterior de la unidad. Sepresentarntambinejemplosdesucesionesqueseconstruyen medianteunsoportevisual(recubrimientosconbaldosas,nmeros triangulares,cuadrangulares,etc.,)queseutilizarncomomodelospara llegar al concepto de trmino general. Sevaaintroducirelconceptodelmitedeunasucesinque,comoes sabido, a la ciencia le cost muchos siglos conseguir definirlo con rigor. Es conocida,portanto,ladificultaddelconceptoporloquesehace necesaria,ademsdeunamadurezintelectual,queyaposeenlos alumnosalllegaraestenivel,conseguirutilizarunametodologayunos recursosapropiados.Lasnuevastecnologas,porejemplo,permitirn ayudar a una mayor comprensin, tanto de forma grfica como numrica. Seaconsejaquelametodologaseaactiva,enelsentido,depropiciar unagestindelaulaque,procure,queelalumnadovayaparticipandoy desarrollando cuanto se le plantee durante el transcurso de la explicacin. Enlaprimerapartededicadaalosprocesossucesivospuedeseguirseel mtododeleereltextoenvozaltaparatodoelgrupo(bienporel profesoroporalumnos)eirrealizandoalmismotiempolasactividades que se proponen hasta llegar a la idea de sucesin. Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 4 - Dada la dificultad de los conceptos de la unidad, en una primera fase debe trabajarse de forma individual. Posteriormente se propondrn tareas, para preparar en equipos, que contengan resolucin de ejercicios, desarrollo de investigaciones,bsquedadeinformacineninternet,elaboracinde memorias,etc.todoelloenconsonanciaconeldesarrollodelas competencias, tal como indican las recientes corrientes pedaggicas. Dentro de las directrices que estamos sugiriendo, hay un aspecto de esta unidadquenosparecedestacableyalquedebemosprestarlamxima atencin:sevaaintroducirelconceptodelmite.Comoessabido,se trata de una idea central de las matemticas y por eso hay que procurar conseguirquesecomprenda,ademsdeensearalgunosalgoritmosde clculo de lmites. El usode la calculadorapermite resolver los ejercicios de forma rpida y segura. Es imprescindible su utilizacin en esta unidad. Obj et i v os especf i cos -Aprendery comprender los conceptos ligados a las sucesiones, para incorporarlosallenguaje,conelfindecomunicarsedeformams precisa y rigurosa. -Reconocer estos elementos matemticos en el entorno. -Comprenderlanecesidaddemanejar,consoltura,loestudiado previamente para propiciar el avance del conocimiento. -Captarelrigordelrazonamientomatemticoenlosprocesosde deduccin de las frmulas que aparecen en las progresiones.-Llegar a expresar las definiciones utilizando el lenguaje formal. -Conseguir dar el paso a la abstraccin. -Comunicarporescritoelprocesoseguidoenlaresolucindelas situaciones problemticas en las que aparecen sucesiones. -Saberorganizarlasfrmulasqueseintroducenenlaunidad (trminogeneraldelasprogresiones,sumadetrminos,etc.) identificandolasnecesariaspararesolverlosproblemasquese proponen.-Adquirir destreza (limpieza, orden, explicacin de los procesos, etc.) enlapresentacinporescritodelosejerciciosyproblemasquese propongan.-Incidirenlacompetenciadelacomunicacinoral,transmitiendoa otros las definiciones y propiedades aprendidas. -Buscar informaciones en internet. -Manejar con soltura la calculadora para realizar las operaciones que se necesitan en la resolucin de los problemas y deducciones. Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 5 - Conoci mi ent os pr ev i os.Enestaunidad,comoencasitodas,serequierequeelalumnadotenga presentesunconjuntodeideasydealgoritmosquehansidoestudiados con anterioridad. Es aconsejable dedicar un tiempo a recordarlos antes de iniciarlaexplicacindeloscontenidos.Enlapropiadefinicinformalde sucesin, por ejemplo, se utilizan los conjuntos numricos de los naturales NyeldelosrealesR.Enesamismadefinicinapareceeltrmino aplicacincontodosloselementosquecontiene(conjuntodepartida, conjuntodellegada,etc.).Cuandosellegaalaexpresindeltrmino generaldeunasucesinoacualquieradelasotrasfrmulasdeeste tema, ser necesario manejar las expresiones algebraicas que resultan y, portanto,sedebededicaruntiempoarepasarlasideasdeexpresin algebraicadeunafrmulaascomoarecordarcmodeterminarelvalor numricoparavaloresdelavariable,despejaralgebraicamentelos elementos de la frmula, etc.Portodoello,esconvenientehacerunapruebasondeoquenosinforme sobrelosconocimientospreviosyastenerdatosparaorganizaresas tareas de repaso. Pr ueba sondeo.Encadasituacinseorientarestapruebaenfuncindeloscontenidos previos que hayan cursado los estudiantes. A continuacin se propone un ejemplo que, por los tems que contiene, se puede deducir cules son los conocimientospreviosque,sesupone,hansidoadquiridos.Laprueba constadevariostemssencilloseincidenenlosdistintosconjuntos numricos,laideadeaplicacin,saberquesunafrmulayobtener valoresnumricosparavaloresconcretosdelavariable,despejaruna variable en una frmula, etc. No se autoevaluar. Ej empl o de pr ueba sondeo.1.- Recordamos que los siguientesconjuntos numricos se han estudiado en cursos anteriores:N = naturales; Z = enteros; Q = racionales; R = reales. Se pide corregir los cinco errores que hay en las siguientes relaciones: N e 3 Q e 32 Z e 4 N e 4 Z e 25 ' 0Q e 015 ' 2Q e 2 R e 1Z e48N e 5 ' 0R e 12Z e49 2.- Dada la expresin: 5x + a = 8 a) despejar x. Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 6 - b) despejar a. 3.-En la expresin 34 3=mx a) despejar x. b) despejar m. 4.-Se define la aplicacin7 5 ) (: = x x f xR Z f a) Obtener la imagen de: x = 0x = 1 x = 0,5 b) Cul es el valor de x si su imagen toma el valor 8?Pr oceso sucesi v o.Def i ni ci n de sucesi n.Si t uaci n1.-Queremoshacerunafichadecadaunodelos165libros que hay en una estantera de la biblioteca del colegio.Podemosprocederdelasiguienteforma:secolocanenlaestantera siguiendoundeterminadoorden(alfabtico,porespecialidades,por tamao, etc.) y a continuacin vamos asignando un nmero de orden en ellomo,paraquequedevisiblealahoradelocalizarlo.Aspues,enel primerodelaizquierdacolocamosel1,enelsiguienteel2yas sucesivamente hasta llegar al ltimo que llevar el nmero 165 (figura 1). Si t uaci n2. - Meacercoalacoladelataquilladeuncineydeseo averiguarqulugarocuparcuandomecoloqueenelltimolugar.Ir contando las personas que estn: 1, 2, 3, y as hasta llegar a la ltima. Mi nmero en la cola ser el siguiente (figura 2). Fig. 1 Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 7 - Fig. 2 Si t uaci n3. - Me sito al principio de una calle y observo que las casasdeunaaceratienenlosnmeros2,4,6,mientrasquelascasasque estn en la acera de enfrente estn numeradas con los nmeros 1, 3, 5, Si t uaciforma resultad Puesbtotalmeatodasmedianreflexiopara pa- - - Act i v i dPedir aentornApareclos autde los i n4. -Tosucesiva, dos: 7, 11ien,enlaente distins.Esosstepreguonensobreasar luegoEntodoobjetos.Sedispoobjeto aSevaatrabaja esdecisegundodad a cada estuo habitual.cernprocetos, la numdas de unCentro domo un nirsum1, 15, 19, assituacintos, hay ssonlosqntasqueeellos,qo a la formoslosca. onedeunal siguientasignando(personasr:entoo, un terceudiante qu. esoscomomeracin de mes, etc. de Altos EstudiFmero natmando4. 23,onesrelasin embaruedebemlesconquevayanmalizacin.soshay napauta te. oacada s,libros, odoslos ero, etc. e trate de o:elnmee las butac ios Universitar- 8 - Fig. 3 tural cualqEneste atadas,pergo, algunmostrataduzcananexplican Entre esounprimesegurae elementocasas,ncasosha encontrar erodelaccas de un cios de la OEI quiera, pocaso,teeseaqueos aspectrdemosaidentificdoconsuos aspectoerelemeninequvocodelconmeros)uayunpr otros procduladeicine, las teor ejemploendrlos esetrataos que sostraralocarlos,peulenguajos destacantodelcocaparapjuntoen nnmerorimerelemcesos sucedentidad, emperaturao el 7 y, dsiguienteadecasoon comuneosalumnoedirlesquecoloquiaan: onjuntodasardeuelquesodeordenmento,usivos en sulaplacadeas mxima de es os es os ue al de un se n, un u e s Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 9 - Sinembargo,(ponernfasisenestemomento),hayunaspectoquees comn a los tres primeros casos pero que falla en el cuarto.Act i v i dad Las respuestas a esta actividad deben plantearse y discutir entre todos las propuestas.Culesladiferenciaquebuscamos?Pormuchoslibrosque contenganuestraestantera,siemprellegaremosaunltimolibroylo mismoocurreconlaspersonasquehayaenlacoladelcineoenambas aceras de la calle siempre habr una ltima casa en cada lado. Por tanto, escomnaestastressituacioneslaexistenciadeunltimoelemento. Pensemos ahora en la cuarta situacin: el proceso sucesivo consiste en ir sumando4acadaresultadoanteriorapartirdelsieteyestaesla preguntacuyarespuestadebequedarclaraalalumnado:culesel ltimo elemento de este proceso sucesivo?Podemos concluir, por tanto, en la siguiente observacin: Lost resprimerosprocesossucesivosson finit os enelsent ido dequesiemprellegaremosaunlt imoelement o,mient rasque elcuart oesunprocesoquepodemoscalificarde infinit oporquenoesposibledet erminarculesellt imoelement oal que podemos llegar. Acontinuacintratamosdeformalizarlasconclusionesalasqueseha llegadoenlassituacionesplanteadas.Lasfiguras1,2y3ponende manifiesto que cada elemento de los distintos conjuntos (que llamaremos t r mi no en adelante) puede ser identificado por su nmero de orden. Es decir que tomado, por ejemplo, el nmero 5, se tiene el libro 5, persona 5y,encadaacera,lacasa5.Siprescindimosdelaspectoordinal, podemosconcluirque,endefinitiva,setratadeunaaplicacindeun subconjunto de los nmeros naturales en cada uno de los conjuntos como vemos a continuacin: Notaremos por:L = conjunto de los libros de la estantera. P = conjunto de las personas de la cola de la taquilla del cine. I = casas de la acera izquierda (impares). D = casas de la acera derecha (pares). Escribirquaspectooaspectosseobservanenlasituacin4quelahacen distinta de las tres anteriores. Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 10 - Situacin 1Situacin 2Situacin 3 (I)Situacin 3 (D) n...2 21 1libro nlibrolibroL N m...2 21 1persona mpersonapersonaP N p...2 21 1casa pcasacasaI N q...2 21 1casa qcasacasaD N Lanotacinutilizadaenesecuadroescomplicadaporloquetrataremos de simplificarla. Para ello, utilizaremos la letra a para nombrar a los libros delaestanteraycomonecesitamosdistinguirunodeotro,entonces asignamos a cada uno el lugar de orden que ocupa mediante un subndice. As, 1a representa al primer libro; 2aes el segundo; 5aser el quinto libro yascontodos.Siutilizamoslaletrabparalaspersonasdelacola, entonces 3bes la tercera persona. Si las casas de laacera izquierda las designamosconlaletracylasdeladerecha,conlad.setieneque 7cserlacasasptimadelaaceraizquierdamientrasque 6d eslacasa sexta de la otra acera. Losnmerosn,m,pyqsonlosasignadosalltimotrminodecada conjuntoque,obviamente,notienenporquserigualesyporesose utilizandistintasletras.Portanto,conlanotacinquehemosadoptado, esos ltimos trminos son, respectivamente: qd , , y c b ap m n En la situacin 3 (los nmeros asignados a las casa de la calle), conviene tener claro lo siguiente: una cosa es el nmero de orden que ocupa cada casa y otra distinta es el nmero que tiene la casa. As, por ejemplo, en la acera de los impares, la casa 7ctiene el nmero 13.Act i v i dad Podemosdar,finalmente,unpasomsyabstraerlaideaporcompleto con esta definicin: Obtener los nmeros de las casas 3c , 12c , 6d , 13dCentro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 11 - Def i ni ci nUn pr ocesosucesi v of i ni t o es una aplicacin cuyo conjunto de partida es un subconjunto N del conjunto de los nmeros naturalesNyeldellegadaesunconjuntoAdeobjetos,de talformaque,acadanmerondeNlecorrespondeel objeto a de A que identificaremos mediante la notacinnaEs decir: na nA N Vamosaanalizar,finalmenteycondetalle,lasituacin4queeslaque nosllevaal concepto desucesin. Nospreguntbamos quocurreen la situacin 4 que la hace distinta de las anteriores? Ya vimos que la diferencia radica en que este proceso es infinito y, por tanto,elconjuntodepartidaestodoN.SirepresentamosporMel conjunto de los nmeros que se van formando con ese proceso, entonces lasituacin4lapodemosesquematizardelasiguienteforma,si mantenemos la letra a para designar a los trminos de M:na nM N Pues bien, como hemos adelantado, este ltimo cuadro nos conduce a una definicin formal de sucesin numrica. La condicin que debemos aadir para formalizar del todo el concepto es que el conjunto de llegada sea el delosnmerosrealesR,porquelassucesionesquevamosaestudiar estn formadas por nmeros de este conjunto: Def i ni ci nUna sucesi nes una aplicacin del conjunto de los nmeros naturales N en el conjunto de los nmeros reales R de forma que, a cada nmero natural n, le corresponde un nmero real que notaremos por na, es decir: na nR N Algunas consideraciones: -Laideadepresentarlasucesincomounprocesosucesivo infinitodenmerostienesolounafinalidaddidctica,pues,se tratadeasociarlaaprocesosdelavidacotidianacomolos descritos en las tres primeras situaciones. -Es importante recalcar que en la sucesin numrica, que ya se ha definido, una cosa es el valor del trmino de la sucesin y otra es ellugarqueocupadentrodeella,quevienesealadoporel subndice que se utiliza con la letra escogida.Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 12 - -Cadaunodelosnmerosqueformanlasucesinrecibeel nombre de t rmino.-Laletrautilizadaparanotareltrmino na puedesersustituida por cualquier otra letra y conviene poner ejemplos aclaratorios. Ej empl os de sucesi ones.Antes de formalizar aspectos, como el de la obtencin del trmino general de una sucesin, vamos a trabajar ms ejemplos para captar que se trata delageneracindenmerossiguiendopautaspreestablecidasqueno siempresonfcilesdedeterminar.Cuandoestaspautasnoexisten, entoncessetienenlosconocidoscomonmerosaleatoriosquehansido estudiados en otra unidad.Rebot es.Tenemostrestiposdepelotas:a,byc.Laspelotasdeltipoarebotan hastaun80%deladistanciadesdelaquesesuelta.Lasdeltipob rebotanhastaun50%ylasdelclohacenhastaun40%.Sisesueltan desde 2 m de altura, qu altura alcanzan los cuatro primeros rebotes de cada pelota? Una manera de organizar lo solicitado es la siguiente: Tesel ando con hex gonos.Se tiene la siguiente secuencia de colocacin de baldosas hexagonales: Bote 1Bote 2Bote 3Bote 4 a1,61,28 b c Fig. 4 Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 13 - Nosplanteamoseltratardedescubrirlapautaquenospermitasaber cuntasbaldosasblancassenecesitancuandosecoloquen,porejemplo, 30 de las rojas. Taller: Sucesin de Fibonacci Se trata de un ejemplo de sucesin en la que el trmino general no es una frmula que depende de n sino que cada trmino se construye en funcin de los dos anteriores. Se ha preparado un power point con una gua de las imgenes que se aconseja leer antes de proceder a la proyeccin. Para el desarrollo del taller es conveniente tener, si es posible, varias pias de pinos y una pia tropical. Sucesi ones numr i cas.Tr mi no gener al .Lossiguientesconjuntosdenmerossonsucesionesquesiguenuna determinadaleydeformacin,quesehadeobtener,encadacaso,escribiendo los dos trminos siguientes: a)2, 4, 6, 8, 10,__ __ b)4, 4, 4, 4, 4,__ __ c)7, 11, 15, 19, 23,__ __ d)1, 4, 9, 16, 25,__ __ e)1, 2, 4, 8, 16,__ __ Lasrespuestasalacuestinplanteadaestnenelsiguientecuadro aunque de forma desordenada. Compruebe si coinciden con las suyas: Sihaacertadolasrespuestasenelejercicioanterior,estamosen condiciones de abordar la obtencin del trmino general de una sucesin. Setratadesabercmosepasadeuntrminoalsiguienteycmose relacionaconelnmerodeordendeltrmino.Observemoselprimer ejemplo: a1=2; a2=4=2+2; a3 =6=2+2x2; a4 =8=2+3x2; a5 =10=2+4x 2 Lacuestinaresolveres:cmopodemosexpresaran enfuncindel valor de n? En este caso, se tiene: an =2+(n 1) x 2 La expresin obtenida es el trmino general de la sucesin del ejemplo a) 36, 49 4, 427, 31 12, 1432, 64 Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 14 - Tratedeobtenereltrminogeneraldelasotrassucesionespropuestas. Cuandohayaterminado,mirelassolucionesalfinaldeltemay contrstelas con sus respuestas. Llegamosasaunodelosconceptosimportantesenelestudiodelas sucesiones: Elt rminogeneraldeunasucesineslaexpresinquepermit e calcular sus t rminos en funcin de su nmero ordinal. Los nmeros primos. Si tratara de encontrar los dos siguientes trminos de esta sucesin: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, comprobar que no existe una ley de formacin como las que fue encontrando en los casos anteriores. En efecto, se trata de la sucesin de nmeros primos para los que tal ley no es posible determinarla. Con esto se pone de manifiesto que existen sucesiones cuyos trminos se obtienen siguiendo criterios que no responden a regularidades sino a propiedades. No les dedicaremos ms atencin en esta unidad. Tr mi nos de l a sucesi n.Nos planteamos ahora el problema recproco, esto es, conocido el trmino general, vamos a obtener trminos de la sucesin: Dadas las siguientes sucesiones, obtener, en cada caso, los trminos que seindicanycomprobarlosresultadosobtenidosconlassolucionesque figuran al final del tema. a)an= 2n 1 a1, a4, a10, a43

