Gustavo Bueno Silogistica

8/13/2019 Gustavo Bueno Silogistica

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GUST AVO B UE NO MARTÍNEZ

UN NUEV EXPOSICIÓNDE L S I L O G Í S T I C

Publicado en la Revista de Filosofía (tomo X, núfli. 39)del instituto Luis Vives'

M A D R I D9 5

http://www.fgbueno.es/


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S U M A R I OI Introducción

II Exposición del método de matricesIII Exposición de la doctrina de las proposiciones li-mitativasIV Crítica del método de matricesV Crítica de É doctrina de las proposiciones limita-tivasVI Valoración de las aportaciones de Httnen

Gustavo Bueno, Una nueva exposición de la silogística, 1951



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Una nueva exposición de la silogística 1)

ILa doctrina del silogismo fué considerada durante dilatadasépocas históricas como construcción definitiva dentro de la cien-cia de la Lógica. Era estimada, además, por casi todos los escri-tores clásicos como su parte suprema, en torno a la cual de-bían organizarse las restantes. La reforma promovida por lalógica «simbólica» alcanzó , desde luego, a la do ctrin a s ilogísti-ca, y la riqueza del algoritmo clásico fué interpretada como pro-lija secuela de un tosco sistema expresivo. Algunos modos fue-ron declarados ilegítimos, sobre todo el Darapti y el Felapton.Otros fueron explicados como sencillas tautologías. De los die-cinueve modos generalmente admit idos, solamente uno quedóIncólvune en mano de ciertos logistas: el Barbara. La arquitec-tura tradicional del sistema de los silogismos, según las «figu-ras» y «modos», quedaba reducida a una inútil y fatigosa logo-m aqu ia • ).Pero, analizadas estas objeciones con imparcialidad suficien-te , quizá no sea difícil verificar este punto de vista: que se-mejantes crí t icas, más que censuras, const i tuyen mera exposi-ción de las diferencias de procedimientos que gobiernan la cons-trucción de diversos sistemas lógicos. Y esta diversidad no es,seguramente, contradictoria, sino que es posible coordinar lostérminos de la oposición en un conjunto más comprensivo. Enparticular, si interpretamos la silogística como un algoritmo,

puede ilustrarse la coordinación por analogía a aquella aritmé-tica en que la teoría de los núm eros na tur ale s es co mp atiblecon la de los números complejos, aunque, sin perderse, muchoselementos de una puedan reducirse a los de la otra.1) Este trabajo constituye un comentario a la fundamental obra deP. HOnen Recherches de logique formelie. La structure du systéme dessv ogismes et de sorites. La logique des no ons «atí moins» et «íoitt au plus».Bomae, apud aedes Universltatis Gregorlanae. 1947. VIII + 384 págs.•) Vid. Pa do a: La logique deductive 1912, pág. 76 y sigs.




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6 6 G U S T A V O B U E N O ¡ M A R T ÍN E ZNo parece evidente, por tan to, que la silogística sea un a d octrina de interés meramente histórico o arqueológico. Para mantener su prestigio, procuran algunos allegar métodos y pruebassacados de la misma lógica simbólica. Otros, piensan que la silogística (y los estratos con ella relacionados) no requiere elauxilio de procedimientos exóticos a los tradicionales, sino quelebe exponerse y defenderse dentro de los métodos clásicos, oportunamente desarrollados. Entre los ensayos más recientes en estesentido, el del Padre HOnen es también, sin duda, el más interesante, pues no se limita a exponer la silogística conforme a laestructura de todos conocida, sino que, amparado en una poderosa facultad discursiva, introduce una nueva organización delos silogismos que no quiere, empero, excluir, sino coexistir con

la arquitectura tradicional. Sin perjuicio del uso abundantede símbolos propios, Honen declara que su otra no es una logística, sino un mero desarrollo del simbolismo ya introducidopor Aristóteles: «De ees pages il resultera clairement que cen est p as se ulem ent la logistique qui decouvre un e richese denouvelles veri tés logiques; le symbolisme classique ne sembleétre pas m oins fertile. Cet ouvrage n e ve ut étre qu un déve-lopi>ement des m éth od es classiques» (pág. vi).La obra de Honen alcanza una complejidad considerable, quela presente nota no puede reproducir adecuadamente. Me propongo sólo dar noticia, con cierta libertad, de las que consideroaportaciones fundamentales de Hónen, discutiéndolas en términos no excesivamente alejados del lenguaje corriente, a finde que sean inteligibles por un lector que desconozca la obracomentada. Por otra parte, las restantes partes de ella son consecuencias sagaz y rigurosamente sacadas de las tesis que aquímencionaré, y no constituyen, por eso, materia idónea de dis

cusión.I I

Dos son, en mi opinión, las innovaciones más importantesque Híjnen ofrece en sus Recherches: el método de matrices yla doctrina de las proposiciones limitativas De la combinaciónde ambas teorías obtiene Honen la nueva organización de la




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tTN A N U E V A E X P O S I C I Ó N D E L A S I L O G Í S T I C A 6 7silogística ya mencionada. Expondré sucesivamente todos estosextremos.

En el sistema tradicional, los silogismos quedaban organizados, como es sabido, en cuatro flguras (o en tres, para los quereducen la cuarta a la primera), derivadas de las posicionesrelativas del término medio. Dentro de cada figura distinguíanse diferentes rnodo^: cu atro en la 1. , cu atr o en la 2.', seis enla 3. y cinco en la 4.*; en total, diecinueve modos legítimos. Mediante la inferencia inmediata, conocida por conversión eraposible pasar de unos modos a otros, y, en especial, reducir losmodos de las tres últimas figuras a determinados modos de laprimera. Quedaban relacionados así los modos de igual inicial:por ejemplo. Ferio Festino Felapton Ferison etc. Exceptuábanse los modos Baroco y Bocardo que sólo admitían una «reducción indirecta», gracias, como es sabido, a un conjunto detres operaciones entre las cuales figura, no ya la conversión,sino la oposición: 1. Con struímos la opu esta contrad ictoria dela conclusión del Baroco o Bocardo a red ucir. 2. Con ella r eem plazam os la m eno r o may or, respectiva me nte, del silogismodado, conservando su m ayor o men or. 3. Obtenem os como con clusión la contradictoria de la menor o mayor sustituida enla operación anterior.

La «reducción indirecta» dete rm inab a, pues, un ag rup a-miento de los tres modos: Barbara Baroco Bocardo per t ene cientes a cada una de las tres primeras flguras; de cualquierade ellos podía pasarse a los demás operando de acuerdo con lasreglas expuestas. Ahora bien: según la enseñanza de H6nen,todo silogismo clásico pertenece a un grupo de tres, del cualél es ya uno de los miembros: pues a cualquier silogismo podemos aplicar las operaciones comúnmente reservadas a la «reducción indirecta», y ellas nos conducirán a silogismos cuyalegitimidad la acredita el mismo método de obtención. Este procedimiento permite descubrir nuevas relaciones entre los silogismos, mucho más regulares y fecundas que las derivadas delas operaciones por conversión. Cada grupo contiene tres silogismos que pertenecen a cada una de las tres primeras flguras.Operando sobre los cuadros tradicionales, l legamos, en ocasio-




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608 GUSTAVO BUENO MA RTÍNE Znes , a fórmulas no representadas en ellos. Para completar e lsistema, recurre Honen a ciertos silogismos subalternos, comoel Barbari, Celaront, etc. , que encierran relaciones indiscutiblemente correctas, obteniendo así , por de pronto, una coordinación de seis grupos ternarios, en la que tienen cabida todoslos silogismos de las tres primeras figuras, junto con los nuevamente admitidos.No nos era, por cierto, desconocida esta generalización delprocedimiento de «reducción indirecta». Su invención, segúnCouturat , remonta a Ramus. Thomasius la transmitió a Leibniz,que la cult ivó ampliamente—Honen se muestra consciente deello—. Para Leibniz, en efecto, «les six modes (Leibniz conocía también los modos subalternos Barl^ari, Celaront) de la1.* figure engendrent, par regression, autant des modes de la 2.et de la 3. . Si l'on p re n d pou r pre m isses la majeure de chacund'eux et la négation de sa conclusión, on trouve par conclusión la négation de sa mineure; on obtient ainsi les six modesde la 2. figure. Si l on pre nd p our p rem isses la mineure et lanégation de la conclusión, on trouve par conclusión la négationde la majeure: on obtie nt ains i les six m odes de la 3. figure» (*).Ahora bien: la obtención de los silogismos de un grupo t ie ne lugar, según lo que precede, a partir de un silogismo dado;

si partimos de Barbara,aXBaBC-^aAC

llegamos a Baroco y Bocardo:o A B - o A C — o B C« A C - o A C - o A B

El fundamento de este proceder puede exponerse así (Honen noutiliza símbolos), siendo p, q, r, proposiciones:

[1 ] p fk q ^ r.La forma Barbara, de que partíamos, puede considerarse recogida en esta expresión, de la que deriva:( • ) Coutura t : La logice de Leibniz d aprés des documents inadltes.Alean, 1901, pág. 13.




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U N A N U E V A E X P O S I C I Ó N D E L A S I L O G Í S T I C A 6 9[2] r (p q) (Ley de contraposición).

