H MATEMÁTICA HABILIDAD...

HABILIDAD MATEMÁTICA

HABILIDAD MATEMÁTICA

GUÍA DE VINCULACIÓN ENTRE PRUEBA ENLACE

Y

PROGRAMAS DE ESTUDIO (DGB)

COLEGIO DE BACHILLERES

DEL ESTADO DE PUEBLA

Director General

Lic. José Antonio Gómez Mandujano

Director Académico

Dr©. Julián Otero Sánchez

GUÍA DE VINCULACIÓN ENTRE LA PRUEBA

ENLACE Y PROGRAMAS DE ESTUDIO (DGB)

Copyright ©, 2012 por Colegio de Bachilleres

del Estado de Puebla.

Todos los derechos reservados.

DIRECCIÓN ACADÉMICA

Jefatura Estatal de Matemáticas

Camino a Xilotzingo 2a. Cerrada No. 6506

Fracc. San José Xilotzingo

Puebla, Puebla, México. C.P. 72590

Autores

Dra. Francisca Dolores Matlalcuatzi Rugerio

Dr©. Efren Matlalcuatzi Rugerio.

Colaboradores

Lic. Gabriel Cortés Calderón.

Germán Antonio Vázquez Romero

Lic. Jaime Garrido González.

Esta publicación se terminó de editar durante el mes de mayo de 2012. Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Puebla Camino a Xilotzingo 2a. Cerrada No. 6506, Fracc. San José Xilotzingo Puebla, Puebla, México. C.P. 72590 MS y páginas electrónicas

Presentación

Una evaluación desde el punto de vista del docente, tiene por objetivo apoyar en la detección de áreas de oportunidad de las prácticas pedagógicas y contribuir a la mejora de la planeación del trabajo en el aula. Por lo tanto, es necesario buscar nuevos recursos didácticos que apoyen y refuercen los conocimientos en los alumnos, los cuales emplearán en situaciones específicas de la vida personal, social y profesional. Esta obra es uno de los apoyos didácticos que el Colegio de Bachilleres del Estado de Puebla (COBAEP) ofrece con la intención de reforzar las actividades de enseñanza en el aula que demandan los tiempos y la necesidades actuales, la guía se encuentra organizada en tres capítulos y un compendio de pruebas. El primer capítulo incluye generalidades de prueba ENLACE, tales como definición, propósito, población objetivo, procesos y niveles de complejidad. En el segundo capítulo se realiza una vinculación de los reactivos de las pruebas ENLACE 2009, 2010, 2011 y 2012 con los programas de estudio de matemáticas correspondientes de la dirección general de bachillerato, con la finalidad de que el docente los incluya en su clase, en el momento de estar impartiendo los temas pertinentes al reactivo. El capítulo tercero consta de un desarrollo sustancial de matemáticas, donde se incluyen temas fundamentales de Aritmética, Álgebra, Geometría planay Trigonometría. De igual forma se incluyen conceptos básicos de Geometría analítica. Además, se concentran los reactivos de las pruebas de los años antes mencionados y se anexan las respuestas de cada uno de estos reactivos en una forma objetiva y sencilla de comprender para el estudiante. Este material complementa la enseñanza en el aula con problemas enfocados en el desarrollo de las competencias disciplinares de matemáticas y constituye una herramienta para el logro académico del proceso de evaluación nacional, en el que las escuelas se vean beneficiadas, con estudiantes mejor preparados y en consecuencia se alcance el perfil del egresado de COBAEP. Estamos seguros que su uso constante marcará una diferencia significativa en los resultados. Por último, es nuestro deseo fortalecer y consolidar la identidad de COBAEP a partir de la elaboración de material didáctico propio y al alcance de todos.

Atentamente,

Los autores

Índice

Generalidades de la prueba ENLACE .....................................................................1

¿Qué es ENLACE? ..................................................................................................2

Campo disciplinar de Matemáticas ...........................................................................2

Contenidos temáticos que aborda .............................................................................2

Procesos y niveles de complejidad ...........................................................................3

Vinculación de contenidos ENLACE-Programas de estudio COBAEP .................5

Matemáticas I ...........................................................................................................5

Matemáticas II .........................................................................................................7

Matemáticas III ........................................................................................................9

Matemáticas IV ...................................................................................................... 10

Preliminares matemáticos....................................................................................... 12

Aritmética .............................................................................................................. 13

Conceptos elementales .................................................................................... 13

Sumas y restas con números enteros ................................................................ 16

Multiplicación y división con números enteros ............................................... 17

Sumas que combinan números enteros con números fraccionarios .................. 19

Multiplicación y división combinando números fraccionarios ......................... 22

Problemas con números mixtos ....................................................................... 23

Combinación con signos de agrupación .......................................................... 23

Fracciones equivalentes ................................................................................... 25

Potenciación .................................................................................................... 26

Razones y proporciones ................................................................................... 27

Algebra .................................................................................................................. 31

Lenguaje común y algebraico .......................................................................... 31

Expresiones equivalentes a una ecuación algebraica........................................ 36

Sistemas de ecuaciones lineales ....................................................................... 37

Relaciones entre gráficas y funciones lineales o cuadráticas ........................... 39

Ecuación de una recta ...................................................................................... 49

Geometría plana y trigonometría ............................................................................ 52

Conceptos elementales de geometría ............................................................... 52

Superficies ...................................................................................................... 53

Conversión del sistema decimal al sexagesimal y ángulos ............................... 57

Perímetros de composiciones geométricas ....................................................... 60

Calculo de área ................................................................................................ 64

Circunferencia ................................................................................................. 65

Figuras tridimensionales .................................................................................. 66

Volumen ......................................................................................................... 67

Aplicar funciones y leyes trigonométricas ....................................................... 73

Conceptos básicos de simetría ......................................................................... 75

Geometría analítica ................................................................................................ 76

Sistemas de ejes coordenados .......................................................................... 76

Ecuación de la recta......................................................................................... 78

Ecuación de la circunferencia .......................................................................... 79

Ecuación de la parábola ................................................................................... 81

Ecuación de la elipse ....................................................................................... 84

Prueba ENLACE 2009 ............................................................................................ 86

Prueba ENLACE 2010 .......................................................................................... 150

Prueba ENLACE 2011 .......................................................................................... 209

Prueba ENLACE 2012 .......................................................................................... 245

Bibliografía ............................................................................................................ 289

INICIO

1

Generalidades de la prueba ENLACE

¿Qué es ENLACE?

La prueba ENLACE Media Superior (ENLACE MS) es uno de los instrumentos construidos para mejorar la calidad de la Educación Media Superior (EMS) en todas sus dimensiones, subsistemas, modalidades y planteles. Se desarrolló con el fin de generar información para cada alumno, sobre su capacidad de responder a exigencias de la vida cotidiana al egresar de la EMS, de tal forma que se proporcionen elementos para contribuir a mejorar el sistema educativo (incluyendo a maestros, directivos, planteles, padres de familia, etcétera). La prueba ENLACE MS es un instrumento estandarizado de evaluación en el que se incluyen diferentes subsistemas, por tal motivo, se busca contar con criterios comunes en un marco de diversidad, de ahí que solamente las competencias genéricas y las disciplinares básicas, serán metas de todos los subsistemas. Las competencias disciplinares básicas se trabajan de manera específica en cuatro campos: Comunicación, Matemáticas, Ciencias Experimentales y Ciencias Sociales (SEMS, 2008).

Propósitos

Los propósitos de la prueba ENLACE MS son:

• Generar información para cada alumno, sobre su nivel de desempeño en dos campos disciplinares básicos: Comunicación (Comprensión Lectora) y Matemáticas.

• Proveer elementos para contribuir a mejorar el sistema educativo.

• Proveer información útil para el plantel, los profesores y los padres de familia.

Población objetivo

La prueba está dirigida a los alumnos de toda la República Mexicana que cursan el último ciclo de bachillerato (cuatrimestre, semestre, año) en modalidad escolarizada de los diferentes subsistemas de las instituciones de Educación Media Superior (bachilleratos generales, tecnológicos y bivalentes), en escuelas públicas como privadas. Regresa al índice

2

Campo disciplinar de matemáticas

La prueba enlace determina la capacidad de un individuo para identificar, interpretar, aplicar, sintetizar y evaluar matemáticamente su entorno, haciendo uso de su creatividad y de un pensamiento lógico y crítico que le permita solucionar problemas cuantitativos, con diferentes herramientas matemáticas.

Competencias disciplinares de Matemáticas que evalúa: El diseño de la prueba ENLACE MS se centra únicamente en la medición de indicios de las competencias disciplinares básicas susceptibles de evaluarse con reactivos de opción múltiple en una aplicación censal, varios de los reactivos de la prueba consideran la resolución de problemas en situaciones contextualizadas

(1) Interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

(2) Resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. (3) Interpreta los datos obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los

contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. (5) Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural

para determinar o aproximar su comportamiento. (7) Cuantifica y representa matemáticamente las magnitudes del espacio y las

propiedades físicas de los objetos que lo rodean. (8) Lee tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y

científicos. NOTA: Las competencias disciplinares 4 y 6 no son consideradas debido a que el estudiante no tiene oportunidad de argumentar su respuesta ni elegir entre dos procedimientos.

Regresa al índice

Contenidos temáticos que aborda

En los años 2008-2010 se consideraron los contenidos de Cantidad: Se refiere a la capacidad de cuantificar para describir el entorno.

Incluye aquellos conceptos involucrados en la comprensión y el orden de tamaños relativos, uso de números para representar cantidades y atributos cuantificables de los objetos del mundo real, y realizar cálculos.

3

Espacio y Forma: Se refiere a la capacidad de reconocer patrones, imágenes, ubicaciones, movimientos o cualidades espaciales de los objetos, así como codificar y decodificar información de éstos en contextos concretos (imágenes) y abstractos (descripciones).

Cambios y relaciones: Se refiere a reconocer, interpretar, aplicar, sintetizar y evaluar de forma numérica, algebraica y gráfica las relaciones entre dos o más variables. Admite la posibilidad de inferir datos a partir del análisis de situaciones reales, experimentales o hipotéticas.

Matemáticas Básicas En ENLACE 2011 se omitieron reactivos relacionados a contenidos de probabilidad, estadística, trigonometría y cálculo.

Regresa al índice

Procesos y niveles de complejidad

• Reproducción: Incluye tareas que permiten determinar si el alumno conoce y

aplica la técnica matemática. Involucra esencialmente usar conocimientos y procedimientos matemáticos a problemas directos, reconocer equivalencias, utilizar objetos y propiedades matemáticas, así como extraer información de representaciones numéricas, simbólicas y gráficas.

• Conexión: Contiene problemas que se presentan a partir del planteamiento de, situaciones sencillas, académicas o de la vida cotidiana. Los problemas de este tipo plantean exigencias en su interpretación y requieren que el alumno reconozca la técnica matemática que hay que utilizar, con el fin de solucionar problemas que impliquen equivalencias, uso de propiedades matemáticas y empleo de representaciones numéricas, simbólicas y gráficas.

• Reflexión: se refiere a problemas que no son directos, se presentan a partir de situaciones complejas retomadas de la vida real, en las que se utilice más de una forma de representación de información (textual, numérica, simbólica y/o gráfica). Los problemas de este tipo plantean exigencias en su interpretación y requieren que el estudiante reconozca la técnica matemática que debe utilizar, establezca relaciones, combine e integre información entre distintas formas de representación o entre diferentes aspectos de una situación y utilice más de un paso o proceso, con el fin de solucionar un problema.

4

La calificación de la prueba se hace con referencia a un criterio previo definido a partir del Perfil Referencial. Un grupo de expertos determina las puntuaciones de corte que ubicarán a cada alumno en un nivel de dominio, de acuerdo con los indicios de competencia que mostró con su desempeño en la prueba: insuficiente, elemental, bueno y excelente

Regresa al índice

5

Vinculación de contenidos ENLACE-PROGRAMAS DE ESTUDIO COBAEP

La siguiente tabla muestra los contenidos de los programas de estudio de RIEMS vinculados a los números de reactivos de la prueba ENLACE 2009-2011.

MATEMÁTICAS I

BLOQUE Reactivos ENLACE

Bloque 1: Resuelves problemas aritméticos y algebraicos.

2009 p12009, p22009, p32009,p42009 ,p52009

2010 p12010, p22010, p32010,p42010, p52010

2011 p12011, p22011, p32011,p42011, p52011

2012 p12012, p22012, p32012, p42012, p52012, p82012, p182012, “Se sugiere incorporar la traducción al lenguaje algebraico” del p312012

Bloque 2: Utilizas magnitudes y números reales.

2009

p62009,p72009,p82009,p92009,p102009,p112009,p132009, p152009, p162009,p172009,p192009,p222009,p232009, p242009, p252009, p402009, p422009, p432009, p472009

2010

p6210,p72010,p820010,p92010, p102010, p112010, p132010, p152010,p162010,p172010,p192010, p212010,p222010, p232010, p242010, p252010, p422010, p432010

2011 p62011, p72011,p82011,p92011,p102011, p112011,p122011, p132011, p142011, p152011,p162011, p172011,p182011, p192011,p202011

2012 p62012,p72012,p92012, p102012,p112012,p122012,p132012,p142012,p152012,p162012,p172012,p192012, p202012,p352012,p442012

Bloque 3:

Realizas sumas y sucesiones de números

2009

2010

2011 p492011

2012 p512012

6

Bloque 4: Realizas transformaciones algebraicas I

2009 p212009, p312009, p322009, p512009

2010 p312010, p522010, p532010

2011 p312011

2012

Bloque 5: Realizas transformaciones algebraicas II

2009

2010

2011

2012

Bloque 6:

Resuelves ecuaciones lineales I

2009 p142009,p282009, p292009, p362009, p402009, p412009, p472009

2010 p142010, p282010, p292010, p342010, p362010, p402010, p412010, p472010, p482010, p512010, p522010

2011 p372011,p462011,p482011

2012 p312012, p362012, p372012,p382012,p422012,p452012,p462012,p472012,p482012,p502012

Bloque 7 Resuelves ecuaciones lineales II

2009 p382009, p502009, p542009, p552009

2010 p382010, p502010, p542010, p552010

2011 p452011

2012 p392012,p402012

Bloque 8: Resuelves ecuaciones lineales III

2009

2010

2011 p402011

2012

Bloque 9:

Resuelves ecuaciones cuadráticas I

2009 p492009

2010

2011 p392011

2012 p392012

Bloque 10:

Resuelves ecuaciones cuadráticas II

2009 p342009, p372009, p522009, p832009, p892009

2010 p372010

2011 p322011

2012 p412012

7

Se recomienda incluir los siguientes reactivos

2009 p622009, p632009, p642009, p652009, p702009, p712009, p722009, p732009, p762009, p772009, p782009, p792009

2010 p602010, p622010, p632010, p692010, p702010,p712010, p722010, p742010, p752010, p762010, p772010

2011 p212011, p22011, p242011, p262011, p292011, p492011, p512011, p562011

2012 p212012, p222012, p242012, p292012, p462012

Regresa al índice

MATEMÁTICAS II

BLOQUE Reactivos ENLACE Bloque 1:

Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas

2009 p782009

2010

2011

2012 p262012, p582012

Bloque 2: Comprendes la congruencia de triángulos

2009

2010

2011

2012

Bloque 3: Resuelves problemas de semejanza de triángulos

2009 p182009, p562009,p572009

2010 p562010,p572010

2011 p252011

2012 p252012

Bloque 4: Reconoces las propiedades de los polígonos

2009 p122009,p202009,p612009, p632009, p642009, p652009, p662009, p672009, p682009, p732009

2010 p122010,p182010, p202010, p492010, p592010, p612010, p632010, p642010, p652010, p662010, p782010

2011 p212011,p222011,p272011,p282011,p302011,p502011,p522011,p532011,p542011, p552011,p572011

2012 p212012,p282012,p222012,p302012,p522012,p532012,p542012,p552012,p562012,p572012,p582012, p592012

Bloque 5: Empleas la circunferencia

2009 p302009

2010 p302010

8

2011

2012

Bloque 6: Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos

2009 p262009, p592009

2010

2011

2012

Bloque 7 Aplicas las funciones trigonométricas

2009 p582009, p882009

2010 p262010, p582010, p862010

2011

2012

Bloque 8: Aplicas la leyes de los senos y cosenos

2009 p602009, p812009, p862009, p872009

2010 p792010, p842010, p852010

2011

2012

Bloque 9: Aplicas la estadística elemental

2009 p392009

2010 p392010, p422010

2011

2012

Bloque 10: Empleas los conceptos elementales de la probabilidad

2009 p442009, p452009, p462009

2010 p442010, p452010, p462010

2011

2012


2009 p622009, p632009, p642009, p652009, p702009, p712009, p722009, p732009, p762009, p772009, p782009, p792009

2010 p602010, p622010, p632010, p692010, p702010, p712010, p722010, p742010, p752010, p762010, p772010

2011 p212011, p222011, p242011, p262011, p292011, p492011, p512011, p562011

2012 p212012, p222012p242012, p292012, p462012

Regresa al índice

9

MATEMÁTICAS III

BLOQUES Reactivos ENLACE Bloque 1: Reconoces lugares geométricos

2009 p692009, p752009

2010 p672010, p682010, p732010, p832010

2011 p232011, p362011

2012 p232012

Bloque 2: Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos

2009 p852009

2010

2011

2012 p322012,p362012,p372012,p382012,p422012,p452012,p462012,p472012,p482012,p492012,p502012

Bloque 3: Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

2009 p282009, p292009, p362009, p412009, p472009,p482009

2010 p282010, p292010, p342010, p362010, p402010, p412010, p472010, p482010, p512010, p522010

2011 p462011,p482011,p372011,p382011,p452011

2012 p382012, p492012

Bloque 4: Utilizas las distintas formas de la ecuación de una recta

2009 p282009, p292009, p362009, p412009, p472009,p482009

2010 p282010, p292010, p342010, p362010, p402010, p412010, p472010, p482010, p512010,

2011 p462011, p482011,p372011,p382011,p452011

2012 p362012, p492012

Bloque 5: Aplicas los elementos y las ecuaciones de la circunferencia

2009 p302009, p822009

2010 p802010, p302010

2011

2012 p342012

Bloque 6:

Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola

2009 p342009, p372009, p522009, p832009, p892009

2010 p372010, p812010, p872010

2011 p322011

2012

Bloque 7:

Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse

2009 p272009, p842009, p902009

2010 p272010, p822010, p882010

2011 p342011

10

2012

Regresa al índice

Matemáticas 4

MATEMÁTICAS IV

BLOQUES Reactivos ENLACE Bloque 1: Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

2009 p332009, p352009

2010 p332010,p352010

2011 p332011,p352011,p412011,p472011

2012 p332012

Bloque 2: Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas

2009 p482009, p512009, p532009

2010

2011 p362011,p432011,p442011

2012

Bloque 3: Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

2009 p282009, p292009,p352009,p372009,p412009,p472009,p482009

2010 p402010, p412010, p472010, p482010, p512010, p522010

2011 p322011,p372011,p422011

2012 p322012, p362012, p372012, p382012, p412012, p422012

Bloque 4: Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro.

2009

2010

2011

2012

Bloque 5: Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas

2009

2010

2011

11

2012

Bloque 6: Aplicas funciones racionales

2009

2010

2011

2012

Bloque 7

Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas

2009

2010

2011

2012

Bloque 8: Aplicas funciones periódicas

2009

2010

2011

2012


2009 p622009, p632009, p642009, p652009, p702009, p712009, p722009, p732009, p762009, p772009, p782009, p792009

2010 p602010, p622010, p632010, p692010, p702010, p712010, p722010, p742010, p752010, p762010, p772010

2011 p212011, p222011, p242011, p262011, p292011, p492011, p512011, p562011

2012 p212012, p222012, p242012, p292012, p462012

Regresa al índice

12

Estructura de Datos [SCC-0408]

Preliminares matemáticos En esta sección se presentan algunos conceptos y formulas matemáticas que se emplean con mucha frecuencia en la resolución de reactivos de la prueba ENLACE solo en habilidad matemática.

1. Aritmética

Conceptos elementales

Sumas y restas con números enteros

Multiplicación y división con números enteros.

Sumas que combinan números enteros con números fraccionarios.

Multiplicación y división combinando números fraccionarios.

Problemas con números mixtos.

Combinación con signos de agrupación.

Fracciones equivalentes.

Potenciación y radicación.

Razón y proporción. 2. Álgebra

Lenguaje común y algebraico.

Expresiones equivalentes a una ecuación algebraica

Sistemas de ecuaciones lineales.

Relaciones entre gráficas y funciones lineales o cuadráticas

Ecuación de una recta. 3. Geometría Plana y trigonometría

Conceptos elementales de geometría

Superficies

Conversión del sistema decimal al sexagesimal y ángulos.

Perímetros de composiciones geométricas.

Cálculo de área

Circunferencia

Figuras tridimensionales.

Conceptos básicos de simetría.

Aplicar funciones y leyes trigonométricas para resolución de problemas.

4. Geometría analítica

Sistemas de ejes coordenados.

Ecuación de la recta.

La circunferencia.

La parábola

La elipse

Regresa al índice

13


ARITMÉTICA Conceptos elementales Los NÚMEROS REALES están integrados por los números racionales (1, 3, 0.004,

-9,

) y por los números irracionales (ejem: π, e, ). Son todos los que conforman

la recta numérica, se representa por (IR) -3 -2 -1 0 1 2 3 Los números naturales son todos aquellos con los que podemos contar, es decir

. y constituyen un conjunto infinito. Los números positivos son aquellos números que son mayores que cero, y los números negativos son aquellos números que son menores que cero.

Los números enteros son los naturales, sus negativos y el cero. …,-4, -3, -2, -1, 0

,1 ,2 ,3 4,… Los números racionales son aquellos que se pueden escribir como el cociente de

dos números enteros en el que el denominador no es cero.

.Además, un

número racional puede ser un decimal como 0.3 que representa a

. Este conjunto

contiene a los enteros. Todo número racional tiene una expansión decimal periódica. Los números irracionales son aquellos números que tienen expansiones decimales que no son periódicas.

Ejemplos: π, e, .

14


Sabias que existen más números irracionales que racionales.

Un número natural , mayor que uno, es un número primo si sus únicos factores

en los que se puede descomponer como producto son 1 y . Es decir, tiene exactamente dos divisores: el mismo y la unidad. En consecuencia, el número 1 no se considera primo. Ejemplo: Los divisores del 2 son: el 1 y el 2. Por lo tanto, el dos es número primo. Una forma de hallar números primos es mediante la conocida criba de Eratóstenes, en la que se forma una tabla con los números desde el 2 hasta n. En la siguiente tabla se presentan los números del 2 al 100 para obtener números primos. En este caso sombremos los números que no son primos mediante el siguiente procedimiento

1. El primer número primo que encontramos es el 2, ya que solamente se puede dividir entre el mismo y el 1, debido a que el dos divide todos los números pares, se sombrean todos los números pares.

2. El siguiente número si sombrear es el 3, que solamente se puede dividir entre él mismo y el 1, por ello es número primo y se sombrean todos los múltiplos de 3, se sigue el mismo procedimiento con los números restantes.

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Los números primos menores que 100 son {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97} Todo número natural mayor que uno se factoriza de manera única como producto de números primos elevados a ciertas potencias. Números compuestos Son los números que son producto de primos, excepto el 1. Los números compuestos se pueden dividir por uno o más números distintos a él mismo y a la unidad.

15


Ejemplo: los divisores de 4 son: 1, 2 ,4. El número distinto a él mismo y al 1 es el 2. Los números compuestos se pueden escribir como el producto de dos enteros positivos menores que él. Por ejemplo 4= (2)(2) A este procedimiento se le conoce como factorización Descomposición de un número en producto de factores primos Para descomponer un número en producto de factores primos se le coloca una raya vertical y se siguen los pasos:

1. Escribe al número a descomponer a la izquierda de la raya.(44) 2. A la derecha coloca el número menor primo que divida al número a

descomponer. (2) 3. El cociente que se obtuvo se escribe debajo del número compuesto(22) 4. Se repite el procedimiento anterior con el cociente que se obtuvo hasta llegar

a un número igual a 1 Ejemplo realiza la descomposición en producto de factores primos de 44

El resultado es: 24= (2)(2)(11) MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor de los

divisores comunes. Para hallar el máximo común divisor de dos o más números, por ejemplo, m.c.d. (12, 18), se siguen estos pasos: 1. ° Se descompone cada número en producto de factores primos. 2. ° El producto de los factores comunes elevados al menor exponente es el máximo común divisor de los números dados.

16


El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero. Para hallar el mínimo común múltiplo de dos o más números, por ejemplo, m.c.m. (30, 45), se siguen estos pasos: 1.° Se descompone cada número en producto de factores primos. 2.° El producto de los factores comunes y no comunes con el mayor exponente es el mínimo común múltiplo de los números dados.

NOTAS: • En problemas donde las cantidades involucradas tengan que coincidir en algún momento, se aplica el m.c.m. • En problemas donde las cantidades involucradas se tengan que dividir o multiplicar, entonces se utiliza el m.c.d.

Regresa al índice

Sumas y restas con números enteros Los números enteros incluyen tanto a los enteros positivos como a los enterosnegativos y al número cero Sumas: Al realizar una suma de dos o más números enteros se conserva el signo en el resultado.

La resta Al restar dos números enteros el resultado conserva el signo del número con mayor valor absoluto,

17


Si en una operación hay diversos números con diferentes signos se suman los enteros con mismo signo y después se realiza la resta El resultado de 5-2-6+5-1-9+3, es

Posteriormente se realiza la resta: 13-18= -5. Regresa al índice

Multiplicación y división con números enteros

Las siguientes propiedades se conocen como las leyes de los signos: para todos

y números reales, se tiene que

La multiplicación Cuando se quiere sumar repetidamente un número entero, se puede realizar una multiplicación. Por ejemplo para no efectuar la suma

Se multiplica el número de veces de la suma:

Una multiplicación puede ser expresada de las siguientes formas

4 x 5=20

(4)(5)=20

4*5=20

18


Elementos de la multiplicación

Al multiplicar dos enteros con signos iguales, se obtienen un número con signo positivo

Al multiplicar dos enteros con signos diferentes, se obtienen un número con signo negativo.

La división La división es la operación inversa de la multiplicación, al dividir se busca el número por el que se debe de multiplicar al divisor para obtener el dividendo:

Una división puede representarse de la siguiente forma:

Elementos de la división

Al dividir dos números enteros con signos iguales, el resultado tiene signo positivo

19


Ejemplo:

Al dividir dos números enteros con signos diferentes, el resultado tiene signo negativo

Ejemplo:

Regresa al índice

Sumas que combinan números enteros con números fraccionarios

Números fraccionarios Los números fraccionarios son el cociente de dos enteros a, b, donde a es llamado

numerador y b denominador y diferente de cero

El denominador indica el

número de partes en las que se debe dividir la unidad, y el numerador, el número de partes que se ocupa de la unidad

Representación

Tipos de fracción

Fracción propia: El numerador es menor que el denominador. Ejemplo

.

Fracción impropia: El numerador es mayor o igual que el denominador. Ejemplo

.

Fracción mixta: Esta compuesta por un entero y una fracción. Ejemplo

.

20


SUMA Y RESTA CON NÚMEROS FRACCIONARIOS

Casos

Ejemplos

Si los denominadores son iguales:

Efectúa la suma o resta de los numeradores y el denominador se pasa igual

Si los denominadores son diferentes

Si uno de los denominadores es múltiplo del otro Coloca una línea horizontal, debajo coloca el denominador que es múltiplo, sobre la línea divide el denominador múltiplo entre el primero denominador de la primera fracción y multiplica por el primer numerador colocando el resultado sobre la línea, corre el signo que separe la fracción y divide ahora el numerador múltiplo entre en numerador de la segunda fracción y multiplica por su numerador.

Si no existe denominador múltiplo de los otros denominadores

=2*2*3*3*7=252

21


Calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m) y este será el denominador múltiplo como en el caso anterior, procede de la misma manera

m.c.m(150,75,225)=2*3*3*5*5=450

Suma y resta de dos fracciones con diferente denominador

Ejemplos

Regresa al índice

22


Multiplicaciones y divisiones combinando números fraccionarios Multiplicaciones

Para realizar multiplicaciones con números fraccionarios se procede de la siguiente forma, se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador Ejemplos:

División Se tienen dos casos representativos: Multiplica de manera cruzada

,

Extremos por extremos en numerador y medios por medios en denominador

,

Regresa al índice

23


Problemas con números mixtos Un número mixto se convierte a uno fraccionario mediante el siguiente procedimiento

El denominador de la fracción se multiplica por el entero y se suma con el numerador colocándose en el numerador de la nueva fracción equivalente, el denominador es el mismo que el de la fracción en el mixto. Si en un problema se tienen números mixtos se convierten a fraccionarios y posteriormente se ejecuta la operación. Ejemplo

Regresa al índice

Combinaciones con signos de agrupación

Cuando aparece una expresión con operaciones aritméticas, de exponenciación, radicación y signos de agrupación es necesario seguir un orden de prioridad en su ejecución, el cual es el siguiente:

1. ^ Exponenciación y Radicación

2. ( ) Paréntesis

3. x / Multiplicación y División

4. + – Suma y Resta

Resolver primero lo que se encuentra entre paréntesis luego exponenciación y radicación, luego multiplicaciones y divisiones, y por ultimo sumas y restas. Como hay operadores que tienen el mismo orden de prioridad, primero se ejecutan las que se encuentran en orden de aparición de izquierda a derecha.

