Matemtica incaica

Quipukamayuq con su quipu y una yupana, los principales instrumentos que usaron los incas en

matemticas.

En el campo de la matemtica los incas se destacaron principalmente por su capacidad de clculo en

el mbito econmico. Los quipus yyupanas fueron seal de la importancia que tuvo la matemtica

en la administracin incaica. Esto dot a los incas una aritmtica sencilla pero efectiva, para fines

contables, basada en el sistema decimal; conocieron el cero,1 y dominaron la suma, la resta, la

multiplicacin y la divisin.

Por otra parte, la construccin de caminos, canales y monumentos, as como el trazado de ciudades

y fortalezas, exigi el desarrollo de unageometra prctica, que fue indispensable para la medicin

de longitudes y superficies, adems del diseo arquitectnico. A la par desarrollaron importantes

sistemas de medicin de longitud y capacidad, los cuales tomaron partes del cuerpo humano como

referencia. (Ascher M. y Ascher R. (1985). El quipu como lenguaje visible)

Sistema de numeracin[editar]

Representacin de un quipu, instrumento de contabilidad y nemotcnico inca.

Se tiene nocin que en el Imperio inca el sistema de numeracin imperante era el decimal.[cita requerida]

Una de las principales referencias que confirman esto son las crnicas que presentan una jerarqua

de autoridades organizadas decimalmente.

Encargado Cantidad de familias

Puriq 1 familia

Pichqa kamayuq 5 familias

Chunka kamayuq 10 familias

Pichqa chunka kamayuq 50 familias

Pachaka kamayuq 100 familias

Pichqa pachaka kamayuq 500 familias

Waranqa kamayuq 1.000 familias

Pichqa waranqa kamayuq 5.000 familias

Hunu kamayuq 10.000 familias

Tambin se puede confirmar el uso del sistema decimal en el incario, por medio de la interpretacin

de los quipus, que estn organizados de modo que los nudos de acuerdo a su ubicacin pueden

representar: unidades, decenas, centenas, etc.

Sin embargo, la principal confirmacin de este sistema, se expresa en la denominacin de los

nmeros en quechua, en que los nmeros van desarrollndose de manera decimal, como se puede

apreciar en el siguiente cuadro (el quechua usado es el estndar de Cuzco):

Nmeros Quechua Nmeros Quechua Nmeros Quechua

1 Huk 11 Chunka hukniyuq

30 Kimsa chunka

2 Iskay 12 Chunka iskayniyuq

40 Tawa chunka

3 Kimsa 13 Chunka kimsayuq

50 Pisqa chunka

4 Tawa 14 Chunka tawayuq

60 Suqta chunka

5 Pisqa 15 Chunka pisqayuq

70 Qanchis chunka

6 Suqta 16 Chunka suqtayuq

80 Pusaq chunka

7 Qanchis 17 Chunka qanchisniyuq

90 Isqun chunka

8 Pusaq 18 Chunka pusaqniyuq

100 Pachak

9 Isqun 19 Chunka isqunniyuq

1.000 Waranqa

10 Chunka 20 Iskay chunka 1.000.000 Hunu

Sistemas de contabilidad Quipus

Quipus incaicos, elementos fundamentales en la administracin y contabilidad del Imperio inca.

Los quipus constituyeron un sistema nemotcnico basado en cuerdas anudadas, mediante las cuales

se registraban todo tipo de informacin cuantitativa o cualitativa; si se trataban de resultados de

operaciones matemticas, slo se anulaban las realizadas anteriormente en los "bacos incas" o

yupanas. Si bien una de sus funciones se relaciona con la matemtica al ser un instrumento capaz de

contabilizar, tambin era utilizado para guardar informacin de noticias censales, de montos de

productos y de subsistencias conservadas en los depsitos estatales.3 4 Incluso hay quienes

mencionan a los quipus como instrumentos donde los incas dejaban (de un modo diferente al

escrito) sus tradiciones e historia.

Diversos cronistas mencionan adems el uso de quipus para guardar noticias histricas,5 sin

embargo, an no se ha descubierto cmo funcionaba este sistema. En el Tahuantinsuyo, era

personal especializado el manejaba las cuerdas, se le conoca comoquipucamayoc y poda llegar a

tener a su cargo las cuerdas de toda una regin o suyu. Si bien la tradicin est perdindose, los

quipus continan usndose como instrumentos mnemotcnicos en algunos poblados indgenas

donde sirven para registrar los productos de las cosechas y los animales de las comunidades.

Segn el cronista jesuita Bernab Cobo (1983 [1653]: 253254),6 los Incas designaban a ciertos

especialistas las tareas relativas a la contabilidad. Estos especialistas eran llamados quipo camayos,

en los cuales los Incas ponan toda su confianza. En su estudio de la muestra de quipu VA 42527

(Museum fr Vlkerkunde, Berln), Sez-Rodrguez (2013)7 observ que, con el fin de cerrar los libros

de contabilidad de las chacras, ciertos nmeros eran ordenados segn su valor en el calendario

agrcola, de los cuales se encargaba directamente el khipukamayuq (el contable en cuyas manos se

encontraba el granero).)Eugenio M. Fedriani Martel & ngel F. Tenorio Villaln, Los sistemas de

numeracin maya, azteca e inca)

Yupanas

Yupana, conocida tambin como baco inca. Su potencial de contabilidad es an muy discutido.