[3] (i) 2) = (V^q)-La lógica tradicional ya conocía que la contradictoria deuna conjunción es una al ternativa cuyos términos sean lascontradictorias de las proposiciones conjuntas. Por ello, [2]puede escribirse asi:

[ 4 ] r ' p X q.De [1] y [4] obtenemos, teniendo en cuenta las propiedadesdel símbolo «v>:

[ 5 ] p r -* q.[ 6 ] q r -^ p.

Las fórmulas [1], [5], [6] const i tuyen las expresiones de lasrelaciones proposicionales entre dos silogismos de un grupo.Operando según las reglas precedentes, no podemos, empero,obtener de un modo regular los tres miembros de un grupo;uno de ellos ha de ser previamente dado—si bien es indiferente que lo sea uno u otro.A fln de regularizar la deducción de los tres silogismos de

un grupo, advierte Hónen que si, por ejemplo, en la forma Barbara reemplazamos la conclusión por su correspondiente contradictoria, obtenemos tres proposiciones (las premisas y lacontradictoria de la conclusión), cuya conjunción—su afirmación simultánea—es notoriamente inadmisible. Pero de estaexpresión conjuntiva, cuyos miembros son incompatibles, cualquiera que sea el orden en que se consideren, podemos ya obtener regularmente, tomando por premisa dos de sus miembrosy por conclusión la contradictoria del tercero, los tres silogismos de este grupo. A esta expresión llama H5nen matriz delgrupo Barbara-Baroco-Bocardo:

a A B - f f l B C o B CDe un modo enteramente análogo l legamos a otras matrices, partiendo de silogismos clásicos: asi, la matriz del grupoa que pertenece Celarent será:




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6 1 G U S T A V O B U E N O M A R T Í N E Zo A B e A C i A O

de donde, además del Celarent,[1] o A B e B C ^ i A C

obtenemos: [21 e B C • i A C - o A B Feetino).[3] a A B • i A C -• ¿ B C Disamie).Llegamos así inductivamente a seis m atrice s, de tres silogismos cada una, algunos de los cuales no están recogidos, porsuperfluos, en la Lógica clásic a por ejemplo, Barbari). Todasestas matr ices, s i consideramos solamente sus letras—prescindiendo de los coeficientes cuantitativo-cualitativos a, e, i , o—,tienen de común el orden relativo de las mismas, según lo cualdeterminan una es t ructura semejante , que Hünen l lama «ca-dena>:

I) AB BC AC.Es ta ca de na puede definirse Hó nen no da es ta definición) comoun conjunto de tres combinaciones binarias s in repetición entretres térm inos : A, B, C, en orden d eterm inado. Hay dos té rm inos A, C) que ocupa n dos veces el mismo lug ar relativo enca da com binac ión el del sujeto y el del predic ado ), y otro , elB, que es alternativo. Llama miembro típico al que contiene eltérmino sujeto y el predicado, y no al alternativo. Con estasnociones puede ya entenderse la razón por la cual cada silogismo obtenido a partir de una matr iz ha de pertenecer a unafigura diferente: pues la primera figura puede definirse comoaquella que tiene por conclusión el miembro típico; la segunda,la que tiene por conclusión el miembro cuyo sujeto €s el término alternativo; la tercera, la que t iene por conclusión el miembro en el que el término alternativo es predicado.Si en la fórmula I) perm utam os los término s de un m iem bro, por ejemplo, el AC, obtenemos esta otra cadena, en la cualtodos los término s son ya perfectam ente altern ativo s:

II) AB BC CA.De esta cadena pueden ser derivados, según procedimientosidén ticos a los m enc ionad os, los m odos de la «cu arta figura».




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UNA NUEVA EXP OSICIÓ N DE LA SILOG ÍSTICA 611introduciendo coeficientes oportunos. Los silogismos obtenidosde esta segunda cadena no pertenecerán ya a distintas figuras;pues las posiciones relativas de los términos son siempre semejantes .Es fácil demostrar que, estructuralmente, sólo son posiblesestas dos cadenas. El lo permit irá a Honen, entre otras ventajas, exponer de un modo muy original la secular cuestión dela «cuarta figura». La cuarta figura no podrá reducirse a ninguna de las tres primeras, puesto que difiere de ellas en lamisma estructura de la cadena; pero tampoco deberá considerarse como una figura más al lado de las otras tres, como sitodas fuesen codividentes de un género. Solución que es intermedia y armonizadora entre las opiniones t radicionalmentecont rapuestas .Todas las matrices, cualquiera que sea la cadena de dondeprocedan, poseen iguales propiedades. Estas pueden reducirsea las siguientes 1. Una matriz no es una proposición copulativa, sino unconjunto de tres proposiciones, cuya afirmación simultánea,cualquiera que sea el orden de sus elementos, seria una proposición copulativa necesariamente falsa (•).2. La expresión de esta propiedad— la imposibilidad de quelas tres proposiciones de una matriz sean verdaderas a la vez—tiene estrecha analogía con el principio de contradicción. Precisamente el carácter axiomático de la incompatibilidad de lasmatrices permite considerar al método de matrices como puntode part ida para la elaboración de una nueva arquitectura de lossilogismos.3. De lo que precede ha d e inferirse que si dos proposiciones de una matriz son verdaderas, deberá serlo también la contradictoria de la proposición restante, que es falsa.Las matr ices hasta ahora mencionadas es tán en inmedia taconexión con los silogismos clásicos. Pero la situación «incon-

(•) «Si se prefiere—declara Hónen—la matriz antes que un conjuntode tres prop. . es un Sachverhalt de tres complejos que son la m ater ia delas prop.» El concepto de Sachverhalt popular izado por Bre ntan o es es tudiado por el mismo Honen (que lo traduce por dlspositío rei) en ot raobra impor tante , La theorie du juffement d aprés S t Thom as d Aquin, página 70 y sigs.




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612 GUSTAVO BUENO MA RTÍN EZsistente» (* ), abs urd a, que describe un a m atriz , es susceptible,como se habrá sospechado, de otras formulaciones, y sería dedesear una fórmula más general que encerrase como casos particulares a las matrices clásicas y a otras que pudieran construirse. Honen alcanza este desiderátum a travé s de com plicados caminos (que se cruzan con la doctrina de las proposicioneslimitativas), valiéndose de dos inconfegados conceptos logísti-cos: 1.° La noción de universo lógico (que simboliza por la let ra u , concebido extensional y cuanti tat ivamente como conjunto numérico de todos los individuos de todas las clases. 2.° Lanoción de clase complementaria a una dada A (representadapor A ), de sue rte que se verifique A + A = w. El signo + co nserva sus propiedades aritméticas.

Con auxilio de estos conceptos establece, pues, Honen matrices limitativas generalizadas, es decir, expresiones «inconsistentes» que comprenden, como casos particulares, entre otros,a las generatrices inmediatas de los silogismos clásicos. En laimposibilidad de resumir toda esta teoría, citaré sólo la «matrizuniversal simétrica», despojándola de sus determinaciones limitativas, que no son indispensables para la constitución dela incompatibilidad. Resulta de este modo la expresión {Vid p á gina 211):¡e B C • «/ A B • « C A

que con la condición x + 2/ + 2 = u + l posee las tre s p ro piedades que señalé como deñnitorias de una matriz. He aquí elmismo ingenioso razonamiento de que se sirve Honen:Los X sujetos que se toman de B (y que no agotan necesariamente todos los «inferiores» de B) son todos distintos de losy sujetos que se tom an de A, ya que éstos h a n de ser a la vez B .Por el mismo razonamiento, los y sujetos tomados de A han deser diferentes de los z tomados de C. Los sujetos x, y, z han deser, por tanto, distintos entre si . Ahora bien: esto sólo es posible si la suma x-\-y -\-z es igual o menor que el universo lógico, como fácilmente se comprende. En este caso, no se daría

(•) El mism o H one n seña la la afinidad de la idea de matriz con elprincipio logíst ico de Ladd-Franklin, referente a las expresiones «inconsistentes».




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U N A N U E V A E X P O S I C I Ó N D E L A S I L O G Í S T I C A 6 13incom patibilidad. Pero si x + y + 2 es may or que u, entonces, necesariamente, hay incompatibilidad, pues sólo puede concebirseque el total numérico sobrepase a w si contamos a un mismo sujeto des o más veces, para lo cual es necesario y suficiente queun mismo sujeto (o más de uno) se halle representado en másde uno de los símbolos x, y, z, en contra de la condición primera.Por consiguiente, dada una matriz

R C y A B • « A Cpa ra x -\- y -{- z > u {es suficiente que la relación > se cumplap>or un a so la unid ad ), deberem os con cluir que si dos de sus pr o posiciones son verdaderas, la tercera será siempre falsa, y sucontradictoria verdadera.