24


Ejemplo 1

Resuelve la siguiente expresión

Se resuelven raíces y potencias

Se resuelven las operaciones dentro de los paréntesis

Se resuelve la multiplicación Elimina los corchetes Se realiza la resta

El resultado es 6

Ejemplo 2.

1

Ejemplo 3

Al realizar una operación de números enteros con signo de agrupación, primero se eliminan los signos y después se realiza la operación Ejemplo

— ]=

Regresa al índice

25


Fracciones equivalentes Son aquellas que representan la misma cantidad expresada de forma diferente. Se puede comprobar que dos fracciones son equivalentes de la siguiente manera

Compruebe que las siguientes dos fracciones son equivalentes

Multiplique de manera cruzada ambas fracciones Se multiplica el numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda y se coloca arriba. Se multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda y se coloca abajo

Las fracciones son equivalentes si en la fracción que resulto el numerador y denominador son iguales. De número fraccionario a números decimales Las fracciones pueden expresarse en números decimales, los cuales resultan de dividir el numerador entre el denominador. Por ejemplo

De número decimal a número fraccionario Ejemplos:

0.005 se multiplica y divide por 1000


1.5 se multiplica y divide por 10 1


Regresa al índice

26


Potenciación Potenciación: es el producto de varios factores iguales, el cual se utiliza para abreviar las expresiones matemáticas. El factor que se repite se llama base, y en la parte superior derecha del mismo se coloca el exponente que indica el número de veces que se multiplica la base

Elevar un número a la potencia 2, equivale a formar un cuadrado. Por ello, a la

expresión se le denomina dos al cuadrado

Al elevar un número a la potencia 3, equivale a formar un cubo. Por ello a la

expresión se le denomina dos al cubo.

Divisibilidad

Decimos que un número natural divide al número natural (o bien, que es un

múltiplo de , o que es un factor de ) si existe un número natural tal que

. En la siguiente Tabla se muestran diferentes criterios que te permitirán determinar si un número es divisible por otro.

Número Criterios de divisibilidad Ejemplo

2 El número termina en cifra par 268: porque "8" es par

27


Regresa al índice

Razones y Proporciones

Razones Comparar las cantidades significa dividir la magnitud de una entre la magnitud de la otra, y el resultado de dicha comparación se llama razón.

La razón entre dos cantidades y se puede representar de las siguientes formas

;

; ó , donde es diferente de cero. La notación se lee de la siguiente

manera “ ” es a “ ” Ejemplo 1. Si en un salón de clases hay 4 hombres y 12 mujeres, entonces la razón de

hombres a mujeres es: 4:12,

,o 4 ÷ 12 =

es decir que hay 1 hombre por cada

3 mujeres; 1:3, un hombre es a tres mujeres.

3 La suma de sus cifras es un múltiplo de 3 804: porque 8+ 0+4 = 12 es múltiplo de 3

4 El número formado por las dos últimas cifras es un múltiplo de 4

3528: porque 28 es múltiplo de 4

5 La última cifra es 0 ó 5 305: porque acaba en 5

6 El número es divisible por 2 y por 3 54: Ver criterios anteriores

8 Sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 8

586,584 por que 584/ 8 = 73

9 La suma de sus cifras es múltiplo de 9 3744: porque 3+7+4+4= 18 es múltiplo de 9

10 La última cifra es 0 470: La última cifra es 0

28


En algunas otras literaturas Razón es una comparación de dos cantidades semejantes. Por lo general se expresa como el cociente de las cantidades. Ejemplo 2: Diego puede leer 350 palabras por minuto y un lector promedio lee 250 palabras por minuto. ¿Cuánto más rápido lee Diego?, para poder encontrar la relación, se divide

Esto es, por cada 5 palabras que lee un lector promedio, Diego lee 7 Las comparaciones pueden ser denotadas de diferentes formas. 1) 7 : 5 2) 7 ÷ 5

3)

4) 7 a 5 Las comparaciones por medio de una razón están limitadas a cantidades del mismo tipo. Por ejemplo, para expresarla relación entre 9 m y 35 cm ambas cantidades deben escribirse en términos de la misma unidad. Entonces, la forma que deben ser relacionadas es 9m: 0.35m, por convencionalismo y además como están expresadas en la misma unidad, se eliminan las unidades y se expresa 9: 0.35.

Proporciones

Es la igualdad de dos razones Ejemplo: 4:5 = 12:15;

PROPORCIÓN DIRECTA Si dos magnitudes son tales que a doble, triple… cantidad de la primera corresponde doble, triple… de la segunda, entonces se dice que estas magnitudes son directamente proporcionales Ejemplo1 En un laboratorio de Fisiología, al medir durante cierto tiempo los litros de sangre que bombea el corazón de una persona cuyo peso es de 70 kg, se obtuvieron los siguientes datos:

29


Litros de sangre que bombea el corazón 20 35 50 60

Tiempo en minutos 4 7 10 12

Se observa en la tabla que a medida que aumenta el tiempo, aumentan los litros de sangre que bombea el corazón. Y viceversa, a medida que disminuye el tiempo, disminuye el bombeo de sangre. Al tomar las comparaciones se tienen las siguientes razones.

Como las razones son constantes, podemos igualar los cocientes, así se construyen las proporciones.

y otras posibles combinaciones. Dos o más cantidades son directamente proporcionales cuando su cociente es constante o igual. Ejemplo 2: Si 2 kilos de tortillas valen $18.00 ¿Cuánto cuestan 5 kilos? Para resolver planteamos el problema de la siguiente forma:

2Kg -- $18.00 2Kg:$18.00

=

5Kg -- $x 5Kg: $x

Algunas otras razones

Medida Equivalente La razón es:

1 Kilómetro 1000 metros

1 metro 100 centímetros

1 hora 60 minutos

1 minuto 60 segundos

30


REGLA DE TRES

Se utiliza para resolver problemas de proporcionalidad entre tres o más datos conocidos (supuestos) y uno que no conocemos Ejemplo Problema: Si Mario pagó $54, por descargar a su celular 12 juegos. ¿Cuánto pagara por descargar 18 juegos?

Para determinar la incógnita vincula con líneas cruzadas. Los elementos relacionados por la línea en la que no se encuentra la incógnita se multiplican y se divide por el número opuesto a la incógnita

Pagará $81 pesos por 18 juegos. TANTO POR CIENTO

El tanto por ciento es una forma de expresar un número como una fracción de 100, al igual que conocemos como porcentaje utilizando el signo de %. Ejemplo: 9% expresa que se toman 9 de cada 100 Ejercicio 1. Elektra durante las ofertas del Buen Fin presento un descuento del 20% sobre el costo de un refrigerador de la marca Whirpool con un costo original de $8 199, ¿cuál será el costo con el descuento aplicado? Primero calcule la cantidad que representa el descuento (20% de $8 199)

Precio con descuento=$ 8199-$1639.8=$6559.2

31


Ejercicio2 Una cámara Sony DSC W510 la venden en el Buen Fin de $1 899 a $1 299, ¿cuál es el descuento en porcentaje? El descuento fue de $1 899- $1 299=$600

Entonces 31.5% fue el descuento Regresa al índice

ÁLGEBRA Lenguaje común y algebraico

En las operaciones algebraicas se establecen relaciones con números en los que una o más cantidades se desconocen, a ellas se les denominan incógnitas, variables o indeterminadas. Para representar a las cantidades ya sean conocidas o no, se utilizan letras del alfabeto y algunos vocablos griegos. Las primeras letras del abecedario se utilizan para cantidades conocidas o constantes y para las incógnitas o variables de la función o expresión algebraica, generalmente se utilizan las letras x, y, y z. Para resolver problemas algebraicos es de suma importancia interpretar cada una de las expresiones, y traducir al lenguaje común al algebraico. Observa la siguiente tabla:

Lenguaje común Lenguaje algebraico

Un número cualquiera b

La suma de dos números cualesquiera a+b

La diferencia de dos números cualesquiera

a-b

La suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera

(a+b)-c

El cociente de dos números cualesquiera

La mitad de un número cualquiera más el cuadrado de otro

El doble de un número cualquiera menos la tercera parte de otro

32


Completa la siguiente tabla Lenguaje común Lenguaje algebraico

La mitad de un número cualquiera mas 7

El doble de un número cualquiera mas un tercio del cuadrado de otro número

Un quinto de un número cualquiera menos el doble de otro mas uno

Término algebraico

Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos operacionales. A la expresión algebraica que contiene signo, coeficiente, literal y exponente se le llama término algebraico

Expresión Concepto ejemplo

Monomio Es aquella expresión algebraica que consta de un solo termino algebraico

Binomio Expresión algebraica que consta de dos términos algebraico

Trinomio Expresión algebraica que consta de tres términos algebraicos

Polinomio Expresión con más de tres términos algebraicos

33


Término semejante

Cuando en una expresión algebraica hay dos o más términos que tienen las mismas bases y sus respectivos exponentes son iguales, se les llama términos semejantes; si aparecen dos o más en una expresión algebraica es pertinente simplificarlos mediante la suma o resta de sus coeficientes. Ejemplo xy3 – 3 x2y + 5 xy3– 12 x2y + 6 los términos semejantes están indicados en mismo color, la reducción consiste en hacer las suma o resta de los coeficientes del mismo color: xy3 – 3 x2y + 5 xy3– 12 x2y + 6= (1+5) xy3+(-3-12) x2y+6=6 xy3– 15 x2y +6

Valor numérico El valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir las variables por los valores fijados y efectuar las operaciones que se indican Ejemplo:

Sustituyendo

Ecuación Una ecuación se define como una igualdad que existe entre dos expresiones algebraicas, donde se desconocen uno a más valores. Los elementos de una ecuación son: 1. Miembros.2. Términos.3. Incógnitas.4. Grado.5. Solución.

1. Miembros. Son cada una de las expresiones que aparecen en ambos lados del símbolo igual.

2. Términos. Son los sumandos que forman a cada uno de los miembros de la

ecuación.

34


3. Incógnita(s). Es el valor desconocido que se pretende encontrar, y puede haber una o más de ellas, también conocidas como variables o literales.

Dependiendo del número de letras distintas se dice que es de una, dos, tres, o más incógnitas

4. Grado. Es el mayor grado de los monomios que forman a sus miembros.

En este caso es de primer grado, porque ambos miembros poseen al 1 como exponente, sólo que por convencionalismo no se escribe.

5. Solución. Es el valor que puede tomar la incógnita para que la igualdad se establezca, dependiendo del grado y del número de las incógnitas, pueden ser varias soluciones.

La solución para esta ecuación es: x = 7 Puesto que al sustituir el valor encontrado en la incógnita de la ecuación se

cumple la igualdad. Forma corta de resolver una ecuación lineal

Despeje de la ecuación Descripción

Ecuación original.

Como el 2 en la ecuación original estaba sumando pasa al segundo miembro restando.

Se realiza la resta

El 3x estaba sumando en el segundo miembro, por lo que pasa al primero restando.

Se realiza la reducción de términos semejantes.

El coeficiente de la x está multiplicando pasa dividiendo.

Se realiza la división para así encontrar la solución.

35


Ejemplo 1. Entre Said y Raymundo van a comprar una bolsa de canicas que cuesta $56, pero Said tiene $12 menos que Raymundo. ¿Cuánto tiene cada uno? Para resolver este problema es necesario asignar la variable. x : Es el dinero que tiene Raymundo x −12 : Es el dinero que tiene Said Entre los dos comprarán una bolsa de canicas que cuesta $56, entonces el planteamiento del problema con la variable asignada se expresa de la siguiente forma: x + x −12 = 56 Esta es una de las ecuaciones más sencillas, no posee paréntesis ni denominadores, por lo que procederemos a despejarla.

Despeje de la ecuación

Descripción

x + x −12 = 56 Ecuación original.

2x = 56 +12 Se reducen términos semejantes y −12 pasa al otro lado de la igualdad sumando.

2x = 68 Se realiza la suma de los términos del segundo miembro. 68

x =68/2. El coeficiente de la variable pasa dividiendo

x = 34 Se efectúa la división, obteniéndose así el resultado.

Ejemplo 2. Juan y Pedro tienen una bolsa de canicas cada uno. Si Juan tomara una canica de la bolsa de Pedro, él tendría el doble que Pedro. Pero, si Pedro tomara una canica de la bolsa de Juan, ambos tendrían cantidades iguales. ¿Cuántas canicas tienen cada uno? El primer planteamiento dice: ¨Si Juan tomara una canica de la bolsa de Pedro, él tendría el doble que Pedro¨ Consideremos que: x=Juan y = Pedro

Sustituimos las letras por los valores

Se efectúan las operaciones

El resultado indica que efectivamente, Juan tendría el doble que Pedro

36


Ahora resolvamos el segundo planteamiento: ¨Si Pedro tomará una canica de la bolsa de Juan, ambos tendrían cantidades iguales ¨

Si sustituimos las letras por los valores

Se efectúan las operaciones

El resultado indica que efectivamente ambos tendrían cantidades iguales. Por lo que la solución es Juan 7 canicas y Pedro 5.

Regresa al índice

Expresiones equivalentes a una ecuación algebraica

Una expresión es equivalente a una ecuación algebraica cuando al multiplicar o dividir cada uno de los términos por un número da el mismo resultado.

Realizamos la multiplicación

Se tiene que

La ecuación Es equivalente a

Resolución de problemas Se tiene un rectángulo cuya base mide el triple que la altura y su perímetro mide 56 cm. Calcule la medida de la base y la altura. Mediante un dibujo en forma rectangular concentremos los datos

37


El perímetro de un rectángulo es la suma de sus lados

Sustituyendo

Por lo tanto

. Regresa al índice

Sistemas de ecuaciones lineales Métodos algebraicos para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables

Si se tienen el siguiente sistema de ecuaciones:

Y se pide calcular el valor de x y y, entonces podemos utilizar cualquiera de los siguientes métodos:

De reducción o de sumas y restas

De sustitución.

De igualación.

Resolver un sistema por el método de reducción o de sumas y restas Si se tienen el siguiente sistema de ecuaciones:

Se elige una variable cualquiera para eliminarla (elegimos x) y se multiplica en ambas ecuaciones por el coeficientes opuestos de la x en cada ecuación de modo que los coeficientes de la variable sean iguales y de distinto signo

Se realiza la multiplicación

38


A los coeficientes x quedan con diferente signo. Se realiza la suma y se resuelve lo demás

Para obtener el valor de x, se sustituye y por su valor: en cualquiera de las dos ecuaciones

Se realiza la comprobación, sustituyendo valores en la otra ecuación

Resolver un sistema por el método de sustitución

Se despeja una variable

Se sustituye el despeje en la segunda ecuación

Se realiza la multiplicación por 4

En el despeje se sustituye el valor de y

39


Resolver un sistema por el método de igualación

Se despeja la misma variable en cada una de las ecuaciones

Se igualan los despejes

Y se resuelve la ecuación

Se sustituye el valor de yen cualquier de los despejes

Regresa al índice

Relación entre gráficas y funciones lineales o cuadráticas

Plano cartesiano: En matemáticas se usa el plano cartesiano para localizar puntos. Se forma por dos rectas numéricas perpendiculares que cortan en un punto denominado origen. A la recta horizontal se le llama eje de las x o de las abscisas, y la vertical, eje de las y o eje de las ordenadas. Asimismo, se forma un plano dividido en cuatro regiones llamadas cuadrantes. En el eje de las x a la derecha se ubican los números positivos, y a la izquierda, los negativos. En el eje de las y hacia arriba están los números positivos, y hacia abajo, los negativos. Observa la siguiente gráfica

40


Para la localización de los puntos se utilizan unos números llamados coordenadas, cuya referencia es el origen. Cada punto tiene asignado un par ordenado de la forma Observa los puntos en la siguiente gráfica

Función lineal Una función es una relación de un conjunto A hacia un conjunto B, tal que a cada elemento del conjunto A le corresponde uno, y sólo un elemento del conjunto B. Se representa como:

41


Es muy importante que comprendas la definición anterior, ya que cualquier subconjunto formado por parejas de ordenadas es una relación, pero no

todas son una función. La siguiente relación no es una función, ya que hay un elemento de A que tienen que tiene dos valores en B:

Ejemplo de Función Ejemplo de no función

El siguiente ejemplo, se contextualiza a una situación de la vida real

42


43


Luego la función que definimos es:

x: número de personas y: costo total a pagar

Función

44


Elaboración de la gráfica de una función: Cuando se te pide que elabores una gráfica de una función tienes que encontrar los valores de x y y. Para obtenerlos se usa un procedimiento llamado tabulación, y consiste en dar valores a x para obtener los valores de y.

Para obtener la gráfica de la función y = -2x + 5, por ejemplo, se procede a tabular, es decir, se dan valores a la variable independiente x y se busca (por medio de las operaciones indicadas) el valor de la variable dependiente y, como se ilustra a

continuación.

Función: y = -2x + 5

x y Puntos

1 3 A(1,3) y = -2(1)+5 = -2+5 = 3

2 1 B(2,1) y= - 2(2)+5 = -4+5 = l

3 -1 C(3,-1) y= - 2(3)+5 = -6+5 = -l

4 -3 D(4,-3) y = - 2(4)+5 = -8+5 = -3

5 -5 E(5,-5) y = - 2(5)+5 = - 1O+5 = -5

Una vez que los valores se han tabulado, se procede a representarlos gráficamente.

45


Función

x y Puntos

1 4 A(1,4)

2 1 B(2,1)

3 0 C(3,0)

4 1 D(4,1)

5 4 E(5,4)

Una vez tabulados los valores, éstos se representan gráficamente de la siguiente manera:

Expresión algebraica de una representación grafica

Encuentra la ecuación que representa la gráfica

Valores y=2x+1

x y

-2 -3 y=2*(-2)+1= - 4+1= -3

-1 -1 y=2*(-1)+1= - 2+1= -1

0 1 y=2*(0)+1= 0+1= 1

46


Como la gráfica es una recta su ecuación es ,

donde b es el punto donde la recta corta al eje y; para este caso

b=1

Para encontrar m se toman dos puntos de la recta: (-1, -1) (0,1) y se sustituye en la siguiente fórmula:

donde:

sustituyendo los puntos en la fórmula obtenemos:

reemplazando y en la ecuación de la recta

Función cuadrática

Es una función polinomial de la forma:

Su representación en la gráfica es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.

El vértice de la parábola toma el valor máximo o mínimo de la función en el punto

47


Observe las siguientes gráficas

Graficar la siguiente función:

Primero buscamos las coordenadas del vértice mediante la fórmula

se sustituyen los valores

realizando las operaciones

Las coordenadas del vértice son:

Se registran los valores en la tabla y se tiene el punto medio. Ahora se calculan los demás valores de y. sustituyendo los valores escogidos para la variable xen la

ecuación

48


Resolución de problemas

GEOMETRÍA

Registro de los datos Dibujemos el rectángulo y colocamos los datos que tenemos

Se sabe que el área de un rectángulo es Planteamiento algebraico

Igualando a cero

Se factoriza

Para que esta igualdad se cumpla se tienen dos casos:

Rebeca hará un pedido de tarjetas de forma rectangular de 144 cm2 de

área, para dar a conocer un producto nuevo. El largo del rectángulo es

7cm más que el ancho. ¿Cuánto miden sus lados?

49


La medida se desecha, puesto que las medidasde los lados son positivas.

Por tanto

Regresa al índice

Ecuación de una recta

Pendiente y ordenada al origen

Dada la ecuación de la forma:

el valor de b es el punto donde la recta corta al eje y, también llamada ordenada al origen. El valor de m es la pendiente de la recta. En el planteamiento de un problema, puede que se proporcione la ecuación lineal de la forma

Y se pide que se determinen los valores de la pendiente y la ordenada al origen, donde: m= pendiente b= ordenada al origen Problema 1 Solución: Se despeja y

Solución

Representación grafica

Dada la ecuación lineal

Determinar los valores de la pendiente (m) y la ordenada al origen (b)

50


Problema 1 Solución: Se despeja y

Se grafica

Problema 3

Dada la ecuación lineal

determinar los valores de la pendiente (m) y la ordenada al origen (b)

51


Solución: Sustituimos valores

Se resuelve

Por tanto, sí pasa por el punto P Para determinar si la pendiente es correcta, despejamos y de la ecuación

La pendiente es el coeficiente de x y vale

, por lo que sí es correcta.

Regresa al índice

Determina si la ecuación de la recta tiene correspondencia

con una pendiente

y que pasa por el punto

52


GEOMETRÍA PLANA Y TRIGONOMETRÍA

Conceptos elementales de geometría

Elemento Representación Descripción Símbolo

Punto

Unidad indivisible P

Curva

Sucesión infinita de puntos que cambian constantemente de dirección

Línea recta

Sucesión infinita de puntos en una misma dirección

Segmento

Porción de recta limitada por dos puntos

Semirrecta

Cada una de las dos porciones en que está dividida una recta por cualquier punto

Plano

Superficie unidireccional que se extiende al infinito

Volumen

Espacio ocupado por un cuerpo, tiene tres dimensiones

Regresa al índice

53


Superficies Una superficie es una porción del plano, por tanto, tiene dos dimensiones. La forma más sencilla de delimitar una superficie es mediante tres puntos no alineados, los segmentos que los unen determinan una superficie

Ángulo Es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen llamado vértice.

Clasificación de los ángulos

Los ángulos pueden clasificarse según su medida en cinco tipos:

ángulo descripción figura

recto es aquel cuya medida es de 90°

∠ α = 90°

agudo es aquel cuya medida es menor que 90°

∠ α = < 90°

54


Llano es aquel cuya medida es de 180°

∠ α = 180°

obtuso es aquel cuya medida es mayor que 90° y menor que 180°

∠ α = > 90° < 180º

perigonal es aquel cuya medida es de 360°

∠ α = 360°

Polígonos

Un polígono es una figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos no alineados .Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se interceptan se llaman vértices.

Los polígonos que tienen sus lados iguales se denominan regulares y los que tienen sus lados desiguales se llaman irregulares. De acuerdo con el número de lados que los conforman se clasifican en:

55


Propiedades de los polígonos: 1. La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de "n" lados es

igual a tantas veces un ángulo llano como lados menos dos tiene el polígono,

es decir, .

2. El valor de un solo ángulo interior de un polígono convexo regular de "n"

lados es:

3. La suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo es igual a 4

ángulos rectos, es decir, .

4. El valor de un solo ángulo exterior de un polígono regular convexo de "n"

lados es: .

5. El número total de diagonales de un polígono es:

a) De cada vértice de un polígono se pueden trazar (n - 3) diagonales;

b) de los "n" vértices se podrán trazar n(n - 3)/2 diagonales.

El área de un polígono regular es igual a

donde P es Perímetro, a es el apotema.

Elementos de los polígonos

http://1.bp.blogspot.com/_tMBqqiYK7ak/SjTZYlBcWSI/AAAAAAAAPoc/-v6pCyKKUQ0/s1600-h/POL%C3%8DGONOS+P9.jpg

56


Cuadriláteros Son polígonos que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros pueden tener distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales.

Cuadriláteros

Paralelogramos.

Sus lados opuestos son paralelos

Trapecios

Solo dos de su lados son paralelos

Trapezoides

Ninguno de los lados es paralelo

Cuadrado

Tiene todos sus lados iguales y sus ángulos rectos

Trapecio rectángulo.

Tiene dos ángulos rectos

Rectángulo

Tiene ángulos rectos

Trapecio isósceles

Tiene dos lados iguales

Rombo

Tiene cuatro lados iguales ,los ángulos opuestos son iguales y los ángulos consecutivos son suplementarios

Trapecio escaleno

Los cuatro lados tienen diferente longitud

Romboide

Los lados opuestos son paralelos e iguales, sus ángulos interiores no son rectos

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/%C4%8Cetrst%C5%ABris.svg/250px-%C4%8Cetrst%C5%ABris.svg.png

http://www.google.com.mx/imgres?imgurl=http://img.cultura10.com/wp-content/uploads/2011/11/rombo.gif&imgrefurl=http://www.cultura10.com/%C2%BFque-son-los-cuadrilateros-parte-2/&usg=__HCTLtb8jM-5DGOSMM_3jp--kAac=&h=288&w=288&sz=3&hl=es&start=3&zoom=1&tbnid=e_LB0sVJPLxC1M:&tbnh=115&tbnw=115&ei=vd_PT4XDI8KK2gWBptDDDA&prev=/search?q=rombo&um=1&hl=es&safe=active&gbv=2&tbm=isch&um=1&itbs=1

http://www.google.com.mx/imgres?imgurl=http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Taisnle%C5%86%C4%B7a_trapece.png/250px-Taisnle%C5%86%C4%B7a_trapece.png&imgrefurl=http://www.aula365.com/cuadrilateros-trapecios/&usg=__8Tn1x3CdQZmBzoez76Fq_1wuI30=&h=155&w=250&sz=3&hl=es&start=12&zoom=1&tbnid=J9uLb-LBmHXXAM:&tbnh=69&tbnw=111&ei=quDPT6HtEuSI2gXuw93EDA&prev=/search?q=trapecio+escaleno&um=1&hl=es&safe=active&gbv=2&tbm=isch&um=1&itbs=1

http://neoparaiso.com/imagenes/med/romboide.1.gif

57


Diagonales Las diagonales de un polígono son los segmentos de recta que unen dos vértices no consecutivos. El número máximo de diagonales que se pueden trazar en un polígono se obtiene con la formula:

Número de diagonales=

donde n=número de lados del polígono Ejemplo: Calcula el número máximo de diagonales que se pueden trazar en un hexágono.

Solución: como el hexágono tiene 6 lados o caras entonces tendremos que el número de diagonales será: n=8 lados

Número de diagonales=

=

El número máximo de diagonales de un hexágono son 9.Gráficamente esto viene dado por:

Regresa al índice

Conversión del sistema decimal al sexagesimal y ángulos Un grado sexagesimal es el ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual a 1/360 de la circunferencia Es la nonagésima (1/90) parte de un ángulo recto. El grado sexagesimal, como unidad del sistema de medida de ángulos sexagesimal, está definido partiendo de que un ángulo recto tiene 90° (90 grados sexagesimales), y sus divisores: el minuto sexagesimal y el segundo sexagesimal, están definidos de la siguiente forma:

un grado equivale a 60 minutos ,y un minuto a 60 segundos(60”).

Medida Equivale a…

60”

3600”

58


Ejemplo: Solución: Para obtener los minutos, se multiplican los decimales por 60. (.4711)(60)=28.266

Los minutos son La parte decimal que resulto de la operación se multiplica por 60 para obtener los segundos (.266)(60)=15.96 Redondeando: 15.96 Los segundos son 16”

El resultado es: 16” Clasificación de los ángulos

Posición de dos rectas en el plano Dos rectas en el plano pueden ser:

Convertir a grados, minutos y segundos.

59


Paralelas: si no se cortan entre si

Perpendiculares: si se cortan entre si formando ángulos de

Oblicuas: si se cortan entre sí formando dos ángulos agudos y dos obtusos. Los ángulos consecutivos son suplementarios y los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Ángulos en un polígono

La suma de los ángulos interiores de un polígono se obtiene mediante la fórmula: suma de los ángulos=s∠ n=número de lados

Ejemplo:

s∠ ,pues n=6 lados o caras

s∠

Determina la suma de los ángulos interiores de un hexágono

60


Para determinar el valor de un ángulo interior de un polígono regular se utiliza la formula:

a∠

Ejemplo:

a∠

= Regresa al índice

Perímetro de composiciones geométricas

El perímetro de un polígono se obtiene sumando la longitud de sus lados. La fórmula para calcular el perímetro de un triángulo es:

son los lados del triángulo. Ejemplo

Para los cuadriláteros el perímetro podría obtenerse así

P=4l P=2b+2h P=a+b+c+B

Determina el valor del ángulo interior de un octágono regular.

Calcular el perímetro del triángulo

61


Ejemplo

Solución Sumando todos los lados de la figura A P=7+2+4+7+2=22

Triángulos congruentes Al observar y comparar figuras geométricas, se advierte que, en algunos casos, dos

de ellas tienen la misma forma pero no el mismo tamaño y, en otros, puede ser que

sean de igual forma y tamaño. Al comparar dos figuras, si observamos que tienen la misma forma y la misma medida, decimos que las figuras son congruentes

Se dice que dos triángulos son congruentes si sus lados y ángulos respectivos son iguales (congruentes)

Para que dos triángulos sean iguales, es suficiente que solo algunos lados y/o ángulos sean congruentes. Las condiciones requeridas para esto se conocen como criterios de congruencia y se expresan:

Criterio LAL (Lado-ángulo-lado) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y el ángulo comprendido por ellos también es congruente

Don Paco desea construir una cerca para dividir el siguiente terreno. Determina el perímetro de la cerca que deberá construir para rodear es espacio A

62


Criterio ALA (ángulo-lado-ángulo) Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos congruentes y el lado común a ellos también es congruente

Criterio LLL (lado-lado-lado)

Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes

Semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes ( ) si tienen sus tres ángulos congruentes, es decir, no importa si son de igual o diferente tamaño.