b)bn = ( 1)nb1, b2, b15, b104 c)cn = 6n 3 c1, c2, c3, c15 d)dn = 2n + 5n d1, d3, d6, d10 e) 3 25 32++=nnene1, e3, e5, e10, Cl asi f i caci n de l as sucesi ones.Lassucesionesestudiadashastaahorapermitenhacerlasiguiente clasificacin: dada la sucesin a1, a2 , a3, a4, an, se dice que es Cr eci ent e si ai < ai + 1, para i = 1, 2, 3, Decr eci ent e siai > ai + 1, para i = 1, 2, 3, Const ant e ai = ai + 1, si para i = 1, 2, 3, Osci l ant esilostrminosdelasucesintienendistintosignodemanera alternativa. Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 15 - Pr ogr esi ones.Enestaseccinvamosaestudiardostiposespecialesdesucesiones conocidascomoprogresionesaritmticasyprogresionesgeomtricas. Ambas aparecen ligadas a diversas situaciones cotidianas y su estudio no debeofrecerexcesivasdificultades.Esimportanteasegurarsedequelos estudiantes han entendido las definiciones porque de ellas se desprenden casi todos los dems conceptos y frmulas. Recurdese que en algunos de los problemas de este tema se hace uso deldespeje de elementos de una frmulaporloquedebercomprobarquelomanejanconhabilidady seguridad. Pr ogr esi ones ar i t mt i cas.Enestassucesiones,trasladefinicin,estudiaremostrescuestionescon las que se pueden abordar los problemas que se planteen. Se trata de las frmulasquedanlaexpresindeltrminogeneralylasumaden trminosdelasucesinyunprocesoconocidocomointerpolacinde trminos entre dos nmeros dados. Ejemplos de progresiones aritmticas: a)5, 9, 13, 17, 21, b)65, 72, 79, 86, 93, c)16, 10, 4, 2, 8, d),...1551,1541,1531,57 e)072, 095, 118, 141, 164, Seobservaquetodoslosejemplospropuestostienenunapropiedad comn, es decir, que se repite en todos los casos del mismo modo: para pasar de un trmino al siguiente se suma o se resta una cantidad que es constante en cada caso. Obtenerla y comprobarlo en las soluciones dadas alfinal.Esposiblequealgunosestudiantesdescubranqueloqueocurre es que la diferencia entre dos consecutivos es siempre la misma en cada caso. Hacer ver la equivalencia de las dos formas.Esta es la propiedad que nos permite dar la definicin: Def i ni ci nUnapr ogr esi nar i t mt i caesunconjuntodenmeros talesque,fijadoelprimero,unocualquieradeellosse obtiene sumando al anterior una cantidad constante llamada diferencia de la progresin. Ladiferencialanotaremosconlaletradque,obviamente, puede ser positiva o negativa. Tr mi nogener al .Laobtencindeltrminogeneralesunprocesode granriquezadidcticaporlagrancantidaddeelementosqueutiliza: deduccin, generalizacin, uso del lgebra, etc. Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 16 - Una vez entendido el concepto, una forma de hacerlo es la siguiente: Sean a1, a2, a3, a4, an-1, an los trminos de una progresin aritmtica de diferencia d. Teniendo en cuenta la definicin, vamos a deducir la frmula del trmino general apoyndolo con un ejemplo numrico: Primer trmino: a1 Diferencia: d Primer trmino: a1=8 Diferencia: d=6 a2=a1+da2=8+6=14 a3=a2+d=a1+d+d=a1+2da3=a2+d=8+6+6=8+2. 6=20 a4=a3+d=a1+2d+d=a1+3da4=a3+d=8+2.6+6=8+3.6=26 an=an-1+d=a1+(n1)dan=8+(n1)6=8+6n6=6n+2 Se tiene, por tanto que:on=o1+ (n - 1)J Obsrvesequeenelejemplonumricosellegaaunaexpresinque dependedenque,comoyaessabido,eslaqueindicaelnmerode ordendelelementodelasucesin.Insistirenestaideasolicitandoalos estudiantesqueobtenganlostrminosgeneralesdelasprogresiones anterioresyquecalculentrminosavanzados.Otroejercicioaproponer es el de despejar todos los elementos que figuran en la frmula: a1, n y d. Suma de l os t r mi nos de una pr ogr esi n ar i t mt i ca. Un buen modo de iniciar este apartado es recurriendo a la ancdota atribuida a Gauss(1777, 1855) que, en una versin simplificada, viene a decir as: Siendo Carlos Federico un alumno de escuela, el maestro les solicit que sumaran los nmeros del 1 al 100. Unos empezaron sumando los primeros, otros por el final, con orden, con cuidado para no equivocarse, etc. Pero nuestro personaje descubre que 1 + 100 = 101 = 2 + 99 = 3 + 98 Por tanto, calcula 101x50 = 5050 y obtiene el resultado final rpidamente. Puede adornarse la historia con ms elementos La ancdota de Gauss nos pone sobre la pista de lo que se necesita para llegar a la frmula. En efecto, la deduccin de la frmula que da la suma de los trminos de una progresin aritmtica se basa en la propiedad que descubriGausspararesolversuproblema:enunaprogresindeeste Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 17 - tipo,lasumadelostrminosequidistantes( = queest nalamisma dist ancia) de los extremos es igual a la suma de stos.Si se toma, por ejemplo, la progresin formada por 33, 28, 23, 18, 13, 8 se tiene: 33+28+23+18+13+8S= 123 8+13+18+23+28+33S= 123 41+41+41+41+41+41S= 246 Vemosquelassumasdelostrminosequidistantesdelosextremos coinciden y, en consecuencia, si se multiplica esa cantidad por el nmero desumandos(quecoincideconelnmerodetrminos),seobtieneel doble del valor de la suma. Basta, por tanto, con dividir por 2 el resultado final.Pasemos a la obtencin de la frmula general: Sean a1, a2, a3, a4, an-1, an los n trminos de una progresin aritmtica. Se tiene que:S =a1 +a2 +a3 +an S = an +an-1 +an-2 +a1 2S =a1+ an +a2+ an-1+an +an-2+an + a1 Teniendoencuentaqueenlafilainferiorhaynsumandosiguales,se deduce que: 2S = (a1 + an) n De donde se tiene la frmula final:S =(o1+ on). n2I nt er pol aci n de t r mi nos.Con las dos frmulas deducidas se tiene toda la teora de las progresiones aritmticasnecesariaspararesolverlosproblemasqueseplanteenen estosniveles.Veamos,porejemplo,cmosepuedeenfocarla interpolacin.Dadosdosnmeroscualesquiera,setratadecolocaren mediodeellosotrosnmerosdemaneratalquetodosformenuna progresin aritmtica. Ejemplo:sedanel12yel18ysedeseainterpolararitmticamente4 trminos.Portanto,alfinalsetendrunaprogresinaritmticade6 trminos cuyos extremos son 12 y 18.Qufaltaparaformarlaprogresin?:ladiferencia.Peroconlosdatos quesetienensepuedecalcularpuesa1=12;a6=18yn=6. Despejando d en la frmula que da el trmino general se tiene:Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 18 - on-o1n - 1= J Aplicndolo al ejemplo:J =18 -126 - 1=6S= 1,2 La progresin que se forma es: 12; 13, 2;14,4;15, 6;16,8;18 Los trminos en cursiva son los interpolados. Podemos decir, en general, lo siguiente: Def i ni ci nI nt er pol ar ntrminosaritmticosentreaybconsisteen formarunaprogresinaritmticaden+2trminoscuyos extremos son a y b. Yahemosvistoquelasolucinpasaporobtenerladiferencia deducindola de la frmula del trmino general. Se deben proponer ejercicios en los que sea necesario utilizar las frmulas deducidas.Secomprobarlanecesidaddetenerhabilidadeneldespeje de incgnitas de una frmula. Ej er ci ci os 1. Determinar las condiciones que deben darse en una progresin aritmtica para que sea creciente, decreciente o constante.2. Si calcula la suma de los nmeros impares de forma acumulativa, esto es: 1,1+3,1+3+5,1+3+5+7,obtieneunresultadoquelesorprender. Tratederelacionareseresultadoconlaconstruccindecuadradoscon puntos en la forma siguiente: .. . ... . . ... ... 3. Unrelojdalascampanadasmarcandolashoras.Setratadeuna progresinaritmtica.Calcularcuntascampanadasdaeserelojalcabo del da. 4. Calcularlasumadetodoslosmltiplosde7comprendidosentre100y 1000. 5. Calcular la suma de los 20 primeros mltiplos de 7. Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 19 - Pr ogr esi ones geomt r i cas.HISTORIA DEL AJEDREZ.Es una buena forma de iniciar este apartado. Se trata de una historia de la que existen muchas versiones y que cada uno le puede aadir los elementos accesorios que desee. En esencia lo que interesa es lo siguiente:El joven ensea al rey (o al maharaj si se decide ambientarla en la India) a jugar al ajedrez y ste, agradecido decide obsequiarle con lo que pida. El joven le pide un grano de trigo (o de arroz) en cuadrado de la esquina del tablero; 2 en el de al lado, 4 en el siguiente y va duplicando el nmero de granos cada vez que avanza un cuadrado y as hasta llegar al ltimo cuadrado que es el que hace el nmero 64.La leyenda da cuenta de lo casi imposible que le resulta al rey cumplir su promesa. Con una calculadora se pueden ir calculando el sucesivo nmero de granos que, posteriormente habrs que sumar. Si se quiere ampliar el ejercicio aunque se desve de la introduccin de las progresiones geomtricas, se puede comprobar que un gramo de arroz tiene unos 40 granos. Fijando esa cantidad, se puede intentar calcular, de momento, cuantos barcos de 200 000 toneladas (as son esos enormes barcos que trasportan el petrleo) se necesitan para transportar el arroz que habra que depositar solo en el ltimo cuadrado. Para la introduccin contamos tambin concierto paralelismo que existe conlasprogresionesaritmticasysinmsprembulospasamosala definicin. Ej empl os de pr ogr esi ones geomt r i cas:a)3, 6, 12, 24, b)05, 25, 125, 625, c)3, 15, 075, 0375, d)1, 2 ,4, 8, 16, Seobservaquetodoslosejemplospropuestostienenunapropiedad comn, es decir, que se repite en todos los casos del mismo modo: para pasar de un trmino al siguiente se multiplica o se divide por una cantidad que es constante en cada caso. Obtenerla y comprobarlo en las soluciones dadasalfinal.Esposiblequealgunosestudiantesdescubranqueloque ocurreesqueelcocienteentredostrminosconsecutivosessiempreel mismo. Hacer ver la equivalencia de las dos formas.Esta es la propiedad que nos permite dar la definicin: Def i ni ci nUnapr ogr esi ngeomt r i caesunconjuntodenmeros tales que fijado el primero, uno cualquiera de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad constante llamada r azn de la progresin. Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 20 - Laraznlanotaremosconlaletrarparalaquevamosaimponerla restriccinr>0,(luegoveremosporqusehaceaunqueelejemplod anterior nos pone sobre la pista).Tr mi no gener al . Sean a1, a2, a3, a4, an-1, an los trminos de una progresin geomtrica de razn r.Teniendo en cuenta la definicin, vamos a deducir la frmula del trmino general apoyndolo con un ejemplo numrico: Primer trmino: a1 Razn = r Primer trmino: a1 = 3 Razn = 2 a2 = a1. ra2 = 3.2 = 6 a3 = a2. r = a1. r. r = a1. r2a3 = a2. r = 3.2.2 = 3.22 = 12 a4 = a3. r = a1. r2. r = a1. r3 a4 = a3. r = 3.22.2 = 3.23 = 24 an = an-1 . r = a1. rn-1 an = 3. 