Ahora bien: de esta matriz, recurriendo en esencia a lasconversiones y equivalencias clásicas, entre clases complementar ias (por ejemplo, a A B = e A B), puede llegarse a las m atrices clásicas por caminos que aqui no he de exponer. Perotambién se l lega a matrices l lamadas por H5nen «extravagan-tes>, que darían lugar a silogismos cuya estructura, a diferencia de la de los silogismos clásicos y semiclásic?bs, incumple importantes leyes silogísticas tradicionales, como la que estableceque de dos proposiciones n ega tivas n ad a se sigue. A pesa r deesto, el método de matrices obliga a admitir la legitimidad deestas expresiones, en tanto que se construyen por operacionesidénticas a las generadoras de los silogismos clásicos y semiclá-sicos. Por ejemplo, como fácilmente puede verse, de la matrizci tada

xB C • y Á B • z C Aderivan estas otras, equivalentes entre sí (cuando x no designaa to da la exten sión de B, y, en ca mb io, y, z son totales):

í B C a A B a A C o b i e n o B C c A B a A C .De esta matriz podemos deducir otras siete por procedimientospu ram ente formales, como son la perm utación de A en A , B enB ; A y B , a la vez, en A* y B , C en C , A y C, a la vez, en Ay C, etc. De estas matrices derivaremos los correspondientesgrupos de silogismos. Asi, de la matriz




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614 GUSTAVO BUENO MA RTÍNEZB C - e A B a A B

derivarán estos tres silogismos, pertenecientes a cada una delas tres primeras figuras:(1) o B C • a B C

Estudiando estos resul tados, se advert i rán peculiaridades notables. Asi, la expresión (1) es un silogismo con dos premisas negativas; y nadie podrá discutir el rigor y legitimidad de talexpresión. No por ello debe concluirse que las reglas clásicassean erróneas. Ellas son, incluso, indispensables cuando tratamos de la regulación de matrices de términos relaoionados entre sí de un modo determinado; pero no deben elevarse a reglasgenerales de un sistema de silogismos que se haya desarrolladocon la amplitud suficiente.Por último, es fácil advertir que los silogismos, fundados enmatrices de tres miembros, son tan sólo consecuencias de uncaso particular de las matrices posibles, a saber: las compuestas de menos o dt más miembros, ya que en ellas es posible repetir el razonamiento de incompatibilidad antes expuesto. Estas matrices darán lugar a toda la teoría de los sorites, queHónen desarrol la ampliamente y qu? no es indispensable reproducir aquí, aun en sus líneas más generales.

IIILa doctrina de las proposiciones limitativas es para Hónenuna teoría de la cuantíficación del sujeto—esta correlación es

inadmisible, sin embargo, como espero esclarecer en los párrafos siguientes—. En los cinco puntos que siguen ofrezco un resumen de los fundamentos de esta doctrina.1.


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UNA NUEVA EXP OSICIÓ N DE LA SILO GÍST ICA 615poniendo» o «dividiendo», dan lugar a las formas a, e, i, o, r e s pectivamente. Sugiere Honen que podemos emplear cuantiñca-ciones intermedias más determinadas. Declara como inmediatamente evidente la tesis de que «Todo» (respectivamente, ninguno) y «Alguno» no son los únicos cuantiflcadores posibles (página 123). Por ejemplo, podemos conocer exactamente el núme-ro X de individuos del sujeto A que poseen un predicado B; yentonces, en lugar de «Todo (respectivamente, ninguno) A, B»,o de «Alguno A, es (respectivamente, no es) B», precisaremos:z A B (respectivamente, x A no es B). Los logistas conocen dealgún modo estas cuantifiCaciones, cuan do fo rm ulan : 1 A B( = un indiv iduo de la clase A prasee el predica do de la B ); yla expresión «Por lo menos, 1 A B» equivale para ellos a unaproposición en i.En ocasiones, este tipo de cuantiflcaciones es indispensable.Desde Platón—observa Hónen—sabemos que hay cinco poliedros regulares. Si enunciamos: «Todo poliedro es regular», hayerror; si «^Igún pwliedro es regular», una imprecisión que puedeconducir también a error, pues «alguno» se cumple con números naturales superiores a cinco. Parece necesario escribir: «cincopoliedros son regulares».

Estas determinaciones numéricas podemos necesi tarlas desde otro punto de vista no menos imprescindible. Acaso desconocemos el número exacto de individuos A que son (no son) B;pero podemos saber que este número ha de ser superior a unodado X. Escribiremos: «Por lo menos au moins) x A B.» Ensímbo los: «min., x A B». El ca rác ter aritm ético d e esta exp resión se le revela a Honen, no sólo en que x e s un número natural , s ino en que equivale a una serie de al ternativas ya puramente numéricas :x A B , o b ie n c e+ 1 A B , o b l e n x + 2 A B , o b i en x + 3 A B , e t c .Asimismo, podemos desconocer qué número de individuos Asea B, conociendo, en cambio, que este número no ha de sobrepasar a uno dado x. Escribiremos: «Todo lo más tout au pliis.)X A B.» Sim bó licam ente: «máx. x A B.» E sta ex presión eq uivale también a una al ternativa de proposiciones numéricas:




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6 6 G U S T A V O B U E N O M A R T Í N E Zx A B , O bien x—1) A B, o bien a:- 2) A B ob len O A B .Conviene insistir en que para Honen x es símbolo de un

núm ero natu ra l, y, conse cuen tem ente, opera con él o sus sem ejantes) ar i tméticamente, relacionándolos con los s ignos ar i tméticos

usados en sentido estr ictamente matemático.Por último, debe notarse que esta mención numérica puedecumplirse inm ed iata m en te como en el ejemplo de los cuerposregulares citado), o bien por medio de un conjunto cuantitativoprev iam ente dado. Asi, por ejemplo, si nos da n a A B, podemosobtener por conversión, no sólo i B A, sino algo más preciso:«por lo menos, hay tantos individuos B que son A como individuos hay A en total» . Re prese ntan do por el símbolo OA alconju nto de todos los individuos co nten idos en la clase A, es crib irem os: «min. OA B A.» P ero el símbolo OA es n um éric o,según Honen, y constantemente lo relaciona con otros, mediante los signos aritméticos mencionados. La cuantiñcación delsujeto—que nada tiene que ver con la cuantiñcación del predicado de Hamilton, advierte el mismo Honen—permite, pues,establecer con más precisión las relaciones lógicas, e inclusodescubrir otras nuevas. Citaré, como último ejemplo, el «reforzamiento» de la conclusión del Darapti clásico: Según éste, conociendo que todos los individuos de A son B, y que todos losindividuos de A son C, concluím os que algú n B h a de ser ne ce sa ria m en te C. Es ta conclusión no es, desde luego, falsa. Pe ropodemos precisar más: sabemos que el mínimum de individuosB que son C, según los datos, es A. La conclusión del Daraptireforzado se rá, pu es ; «mín., CA B C». También podríamos haberdebilitado una premisa, pero baste lo expuesto.

2. Las proposiciones limitativas.—La extensión del sujetoqueda, pues, mentada por un número natural . Refir iéndonosa A, todas las posibles consideraciones de su extensión es tar áncomprendidas en esta serie:o, 1, 2, 3, 4, 5 a—2), «—1), x, x+\) aA-2), «A—1) ak.Cuando comparemos A con B, recurr iremo s a las d eterm ina-




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UNA NUEVA EXP OS ICIÓN DE LA SILO GÍST ICA 617Clones mínimas y máximas más generales que los números solos, que son un caso particular de ambas determinaciones conjuntas. (Así, « X — 2) A B» equivale a : m ín. ( i — 2) A B, ymáx. (x — 2) A B). A las proposiciones con estas determinaciones llama Honen limitativas. Las proposiciones mínimas tienenprimariamente el sentido de una composición; las máximas,por el contrario, el de una división. Si enuncio: máx. x A B, significo que, por lo general, los A no son B; pero que puede haberexcepciones, cuyo máximo es x.Por último: estas expresiones pueden venir referidas a unaclase o a su com plem entaria. Así, m ín. i A B quiere decir quepor lo menos x A no son B, o sea: todo lo más de A, que son B,serán (OA — x).

3. Las proposiciones clásicas como casos particulares-límites de las proposiciones limitativas.— Observa Hón en que al darvalores a x—como símbolo de todas las posibles consideracionesde la extensión—, para evitar el sin sentido, cuando empleamosm ínim o no podem os u sa r el símbo lo O (cero), pero sí el OA;carece de sentido mínim o O A B. Los límites de m ínimo son,p u es : 1 y a. Cuando empleam os m áximo, no tiene sentido conCA, pero sí con O (cero). Su s lím ites son, p ue s: AA — ^ l y 0.Ahora bien: considerando estos casos límites, verificaremos lasequivalencias:m ín. 1 A B = i A Bm á x . aA —̂ 1) A B =: o A Bmín. a A B = a A Bm á x . O A B = e A B (o s ea , o A B )

4. La conversión entre estas proposiciones puede siempreha cers e sim pliciter. Así, m ín. x A B se con vierte en m ín. x B A.Más compleja es la teoría de la oposición. La subalterna (enla que no hay diferencia de cual idad) tendrá lugar primariamente entre expresiones mínimas entre sí , o máximas entre sí .Por ejemplo, hay oposición su baltern a en tre m ín. i A B y m ínimo (X — 1) A B. Si es verdadera la primera, lo será a fortori lasegund a. An álogam ente, si m áx. x A B es verd ade ra, lo serám áx . (X + 1) A B.La oposición contraria, así como la contradictoria y subcon-




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618 GUSTAVO BUENO MA RTÍNEZtrar ia, serán primariamente entre proposiciones de la formam ín. X A B, má x. y A B, ya que en ellas hay diferencia de cu a-lidad, según advertí. Cuando x < y, el número exacto n de ele-mentos A, que son B, estará comprendido entre x e y. Ambasson verdaderas a la vez, pero no falsas a la vez: están en opo-sición su tc on tra ria . Cuando por m ás de un a unid ad, x > ¡/, lasproposiciones no podrán ser verdaderas a la vez. Si, por ejem-plo, X = 6, y = 3, un a de las dos ha de ser falsa. Pe ro p ued enser falsas a la vez, si el número exacto fuera 5. Tenemos oposi-ción contraria. Si, pues, n está comprendido entre x e y, elnúmero de casos falsos que podrá haber a la vez serán:(X — y — 1). Por últim o, cuando x exceda a j / en un a solaunidad—o sea, cuando se verifique: y — (x — 1) = O—, te n -dremos oposición contradictoria. Analícense expresiones de estaform a: (m ín. x A B) y (m áx. (x — 1) A B). No pue den ser niverdaderas ni falsas a la vez. He aquí una verificación: loscasos de falsedades, según la fórmula empleada para los opues-tos contrarios (x — y — 1), serán x — (x — 1) — 1, es decir,cero.