63


Criterio LLL (lado-lado-lado) Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales, es decir:

Criterio LAL (lado-ángulo-lado) Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido por ellos es congruente

64


Criterio AA (ángulo-ángulo) Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos congruentes

Regresa al índice

Cálculo de áreas Áreas Llamamos área a la medida de la superficie interior de un polígono

Triángulo

Área = ½b×h

b = base

h = altura

Rectángulo

Área = b × h

b = base

h = altura

Trapecio

Área = ½(a+b)h

h = altura

Elipse

Área = πab

Cuadrado

Área = a2

a = longitud del lado

Paralelogramo

Área = b × h

b = base

h = altura

Círculo

Área = πr2

Circunferencia = 2πr

r = radio

Sector

Área = ½r2θ

r = radio

θ = ángulo en radianes

65


Polígonos regulares Apotema Es la recta perpendicular que va de cualquier lado al centro del polígono. El APOTEMA coincide con el radio de una circunferencia inscrita en el polígono

a= Apotema Para calcular el área de polígonos regulares se utiliza la formula:

Donde P es el perímetro del polígono y a la apotema. Regresa al índice

Circunferencia

Una circunferencia es una curva plana y cerrada cuyos puntos son equidistantes de un punto situado en el mismo plano denominado centro Los elementos principales de la circunferencia son:

Diámetro:Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia

pasando por el centro. Radio: Es el segmento de recta que parte del centro y va a cualquier punto de

la circunferencia. Cuerda: Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia. Tangente: Es la recta que solo toca un punto de la circunferencia

Regresa al índice

66


Figuras tridimensionales

Ahora vamos a ver como calcular el área de algunas figuras solidas y figuras planas. Entre ellos están los poliedros, el prisma, las pirámides y las figuras esféricas

Poliedros Un poliedro es un sólido geométrico limitado por superficie plana, cada superficie plana es un polígono. Elementos de los poliedros

Sus elementos son: caras, aristas y vértices.

Caras: Son polígonos que limitan un determinado sólido

Arista: Es la intersección de dos caras

Vértice: Es el punto de convergencia de las aristas

Poliedros regulares Euclides demostró que sólo pueden existir 5 poliedros regulares. El filósofo Platón admiraba tanto a esas figuras que construyó su representación del mundo tomando esos cinco poliedros como elementos primarios.

67


Nombre Número

de caras Área Volumen

Tetraedro 4

Pentaedro 5

Hexaedro (cubo)

6

Heptaedro 7

Octaedro 8

Eneaedro 9

Decaedro 10

Endecaedro 11

Dodecaedro 12

Tridecaedro 13

Tetradecaedro 14

Pentacaedro 15

Icosaedro 20

Regresa al índice

Volúmenes

El volumen de un paralelepípedo de ancho , largo y altura es . El área lateral es la suma del área de cada uno de los lados Área lateral=Perímetro de la base por altura.

El volumen de un cubo de lado es . El volumen de un prisma de área de base y altura es .

68


El volumen de una pirámide de Área de base y altura es .

El volumen de un cilindro de radio en la base y altura es .

El volumen de un cono de radio en la base y altura es .

69


El volumen de una esfera de radio es .

TRIÁNGULOS

Clasificación por el valor de los lados EQUILÁTEROS: tres lados iguales ISÓCELES: dos lados iguales ESCALENO: tres lados con distintas medidas

Clasificación atendiendo a sus ángulos internos ACUTÁNGULO: sus ángulos son agudos (menor de 900) RECTÁNGULO: un ángulo recto OBTUSÁNGULO: un ángulo obtuso (mayor de 900

)

70


Conversiones entre medidas angulares y circulares de ángulos agudos Ángulo: es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen llamado vértice. Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma por unidad. Entre las unidades más usadas de medida de ángulos están los grados sexagesimales y los radianes. Considera a la circunferencia dividida en 360 partes iguales y un ángulo de un grado sexagesimal es el que tiene el vértice en el centro y sus lados pasan por dos divisiones consecutivas. Cada grado se considera dividido en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto en 60 partes iguales llamadas segundos. El radián es el ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Otra unidad de medida es el grado centesimal, en este caso se divide la circunferencia en 400 partes iguales, cada grado tiene 100 minutos y cada minuto 100 segundos. Nota: cuando se especifique grados se refiere a grados sexagesimales

Convertir grados, minutos y segundos a su forma decimal y viceversa Simbología grado° minuto´ segundo ´´ La circunferencia esta divida en 360°, 1° en 60 ´ y 1 ´ en 60 ´´. Ejemplo 1. Convertir 15.205 ° a su equivalente en grados, minutos y segundos

Considere un triángulo rectángulo con catetos e hipotenusa . El teorema de Pitágoras establece que

71


Paso 1: Identifica la en parte entera y parte fraccionaria

15° 0.205°

Paso 2: Convertir 0.205° a minutos, empleando por ejemplo una regla de tres

1° 60´

0.205° X

Observa que es como cancelar los grados con los grados, de modo que las unidades resultantes son minutos. Paso 3: Identifica la en parte entera y parte fraccionaria de x=12.3

12´ 0.3´ Paso 4: Convertir 0.3´ a segundos (empleando una regla de tres)

1´ 60´´

0.3´ s

Paso 5: el valor del ángulo 15.205° en su forma sexagesimal se integra por las partes enteras identificadas en el paso 1, paso 3 y el resultado del paso 4 15° 12´ 18´´

Ejemplo 2: Convertir 18° 21´13.2´´ a su forma decimal Primero convertir los segundos a minutos y los minutos a grados: 18° 21´13.2´´ Paso 1: Convertir los segundos a minutos

72


Paso 2: Suma los minutos obtenidos a los minutos del valor original. 21´ + 0.22´= 21.22´ Paso 3: Convertir los minutos, obtenidos en el paso 2, a grados

Paso 4: Suma los grados obtenidos a los grados del valor original

18°+0.354° Finalmente18° 21´13.2´´ es equivalente a 18.354°

Convertir grados a radianes y viceversa Ejemplo 3 convertir 18° 21´13.2´´ a radianes. Paso 1: convertir 18° 21´13.2´´ a su forma decimal. Del ejemplo 2 tenemos que 18° 21´13.2´´ es equivalente a 18.354° Paso 2. Convertir el valor decimal del ángulo en grados a radianes Nota: Un ángulo que tenga un giro completo en el sistema sexagesimal mide 360 °,

el mismo ángulo en el sistema circular mide radianes, otra equivalencia es rad es igual a 180 °, asuma que es igual a 3.14.

rad 180 ° X 18.354°

Ejemplo 4. Convertir

a grados (puedes emplear regla de tres)

es igual a 30°

Regresa al índice

73


Aplicar funciones y leyes trigonométricas Funciones trigonométrica

Considera el siguiente triángulo rectángulo para definir el seno, el coseno y la tangente

Cateto opuesto: es el lado del triángulo que se opone al ángulo Cateto adyacente: es el lado del triángulo que también es lado del ángulo

Valores de las funciones trigonométricas de algunos ángulos Considera un triángulo equilátero de lado 2 unidades, cada uno de los ángulos

interiores de este triángulo miden 60° (

)

Traza la altura y considera uno de los triángulos rectángulos que se forman

74


Empleando teorema de Pitágoras obtenemos que . Calculamos los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo de 30° y 60° .

Considera un cuadrado de lado 1, traza una de las diagonales y selecciona uno de los triángulos rectángulos resultantes

Empleando teorema de Pitágoras se tiene que .

Relaciones trigonométricas en la resolución de triángulos oblicuángulos Es importante que uses la notación que se establece, observa que el lado que se opone al ángulo se representa con la misma letra sólo que en letra mayúscula

Ley de senos En un triángulo oblicuángulo la razón que existe entre cada lado y el seno del ángulo opuesto es igual

Se aplica cuando se conocen

i. dos lados y él ángulo opuesto a alguno de ellos ii. dos ángulos y un lado opuesto a uno de ellos

Ley de cosenos

La ley de los cosenos establece que:

75


Se aplica cuando se conocen

i. dos lados y él ángulo comprendido entre ellos ii. el valor de los tres lados

Regresa al índice

Conceptos básicos de simetría Simetría:Es la correspondencia exacta de las partes o puntos de un cuerpo o figura con relación a un centro un eje o un plano.

Si podemos encontrar una línea imaginaria que corte a una figura en dos partes iguales, o si al colocar un espejo a la mitad de la figura, el reflejo y la mitad de la figura forman la figura completa entonces decimos que es una figura es simétrica

Observa que la siguiente figura no tiene simetría, las ramas del árbol tienen diferente forma y grosor

Regresa al índice

76


GOEMETRÍA ANALÍTICA Sistemas de ejes coordenados

Un sistema de ejes coordenados se forma por dos ejes perpendiculares en el plano que se cortan en un punto al que se le llama origen. Sirve para determinar la posición de cada punto del plano mediante una pareja ordenada de números. Este sistema se denomina también como Sistema de Coordenadas Cartesianas, al cual se le dio el nombre por Descartes, ya que fue él quien inició y desarrolló la geometría analítica.

Coordenadas cartesianas de un punto Al preguntar por la ubicación de un lugar determinado que se localiza en la esquina por donde cruzan dos calles, estamos refiriéndonos a un punto determinado donde hacen intersección una paralela de calles. En geometría analítica se verán parejas ordenadas de números, por ello es importante recordar los siguientes conceptos: Ejes coordenados, formados por la rectahorizontal que se llama eje xo de las

abscisas, y la recta vertical que se llama eje yo de las ordenadas. Un planodividido en cuatro regiones llamadas cuadrantes.

Lugares geométricos Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que tienen alguna propiedad común, Por ejemplo la circunferencia, cuyos puntos equidistan de otro llamado centro. Una figura es el lugar geométrico en el que todo punto que pertenece a la figura cumple una propiedad común, y pueden ser puntos sobre rectas oblicuas, horizontales y verticales, o sobre circunferencias, parábolas y elipses, en los que se aplican criterios para determinar posibles intersecciones y simetrías. Distancia entre dos puntos

Para calcular la distancia entre dos puntos ubicados en el mismo plano,

y La distancia entre , se define como:

77


Problema 1 Planteamiento

Sustituyendo

Punto medio

Sean y

Problema 1 Solución

Regresa al índice

Sean A(1, 1) y B(5, 4); hallar la distancia entre A y B

Hallar el punto medio entre los puntos y

78


Ecuación de la recta A. Punto pendiente. Recta de pendiente que pasa por el punto

B. Dados dos puntos. Si al recta pasa por los puntos y , la

pendiente ( ) se calcula por

y se usa cualquier de los puntos en:

C. Pendiente ordenada en el origen. La ecuación de la recta de pendiente y

que corta al eje y en ,

es la ordenada al origen. Si sustituimos , se tiene

; a este valor

de se le conoce como abscisa al origen. D. General. Una ecuación de primer grado en las variables e es de la forma

, donde , y son constantes arbitrarias. La pendiente de

la recta es B

Am y su ordenada en el origen

B

Cb

Problema 1 Solución Calculé primero la pendiente ( ) se calcula por

Sustituyendo

Remplazando el punto y m

Regresa al índice

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos y

79


Ecuación de la circunferencia A. Con centro en el origen. Si el centro es el origen de las coordenadas, y el radio

es r, la ecuación toma la forma: 222 ryx

B. Con centro fuera del origen. La circunferencia tiene como centro C( , ) y

radio , es: 222 )()( rkyhx

C. Ecuación general de la circunferencia. Toda circunferencia puede expresarse

por medio de la ecuación del tipo: 022 FEyDxyx , que al reordenar y

completar el cuadrado perfecto, tenemos que, el centro es el punto

y

el radio FEDr 42

1 22

Recordar que:

Si la circunferencia es real Si , la circunferencia es imaginaria

Si , el radio es cero y la ecuación representa al punto

.

Problema 1 Solución Sustituyendo el valor del radio en la forma canónica de la circunferencia

222 ryx

Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el origen y

su radio es 5.

80


Problema 2 Solución

Problema 2 Solución: Paso 1: Para hallar el radio se encuentra la distancia del centro al punto de la circunferencia

Sustituyendo

Paso 2: Sustituyendo el valor del centro y el radio obtenido en la forma ordinaria de la ecuación

Desarrollando los binomios de obtiene la forma general

Regresa al índice

Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el punto

y su radio es 5

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es y que pasa

por el punto

81


Ecuación de la Parábola

Es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano cuya distancia a un punto fijo llamado foco es igual a su distancia a una recta fija denominada directriz. Elementos asociados con una parábola

foco de la parábola,

distancia del foco al vértice,

eje de la parábola (eje focal), contiene al foco y es perpendicular a la directriz;

vértice, punto medio entre foco

directriz;

lado recto , longitud del lado recto

En la siguiente tabla se puede se representan los cuatro casos de parábola:

82


Parábola Vértice en el origen Vértice Horizontal

Vertical

83


Parábola con vértice y eje focal paralelo al eje

puede ser positivo o negativo

En cualquier caso se tiene: vértice foco , la ecuación de la

directriz es , la ecuación del eje focal es .

Caso Caso

Parábola con vértice y eje focal paralelo al eje

puede ser positivo o negativo

En cualquier caso se tiene: vértice , foco , la ecuación de la

directriz es , la ecuación del eje focal es

caso caso

Regresa al índice

84


Ecuación de la Elipse Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la

suma de sus distancias a dos puntos fijos y llamados focos de ese plano, es igual a una constante. Notación: y son focos; y vértices de la elipse; eje focal (recta por la que

pasa por los focos); centro de la elipse (punto medio entre y ); eje normal (recta que pasa por el centro y es perpendicular a ), eje mayor (longitud );

eje menor (longitud ). Además, se tiene lo siguiente ; La

excentricidad se define como

; (Notesé que y ).

Ecuación de la elipse con centro en y eje focal paralelo al eje

Las coordenadas de los puntos son: , , , , , Longitud del eje mayor (paralelo al eje ) igual a

Longitud del eje menor igual a

Distancia entre los focos igual a Ecuación de la elipse con centro en y eje focal paralelo al eje

Longitud del eje mayor (paralelo al eje ) igual a

85


Longitud del eje menor igual a Distancia entre los focos igual a Las coordenadas de los puntos son: , , , , ,

Nota: mientras más cercano a cero sea el valor de , se aproxima a una

circunferencia. En cambio si el valor de es muy cercano a uno, el eje menor se hace más pequeño con respecto al eje mayor.

Regresa al índice

86


Prueba 1

Prueba ENLACE 2009.

1. Una fracción equivalente a

es:

A)

B)

C)

D)

Solución: La respuesta en C).

=

una fracción es

equivalente a otra cuando la puedes obtener después de multiplicar a numerador y denominador por la misma cantidad

MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

2. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?

A)

B)

C)

D)

Solución: Respuesta D. Encuentra el mínimo común múltiplo de 4 y 5, 20=m.c.m.(4,5),posteriormente

Observa que

, este número se multiplica por 12; 12(4)

este número se multiplica por 3; 3(5)

,este número se multiplica por 2. 2(20)

Sumando estos términos en el numerador, se tiene:


ENLACE 2009

87


3. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación de fracciones?

A)

B)

C)

D)

Solución: Respuesta A). Observa que el primer término representa 5 enteros

tres cuartos (número mixto), no representa 5 por

. Por este motivo, para

convertirlo, multiplicamos 5 por 4 y le sumamos 3, posteriormente lo dividimos por 4, es decir

Finalmente multiplica los numeradores y los denominadores, por último simplifica.

Como el resultado esta expresado en números mixtos, convierta

a número

mixto, el primer paso es realizar la división. Posteriormente el residuo queda como denominador y el divisor como numerador. Finalmente el resultado de la división queda como el entero.


4. ¿Cuál es el resultado de la siguiente expresión?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6

ENLACE 2009

88


Solución: Respuesta D). Observa que tienes la resta de dos números: uno

es y otro es el resultado de la operación entre corchetes. Recuerda el orden de prioridad de las operaciones aritméticas

Primero: se ejecutan las operaciones entre paréntesis o corchete.

Segundo: multiplicaciones y divisiones.

Tercero: sumas y restas. Nota: en caso de existir multiplicaciones y divisiones, ejecutar de derecha a izquierda. Entonces, realiza la operación entre corchetes, empezando por la operación entre paréntesis

Posteriormente,


5. ¿Cuál es el resultado de la siguiente división de fracciones?

A)

B)

C)

D)

Tipo de problema: división de fracciones

Solución:Respuesta D). Transforma a fracción simple a

.

Posteriormente, se realiza el cociente, multiplicando los extremos y ponerlos al numerador, multiplicar los medios y ponerlos en el denominador (Ley del Sandwish)

,

ENLACE 2009

89


para escribirel resultado como número mixto

.


6. ¿Qué resultado se obtiene al convertir 128.5° a grados sexagesimales? A) 1 28’ 5 B) 12 8’ 5 C) 120 8’ 30 D) 128 30’ 0

Tipo de problema: Conversión de unidades

Solución: Respuesta D. Recuerda que 1° es igual a 60’(un grado es igual a 60 minutos) y 1’ tiene 60 ’’ (un minuto es igual a 60 segundos).

por lo que si un grado tiene 60 minutos, la mitad de grado tienen 30 minutos,

( ’) MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

7. ¿Cuál de los siguientes números se encuentra entre

y

?

A)

B)

C)

D)

Solución: Respuesta B). La primera cantidad se puede escribir como

.

Por otra parte, observa que

es menor que 0.5, pues 3 es menor a 4 y 4/8=0.5.

Conclusión, la cantidad buscada es mayor que (

y menor a 0.5.

El inciso D) es mayor a 1, por lo que no es la respuesta.

El inciso C) es mayor a 0.5, observa por ejemplo que 4 es la mitad de 8 (4/8=0.5), 1 es la mitad de 2 (1/2=0.5), 8 es la mitad de 16 (8/16=0.5), en el caso de 11/17 nota que 11 es mayor que la mitad

ENLACE 2009

90


de 17 por lo que 11/17 es mayor que 0.5, por lo que no es la respuesta correcta.

La cantidad del inciso A) se puede escribir como

por lo que es menor que

, se busca una que sea

mayor por lo que no es la respuesta correcta.

En el inciso B) se tiene que -5 es mayor -8, por lo que -5/16 es mayor a -0.5, luego satisface las condiciones deseadas.


8. En la ciudad de Monterrey se registraron, por cuatro días, las siguientes temperaturas, en grados centígrados: -7°, -5°, 2°, 4°. ¿En cuál día se registró la temperatura que sobrepasaba los -6° pero estaba por debajo de los -3°?

A) Primero B) Segundo C) Tercero D) Cuarto Solución: Respuesta B. Dibuja la recta real y ubica los puntos en ella

dibuja sobre la recta los criterios

Solución la temperatura es -5°, correspondiente al segundo día.


9. En un laboratorio de química tienen frascos con los siguientes elementos:

g

de sodio,

g de magnesio,

g de yodo y

g de potasio.

¿Cuál de los frascos contiene la menor cantidad de gramos? A) Potasio B) Sodio C) Magnesio D) Yodo

ENLACE2009

91


Solución: Una estrategia es convertir las fracciones anteriores en otras equivalentes con mismo denominador para facilitar la comparativa. El primer paso es encontrar el uno especial a multiplicar a cada fracción para que tengan mismo de nominador, el cual será el producto de todos

Denominador común es: 97*7 * 5* 31

Como se quiere el de menor cantidad, se debe encontrar cual de los numeradores es el menor:

Luego sin necesidad de terminar de hacer los productos, la multiplicación 434*97 es la menor de todas correspondiente a

La respuesta correcta es

de yodo


ENLACE 2009

92


10. La temperatura registrada en una ciudad a las 3 a.m. fue de 0.9°C. Si

para las 4 a.m. la temperatura se redujo a la mitad, ¿en cuál de las siguientes rectas numéricas se ubica la temperatura registrada a las 4 a.m.?

A)

B)

C)

D) .

Solución: Si a las 3 a.m. la temperatura fue de 0.9°C, para las 4 a.m. la

temperatura se redujo a la mitad, es decir

Respuesta correcta:


11. Una profesora de inglés quiere hacer un presentación teatral y pide material a sus alumnos para construir el escenario, le pidió a una alumna que llevara 9.50 pies de listón azul. Si la alumna sabe que 1 pie equivale a 0.305 metros, ¿cuántos centímetros pide en la papelería?

A) 28.975 B) 31.147 C) 289.750 D) 311.475

Solución: Respuesta C. Se resuelve muy rápido usando una regla de tres.

ENLACE 2009

93


Dado que el resultado se da en centímetros, mediante otra regla de tres realicemos la conversión


12. El tío de Armando compró un terreno de forma cuadrada con un área de 625m2, que sólo está cercado por tres lados. ¿Cuál es la longitud, en metros, de malla metálica necesaria para cubrir el lado que falta por cercar? A) 15 B) 25 C) 35 D) 45

Solución: Respuesta B. Para resolver este ejercicio nos apoyaremos de un dibujo

El área del cuadro es 625 m2, la fórmula para calcular el área de un cuadrado

es , sustituyendo el área

, despejando

, Luego:

, Por lo cual, cada lado mide 25 m.


13. En un centro comercial se vende chocolate en polvo en cuatro diferentes presentaciones

Presentación Cantidad del producto en

gramos Precio

Mini 250 $11.75

Chica 400 $18.00

Mediana 1,800 $82.80

Grande 3,500 $161.00

ENLACE 2009

94


De acuerdo con la cantidad y el precio, la presentación que proporciona el menor costo por producto es:

A) Mini B) Chica C) Mediana D) Grande

Solución: Respuesta B. Se halla el máximo común divisor de 250, 400, 1 800 y 3 500, factorizamos 250=(5)(2)(5)(5) 400=(5)(2)(5)(4)(2) 1 800=(5)(2)(5)(2)(2)(9) 3 500=(5)(2)(5)(2)(7)(5) Se identifican los factores comunes, por lo que MCD (250, 400, 1 800 y 3 500)=50 Posteriormente, observamos que

Luego se divide

.

La presentación de menor precio es la chicha pues si se compra 50 g pagas $2.25.


14. Pedro se desplazó en su automóvil por toda la avenida Juárez a una velocidad constante de 50 kilómetros por hora y tardó 5 minutos en recorrerla. Si

, ¿qué longitud, en kilómetros, tiene la avenida Juárez?

A) 2.50 B) 4.17 C) 5.00 D) 10.00

Solución:

Datos:

Velocidad=

Tiempo= 5 minutos. Distancia=? Despejando de la formula de velocidad, la distancia se tiene

ENLACE 2009

95


Dado que la respuesta debe de estar en kilómetros, y la velocidad está dada en

solo se debe sustituir, en cambio el tiempo está en minutos y debe de expresarse en horas, realicemos por regla de tres:

Sustituyendo en formula de distancia

Distancia de 4.166666667, aproximadamente 4.17 kilómetros.


15. Un vendedor de helados gana $9.00 por cada 5 helados que vende. ¿Cuántos

helados necesita vender para obtener una ganancia de $144.00?

A) 32 B) 48 C) 80 D) 112

Solución: Respuesta correcta C) Resolviendo por regla de tres

Se requiere 80 helados vender


ENLACE 2009

96


16. En una tienda hay una oferta de pantalones y Sonia quiere saber el precio con descuento para decidir su compra. Si el costo del pantalón es de $355.00 y tiene un descuento de 25%, ¿cuál es el precio del pantalón? A) $ 88.75 B) $105.00 C) $266.25 D) $330.00

Solución: Respuesta C. El descuento es del 25% por lo que el precio del pantalón es del 75% del precio, luego el valor del pantalón es de 355(0.75)=266.25 Otra forma de resolver es por regla de tres

El descuento es de 88.75 pesos, hallemos el precio con descuento


17. José recibe $250.00 a la semana para sus gastos. De lunes a viernes va a la

escuela, por lo que aborda dos tipos de transporte público: uno le cobra $4.00 y el otro $5.50; considere los mismos gastos para su regreso. Además, en la comida de un día gasta $25.00. José quiere comprar un CD de videojuegos con lo que le sobra de la semana; si el videojuego cuesta $80.00, ¿cuánto le falta para comprar el CD? A) $ 2.50 B) $25.00 C) $50.00 D) $52.50

Solución: Respuesta correcta C) Primero encontremos la cantidad gasta

ENLACE 2009

97


Como asiste de lunes a viernes Total=44*5=220a la semana

Luego le sobran 30 pesos y como el video juego cuesta 80 pesos, le faltan 50 pesos.MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

18. Una tubería atraviesa diagonalmente un terreno de forma cuadrada. La tubería

mide 30 m. ¿Cuál es la longitud, en metros, del lado del cuadrado?

A)

B)

C)

D)

Solución: Respuesta correcta B)

Observa que se forma un triángulo rectángulo, por lo cual es posible utilizar el

teorema de Pitágoras

Sustituyendo la información

Usemos radicación para hallar la respuesta de las opciones. Para ello debes de pensar en dos número que multiplicados te den 450 y uno de ellos tenga raíz cuadrada exacta

Es este caso son dos los número que tienen raíz cuadrada exacta


ENLACE 2009

98


19. En el grupo de Juan se aplicó un examen de Historia; el examen con el número mayor de aciertos fue de 43 con calificación de 10; y el menor, de 22 con calificación de 5. ¿Cuántos aciertos tuvo Juan para obtener una calificación de 8?

A) De 28 a 31 B) De 32 a 35 C) De 36 a 39 D) De 40 a 43

Solución: Respuesta B). El rango de calificaciones enteras se compone de 6 números (5, 6, 7, 8,9, y 10), el rango de aciertos se compone de 22 números, luego 22/6 es mayor que tres y menor que cuatro. Por lo que, se pueden agrupar de 4 en 4, es decir, si el número de aciertos se encuentra en el rango de 40-43 obtiene 10, si esta en el rango de 36-39 obtiene 9, de 32 a 35 obtiene 8.


20. La oficina de correos desea trasladar sus archiveros de 4 m3 a unas nuevas

oficinas ubicadas en un edificio del otro lado de la ciudad. Para el traslado se emplean contenedores como el que se muestra en la figura.

¿Cuántos archiveros caben en un contenedor?

A) 24

B) 32

C) 48

D) 96

Solución: Respuesta A). Observa que el archivero tiene de ancho 2 y de alto 2 igual que el contenedor. Por otro lado el largo del contenedor es 24

y el largo del archivero es 1, por lo que sólo se tiene que dividir

,

obteniendo que 24 archiveros puedan estar en el contenedor.

21. Juan tiene 15 vacas, Pedro 20 y Luis 60; deciden venderlas juntas para repartir las ganancias. Determine las relaciones que guarden sus ganancias.

A) Luis gana el triple que Pedro y el cuádruple que Juan. B) Luis gana el cuádruple que Pedro el doble que Juan. C) Pedro gana el doble que Juan y el triple que Luis. D) Luis gana el doble que Pedro y Juan juntos.

ENLACE 2009

99


Solución: Respuesta correcta A), Luis es el que debe de ganar la mayor cantidad de dinero, para ello observemos las siguientes relaciones. Luis tiene 60 vacas que en comparación de Pedro que tiene 20 vacas, representa a 3 veces esta cantidad, es decir, Luis tiene el triple que Pedro, haciendo la misma relación con las vacas Luis tiene el cuádruple que Juan,

Luego la respuesta correcta es:

Luis gana el triple que Pedro y el cuádruple que Juan


22. En la tabla siguiente, se muestran las compras que realizó Raquel en un supermercado.

Concepto Cantidad

en kilogramos

Precio por kilo

Jamón

$45.00

Queso

$50.00

En total, ¿cuánto pagó por su compra? A) $60.00 B) $89.16 C) $95.00 D) $172.50

Solución: Respuesta A). Para saber lo que tienen que pagar se multiplica la cantidad por precio y se suman las cantidades.


23. En una compañía de autos, 30% de los empleados son miembros de algún club deportivo; de ellos, 20% se ubica en la zona sur. Si la compañía cuenta con 300 empleados, ¿cuántos de ellos asisten a un club deportivo en la zona sur?

A) 18 B) 20 C) 60 D) 150

Solución: respuesta correcta A) Este es un problema de un doble porcentaje anidado, primero encontremos el número correspondiente al 30 por ciento de empleados que son miembros de algún club deportivo

ENLACE 2009

100


Ahora de estos 90 empleados, el 20% vive en la zona sur, mediante otra regla de tres

La respuesta son 18 empleados


24. Una tortillería tiene tres máquinas para completar un pedido. El tortillero sabe que la primera máquina tarda un día en completar el pedido, la segunda tarda 36 horas y la tercera, 3 días. SI las tres máquinas trabajan simultáneamente para el pedido, ¿cuántas horas tardarán en hacerlo? A) 12 B) 36 C) 72 D) 132

Solución: Respuesta correcta A). Para obtener la respuesta obtén el mínimo común múltiplo. Tiempo Máquina 1 24 h Máquina 2 36 h Máquina 3 72 h factorizando las horas como producto de primos:

Escribe todos los números primos diferentes con exponente mayor: m. c. m(24,36,72)= =72 Este número es divisible por cada número de horas de las maquinas,

ENLACE 2009

101


El número de pedidos completos en 72 h, se tiene: Máquina 1 3 pedidos Máquina 2 2 pedidos Máquina 31 pedido Luego trabajando juntas las maquinas en 72 horas realizan 6 pedidos.