2n-1 Se tiene, por tanto que:on=o1. rn-1 Obsrvesequeenelejemplonumricosellegaaunaexpresinque dependedenque,comoyaessabido,eslaqueindicaelnmerode orden del elemento de la sucesin. Insistir en esta idea, solicitando a los estudiantesqueobtenganlostrminosgeneralesdelasprogresiones anteriores. Otro ejercicio a proponer es el de despejar todos los elementos quefiguran:a1,nyr.Laneslaquepuedeteneralgunadificultadal despejarla. Pr oduct o de l os t r mi nos de una pr ogr esi n geomt r i ca. Enlasprogresionesgeomtricas,elproductodelostrminos equidistantesdelosextremosesigualalproductodestos,esdecir,es constante. Lo comprobaremos, por ejemplo, en la progresin del ajedrez que, como vemos es la sucesin de las potencias de 2: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 1281.128 = 2.64 = 4.32 = 8.16 En consecuencia, podemos obtener una frmula que nos d el producto de lostrminosdeunaprogresinaritmticasiguiendounadeduccin parecida a como deducimos la suma en las progresiones aritmticas: Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 21 - P =a1 .a2 .a3 .an P = an .an-1 .an-2 .a1 P2 =a1. an .a2. an-1.an .an-2.an. a1 Teniendoencuentaqueenlafilainferiorhaynfactoresiguales,se deduce que: P2=(o1. on)n De donde se tiene la frmula final:P = (o1. on)n I nt er pol aci n de t r mi nos.Elconceptodeinterpolacinyafueestudiadoenlasprogresiones aritmticas y aqu se mantiene. Por eso podemos escribir lo siguiente: Def i ni ci nI nt er pol ar ntrminosgeomtricos(tambinselessuele designarcomomediosproporcionales)entreaybconsiste en formar una progresin geomtrica de n+2 trminos cuyos extremos son a y b. Igualqueall,lasolucinpasaporobtenerlarazndeducindoladela frmula del trmino general. Veamos un ejemplo:Interpolar cuatro trminos geomtricos entre 2 y 72. En la frmula que da el trmino general de la progresin geomtrica es en la que debemos despejar la razn de la progresin que deseamos formar: on= o1. rn-1 Sabemos que n = 6; an = a6=72; a1=2 y, por tanto: 5 5 5 1 636 362722 2 72 = = = = =r r r rLa progresin geomtrica es: 2; 2S6S; 2(S6S)2;2(S6S)3; 2(S6S)4;72 Obtenerlosvaloresdecimalesdelostrminosdeesaprogresin aproximndolos hasta las centsimas. Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 22 - Suma de l os t r mi nos de una pr ogr esi n geomt r i ca. Enestasprogresiones,nospodemosplanteartambinelclculodela sumadetodossustrminos,tantosiesunnmerofinitocomo,en algunos casos, si se trata de una progresin de infinitos trminos! Esta es una situacin nueva que conviene tratar con claridad y rigor.Sean a1, a2, a3, a4, an-1, an los n trminos de una progresin geomtrica. Recordemos que, por la propia definicin, se tiene que: a2=a1.r;a3=a2.r;an=an1.rEl siguiente cuadro nos va a conducir a la frmula: En la primera fila se tiene la suma de los trminos. En la segunda se han multiplicadotodosporlaraznr.Posteriormentelasrestamosyesen este paso cuando debe tenerse en cuenta lo recordado: S. r - S = on r -o1= S (r -1) = on r - o1=S = onr -o1r - 1 Sumadel osi nf i ni t ost r mi nosdeunapr ogr esi n geomt r i ca.Pot enci as sucesi v as de un nmer o compr endi do ent r e 0 y1.Enesteapartadovamosaestudiar,conlaayudadelacalculadora,el comportamiento de las potencias sucesivas de un nmero) 1 , 0 ( e a . Tomarlacalculadora.Rellenarelsiguientecuadroenelque,comose puedeobservar,sehantomadotresvaloresdelintervaloindicado:03; 05;085ysepidenalgunaspotenciasdeellos.Escribirsololasdos primeras cifras decimales de los resultados que nos de la calculadora pero, lomsimportante,esobservarcmolascantidadesobtenidassoncada vezmspequeas.Enlaltimacolumnasetratadeencontrarculesla primerapotenciaconlaquelacalculadoramuestraelvalorceroenla pantalla.Elvalordenqueseindicaenestacolumnaesorientativoenel sentido de estar prximo al buscado. ana2a4a100a150a170n=189a=03 009 0paran=? S= a1+ a2+ a3+ anS.r= a1.r=a2+ a2.r=a3+ a3.r=a4+ an.rCentro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 23 - an a2a4a100a250a300n=325a=05 006 0paran=?an a2a4a100a700a1350n=1401a=085 874.108 0paran=? Elcuadroanteriornosponesobrelapistadeloquesevaahacera continuacin.Comoseindicya,seobservaque,conformeaumentael valordelexponente,lapotenciavadisminuyendodetalmaneraque, aunquesabemosqueel v al or del apot enci anuncaser i gual a cer o,lacalculadoranosindicaquellegaasertanpequeoquelo identifica con el cero. Puesbien,estasituacinseexpresaenmatemticasdeunaforma peculiaralaquevamosallegarconunospasospreviosquevamosa exponer yque deben entenderse: 1.- Si) 1 , 0 ( e a , entonces se verifica que an se aproxima a cero cuando la n crece indefinidamente.2.-Esasexpresionesentrecomillas:seaproximaaceroyncrece indefinidamentetambintienenunaformadeexpresarseen matemticas: Si) 1 , 0 ( e a , entonces se verifica que an t i endeacer o cuando la nt i ende a i nf i ni t o.3.-Todalafraseanterior,enfin,sesimplificaconlasiguienteexpresin cuyo significado debe quedar claro: limn-on= u As, por ejemplo, podemos escribir: limn-u,Sn= u limn-u,Sn= ulimn-u,8Sn= u Obviamente,elresultadosemantienesiescribimoslasformas fraccionarias de esos nmeros decimales, es decir: limn-_S1u]n= u limn-_12]n= ulimn-_172u]n= u Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 24 - Pasemosahoraadesarrollarelttulodeesteapartado:sumadelos infinitos trminos de una progresin geomtrica. Tal y como est en el enunciado pudiera pensarse que una suma de esas caractersticas, necesariamente, debe ser infinita tambin. Veamos que si se impone cierta restriccin, esa suma no es i nf i ni t a! Sabemosyaquelasumadelostrminosdeunaprogresingeomtrica a1,a2,, an cuya razn es r viene dada por la frmula: S = onr -o1r - 1Pero sabemos que el trmino general an se puede expresar as: an=a1 rn-1 por lo que podemos sustituir en la frmula de la suma y queda:S = o1rn-1 r - o1r -1= o1rn- o1r -1=o1(rn-1)r - 1Es decir:S =o1(rn-1)r - 1Pues bien, vamos a considerar una progresin como la siguiente: ,...21...,81,41,21, 1n Se trata de una progresin geomtrica cuya razn es 21= r y con infinitos trminosporqueloindicanlospuntossuspensivoscolocadostrasel ltimo. Nos planteamos calcular la suma de todos ellos, esto es, calcular...21...8141211 + + + + + + =nSSegn la ltima frmula, la suma es igual a:S =o1(rn-1)r -1=S =1 _[12n-1]12-1 Perosabemosque,sielnmerodesumandosesinfinito,esdecir,sin tiendeainfinito,entonces,(1/2)ntiendeacero.Aplicndoloaesa expresin quedar que: S = limn-1 _[12n- 1]12- 1=-1-12=21= 2 Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 25 - Concluimos,pues,conqueesasumadeinfinitossumandostienepor lmite 2, es decir, que se acerca a 2 todo lo que se quiera pero no pasa de esa cantidad. No es infinita! Si nos fijamos en el proceso seguido, esta situacin se produce si empr e que l a r azn de l a pr ogr esi n, r , sea un nmer o compr endi do ent r e 0 y1.Por tanto, si admitimos esta restriccin, entonces al tomar lmite en la frmula que da la suma de los trminos de la progresin geomtrica se tiene el siguiente resultado: limn-S = limn-o1(rn- 1)r -1= -o1r - 1=o11 -r Endefinitiva,l asumadel osi nf i ni t ost r mi nosdeunapr ogr esi n geomt r i ca de r azn) 1 , 0 ( e rse calcula con la frmula: S =o11 -r I nv est i gaci n Qu ocurre si la razn, r, pertenece al intervalo ( 1, 0)? Sepuedecalcularlasumadelosinfinitostrminosdeunaprogresin geomtrica cuya razn est en esas condiciones? Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 26 - Apl i caci ones.La calculadora debe ser un instrumento habitual de trabajo. Sabemos que existe una gran variedad de marcas y de modelos dentro de cada marca. Porestoesimportanteadvertiralalumnadoqueconserveellibro/folleto deinstrucciones.Cadacualdebesaberquprocesodebeseguirconsu calculadora para hacer cualquier operacin.Recor dar el cl cul odepor cent aj esy l aspr opi edadesdel os l ogar i t mos. Esconvenienterecordarelprocesodeclculodeunporcentajepues van a ser utilizados con profusin en este apartado: Sideseamoscalcularel18%de2400,sepuedeprocederutilizandola regla de tres siguiente: 100 18 2400 x Con lo cual se tiene: x =24uu .181uu= 4S2 En esa expresin reparemos en el cociente 181uu= u,18 Se trata del t ant oporuno en el siguiente sentido: si 18% significa que decada100tomamos18,aldividirpor100estaremosaplicadoel criterio a cada unidad, es decir, que de cada unidad tomamos 018. Conesterazonamiento,paracalcularunporcentajedeunacantidad, bastar con multiplicar esa cantidad por el tanto por uno, es decir, por aquelloquenosquedamosdecadaunidad.As,porejemplo,sinos piden: calcular el 8% de 4300, bastar con hacer la multiplicacin: 4300 x 008 = 344 En cuanto a los logaritmos, recordar cmo se aplican las propiedades en expresiones como: ) log( log 2 log 3) log( log log log22 2 322 322 3D C B AD C B AD CB AED CB AE+ + == + =+= += Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 27 - I nt er s si mpl e.Recordemosestaformadecapitalizacin.Veamosprimerounejemplo numrico para pasar a la frmula general. Partimos de un capital inicial de, por ejemplo, C = 5000 $. Se deposita en un banco a un inters simple de r = 8% anual (tambin se le llama rdito). Esto quiere decir que, al final del primer ao, se tienen los 5000 inicialesmslosquehanproducidoenesetiempoquesonel8%de 5000, esto es: Suuu . 8 1uu= 4uu$ Por lo tanto, si retiramos el dinero al final del primer ao nos entregarn 5400$. Silomantenemosuntiempot=2aos,entoncesrecibiremosde intereses: Suuu .8 .21uu= 8uu$ Si lo mantenemos t aos sern: Suuu .8 . t1uu Si el inters al que se deposita es del r % anual, nos darn: Suuu . r . t1uu Finalmente, si el capital depositado es de C dlares, entonces se tiene la conocida frmula: Intcrcscs =C . r . t1uu (Nota: En la escuela nos daban como regla nemotcnica lo de int ereses igual a carret e part ido por cien) Sieltiempovienedadoenmesesoendas,entonceslasfrmulasse transforman, respectivamente, en: C. r . t12uu

