Guia5_16
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Mecanica Estadıstica – Ano 2016Guıa N◦ 5: Estadıstica de Bose–Einstein
1. Suponga un gas de N bosones ideales sin espin de masa m contenidos en un volumen V atemperatura T . Para este sistema:
(a) Calcule la condicion de aparicion de condensacion de Bose–Einsten y la temperaturacrıtica Tc.
(b) La fraccion de partıculas en el estado fundamental y la fraccion en los estados excitados.Grafique en funcion de la temperatura.
(c) Demuestre las siguientes expresiones de utilidad para algunos calculos:
∂ ln z
∂T
∣∣∣P= − 5
2T
g5/2(z)
g3/2(z),
∂ ln z
∂T
∣∣∣V= − 3
2T
g3/2(z)
g1/2(z),
donde z es la fugacidad, P la presion y T la temperatura.
(d) Determine la energıa interna, el calor especıfico a volumen constante, la presion P y laentropıa en los casos T < Tc y T > Tc, donde Tc es la temperatura crıtica hallada en (a):
U
N=
32kTVNλ3 g5/2(z) T > Tc
32kTVNλ3 g5/2(1) T ≤ Tc
,
CV
Nk=
154
VNλ3 g5/2(z)− 9
4
g3/2(z)
g1/2(z)T > Tc
154
VNλ3 g5/2(1) T ≤ Tc
,
P (T ) =
NkTV
g5/2(z)
g3/2(z)T > Tc
kTλ3 g5/2(1) T ≤ Tc
,
S
Nk=
52
VNλ3 g5/2(z)− log(z) T > Tc
52
VNλ3 g5/2(1) T ≤ Tc
.
1
Nota: tenga en cuenta la siguiente propiedad de las funciones de Bose gn−1(z) = z ∂∂zgn(z),
donde z es la fugacidad.
(e) Muestre que para este gas se verifica:
CP − CV
Nk=
(CV32Nk
)2g1/2(z)
g3/2(z).
Discuta fısicamente el comportamiento de la cantidad precedente a temperaturas por debajode Tc.
(f) Muestre tambien que
γ =CP
CV
=5
3
g5/2(z)g1/2(z)
[g3/2(z)]2.
¿Cuanto vale γ para T ≫ Tc? ¿Que ocurre en el lımite de T tendiendo a infinito?
(g) Obtenga la ecuacion de Clausius–Clapeyron y muestre que los puntos de la lınea detransicion obedecen la ecuacion
Pv5/3 =2πh2
m
g5/2(1)
[g3/2(1)]5/3
donde v = V/N es el volumen especıfico del gas.
2. Pruebe que un gas ideal de bosones bidimensional no presenta condensacion de Bose–Einstein.
Nota: la condensacion de BE para un gas ideal de bosones libres es posible si y solo si sesatisface la condicion d/s > 1, donde d es la dimension del espacio y la relacion de dispersiones de la forma ϵ = aps.
3. Considere un gas ideal de Bose–Einstein compuesto de moleculas independientes de masam que tienen un grado interno de libertad. Los bosones con impulso p tienen energıasϵp,0 = p2/2m y ϵp,1 = p2/2m+∆ en los estados fundamental y excitado, respectivamente,del grado interno de libertad.
(a) Calcule la temperatura de condensacion para los casos extremos ∆ ≫ kT 0c y ∆ ≪ kT 0
c ,donde T 0
c es la temperatura de condensacion del gas sin considerar el grado de libertadinterno (i.e., ∆ → ∞). La existencia de un grado interno de libertad, ¿aumenta o disminuyela temperatura de condensacion?
(b) En particular muestre que la temperatura crıtica Tc esta relacionada con la temperaturacrıtica T o
c de un gas sin grados de libertad internos por
(T oc
Tc
)3/2
= 1 +1
2.612(e−ϵ1/kBTc + . . .).
cuando kT oc << ∆.
2
(c) En el caso que kT oc >> ∆ muestre que
Tc ≈ T oc
(1
2
)2/31 + 2
3ξ(3/2)
(π∆
kT oc
)1/2 .
Ayuda: Para obtener el resultado, use los dos primeros terminos de la siguiente expresion
gν(e−α) =
Γ(1− ν)
α1−ν+
∞∑i=0
(−1)i
i!ξ(ν − i)αi
donde ξ(s) es la funcion zeta de Riemann continua para todo s = 1.
4. Estudie el fenomeno de condensacion de Bose Einstein de un gas de bosones si la densidadde estados de traslacion es de la forma:
ρ(ϵ, V ) = a V ϵ,
donde a es una constante y V el volumen.
(a) Determine la temperatura crıtica Tc.
(b) Para T < Tc calcule la energıa media por partıcula, y la presion P = P (T ).
(c) Calcule la fraccion de partıculas en la fase gaseosa y la fraccion en la fase condensada.Grafique los resultados obtenidos.
5. Suponga un gas ideal de bosones en el lımite ultrarrelativista. Calcule energıa interna,presion, energıa libre, entropıa, calor especıfico y numero medio de partıculas. Discuta siexiste o no fenomeno de condensacion de Bose-Einstein.
6. Considere un sistema de bosones identicos que no interactuan entre sı. Cada partıcula puedetener dos energıas, 0 y ϵ > 0. El nivel fundamental no esta degenerado, mientras que el nivelexcitado tiene una degeneracion g = αV , donde V es el volumen que ocupa el sistema y α esuna constante con dimensiones de (volumen)−1. El sistema esta en equilibrio a temperaturaT y fugacidad z.
(a) Escriba el logaritmo de la funcion de particion gran canonica del sistema, y a partir de ahıobtenga el numero de partıculas medio, la presion P , y la energıa media U , como funcionesde T, V y z (despreciando las contribuciones que se anulan en el lımite termodinamico).
(b) Obtenga la fugacidad z y la fraccion de partıculas f en el estado fundamental comofunciones de T y v = V/N en el lımite termodinamico. Grafique f a T constante y a vconstante.
(c) Obtenga P y el calor especıfico a volumen constante, Cv, como funciones de T y v.Grafique P a T constante y Cv a v constante.
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