Entonces

, es decir en 12 h obtienen un pedido completo

trabajando juntas. MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

25. Mario está armando un rompecabezas en forma triangular. Si lleva armada la

parte blanca que equivale a

, ¿cuál de las figuras representa la cantidad que

le falta para completarlo?

A)

B)

C)

D)

Solución: Respuesta correcta A). Primero simplifiquemos la fracción

, la parte del denominador indica que el triángulo debe dividirse en 9

partes y la parte del numerador indica la cantidad de partes bajo la condición especificada (parte blanca)

Se comenta que la parte armada, es decir 5 de 9 es blanca.


ENLACE 2009

102


26. Observe el siguiente triángulo.

A partir de los datos, ¿cuál es el valor de ?

A)

B)

C) 1

D)

Solución: Repuesta correcta B). Recuerda la definición de funciones trigonométricas

27. ¿Cuáles son las coordenadas del centro y vértices de la elipse que tiene por

ecuación

?

A) C(-7, 7),V1(-3, 0), V2(3, 0) B) C(-3, 3),V1(-7, 3), V2(-7, 3) C) C(0, 0), V1(-7, 0),V2(7, 0) D) C(0,0), V1(-49, 9), V2(49, 9) E) C(0, 0),V1(-49, 9),V2(49, 9)

ENLACE 2009

103


Solución: Respuesta correcta C)

El centro es C(0,0), para encontrar el foco , entonces a=7 V1=(-7, 0) V2=(7, 0) La respuesta correcta es: C=(0,0), v1=(-7, 0), F2=(7, 0).


28. ¿Cuál es el valor de la pendiente de la recta que es perpendicular a otra recta que tiene por ecuación:

A)

B)

C)

D)

Solución: Respuesta correcta A). Recuerda que la ecuación de una recta está dada por

ENLACE 2009

104


donde a es la pendiente y b es el eje donde la resta corta al eje y.

Además, el producto de las pendientes de rectas perpendiculares (en forma de

cruz) debe ser igual a -1. En este caso, la pendiente de la recta es

.

Busca de entre las respuestas un número que al multiplicarlo por

te de -1.

.


29. ¿Cuál es la ecuación de la recta que tiene una pendiente

y pasa por el

punto ?

A)

B)

C)

D)

Solución: Respuesta correcta es A). Para encontrar la ecuación de la recta se puede clasificar en dos casos:

Si te dan un punto y su pendiente es m, debes de sustituir estos valores en

Si se conocen dos puntos y , puedes calcular m con esta información como:

, y utilizar el caso anterior usando cualquiera de los dos

puntos dados ó .

Regresando a nuestro problema original solo se proporcionan

y

por tanto se tiene el caso 1, sustituyamos la información en

5(


30. Una circunferencia tiene centro en el punto C(-2, 1) y su radio es r=3. ¿Cuál es

su ecuación?

ENLACE 2009

105


A)

B)

C)

D) Solución: Respuesta correcta A). Recuerda que la ecuación de la circunferencia es:

donde es el centro y r es el radio.

En este caso y sustituyendo los valores obtenemos


31. ¿Cuál enunciado corresponde a la siguiente expresión algebraica?

A) La mitad del triple de un número más el doble de otro número B) La mitad de un número al cuadrado más la tercera parte de otro número C) La mitad de un número más otro número al cubo D) El doble de un número más la mitad del triple de otro número

Solución: Respuesta correcta B). Se debe interpretar cada expresión algebraica (es decir los segmentos separados entre signos de suma y resta)

: La mitad del cuadrado de un número

: un tercio de un número.

Vinculando con el signo de +, expresa La suma de la mitad del cuadrado de un número más un tercio de otro

número, Equivalentemente, la respuesta es: La mitad de un número al cuadrado más la tercera parte de otro número


32. La ecuación equivalente a la expresión es:

A) B)

C) D)

Solución: Respuesta correcta C). Una ecuación es equivalente a otra si esta es múltiplo de ella, es decir, que cada coeficiente se multiplique por el mismo número en ambos lados de la igualdad.

ENLACE 2009

106



33. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa una función?

A) B)

C) D) Solución: Respuesta correcta D). Existe un criterio geométrico para verificar cuando una gráfica corresponde a una función. Consiste en trazar líneas verticales

EL criterio consiste en lo siguiente: si una línea vertical cruza a la gráfica por más de un puntos no corresponde a una función. Observe que la única gráfica donde las líneas verticales cruzan a la gráfica por un solo punto es D

SOLUCIÓN:


ENLACE 2009

107


34. ¿Cuál gráfica corresponde a la siguiente ecuación? a)

b)

c)

d)

Solución: Respuesta correcta B).Recuerde que el grado de una función define el comportamiento de la gráfica de una función,

Si una función es lineal su gráfica es similar a (ejemplo: y=x+1)

Si una función es cuadrática su gráfica es similar a(ejemplo: y=x2+1)

Si una función es cubica su gráfica es similar a (y= x3+3x2+2x)

ENLACE 2009

108


Es decir, si el grado de la función es n, el número de jorobas es n-1, por ello la función lineal de grado 1, tiene (1-1)=0, jorobas, es decir es una recta, para la función cuadrática de grado 2, tienen (2-1)=2 jorobas, para una función cubica de grado 3, esta tendrá (3-1)=2 jorobas.

Regresando a nuestro ejercicio

Este debe de tener 1 joroba, las posibles gráficas que presentan esta descripción es B y C, ahora el signo del coeficiente de x2 es muy importante

Si el coeficiente de x2 es positivo, la parábola abre hacia arriba.

Si el coeficiente de x2 es negativo la parábola abre hacia abajo. En nuestro ejercicio el coeficiente de x2 es 2, luego la parábola abre hacia arriba, Otro dato muy importante es el número que acompaña a la función

El cual indica a qué altura del eje y pasa la parábola, es este caso corta en el -1 Luego la solución es B

ENLACE 2009

109



35. Si es una regla de correspondencia, entonces el resultado

de

es:

A)

B)

C)

D)

Solución: Respuesta correcta B). Procedamos sustituir cada uno de los

términos

Sustituyendo

, luego la solución es B


36. Dada la ecuación lineal determine los valores de la pendiente y la ordenada al origen .

A)

B)

C)

D)

ENLACE 2009

110


Solución: Respuesta correcta D). La ecuación de la recta esta expresada como una ecuación, se debe de despejar a y para encontrar muy fácilmente la pendiente y la ordenada al origen.

Luego, la solución es D


37. ¿Cuál es la gráfica que representa correctamente los valores numéricos de la

ecuación ?

A) B)

C) D)

ENLACE 2009

111


Solución: Respuesta correcta C) La función

Completando el cuadrado

Reescribiendo en la forma general de una parábola , nuestro ejercicio queda como

Por lo tanto, p=

, es una parábola que abre hacia abajo, con vértice en

(6,36). La solución es:


38. ¿Cuál es el resultado de x y w en el siguiente sistema de ecuaciones?

A)

B) C)

D) Solución: Repuesta correcta C).Para resolver sistemas de ecuaciones se puede utilizar distintos métodos como el de sustitución eliminación o regla de Cramer, Usemos el método de eliminación: Primero reescribamos las ecuaciones con coeficientes enteros

,

,

, .

ENLACE 2009

112


Multipliquemos a la segunda ecuación por -2 para eliminar w ,

, Se tiene

, , ,

.

Sustituyendo en algunas de las ecuaciones originales el valor de x

,

,

,

. MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

39. María registra en la siguiente tabla el número de llamadas de larga distancia llevadas a cabo por los empleados de una empresa en los últimos 12 días.

Día Llamadas de larga distancia

1 5

2 1

3 5

4 4

5 1

6 6

7 2

8 0

9 3

10 2

11 3

12 4

Si su jefe le pide la media de los datos, ¿cuál es el dato que le debe proporcionar?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6

Solución: Respuesta correcta C).

40. Un auto compacto usa gasolina que cuesta $1.25 por litro, cada litro da un

rendimiento de 9 kilómetros. Para un recorrido de 99 kilómetros, ¿cuánto dinero se debe invertir en gasolina?

ENLACE 2009

113


A) $ 11.25 B) $ 13.75 C) $ 86.40 D) $123.75

Solución: Respuesta correcta B). Un litro proporciona un rendimiento de 9 km, por tanto 11 litros proporcionan un rendimiento de 99 kilómetros, y como el litro cuesta $1.25


41. La relación entre precio y consumo de gasolina se expresa en la gráfica:

¿Cuánto se paga por 22 litros?

A) $144.00 B) $150.00 C) $154.00 D) $158.00

Solución: Respuesta C). Emplearemos la forma de la ecuación de la recta

pendiente-ordenada al origen , la ordenada al origen denotada por b es el valor que se tiene en el eje y cuando x=0, en este caso b=0. Calculamos la pendiente como

La ecuación de la recta es . Lo único que se debe sustituir es el valor de 22, en este caso .


ENLACE 2009

114


42. La gráfica muestra la matrícula de ingreso de estudiantes en una universidad. Si al año siguiente se da de baja 13% de los estudiantes de cada carrera, ¿cuántos estudiantes de ingeniería permanecerán en la carrera en el segundo año escolar?

A) 33,280 B) 208,000 C) 222,720 D) 255,987

Solución: Solución. Respuesta C). Nota que 256 000 representa el 100%, si en el segundo año se da de baja el 13% significa que permanecen estudiando Ingeniería el 87%. Por lo que debes calcular el 87% de esta cantidad,


43. La gráfica representa el número de visitas que ha tenido una página web desde

las 9:00 de la mañana hasta las7:00 de la noche.

¿Cuántas visitas se tuvieron entre las 12.00 y las 3:00 de la tarde?

160,000

240,000

80,000

256,000

320,000

544,000

0

100,000

200,000

300,000

400,000

500,000

600,000

Co

nta

du

ría

Der

ech

o

Med

icin

a

Inge

nie

ría

Ad

min

istr

ació

n

Otr

as

Carreras

Matrícula de estudiantes de primer grado

ENLACE 2009

115


A) 90 B) 110 C) 120 D) 160

Solución: Repuesta correcta B) Con base al grafico de barras, se necesita conocer el número de visitas entre las 12.00 y las 3:00. Por tanto

12-13 con 30 visitas

13-14 con 60 visitas

14-15 con 20 visitas Sumando 110 visitas


44. Gustavo lanza un dado 50 veces y registra el número que se obtiene. En la tabla se muestra el número de veces que se obtuvo las diferentes caras del dado.

Cara del dado 1 2 3 4 5 6

Número de veces

8 5 6 10 12 9

Con base en los datos, determine la probabilidad de obtener un 4. A) 0.08 B) 0.20 C) 0.40 D) 0.42

Solución: Respuesta correcta B). Recuerde que la fórmula para determinar la probabilidad del evento A, está dada por

A= Obtener un 4


45. Una urna contiene 52 esferas numeradas del 1 al 51. Luis apuesta a Antonio que en la primera esfera sale un número impar o el número 2. ¿Cuál es la probabilidad de que Luis gane la apuesta?

A)

B)

C)

D)

ENLACE 2009

116


Solución: Respuesta correcta es A).La fórmula para determinar la probabilidad del evento A, está dada por

A= Sale un número impar o el 2. Del número 1 al 51, hay 26 números impares, y anexando el 2, se tienen 27 casos favorables, luego


46. Leonardo lanza una moneda en tanto que Juan lanza un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que en sus respectivos lanzamientos obtengan exactamente un águila y un seis?

A)

B)

C)

D)

Solución: Respuesta correcta A). Recuerde que la fórmula para determinar la probabilidad del evento A, está dada por

A=obtener exactamente un águila y un seis,

Para obtener el total de casos: fijemos un resultado, por ejemplo águila y seis posibles resultados del dado, fijamos el otro resultado de la moneda, sol y seis posibles resultados del dado, es decir:

ENLACE 2009

117


Número total de casos= (2)*(6) =12 Por lo tanto


47. Carlos y José son vendedores de una tienda de libros. En la siguiente tabla se muestra el sueldo que obtiene cada uno de ellos dependiendo del número de libros que vendan. Para este periodo de pago cada uno debe obtener un sueldo de $600.00. ¿Cuántos libros debe vender Carlos (C) y cuántos José (J) para que obtengan el sueldo deseado?

Libros vendidos

Sueldo ($) Carlos

Sueldo ($) José

0 50.00 0.00

1 60.00 20.00

2 70.00 40.00

3 80.00 60.00

4 90.00 80.00

5 100.00 100.00

A) C=10 y J=30 B) C=30 y J=55 C) C=55 y J=30 D) C=60 y J=30

Solución: La respuesta correcta es C). Se debe de observar de la tabla que a Carlos y José están por distintos contratos. Carlos tiene un sueldo base de $50 y por cada libro que venda le pagan $10. En cambio José no tiene sueldo base y por cada libro que venda recibe $20. Luego si quieren tener de ingreso $600,

Carlos le faltan $550, como cada libro le pagan a $10, debe de vender 55.

José no tiene sueldo base, pero le pagan a $20, luego

=30

Otra forma de resolver es:

Ambos sueldos de Carlos y José son lineales, por lo tanto se puede encontrar la función que describe el sueldo de ambos.

Puntos a considerar para determinar la recta que describe el sueldo de Carlos (0,50) y (1,60)

ENLACE 2009

118


Sustituyendo m y el primer punto:

, entonces

Puntos a considerar para determinar la recta que describe el sueldo

de José (0,0) y (1,20)

Sustituyendo m y el primer punto:

, entonces


48. ¿Cuál expresión matemática representa correctamente la gráfica que se muestra?

A) B)

C)

D)

Solución: Respuesta correcta D). Recuerda que , es la pendiente y la ordenada al origen. Primero identifica la ordenada al origen en la gráfica, en este caso observa que

la recta interseca al eje yen el valor 1. De lo anterior obtenemos que los incisos

que pueden representar la opción correcta son B) y D). Observa que el ángulo

que se forma entre la recta y el eje x es menor a , esto implica que la

pendiente de la recta tiene signo positivo. Como la recta del inciso B) tiene signo negativo se descarta y concluimos que la respuesta correcta es D).


49. Una fábrica de papel realizará tarjetas publicitarias en forma rectangular de 135cm2 de área, de tal forma que el largo del rectángulo es de 6cm mayor que el ancho.

ENLACE 2009

119


X

X+6 ¿Cuál es el valor del ancho de la tarjeta?

A) -15 B) -9 C) 9 D) 15

Solución: Respuesta correcta C). El área de un rectángulo se obtiene al multiplicar base por altura

Aplicamos la formula general

Obtenemos dos valores , como denota el ancho del rectángulo no interesa el valor negativo.


50. Luis y Hugo caminaban juntos llevando sacos de igual peso. Si Luis tomara un saco de Hugo, su carga sería el doble que la de Hugo. En cambio, si Hugo tomara un saco de Luis, sus cargas se igualarían. ¿Cuántos sacos lleva Hugo y cuántos Luis?

A) Luis 7 y Hugo 5 B) Luis 4 y Hugo 6 C) Luis 3 y Hugo 2 D) Luis 3 y Hugo 5

Solución: Respuesta correcta A). Sea L el número de sacos que carga Luis y H el número de sacos que carga Hugo. Interpretemos en lenguaje algebraico cada línea del problema

Si Luis tomara un saco de Hugo, su carga sería el doble que la de Hugo

si Hugo tomara un saco de Luis, sus cargas se igualarían

Reescribiendo como un sistema

135 cm2

ENLACE 2009

120


Resolviendo por eliminación

-

Regresando el resultado en una de las ecuaciones

, donde L=7.


51. Un instructor de atletismo da un plan a Luis para mejorar su condición física; el

primer día correrá dos kilómetros, el segundo día correrá cuatro kilómetros y el tercer día correrá seis kilómetros, los datos se resumen en la gráfica.

¿Cuál es la regla de correspondencia de la función?

A)

B) C) D)

Solución: Respuesta correcta C).La regla es duplicar el número de kilómetros por día. Luego

,

Donde: x denota el número de día, y denota el número de kilómetros.


52. En una empresa bacteriológica se estudia el crecimiento de una bacteria muy rara y peligrosa; el estudio de su comportamiento fue encargado a Fidel, pero, como se quedó dormido, sólo alcanzó a registrar los datos que se muestran en la siguiente tabla.

ENLACE 2009

121


Hora (x)

Crecimiento de

una bacteria (y)

1 4

3 12

28

7

84

11 124

¿Cuál expresión algebraica que establece la relación entre ambas columnas para determinar los valores que faltan?

A)

B)

C)

D) Solución: Respuesta correcta D) El inciso A) no es válido pues en evaluando en x=3,

El inciso B) no es válido, dado que al evaluar en x=3,

El inciso C) no es válido, dado que al evaluar en x=11,

Al evaluar en cada valor de la tabla, se tiene que la respuesta correcta es D.


53. Se tiene un trozo de material plástico de de longitud y se quiere probar su elasticidad. Se estira a presión constante durante 17 minutos y se registra el aumento de su longitud en milímetros, tal como se muestra en la siguiente tabla.

Minutos Longitud en mm

0 1

5 31

7 43

10 61

17 103

¿Cuál de los siguientes enunciados explica el crecimiento de la longitud de ésta pieza con respecto al tiempo?

ENLACE 2009

122


A) El tiempo que se somete a presión al trozo plástico es menor por 4 unidades que siete veces la longitud del objeto.

B) La longitud del trozo plástico aumenta siempre 6 veces el número de minutos que es expuesto a presión más una unidad.

C) El tiempo que se somete presión al trozo plástico es siempre 5 veces el aumento que éste presenta.

D) La longitud del trozo plástico aumenta siempre 12 veces el número de minutos que es expuesto a presión.

Solución: Respuesta correcta B). Verifiquemos cada uno de los enunciados

El tiempo que se somete a presión al trozo plástico es menor por 4 unidades que siete veces la longitud del objeto. 5*7-4=31, 7*7-4=45, luego es falsa

La longitud del trozo plástico aumenta siempre 6 veces el número de minutos que es expuesto a presión mas una unidad, se verifica para cada tiempo y es verdadera.

El tiempo que se somete presión al trozo plástico es siempre 5 veces el aumento que éste presenta. Falsa, basta con tomar cualquier de los tiempos

La longitud del trozo plástico aumenta siempre 12 veces el número de minutos que es expuesto a presión Falsa, basta con tomar cualquier de los tiempos


54. Rodrigo necesita estacionar su auto, encuentra dos estacionamientos y pregunta por los costos de cada uno. El estacionamiento 1 cobra desde que se ingresa el automóvil e incrementa el costo a medida que pasa el tiempo. El estacionamiento 2 empieza a cobrar hasta pasadas dos horas, pero incrementa su costo en una mayor proporción que el Estacionamiento 1. La siguiente gráfica muestra el comportamiento del costo con respecto al número de horas transcurridas de los dos estacionamientos.

ENLACE 2009

123


¿Cuál de las siguientes opciones presenta la expresión de la que se obtiene el número de horas (h) tal que el costo de ambos estacionamientos es el mismo?

A) 9h = 15h – 30

B) 5h = 3h – 6

C) 5h = 3h – 90

D) 9h = 15h – 2

Solución: Respuesta correcta A). Se tiene información de dados dos puntos hallar la ecuación de la recta C representa costo y h número de horas.

Estacionamiento 1: , . Encontremos m

. Sustituyendo m y P1en la ecuación de la recta

entonces

Estacionamiento 2: , . Encontremos m

. Sustituyendo m y P1en la ecuación de la recta

entonces Para encontrar la expresión de la que se obtiene el número de horas (h) tal que el costo de ambos estacionamientos es el mismo, solo resta igualar ambas expresiones


55. Un comerciante tiene $50.00 y desea adquirir 20 artículos de papelería entre cuadernos (c) y bolígrafos (b), si el costo de cada cuaderno es de $7.00 y de cada bolígrafo es de $3.00; el sistema de ecuaciones que representa dicho problema es:

A)

B)

C)

D)

Solución: Respuesta correcta B. Escriba en lenguaje algebraico cada parte del problema Sea c el número de cuadernos.

b el número de bolígrafos.

desea adquirir 20 artículos

ENLACE 2009

124


Si el costo de cada cuaderno es de $7.00 y de cada bolígrafo es de $3.00 y un comerciante tiene $50.00


56. Un profesor de matemáticas envió a sus alumnos, como práctica de campo, a medir la altura de una pirámide en las ruinas cercanas a su localidad. Los estudiantes colocaron una estaca de 3 metros de altura como se muestra en la figura y midieron las sombras que proyectaban la estaca y la pirámide, que resultaron ser de 4m y 40m respectivamente.

¿Cuál es la altura (h) de la pirámide en metros? A) 12

B) 30

C) 53

D) 108

Solución: Respuesta correcta B). Recuerde el criterio de semejanza de triángulos

El cociente de la longitud de los lados del TRIÁNGULO MAYOR es igual al cociente de los lados del TRIÁNGULO MENOR. Utilizando


ENLACE 2009

125


57. Ángel y su hermano compraron un pequeño terreno cuadrangular que se dividió en dos partes iguales como se muestra en la figura. Es necesario saber la longitud de x en metros, para hacer una división con algún enrejado.

A) 8.48 B) 12.00 C) 18.00 D) 36.00

Solución: Respuesta correcta A). Este problema es una aplicación del teorema de Pitágoras

Sustituyendo en teorema de Pitágoras

Dado de y , el único resultado entre 8 y 9 es 8.42


58. En un parque público se necesita instalar una tubería subterránea que lo atraviese de forma diagonal, como se muestra en la siguiente figura:

ENLACE

2009

126


Para realizar esta instalación, se requiere conocer el valor del ángulo A que es igual a:

A) 30° B) 45°5´ C) 66°4´ D) 75°3´

Solución: Respuesta correcta C). Por función trigonométrica

, Por lo tanto 66o4´


59. La descripción gráfica que arroja un sensor de movimiento es la siguiente:

¿Cuál es la función trigonométrica que la describe?

A) B) C) D)

Solución: Respuesta correcta A). Recuerde que


60. Analice la siguiente figura.

ENLACE

2009

127


Si y , ¿cuál es el valor aproximado del ángulo B? A) 30° B) 35° C) 40° D) 45°

Solución: Respuesta correcta A). Por ley de senos

Sustituyendo


61. Observe la siguiente figura.

ENLACE

2009

128


¿Cuál es el volumen, en centímetros cúbicos, del prisma mostrado? a) 160.67

b) 187.50

c) 281.25

d) 562.50

Solución: Respuesta correcta C). Para calcular el volumen de prismas regulares se utiliza la formula

Sustituyendo


62. La siguiente figura gira con respecto a los ejes que se muestran, ¿qué figura continúa en la serie?

a) b) c) d)

Solución: Respuesta correcta A),

dado que se debe de levantar a


63. Si se corta por las líneas punteadas al octágono, como se muestra en la figura, ¿cuántas diagonales internas se pueden trazar en la figura resultante?

ENLACE 2009

129


A) 9 B) 14 C) 20 D) 27

Solución: Respuesta correcta C). El número de diagonales de un polígono

puede calcularse a partir de la formula

, donde n-es el número

de vértices

Sustituyendo n=8,


64. En un cubo se realizaron cortes en cuatro aristas, como se representa en la figura.

¿Cuál es el número de caras después de realizar los cortes? A) 6 B) 7 C) 9 D) 10

Solución: Respuesta correcta D). Originalmente un cubo tiene 6 caras, debe de observarse que cada corte genera otra cara, dado que son 4 cortes, se están anexando 4 caras más. El número total de caras es 6+4=10. MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

65. La siguiente figura representa una fábrica.

En dicha construcción se observan ____ prismas rectangulares, _____ cilindros completos y ____ conos truncados. A) 2, 2, 2 B) 2, 3, 0 C) 3, 2, 2 D) 3, 3, 0

Solución: Respuesta correcta C)

prismas rectangulares son 3

cilindros completos son 2

conos truncados son 2


ENLACE

2009

130


66. Una sala de museo tiene la forma como se muestra en la figura

Para la instalación eléctrica se necesita tender un cable alrededor de todos los muros. ¿Cuántos metros deberá medir el cable? A) 67.24 B) 76.36 C) 82.64 D) 101.48

Solución: Respuesta correcta B).Los arcos forman un círculo, luego el

perímetro de un circulo se obtiene por , donde r es el radio.


67. Una empresa desea construir una alberca en el patio de una casa como se muestra en la figura

¿Cuántos metros cuadrados de mosaico se necesitan para cubrir el fondo de la alberca?

ENLACE 2009

131


A) 52.81 B) 58.70 C) 62.62 D) 121.50

Solución: La respuesta correcta es C), observa que los extremos forman una circunferencia de diámetro 5 m, dicha figura geométrica tiene un área de (3.14)(2.5)^2=19.625y la sección central es un rectángulo de largo 8.6 m y ancho 5 m, el perímetro es (8.6)(5)=43, el área total es 19.625+43=62.625.


68. La siguiente figura corresponde a un edificio escolar.

¿Cuál es el área, en metros, de la parte trasera (parte sombreada)? A) 111.8 B) 142.4 C) 189.2 D) 266.6

Solución:Respuesta correcta B)

El área de la pared trasera se puede dividirse en dos áreas


ENLACE 2009

132


69. En la figura que se muestra, considere al eje de las abscisas (x) como eje de simetría.

70. ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos A y C del triángulo simétrico reflejado?

A)

B) C) D)

Solución: Respuesta correcta A)

Para ubicar el triángulo simétrico reflejado, piensa que el eje x es un

espejo de doble cara ubica el reflejo.de cada punto


70. En una hoja de papel se perfora una forma irregular y se puntea por la diagonal, como se muestra en la figura.

Si se dobla la hoja por la línea punteada de tal manera que A quede encima de D, ¿qué figura se obtiene?

ENLACE 2009

133


A)

B)

C)

D)

Solución: Respuesta correcta C). Para encontrar la imagen después del doblez, traza líneas diagonales desde cada vértice con longitud opuesta, de

la siguiente manera MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

71. La figura muestra la mitad de un cuerpo simétrico con respecto a la línea punteada. ¿Cuál es la figura que representa la otra mitad?

A) B)

C) D)

ENLACE 2009

134


Solución: Respuesta correcta C). Se puede completar la figura


72. Observe el siguiente plano:

¿Desde cuál de los puntos señalados es posible tomar la siguiente fotografía?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

Solución: Respuesta correcta D). Debe de pensar que se encuentra en cada punto y buscar una perspectiva que concuerde con la imagen.


73. Observe la plantilla que se muestra a continuación.

¿Cuál de los siguientes cuerpos tridimensionales se obtiene de ella?

ENLACE 2009

135


A)

B)

C)

D)

Solución: Respuesta correcta A). Observe que la base de las figuras son triángulos, razón por la cual se descarta a B, luego el número de caras son 8, por lo tanto como D tiene 4 caras está descartada, y el inciso C se le pueden contar 10 caras en el perfil frontal, razón por la cual A es la solución y concuerda con el número de caras.


74. Las siguientes figuras representan las vistas superior, inferior, frontal y lateral respectivamente, de un cuerpo tridimensional.

¿A qué figura corresponden? A) B)

C) D)

Solución:Respuesta correcta B). La vista frontal concuerda con todos los incisos, pero la vista frontal solo concuerda con B)


ENLACE 2009 ENLACE

2009

136


75. Dadas las coordenadas del punto P que se muestra en la figura, ¿Cuál de las siguientes opciones muestra las coordenadas de la posición final del punto P después de sufrir un desplazamiento de 5 unidades a la izquierda, 1 unidad hacia el lado positivo del eje y y 1 unidad hacia abajo?

A) B) C) D)


5 unidades hacia la izquierda 1 unidad hacia el lado positivo del eje y y 1 unidad hacia abajo


76. Las siguientes figuras son cortes horizontales de una cuerpo a distintas alturas:

¿A cuál de los siguientes cuerpos corresponden? A) B)

C) D)

Solución:Respuesta correcta B) queda descartada dado que el primer corte horizontal presenta concavidad hacia arriba y la opción B no la presenta. Las opciones A y D se descartan por el tercer corte

ENLACE

2009

137


Al ser más corto uno de los cilindros es imposible de obtener este corte. Por lo tanto la respuesta correcta es C


77. Una persona en un helicóptero pasa por encima del edificio que se muestra en la figura.

¿Cuál es la vista superior del edificio que la persona observa?

A)

B)

C)

D)

Solución: Respuesta correcta D), Observe que en las opciones A y B la torre esta rotada y no concuerdo uno de sus lados con la horizontal del edificio (vista frontal). La opción C, muestra que la torre tiene una tapa de igual tamaño que la construcción lo cual es falso al observar el siguiente detalle:


78. ¿Qué posición final representa la figura si se realiza un rotación de 180° con respecto al lado frontal?

ENLACE

2009

138


A) B)

C) D)

Solución: Respuesta correcta D).


79. Una persona camina por la calle y se encuentra con una escultura extraña. La observa desde el punto 0y para apreciarla mejor se desplaza hacia el punto 1y de ahí al punto 2.

¿Cuál es la vista que tiene el observador desde el punto 2? A) B)

C) D)

ENLACE 2009

139


Solución: Respuesta correcta D). La opción A esta descartada al tener dos peldaños y la escultura solo tiene uno. La opción B y C carecen del hueco.


80. Una persona observa un espejo que se encuentra frente a un edificio y corresponde al plano y–z, como se observa en la figura.

