LGEBRANDICEP g .C a p .1Historia del lgebra - Nmeros Enteros .............................................................................5

C a p .2Adicin y Sustraccin de Nmeros Enteros .........................................................................17

C a p .3Adicin y Sustraccin de Monomios ...................................................................................25

C a p .4Adicin y Sustraccin de Polinomios ..................................................................................31

C a p .5Multiplicacin de Nmeros Enteros ....................................................................................37

C a p .6Divisin de Nmeros Enteros ............................................................................................41

C a p .7Potencia con Nmeros Enteros .........................................................................................51

C a p .8Repaso ..........................................................................................................................59

C a p .9Potencia de Exponente Entero ..........................................................................................65

C a p .1 0Multiplicacin Algebraica ..................................................................................................71

C a p .1 1Valor Numrico ...............................................................................................................77

C a p .1 2Grficas lineales ..............................................................................................................83

C a p .1 3Grficas de Polinomios Cuadrticos ...................................................................................91

C a p .1 4Productos Notables I ........................................................................................................99

C a p .1 5Productos Notables II .......................................................................................................105

C a p .1 6Repaso ..........................................................................................................................111

L G E B R A 2 0 1 2 - TR IL CED e p a r t a m e n t od eP u b l i c a c i o n e sL i m a - P e r TRCO1SLIAL1B-12.pmd

1er ao de secundariaC a p .1 7Ecuaciones de Primer Grado con una Incgnita ...................................................................119

C a p .1 8Planteo de Ecuaciones I ...................................................................................................125

C a p .1 9Planteo de Ecuaciones II ..................................................................................................131

C a p .2 0Sistema de Ecuaciones I ..................................................................................................135

C a p .2 1Sistema de Ecuaciones II .................................................................................................141

C a p .2 2Sistema de Ecuaciones III ................................................................................................147

C a p .2 3Planteo de Sistema de Ecuaciones ....................................................................................153

C a p .2 4Repaso ...........................................................................................................................157

C a p .2 5Polinomios con Coeficientes Fraccionarios y Valores Numricos Fraccionarios........................163

C a p .2 6Ecuaciones con Nmeros Fraccionarios ..............................................................................173

C a p .2 7Problemas de texto con Ecuaciones Fraccionarias ...............................................................181

C a p .2 8Manejo de Frmulas ........................................................................................................191

C a p .2 9Inecuaciones de Primer Grado ..........................................................................................197

C a p .3 0Sistemas de Inecuaciones de Primer Grado ........................................................................205

C a p .3 1Repaso ...........................................................................................................................215

Historia del lgebraNmeros enterosCOLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIOSntesis Histrica del lgebra1. Una Aclaracin Necesaria.Para ocuparnos de la evolucin algebraica es necesario tener una idea clara y precisa de lo que es el lgebra. Por que si vamos a incluir dentro del lgebra cualquier problema que resolviramos ahora por procedimientos algebraicos, diramos que su origen se pierde ms all del siglo XVIII AC. Si vamos a considerar como lgebra el primer esfuerzo sera por tratar de encontrar un lenguaje y un simbolismo algebraico aunque muy imperfectos; todava diramos que su origen est alrededor del siglo III D.C. Pero, el lgebra como generalizacin de la Aritmtica tal como lo consideraba Newton - ya como sistema orgnico de expresin simblica y de gran perfeccin operatoria; slo podemos encontrarla recin en las cercanas del siglo XVII D.C.2. ALJUARIZMI. (Siglo IX)Dio a la incgnita el nombre de XAI, cuyo significado en rabe es cosa con el tiempo en vez de la palabraXAI, se uso abreviadamente su inicial X. Para representar a la incgnita la cual se consagr a travs de los siglos.3. El Origen de la Palabra lgebra.El matemtico rabe Abuadala Mohamed Ibn Musa, ms comnmente llamado ALJUARIZMI, despus de estudiar en la India y asimilar la ciencia hind escribe su famoso libro Al' Djabr W' Al Mukabala que quiere decirtransposicin y reduccin de trminos semejantes. Al principio esta nueva disciplina se design con el nombre completo de la obra de Aljuarizmi, pero ya en el siglo XVI se suprima la segunda parte para llamarle simplemente Al' djabr o sea lgebra, a la Teora de las Ecuaciones.Nota: Aljuarizmi se le considera padre del lgebra4. Aportes griegosDiofanto llego a resolver perfectamente los sistemas de ecuaciones que tienen ms ecuaciones que incgnitas y consideraba solamente las soluciones positivas, an cuando no ignoraba la existencia de soluciones negativas, tuvo verdadera predileccin por las ecuaciones indeterminadas. Diofanto inicia el verdadero simbolismo, el mtodo analtico en la resolucin de los problemas, la