P ar a x = y , e l núm ero qued a perfec tam ente de l imi tado.5. La silogística de las propo^iones limitativas.—Los silo-gismos que se constituyan, desde luego, con proposiciones limi-tativas comprenderán como casos particulares a los silogismosclásicos. Citaré sólo un ejemplo, en la imposibilidad de exponermás por extenso esta interesante doctrina. De la proposiciónmáx. p B C y de la proposición máx. q A B puede inferirse laprttposición limitativa (p, q no simbolizan proposición, sinocuan tificadores) m áx. (p + g) A C . En efecto;? si a lo sumo (au

moins) el número de individuos B que no son C es p, e l númerode individuos A que no son B es g; entonces el número de Aque no son C, es todo lo más {p + q). Escribiremos, pu es:m á x . pBC y m áx . g A B ; luego máx . (p + g) A C .

Si en este silogismo consideramos el caso particular p = q —~ O, reca ere m os en el silogismo Barbara:




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U N A N U E V A E X P O S I C I Ó N D E L A S I L O G Í S T I C A 6 9Ning ún B es C = o B C.Ningún A es B = a A B.Ningú n A es C = a A C.Los silogismos limitativos tienen sus leyes, de las cuales lasclásicas son casos particulares.Finalmente, combinando el método de las matrices con lado ctrina de las proposiciones lim itativas recién expuesta en susl íneas más generales, obtendremos las matrices limitativas másgenerales, que comprenderán también a las matrices ordinariascomo casos particulares. Así, por ejemplo, la matriz universalsimétrica antes ci tada, se expresa:

mín. xBC : mín. j A B : m ín. « Ay en ella puede repetirse li teralmente el razonamiento expuestopara mos t ra r su inconsistencia.

El desarrollo de estas matrices lo lleva a cabo Honen de unmodo enteramente satisfactorio, y sólo me queda remitir al lec-tor a la propia obra comentada, ya que lo que ha de someterse adiscusión no son las consecuencias, cuando están bien sacadas,sino sus principios; y los expuestos en los puntos que precedenme parecen suficientes, aunque también necesarios, ¿ara unJuicio crítico.

IVEl libro de HCnen propende a presentar el sistema de ma-tr ices como un sistema cerrado, un sistema que desarrol la ínte-gram ente un a región objetiva dad a a pa rt i r de axiomas opor-

tunos—por ejemplo, principalmente, las expresiones de las in-compatibi l idades de las matrices—. Este sistema contiene, ade-más, toda la teoría del silogismo (y de los sorites) como su in -m ediata y propia derivación: const i tuye su fundam ento m ásgenuino. Ahora bien: un sistema cerrado debe ser suficientees decir , que sus principios tengan vir tud bastante para condu-cir a la totalidad de las fórmulas de un dominio determinado.Cuando poseemos sólo una parte de una estructura sistemática,




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62 G U S T A V O B U E N O M A R T Í N E Zdebemos decir, no sólo que desconocemos el todo formal a queaquella parte pertenece, sino esta misma en su plenitud. Puedesuceder que un distrito particular posea en si mismo ciertaclaridad psicológica, pero carecerá siempre de claridad gncseo-lógica, que dimana del conocimiento de las partes en tanto queinsertas en el todo. Cuando la parte es material—accidentalmente unida ai todo—, entonces ni siquiera podrá decirse deéste que constituye un a «fundam entación» de la partfe, que de berla ser lo formalmente. Ahora bien: cuando un sistema essuficiente, ha de contener todas las relaciones del dominio. Siunim os m ed ian te a lgu na cópula lógica ( , ->, = , ...) a los axio mas, reglas o teoremas alguna fórmula no contenida en el dominio, incurriremos en contradicción, pues en otro caso obtendríamos relaciones nuevas contra la hipótesis. Por esto, se tomacomo criterio de suficiencia el que se nos den expresiones de laforma p p. cuando tomamos fórmulas no incluidas en el s istema.Supuesto lo que precede, la rectificación fundamental quea mi entender necesita el método de matr ices de Hónen quedaexpresada en la siguiente alternativa: o el s istema de matr icesno es el fundamento de la silogística, o, si lo es, no es un sistemade matr ices.

EXPOSICIÓN DEL PRIMER MIEMBRO DE LA ALTERNATIVA.En primer término, hay que mostrar que el s istema de matrices de Hünen no es suficiente en el sentid o dich o. Es posibley necesario adjuntar a sus fórmulas otras expresiones (porejemplo, las matr ices de miembros n-elementales) sin con tradicción; ello ya constituye por si solo una imiJortante rectifica

ción a la construcción de Honen. Pero, en segundo término, resultará que, asumiendo el s istema de matr ices en la plenituddesarrollada de su esencia, la silogística (y el sistema de sori-tes) es parte accidental del mismo, y, por tanto, no encuentraen él su verdadera fundamentación.Requisito esencial de la matriz es su inmunidad respecto delorden de sus miembros. La matriz es un SachverhaU inconsis-




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U N A N U E V A E X P O S I C I Ó N D E L A S I L O G Í S T I C A 62tente en su estructura objet iva, independientemente del orden.Pero entonces no es posible mantener la idea de las matricesdentro de los límites de la exposición de Honen; se impone,desde luego, su desarrollo.

En primer lugar, una matriz no puede reducirse a t res miembros. Ha n íde ser posibles, por iguales títu los , m atri ce s de 1, 2,4, n miembros, ya que en estas hipótesis también se cumplen lascondiciones de la matriz. La reducción de una matriz a tresmiembros no podría derivarse de motivos internos a la idea dematriz: const i tuirl ía una l imitación extrínseca derivada, porejemplo, de un deseo de adaptar la matriz a la estructura tri-proposicional del silogismo. Es cierto que Honen ha reconocidoexpresamente estas perspectivas y consecuentemente desarrol lam atrices de sorites de 4 y n miem bros, y expone en las m at ri ces bimembres la doctrina de las inferencias inmediatas. Perotambién es cierta una importante consecuencia del ser la matriz tripoposicional un mero caso particular de la idea de matriz: que el orden interno entre silogismo y sorites, esencial enel sistema clásico, desaparece; pues la incompatibilidad de unamatriz de cuatro miembros no deriva de la de matrices de 3,así Como aquélla tamp oco es anterio r a las m at ri ce s d e 5, miembros. Incurrir íamos en grave error si confundiéramos laposibilidad de ordenar (como hace Honen) las matrices segúnel número de sus miembros con una ordenación de matrices enrazón (de tales. Estas co nsideraciones inv itan a con tem plar lanotable distancia que media ya entre un sistema de matricesn-proposicionales y el sistema de los silogismos y sorites clásico, en los que el orden es insobornable; este orden de ningúnmodo podemos derivarlo de la idea de matriz.