C . r . tS6uuu Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 28 - I nt er s compuest o.Empezamos tambin con un ejemplo para posteriormente ir generalizando hastallegaralafrmulafinal.Esimportanteentenderlossucesivos pasos: En el inters compuesto, los intereses que se producen al cabo del tiempo estipulado no se retiran sino que se suman a la cantidad depositada y ese eselcapitalinicialdelsiguienteao.Elprocesosereiteratalycomo indica el siguiente esquema que vamos a concretar para un capital inicial deC=5000$yuninters(ordito)del8%anual.Lasoperacionesse dejarnindicadasparapoderpasarmejoralageneralizacin.Obsrvese que,alfinaldecadaao,setieneelcapitalinicialdeeseaomsel inters que ha producido: TiempoCapital inicial Capital final Primer ao 5000 )10081 ( 500010085000 5000 + = +Segundo ao )10081 ( 5000 +2)10081 ( 5000)10081 )(10081 ( 50001008)10081 ( 5000 )10081 ( 5000+ == + + = + + + Tercer ao 2)10081 ( 5000 +32 2)10081 ( 50001008)10081 ( 5000 )10081 ( 5000+ == + + + Elresultadodelcapitalfinaldelterceraonossitasobrelapistadela frmulageneral.Vemosquesetratadeunaprogresingeomtricacuya razn es:_1 +81uu] Enconsecuencia:sielcapitaldepositadoinicialmenteesCi,elinterslo representamos por r y el tiempo, en aos, es t, entonces se llega a que el capital final Cf es: C]= C[1 +r1uutCentro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 29 - Aparece,por tanto, unafrmula de tipo exponencial. Conviene trabajarla especialmente despejando todos los elementos.Veamos ej empl os: 1. Si se depositan 5000 dlares al 6% anual, Cunto tiempo ha de pasar para que se transformen en 5800 dlares? Conocemostodosloselementosdelafrmulaexceptoeltiempotque debemos despejar. Obsrvese en el proceso que tomaremos logaritmos para llegaralresultadofinalque,porcierto,lacalculadoralodarenforma decimal y debemos ensear a pasarlo a aos, meses, das. S8uu = Suuu_1 +61uu]t= Suuu(1,u6)tS8uuSuuu= (1,u6)t= 1,16 = (1,u6)tTomandologaritmoslog 1,16 = log (1,u6)t= t log 1,u6;t =log 1,16log 1,u6= 2,S47 oos = 2 oos 6 mcscs2. Se depositaron 8300$ en una entidad bancaria y nos devolvieron 10 225$ al cabo de tres aos. Cul fue el inters compuesto que le aplicaron? En este caso hemos de despejar el rdito r. % 2 ' 7 072 ' 0 100 072 ' 0 1 072 ' 1100072 ' 1 232 ' 11001 )1001 ( 232 ' 1830010225)1001 ( 8300 102253 3 3= = = = = = + + = = + =rrr r r Es decir, que la entidad bancaria le aplic un inters compuesto del 72% a los 8300$. Anual i dades de capi t al i zaci n.La situacin es la siguiente: una persona decide depositar cada ao en el banco una cantidad fija dedlares que representamosporC. Elbanco le ofrece un inters compuesto anual del r% y al cabo de t aos, la persona decide retirar su dinero. Cunto le debe entregar el banco? Vamosaseguirelprocesopasoapaso.Parasimplificarlaescritura, notaremos por i el cociente 100r. As que se depositan C dlares cada ao con lo cual: Capitalalfinaldelao1:) 1 ( i C Ci C + = + .AhoradepositaCdlaresde nuevo. El capital al final del ao 2: 2) 1 ( ) 1 ( ) 1 ))( 1 ( ( i C i C i i C C + + + = + + +Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 30 - Capital al final del ao 3:3 2 2) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( ) 1 ( ) 1 ( ( i C i C i C i i C i C C + + + + + = + + + + +Capital al final del ao t: ti C i C i C i C ) 1 ( ... ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (3 2+ + + + + + + +Se observa, por tanto, que el capital que le es entregado a la persona est formadoporlasumadelostrminosdeunaprogresingeomtricade primertrminoC(1+i)yrazn1+i.Aplicandolafrmuladelasumade los trminos de una progresin geomtrica( )111=rr aSn se tiene:Capital acumulauo =C(1 + i)t(1 +i) -C(1 +i)1 + i - 1=C|(1 + i)t+1- (1 +i)]i Ej empl o Sisedepositancadaao3500dlaresal5%durante6aos,qucapitalse obtiene? Esunaaplicacindirectadelafrmulafinalaunquepuedeseruninteresante ejercicio calcular las capitalizaciones ao a ao y sumarlas para comprobar que se obtiene el mismo resultado. Capital acumulauo =C|(1 + i)t+1-(1 + i)]i= SSuu|(1 +u,u6)7- (1 +u,u6)]u,u6= 2S878,4S $ Cr eci mi ent o de una pobl aci n.Una situacin parecida a la anterior se produce con el crecimiento de una poblacin.SupongamosqueunapoblacinPdeanimalesdeun determinado paraje crece al ritmo del 2% anual de manera continua. Pues bien, al final del primer ao, la poblacin estar formada por los iniciales P ms el crecimiento que, en este caso, es: P +P21uu= P _1 +21uu] Pues bien, haciendo un razonamiento similar, se llega a que si la poblacin inicial es Pila frmula que da la poblacin final P]esto es, el crecimiento de la poblacin en t aos es: P]= P[1 +r1uut Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 31 - Sol uci ones a l os ej er ci ci os pl ant eados en l a l ecci n Rebot es Tesel ando con hex gonos.Secompruebaqueparapasardeunaestructuraalasiguientebasta con aadir 5 baldosas blancas. La pauta es clara: 1 baldosa roja: 6 baldosas blancas. 2 baldosas rojas: 6 + 5 blancas 3 rojas: 6 + 2.5 blancas 4 rojas: 6 + 3.5 blancas Por tanto, para 30 rojas se necesitan 6 + 29.5 = 151 blancas. Sucesi ones numr i cas.Tr mi no gener al .b) an=4;c)an=7+4(n1)d)an=n2e)an=2n1 Tr mi nos de l a sucesi n.a)an=2n1a1=1,a4=7,a10=19,a43=85b)bn=(1)nb1=1,b2=1,b15=1,b104=1c)cn=6n3c1=3,c2=9,c3=15,c15=87d)dn=2n+5nd1=7,d3=23,d6=94,d10=1074e) 3 25 32++=nnene1=58,e3=932,e5=1380,e10=23305 Pr ogr esi ones ar i t mt i cas.a)5,9,13,17,21,d=4Bote 1Bote 2Bote 3Bote 4 a16 128 1.024 08192b1 05 025 0125c08 032 0128 00512Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 32 - b)65,72,79,86,93,d=7c)16,10,4,2,8,d=6d) 32,...1551,1541,1531,57= d e)072,095,118,141,164,d=023 Pr ogr esi ones geomt r i cas.a)3,6,12,24,r=2b)05,25,125,625,r=5c)3,15,075,0375,r=d)1,2,4,8,16,r=2 Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 33 - Lecci n2. - Sucesi ones. Lmi t ede una sucesi n Contenido de este documento: Introduccin Tipos de sucesiones. Limite de una sucesin I nt r oducci n Esconvenientetenerclaraladiferenciaentrelostrminosdela sucesin y el conjunto de valores que stos pueden tomar. Veamos un ejemplo: ) 3 ) 1 (( + =nna Se tiene: a1 = 2; a2 = 4; a3 = 2; a4 = 4,Es decir, la sucesin es: 2, 4, 2, 4, 2, y el conjunto de valores que toman los trminos es {2, 4}. Ti pos de sucesi ones.Enestaseccinvamosapresentardiferentestiposdesucesionesque responden a propiedades que verifican sus trminos. Enlaleccinanteriorsedefinielconceptodesucesincomouna aplicacin f del conjunto N de los nmeros naturales en el conjunto R de los nmeros reales que expresamos as: f: N R n f(n) = an Utilizaremoslasiguientenotacinparaescribirunasucesindeforma general:siendoa1,a2,a3,,an,sustrminos,laescribiremoscomo (an), es decir: (an) = a1, a2, a3,, an, Tambinsueledefinirselasucesindandoeltrminogeneral.As,por ejemplo: 5 21 3+=nnan es una sucesin cuyos trminos se obtienen dando a n los valores 1, 2, 3, Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 34 - Sucesi n const ant e. Es aquella en la que todos los trminos toman el mismo valor, es decir: N n k ane = ,Ejemplo:N n ane = , 3 . Se trata, por tanto de la sucesin: 3, 3, 3, 3, Sucesi n mont ona cr eci ent e ( decr eci ent e) .Es aquella en la que: N n a an ne >+,1 ( N n a an ne s+,1) Si la desigualdad es estricta, esto es, > es montona creciente (o < en la montonadecreciente),entoncessedicequeesest r i ct ament e cr eci ent e(est r i ct ament edecr eci ent e).Tambinsedicequees cr eci ent e (decr eci ent e)Ejemplos: a)1, 1, 2, 2, 3, 3, 4,es una sucesin montona creciente. b)Comprobar que la sucesin 1 +=nnanes creciente. c)Comprobar que la sucesin nan1= es decreciente. Sucesi n osci l ant e.Obsrvense los siguientes ejemplos:a)1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 1,. b)( )nnann11+ =c)bn= scn nn2 Algunaescreciente?,ydecreciente?Enefecto,norespondenaesos modelos. Se dice que son oscilantes. Sucesi n acot ada super i or ment e ( i nf er i or ment e) .Consideremos la sucesin on=2n +1n + 1 Comprobar con la calculadora que se trata de una sucesin creciente.Veamosahoraqueescrecientedemanerageneral.Paraellohemosde aplicarladefinicinycomprobarqueN n a an ne >+,1,esdecirquecomo 23 21++=+nnan y 11 2++=nnan entonces ha de verificarse que: 23 2++nn 11 2++nn1 2 ) 2 )( 1 2 ( ) 1 )( 3 2 ( > + + > + + n n n n nCentro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 35 - expresines correcta para todo valor de n = 1, 2, 3, Ahorabien,aunquelasucesinescreciente, sinembargosucrecimiento no es indefinido, vamos a probar que todos sus trminos son menores que 2. En efecto: 2 1 2 2 1 2 ) 1 ( 2 1 2 211 2s + s + + s + s++n n n nnn Vemosque,hemosobtenidounaexpresinqueescorrectayqueno depende de n.Enconclusin:lasucesin 11 2++=nnanescrecienteperoestacot ada super i or ment e. Def i ni ci nDecimosquelasucesin( )na estacot adasuper i or ment e si podemos encontrar un nmero real tal que sea mayor que todos los trminos de la sucesin.Escrito en trminos formales: ( )naest acot ada super i or ment e siR Me - / N n M ane s ,Act i v i dada)Dada la sucesin: 1 322+=nnbn

