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Método de Interpolación de Hermite El problema de interpolación P n (x 0 ) = f(x 0 ), . . . P n (n0) (x 0 ) = f (n0) (x 0 ) . . . P n (x k ) = f(x k ), . . . P n (nk ) (x k ) = f (nk ) (x k ) Mediante un polinomio de grado ≤ n = n0 + .. + n k + k, siendo f(x) n + 1 veces derivable en [a, b], tiene solución única, que se puede construir mediante el esquema de diferencias divididas. Denotando (x˜ 0 , x˜1...x˜ n ) = ([x0] n0+1 , ..., [xk ] nk +1 ), tenemos: P n ( x ) = ∑ i=0 n f [ x 0 ¿ ,…x i ] ∏ j =0 i −1 ( x−x j ) ¿ Además f ( x )−P n ( x) = f ( n+1 ) ( ζ x ) ( n−1 ) ! ∏ j=0 n ( x−x j ) Para algún ζ x є (a,b) Tratamos, aquí, un problema de interpolación con polinomios para datos valores de una función ( y i ) y valores de su derivada ( d i ) en nodos o abscisas x i . En particular, el problema (para 2 nodos) se plantea como sigue: Hallar H(x) ∈P 3 verificando: H(x 0 ) = y 0 , H(x 1 ) = y 1 (valores de la magnitud y) H ′ (x 0 ) = d 0 , H ′ (x 1 ) = d 1 (derivadas o razones de cambio de y resp. a x) La solución se puede calcular siguiendo un esquema similar al caso de la interpolación clásica mediante D.D. con argumentos o nodos repetidos. Tales diferencias se obtienen siguiendo las propiedades siguientes: Supongamos los nodos { x i } ordenados por x 0 ≤ x 1 ≤… ≤ x k ≤… , entonces:
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Mtodo de Interpolacin de HermiteEl problema de interpolacinPn (x0) = f(x0), . . . P n (n0) (x0) = f (n0) (x0). . .Pn (xk ) = f(xk ), . . . Pn (nk ) (xk ) = f (nk ) (xk )Mediante un polinomio de grado n = n0 + .. + nk + k, siendo f(x) n + 1 veces derivable en [a, b], tiene solucin nica, que se puede construir mediante el esquema de diferencias divididas. Denotando (x0 , x1...xn) = ([x0] n0+1 , ..., [xk ] nk +1 ), tenemos:
Adems Para algn x (a,b)Tratamos, aqu, un problema de interpolacin con polinomios para datos valores de una funcin ( yi ) y valores de su derivada ( di ) en nodos o abscisas xi . En particular, el problema (para 2 nodos) se plantea como sigue:Hallar H(x) P3 verificando: H(x0) = y0, H(x1) = y1 (valores de la magnitud y) H (x0) = d0, H (x1) = d1 (derivadas o razones de cambio de y resp. a x)La solucin se puede calcular siguiendo un esquema similar al caso de la interpolacin clsica mediante D.D. con argumentos o nodos repetidos. Tales diferencias se obtienen siguiendo las propiedades siguientes:Supongamos los nodos { x i } ordenados por x0 x1 xk , entonces: { As, la expresin nos dice, por ejemplo, que: f[ x0 ,x0 ] = f (x0 ) ( d0 ). De esta forma se puede generar una tabla de D.D. con argumentos repetidos como sigue:
xiyi = D.D. 0D.D orden 1D.D. orden 2D.D. orden 3
X0
X0
X1
X1
Con esta tabla se obtiene la frmula de Newton para el interpolante de Hermite con dos nodos:
Ejemplo de programa.
#include #include #include #include using namespace std;int main(){ float x0,x1,x2; float arox; float funcion0,funcion1,funcion2,funcion00,funcion11,funcion22; float conversion; x0=0.3; x1=0.32; x2=0.35; funcion0=sin(x0); funcion1=sin(x1); funcion2=sin(x2); funcion00=cos(x0); funcion11=cos(x1); funcion22=cos(x2); cout