Pero, en segundo lugar, del mismo modo que una matriz tri-proposicional sólo puede ser entendida en su esencia como unode los casos particulares de las matrices de miembros (comototalm ente reconoce Honen), las m atrices n-proposicionales construidas con proposiciones cuyos términos se repiten en proporción silogística (el sorites clásico es sólo una reunión de silogismos), son un mero caso particular de matrices cuyas proposiciones no tuvieran los términos en proporción silogística. Y




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6 G U S T A V O B U E N O M A R T Í N E Zesto también lo reconoce, aunque sólo parcialmente, Honen inactu exercitu. En efecto, las matrices del tipo

xBC : j/ A B ' : srCA'no constan, pese a lo que piensa Honen, de proposiciones capaces de generar un silogismo en su definición esencial, queexige tres términos. Y así, la expresión antes citada

oBC y eAB; luego A'Caunque correcta, no es un silogismo, sino una implicación (enel que el antecedente es una conjunción) de la forma p 8 z q - • T.Pero esta fórmula no equivale al silogismo: es más general, desuerte que aunque todos los silogismos la cumplen, no siempreque ella se pone hay que poner un silogismo. Por esta razón,el razonamiento simbólico expuesto al principio del párrafo segundo, aunque vale para las proposiciones silogísticas, no lasagota, ya que es puramente formal, y prescinde de la mater iade las proposiciones. La form a p8¿q-*r {o bien p g r s _ * t )se da, por ejemplo, en las ciencias empíricas, entre proposiciones que no repiten ninguno de sus términos, ni constan de términos complementar ios. Las expresiones sacadas de matr icesformadas de términos complementar ios, como la anter iormentecitada, remedan en su artificio externo la forma silogística, perono la poseen in tern am en te. Sería, adem ás, posible construir «matrices» sobre términos enteramente distintos de los utilizadoshasta aquí; por ejemplo, expresiones que sean desarrollo detérminos dados, a, b (desarrollo en el sentido de Boole):

u = ab + ab' + a b + •'b'y con éstas formar las incompatibilidades oportunas. Las fórmulas obtenidas por procedimientos análogos a las derivaciones de«silogismos», a partir de matrices, no son ya evidentemente silogismos. Sobre todo, teniendo en cuenta que el caso de dar, enuna matr iz de n miembros, n-1 como verdaderos para concluirel contradictor io del restante, es también un caso particular ,pues podemos concebir que se dan n-2, n-3, n-{n-l) miembros




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UNA NUEVA EXPOSICIÓN DE LA SILOGÍSTICA 623para concluir la verdad de todos los otros. Con ello, la distancia de las matrices respecto de los silogismos aumenta desmesuradamente .Pero ella se hace insalvable si , en tercer lugar, advertimosuna nueva precisación, desconocida ya totalmente de Honen. asaber: que las matrices de miembros proposicionales deben, antetodo, considerarse como matrices de miembros bielementales, esdecir, de miembros que mientan a sujetos definidos por la intersección de dos clases, mención que correspondería, según Honen,a la de una proposición categórica (*). Ahora bien: ¿acaso noes posible determinar sujetos con una sola clase (obtendríamosm atric es d el t ipo A . A ) y con m ás de dos, por ejemplo, contres clases? Una expresión de la forma

« A B C - j / D E A - z C E Dtiene todas las propiedades de una matriz , para x { y -\- z > u,pues sobre ella podemos reproducir el mismo razonamiento antes desarrollado sobre matrices de la forma:

xBC • yAB • zCACon estas matrices de miembros de t res elementos construiremos sistemas de implicaciones que ya no podrán ser emparentados con los silogismos o sorites, aunque todas las operacionessean enteramente análogas a las preceptuadas en el sistemiade Hónen.En conclusión: la estructura interna de un sistema de matrices de n miembros de m elementos (siendo n, m núm e r os na t u rales cualesquiera) , es enteramente independiente de la estructura siiogistica. La selección de matrices proposicionales, cuyostérminos estén, además, en proporción silogística, o, a lo sumo,sean capaces de conducir a el la mediante las oportunas conversiones, suponen la preexistencia de un sistema de silogismos,que ha de estar fundado en otros principios, ya que la conexióncon el sistema de matrices es meramente accidental : lo prueba

(•) En la expresión x A es B, «ce nombre x est determiné par le nombredes recontres des deux déterminations A et B dans un méme sujet». Re-cherches, pág. 136.




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6 4 G U S T A V O B U E N O M A R T Í N E Zla circunstancia de que si solamente poseyeran los silogismoscomo fundamento a un sistema de matr ices, se perdería su peculiaridad como procesos de fundamentación, ya que al conjunto de operaciones que desde la matr iz conducen a un silogismo le es por entero indiferente que las matrices sean propo-sicionales, y, de serlo, que tengan los términos en proporciónsilogística.

EXPOSICIÓN DEL SEGUNDO MIEMBRO DE LA ALTERNATIVA.Tomemos las matr ices en el momento en que aún no sehan alejado demasiado de las expresiones formales de los si

logismos clásicos, es decir, en el estado en que aún pueden derivarse de ellas, mediante la oposición, los silogismos clásicos.El mismo Honen construye con ellos un sistema coherente enla primera sección de su obra. Todas las matrices pueden reducirse a la matr iz fundamental del grupo BarbaraaA B : aB C : o A C

Ahora bien: en tanto que se quiera ver en esta expresión la deuna axiomática incompatibilidad, será imposible prescindir delorden entre los miembros que la constituyen, y de un ordenque deriva precisamente del silogismo; la idea de matriz prescindía del orden por esencia. Era un Sachverhalt objet ivamente repugnante, prescindiendo del orden entre sus miembros.Pero los miembros de una matriz no se oponen entre sí ala manera de un «conjunto inconsistente» indiferenciado, sinoen la forma de un conjunto de dos proposiciones incompatiblescon una tercera. Esto no excluye de ningún modo el que estasdos proposiciones puedan ser cualesquiera de las combinacioiiesbinarias entre los miembros de la matriz. Sería un sofismagrosero inferir de aquí que la incompatibilidad resida entrelos tres miembros indiferenciadamente. Siempre se da, pues,la incom patibilidad en la forma de 2 : 1. Per m ítase m e un ejem plo que aclare m i observación. Sobre el conju nto 6, 6, 6) po de mos decir que todas las combinaciones binarias aditivas están




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UNA NUEVA EXPOSICIÓN 0E LA SILOGÍSTICA 625en proporción doble con el tercer elemento; pero no podemosde aquí inferir que esta proporción sea la que guardan todoslos elementos entre sí , aunque se consideren simultáneamente.En las matrices, el conjunto de dos proposiciones debñ, además,preceder, no ya psicológica, sino lógicamente, a la proposicióncon la que hay incompatibilidad. Y debemos preguntar: ¿cuáles el fundamento de una tal incompatibilidad? Atendiendo a lanaturaleza de los miembros que se oponen, la única respuestaque podemos encontrar es la siguiente: que el tercer miembroes el contradictorio de la relación que fundan los dos con juntos. La razón de la incompatibilidad reside, pues, en la compatibilidad del contradictorio, mientras que nadie dirá, por sermuy rebuscado, que la compatibilidad de éste descansa en sucontradictoriedad con el miembro incompatible, sino en derivardirectamente de los otros dos miembros como de premisas.Esta derivación es el verdadero principio, que contiene a laincom patibilidad de las m atrice s como u na consecuencia conayuda de las inferencias inmediatas) .

Que el proceso silogístico es anterior a la teoría de las matrices, se confirma en la circunstancia de que la exposición desi logismos a part i r de matrices solamente se logra medianteun silogismo que puede ponerse in forma de este modo: siendoq, r los miem bros de un a m atriz *):

Lo que es incompatible con r es compatible con rq ea incompatible con rLuego p g es compatible con rDe lo que antecede debemos concluir que el método de matrices no puede servir tampoco para justificar la legitimidadde ciertos silogismos como los subalternos. Siendo las matrices

solamente disposiciones artificiosas que pueden conducimos aexpresiones (te silogismos pero no a su justificación), el ap et i to de regularidad no debe engañarnos, incl inándonos a unaasimilación entre los diferentes puntos de llegada. Ellos debe- *) Me refiero a la exposición científica, no a la fundamentación, segúnaquel principio: «Definltlo syllogisml non est allquld eorum ex qulbusXirocedit syllogismus».




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6 6 G U S T A V O B U E N O M A R T Í N E Zrán someterse a rectificaciones adecuadas del mismo modo quelas dieciséis combinaciones cualitativicuantitativas que son posibles en tr e las pre m isa s de ca da figura silogística clásica noac re di tan dieciséis modoai legítimos. De este modo podem ossometer a examen el modo Barban por ejemplo al que se llegapor el método de matrices; y si introducimos de nuevo el orden preciso en un a concepción no platón ica de estas estru cturas advertiremos que dadas dos premisas en primera figuraa a no podemos pasar directamente a una en i sino sólo a t ravés de una inferencia por sufcalternación a partir de la conclusión en a propia del modo Barbara. No niego que psicológicamente el t ránsi to que corresponde a Barbari puede ser tanins tan tán eo tan intuitivo como el que se da en el modo Bar-bara; pero debe ser advertido que no se tr a ta aquí de legalizar expe riencias psicológicas sino procesos lógicos. Y con side rado como tal im Barbari no es un silogismo sino un compuesto de silogismo e inferencia inmediata. Lo mismo hay quedecir de los demás modos subalternos.

El método de matrices tampoco const i tuye prueba algunapara fundamentar una «cuarta figura» en el sentido de Hdnen.Su cadena «perfectamente al terna t iva» no es sino un a posiblecom binación pero no una ga ran tía. De diferencias topológicasno es lícito inferir diferencias lógicas. Una definición topológi-ca de la cu ar ta figura como la que da Hünen es en tera m en tecom patible con la tesis de la cu ar ta figura como sub altern a dela primera por conversión; tal definición ayuda incluso a estaconsideración.

Sigo en este párrafo el mismo orden de materias del § III.1. Critica a la «aritmetización» del sujeto— as de te rmina ciones de Ho nen tal como él las utiliza apa recen p lena s declaridad; esto es algo que debe reconocerse. Pero no creo difícil evidenciar que esta clarid ad no es lógica sino ar itm étic a

y por consiguiente absolutamente inút i l para nuestra ciencia.