¿Cuál de las figuras representa la imagen observada a través del espejo?

A) B)

C) D)

Solución: Respuesta correcta C). Situando el espejo


ENLACE

2009

140


81. Analice la siguiente figura.

¿Cuál es el valor del lado a?

A) 24.5 B) 30.6 C) 35.1 D) 36.7

Solución: Respuesta correcta A). Aplicando ley de senos

82. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el punto C(-5, 4) y pasa por el punto A(-2, 0)?

A)

B)

C)

D) Solución: Respuesta correcta A Conociendo el centro de una circunferencia y un punto sobre ella puede calcular el radio (distancia entre el punto y el centro)

ENLACE

2009

141


Utilizando la ecuación general de una circunferencia conociendo el radio (r) y el centro

.MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

83. ¿Cuál es la gráfica que representa a la parábola cuyo vértice está en (-2, 3) y el foco en (-2, 2)?

A) B)

C) D)

Solución:Respuesta correcta B).Representa los dos puntos (vértice y foco) en el plano cartesiano

Ahora la parábola es como el PACMAN y se come al foco

ENLACE 2009

142



84. ¿Cuál es la gráfica de la elipse cuyo centro coincide con el origen, las coordenadas de los extremos del eje mayor (-4, 0) y (4, 0) y las coordenadas de los extremos del eje menor son (0, -3) y (0, 3)?

A

B

C

D

Solución: Respuesta correcta B). Debes de graficar los extremos de eje mayor y el menor

une los puntos y obteniéndose:


ENLACE 2009

143


85. En una unidad habitacional se requiere instalar un transformador eléctrico y se necesita un cableado desde subestación localizada en el punto A(-1, 5), como se muestra en el plano. Los valores están dados en kilómetros.

¿Cuántos kilómetros de cableado se necesitan si el transformador debe instalarse en el punto B (3,2)?

A) 3.60 B) 4.00 C) 5.00 D) 8.06

Solución: Respuesta correcta C). Mediante la expresión de distancia entre dos puntos se puede calcular la incógnita


86. En una escuela hay un espacio triangular para el área de juegos, similar al que se observa en la figura.

ENLACE

2009

144


Se requiere colocar una cerca en el lado que da a la calle (c) para evitar que los niños se salgan. ¿Cuál será la longitud de la cerca? A) 12.47 B) 14.16 C) 16.74 D) 18.61

Solución: Respuesta correcta B).Aplicando ley de cosenos

Para el ejercicio


87. Un ingeniero trabaja con piezas metálicas, como la que se muestra en la figura,

y necesita encontrar el valor del ángulo A con el fin de hacer algunos ajustes.

De acuerdo con la dimensiones del esquema, y dado que , ¿cuál es el valor del ángulo A? A) 15° B) 30° C) 45° D) 60°

Solución: Respuesta correcta opción B). Aplique ley de senos

Sustituyendo


ENLACE

2009

145


88. Un hombre empuja una caja desde el suelo por una rampa con una inclinación de 30° con respecto al piso hasta un descanso que se encuentra exactamente 4 metros por encima del nivel del piso. ¿Cuántos metros empujó el hombre la caja?

A)

B) C) 8 D) 16

Solución: Respuesta correcta C

Por medio de funciones trigonométricas, en particular la función seno

Sustituyendo


89. A la antena parabólica con foco en B se le debe colocar el aparato receptor en el punto A, como se muestra en la siguiente figura:

La distancia del punto A a B es igual a _______ y la ecuación que la describe es ________.

A)

ENLACE

2009

146


B)

C)

D)

Solución: Respuesta correcta B) Recuerda que se tiene dos clases de parábolas

Verticales:

Horizontales Donde P es la distancia del foco al vértice.

De acuerdo a la forma de la parábola la longitud de lado recto es

, de de donde . Sustituyendo en caso de parábola vertical

.

Con distancia de 2m del vértice al foco (valor de p).

Solución:

MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa

al índice

90. Un laboratorio de química tiene en su interior un horno de forma elíptica. En el foco 1 (F1) se coloca una fuente de calor y un objeto a calentar en el foco 2 (F2), como se muestra en la figura.

ENLACE 2009

147


La propiedad de reflexión de la elipse permite que el objeto adquiera el calor adecuado; por ello es necesario determinar la ecuación del contorno. Utilizando las medidas que se presentan en la gráfica, ¿cuál es la ecuación buscada?

A)

B)

C)

D)



Las coordenadas del centro (h, k) = (10,5). La longitud del eje mayor es 16, es decir 2 a=16, luego a =8, y la longitud del eje menor es 8, es decir, 2b=8, luego b=4.

=1,

Sustituyendo

=1,


ENLACE 2009

148


Prueba 2

Prueba ENLACE 2010. 1. Identifique una fracción equivalente a

a)

b)

c)

d)

SOLUCIÓN: Si multiplicamos a la fracción

por 1, sigue siendo la misma

fracción, pero el debe de ser especial, es decir:

Luego,

es equivalente a

.

Observe que para los demás incisos no existe un número por el que se multiplique tanto el numerador como el denominador y se obtenga la fracción.MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

2. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación aritmética?

a)

b)

c)

d)

SOLUCIÓN: El mínimo común múltiplo m.c.m. (3, 7, 2)=3*7*2=42, luego:


3. El resultado de la operación

es:

a)

b)

c)

d)

ENLACE 2010

149


SOLUCIÓN: Recuerda que en la multiplicación de fracciones se respeta la regla de numerador con numerador y denominador con denominador (en de arriba por el de arriba y el de abajo por el de abajo), el caso de los enteros es decir el 2. Este se multiplica con los numeradores (los de arriba).



a) -6

b) 7

c) 16

d) 18

SOLUCIÓN:


5. Realice la división de las siguientes fracciones

a)

b)

c)

d)

150


SOLUCIÓN: Escribe la expresión de la siguiente forma (5/6)/(2/3) observa que el numerador es 5/6 y el denominador (2/3). Los extremos del cociente son 5 y 3 y los medios son 6 y 2. El resultado es una fracción donde el numerador es el producto de los extremos y el denominador el producto

de los medios es decir:

La respuesta correcta es:


6. Relacione el número decimal con su equivalente sexagesimal (grados minutos y segundos)

a) 1a y 2c. b) 1a y 2d c) 1b y 2c d) 1b y 2d SOLUCIÓN: Para convertir 6.22o, lo que tenemos que convertir es .22 a segundos, ahora en la parte sexagesimal un grado se compone de 60 segundos (60´),

Por regla de tres 1 = 60´ 0.22 = ( x´ ),

entonces

de donde (1) decimal equivale a (b) sexagesimal. De manera similar: 1 = 60´

0.68 = ( y´ ), entonces

de donde (2) decimal equivale a (d) sexagesimal. Repuesta correcta 1b y 2d.


151


7. Identifique el número real que se encuentra entre

a) -6 b) -2 c) 5 d) 8 SOLUCIÓN: Para este tipo de ejercicios se recomienda graficar en la recta numérica

y

-6 -5 -2 0 0.8 5 8 El único número entre estos números es el -2,


8. Un investigador químico observa la temperatura de una determinada

sustancia durante una semana en la que se obtuvieron los siguientes

datos:

Día 1 2 3 4 5 6 7

Temperatura (C) 4 -5 0 -2 2 1 5

¿En qué día de la semana se registró la menor temperatura de la

sustancia?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

SOLUCIÓN: observa que tienes dos números negativos (-5 ) y ( -2) por lo

que uno de ellos representa la menor temperatura. En este caso es -5,

esta temperatura se registró el día 2. La respuesta correcta es: 2


9. En una asamblea vecinal se realizaron votaciones para elegir al

Representante de colonia. La fracción del total de votos que obtuvo cada

uno de los cuatro candidatos postulados, se presenta en la siguiente tabla:

Candidato Fracción del total de votos recibidos

152


1 2/6

2 1/7

3 3/11

4 1/4

¿Cuál de los cuatro candidatos obtuvo el primer lugar por la cantidad de votos

que recibió?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

SOLUCIÓN: Observa que 2/6=1/3, por lo que se puede leer como sigue:

candidato votaron

1 1 de cada 3

2 1 de cada 7

3 3 de cada 11

4 1 de cada 4

Luego el ganador es el candidato 1, La respuesta correcta es: a) MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

10. Martha compró 2 metros de listón y utilizó solamente 5 retazos de 1/8 de metro cada uno. ¿Qué opción representa los metros de listón sobrantes? Seleccione una:

a) .

b) .

153


c) .

d) .

SOLUCIÓN: Se utilizaron 5 retazos de 1/8, es decir

.Luego del total de los 2 metros le restamos los 0.625 utilizados de donde se tiene 1.375 metros. Las opciones muestran una escala de tres metros con flechas que indican una cantidad, debes de buscar la flecha que indica los 1.37 metros restantes. La respuesta correcta es:


11. Un automóvil viaja a una velocidad de 80.3 km/h. ¿Cuántos metros por segundo recorre?

a) 1.338 b) 2.230 c) 22.305 d) 1338.330 SOLUCIÓN: recuerda que 1 km =1000 m y 1 h=60 min, para convertir la velocidad de 80.3 km/h a metros se multiplica por 1000 m y para convertir a segundos se divide por 3600.

La respuesta correcta es: 22.305


12. Un terreno cuadrado está bardeado en tres de sus cuatro lados. ¿Cuántos metros se deben bardear en la parte faltante, si el área del terreno mide 196 m2?

a) 14 b) 49 c) 63 d) 98

154


SOLUCIÓN: EL problema te proporciona la forma del terreno, la cual es un cuadrado, luego la fórmula para calcular su área es A=l2 (lado al cuadrado), y como se proporciona el área de 196 m2, sustituimos en la

formula, 196=l2, de donde MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

13. Jorge desea comprar una crema dental en el supermercado; de las siguientes opciones, la que ofrece el menor precio por producto es la que contiene ________ gramos, con un precio de ________.

a) 76, $7.90 b) 152, $12.80 c) 200, $16,20 d) 228, $18.86 SOLUCIÓN: La opción que menor costo presenta es la 200, $16.20, para poder hacer la comparativa debemos de hablar de una misma cantidad de gramos, y encontremos el precio para 76 gramos. Observa que por comprar 76 g pagas $7.9. Si consideras la opción de 152, $12.8 observa aplicando regla de tres por 76 gramospagarías$6.4, si consideras la opción 228, $18.86 por 76 gramos pagarías aproximadamente $6.3. En la opción 200, $16.2 por 76 g pagarías aproximadamente $6.2 por lo que es la mejor opción La respuesta correcta es: 200, $16.2


14. En la Ciudad de México la temperatura máxima pronosticada en los

noticieros para mañana es de 75° Fahrenheit. Si la fórmula para convertir de grados Fahrenheit a Centígrados es: oC=(5/9)(oF-32), ¿Cuál es la temperatura máxima pronosticada en grados Centígrados?

a) 9.7 b) 23.9 c) 38.1 d) 41.7 SOLUCIÓN: Se tiene la temperatura máxima de 75° grados Fahrenheit y se desea conocer la temperatura máxima en grados centígrados. Utilizando la formula solo se debe de sustituir 75 en la formula:

La respuesta correcta es:23.9 MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

155


15. La razón de la votación obtenida por el partido A y el partido B que se ha presentado en las últimas cuatro elecciones fue de 3 a 5, respectivamente. Si en las elecciones pasadas, el partido B obtuvo 3200 votos. ¿Cuál fue la votación que obtuvo el partido A?

a) 1920. 0 b) 5333. 3 c) 9600. 0 d) 1600. 0 SOLUCIÓN: Es muy importante tener en orden 3 de A por cada 5 de B, es decir, por cada 3 de A, 5 votaron por B. Si B tuvo 3200 votos,

debemos encontrar cuantos grupos de 5 contienen

, como

A tienen el mismo número de grupos solo que ahora de tres elementos, para obtener sus votantes se tiene . La respuesta correcta es:1920


16. Una persona compró una computadora de $9,728.20. Al momento de pagar recibió un descuento de 15%. ¿Cuánto pagó por el aparato?

a) $ 1,459.23 b) $ 8,268.97 c) $ 9,713.20 d) $11,187.43 SOLUCIÓN: Como la computadora tenía un 15 % de descuento significa que le cobraron el 85% del costo original. Por lo que hay que calcular el 85% de $9728.2. La respuesta correcta es: $8 268.97


17. El profesor Alberto pide para su curso un libro de ejercicios, cuyo precio unitario es de $87.50. Si adquiere todos los libros del grupo en una sola compra la librería le cobrará un total de $2682.50. Si están inscritos 37 estudiantes en el curso, ¿cuánto ahorra todo el grupo al comprar todos los libros juntos?

a) $15 b) $72 c) $555 d) $655 SOLUCIÓN: Hallemos el costo total de los libros sin descuento (87.50)*(37)=3237.5 El ahorro es EL MONTO TOTAL SIN DESCUENTO MENOS EL PAGO REALIZADO, es decir 3237.5-2682.5=555 La respuesta correcta es:$555


156


18. El señor Ramón tiene un terreno rectangular cuya área es de 600 m2y el largo es el doble de su ancho. ¿Cuál es el ancho del terreno expresado en su forma radical simplificada?

a)

b) 5

c) 5

d) SOLUCIÓN: Sea x la longitud del ancho del rectángulo, por lo que 2x es la medida de su largo. Observa la figura

el área es largo por ancho, es decir A =(2x)(x)=2x2=600 luego x2=300 Aplicando raíz cuadrada en ambos lados

La respuesta correcta es: MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

19. El espesor de cada hoja de papel que se utiliza en una fotocopiadora es de 0.105 mm. Si en la bandeja donde se coloca el papel caben diez paquetes de 50 mm de ancho, la cantidad de hojas de papel que caben en la bandeja se encuentra entre:

a) 3000 y 3500 b) 4000 y 4500 c) 4501 y 5000 d) 5001 y 5500 SOLUCIÓN: El ancho de las hojas en la bandeja es de 500 mm (dado que son 10 paquetes y con un ancho de 50mm, luego 10por 50 son 500) y una hoja tienen un espesor de 0.105mm. Para hallar el número de hojas que caben en la bandeja simplemente se divide 500mm/0.105 mm=4761.9 La respuesta correcta 4761.9 La respuesta correcta es:4501 y 5000


157


20. El empleado de una ferretería debe almacenar bloques que tienen 15 cm de ancho, 40 cm de largo y 20 cm de altura. Si acomoda los bloques por su base, en una caja como la que se muestra en la figura, ¿cuál es el número máximo de bloques que puede acomodar?

a) 200 b) 400 c) 500 d) 2000 SOLUCIÓN: Observe que las dimensiones de largo, ancho y alto de la caja son divisibles entre las respectivas dimensiones del bloque, es decir 3m=300cm entonces 300/15=20, 4m=400cm entonces

y finalmente 2m=200cm entonces

entonces en la

capa inferior se pueden acomodar (10)(20)=200 cajas, por 10 capas posibles (200)(10)=2000. Por tener divisibilidad exacta en las dimensiones de la caja y los bloques, se puede hallar el volumen de la caja y dividir entre el volumen del bloque, obteniendo el número de bloques que se contienen.

El volumen de la caja 24 m3. y del bloque es

, luego dividimos

La respuesta correcta es: 2000 MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

21. Las estadísticas en una preparatoria muestran que de cada 100estudiantes, 25 fuman y, que de éstos, 10 son mujeres. Con base en esta relación, en un grupo de 60 estudiantes, ¿cuántas mujeres fumadoras hay?

a) 3 b) 6 c) 15 d) 24 SOLUCIÓN: Por cada 100 estudiantes 25 fuman, es decir 25%. y de estos 25 fumadores 10 son mujeres, es decir 10%. Luego de un grupo de 60 estudiantes 10 % de ellos fuman y son mujeres, es decir 6. La respuesta correcta es:6


158


22. Fernando vendió 2,000 pollos a diferentes precios: 45% lo vendió a $10.00

cada uno y 55% a $8.00 cada uno. Si obtuvo una ganancia de $2,670.00, ¿cuál es el porcentaje de la ganancia sobre el total obtenido?

a) 82.36% b) 17.64% c) 82.36% d) 85.00% SOLUCIÓN: Encontremos primero el número de pollos vendidos El 45% de 2000 pollos es:

Puedes pensar que si fueran 1000 pollos, el 45% serian 450, como son 2000 (es decir el doble) entonces su 45% es el doble, es decir 900.

El 55% de 2000 pollos es:

Puedes pensar que si fueran 1000 pollos 55% serian 550, como son 2000 (es decir el doble) entonces su 55% es el doble , es decir 1100.

La venta Total Importo: 900*10+ 1100*8=9000+8800=17800. Su ganancia es de $2 670, Necesitamos saber el porcentaje que representa de 17800. Calculemos por regla de tres: $17800 100%

$2670 x%

La respuesta correcta es:15% MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

23. De la población estudiantil de una escuela,

son mujeres; de esa cantidad,

la tercera parte son mayores de edad. Si la población total de dicha escuela es de 777 estudiantes, ¿cuántas mujeres son mayores de edad?

a) 148 b) 185 c) 259 d) 444

SOLUCIÓN: para obtener los

de 777 únicamente se multiplica

finalmente

de 444 es 148, por lo que 148 es el número

de mujeres mayores de edad La respuesta correcta es:148


159


24. Cada día, a uno de tres hermanos le toca llenar una cisterna con agua. Artemio puede llenarla en 6 horas, Valente en 9 horas y Guillermo en 18 horas. ¿En cuánto tiempo podrían llenarla si trabajan juntos?

a) 1 h b) 2 h c) 3 h d) 4 h SOLUCIÓN: Note que: El hermano 1 llena 3 cisternas en 18 h (1 cada 6 h) El hermano 2 llena 2 cisternas en 18 h (1 cada 9 h) El hermano 3 llena 1 cisterna en 18 h Si trabajaran juntos en 18 h llenarían 6 cisternas por lo que si trabajan juntos llenan una cisterna en 3 h La respuesta correcta es:3 h


25. Angélica realiza un trabajo en el que emplea 2/3 partes de 4/5 de una cartulina que le quedaba de otro trabajo. ¿Qué parte del total de la cartulina utilizó? Seleccione una:

a)

b)

c) .

d) .

SOLUCIÓN: Para poder deducir la fracción de una fracción, piensa en el siguiente ejemplo, necesitas obtener la mitad de la mitad de una cartulina

(la mitad de una cartulina es

, y la mitad de

es

, este número se obtiene

como

Para nuestro problema

. En forma

de gráfica es 8 cuadritos sombreados de 15 totales.


26. De acuerdo con la figura mostrada, ¿cuál es el valor del coseno de 30°?

160


a)

b)

c)

d)

SOLUCIÓN: De acuerdo a la definición de la forma trigonométrica


27. Dada la ecuación de la elipse,

Identifique las coordenadas de su centro y los Focos. a) C(-1, -2), F(-1, -6), F'(-1, 2) b) C(-1, -2), F(-5, -2), F'(3, -2) c) C(1, 2), F(-3, 2), F'(5, 2) d) C(1, 2), F(1, 6), F'(1, -2) SOLUCIÓN: La siguiente ecuación representa la ecuación general de la elipse, con centro es C (h, k), y focos sobre la coordenada del semieje mayor, supongamos que el semieje mayor esta sobre la coordenada h,

entonces los focos tienen coordenadas F1 (h, k+ ) y

F2(h, k- )

161


El centro es C (-1,-2), para encontrar el foco se debe de resolverla coordenada del foco a partir de los semiejes A y B

F1=(-1, -2+5)=(-1,3) F2=(-1,-2-5)=(-1,-7) La respuesta correcta es: C=(-1,-2), F1=(-1,-7), F2=(-1,3).


28. Una recta tiene por ecuación

, ¿cuál es el valor de la

pendiente de una recta perpendicular respecto a esta?

a)

b)

c)

d)

SOLUCIÓN: La ecuación de la recta es , donde m es la pendiente y b es la ordenada al origen. Un criterio para que dos rectas sean perpendiculares es: Sean m1 y m2 las pendientes de dos rectas, estas son perpendiculares si y solo si m1*m2=-1.

Ahora denotemos a

y lo sustituimos en el criterio, luego

despejamos m2, entonces tenemos que

. Lo cual

implica que m2 =

. La respuesta correcta es:


29. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4 , -7) y cuya

pendiente es m=

?

a)

b)

c)

d)

SOLUCIÓN: La ecuación de la recta punto pendiente la cual es:

Ahora observemos que la pendiente es

y P(4 ,

-7)=P(x1=4 , y1=-7) sustituyendo en la ecuación general se tiene

162


,donde -(-7)=7 por lo tanto tenemos que:



30. El valor del radio de una circunferencia es r = 5 y las coordenadas de su

centro son C (-3, 2). Identifique la ecuación que la representa

a) b) c) d) SOLUCIÓN: Recuerda que la ecuación de la circunferencia es donde el centro es y el radio es r se

sustituye directamente en la ecuación y se obtiene:



31. ¿Cuál es el enunciado que describe a la siguiente expresión algebraica?

. a) El producto del triple de un número y el cuadrado del doble de otro. b) La diferencia del cubo de un número y el doble del cuadrado de

otro. c) La diferencia del triple de un número y el cuadrado del doble de

otro. d) El producto del cubo de un número y el doble del cuadrado de otro. SOLUCIÓN: Sea x un número cualquiera y sea y otro número

cualquiera. Se lee algebraicamente como: el triple de un número

y es el doble del cuadrado del otro número y el signo menos es la diferencia de ellos dos. La respuesta correcta es: La diferencia del triple de un número y el cuadrado del doble de otro


32. ¿Cuál opción es una ecuación equivalente a la siguiente expresión?

a) 21x - 6y = 4 b) 14x + 9y = 4 c) 14x - 6y = 4 d) 7x + 3y = 2

163


SOLUCIÓN: Para encontrar la ecuación equivalente debe multiplicar por un número n a toda la ecuación, es decir, cada uno de los coeficientes en ambos lados de la igualdad.


33. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa una función?

A)

B

C)

D)

SOLUCIÓN: Aplica la regla de la línea vertical la cual consiste en trazar reglas verticales de tal modo que dicha recta se interseca con la gráfica en un sólo punto. La figura siguiente no es función por que por lo menos hay una vertical que interseca a la gráfica en dos puntos:

164


La siguiente figura si es función pues la vertical corta a la gráfica en un punto:



34. ¿Cuál gráfica corresponde a la siguiente representación algebraica?

A)

B)

165


C)

D)

SOLUCIÓN:La forma general de una recta esta dada por , m representa la pendiente (inclinación de la recta) y b elpunto donde corta a el eje Y. Si m es negativa la recta esta inclinada

como (\), si es positiva la recta esta inclinada como (/). Para

nuestra recta m=-2 entonces esta inclinada como (\) y

corta al eje y en 4. La respuesta correcta es:


35. A partir de la siguiente función , ¿Cuál es el valor de la

siguiente operación?

a) 4 b) 26 c) 28 d) 32

SOLUCIÓN: Considerando , se tiene que ; ;

Ahora sustituimos en

.

La respuesta correcta es:28. MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

166


36. ¿Cuáles son los valores de la pendiente (m) y la ordenada al origen (b) de

la función?

a)

b)

c)

d)

SOLUCIÓN: La respuesta correcta es

y

, sabemos que

es la ecuación de la recta con pendiente m ordenada al

origen b (corta al eje y) más aun si llamamos a ,

y

, se obtiene que

, es decir tenemos a y como

función de x, donde la x es la variable independiente y la y es la variable dependiente. La respuesta correcta es:


37. Identifique la gráfica de la siguiente función:

A) B)

C) D)

167


SOLUCIÓN: Observe que , es un trinomio cuadrada perfecto, al expresarlo como binomio al cuadrado,

Para una parábola tenemos dos casos, que es una

parábola horizontal y , la cuales abren hacia arriba o hacia

la derecha si y habrá hacia abajo o hacia la izquierda si , según corresponda. Para nuestro caso corresponde a una parábola vertical y abre hacia arriba y corta al eje y en 1. Luego la solución es


38. ¿Cuál es el valor de x del siguiente sistema de ecuaciones simultáneas?

a) x=2 b) x=3 c) x=4 d) x=5

SOLUCIÓN: Para resolver este sistema se puede proceder por distintos métodos: sustitución, Regla de Kramer, eliminación, procedamos por este último

168



39. Una escuela de nivel medio superior tiene un ingreso de alumnos en el año 2008 como se muestra en la gráfica. Con base en estos datos, ¿cuál es la media del grupo?

a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 SOLUCIÓN: sumando las alturas de la gráfica y divide entre el número

de barras

La respuesta correcta es:32 MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

40. El importe del consumo de electricidad es directamente proporcional al número de kilowatts-hora consumida y se representa mediante la siguiente relación I = KV donde I es el importe en pesos, V es el número de kilowatts-hora consumidos y K es la constante de proporcionalidad en

.

¿Qué importe en pesos se debe pagar por el consumo de 250 kilowatts-hora, si K=3?

169


a) 83 b) 247 c) 253 d) 750 SOLUCIÓN: Solo se debe de sustituir los 250 kilowatts-hora y K=3, en


41. La siguiente gráfica relaciona el precio a pagar en pesos por el número de horas en un estacionamiento público.

¿Cuál es el pago, en pesos, que se debe efectuar por haber dejado el carro en el estacionamiento 3 horas 15 minutos?

a) 20 b) 40 c) 46 d) 50 SOLUCIÓN: Para este problema debemos marcar los costos de 3 y 4 hrs. y nos damos cuenta que el precio está entre un poco mas de $40 y menos de $50, luego la única opción que satisface estas condiciones es 46. Otra forma de solución es utilizar los puntos (0,20) y (5, 60), donde

donde y=8x+20, evaluando en 3 horas 15 minutos (equivalentemente x=3.25) y=8(3.25)+20=46,

170


La respuesta correcta es:$46


42. En la siguiente gráfica se muestra el volumen de ventas, en miles de pesos, de una tienda de aparatos electrónicos, en los últimos 8 meses:

Con base en la información de la gráfica, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

a) En el bimestre de septiembre-octubre se obtuvieron las menores ventas

b) Los bimestres de noviembre-diciembre y enero-febrero tuvieron las mismas ventas

c) En el bimestre febrero-marzo se obtuvieron mayores ventas que el de septiembre-octubre

d) En el bimestre de enero-febrero se obtuvieron las mayores ventas SOLUCIÓN: En el bimestre de septiembre-octubre se obtuvieron 3.5 en ventas el cual es mayor que agosto septiembre con 2.5 en ventas luego (a) no es verdadera. En el bimestre febrero-marzo y septiembre-octubre obtuvieron 3.5 en ventas en ambos, luego (C) es falsa. En el bimestre de enero-febrero se obtuvieron 4.5 en ventas, menor a octubre-noviembre, luego (D) es falsa. Los bimestres de noviembre-diciembre y enero-febrero tuvieron ambos 4.5 en ventas, luego (B) es la respuesta correcta.


171


43. La producción de 5000 muebles para el hogar en la empresa Muebles Tapizados, S.A, durante el segundo trimestre del año, se presenta en el siguiente gráfico.

Dados los datos de la gráfica, ¿cuántos muebles en el sector otros se produjeron en la citada empresa?

a) 350 b) 400 c) 3500 d) 4650

SOLUCIÓN: El porcentaje de otros esta dado por , luego x=7%, por tanto el 7% de 5000 muebles es


44. Eduardo experimenta lanzando 9 veces un par de dados. En 6 ocasiones obtuvo 5 puntos. Con base en estos datos, ¿cuál es la probabilidad de obtener 5 puntos en este experimento?

a)

b)

c)

d)

SOLUCIÓN: La probabilidad de en evento se define como el número de casos a favor entre el total posible de casos, es decir:

.

Para nuestro problema el número de casos totales es 9, y 6 casos favorables, entonces sea A= EL evento de obtener 5 puntos, así:


172


45. En una rifa se otorgan los siguientes premios. 8 boletos para una función de cine, 5 discos, 3 gorras y 4 boletos para un concierto. Dentro de una urna se colocan papeles indicando la clave de cada premio. Miguel extrae un papel, ¿cuál es la probabilidad de que Miguel obtenga un boleto para la función de cine o el concierto?

a)

b)

c)

d)


.

Para nuestro problema el número de casos totales es 8+5+3+4=20. definamos a A=sacar un boleto para la función de cine o el concierto, el número de casos favorables es 8+4=12.


46. En una feria un joven juega en las ruletas que se muestran a continuación.

Si compra un boleto y le dan un dardo para cada ruleta, ¿cuál es la probabilidad de que le atine a un número par y al color rojo?

a)

b)

c)

d)


.

173


Para nuestro problema el número de casos totales es (5) *(5)=25 dado que se tienen 5 números y 5 colores. El número de casos a favor A es 2 (2 y rojo, 4 y rojo), donde A es el evento de que le atine a un número par y al color rojo.


47. Miguel registró el volumen de un cubo conforme se iba calentando. Al ausentarse en tres momentos, perdió el continuo de la relación entre los datos.