Comprobarconlacalculadoraqueesunasucesindecrecientey probarlodeformagenrica.Acontinuacincomprobarquetodossus trminos son mayores que 0.Finalmente escribir de manera formal la definicin de sucesin acotada inferiormente.b)Cmo se expresa formalmente que una sucesin est acotada superior e inferiormente? Li mi t e de una sucesi n. Trataremosacontinuacinunodelosconceptoscentralesdelateorade sucesiones: nos referimos al concepto de lmite. Al estudiar las progresiones geomtricassehizounacercamientoaesteconceptoconlasumadelos infinitostrminosdeunaprogresindeesetipoquetengalaraznenel intervalo ( 1, 1).En este apartado lo trataremos con ms rigor y daremos la definicin formal de lmite. Como sta es una gua para el profesor, cada uno deber adaptar loque aquse expone alnivel de susestudiantesyhastadondese quiera llegar. Debemos tener en cuenta que, por una parte, se tiene el concepto de lmite y, de otro, el clculo de lmites. Ambos son importantes. No hay que perder de vista que es un concepto que requiere, para el que lo aborda por primera vez, un esfuerzo mental importante dado su grado de abstraccin. Poresocreemosqueelprofesordebeutilizarcuantosrecursosdidcticos Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 36 - estnasualcanceparaqueelalumnollegueacaptarlaesenciadel concepto. De nuevo la calculadora juega un importante papel.El concepto lo vamos a abordar en dos etapas: a)Laintuitiva.Enestafase,medianteejemplosbienescogidos,se puedellegarareconocerlatendenciadeunasucesinyhacer conjeturas sobre la existencia o no de lmite e incluso sobre su valor, apoyndoseenlacalculadoraoelordenador.Larepresentacin grfica es tambin un valioso instrumento intuitivo. b)La formal. A continuacin, se procede a formalizar lo que se ha intuido anteriormente. La mayor o menor profundizacin, depender del nivel del alumnado. Incluso, la primera etapa puede ser eliminada si stos tienen un nivel suficiente. Et apa i nt ui t i va Acontinuacinsevaaexponercmoabordarelconcepto,mediantela utilizacin de varios ejemplos de sucesiones. La representacin grfica y el uso de la calculadora son dos instrumentos tiles para esta primera etapa. Ej empl os 1.Sea la sucesin cuyo trmino general es: an = 2. d)Se trata de una sucesin constante, es decir:o1= 2; o2= 2; o3= 2; y su representacin cartesiana es la figura 1: Fig. 1 Delasimpleobservacindelarepresentacingrficasededucequelos trminos de esta sucesin permanecen iguales a 2 cualquiera que sea el valor que demos a n. Esa situacin la podramos describir tambin as: el lmit e de los t rminos de la sucesin, cuando su ordinal n aument a indefinidament e, es igual a 2. Esa expresin la simbolizaremos de la siguiente forma: limn- on= 2 Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 37 -