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UNA NUEVA EXPO SICIÓN DE LA SILOGÍSTICA 827Hasta tal punto, que las fórmulas de Hónen, en su mayoría,deben ser consideradas como expresiones seudológicas, rigurosamente metáforas ari tméticas.Antes de nada, no considero de tan «inmediata evidencia»la posibilidad—dentro de los cuadros clásicos—de cuantiflcado-res dist into s de «Todo> resp . Ningu no) y «Alguno». Pu eséstos dividen, desde el Parménides platónico, exhaustivamente la cantidad del sujeto. Trátase de la división Todo-Parte, quees inmediata y adecuada. Cualquier otro cuantiflcador sería,a lo sumo, subdivisión de estos miembros. Pero los cuantiflca-dores numéricos, ni s iquiera como subdividentes pueden admitirse *). Un cuantiflcador lógico es u n a determ inació n de laextensión del sujeto bajo razón de la misma extensión, y nobajo razón de otro concepto cualquiera—es decir, de una extensión determinada—. La idea de hombre determina, contrae laextensión de la idea de animal, sin que podamos decir que lacuantiflca. La razón determinante hombre es extraña a la razón de exten sión en gen eral **).Pero las determinaciones numéricas son extrañas tambiéna la noción clásica de idea universal como multiplicidad pura.En ella, las partes se consideran como repeticiones Idénticasdel todo. Tal es la consideración formal de la lógica, sin perjuicio de que fundamentalmente haya de presuponerse una diferenciación entre los inferiores, que es prescindida justamentepor el punto de vista lógico. De aquí que no sea posible enlógica, por agregación de dos inferiores, obtener un tercero eidé-ticamente diferente. Como es sabido, y la logística lo ha reconocido ampliamente, se verifica en este dominio, y sólo en él,la fórm ula a + ^ = ĉ - Si en la arit m éti ca o bten em os comoresultado a es debido, como agudamente observa Jevons, aque no consideramos exactamente iguales las partes sumadas,pese a las declaraciones de los matemáticos; hay entre ellasdiferencias numéricas tomadas en cuenta de una manera for-

*) vid. en Ca m ap: Logische Syntax der Sprache. Wien. Sprlnger.1934, pág. 19, el empleo de determinaciones numéricas.**) La determinación «5» en el Juicio sobre los poliedros regulares, antescitado, debe interpretarse no como un cuantiflcador, sino como una propiedad aritmética de la clase i>oliedro-regular.




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6 28 G U S T A V O B U E N O M A R T Í N E Zmal, y no sólo fundamental, y es precisamente gracias a lapermanencia de la perspectiva lógica, combinada con el nuevoconocimiento de las diferencias numéricas, como puede verificarse la paradójica operación de la mención aritmética, en quelos entes son a la vez distintos e iguales. Pero las diferenciasnuméricas no pueden entrar , como es evidente, en el dominiode la lógica.

Si suponemos lo contrar io , recogeremos numerosas contradicciones, ya que, en tanto que cultivamos la lógica, no podemos prescindir de las leyes lógicas, si bien éstas hayan de seryuxtapuestas, no coordinadas, a las nuevas pretendidas diferencias. He aquí algunas de las absurdas consecuencias quehabr ían de resu l tar :

La expresión 1 A designa, según Hónen , un individuo dela clase A, pero ind ete rm ina da m ent e; consti tuye para el mismoHonen la verd ade ra definición del tradic iona l í A; 1 A denota,por consiguiente, tanto a un individuo n como a otro m de A,siemp re que se tomen aisla dam ente . Luego 1 A, en ta nt o quepuede aplicarse r igurosamente a var ios—precisamente a cadauno de los Individuos de A—, es la expresión de una clase cuyaextensión es AA = la total ida d de los A). Si definimos a 1 Aen extensión, obtenemos:

[1] l A = aAigualdad ar i tméticamente falsa, pero lógicamente correcta. Suexpresión ar i tm ética es que ha y e ntre aA elementos, ta nt as posibilidades de tomar A, o sea, tantas combin ciones mon ri sen tre CA elemen tos como aA elem entos ha y.

Co nsiderem os a ho ra la expresión OA. Si, como Hon en supone, posee un a es truc tura ar i tm ética, no por ello deja rá in cumplidas las leyes lógicas. En cuanto conjunto aritmético, podemos verificar, entre otras, operaciones de agrupamiento aditivo entre los elementos dados. Si, pues, registrado ya el conju nt o de todos los individuos de A el conjun to aA), reunim osaditivam ente en grupos cada dos elementos de OA, sum andotambién los grupos asi obtenidos, y agregamos el conjunto total CA, en virtu d del principio lógico an te s me ncio nad o a -f




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UNA NUEVA EXPOSICIÓN DE LA SIUDGISTICA 629+ a = a , hay que reconocer que el conjunto no excederá altota l OA, y reit erando proporc iona lment e combinaciones te rn ar i a s , etc.), esta operación, concluiremos que, a semejanza de laexpres ión 1 A, que se «excedía» a toda la extensión de ÜA, asítambién QA déte aplicarse al conjunto aditivo de todos los conjuntos de combinaciones aditivas (es decir, sumas cuyos sumandos son los elementos de cada combinación), que pueden formarse con üA elementos , desde el orden 1 ha s ta el CA. Unadefinición extensiva de UA sería la s iguiente, suponiendo que sesuman los elementos de cada combinación y las combinaciones de un orden entre sí:

[21 aA = c; + c; + ĉ + 4 C_, + ĉ iLa clase OA — 1) podemos obtenerla de la substracción enla def. (2) de 1 A, que, como sabemos por [1], equivale a c *.Resultará:

[3] (aA - 1) = C«* 4- C + + C _ , + C;SAaAEsta última expresión podría formularse lógicamente dé este modo: i

(aA — 1) = (lA '̂ AEsta fórmula significa literalmente: «Todo lo que no siendo üA, es, sin embargo. A.» Pero, de suponer que OA es un conjunto aritmético, O toma el significado claro y correcto de «todo número que está por debajo de OA» (superior no puede ser,ya que se preceptúa que sea a la vez A). «Todo lo flue no es CA»t i ene, además, el sentido de un agrupamiento de cada una delas partes que no son OA. La fórmula lógica OA A corresponde,pues, con mucha exactitud a la expresión seudoaritmética [3].Podemos, además, definir 1 A de este modo.

[aA (aA A)] '̂ Aque se leerá: la negación de lo que es común a OA y a O A—1 )y sigue siendo A. Verificada esta definición en las expresiones




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6 30 G U S T A V O B U E N O M A R T Í N E Z[2] y [3] nos rem ite a la fórmula c ^, insinu ad a en [1 ]. Delmismo modo, podríamos transcribir (O A —2):

[a A r aA r A ) ] s AA hora bien: todas las ant erio res expresiones no son, comopuede ya percibirse claramente, s ino metáforas ar i tméticas con

tradictor ias en si mismas. Pues si , presuponiendo la ar i tmetiza-ción, ponemos OA . la expresión ^ tiene sentid o riguros o; perola expresión derivad a de ella ( oT^A ), pa ra simbolizar (O A — 1)es ya contradictor ia, puesto que un OA no puede unirse m ediante el signo '^ a la letra A, ya que, según el mismo Honen declara , flA es la mism a A definida en extensión.

Solamente, pues, s i abandonamos la concepción ar i tméticade la extensión lógica, quedaremos libres de estas groseras contradicciones, y , en efecto, las determinaciones numéricas de unaextensión son determinaciones de una clase por otra clase ex-tralógica en si misma. Siendo x un número natural cualquiera,para que tenga sentido lógico «tomar x elementos de la clase A» es necesario que estos x individuos sean definibles por unano ta común. A un el lógico m ás nominalis ta no negaría la un idad de la colección, que le otorga un símbolo, x, signo de una claseque podría unirse a A m ed iant e . El motivo último es que las no ciones de núm eros son ellas m ism as clases, y clases diferentes, dela idea general de clase. A este m ismo resultado l legamos dem ostrativamente a partir de la definición de Hónen (vid nota de laI>ágina 21 ): x A es B, significa: x = A ^B . De es ta últim a expresión obtenemojs fác ilm en te: X'̂ A = B ; X'̂ B A , que son la expresión del juicio xA es B y su converso, resp ectiva m ente.

Como consecuencia de las críticas que preceden, será precisorechazar también la introducción de los signos aritméticos+ , —, etc., en lógica. Ellos cond uce n, en rigor, a verd ade rossinsentidos. ¿Qué podrá significar la expresión Ü A — as (pág i na 132), escogida entre multitud de otras análogas?

Sin embargo, las expresiones de Honen encierran, bajo lametáfora aritmética, relaciones lógicas que es pasible clarificar,como ya lo llevé a cabo en la exposición del razonamiento de




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UNA NUEVA EXPOSICIÓN DE LA SILOGÍSTICA 631la matriz universal simétrica en función de u. Estas relaciones subtendidas, sin embargo, no son nuevas, y si lo son carecen de interés y fecundidajl . Asi, el signo aritmético —' debeinterpretarse como el producto lógico del «minuendo> con laclase complementaria del «sustraendo». Cuando escribe H5nen:OA—AB, significa que es preciso s ep ar ar de la clase OA la as, o, loque es lo mismo, considerar sólo la intersección de la claseOA y la a i La ex presión Ü A —as significa lógicamente: U A '̂ O B .Por análogas consideraciones, el signo + debe sustituirse porel ^ simp lem ente, y en gene ral. Aplicando esta s equivalencias,he aquí unos ejemplos del contenido lógico de expresiones obtenidas por-Htoen.