Si el volumen aumenta en forma lineal al incrementar la temperatura, ¿cuáles son los valores faltantes?

a) 2, 9, 18 b) 2, 12, 14 c) 4, 10, 15 d) 5, 11, 15

SOLUCIÓN: Como nos habla de un comportamiento lineal, se tiene el caso de encontrar la ecuación de una línea dados dos puntos, (7,8) y

(13,20),

, sustituyendo en ,

−2x+6=0, -2x=-8. x=4 −2x+6=0, -2x=-20. x=10

−2x+6=0, -2x=-30. x=15


48. El crecimiento en centímetros de una planta de maíz se muestra en la siguiente tabla:

Determine la representación funcional algebraica que muestra dicho crecimiento, donde x es el número de días y f(x) es la altura en centímetros.

a) f(x)=2x+2 b) f(x)=x+3 c) f(x)=3x+1 d) f(x)=4x

174


SOLUCIÓN: x representa el día y f(x) la altura. Sustituye en cada función, por ejemplo:

para ; tenemos como 6 es diferente de 7 y por tanto se descarta.

para ; tenemos pero 6 es diferente

de 7 por lo que se descarta.

Para tenemos que se satisfacen en todos los valores por

lo que es la respuesta correcta La respuesta correcta es:


49. Encuentre el ancho en metros de un rectángulo, si el largo es 18 m. más grande que el ancho y su área es de 144 m2

a) 6 b) 8 c) 17 d) 24

SOLUCIÓN: Sea x el ancho del terreno rectangular y el largo,

dado que el área es de 144 m2, entonces ,


50. Karla compra 1 chocolate y 2 paletas con $4, Lorena compra 3 chocolates y 1 paleta con $7, al llegar a casa su mamá les pregunta, ¿cuál es el costo de cada producto? Chocolate ____ y paleta ____

a) $1, $2 b) $2, $1 c) $4, $2 d) $3, $1

SOLUCIÓN: Planteamos un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas. Sea x el costo de un chocolate, y el costo de una paleta y

Procedamos por eliminación:

175


-5x=-10

x=2, De la primera ecuación del sistema original se sustituye

, La respuesta correcta es: $2, $1


51. Una persona adquiere un auto en $80,000, el cual se devalúa en $10,000 cada año, como se muestra en la gráfica.

¿Cuál es la regla de correspondencia de la función que indica el valor del auto p(t) en el año t?

a) b) c) d)

SOLUCIÓN: Como se trata de una recta y la forma general es , donde b es el punto donde corta al eje y, de acuerdo a la gráfica es en 80,

. Para encontrar m, utilicemos dos puntos conocidos

(0,80) y (3, 50). Sustituyendo

. Por lo

tanto la solución es: MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

52. Carlos y Pablo pesaban 10 kg y 7 kg, respectivamente. El peso de ambos ha venido aumentando 1 kg cada mes durante 5 meses. ¿Cuál es la representación algebraica del incremento de peso para Carlos y para

Pablo , dada la siguiente tabla con n=1, 2, 3, 4, 5?

176


a)

b) c)

d) SOLUCIÓN: Como se refiere en el problema a un aumento, la respuesta correcta es , observe que si evalúa por ejemplo en el mes 3

Otra forma de solución: Dos puntos para Carlos son: (1, 11) y (2, 12)

donde y=10+x Dos puntos para Pablo son: (1, 8) y (2, 9)

donde y=7+x MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

53. En la tabla se muestran las cantidades de deserción y reprobación de la

escuela Simón Bolívar, en los últimos cinco años. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son conclusiones correctas a partir de los datos presentados en la tabla? 1. Cada año, la deserción y la reprobación se han reducido a la mitad más tres 2. Cada año, la deserción se ha reducido a la mitad más tres 3. Cada año, la reprobación se ha reducido un tercio más setenta y seis 4. Cada año, la reprobación se ha reducido a la mitad menos cinco

177


a) 1 y 2 b) 1 y 4 c) 2 y 3 d) 2 y 4

SOLUCIÓN: La afirmación Cada año, la deserción y la reprobación se han reducido a la mitad más tres, es falsa pues si se toma la reprobación

del año 2012 y se reduce a la mitad y se le suma tres es

la

cual no corresponde a 2003. la afirmación año, la deserción se ha reducido a la mitad más treses correcta. La afirmación Cada año, la reprobación se ha reducido un tercio más setenta y seises

falsaconsideremos el dato de 2002 , es decir 486, un tercio de esta es 162, luego la reducción fue de 486-162=324, mas 66 es 390diferente a 238. La afirmación es Cada año, la reprobación se ha reducido a la mitad menos cincoes correcta al verificar cada caso.

La respuesta correcta es 2 y 4. MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

54. Un laboratorio de informática cuenta con 10 computadoras, una para cada pareja de alumnos, y 2 unidades de almacenamiento para cada alumno.

De acuerdo con los datos de la gráfica, y considerando que c(x) representa el número de computadoras disponibles, d(x) el número de unidades de almacenamiento en uso y x el número de alumnos que hacen uso de las 10 computadoras, ¿cuál es la expresión algebraica que representa el punto de intersección entre las funciones?

a)

b)

c)

d)

SOLUCIÓN: Para resolver, encontremos función de cada recta, d(x), es una recta que pasa por el origen, entonces d(x)=k x, con los puntos (1, 2) y (5, 10) se tiene k =2. Luego d(x)=2x. De manera similar la recta c(x) es una recta que pasa por el punto 10 del eje y, solo resta

178


determinar su pendiente con los puntos (0,10) y (4,8),

, sustituyendo en

,

El punto de intersección esta dado por

La respuesta correcta es


55. La edad de Sergio (s) es la mitad de la edad de Pedro (p). Si ambas edades suman 45 años, ¿cuál es la representación algebraica que permite obtener las edades de ambos?

a)

b)

c)

d)

SOLUCIÓN: Si la edad de Pedro la denotamos por (p), y la edad de Sergio

(s) es la mitad de la edad de Pedro, es decir

. La interpretación de

ambas edades suman 45 años,

Para llegar a la otra ecuación de

. La respuesta correcta es:


56. Un edificio de 6 m de altura proyecta una sombra de 8 m; a la misma hora,

un edificio que se encuentra a su lado proyecta una sombra de 24 m, como se muestra en la figura:

179


¿Cuál es la altura (h), en metros, del segundo edificio

a) 16 b) 18 c) 30 d) 32 SOLUCIÓN: Para resolver el siguiente reactivo, recordemos el criterio de semejanza entre triángulos, A a b B

Entonces

,

Luego

La solución es 18. MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

57. La figura muestra la posición de un jugador en la cancha de futbol. El jugador dispara desde el punto B hacia el punto A.

180


¿Cuál es la distancia horizontal, en metros, que recorre el balón?.

a) 8.31 b) 12.00 c) 14.40 d) 16.80

SOLUCIÓN: El problema consiste en determinar x. x 7.2 m 9.6 m

La respuesta correcta es 12


58. Juan tiene que calcular el ángulo A que se forma entre la banqueta y el tirante del poste de luz instalado frente a la escuela con los datos que se muestran en la figura.

¿Cuál es el valor de este ángulo?

a) 15o b) 30o c) 45o d) 60o

181


SOLUCIÓN: Recordemos la definición de funciones trigonométricas

H C.O

θ C.A

De acuerdo al problema se conoce el cateto adyacente (4 m) y la hipotenusa (8 m) de acuerdo a esta información


59. ¿Cuál es el volumen en cm3 del siguiente prisma?

a) 2040 b) 2064 c) 2400 d) 2640

SOLUCIÓN: La idea es completar a la figura como un paralelepípedo y restar el volumen de las partes añadidas. Al completar se tiene

182


El volumen total es: largo *ancho * alto= . Volumen prisma triangular: Volumen =vol. total- 2 (vol. triangular)= La respuesta correcta es:2040


60. La figura gira 90° en el eje vertical y el eje horizontal alternadamente. ¿Cuál de las opciones representa la siguiente posición de la figura?

A)

B)

C)

D)

SOLUCIÓN: Observa que la figura gira 90° en el eje vertical, luego 90° en el eje horizontal, posteriormente debe girar 90° en el eje vertical, es decir todos los giros se efectúan en sentido contrario a las manecillas del reloj obteniendo

183




61. Si se corta por las líneas punteadas al heptágono, como se muestra en la figura, ¿cuántas diagonales internas se pueden trazar en la figura resultante?

a) 18 b) 20 c) 27 d) 35


SOLUCIÓN: La fórmula para calcular el número de diagonales de un

polígono de n lados es

Por Ejemplo cuadrado tiene 4 lados (n=4), entonces

. Dos diagonales un cuadrado.

Para nuestro problema la figura restante tiene 10 lados

184


62. . Un marco de madera de forma cuadrada y sin relieves se corta por las líneas punteadas como lo indica la siguiente figura.

¿Cuál es el número de caras de cada pedazo de marco después de efectuar los cortes?

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8

SOLUCIÓN: observa que al cortar te quedan piezas parecidas a la siguiente

La respuesta correcta es: 6


63. ¿Qué opción muestra los poliedros que conforman el siguiente cuerpo?

185


A)

B)

C)

D)

SOLUCIÓN: la respuesta correcta es

64. Un diseñador elabora el boceto de una loseta, como se muestra en la figura,

recortando un cuarto de circunferencia en cada vértice de un cuadrado con un lado de 12 cm.

a) 41.21 b) 49.12 c) 74.24 d) 82.42 SOLUCIÓN:

186


observa que se tienen dos circunferencia (roja y azul) de radio 4 cm y 6 segmentos de 4 cm por lo tanto él perímetro es La respuesta correcta es: 74.24


65. El propietario de un restaurante quiere remodelar la entrada de su negocio y colocar un vitral en la superficie para que se vea de tipo colonial; el diseño y dimensiones de la entrada se muestran en la figura.

¿Cuántos metros cuadrados tendrá el vitral?.

a) 8.78 b) 11.14 c) 14.28 d) 20.56

SOLUCIÓN: Calculemos por dos partes

Área de la parte rectangular Los dos semicírculos forman uno completo de radio 1, entonces

Luego, La respuesta correcta es: 11.14


66. En una escuela se proyecta la construcción de una base con una placa conmemorativa en la cara frontal, como se observa en la figura.

187


¿Cuál es el área de la placa?

a) 10 800 cm2 b) 11 400 cm2 c) 12 000 cm2 d) 13 200 cm2

SOLUCIÓN:

La respuesta correcta es: 12 000 cm2


67. Observe la siguiente figura.

¿Cuáles son las coordenadas simétricas de la figura respecto al eje y?

a) A'(-3, 2), B'(-2, -3), C'(-5, -4) b) A'(-1, 2), B'(-2, -3), C'(1, -4) c) A'(-1, 7), B'(2, 2), C'(-1, 1) d) A'(1, -2), B'(2, 3), C'(-1, 4) SOLUCIÓN: Como nos hablan de simetría, respecto al eje y. Piensa que Y es un espejo de doble cara entonces hay que decir donde se reflejan los vértices de la figura.

188


Luego La respuesta correcta es:


68. La siguiente figura corresponde a un trozo de cartulina y en ella se realiza un doblez tomando como eje una recta que pase por los puntos D y B, de tal manera que el triángulo DBC quede sobre el triángulo ABD.

¿Qué figura se observará posteriormente?

A)

B)

C)

D)

189


SOLUCIÓN:

Posteriormente dobla


69. Observe la figura que se presenta a continuación.

¿Cuál de las opciones completa la figura?

A)

B)

C)

D)

190


SOLUCIÓN: la figura original tiene la intersección de sus líneas cerca del corte a diferencia de esta que lo tiene más cargado hacia el interior. La respuesta correcta es:


70. Observe el siguiente plano

¿Desde cuál de los puntos señalados es posible tomar la siguiente fotografía?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 SOLUCIÓN: Imagínate que te encuentras en alguno de los puntos. Supón que te encuentras en el punto 4, desde ahí verías 3 edificios. Si te encontraras en el punto 3 verías los edificios que parecen cilindros acostados y el que parece botellita y al fondo verías el rectangular más grande. Si estuvieras en el punto 2 verías el edificio que parece botellita a tu izquierda por lo que el punto desde el cual puedes tomar la foto es el 1. La respuesta correcta es:1


71. ¿Cuál es el cuerpo tridimensional que se forma con la siguiente plantilla?

191


A)

B)

C)

D)

SOLUCIÓN: Observe que la base de la figura es un hexágono, con tres caras cuadradas y tres triangulares. La cara superior de la figura es un triángulo. Luego la solución es


ÑLLL

72. Los planos que se muestran a continuación constituyen las vistas frontal, superior y laterales de una figura tridimensional.

¿A cuál de las siguientes corresponden?

A)

B)

192


C)

D)

SOLUCIÓN: La respuesta correcta es


73. La siguiente figura muestra un espacio en tres dimensiones. El punto P,

cuyas coordenadas se muestran en la figura, se desplaza 3 unidades hacia el frente, 3 unidades hacia abajo y 4 unidades hacia la derecha. ¿Cuáles son sus coordenadas finales?

a) P(1, 0, 4) b) P(1, -2, 4) c) P(1, -2, 1) d) P(1, 1, -4) SOLUCIÓN: Las coordenadas del punto P=(-2,-3,-1), Hacia el frente es la coordenada X, (frente + , atrás -) Hacia abajo es la coordenada Z (arriba + , abajo -)

193


Hacia la derecha es la coordenada Y (derecha +, izquierda -) Para encontrar el nuevo punto se debe sumar el movimiento realizada en la coordenada respectiva. (-2,-3,-1) 3 unidades hacia el frente (-2+3, , ) (-2,-3,-1) 3 unidades hacia abajo ( , ,-1-3) (-2,-3,-1) 4 unidades hacia la derecha ( ,-3+4, ) Resultado (1,1,-4) La respuesta correcta es: P=(1,1-,4)


74. Seleccione la figura que se puede construir utilizando los fragmentos presentados.

A)

B)

C)

D)

SOLUCIÓN:


75. ¿Cuál de las siguientes figuras corresponde al edificio visto desde un helicóptero en el momento en que está volando arriba de él?

194


A)

B)

C)

D)

SOLUCIÓN: lo marcado en azul es lo que se observa desde el Helicóptero

observa que ambas figuras tienen forma de trapecio por lo que la respuesta corresponde a la figura

76. . ¿Cuál es la posición de la figura al aplicar una rotación de 90° sobre el eje

AB?

a) .

b) .

195


c) .

d) .

SOLUCIÓN: imagina que colocas una barra sobre la línea AB y ejecutas una rotación en sentido de las manecillas del reloj de 90o, luego la figura que resulta es:


77. En la siguiente figura se muestra la posición inicial de un observador (A) y la vista del plano que observa de la figura. Si el observador se desplaza en línea recta como indican las flechas de A a B y de B a C, alrededor del objeto, ¿cuál será la nueva vista que tendrá este observador del objeto?

a) .

b) .

c) .

d) .

196


SOLUCIÓN: El movimiento del observador es de A a B y de B a C, la posición final en la que debes de pensar es en C. y de frente, es decir a espaldas de donde esta originalmente, entonces ve casi la misma figura, solo que invertida y sin la división del último peldaño.



78. La siguiente figura muestra un dodecaedro transparente, construido con varillas y recargado en una base sobre una de sus caras.

Si un espejo se encuentra colocado de manera paralela a dicha base con la parte que refleja hacia el cuerpo, ¿cuál de las siguientes opciones muestra lo que se refleja en el espejo?

a) .

b) .

c) .

d) .

SOLUCIÓN: Los lados de la figura son pentágonos, el espejo reflejara la vista superior. Observa que el material del objeto es transparente. Además, el acomodo de los lados ocasiona que mientras en la base se tiene un lado recto en la parte superior se tiene la intersección de dos lados. Observa la figura


197


Por lo que los lados pentagonales de las bases superior e inferior no están sobre puestos si no que una de las tapas tiene un giro. Luego la respuesta correcta es


79. De acuerdo con las medidas del siguiente triángulo, ¿cuántos centímetros mide el lado b?

a)

b)

c)

d)

SOLUCIÓN: Aplicando ley de senos


80. Una circunferencia tiene su centro en (-2,-2), y pasa por el punto (1,-2). ¿Cuál es su ecuación?

a) b) c) d)

198


SOLUCIÓN: La ecuación de una circunferencia con centro en y

radio , es:

Para sacar el radio

,

el radio es 3 Sustituyendo en la ecuación . Entonces


81. ¿Cuál es la gráfica de la parábola con vértice en el punto (0,3) y foco en el punto (0,6)?

a) .

b) .

c) .

d) .

SOLUCIÓN: Te recomiendo graficar el vértice y el foco indicado. Luego sabes que la parábola es una curva, la manera de dibujarla es que contiene al foco(como un pacman que se come al foco), es decir que el foco este dentro de la curva La respuesta correcta es:

199



82. El centro de una elipse tiene como coordenadas (-2,0); los extremos del eje mayor tienen como coordenadas (-6,0) y (2,0). ¿Cuál es la gráfica que representa a la elipse descrita?

a) .

b) .

c) .

d) .

SOLUCIÓN: observa que los puntos y se encuentran ubicados sobre el

eje x además el punto medio de estos puntos es . Denotemos por por y por . La respuesta correcta es


200


83. En las coordenadas se encuentra un registro de cableado telefónico; en el punto de coordenadas se ubica la punta de una antena de señal

telefónica. ¿Cuál es la distancia entre el registro y la punta de la antena?

a)

b)

c)

d) SOLUCIÓN: En este caso se debe emplear la formula de la distancia entre dos puntos

, luego


84. En una plaza Juan camina en tramos rectos, a partir del asta bandera, en un punto cambia de dirección girando 150° a su izquierda, avanza 64 metros y se detiene. Para regresar al asta tiene que girar 75° a la izquierda. ¿A qué distancia se encuentra del punto inicial?

a) 16 b) 32

c)

d) SOLUCIÓN:

Con los ángulos proporcionados se pueden establecer los ángulos interiores

Aplicando ley de senos


201


85. . La figura muestra el proceso de producción de cierta bebida que consta de tres fases, las cuales se realizan sobre un aparato de forma triangular. Al entrar en un espacio de metros, se coloca la etiqueta de las botellas; después giran un ángulo de _____ grados, avanzan y se llenan de líquido; al final, giran un ángulo de 45° y avanzan metros para colocar las tapas y salir del proceso.

e) 30o f) 45o g) 60o h) 75o SOLUCIÓN:

Siempre que se den a conocer dos lados y sus ángulos opuestos, se debe de utilizar ley de senos, como este ejercicio lo requiere


86. ¿Cuál es la altura en metros de una torre si proyecta una sombra de 26 metros con un ángulo de elevación respecto al piso de 60 grados?

202


e) 13

f)

g) .

h) SOLUCIÓN:


87. Se instala un canal en forma parabólica con el fin de que fluya el agua de la lluvia, el vértice y la longitud del lado recto se indican en la figura.

¿Cuál es la ecuación de la parábola y qué coordenadas tiene el foco?

e) x2-2x-8y-7=0, F(1,-3) f) x2-2x+2y+3=0, F(1,-3/2) g) x2-2x-2y-1=0, F(1,-1/2) h) x2-2x-8y+9=0, F(1,1)

SOLUCIÓN: La longitud de lado recto ( ) es 2, es = decir ,

entonces p=1/2.

Observa que la parábola es vertical, es decir el vértice y el foco comparten la

misma coordenada en x, para la coordenada en Y la distancia entre el foco y

el vértice es de 1/2. entonces el . Con esto

ya puedes responder la pregunta. Otra manera de responder es

encontrando la ecuación de la parábola con vértice en (Si es vertical

)

203


Si es horizontal ( ) sustituyendo


88. Un arquitecto lleva el trazo de la superficie del piso de una sala, que tiene forma elíptica, a un plano cartesiano, con el fin de manipular sus medidas por posibles remodelaciones.

Para realizar las modificaciones necesita conocer la ecuación de la elipse. ¿En qué opción se representa dicha ecuación?

e) 4x2+9y

2 -8x+54y-113=0

f) 4x2+16y2+8x+96y+84=0 g) x2+2y2 -2x-12y+15=0 h) 4x2+16y2 -8x-96y+84=0 SOLUCIÓN: recuerda que la ecuación de la elipse es

donde el centro es 2a es la longitud del eje mayor, 2b es la longitud del eje menor. De la figura se observa que 2a=8 y 2b=4, por lo que a=4 y b=2. Sustituyendo los valores tenemos

Se desarrollan los binomios

multiplicando toda la

ecuación por 16 tenemos desarrollando , multiplicando nuevamente por

4 y simplificando tenemos


204


Prueba 3

Prueba ENLACE 2011.

1. Una fracción equivalente a

es:

A)

B)

C)

D)

Tipo dMATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

problema: simplificación de fracciones Solución: la respuesta correcta es B), multiplica numerador y denominador por 3 para obtener lo deseado, es decir, 9/15.


A)

B)

C)

D)

Tipo de pMATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

roblema: operaciones con fracciones. Solución: la respuesta correcta es C). El mínimo común múltiplo de los denominadores es 18, a partir de este se tiene (8+6+30)/18 =44/18=22/9

3. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación de fracciones?

A)

B)

C)

D)

Tipo deroblma: operaciones con fracciones

Solución: la respuesta correcta es A),

205


Se multiplicaron numeradores y denominadores directamente y se simplificó la fracción.



A) -62 B) -60 C) -63 D) 68

Solución: la respuesta correcta es B),

Para simplificar expresiones numéricas debemos seguir el orden correcto, el cual es realizar primero lo que está en paréntesis después simplificar expresiones exponenciales efectuar multiplicaciones y divisiones en el orden que aparecen de izquierda a derecha.


5. ¿Cuál es el resultado que se obtiene de la operación

A)

B)

C)

D)

Solución: la respuesta correcta es C). Se usan los productos cruzados o la regla del sándwich. Al emplear productos cruzados se multiplica (7)(4)=28 y se divide entre el producto (2)(11)=22 obteniendo 28/22=14/11.


6. ¿Qué número hay entre y

?

A)

B)

C)

D)

Solución: la respuesta correcta es B), notamos que los números de los incisos

A), C) y D) no pertenecen al intervalo ( ,

).


206


7. Para conocer la cantidad de agua que contiene una cisterna, ésta se encuentra dividida en 6 niveles. El primer día se encuentra completamente

vacía y se suministra agua hasta

de nivel. Durante la noche desciende

de

nivel. Al iniciar el segundo día se suministra agua que equivale a un nivel y

medio, y desciende

de nivel durante la noche. El tercer día se incrementa 2

niveles, y en la noche desciende

de nivel. ¿En qué nivel inicia el agua al

cuarto día?

A)

B)

C)

D)

Tipo de problema: orden de los números reales y/o racionales con o sin representaciones geométricas

Solución: la respuesta correcta es B), ya que se plantea una suma de fracciones donde el valor positivo representa lo que el nivel de agua sube y el valor negativo representa el nivel de agua que desciende.


8. Una empresa de refrescos desea comprar una huerta de mango para elaborar su producto. De las opciones de compra se han sintetizado las siguientes características:

Huerta Periodo de producción

Cantidad producida durante el periodo (miles)

Cantidad de pulpa por mango

1 Bimestral 5 50 g

2 Anual 15 100 g

3 Trimestral 8 50 g

4 Semestre 4 100 g

207


Para obtener la mayor cantidad de pulpa al mes, ¿qué huerta conviene comprar?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

Solución 1: la respuesta correcta es C). En este caso se calcula el m.c.d (2,12,3,6)=1 es decir un mes. Por otro lado se calcula la producción de pulpa por mes 125, 125,133.33, 66.67. Para obtener estos valores, por ejemplo para la HUERTA 1 se calcula la producción de pulpa en un mes (5)(50)/2=125. Solución 2. Lo primero que se debe hacer es encontrar el número de mangos en cada huerta, y después multiplicarlos por los gramos de pulpa. De manera que en un año (12 meses= m.c.m (2,12,3,6) ) las huertas tienen una producción HUERTA 1: 6 * 5 * 50 = 1500, HUERTA 2: anual * 15 * 100=1 * 15 * 100= 1500, HUERTA 3: trimestral * 8 * 50= 4 * 8 * 50= 1600. HUERTA 4: semestral * 4 * 100= 2 * 4 * 100=800


9. Un ingeniero debe medir la aceleración con la que un tren cambia su

velocidad de

a

en un lapso de tiempo de 5 segundos. Si la

aceleración está dada por

, ¿qué aceleración en

lleva el tren si 1

pie=0.30 m?

A) -13.33 B) -1.2 C) 1.2 D) 13.33

Solución: la respuesta correcta es C), la Vf= 60 pies/s y Vi=40 pies/s, al

sustituir en la fórmula de

pies/s2, solo resta

convertir a m/s2, , por regla de tres , luego la aceleración es 1.2 m/s2


10. El automóvil de Jorge consume de gasolina en . Si en el tanque

hay , ¿Cuántos kilómetros puede recorrer su automóvil? A) 26.4 B) 45.83 C) 50 D) 55

208


Tipo de problema: traducción de problemas al lenguaje matemático Solución: la respuesta correcta es D), determinar el número de kilómetros

por litro, para ello

kilómetros por litro, luego con 5 litros se recorren

kilómetros. MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

11. Jorge pagó $2 600 por una televisión que tenía un descuento del 25%

¿Cuánto costaba originalmente?

A) $3,250 B) $3,466.66 C) $4,550 D) $7,800

Solución 1: la respuesta correcta es B), el costo original de la televisión es x, pero menos el 25% tiene un costo de 2 600. El planteamiento queda como . Factorizando Solución 2: calcula inciso por inciso

A) Para la que cuesta 3 250, su 25% es (3250)(0.25)=812.5 luego pagarías 3250-812.5=2437.5

B) Para la que cuesta 3 466.66, su 25% es (3466.66)(0.25)=866.665 luego pagarías 3466.66-866.65=2599.99

C) Para la que cuesta 4550, su 25% es (4550)(0.25)=1137.5 luego pagarías 4550-1137.25=3412.5

D) Para la que cuesta 7800, su 25% es (7800)(0.25)=1950 luego pagarías 7800-1950=5850


12. Un agente viajero recibe viáticos para 5 días por concepto de transporte, comida y hospedaje. El gasto diario mínimo y máximo que puede efectuar se presenta en la siguiente tabla:

Concepto

Gasto diario

Mínimo Máximo

Transporte $ 250 $280

Comida $150 $220

Hospedaje $300 $400

Se estima que la cantidad de dinero que gastó durante los 5 días que viajó se encuentra entre:

A) $1 000 y $1 200 B) $2 800 y $3 400 C) $3 500 y $4 500 D) $4 600 y $5 000

209


Solución: la respuesta correcta es C). En la tabla se detallan los viáticos asignados por cada concepto, indicando el mínimo y el máximo de cada viático, para determinar entre que cantidades estará la cantidad asignada por 5 días, encontremos el mínimo y máximo por día, esto es: y el máximo, , para los 5 días y .


13. En una sala de cine con cupo para 160 personas se registra la asistencia del

público a una película. La sala se encuentra llena. La gráfica muestra la relación de adultos y menores de edad en la sala.

Si hay 18 niñas por cada 12 niños presentes, ¿cuántas niñas hay en toda la sala?

A) 12 B) 48 C) 60 D) 72

Solución: la respuesta correcta es D). El número de personas menores es

de

la población total, es decir

menores. La condicionante de que

por cada 18 niñas hay 12 niños, forma un grupo de 30 menores, es decir, se tiene 4 de estos grupos de 30 en los 120 menores. Luego de estos cuatro

grupos de 30, se tienen niñas. MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

14. En la jornada de salud, se le pide a una enfermera que entregue la

contabilidad del número de enfermos por padecimiento. Los diferentes especialistas le entregan los siguientes datos:

Población con: Total de pacientes Caries Fiebre Dermatitis

5 %

120

¿Cuál es el reporte que debe entregar con la cantidad de pacientes correspondiente?

210


A)

Habitantes enfermos con:

Caries Fiebre Dermatitis

72 24 24

B)



36 60 24

C)



75 5 40

D)

Solución: la respuesta correcta es D). Las opciones de respuesta del reactivo son diferentes entre sí, por lo que bastaría sólo hacer uno de los cálculos. Los que padecen caries son 15 de cada 20 pacientes por lo que multiplicamos directo

, esto significa que 90 pacientes padecen caries.

Los que padecen de fiebre de la población son 5%, por lo que multiplicamos Los que padecen dermatitis son 12 de cada 60 por lo que padecen dermatitis 24 de cada 120.


15. Santiago tiene $200 para sus gastos de la semana. Utiliza 40% en transporte, de lo que resta ocupa la mitad para ir al cine y gasta una tercera parte del sobrante en palomitas. ¿Cuánto dinero le queda al final de la semana? A) $13.33 B) $40.00 C) $50.80 D) $60.00 Tipo de problema: porcentajes

Solución: la respuesta correcta es B), pues el 40% de $200 es $80 y le restan $120 luego la mitad de $120 son $60 gastados en el cine y le restan $60 de los cuales gasta una tercera parte es decir $20 por lo tanto le sobran $40.


16. Tres hermanos elaboran adornos para una fiesta. Raúl realiza un adorno en 5 minutos, Carlos en 2 y María en 4 minutos. ¿Cuántos adornos completos harán en 20 minutos si los tres trabajan en equipo? A) 9 B) 14 C) 15 D) 19



90 6 24

211


:Solución: la respuesta correcta es D), calcule por separado el número de adornos que realiza cada uno de los hermanos en 20 min.

Raúl 1 en 5 min entonces 4 en 20 min.