( nsignifica que lanse hace crecer indefinidamente. La leeremos as: el lmit e de on , para n t endiendo a infinit o, es igual a 2). 2.Consideramoslasucesincuyotrminogenerales:an=1/n.Algunosdesus trminosson:a1 =1;a2=05;a3=033;a4=025;a25=004.La representacin cartesiana es: En esta sucesin los trminos no toman siempre el mismo valor como ocurra en el caso anterior. La observacin de la grfica y los valores que se van obteniendo con lacalculadoranospermitenconjeturarquelostrminostomanvalorescadavez "ms pequeos" (ms prximos a cero), conforme aumenta el valor de n.Como consecuencia de lo anterior, podemos hacer la siguiente conjetura: La sucesin an=1/n tiene por lmite el valor 0. Dichoenotraspalabras:lostrminosdelasucesinan=1/ntiendenacero cuando lan crece indefinidamente. Estafrase la resumimos, igual que antes, con esta expresin limn- on= u Que leemos as: el lmit e deon, para n t endiendo a infinit o, es igual a 0. Debe quedar claro que, de momento, se trata slo de una conjetura que veremos cmodemostrarsiesonocierta.Podramos,noobstante,iradelantandoel procedimiento con preguntas como las siguientes: Cul es el trmino que ocupa el lugar n=108? Existe algn trmino que sea menor que el anterior? Sealauno.Hay muchos ms? Cuntos? Existe algn trmino que sea exactamente igual a cero? Cul? Fig. 2 3.Sealasucesin n5 + 2n=an.Conlaayudadelacalculadoraobtenemos trminos: a1=7;a2=4'5;a3=366;a4=325 Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 38 - Representandogrficamentelostrminosobtenidos,observamosqueesuna sucesin decreciente, esto es, sus valores van disminuyendo al ir aumentando el nmero de orden n. Se puede conjeturar ya cul es el lmite de la sucesin - si es que lo tiene - con soloesoscuatrotrminosrepresentados?Sinosetieneunpocodeprcticaen estos procesos, no resultar fcil, en este caso, hacer una conjetura fiable con solo esos valores. Conlaayudadelacalculadoravamosaobtenerelvalordetrminosms avanzados, por ejemplo: a200=2025;a500=201;a3000=2001666;a10000=20005Podemos ya hacer alguna conjetura fiable? Eltrabajoconlacalculadoranospermiteafirmarqueningntrminodela sucesin va a tomar el valor 2. Por qu? Pero tambin nos ha permitido observar que al ir aumentando el lugar que ocupa el trmino, esto es, al aumentar n, los trminos son cada vez ms prximos a 2. En definitiva, podemos apreciar la tendencia y escribir: limn- on= 2 Fig. 3 4.La ya mencionada leyenda de lo que pidi el inventor del ajedrez al maharaj indioalqueseloexplic,esunbuenejemploparaintroducirlatendencia hacia infinito. Esto es lo que pidi: un grano de trigo en el primer cuadrado del tablero,dosenelsegundo,treseneltercero,ysecontinuasiempre duplicandoelnmerodegranosquesehapuestoenlacasillaanterior.El nmero de granos que va en cada casilla es: 2,.......,2,2,21,2,64 4 3 2. La calculadora nos acerca a la magnitud de las cifras que se estn barajando. As,porejemplo,elordendelnmerodegranosdetrigoquehabraque depositar en la ltima casilla del tablero, es decir 264= 1,8446744u6 x 1u19 Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 39 - Perolasucesinpuedecontinuardemaneraindefinidayentoncescabe preguntarse: Qu ocurre con la sucesin an= 2n cuando la n crece? Cul es sutendencia?Esfcilcomprenderque,alaumentarelnmerodeordendel trmino, esto es, n, su valor aumenta sin lmite alguno. Diremosentoncesquelostrminosdeestasucesincrecenindefinidamente cuando n crece tambin indefinidamente. Esta conjetura la expresamos as: limn- on= limn-2n= Podemosacercarnosalaformalizacindelatendenciaainfinitodelos trminos de la sucesin con preguntas tales como: Cuntovaleeltrminoqueocupaellugar200,conlaayudadela calculadora? Existe algn trmino de la sucesin que sea mayor que l? Seala uno. Hay ms? Cuntos? Y si se fijara la enorme cantidad de 4'3. 10900Habr algn trmino de la sucesin que sea mayor que ese nmero?Hay muchos ms? Larepresentacingrficaesun instrumento didctico que nos permite apreciarelcrecimientoylano acotacindelostrminosdela sucesin. Si se fija una "barrera" en el valork,Existentrminosquela superan? Cuntos? Y si la k se sita ms alejada del origen? Fig. 4 5.Dada la sucesin) (-1 =a1 + nn sus primeros trminos son: 1;-1; 1;-1;.... La representacin grfica nos sita ante una nueva situacin: Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 40 - Se trata de una sucesin oscilante. Si admitimos como principio que las sucesiones tengan un lmite nico, es evidente que esta sucesin carece de lmite. Fig. 5 I nvest i gaci n sobr e sucesi ones osci l ant es. Todas las sucesiones oscilantes carecen de lmite? Ej er ci ci o 1 Tratardehacerunaconjeturasobrelatendenciadecadaunadelassiguientes sucesiones utilizando la calculadora u otros mtodos intuitivos: 2n.senn1= j2n sen =i