[ 1 ] OB — aA = OA — O[ 2 ] OA + OA = O + asequivalen, respectivamente, a la ley conmutativa del símbolo '^,y la ley del tercio excluso:

[1] B ^ A r = X ^ W[2 ] A - X = B V. B 1La misteriosa generalización de la conversión simplicitera to da s las proposiciones con sujeto cu antificado (pág . 136), se gún la cual, X A B equivale a x B A; se funda en las equivalencias:

(X = A ^ B) = (« = B ^ A)Considero, pues, por completo inadmisible la cuantiflcaclóndel sujeto tal como Hónen la desarrol la: es notoriamente incorrecta, y las relaciones oscuramente mentadas con su ayuda,premiosas o carentes de interés.2. Crítica a las proposicioTies limitativas.—^Las proposicioneslimitativas son para Hónen proposiciones con el sujeto cuantificado; las determinaciones «mín.» y «máx.» serán, en consecuencia, cuantiflcadoras. Sin embargo, aun después de rechazada la cuantlficación aritmética de un sujeto lógico, la determinación limitativa del mismo conserva un manifiesto sentido




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632 GUSTAVO BUENO MA RTÍNEZlógico, coino lo demuestra el Darapti, de Conclusión reforzada,que en lugar oportuno c ité. Es de sospechar si estas de term inaciones «mín. y «máx.» mientan estructuras lógicas diferentes de los cuantiflcadores. ¿Cuáles pueden ser éstas, y cuál suposición en el sistema tradicional?Cuando enunciamos: «Por lo menos 5 A B». no sólo significamos que hay 5 elementos de A que poseen el predicado B, sinotambién que puede haber más elementos de A que lo posean, yque estos 5 elementos no pueden dejar de poseerlo, es decir, loposeen necesariamente. Fácilmente puede exponerse el contenido correlativo mentado por fórmulas máximas.

Este análisis sugiere que la estructura lógica dé las «proposiciones limitativas» es la siguiente: Proposiciones compuesta^ (ocultamente compuestas) , pero no de cualquier manera,sino con la peculiaridad de constar en su composición de proposiciones formuladas en diferentes modos, a saber: el modode necesidad y el de posibilidad. Lo confirma que la proposición«a; A B», que significa, s egú n el mism o H one n, «Hay ju sto s x Aque son B», es decir, literalmente: «Sólo los individuos de laclase X --A son B», es una proposición exclusiva de sujeto, yéstas, como es sabido, equivalen a dos proposiciones unidas conju nt iv am en te de e sta for m a: «x '̂ A es B» y «x^- A es B». Pe rola proposición «x A B», como ya se expuso, es un caso particular de proposición limitativa.Consideremos estos pares de proposiciones conjuntas:

I . (1) íB A es ne ces aria m en te B . (2) x '̂ A pu ede se r B,I I . (1) a; '̂ A es nec esa riam ent e B. (2) x r A puede ser B,en los que se combinan de un modo regular los modos de posibilidad y necesidad, ya que en ambos se expresa: 1) ue unaclase (x , x), pertenece a otra (B, B) de un modo necesario. 2) Quepuede perten ecer a la m isma clase (B, B) la com plem entaria de ladada (x, x). Podemos, desde luego, construir combinaciones diferentes, pero las expuestas servirán para explicar las proposiciones limitativas de Honen desde la lógica tradicional.Supuestas las nociones de universo lógico absoluto (en el




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UNA NUEVA EX POSIC IÓN DE LA SILO GÍSTIC A 633que la clase A, complementaria a una dada A, reúne a todaslas clases posibles, excepto A) y universo lógico relativo (enel que la clase complementaria A, a una dada A, reúne a todas las clases de un género determinado, y así es como «invertebrado» es la clase complementaria de «vertebrado dentro delgénero «animal». Recuérdese la conocida noción de Todo lógico relativa a los platos del problema construida por Porets-ky (*): puede describirse de este modo el orden notificado porcada uno de los pares conjuntos arr iba consignados:I.—^Por respecto al universo absoluto, que siempre x A es B,pero que pueden darse otros x A que sean B. Por respecto aluniverso de A: que siempre, dentro de A, los x deben ser B, peropueden serlo también los x.

Por lo demás, cada una de estas proposiciones da lugar alas siguientes, por inferencias inmediatas muy claras:(3) » A no es (y no lo es de un modo nece sario) B.(4 ) í '^ A puede no ser B.

II.—Fácilmente pueden exponerse las relaciones correspondientes al segundo par, así como sus inmediatas inferencias.Ahora bien: ¿Acaso la noción mín. x A B dice algo nlás o algomenos que las relaciones contenidas en el par I, es decir, las relaciones I (1), (2), y a fortiori (3), (4)? Analícese circunstanciadamente esta semejanza entre ambas expresiones: e l la es absoluta. Asimismo, la expresión máx. x A B corresponde por entero al grupo II. Compruébese esta afirmación en ejemplos como el siguiente: mín. a B C (conclusión del Darapti citado)equivale a la conjun ción : A B es C y A ^ B pue de ser C.La tabla que sigue manifiesta las relaciones que, en mi opinión, están subtendidas por las proposiciones limitativas deHónen:

H l n . A ) B H á x . x A ) B(1) a; (A) es B (2) « (A) pu ed e se r B. (1) £ (A) es B (2) x (A) pue de se r B.(3) X (A)_no es B (4) x (A) puede (3) x (A) no es B (4) x (A) puedeno ser B. no ser B .

(*) Vid. O ou tur at: L algebre de la logique, 2.» ed .. S 43.




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634 GUSTAV O BUENO MARTÍNEZLa comparación de los miembros de esta tabla demuestraque entre una proposición máxima y una mínima no hay dife-rencia estructural cuando se consideran absolutamente, pero sícuando vienen referidas a un mismo sujeto y predicado. Porconsiguiente, permutando el sujeto y predicado por sus res-

pectivos complementarios, podemos llegar a expresiones equi-valentes entre proposiciones máximas y mínimas.Como confirmación del análisis expuesto de las proposicio-nes limitativas, he aquí una aplicación del mismo a ciertasequivalencias que entre otras sem ejantes pa ra mi propósito)Hónen demuestra sirviéndose de las cuantiflcaciones; tal apli-cación manifestará, además, la razón íntima de las equivalen-cias comentadas:

mín. K A B = máx. (aA — x) A B' = máx. (O B — x) A S == mín. (OA' — as \ x) A' B'Antes de nada, por consideraciones anteriormente hechas,se admitirá:

« = A ' ^ B ; oA — X = X r ̂ A ; ceB — x — x /^ B ;aA' — ffl + 05 = aA' — (a s — x ) = OA' — (ÍB «̂ B) =

= aA' (« -̂ B) = {X rs B) r ̂A .Las equivalencias propuestas se reducirán, por tanto, a lassiguientes:

mín. « A B = máx. {x ^ A) A B == máx . (x ^ B) A B = mín. [ (« ^ B) -̂ A] A B

Descompongamos cada una de las proposiciones equipara-das conforme a la tabla antes expuesta, operando in epen ien-temente con cada proposición, y teniendo en cuenta la ley dela doble negación; por lo demás, solamente transcribiré los pa-res originarios 1) y 2), omitiendo, por brevedad, sus inferen-cias inmediatas:




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U N A N U E V A E X P O S I C I Ó N D E L A S I L O G Í S T I C A 6 35Mín . uj A B Ma x. ( a^ A) A B Max. íTr^ B) A B M ín. [( 5 ^ B) rs A ] A B

( D a j ' ^ A e s B . 1) {x r A) ^ X (l )_ (a ;- B )o A (1) (o; - B) '^ A es B_ es B _ es B _ _ _ _(2) í ^ A puede (2) («-^ A) ^ A (2) {x '- B _2 A (2) J « ^ B) A A puedeser B puede ser B puede ser B ser B

Comparemos los cuatro miembros de esta tabla. Evidentemente, las dos primeras dicen lo mismo entre si; las dos últimas , igualmente. En cuanto la relación de equivalencia entreestos dos grupos, bastará la siguiente igualdad establecida entreel segundo y tercer miembro de la tabla precedente:(a;'^A) A)B = (« '^B)'^A 5B

y cuya exactitud es notoria.3. Las proposiciones clásicas no son casos particulares-límites de las proposiciones limitativas., en el sentido de Hünen.Uno de los más bellos resultados de Honen es la presentaciónde los t ipos de proposiciones clásicas como meros casos particu-les de las proposiciones l im itativ as; esta pres enta ción dignifica,además, la doctrina con todo el prestigio de la tradipional. Sinembargo, incluso prescindiendo del análisis precedente de lasproposiciones l imitativas, considero incorrecto este resultado deHdnen, pues no se funda en razones necesarias, sino en convenciones gratui tas, implíci tamente postuladas para lograr elresultado apetecido. La verdadera es, en efecto, la afirmaciónrecíproca: las proposiciones limitativas son casos particulatesde las cláMcas. Esto parece claro desde el mom ento que se a dvierte que toda proposición no-tptal ha de ser particular, yaque la dist inción T odo-P arte es inm ediata. Desde 1 ha sta a\ —1

son particulares (es decir, i) las proposiciones cuyo sujeto es A;son universales, CA y O (cero).Si HSnen^puede construir la tesis recíproca, es debido a quepos tula gr atu itam en te la equivalencia de i A B con 1 A B, y deO A B con 1 A B'. Es ta correspo nden cia la in troduc e Híinenpaulatinamente a lo largo de su obra, pero él mismo reconoce,al principio de la mism a (pág. 20), que se t r at a de una corres pondencia propia de la lógica simbólica, con la que polemiza




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636 GUSTAVO BUENO MA RTÍNEZTambién deben, considerarse como postulados las equivalenciasde mín. a A B y máx. A B con las proposiciones en a. O, clási-cas, respectivamente, ya que, r igurosamente hablando, aquellasexpresiones limitativas carecen de sentido dentro del dominiopuramente cuantitativo, y sólo un convenio podría prestárselo.En efecto, OA es la misma A; y así, carece de sentido, respec-to de A, de te rm in ar : «por lo me nos todos los A» en cam bio,esto puede hacerse respecto de A, como sucede en la interpre-tación que antes he propuesto de las proposiciones limitativas).Asimismo, el símbolo cero) no es un coeficiente cuantitativo,y carece de sentido anteponerle máx.