Carlos 1 en 2 min, entonces 10 adornos en 20 min.

María 1 en 4 min, entonces 5 adornos en 20 min. Al integrarlos como equipo se suman las aportaciones de cada uno en 20

min, es decir: . MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

17. Un autobús cuya capacidad es de 30 pasajeros recorre una ruta de 100 km. Inicia su recorrido con 7 personas, en el kilómetro 10 suben la mitad de su

capacidad, en el kilómetro 25 se queda con

de pasajeros que traía y en el

kilómetro 75 el camión queda lleno. ¿Cuántos se subieron en el kilómetro 75? A)

B)

C)

D)

Tipo de problema: identificación de puntos en la recta Solución: la respuesta correcta es b), pues se inicia el recorrido con 7 pasajeros, luego suben la mitad de la capacidad es decir 15 pasajeros entonces lleva 22 pasajeros; después bajan la mitad de 22 es decir se queda con 11 pasajeros luego en el camión queda lleno con 19 pasajeros.


18. Tres ferrocarriles pasan por una estación de vía múltiple con los siguientes intervalos: uno cada 6 minutos, otro cada 9 minutos y el tercero cada 15 minutos. Si a las 16 horas pasan simultáneamente, ¿a qué hora pasarán de nuevo los tres trenes al mismo tiempo?

A) 16:45 B) 17:00 C) 17:15 D) 17:30

212


Tipo de reactivo: ejercicios de aplicación de máximo común denominador o mínimo común múltiplo

Solución. Se busca un número X en el que

el 6 por A sea X

el 9 por B sea X

el 15 por C sea X

por lo que este número X es el mínimo común múltiplo de los números 6, 9 y 15.

Hallar m.c.m(6, 9, 15), se factorizan los números en sus factores primos.

)

El mínimo común múltiplo se calcula seleccionando de entre los factores primos los de mayor exponente y los que no son comunes a todos los

términos. En este caso es , esto significa que en 90 min vuelven a coincidir. La respuesta es que vuelven a coincidir a las 17 hrs


19. Una escuela pide a un sastre la fabricación de los uniformes de sus alumnos con las siguientes especificaciones sobre el porcentaje de color que debe tener cada uno:

Concepto %

Gris 60

Azul 30

Blanco 10

Al tomar medidas de los 100 alumnos, el sastre observa que necesita 150 cm, de tela en promedio para cada uniforme. Tomando en cuenta que el alumno más alto necesita 5 cm más y el más bajo 5 cm menos de la media, ¿Cuántos metros de tela gris necesitará aproximadamente para el total de uniformes?

213


A) 30 a 50 B) 50 a 70 C) 80 a 100 D) 140 a 150 Solución: la respuesta correcta es C), la menor cantidad de tela que necesita en 145 cm o bien 1.45 m de esta cantidad necesita 60% de tela gris. Para estimar la menor cantidad hay que realizar la siguiente operación: 1.45 m de tela por 0.6 que es el porcentaje de tela por 100 alumnos. Se realiza la misma operación para el máximo de tela:


20. Una empresa tiene dos cuentas de ahorro, una en dólares y otra en euros. Los montos de cada cuenta se presentan en la siguiente gráfica:

Si la cuenta en dólares crece anualmente un 10%, y la de euros 15%, el capital total de ambas cuentas, en dólares, después de un año se encuentra entre ___________. Considere que 1 euro = 1.26 dólares.

A) 25 000 y 25 750 B) 26 250 y 27 000 C) 27 500 y 28 250 D) 28 750 y 29 500 Tipo de problema: estimación de cota superior e inferior

Solución: la respuesta correcta es C), para determinar la inversión en Dólares es claro que se tiene un monto inicial de 12500, en tanto que la inversión en Euros inicial se encuentra entre 9500 y 10 000. La inversión en dólares tiene un crecimiento anual del 10%, entonces el monto después de un año es de Para la inversión en Euros se encuentra entre dos cantidades: el monto en un año está por ARRIBA de euros, al convertir en dólares

214


en dólares, el monto de la inversión en euros esta por DEBAJO de , al convertirlo en dólares

490 en dólares. Encontremos el monto de las dos

cuentas por arriba será de y por debajo de


21. Patricia tiene un juego de bloques para construir, ella busca un bloque que tenga cilindro, cubo, prisma pentagonal y prisma hexagonal. ¿Qué figura es la que busca Patricia?

A)

B)

C)

D)

e problema: espacio y forma Solución: la respuesta correcta es D), presenta todas las figuras deseadas.

Cilindro prisma pentagonal prisma hexagonal cubo


215


22. Las siguientes figuras muestran dos vistas de una casa para aves

De los siguientes cuerpos geométricos, selecciones tres que la componen.

A) 1, 2, 3 B) 2, 3, 6 C) 2, 4, 5 D) 4, 5, 6

Tipo de reactivos: espacio y forma Solución: Respuesta B.


23. Este es el mapa del centro de un pueblo

216


Determine las coordenadas de la ubicación de los hoteles. A) (2,3), (1,-2) B) (2,3), (2,2) C) (3,2), (-2, -2) D) (3,2), (-2,2)

Tipo de problema: ubicación de puntos en el plano cartesiano Solución: Respuesta C)


24. ¿A cuál figura tridimensional corresponden las siguientes vistas: frontal, laterales y superior, respectivamente?

217


A) B) c) D)

Tipo de problema: rotación (vistas superiores, frontales y laterales) de figuras en el espacio Solución: Respuesta C

Vista Frontal

Vista lateral


25. Para instalar la carpa de un circo, el técnico encargado debe fijar cada cable que sostiene cada mástil vertical a una armella colocada en el piso a cierta distancia de la base del poste y a cierta altura, además del cable que une ambos mástiles, como se muestra en la figura.

218


0

El técnico debe pedir al administrador la cantidad suficiente de cable para lograr este objetivo. ¿Cuáles de los siguientes procesos proporciona la información que el administrador le pide? Considere que un proceso puede ser utilizado más de una vez.

i. Aplicar teorema de Pitágoras para calcular longitudes ii. Calcular costos iii. Calcular perímetros iv. Medir distancias v. Realizar operaciones aritméticas vi. Resolver ecuaciones de segundo grado

A) I, iii, vi B) I, iv, v C) Ii, iii, v D) Ii, iv, vi po de problema: rotación (vistas superiores, frontales y laterales) de iguras en el espacio

Solución: la respuesta correcta es B., el único proceso relacionado al cálculo de las distancias se encuentra el teorema de Pitágoras, medir distancias y realizar operaciones aritméticas.


26. Elena se encuentra observando una estructura metálica que gira sobre su propio eje, como se muestra en la figura:

Después de un giro, la figura que Elena observa es la siguiente:

219


La estructura hizo un giro de ________ en _______ las manecillas del reloj.

A) sentido contrario a

B) el sentido de

C) el sentido de

D) sentido contrario a Tipo de problema: perspectivas y rotaciones

Solución: la respuesta correcta es B),


27. La siguiente figura sufre un cambio: se toma el triángulo BCD y se elimina el resto del hexágono. Se coloca un espejo que toca los vértices B y D, y se forma una nueva figura, que es la unión del triángulo BCD y de su reflejo en el espejo. ¿Cuántas diagonales tiene la nueva figura?

220


A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Tipo de problema: formas geométricas (triángulo y hexágono),y conceptos de aristas, vértices y diagonales Solución: Respuesta C),al retirar del triángulo BCD el resto del hexágono y colocar un espejo sobre el lado BD, se obtiene un rectángulo con lados BCDC con el cual solo se pueden trazar 2 diagonales.


28. Un salón de fiestas circular, con 20 metros de diámetro, tiene dos zonas: una para mesas y una rectangular para la pista de baile, como se muestra en la figura:

Calcule el área, en metros cuadrados, de la zona ocupada por mesas. Considere pi como 3.14.

A. 80 B. 234 C. 278 D. 394

Tipo de problema: cálculo de áreas Solución: Respuesta B). El área del salón de fiestas circular es ∏r2=(3.14)(10)2=314, el área de la pista de baile es (8)x(10)=80. Luego el área ocupada por las mesas está representada por la zona gris y se obtiene de la resta del área total -área pista baile= 314-80=234m2


29. A continuación se muestra la mitad derecha de un apoyo de cuneta para herramientas:

221


Para completar la pieza debe soldarse a la izquierda otra pieza simétrica a ésta. ¿Qué imagen representa dicha pieza? A B

C D

Tipo de problema: simetrías y reflexiones en el plano y el espacio Solución. La respuesta es C), observe que la figura se encuentra rotada pero si la colocas sobre su base y frente a la figura original observaras que es como si estuviera frente a un espejo, esto es lo que se conoce de forma informal como simetría.


30. Se desea transportar cajas cúbicas de 80 cm en contenedores cuyas dimensiones se muestran en la siguiente figura.

Estime el número máximo de cajas que caben en cada contenedor.

A) Entre 40 y 62 B) Entre 63 y 85 C) Entre 110 y 132 D) Entre 150 y 172

222


Solución: la respuesta correcta es B), primero debes tener las mismas unidades, por lo que se convierten los 80 centímetros a 0.8 metros. No se debe de calcular el volumen del contenedor y dividirlo entre el volumen de cada caja, dado que no se puede deformar la caja. Por lo tanto se bebe

proceder por cada dimensión. Para el largo del contenedor

para

el ancho y el alto es la misma medida

. Luego el número total es


31. ¿Cuál es el enunciado que corresponde a la expresión ? A. El cuadrado de dos números B. La suma y el cuadrado de dos números C. El cuadrado de la suma de dos números D. La suma del cuadrado de dos números

Tipo de problema: traducir al lenguaje algebraico (tablas a funciones, plantear sistemas) Solución: para traducir al lenguaje algebraico primero debes identificar

la operación global. Por ejemplo, como lees , verbalmente puedes

decir cuadrado de en el caso de , decimos cuadrado de la suma de y , o bien, de la suma de dos números


32. Identifique la gráfica que representa a la expresión algebraica de la función

A B

223


C D

Solución: determina cual es el exponente más grande, en este caso, es 2, por lo que no puede representar una recta (el exponente debería ser 1), tampoco podría ser el inciso C) pues una función representada así debería tener exponente 3. Para decidir entre A) o B) observa el signo de , una

representación similar a A) debe tener el coeficiente de signo negativo. Solución en forma coloquial: Si tienes exponente más grande igual a 1 (Ejem x+3, -x+9) se trata de una recta Si tienes exponente más grande igual a 3 (Ejem x3+3x2-23, x3+9x+4) se trata de una curva en forma de serpiente, como el inciso c- Si tienes exponente más grande igual a 2 (Ejem x2+x-3, -x2+9) se trata de una parábola incisos A, B. Para saber cuál es la buena. Lo determina el signo de x2

x2 abre hacia arriba -x2 abre hacia abajo


33. Dada la función , indique el valor de A. -13 B. -1 C. 5 D. 23

Tipo de problema: evaluación de funciones

Solución: la respuesta correcta es A),Al evaluar

y , sustituyendo


224


34. ¿Qué gráfica corresponde a la ecuación

=1?

A B

C D

Tipo de reactivo: identificar la gráfica de una elipse a partir del centro y eje mayor

Solución. Observa que la ecuación representa una elipse pues tanto como están elevadas al cuadrado y se suman, además están igualadas a

uno. Determinar si el valor mayor es el denominador de o el de , en

este caso es 25 (el denominador de ) esto te indica que el eje mayor de la elipse es paralelo al eje de ahí que la elipse interseque al eje en 5 y -

5 ( ). Por lo tanto la respuesta es A). MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

35. La cantidad de miligramos de bacterias (B) en un individuo infectado con el

microorganismo de influenza después de días (D) de contagio, es k veces el cuadrado de los días transcurridos. Considerando la constante de proporcionalidad k=2, ¿cuántos miligramos de bacterias tendrá el individuo a los 12 días de su contagio?

A. 48 B. 72 C. 288 D. 576

225


Solución: la respuesta correcta es C), La relación entre la cantidad de miligramos y los días de contagio está dada por B=k D2, al sustituir los 12 días y el valor de k, se tiene .


36. El dueño de un puesto de hamburguesas registró sus costos de acuerdo con las hamburguesas que cocina, con ello obtuvo la siguiente gráfica.

¿Cuánto se incrementa el costo al aumentar la producción de 15 a 50 hamburguesas?

A. $35 B. $45 C. $65 D. $95

Solución: la respuesta correcta es B), El costo de producción para 15 hamburguesas es de $50, y para 50 hamburguesas es de $95, es decir se tuvo un incremento de $45.


37. Una compañía de seguros ha registrado el tiempo necesario para procesar demandas por seguros contra robos según se muestra en la siguiente tabla:

Tiempo en días Demandas

1 25

2 40

3 55

7 -

9 85

De acuerdo con los valores registrados en la tabla, el número de demandas correspondiente a 7 días es

A. 60 B. 65 C. 70 D. 75

226


Tipo de problema: identificar, interpretar o graficar la función a partir de una tabla, gráfica o una descripción escrita

Solución 1: Observa la siguiente relación entre las demandas , luego y vemos que , por lo tanto el número de demandas que falta es 70.

Solución 2: Cada día se tiene un incremento de 15 demandas con respecto al día anterior por lo que


38. María compra aceite comestible al mayoreo. La siguiente tabla muestra el precio total que debe pagar.

Litros de aceite (x) Precio(y)

2 44

4 88

6 132

La expresión algebraica que ayuda al cálculo del precio total de cualquier cantidad de litros de aceite es:

A. B. C. D.

Tipo Solución 1: la respuesta correcta es C), observe que al sustituir Solución 2. Se observa en la tabla que el precio se obtiene al multiplicar 22 por el número de litros de aceite entonces el precio es 22 por x, expresando en forma de ecuación (despejando)


39. En una fiesta hay 7 hombres menos que las mujeres presentes. Si los hombres sólo saludan a las mujeres habrá 1 248 saludos. ¿cuántas mujeres hay en la fiesta?

A. 32 B. 39 C. 178 D. 185

Solución. Denotemos por al número de mujeres y por H al número de

hombres, el número de hombres es . Puesto que cada hombre saluda a todas las mujeres entonces el número de saludos es igual al número de hombres por el número de mujeres, esto es

227


, luego tenemos resolviendo empleando la formula general tenemos

Se obtienen dos posibles valores para M, uno es 39 y otro es (-32). Como no es posible que haya -32 mujeres se toma como única respuesta 39 mujeres.


40. En un juego de feria subió un grupo con adultos y niños. Los adultos pagaron

$2 y los niños $1. En total subieron 40 y pagaron $55. ¿cuántos adultos eran? A) 5 B) 10 C) 15 D) 25

Tipo de problema: sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas

Solución: la respuesta correcta es C), Denotemos por A al número de adultos, M al número de menores, número de total, costo

total, Resolviendo el sistema y . MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

41. Un resorte soporta un peso (f(x)) de acuerdo con el grosor (x) del alambre con que es construido. La siguiente tabla muestra los ejemplos de algunos de ellos

Grosor de alambre (cm) Peso soportado (kg)

1 10

3 28

4 40

¿Cuál es la regla de correspondencia de los datos de la tabla? A. f(x)=x2+4x+8 B. f(x)=x2+5x+4 C. f(x)=2x2+3x+1 D. f(x)=2x2+4x+4

Tipo de problema: identificar, interpretar o gráficar la función a partir de una tabla, gráfica o una descripción escrita Solución: la respuesta correcta es B), porque al evaluar los valores del grosor en la función me da el peso soportado (busca entre las opciones cual satisface los tres grosores)


42. En un laboratorio se estudia la reproducción por mes (X) de un tipo de araña verde recién descubierta y se compara con las arañas negras ya conocidas. El comportamiento de ambas se representa en la siguiente gráfica

228


Identifique la expresión algebraica que representa el comportamiento para las arañas negras y verdes, respectivamente.

A. B. C. D.

Tipo de reactivo: identificar, interpretar o gráficar la función a partir de

una tabla, gráfica o una descripción escrita

Solución: la respuesta correcta es C.X2+2; 3X+2, las arañas verdes tienen

un crecimiento lineal, esto se puede observar al unir con una línea recta los

puntos de cada barra. Al proceder de la misma forma con las barras de las

arañas negras observamos que el crecimiento no es representado por una

recta si no por una forma cuadrática. Por lo tanto la primer función debe de

ser de segundo grado y la segunda lineal. De donde la respuesta es X2+2

arañas negras; arañas verde, en el mes=0 valen 2 congruente con

la gráfica y en el mes=7, arañas negras=72 +2=51, arañas verdes=

, congruente con la gráfica. MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

43. Los salarios de Antonio y Jorge quienes trabajan vendiendo celulares en compañías diferentes, se muestran en la siguiente gráfica:

229


Con los datos de la gráfica se deduce que el pago mensual de Jorge, en comparación con el salario de Antonio, es …

A. La mitad del salario más mil B. el salario más mil C. El doble del salario menos mil D. El doble del salario más mil

Solución: la respuesta correcta es C., Jorge gana el doble del salario de Antonio menos mil. Observe que en todos los puntos se satisface.


44. A Manuel le pagan $40 el día si trabaja tiempo completo y $25 si es medio

tiempo. Después de 30 días recibe $1 020. Con esta información se concluye que Manuel trabajó:

A. Igual número de días completos que medios tiempos B. Más días de medio tiempo que de tiempo completo C. Solo días completos D. Más días de tiempo completo

Solución: la respuesta correcta es D); 30 días por $40 son 1200, 30 días por $25 son 750. Lo que recibió se aproxima mucho a 1200 por lo que sólo unos cuantos días trabajo medio tiempo


45. Una compañía establece que sus empleados recibirán una gratificación del 4% de su percepción anual (X) al final del año, más un bono de $1000. ¿De qué forma calculará el departamento de administración la gratificación (Y) de cada empleado?

A. B. C. D.

230


Solución: la respuesta correcta es A), para obtener el 4% de la cantidad X

debes calcular el cociente

y luego multiplicar por X, es decir

0.04X. Para obtener el resultado debes sumar 1 000. MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

46. Un vendedor de autos recibe una comisión diaria que depende de la cantidad de días trabajados, como se observa en la gráfica.

¿Cuál es la expresión algebraica que describe su comisión de los días 4 al 10?

A. B. C. D.

Solución1: la respuesta correcta es A), observe que al sustituir tenemos .

Solución2 : Puntos (4,4000) y (10,7000) m=(7000-4000)/(10-4)=3000/6=500, Sustituyendo y-4000=500(x-4) reescribiendo y=500x+2000


47. En la gráfica 1 se muestran las ventas de cinta (C) diarias en una tienda de música. A su vez, el número de discos vendidos (D), que es igual a 3C-4, está representado en la gráfica 2

231


¿Cuál es el número de discos vendidos el séptimo día?

A. 6 B. 11 C. 14 D. 17

Solución: la respuesta correcta es C), de la primera gráfica tenemos que el

número de cintas (C) es el número de días (d) menos uno, . Por

lo tanto, el número de discos vendidos (D) en el día (d) es el

, en este caso si se tiene que . 48. Dada la ecuación de la recta 3X-Y+5=0, identifique la gráfica de la recta

perpendicular a ésta cuya ordenada al origen es -1 A B

232


C D

Solución: la respuesta correcta es D). Es importante notar que la

pendiente de una recta es el coeficiente de cuando la variable esta

despejada, en este caso . Para determinar la pendiente de la recta perpendicular hay que recordar que el producto de las pendientes debe ser igual a -1, luego la pendiente de la recta

perpendicular es

.


49. ¿Qué figura debe continuar en la siguiente sucesión?

A B

C D

Solución: la respuesta correcta es D), observa que el cubo gira 90 grados en sentido de las manecillas del reloj.

MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMATICAS4

233


50. Calcule el volumen del siguiente prisma

A. 4 B. 8 C. 10 D. 16

Solución: la respuesta correcta es D), El volumen de un prisma cuya base es igual a la tapa es área de la base por la altura. En este caso, la base es un cuadrado de área 4 y la altura es 4 por lo que el volumen es .


51. Un fotógrafo observa la siguiente escultura y decide tomarle una foto

¿Desde qué perspectiva tomó la fotografía?

A. Superior B. Frontal C. Derecha D. Izquierda

Solución: la respuesta correcta es D), En las siguientes figuras se marcaron en azul las caras que se visualizan dependiendo de la perspectiva (es lo que ve tu ojo en esa posición).

234



52. Observe el trapecio mostrado en la figura:

¿Cuál es la medida en metros de la base?

A.

B. C. 33 D. 42

Solución: la respuesta correcta es C.,observa que tienes un triángulo

rectángulo de altura 15 m e hipotenusa 17 m. Por teorema de Pitágoras

tienes que . El valor de MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

53. En un contenedor se van a acomodar paquetes de queso para su distribución.

Las dimensiones del contenedor y de los paquetes se muestran en la

siguiente figura.

235


¿Cuántos paquetes de queso se pueden transportar como máximo en cada caja?

Considere

A.175

B.420

C.1020

D.2448

Solución: la respuesta correcta es A. Primero convierte las pulgadas a

centímetros; observa que 100 es divisible por 20 cm (8 in) y que 70 es divisible

por 10 cm (4 in) lo mismo que 50 es divisible por 10 cm (4 in). El número de

piezas es MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

54. Si el siguiente cubo es cortado por un plano que pasa por los puntos a, b y c,

¿Cuántos vértices tendrá la figura después del corte?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 15

Solución: la respuesta correcta es A),Los vértices son las esquinas del cubo.

El cubo tiene 8 vértices, con el corte se generan 3 vértices pero uno de los

vértices desaparece.

236



55. La empresa AGDI construirá una pista de patinaje como la mostrada en la

figura:

Alrededor de la pista se colocará una barrera de contención. ¿cuál será su

longitud en metros? Considere como 3.14

A) 75.7

B) 91.4

C) 162.8

D) 185.6

Solución: la respuesta correcta es C), observa que los extremos forman una

circunferencia de diámetro , dicha figura geométrica tiene un perímetro de

y la sección central es un rectángulo de largo y ancho

el perímetro es , el perímetro total es . MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

56. Miguel hizo un diseño para una marca de helados, como se muestra en la

figura

Como el diseño no le gusto, hizo algunos cambios. Primero, tomó el vértice

A y lo doblo hasta el punto B.

237


Luego, doblo la parte que quedo del triángulo hasta tocar el semicírculo

pequeño; roto la figura 900 en sentido horario y, por último, ajusto el

nombre de la marca. ¿Cómo quedo el diseño después de los cambios?

Seleccione una:

A)

B)

C)

D)

Solución: la respuesta correcta es D), utiliza una hoja de papel, manipúlala

para que se parezca al objeto MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

57. Un cono con diámetro de 1 m y altura de 2 m se corta por la mitad para colocarse como escultura. Si se desea pintar las dos caras planas de la escultura, ¿Qué superficie en m2 se va a pintar?

A. 1.4 B. 2.0 C. 4.0 D. 6.6

Solución: la respuesta correcta es A), debe calcular el área de la mitad de la

circunferencia (π r2/2) y el área del triángulo

. El área de la circunferencia es

y el área del triángulo es

. Por lo tanto, el área total es

aproximadamente 1.4. MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

238


Prueba 4

Prueba ENLACE 2012.

1. ¿Cuál de las siguientes opciones es una fracción equivalente a

?

a)

b)

c)

d)

Solución: la respuesta correcta es b),

=

Observar que en el numerador y el denominador 4 se simplifico a 1.Se hizo una simplificación de fracciones.



a)

b)

c)

d)

Solución: la respuesta correcta es b), observe que:

,

Se utilizo:

.


3. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación

?

a)

b)

c)

d)

Solución: la respuesta correcta es a), Reordenando los denominadores para reducir el número de operaciones aritméticas, se tiene

239


=

Nota: en la multiplicación de fracciones es posible intercambiar numerador por numerador y denominador por denominador, recuerde que el producto en los números reales es asociativo y conmutativo. Además en la multiplicación de fracciones se multiplican numeradores y denominadores respectivamente.



a) -17 b) -2 c) 17 d) 35

solución: la respuesta correcta es c), Respetar el “orden” o la jerarquía en las operaciones aritméticas, es decir primero se efectúan las operaciones dentro de los paréntesis respetando los operadores de: radicales , exponentes ,división y signos de más o menos:



a)

b)

c)

d)

solución: la respuesta correcta es c),pues nada más se utiliza la regla del “sándwich” o “emparedado” de los términos medios es decir, se tiene

que,

se usa además la multiplicación de

fracciones y que el producto es conmutativo ,y la simplificación de fracciones.


6. ¿Cuál número es mayor que

y menor que 1.29?

a) b)

c)

d)

ENLACE 2012

240


Solución: Respuesta correcta C) Expresemos todos los números como fracciones con el mismo denominador para hacer más fácil la comparativa: Limites

Opciones

Menores que

Mayores que

Para los números negativos entre menor sea el numerador el número es mayor. Por lo tanto los número negativos -1.25 y -0.75 son menores.

Respuesta correcta


7. Inicialmente un recipiente contiene 6 L de agua, se utilizan-

y,

posteriormente, se le agregan

¿Cuál es la recta que indica los litros

que contiene el recipiente al final?

A)

B)

241


C)

D)

Solución: la respuesta correcta es c), la flecha indica lo que matemáticamente la solución que es 10. El problema es una suma(resta )de fracciones

Se sumaron fracciones con igual denominador y se simplifico la Fracción y se sumaron los enteros.


8. Una maquina requiere una reparación de ejes, cojinetes y sistema hidráulico. Existen cuatro diferentes compañías que pueden realizarla; cada una cobra una cantidad determinada por cada reparación, como se observa en la siguiente tabla:

Empresa Ejes Cojinetes Sistema Hidráulico

Morgan $5900 $3599 $1200

Labone $4800 $5200 $3800

García $5600 $4200 $1900

Santoyo $3900 $6300 $2500

Identifique la compañía que ofrece el mejor costo para llevar a cabo la

a)

b)

c)

d) García

solución: la respuesta correcta es a), Empresa Ejes Cojinetes Sistema

Hidráulico Costo

Total Morgan $5900 $3599 $1200 $10,600 Labone $4800 $5200 $3800 $13,800 García $5600 $4200 $1900 $11,7000 Santoyo $3900 $6300 $2500 $12,700

Morgan tiene el mejor precio


242


9. Jorge salió de Naucalpan rumbo a Tepotzotlán. Recorrió una distancia

de 40 km a una velocidad constante de

.¿En cuántos minutos

realizo su viaje?Se sabe que, tiempo=

y que 1 hora=60 minutos.

a)

b) c) d) 120.00

Solución: la respuesta correcta es a). Sustituimos los datos en la formula,

,

Como una , entonces


10. Joaquín compro cinco cuadernos por $110.Si dos son para su hermana,

¿Cuánto debe cobrarle?

a)

b)

c)

d) $66 Solución: la respuesta correcta es c),

¿Cuánto vale cada libreta?

, entonces cada libreta vale $22

Si dos son para su hermana,

le debe de cobrar MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

11. En un restaurante, la distribución del tipo de bebida vendida por cliente se da de la siguiente forma: 15% pide agua, 20%pide vino y el 65% pide refresco. Si en este momento hay 140 clientes, ¿Cuántos de ellos están bebiendo vino?

a)

b)

c)

d) 91

Solución: la respuesta correcta es b),

20%pide vino, el total de clientes es 140.

243


Otra manera de obtener este porcentaje es sustituyendo el símbolo de

porcentaje por %=

, es decir:


12. Un corredor de larga distancia mide su rendimiento de acuerdo con los tiempos cronometrados en sus entrenamientos. Sus tiempos y distancias se presentan en la siguiente tabla:

Kilómetros

Tiempo en minutos

Mínimo Máximo

5 a 10 7 9

11 a 20 10 12

21 a 30 3 5

Si corre los 30 kilómetros, ¿Cuántos minutos se llevará en hacerlo? a) 3 a 5 b) 3 a 12 c) 12 a 20 d) 20 a 26

Solución: la respuesta correcta es d),

Simplemente se suman el tiempo máximo y mínimo del corredor Kilómetros

Tiempo en minutos

Mínimo Máximo

5 a 10 7 9

11 a 20 10 12

21 a 30 3 5

Luego, el tiempo mínimo y máximo que recorre los 30 km es: 20 a 26. MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

13. En una universidad, de 180 estudiantes de nuevo ingreso en las carreras de comunicación y derecho, la mitad son mujeres, de las cuales 60 estudian derecho, mientras que la tercera parte de la población son alumnos de comunicación. ¿Cuál de los siguientes gráficos indica la distribución de los estudiantes de nuevo ingreso?

244


A)

B)

C)

D)

Solución: la respuesta correcta es A), La mitad de 180 estudiantes son

Mujeres, es decir 90 son mujeres y por ende 90 son hombres, luego de las90 Mujeres que ingresan 60 estudian derecho, complementariamente se tiene que las otras 30 mujeres estudian comunicación. Las opciones que corresponden con esta información son A y C. Por otro lado la tercera parte de la población estudia comunicación , estos son 60 alumnos de los cuales 30 eran mujeres y así por consiguiente 30 son hombres y por ende 60 hombres estudian derecho, quedando asíresuelto el problema

La opción que representa esta interpretación es A.


14. Para un trabajo de sociología, alumnos de secundaria investigaron el

nivel de educación de los pobladores de su comunidad. Se hicieron 3 grupos y obtuvieron los siguientes datos de la escolaridad del grupo encuestado.