n1 + 2n. ) (-1 =h

n1+101= gn) (-1+ 1 = f n1 + n=e

nn3=d)34( =c n1+ 5 =b

3. ) (-1 =ann1 + nn8nnnn22nnn nnnntt2 + Conloscasosdetendenciadelassucesionesestudiadashastaahora, podemos hacer una clasificacin en los siguientes tipos: Def i ni ci nSellamasucesi nconv er gent eaaquellaquetienelmite finito, es decir: (an) es una sucesin convergente si9 e k con , k =anxlim Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 41 - Ms adelante demostraremos que ese lmite, de existir, es nico. Def i ni ci nLassucesionesquecarecendelmiteoaquellascuyolmite es infinito se llamarn sucesi ones di v er gent es. Algunosautoresllamandivergentesalasquetienenlmiteinfinito.Las oscilantes,portanto,nosonniconvergentesnidivergentes.Esuna cuestin de nombres. Lo importante es comprender lo que sucede. Et apa f or malElanlisis delo realizadoenlaetapaintuitivanosllevaa laconclusinde que es necesario precisar el lenguaje y las ideas utilizadas. Frases como "n muygrande"o"trminoscadavezmsprximos"necesitanserdefinidos de forma precisa y sin ambigedades o subjetivismos porque lo que a uno puedeparecerlemuygrande,paraotropuedenoserlotanto...Enesta etapa,se va a llegar a la definicin formal de lmite. Sabemos que necesita deunaltogradodeabstraccinyporesto,cadaprofesor,enfuncindel nivel de sus estudiantes, deber decidir si llega a plantear esta etapa o se queda solo con la intuitiva. En cualquier caso, insistimos en que esta es una gua para el profesor y, por esta razn, lo incluimos. Fijemoslaatencinenlasucesin n1+101= g8npropuestaenelejercicio anterior.Esunbuenejemploparaconvencernosdelanecesidaddela precisinenellenguaje.Intuitivamente,sehabrcomprobadoquela "tendencia"delasucesines 10-8.Perosiconsideramosque 10-8esun nmero "prximo a cero", podramos afirmar que el lmite de la sucesin es cero? Aquellos queconsiderenqueunacienmillonsimaesunnmero muypequeoyportanto"prximoa"cero,dirnques.Peroesoes errneo. Conelfindeprocederaunadefinicinformalqueelimineesas imprecisiones, vamos a estudiar con cierto detalle otra sucesin. En las sucesivas representaciones grficas se harn cambios de escala para destacar la idea que se pretende. Sea la sucesin n1. ) (-1 + 2 =ann

Redondendolos, algunos de sus trminos son: a1 = 1;a2 = 25;a3 =16667; a4 =225;a5 = 18; a6 =21667; a20 = 205 a21=1952;a22=2045;a23=19565;a24=20417;a170=20059a171 = 19941; a173 = 19942 Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 42 - La observacin de la grfica nos hace intuir que el lmite de esta sucesin puede ser 2. Fijemosunciertovalorquerepresentaremosporlaletragriegapsilon: 7 0 = '1c yconstruyamoselintervalo) + ,2 - (21 1 c c=(207,2+07)=(13, 27). Enlagrficaaparecelabandaquemarcaesteintervalocentradoenel2. Fuera de ella slo est a1 por qu? Cuntos elementos de la sucesin se sitan dentro de la banda? Vamos a reducir el valor del tamao del entorno centrado en 2. Sea ahora c 2 otro valor ms pequeo, por ejemplo21 0 =2'c. Para este valor:) + ,2 - (2c c 2 2= (2021, 2+021) = (179,221). En la grfica vemos que el trmino a5 es el primero que queda dentro de la banda. Una pregunta fundamental es: Cuntos elementos de la sucesin se quedan dentro de la banda? En efecto, los infinitos que hay despus de a4.En conclusin para este caso: fijadoese valor de c 2, hemos encontrado un primer elemento de la sucesin, el correspondiente a n = 5 que est dentro de la banda) + ,2 - (22 2 c c y a partir de ah, es decir, t odoslost rminosdela sucesincuyolugardeordenseasuperioral5seencuent ransit uados dent ro de la banda. Vamos a representar grficamente los trminoso20,o21 ,o22,o23,o24

haciendo un cambio en la escala del eje vertical. Tomemos un nuevo valor para el radio del entorno, por ejemplo,5 04 0 =3'c.Entonces:) 045 ' 2 , 955 ' 1 ( ) 045 ' 0 2 , 045 ' 0 2 ( = + = ) + ,2 - (23 3 c c Fig. 6 Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 43 - Cul es el primer trmino de la sucesin que se encuentra situado dentro de la banda) + ,2 - (23 3 c c que se ha dibujado?El a22 = 2045 est fuera porque se trata de un intervalo abierto pero el a23 sestenlabandasealada.Cuntostrminosdelasucesinestn dentro de esa banda? En efecto, infinitos. Asque,fijadoelvalor c 3noshemosencontradoqueexist eunprimer t rminodelasucesinqueest enelent orno) + ,2 - (23 3 c cy,apart irdel, est n dent ro del ent orno t odos los dems t rminos de la sucesin. Obsrvese que decir que los trminos estn dentro del entorno) + ,2 - (23 3 c ceslomismoquedecirqueladistanciadeltrminoal2esmenorqueel psilon fijado. Si fijamos para el radio del entorno el valor006 0 =4'c , entonces compruebe quees a171 el primer trmino que est a una distancia de 2 menor que c 4 o lo que es igual: es el primer trmino de la sucesin que est en el entorno.4 4) + ,2 - (2c cYdenuevolomsimportante:apart irdeeset rmino,los infinit ost rminosdelasucesinquelesiguencumplent ambinesa propiedad. Es importante darse cuenta de que cuanto menor sea el valor que se le d a c , ms avanzado ser el primer trmino cuya distancia a 2 sea menor que esec . En otras palabras, secreaunadependenciaent reelvalordelc yel ordinal n0delprimert rminodelasucesinqueverificalapropiedad. As, en el ejemplo estudiado, para c 1,2 =n0, para5 =n,0 2 c , para c 3, n0 = 23 y parac4esn0 = 171. Fig. 7 Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 44 - Enladefinicinrigurosadelmitequeestamosyaencondicionesde enunciar, se hace alusin a esta ltima propiedad observada en la sucesin estudiada;enconcreto,siaesellmit edelasucesin( an) ysefij auna cant idadarbit rariac comoradiodelent ornodea,ent oncespodemos encont rarunprimert rminodelasucesin,eldeordenn0( quecomo sabemosdependedelc fij ado) ,deformaque( ) c c + e a a an,0y,adems, para t odo ordinal n >n0 se verifica que( ) c c + e a a an, .Lenguaj e:Escriba la frase que est en cursiva en el ltimo prrafo pero utilizando la idea de la distancia a a en lugar de la del entorno que ah se utiliza. Recordando que| b - a | = b) d(a, , la definicin de lmite queda en la forma: Def i ni ci nSe dice que a es el l mi t e de l a sucesi n (an) y se escribe limn- on= o si paracualquiernmeroreal0 > c ,existe un nmeronatural n0-quedependedec -talqueparatodon>n0secumple c |< a -a|n . En el lenguaje lgico-formal se expresa as: c c c |< a -a|nn / ) (n, a=n 0+0+n > Ze -9e lim Con ladefinicin dadasesuperan lasambigedadesque detectbamos en lafaseintuitiva.Sinembargo,lautilizacinrigurosadeestadefinicin requiere una cierta experiencia, pues plantea la dificultad de demostrar que para cual qui erval ordec , existe el elemento de orden n0 cuya distancia al lmite es menor quecy no existen reglas fijas para la determinacin de esen0. De todos modos, no ser este el tipo de problemas que se planteen a nivel secundario pues rebasaramos el nivel establecido en los planes de estudio. I nvest i gaci n:l mi t e i nf i ni t o. Tratardeenunciarladefinicindelmiteinfinito,esdecir,dadalasucesin (an), definir, formalmente:limn-on= Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 45 - Sol uci ones a l os ej er ci ci os pl ant eados. I nvest i gaci n sobr e sucesi ones osci l ant es. Todas las sucesiones oscilantes carecen de lmite? Unasucesinoscilantenoescrecientenidecreciente.Peropodemos encontrarsucesionesoscilantesquestenganlmitenico.Por ejemplo:

n1. ) (-1 =ann Ej er ci ci o 1 Tratardehacerunaconjeturasobrelatendenciadecadaunadelassiguientes sucesiones utilizando la calculadora u otros mtodos intuitivos: 2n.senn1= j2n sen =i

n1 + 2n. ) (-1 =h

n1+101= gn) (-1+ 1 = f n1 + n=e

nn3=d)34( =c n1+ 5 =b

3. ) (-1 =ann1 + nn8nnnn22nnn nnnntt2 + Sol uci nan bn cn dn en fn gn hn injn oscilante5infinito311 8101 oscilanteoscilantecero Lenguaj e:Escribalafrasequeestencursivaenelltimoprrafoperoutilizandola idea de la distancia a a en lugar que la del entorno que ah se utiliza. Siaesellmit edelasucesin( an) ysefij aunacant idadarbit rariac como dist anciaaa,ent oncespodemosencont rarunprimert rminodela sucesin, el de orden n0 ( que como sabemos depende delcfij ado) , de forma quec < a) ,ad(n0yadems,paratodoordinal nn0> severificatambinque c < a) ,ad(n . Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 46 - I nvest i gaci n:l mi t e i nf i ni t o. Tratardeenunciarladefinicindelmiteinfinito,esdecir,dadalasucesin (an), definir, formalmente: =nanlim El nmeroano es lmite de la sucesin)a(n si existe un nmero0 > ctal que para cualquier nmero entero positivo n existe otro m>n tal quec > | a -a|m . En el lenguaje formal la definicin quedar as: c c > -Ze - = | a -a| / n > m n 0 > aa m+nn__lim. Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 47 - Lecci n 3. -Elnmer o e.Cl cul o de l i mi t es Contenido de este documento: El nmero e La sucesin nnna |.|

\| + =11Clculo de lmites Apar ece elnmer o e. ElinterscompuestoeraconocidoyutilizadoenlepocadeJacob Bernoulli.lloaplicauncasoparticular:tomunaunidad monetariayleaplicunintersdel100%siguiendoelsiguiente razonamiento:- Con este criterio, si es 1 la unidad monetaria invertida, al final del aosetienenlamonedainicialmslaobtenidaporelintersdel 100%:1 + 1 = 2 - Pero sise paganlos interesescada seis meses, la situacin es la siguiente: Final del primer semestre: 211+ . Final del segundo semestre:211+ + |.|

\| +21121=(sacando factor comn (1+1/2))= Elnmer o e Hay quien lo califica como el nmero ms importante de las matemticas superiores. Y es cierto que, aunque en el nivel secundario se le define y seestudianalgunaspropiedadesyaplicaciones,lapresenciaen matemticas serevelaespecialmente enetapasposteriores enunagran cantidad de temas relacionados con la ciencia y con la tecnologa; temas como:procesosdecrecimiento,estudiodecurvasnotablescomola catenaria,elestudiodelaamortiguacin,etc.Estenmeroesconocido tambin como nmerodeEuler(en honor de Leonhard Euler (1707,1783) que,adems,fueelprimeroqueutilizestaletra para identificaraeste nmeroen1727),aunqueJohnNapieroNeper(1550,1617)loutiliz antes que l cuando introdujo los logaritmos. Pero realmente, el autntico descubridor del nmero fue Jacob Bernoulli (1654, 1705). Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 48 - = |.|

\| + = |.|

\| + |.|

\| +2211211211225. Observamosqueconestaformadeinvertir,seganams. Continuemos el razonamiento: - Ahora se pagan los intereses cada 4 meses. Es decir, que hay tres cobrosenelao,unocadacuatrimestre.Obsrveseelproceso porque despus generalizaremos: Final del primer cuatrimestre:311+Final del segundo cuatrimestre:= |.|

\| + + |.|

\| +31131311 sacando factor comn 2311311311 |.|

\| + = |.|

\| + |.|

\| + Finaldeltercercuatrimestre: 2 231131311 |.|

\| + + |.|

\| + sacandofactor comn 2311 |.|

\| + = 3 2311311311 |.|

\| + = |.|

\| + |.|

\| += 237037 Observamosqueelcapitalfinal,denuevohacrecido.Noshacemos las siguientes preguntas: Elcapitalfinal,seguircreciendosisecobranlosinteresescada trimestre?Ysiescadames?Ycadada?Seruncrecimiento infinito? Conlovisto en loscasos anteriorespodemosobtenerlossiguientes resultados: Cada mes: 121211 |.|

\| + = 261303 Cada da: 36536511 |.|

\| += 271456 Observamos que contina el crecimiento pero, desde luego, no hacia infinito ContinuandoelrazonamientodeBernoulli,tomelacalculadoray averigelacantidadqueseobtienesi,porejemplo,sehacecada mediodaosisedivideelaoen15000espaciosdetiempo igualesCentro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 49 - Sacar conclusiones.Desdeelpuntodevistadelateoradenmeros,setratadeunnmero irracionaldelosllamadost rascendent esloquequieredecirquenose puedeobtenercomosolucindeunaecuacinalgebraicacomopor ejemplo, 7 , 2 etc.stossellamanalgebraicos. Elnmerotienela misma naturaleza que el e. Nmeros trascendentes. En 1873 el matemtico francs Charles Hermite (1822-1901) demostr que el nmero e es trascendente. Unos aos despus, en 1882, fue el alemn Ferdinand von Lindemann quien dio a conocer la prueba de la trascendencia de . La sucesi non= _1 +1n]n Lacalculadoranosvaapermitirobtenerelementosdeestasucesiny poder as observar su comportamiento. Tomar, por tanto,la calculadora. Comprobar los siguientes resultados y completar los valores que faltan: Con los valores de esta tabla podemos deducir algunas consecuencias: a)Se trata de una sucesin creciente. b)Elcrecimientodelasucesinpodramoscalificarlodelentoenel sentidodequelasprimerascifrasdecimalessevanrepitiendo cuando se calculan trminos muy avanzados. c)Podemosrazonablementeconjeturarquelasucesines convergente, es decir, que tiene lmite finito. d)El lmite de la sucesin es el conocido nmero e, esto es: |.|

\| + =nnen11 lim n= 1 50 100 500 1000 1000000 1000000000an= 2 26915 27155 271828182Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 50 - e)Las primeras cifras decimales de e son: e=2,7182818284590452353602874713526624977572 47093 Cl cul o de l mi t es Hay un tipo de lmites cuyo clculo se basa en la expresin del nmero e. Si se observa la expresin del trmino general de la sucesin que conduce al nmero e se comprueba que, para n , la base tiende a 1 mientras queelexponentetiendea;esdecir,queesunaindeterminacindel tipo 1. Puesbien,veremosacontinuacin,cmoresolverunoscasosdeclculo de lmites. Se trata de expresiones que tienen la forma: ( ) nanbnlim conantendiendoa1ybntendiendoainfinito.Esoscasosseresolvern mediante el siguiente procedimiento: ( ) =ne an n na b bn) 1 ( limlim Ej empl os 1.-nn5721 lim |.|

\| + Segn lo indicado en la expresin anterior, calculemos: 710725 lim 1721 5 lim ) 1 ( lim = = |.|

\| + = nnnn a bn n Por tanto,7105721 lim enn= |.|

\| +2.-1 32278 3lim||.|

\|+ + nnn n ( ) ( )971 3) 1 3 ( lim77 8 31 3 lim 178 31 3 lim ) 1 ( lim222 222 = |.|

\|++ ==||.|

\|+ + =||.|

\|+ + = nnnnn n nnnn nn a bn n Por tanto: 91 32278 3lim=||.|

\|+ + enn nn Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI - 51 - Ej er ci ci o Comprobar que al calcular el lmite para n de las expresiones siguientes se obtienen los resultados que se sealan en cada caso: ExpresinResultado nn5511 |.|

\| + e 1133 2211+||.|

\|+nnnn 1 2211nn |.|

\| 1 e 25 32225 73 5++||.|

\|+ + +nnn nn n 6 e nn n|.|

\|+ +21 11 e