Herramientas y lenguajes computacionalesUnidad 1 Actividad 2. Solución gráfica de problemas geométricos

1. Lee y resuelve los cinco problemas que a continuación se plantean:

a. Dibuja una recta perpendicular y otra que sea paralela a la recta representada por la ecuación r :2 x−5 y+4=0y que ambas rectas pasen por el punto (2,3)

Solución

La pendiente de la recta 2 x−5 y+4=0viene dada por m=−AB

=25

La recta paralela que pasa por el punto (2,3) tiene pendiente m=25, según la condición de

paralelismo m1¿m2

A partir de la fórmula punto-pendiente podemos determinar su ecuación:

y− y1=m (x−x1 )→ y−3=25

(x−2 )⇒ y=25x+115

La recta perpendicular que pasa por el punto (2,3) tiene pendiente m=−52

según la

condición de perpendicularidad m1=−1m2

.

Siguiendo la fórmula punto-pendiente, tenemos:

y− y1=m (x−x1 )→ y−3=−52

( x−2 )⇒ y=−52x+8

Si tabulamos las ecuaciones podemos obtener los puntos que permitirán trazar las rectas en el plano:

En Geogebra podemos utilizar las herramientas Recta perpendicular y Recta paralela para generar las rectas solicitadas a partir de la recta y el punto dados.

b. Encuentra el ángulo que forma las rectas dadas por las siguientes ecuaciones:

r1 : y=3 x+5 r2: y=2x−1

Solución

Podemos obtener el ángulo entre las dos rectas a partir de sus pendientes.

En efecto, dadas dos rectas con pendientes m ' y m se verifica que:

tan∅=|m'−m1+mm'|

Por tanto tenemos que:

∅ ¿ tan−1|m '−m1+mm'|=tan−1| 2−31+(2)(3)|=¿8.13 °¿

En Geogebra solo es necesario utilizar la herramienta Ángulo o el comando Ángulo [<Vector>,<Vector>] para determinar el ángulo entre las dos rectas dadas.

c. Muestra gráficamente la relación que existe entre las líneas bisectrices en un triángulo y el incentro del mismo.

El Incentro (símbolo I) es el punto en el que se intersecan las tres bisectrices de los ángulos internos del triángulo (siendo una bisectriz la recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales)

El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo y que equidista de sus tres lados, siendo tangente a dichos lados.

En Geogebra se pueden utilizar las herramientas Bisectriz y Circunferencia dados su Radio y su Centro para demostrar la relación.

d. Dibuja una circunferencia y dos ángulos inscritos y un ángulo central, que tengan en común los mismos vértices opuestos como se muestra en la figura. Responde las siguientes preguntas:

I. ¿Qué observas con respecto a la relación que hay entre las medidas de los tres ángulos destacados?

Sean α 1 y α 2 los ángulos inscritos. El ángulo wou tiene amplitudθ y es complementario del ángulo central β. Por tanto, β+θ=180 °

El triángulo ∆uvo tiene dos lados con longitud igual al radio (ou y ov ¿ .Se trata, pues, de un triángulo isósceles con α 1=α 2 .

La suma de sus ángulos internos del triángulo es igual 180 °, es decir 2α+ β=180°. Pero β=180 °−θ, así que 2α−180 °−θ=180°, que se reduce a 2α=θ

Observamos así, que cada ángulo inscrito α  tiene la mitad de la amplitud del ángulo θ

α=θ2

II. Si mueves los vértices contrarios ¿se siguen manteniendo las relaciones anteriores?

Sí. La amplitud de los ángulos inscritos (ángulos convexos que tienen su vértice en la circunferencia) siempre tendrá la mitad de la amplitud de la porción de

circunferencia en su interior, θ2

En Geogebra se pueden utilizar las herramientas Circunferencia, Ángulo y Recta que pasa por Dos Puntos para dibujar la circunferencia y trazar los ángulos destacados con las secantes que forman. Con la herramienta Elige y Mueve es posible mover los vértices de los ángulos inscritos para comprobar la relación.

e. Los siguientes puntos de coordenadas cartesianas son los vértices de un triángulo:

P (3,8 )Q (−11,3 )R (−8 ,−2)

Comprueba que el triángulo es isósceles y calcula su área.

De manera analítica, calculemos la distancia entre los puntos dados:

PQ=√(x2−x1)2+( y2− y1)

2=√(−11−3)2+(3−8)2=14.87

PR=√(x2−x1)2+( y2− y1)

2=√(−8−3)2+(−2−8)2=14.87

QR=√( x2− x1)2+( y2− y1)

2=√(−8+11)2+(−2−3)2=5.83

Estas distancias corresponden a los lados del triángulo.

Obsérvese que se tienen dos lados iguales

PQ=PR

Con esto se comprueba que el triángulo es isósceles.

El área del triángulo se puede calcular mediante la expresión

A=12 [ x3 ( y1− y2 )+x1 ( y2− y3 )+x2 ( y3− y1 ) ]

A=12

[−8 (8−3 )+3 (3+2 )−11 (−2−8 ) ]=12

[−40+15+110 ]=42.5u2

En Geogebra se puede utilizar la herramienta Polígono para definir el triángulo a partir de los puntos dados, y con la herramienta Área se puede calcular la superficie requerida.