245


Escolaridad Total de encuetados

primaria secundaria preparatoria

8% 150

Se sabe que hay un grupo de pobladores que no tienen estudios

¿Qué tabla representa el número de pobladores con su respectivo nivel escolar?

a)

A)Habitantes


10 20 120

b)

Habitantes

primaria

secundaria

preparatoria

66 20 8

c) .

Habitantes


100 30 12 d) .

Habitantes


116 30 4

Solución: la respuesta correcta es C) El problema es de proporciones o fracciones se pueden expresarse como porcentajes. Hay un total de 150 encuestados de los cuales dos

terceras partes estudiaron la primaria es decir 100 (

),los que

estudiaron la secundaria son 30 y el 8% estudiaron la prepa, es decir 12 MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

15. Un granjero compra 120 conejos de color blanco, negro y gris. Uno de

cada dos es blanco. En una segunda compra hay un tercio de blancos de los que hubo en la primera y la mitad de este tercio son negros. ¿Cuántos conejos negros hay en la segunda compra?

a) b)

c) d) 60

Solución: la respuesta correcta es a).

Analicemos las siguientes afirmaciones Se compran 120 conejos (blanco, negro y gris) de los cuales uno de cada dos es blanco, es decir 60 son blancos En una segunda compra hay un tercio de blancos de los que hubo en la primera compra y la mitad de este tercio son negros:

246


Un tercio de 60 son 20 conejos blancos de los cuales la mitad son negros, es decir, 10 conejos negros.


16. En una planta armadora de autos hay tres líneas de producción:

la línea A arman 4 autos en 12 horas,

la línea B arma 3 autos en 6 horas

la C arma el triple de la línea A en 24 horas.

¿Cuántos autos completos se arman en un turno de 6 horas? a)

b)

c) d) 8

Solución: la respuesta correcta es d),

Lalínea A arma 4 autos en 12horas en 6 horas armara 2 autos,

La Barma 3 autos en 6 horas

Lalínea C arma 12 autos en 24 horas , en 6 horas armara 3 autos Sumando el número de autos producidos en las tres líneas en 6 horas se tiene un total de 8 autos.


17. Un entomólogo mide el movimiento de los segmentos en una lombriz al

moverse. Observa que por cada

de centímetro que avanza por

segundo, el segmento regresa

para dar el siguiente movimiento.

Gráficando este desplazamiento en una recta numérica, ¿Cuántos centímetros se movió después de 4 segundos?

a)

b)

c)

d)

Solución: Respuesta correcta d)

Observa que por cada

de centímetro que avanza por segundo, el

segmento regresa

, es decir el avance total por segundo es:

247


Después de cuatro segundos


18. Se colocan en unos contenedores 12 kg de carne de res, 18 kg de carne de cerdo y 30 kg de carne de pollo, empacados en bolsas conigual peso y con la máxima cantidad de carga posible.¿Cuál es el peso, en kilogramos, de cada bolsa?

a) 2 b) 3 c) 6 d) 20

Solución: la respuesta correcta es c). El problema puede resolverse con la aplicación del máximo común divisor de los pesos de la carne. Sonbolsas con igual peso y con la máxima carga posible, entonces tendremos que: MCD(12,18,30)=6,es decir el 6 es un número entero que divide exactamente al 12,18 y 30 12=6*2, 18=6*3 30=6*5.


19. El señor Sánchez tiene 80 m de tela para hacer las cortinas de los

salones de una escuela de acuerdo con las siguientes medidas:

Salón Medida

Segundo semestre 250 cm

Cuarto semestre 320 cm

Sexto semestre 3.5 m

subdirección 5.2 m

dirección El doble del salón De cuarto semestre

biblioteca El 10% de la tela

audiovisual El resto

Aproximadamente, ¿Cuántos metros quedan para el salón de audiovisual?

a) 28 b) 31 c) 51 d) 54

Solución: La respuesta correcta es c) Sumando los metros de tela de los salones y al final se resta a los 80 m,100cm=1m

248


80m-28.8m=51.2m aproximadamente 51m de tela para la audiovisual. MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

20. Alejandra vende en su negocio artículos relacionados con la informática. Algunos de sus productos los compra en pesos y otros más en dólares. El importe de sus compras se muestra en la siguiente gráfica:

Alejandra decide abrir una sucursal de su negocio y planea incrementar sus compras; en pesos se incrementaran 35% y en dólares aumentaran45%.Considerando el total de compras después del aumento, ¿Cuánto dinero en pesos gastara en total? Considere que 1 dólar=$13.6.

a) $10,000 a $15,000 b) $35,000 a $40,000 c) $55,000 a $60,000 d) $65,000 a $70,000 Solución: Respuesta correcta d) De la gráfica se observa que la cantidad en pesos es superior a 7000 y menor a 8000; la cantidad en dólares es aproximadamente 3000. Por lo que realizaremos una estimación mayor al valor real y menor al valor real. Para obtener los incrementos del 35 % y del 45% únicamente hay que multiplicar por 1.35 y 1.45; y para hacer el cambio de dólares a pesos hay que multiplicar los dólares por su equivalente en pesos. De este modo tenemos Estimación menor:

Estimación mayor: MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

249


21. Una toma de agua para llenar pipas está compuesta por las siguientes

formas geométricas: prismas rectangular, hexagonal y pentagonal, cilindro y cono. ¿Cuál es la toma que se describe?

a)

b)

c)

d)


Prima rectangular

Prisma hexagonal

Prisma Pentagonal

http://www.google.com.mx/imgres?start=291&um=1&hl=es&safe=active&biw=1366&bih=673&tbm=isch&tbnid=U7kChFOJLIgvPM:&imgrefurl=http://www.aprendemas.mx/lecciones/lec_2_2_1_10/sec_2_mat_10/sec_2_mat_10e.php&docid=f5pfVsiOJa7M7M&imgurl=http://www.aprendemas.mx/lecciones/lec_2_2_1_10/sec_2_mat_10/imagenes/prisma pentagonal.gif&w=66&h=100&ei=n3C-T4fiDuXE2gXwpf2SDw&zoom=1

250


Cilindro

Cono


22. La siguiente figura representa la nave espacial Apolo. ¿Qué cuerpos geométricos se pueden distinguir en la figura? Considere que algunos pueden estar semiocultos, truncados o en distinta posición.

a)

251


b)

c)

d)



23. Una casa se encuentra distribuida como se ilustra en el siguiente plano arquitectónico:

252


Las coordenadas del centro del comedor y las coordenadas del centro del baño son, respectivamente:

a) (1,1) y (1,-2)

b) (-1,1) y (1,2)

c) (-1,1) y (1,-2)

d) (1,-1) y (-1,-2) Solución: la respuesta correcta es c),en este problema simplemente hay que identificar puntos en el plano (x,y) y fijarse en que cuadrante del plano cartesiano se encuentran ubicados el comedor y el baño. El comedor esta en el segundo cuadrante y tiene las coordenadas (-1,1), el -1 está en el eje de las x y el 1 está en el eje de las y. El baño en el cuadrante cuatro y tiene las coordenadas (1,-2), el 1 está en el eje de las x y el -2 en el eje de las y


24. Identifique la figura a la que pertenecen las siguientes vistas

a)

b)

c)

d)


253



25. Se desea colocar barandal a una escalera, como se muestra en la figura:

Si se conocen las longitudes a, b,c, ¿Cuál es la secuencia correcta de operaciones para conocer la longitud total del pasamano? Calcular

1. El largo de la sección A 2. El largo total del pasamanos 3. El largo del pasamanos de la sección B 4. El largo del pasamanos de la sección A, aplicando el teorema

de Pitágoras 5. La altura de la escalera

a) 1, 2, 3, 4 ,5 b) 1, 5, 4, 3, 2 c) 4, 3, 1, 5, 2 d) 5, 1, 3, 2, 4

Respuesta correcta, la respuesta correcta debe de finalizar con el largo total del pasamanos, es decir la opción b y c son las posibles respuestas, después analicemos cada opción iniciando por b, La cual indica como inicio el largo de la sección A. misma que no puede hallarse sin el teorema de Pitágoras, por lo tanto la respuesta correcta es c).


254


26. Un bailarín utilizo una silla para hacer su demostración de baile, parte del público veía la silla de la siguiente forma:

Al final de la demostración del baile, el publico veía la silla de la siguiente manera:

La silla se giro hacia la_______,dando una rotación de_______

a) derecha - a la derecha

b) izquierda - a la derecha

c) derecha - a la izquierda

d) izquierda - a la izquierda. Respuesta correcta a) La silla giro hacia la derecha y después se roto 90 grados a la derecha


27. Si se hace un corte recto por los puntos B y E de la siguiente figura, ¿Cuántas diagonales tiene la figura resultante con mayor número de vértices?

255


a) 4 b) 6 c) 14 d) 28

El número de diagonales puede calcularse usando la formula

sustituyendo n=7,

, (n es #

vértices)

28. La señora Eva tiene una mesa con la forma y dimensiones mostradas

en la figura:

Para que se conserve va a colocarle un cubrimiento de vidrio en la superficie, ¿Qué cantidad de vidrio, en metros cuadrados, usará para cubrir la mesa? Considere pi como 3.14.

a) 7.57 b) 9.14 c) 12.28 d) 18.56 Calcule el área rectangular .

Calcule el área circular . Área total =área 1+área 2=6+3.14=9.14 Respuesta correcta b)


256


29. Para terminar de hacer un soporte para ejes, un herrero debe encontrarla mitad que hace falta de la pieza que se muestra en la figura. Las piezas entre las que debe buscar están dispersas sobre una tabla. ¿cuál de las piezas completa de forma simétrica el soporte que debe ensamblar?

a)

b)

c)

d)

Solución. Respuesta correcta d)


257


30. En una fiesta infantil se instalo una alberca con las siguientes mediadas

Para llenarla con pelotas de 120 mm de diámetro se utilizaran de ______ pelotas como máximo.

a) 1,000 a 2,000

b) 2,000 a 3,000 c) 3,000 a 4,000

d) 4,000 a 5,000 Solución: 120mm equivale a 1.2dm (mm =milímetros y dm=decímetros)

Respuesta correcta a)


31. Identifique la expresión algebraica que corresponde al enunciado: “la diferencia entre la cuarta parte del cubo de un número y la tercera parte del cuadrado de otro número”.

a)

b)

c)

d)


La cuarta parte del cubo de un número

.

La tercera parte del cuadrado de otro número

.

“la diferencia entre la cuarta parte del cubo de un número y la tercera parte del cuadrado de otro número”


258


32. ¿Qué gráfica corresponde a la función ?

A) B)

C) D)

Solución: Respuesta correcta A) La ecuación de una recta es:

Con pendiente m=3 y que corta a la ordenada en 2, como la pendiente es positiva está inclinada como la función (/)


33. Sea , calcule A) 122

B) 375

C) 400

D) 496

Solución: Respuesta correcta

Luego


34. ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde con la ecuación ?

259


A)

B)

C)

D)


i. Ecuación del circulo con centro en el origen y radio r

ii. Ecuación de la circunferencia con centro en (h, k) y radio r

De acuerdo a la ecuación , corresponde a un círculo con centro en el origen y radio 4


35. Un agente de seguros vendió en enero $40,200 en productos, siendo su comisión de $3,216. ¿Cuál fue la comisión que recibió en febrero si vendió $50,500?

A) $3,721

B) $4,040

C) $5,576

D) $6,312

Solución: Respuesta correcta B) Si en enero vendió $40,200 y gano $3,216, necesitamos conocer el porcentaje que gana. Resolviendo por regla de tres

260


Este vendedor recibe el 8% de lo vendido, entonces mediante otra regla de tres calculemos su ganancia del mes de febrero


36. Un vehículo recorre un camino en tres etapas: primero dentro de una ciudad, luego por una autopista y al final por terracería. La siguiente gráfica muestra cuál fue el consumo de combustible durante cada etapa del recorrido.

¿Cuál es el rendimiento por litro en la etapa de terracería?

A) 3.2

B) 7.5

C) 8.0

D) 14.7

Solución: Respuesta correcta A). Se necesita conocer el número de kilómetros recorridos por litro en la terracería, corresponde a la última sección de la gráfica. Para conocer la tasa de rendimiento es equivalente a encontrar su pendiente de esta recta

261


Está pendiente expresa la razón de cambio entre litros por kilómetros

, dado que deseamos encontrar variación de kilómetros

por litro

.

Es muy importante ubicar en el numerador los kilómetros y en el denominador los litros para expresar kilómetros avanzados por litro.


37. Verónica regularmente realiza ejercicio en una escaladora. Ha observado cierta relación entre el tiempo y las calorías quemadas. La siguiente tabla muestra algunos datos:

Tiempo

(minutos)

Calorías

15 180

21 252

33

45 540

51 612

¿Cuántas calorías quema Verónica en 33 minutos? A) 324

B) 396

C) 468

D) 492

Solución: Respuesta correcta B). Entre los minutos 15 y 21 transcurrieron 6 minutos en los cuales se consumieron 72 calorías (252-180). Entre los minutos 45 y 51 transcurrieron nuevamente 6 minutos en los que se consumieron similarmente 72 calorías (612-540). Por lo tanto la quema de calorías es lineal. Por lo tanto si en 6 minutos se consumen 72 calorías, en 1 minuto se consume 12 calorías. Del minuto 21 al 33 han transcurrido 12 minutos en los cuales se consumieron 144 calorías. Como el consumo es acumulativo deben de sumarse al las calorías consumidas en 21 minutos, es decir: 252+144=396.

262


Otra forma de responder la pregunta, consiste en una vez identificado la linealidad es formular la ecuación de la recta, considere 2 puntos cualesquiera de la forma (Minutos, calorías)

Encuentre pendiente

Usando ecuación de recta (y=calorías, x=tiempo)

Sustituyendo

Solo resta evaluar en x=33


38. En una fábrica de lápices se describe el costo de producción de los lápices mediante la siguiente tabla:

Número de

lápices

Costo de

Producción en

Pesos

4 6

12 8

20 10

Identifique la expresión algebraica que representa el costo de producción en pesos (y) dado un número (x) de lápices.

A) ½x – y + 4 = 0

B) 3/4x – y – 1 = 0

C) X – 4y – 28 = 0

D) X - 4y + 20 = 0

Solución: El incremento de 4 a 12 lápices fue de 8 unidades, para los cuales el costo de producción fue de $2 pesos (8-6=2). Por otro lado el incremento de 12 a 20 lápices es de 8 unidades con un costo de producción de $2 pesos (10-8=2). De donde se desprende que el incremento es lineal. Una vez identificado la linealidad se debe formular la ecuación de la recta, considere 2 puntos cualesquiera de la forma (lápiz, costo)

263


Encuentre pendiente

Usando ecuación de recta (y=costo, x=número de lápices)

Sustituyendo

Solo resta evaluar en x=33


39. Un grupo de alumnos de bachillerato compra en $900 una licencia de software. Si se incorporan 5 alumnos más al grupo y se paga la misma cantidad por la licencia, la aportación de cada uno se reduce $9. ¿Cuántos alumnos había originalmente en el grupo?

A) 20

B) 25

C) 36

D) 45

Solución: Respuesta correcta B). Sea x el número de integrantes que compraron la licencia inicialmente. Sea y la aportación inicial del grupo en la compra inicial de la licencia. Un grupo de alumnos de bachillerato compra en $900 una licencia de software

Incorporando 5 alumnos más al grupo: x+5. La aportación de cada uno se reduce a $9 cuando se integran los 5 y el precio es el mismo:

Sustituyendo el valor de y su despeje

Resolviendo

264


Usando formula general

Como el valor de x tiene sentido solo si es positivo (no puede haber un número negativo de integrantes)


40. José trabaja en una fábrica de lácteos envasando 3,100 litros diarios de yogurt, en envases de 1 y 4 litros. Si diariamente llena 1,000 envases en total ¿cuántos envases de cuatro litros llena José al día?

A) 300

B) 420

C) 580

D) 700

Solución: Respuesta correcta A. Sea x el número de envases de 1 litros envasados por José. Sea y el número de envases de 4 litros envasados por José. “José trabaja en una fábrica de lácteos envasando 3,100 litros diarios de yogurt, en envases de 1 y 4 litros”

“Si diariamente llena 1,000 envases en total” x+y=1000

Se tiene un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas, el cual se resolverá por eliminación:

265


Son 300 envases de cuatro litros envasa José al día. MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

41. Un empresario promete una donación a una casa hogar. Tal donación responde a una relación en donde de acuerdo con el número de días trabajados por las damas voluntarias en la limpieza de la casa, el empresario donará una cierta cantidad en miles de pesos, la cual está representada en la siguiente tabla:

Días laborados 3 4 5

Donación en miles

de pesos

3 6 10

¿Cuál es la regla de correspondencia de dicha relación? A)

B)

C)

D)

Solución: Respuesta correcta D) Sea x es el número de días laborados.

Para la función

Si x=3

Si x=4

Para la función

Si x=3

Si x=4

Para la función

Si x=3

Si x=4

Si x=5

Para la función

Si x=3

Si x=4

266


Si x=5


42. La gráfica siguiente muestra a los alumnos que reprobaron física en cinco bimestres diferentes

¿Cuáles expresiones algebraicas representan el comportamiento de varones y mujeres reprobados?

A)

B)

C)

D)

Respuesta correcta D) Es fácil observar de la gráfica

que el modelo de hombres

reprobados por bimestre es el

triple del número de semestre

correspondiente. En cambio el

número de mujeres reprobadas

es el doble del número de

bimestre más cuatro.


43. Va a construirse una tolva en forma de cono truncado para el depósito de granos y se usarán anillos de diferente espesor y radio. La siguiente tabla muestra la relación entre el espesor y el radio de cada anillo

Espesor (cm) Radio (cm)

60 125

84 173

267


Con base en la tabla puede concluirse que el… A) Espesor de los anillos es el doble del radio más cinco

B) Radio del anillo es el doble del espesor más cinco

C) Radio del anillo es la mitad del doble más cinco

D) Espesor de los anillos es la mitad del radio aumentada en cinco

Solución: Respuesta correcta B). Observe de la tabla que Radio del anillo es el doble del espesor más cinco


44. En una ciudad dos sitios de taxis tiene las siguientes tarifas para el sitio A, el cobro inicial es de $ 2.50 más $ 5.80 por cada kilometro; para el sitio B, es de $ 4.30 por kilómetro más un cobro inicial de $ 6. Si para llegar a cierta colonia partiendo del centro debe pasar por la catedral, el mercado la secundaria y el monumento a Hidalgo y la distancia entre cada par de puntos es aproximadamente 1. ¿Entre que par de puntos los costos de ambos sitios coinciden?

A) Centro-Catedral B) Catedral-mercado C) Mercado-secundaria D) Secundaria-monumento

Solución:

Entre la catedral y el mercado cada uno de los sitios se tiene

El sitio A tiene el siguiente costo: 2.5+5.8+5.8=14.1

El sitio B tiene el siguiente costo: 6+4.3+4.3=14.6 por lo que entre

la catedral y el mercado se tienen el mismo costo.


45. El cabello de una persona crece en promedio 15 cm. En 365 días. Obtenga la expresión algebraica que representa la relación entre el

crecimiento de cabello ( ) en centímetros y el tiempo en un día ( )

95 195

110 225

125 255

268


A)

B)

C)

D)

Solución: busca la expresión que establezca que en el día cero ha crecido cero centímetros, y en el día creció 15 cm. Observa

las opciones A) en el día 365 se tiene

, no satisface; B) en

el día cero y en el día , por lo que es la respuesta correcta.MATEMÁTICAS1MATEMÁTICAS2MATEMÁTICAS3MATEMATICAS4Regresa al índice

46. En el laboratorio se estudia el moho que se desarrolla en dos panes de diferentes marcas para determinar una fecha de caducidad más exacta, Una vez que aparece el moho se cuenta las horas en que tarda en cubrir 100% del pan; los registros se muestran a continuación. Primer pan

Segundo pan

Horas 10 20 30

Porcentaje 10 40 90

¿En qué intervalo de tiempo ambos panes tienen la misma cantidad de moho?

A) 6 a 9

B) 11 a 14

C) 19 a 22

D) 26 a 29

Solución: De la gráfica y de la tabla se tiene que para 20 horas el porcentaje de moho tanto del primero como del segundo pan es 40 %, por lo tanto seleccionamos el intervalo 19 a 22.


269


47. David compró un auto el cual, a medida que pasen los años disminuirá su valor como se observa la siguiente gráfica.

¿Cuál es la expresión algebraica que describe el precio del auto del año 2 al año 5?

A)

B)

C)

D)

Solución: una forma rápida de identificar la expresión es sustituir

los puntos (2,150) y (5, 90) en las opciones que se presentan.

Notemos que (2,150) no satisface A),

20(2)+200=240 es diferente de 150.

Sin embargo, si sustituimos en B) tenemos -20(2)+190=150 por

lo tanto el punto (2, 150) lo satisface; -20(5)+190=90 por lo que

(5, 90) también satisface.

Una manera formal de obtener la expresión es mediante la

ecuación de la recta dados dos puntos: Sean (2,150) y (5,90) los

puntos,


48. Una fábrica de muebles que elabora sillas y bancos registro, cada cinco días la producción de ambos productos en las siguientes gráficas.

270


¿En qué día se producen la misma cantidad de sillas y bancos?

A) 31

B) 33

C) 35

D) 40

Solución: La producción de sillas se representa por

mientras que la producción de bancos se describe por

,

en ambos casos representa producción y días. Para responder

a la pregunta igualamos

, de modo que

, .


49. ¿Cuál gráfica representa la perpendicular de la recta de la ecuación

?

A)

B)

-6 -4 -2 2 4 6

-10

-5

5

10

15

-6 -4 -2 2 4 6

-10

-5

5

10

15

271


C)

D)

Solución: En la ecuación , es la pendiente de la

recta y la ordenada al origen (el valor en el que se cortan la

recta y el eje ), es importante recordar la orientación de las

rectas como lo muestra la gráfica siguiente

pendiente positiva ( ) pendiente negativa ( )

Figura 1 Figura 2

De la ecuación se tiene que , por lo que

y , es una recta orientada positivamente (Figura 1),

que interseca al eje y en 3. Observando las figuras de los incisos

observamos que la que cumple con el requerimiento es A


50. El costo de producción de pantalones de una fábrica se muestra en la siguiente gráfica:

-6 -4 -2 2 4 6

-15

-10

-5

5

10

-6 -4 -2 2 4 6

-15

-10

-5

5

10

-6 -4 -2 2 4 6

-15

-10

-5

5

10

15

-6 -4 -2 2 4 6

-15

-10

-5

5

10

15

272


Si el costo de producción de una chamarra es 75% mayor que el de un pantalón. ¿Cuántas chamarras se pueden producir con el costo de 14 pantalones?

A) 8

B) 10

C) 12

D) 14

Solución: Supongamos que compras un pantalón en $ 100 el 75%

de 100 es 75 por lo que una chamarra te costaría $ 175. De modo

que el costo de la chamarra es igual al costo del pantalón por

1.75. Observa 100(1.75)=175.

Sin embargo, de la gráfica se observa que el costo de los

pantalones esta dado por la función y=200 x (y=costo de

producción de los pantalones, x=número de pantalones), esto

significa que cada pantalón cuesta 200 pesos. El costo por 14

pantalones es 2800 pesos (y=200*14=2800).

Por otro lado, tenemos que el costo de una chamarra es de 350

pesos (350=200*1.75).

Luego con 2800 pesos se producen 8 chamarras de 350 pesos

cada una (2800/350=8).


273


51. ¿Qué imagen sigue en la sucesión?

a)

b)

c)

d)

Solución:


52. Calcule el volumen en metros cúbicos de la siguiente figura

Considere PI como 3.14

A) 56.52

B) 113.04

274


C) 226.08

D) 452.16

Solución: recuerda que el volumen de un cilindro es igual a

, sustituyendo tenemos


53. Determine la longitud del segmento C en la siguiente figura:

A)

B) 6

C) 10

D)

Solución: a partir de los datos se obtienen las dimensiones del

triángulo

Empleado teorema de Pitágoras se tiene , por lo que

luego .


54. Un fabricante desea diseñar una caja abierta. ¿Cuál de los siguientes diseños presenta la caja con mayor volumen?

275


a)

b)

c)

d)

Solución: el volumen de cada figura es: A) volumen

, B) volumen , C) volumen

D) volumen


55. En un contenedor se van a acomodar paquetes de queso para su distribución. Las dimensiones del contenedor y de los paquetes se muestran en la siguiente figura.

¿Cuántos paquetes de queso se pueden transportar como máximo en cada caja? Considere 1 in=2.5 cm

A) 175

B) 420

C) 1,020

D) 2,448

Solución: verifica si cada una de las dimensiones del contenedor

es divisible por cada una de las dimensiones del paquete. En este

caso,

276


el ancho del contenedor (70 cm) es divisible por el ancho del

paquete (4 in=10 cm ), 70/10=7

el largo divisible (100 cm) por el largo del paquete (8 in=20 cm),

100/20=5

y el alto (50 cm) divisible por el alto del paquete(4 in=10 cm),

50/10=5

Finalmente se multiplica 7(5)(5)=175 por lo que caben 175

paquetes en el contenedor.


56. El siguiente sólido se corta con un plano que pasa por los vértices B, C, F, y H ¿Cuantas caras tiene uno de los sólidos resultantes?

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

Solución: cortamos con un plano que pasa por los puntos B y C

Se contabilizan las caras

277



57. Guadalupe desea elaborar adornos en forma de helado como el que se muestra en la imagen.

Puesto que se requiere ponerle listón alrededor necesito calcular la medida del contorno de la figura y obtuvo _________ cm, considerando pi como 3.14

A) 24.71

B) 29.42

C) 35.42

D) 38.84

Solución: El contorno de la figura es el perímetro. Observa que la

figura está compuesta por un triángulo y la mitad de una

circunferencia. El perímetro de un circulo es por lo

que la mitad de la circunferencia es 9.42 y el perímetro del

triángulo es 20 cm (sin su base).

El perímetro es 29.42 cm


58. Se desea reparar la duela de un gimnasio y se colocan varias piezas

de tablas rectangulares que se cortan por las líneas punteadas como

se muestra a continuación.

278


Después del corte se girara para du colocación ¿Cuál es la figura

resultante de una de ellas?

a)

b)

c)

d)

La solución se obtiene de la siguiente forma: girar 90 y luego

recortar.


59. En una escuela de harán vasos de cartón para el día de las Madres.

Cada vaso tiene las siguientes especificaciones:

¿Cuántos centímetros cuadrados de cartón se necesitan para elaborar un vaso? Considere pi= 3.14.

279


A) 320.96

B) 427.04

C) 477.28

D) 577.76

Solución: Se necesita cartón para las paredes y la base del vaso.

La base es una circunferencia de área .

El perímetro es , por lo que las paredes del

vaso tiene un área de

La cantidad de cartón que se requiere es


280


Bibliografía 5

FOLIO BIBLIOGRAFIA

1 BALDOR, Aurelio, Álgebra. Grupo Editorial Patria. México, 2008

2

Charles H,Geometría Analítica. Lehmann. Limusa

3 BUSTAMANTE, Alfonso. et. al.Matemáticas 1. Ed. Trillas. México, 2008.

4 DE OTEYZA, Elena. Conocimientos fundamentales de Matemáticas, Álgebra. Pearson Educación. México, 2006.

5 BAROT, Michael y Palma, Olivia. Geometría Analítica. Santillana Bachillerato. México. 2010.

6 GUZMÁN, Abelardo. Geometría y Trigonometría. Publicaciones Cultural. 2005.

7 Manual para docentes y directivos, ENLACE MediaSuperior 2011. Disponible en la Word Wide Web : www.enlace.gob.mx

8 James Stewart,.Cálculo de una Variable – (6ta Edición)

9

HERNÁDEZ Lerma Onésimo, Elementos de Probabilidad y Estadística, Fondo de Cultura Económica, México, 1979;2nd. Printing 1982.

10 LIPSCHUTZ Seymour, Probabilidad, Editorial McGraw-Hill, 2da Edición, 2001.

11 Alma Lorenia Valenzuela Chávez, Matemáticas1, Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora. 2011.

12 ManoelNibres, ItánSair. Guía de preparación para la prueba ENLACE. McGraw-Hil, 2010. ISBN: 978-607-15-0352-7.

13 http://vegaoctavio.wordpress.com/2011/02/26/funciones/

14 http://www.enlacemedia.sep.gob.mx

http://www.enlacemedia.sep.gob.mx/

281


CONTROL DE CAMBIOS

DATOS GENERALES

FECHA DE ACTUALIZACION

ELABORÓ Y/O ACTUALIZÓ

DESCRIPCIÓN DE LA ACTUALIZACIÓN

19/06/2012

DR. EFREN MATLALCUATZI RUGERIO Y DRA. FRANCISCA MATLALCUATZI RUGERIO

SE REALIZA POR PRIMERA LA GUÍA DE VINCULACIÓN ENTRE LA PRUEBA ENLACE Y LOS PROGRAMAS DE ESTUDIO DE LA DGB (HABILIDAD MATEMÁTICA).

REGRESAR AL INICIO

H MATEMÁTICA HABILIDAD...

Documents

Transcript of H MATEMÁTICA HABILIDAD...