En el caso de la informacin numrica, las operaciones matemticas eran realizadas previamente en

los bacos o yupanas. Estos podan ser de piedra tallada o de barro, tenan casilleros o

compartimentos que correspondan a las unidades decimales y se contaba o sealaba con la ayuda

de piedrecitas o granos de maz o quinua. Se podan indicar unidades, decenas, centenas, etc. de

acuerdo a si estaban implcitas en cada operacin.

Investigaciones recientes en relacin a los yupanas sugieren que eran capaces de calcular cifras

considerables basndose en un sistema probablemente no decimal,9 sino basados en relacin al

nmero 40. De ser cierto, es curioso notar la coincidencia entre la progresin geomtrica conseguida

en el yupana y los actuales sistemas de procesamiento;10 por otro lado tambin resulta

contradictorio el hecho de basar su sistema de contabilidad en el nmero 40, de seguir las

investigaciones y confirmarse este hecho, habra que comparar su uso con el sistema decimal, que

segn la tradicin histrica e investigaciones anteriores, era el que usaban los incas.11

En octubre de 2010 el investigador peruano Andrs Chirinos con el apoyo de la Agencia Espaola de

Cooperacin Internacional para el Desarrollo (AECID), revisando dibujos y descripciones antiguas del

cronista indgena Guaman Poma de Ayala, descifr finalmente el acertijo de la Yupana que

bsicamente es una tabla con once agujeros, que el denomina "calculadora prehispnica" y es capaz

de sumar, restar, multiplicar y dividir y posiblemente tambin registrar textos, lo cual le hace tener

esperanzas en descubrir finalmente como funcionaban los quipus.12

Unidades de medida Existieron diferentes unidades de medida para magnitudes como la longitud y el volumen en

tiempos prehispnicos. Los pueblos andinos, como en muchos otros lugares del mundo, tomaron el

cuerpo humano como referencia para establecer sus unidades de medida. No existi un sistema de

unidades estndar en todo el mundo andino; muchos documentos y crnicas han registrado

diferentes sistemas de origen local que siguieron en uso hasta el siglo XVI, aunque algunas medidas

s debieron ser estandarizadas por los incas, al organizar el Tahuantinsuyo.(Alfabetos de ayer y de

hoy, Quipu. Revisado el 16-01-2008.)

Longitud Entre las unidades de medida de longitud, existi la rikra (braza), que es la distancia medida entre

los dedos pulgares del hombre teniendo los brazos extendidos horizontalmente. El cuchuch tupu

equivala al "codo castellano" y era la distancia medida desde el codo hasta el extremo de los dedos

de la mano. Estaba tambin la capa(palmo), y la ms pequea fue el yuku (jeme), que era la longitud

existente entre el ndice y el dedo pulgar, separando uno del otro lo mximo posible.

Superficie El tupu era la unidad de medida de la superficie. En trminos generales se defina como el lote de

tierra requerido para el mantenimiento de un matrimonio sin hijos. Todo hatun runa u hombre

comn reciba una parcela al casarse, debiendo satisfacer su produccin las necesidades bsicas de

alimentacin e intercambio de cnyuges. No corresponda a una medida exacta, pues sus

dimensiones variaban segn las condiciones de cada terreno y de una etnia a otra.13 Se tomaba en

cuenta la calidad del suelo y de acuerdo con ello se calculaba el tiempo de descanso necesario que

deba considerarse luego de un cierto nmero de campaas agrcolas. Pasado ese tiempo, la pareja

poda reclamar a su curaca un nuevo tupu.

Capacidad Entre las unidades de medida de capacidad est la pokcha, que equivala a media fanega o 27,7

litros. Algunos cultivos como el maz eran medidos en recipientes; los lquidos se medan en una

variedad de cntaros y tinajas. Haba cajas de variedad de cntaros y tinajas. Haba cajas de paja o

junco en los que se guardaban objetos. Estas cajas tambin eran utilizadas en los depsitos para

almacenar productos delicados o exquisitos, como las frutas secas. Las hojas de coca eran medidas

en runcus o grandes cestas. Otros cestos eran conocidos como ysangas. Entre estas medidas de

capacidad se encuentra el poctoy (almozada), que equivale a la porcin de granos o harina que entra

en la concavidad formada con las manos juntas. Los antiguos pobladores de los andes conocieron las

balanzas de platillos y redes as como al huipe, instrumento parecido a las romanas.14 Al parecer, su

presencia se asocia con los trabajos de orfebrera y metalurgia, oficios en los que es necesario

conocer los pesos exactos para utilizar las proporciones adecuadas en las aleaciones.

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BIBLIOGRAFIA 1. Ascher M. y Ascher R. (1985). El quipu como lenguaje visible. En Heather Lechtman, Ana

Mara Soldi. La tecnologa en el mundo andino 1. Mxico D.F.: UNAM. ISBN 9789688372937.

2. Alfabetos de ayer y de hoy, Quipu. Revisado el 16-01-2008.

3. Eugenio M. Fedriani Martel & ngel F. Tenorio Villaln, Los sistemas de numeracin maya,

azteca e inca, pg. 184.

4. Mara Rostworowski, "Los Incas", Historia del Tahuantinsuyo, Los quipus. Revisado el 16-01-

2008.

5. Cronistas con puntos de vista tan diversos como Garcilaso de la Vega, Guamn Poman y

Cieza de Len (conocido por su rigurosidad histrica) mencionan el uso de quipus para

guardar datos histricos y poesa, si bien ninguno detalla de que modo funcionaban.