4. Sobre las inferencias inmediatas.—Es legí t ima, in terna-mente considerada, la exposición de Hónen. Pero he aquí unejemplo más, en este punto, de cómo la utilización de concep-tos aritméticos carece de valor lógico, y donde parece alcanzar-lo se debe a un postulado puramente convencional. Gracias alos criterios que propone, Hónen puede considerar verificadas,como ya dije, ciertas leyes de la oposición contradictoria, encuanto es un caso límite de la oposición contraria, a saber:cuando entre x, y no hay elementos intermedios. Aplicando elcriterio de casos falsos de las contrarias {x — y —1), obtenemos,para y= x — 1 ), que es la situación de las con tradi ctoria s, elresultado de O cero), que Hónen interpreta: Cero casos falsos.Sin embargo, advir tamos que para y = x — 1) n o se cum pleya la definición dada de contrariedad, porque no se dan casosintermedios, y, por consiguiente, no es legitimo aplicar el cri-terio de casos falsos de las proposiciones contrarías. El cero)obtenido en esta operación no simboliza, por tanto, que en lascontradictorias no existan proposiciones falsas a la vez, sinosolamente que en ellas no hay casos intermedios entre x,y, enel sentido definido.

5. Sobre la silogística de las proposiciones Ij^mitativas.—Tal como la construye Hónen, conserva los vicios de origen queya he señalado, y las seudodemostraciones son numerosas. Heaquí una crítica de dos de ellas, cuya exposición sólo tienepor objeto orientar el análisis de los razonamientos de Hónen,en la imposibilidad de un estudio pormenorizado.




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XJNA N U E V A EX P O S I C I Ó N D E LA S I LO G Í S T I C A 6 7Sea el si logismo antes citado:

máx. p B C máx. q A B'; luego máx. p + g) A CAnte todo, no es correcto llamar silogismo a esta expresión,

que contiene cuatro térm inos. Respecto a la conclusión máx . p +q A C, es, r igurosam ente t rat ad a, un sinsentido, má s aú n,una falsedad, como fácilmente puede demostrarse. El mismoHSnen advierte que puede haber p que no sean q; es decir, unp o un Q puede ser a la vez C y B. Pongámonos en el caso extremo pa ra mayor clar idad aunque seria indiferente hacerlo conotros), en el que todos los p sean q. Entonces, si aplicamos laley de adición, obtendríamos doble cantidad de los A que podía n ser C, lo que es absu rdo, desde luego. Luego p + q) nopuede interpretarse como una suma ari tmética, y , por consiguiente, la expresión de Honen, que la admite como tal, es unpuro sinsentido.

Consideremos, por último, las prem isas nu m éric as pág inas 186-87), z A C,y AB.Pa ra 2 = y = OA, tenemos—dice Hónen—un Darapti. Si nose da esta hipótesis—continúa— , pa ra ten er conclusión es ne cesario y suficiente que la suma de z y exceda del jconjunto delas A: z-\-yy U A Pues entonces hay cosas A que son a la vezB y C; luego habrá cosas B que son C. Su cantidad será, porlo menos (z -\- y — OA). Resultará, pues, el si logismo:zAC: í/ A B ; luego mín. .z + y — « A) B C.

Consideradas en el sentido numérico que les atribuye H5-nen, estas expresiones son también sinsentidos:1. 2 = y = OA. R esu ltaría que z-\-y = 2a. Pero como lógicamen te + 2/ = OA, tenem os que tam bién es satisfecha cuan do,por ejemplo, y


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638 GUSTAV O BUENO MA RTÍNEZEsto supuesto, he aquí el razonamiento lógico desarrolladoimplícitamente por Híinen:

( y ' - A ) 3 B , ^ , yr. A)^B = v r A. , ^ de donde , ., „z ^A) > G • (« o A) ^ C = 2 > A

Reuniendo ordenadamente estas últ imas igualdades,[ y '̂ A ) '̂ B ] r. [ z o A ) C ] = (2/ A ) ^ (« ^̂ A )

que puede ser e'scrita:[ y A ) '̂ (a - A )] - (B - C) = (1/ - A) ^ (a ^ A)

Pero esta expresión es la definición de una implicación:y r. A.) ^ (« ^ A ) ) B ^ C, que puede esc ribi rse : n ^ A 3 B '̂ CY de aquí obtenemos dos fórmulas que son las dos conclusiones, dire cta y conversa, de la terc era figura:(n A) B 3 C(n '̂ A) ^ G 3 BNinguna participación t ienen, pues, en el razonamiento lasnociones cuantitativas, y esto es lo que importaba dejar en plena claridad. Las cuantiflcaciones conducen, en rigor, a relaciones de intersección con clases distintas, dando lugar a formassubalternas de silogismos, etc. , aunque condensadas externamente en formas al parecer sencillas.

VILos com entarlos que preceden no preten den anu lar , s inosólo rectificar las innovaciones propuestas por Honen. Aunque,en €fl aspecto expresivo, su obra requiere una hermenéuticaincesante que preste sentido lógico a sus símbolos, las estructuras objetivas mencionadas por éstos no podrán ya seguramente desconocerse.




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UNA NUEVA EXPO SICIÓN DE LA SILOGÍSTICA 639El sistema de matrices, sin olvidar que no puede tomarsecomo fundamento de los silogismos y sorites, debe compartir,s in embargo, con el los importantes aspectos que permitan lainserción en el de dichos silogismos y sorites, así como de las

inferencias inmediatas . El método de matrices será, as í , s iem-pre , vm modo provechoso de o rganizar regu larm ente la materiacon la que han de componerse las inferencias , mediatas o Inme-diatas , de un alto valor analítico y pedagógico. Pero sus resul-tados deben siempre ser moderados por las leyes tradicionales.Las proposiciones l imitat ivas , en tan to no implican un acuantiflcación aritmética del sujeto, abren quizá horizontes nue-vos a la teoría de las inferencias, y, antes aún, de las proposi-ciones, que podrían ser consideradas siempre como limitativas.

Suponiendo como forma proposicional t ípica el par x ^ es B){X rsA pued e ser B), que simboliza ord ina riam en te proposicionesparticulares respecto de A (en cuyo universo lógico nos move-mos), tendríamos como casi l ímite (para x = OA), e l par O A ^A es B). (O A ̂ A puede ser B ), en el q ue el seg imd o m iem brotiene por sujeto una clase vacía ak ^ A), pero funcion alm entesignificativa (en el sentido de Cassirer), del mismo modo que laexpresión compleja a, 0) define el número real a. >Estas proposiciones darían lugar a una teoría de los silogis-mos, según un método constructivo, en la que todos los silogis-mos quedarían interpretados como silogismos compuestos de laforma:

P ^ B e s C P ^ B puede se r CÍ ^ A e s B - ^ - ^ A puede ser B

l u e g o(p ^ g A es C : (p ^ (/) A puede ser C.

Sin embargo, estimo que la lógica de las matrices ha deposeer más interés que la de las proposiciones limitativas, entanto que éstas no se adaptan al curso de las ciencias, mejoraprehendido por las lógicas probabilistas (con las cuales, des-de luego, podría e m par en tars e la teoría lim itativa, en virtud




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64 GUSTAVO BUENO MARTÍNEZdel carácter modal de posibilidad que poseen los segundos miembros de sus proposiciones , que no se reducen a una silogística.La obra de Honen constituye también una enseñanza sobreel escaso fundamento en que descansa toda pretensión de prescindir de la lógica simbólica, aun en la exposición de la lógicaclásica; porque la misma obra de H6nen, pese a las declara-clones del autor citadas al principio de esta nota, es tributaria,en puntos decisivos, del modo de pensar logístiCo. Recuérdensede nuevo las nociones de clases complementarlas universo lógico,desarrollos, etc., y otros muchos procedimientos técnicos, sin loscuales no hubiera sido posible elaborar esta importante obra.

GUSTAVO BUENO MARTÍNEZ.

Gustavo Bueno Silogistica

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