simplificacin y la generalizacin que al lgebra le hacan falta para emprender su vuelo incontenible, la organizacin de la teora de las ecuaciones plasmada por primera vez al lgebra en un libro, el libro se llam Aritmticas .Nmeros Enteros1. Conexin con la HistoriaDesde hace mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bamb o de madera para representar los nmeros y realizar, enespecial, clculos comerciales de una manera prctica, pero tambin para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas ensentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos segn que representaran cantidades positivas o negativas.Los matemticos hindes del siglo VI mencionan tambin el uso de nmeros negativos para tratar este tipo de problema. Los antiguos griegos, por el contrario, rechazaron que pudieran existir tales nmeros.En Europa medieval, los rabes dieron a conocer los nmeros negativos de los hindes, que en el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las prdidas en el anlisis de cuestiones financieras. Durante el Renacimiento, el manejo prctico de esos nmeros en la contabilidad y otros contextos ayud a su lenta introduccin en las matemticas.El alemn Michael Stifel (1487-1567), monje agustino convertido al protestantismo y amigo personal de Lutero, fue uno de los primeros en admitir el uso de coeficientes negativos para el estudio de las ecuaciones cuadrticas y divulg el uso del signo menos ( - ) para designar la resta; de hecho, los signos "+" y "-" estaban ya en uso entre los comerciantes alemanes del siglo XV para indicar el exceso o el defecto de mercancas en los almacenes. Con todo, la consideracin de las cantidades ne ga ti va s co mo c or re sp on di en te s a n me ro s matemticamente legtimos alcanz aceptacin general hasta el siglo XVIII, cuando los nmeros negativos empezaron a ser entendidos como opuestos de los positivos.

Organizacin Educativa TRILCE5En la matemtica actual el conjunto de los nmeros enteros abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numrica, por tanto, en rigor no existe un comienzo, salvo que como tal se considere el CERO (el cual agregado al conjunto de los nmeros naturales forma el conjunto de los Cardinales).2. Positivos que no AlcanzanPara el ser humano es importante contar lo que tiene, lo que quiere, lo que necesita, lo que comparte, lo que da. Esa fue la razn que tuvo para crear nmeros y form el conjunto de los nmeros naturales:N = {1, 2, 3, 4 .......}Luego, necesit expresar con cifras el conjunto vaco, es decir, identificar que no haba nada, no quedaba nada o no faltaba nada. Entonces, apareci el 0, y form as otro conjunto numrico, el de los nmeros cardinales:No = {0, 1, 2, 3, 4 ...}Contando con estos conjuntos numricos, resolvi operaciones: agreg, quit, dividi, multiplic. Sin embargo, se le presentaron otros problemas: C mo i n d i ca r t e mp e r a t u ra s b a jo 0 ? C m o diferenciar altura y profundidades de la Tierra?Cmo expresar que qued debiendo algo?a) Si un da omos decir que la temperatura en Puno es de cuatro grados, nos quedar la duda de si se trata de cuatro grados bajo cero o sobre cero.Para expresar cuatro grados sobre cero se escribe+4 y bajo cero - 4.

b) Las fechas referidas a la Era Cristiana:El ao -450 significa el ao 450 antes de Cristo y el ao +180 significa el ao 180 despus de Cristo.Positivos y Negativos en la lnea del tiempo.a) Las cantidades de dinero que posee o que gana una persona se consideran positivas, y las cantidades que debe, gasta o paga se consideran negativas.SENTIDO NEGATIVO SENTIDO POSITIVO450Nacimiento+180

Antesde CristoDespus

Eladio ha ganado 1800 soles se escribe: +1800 soles. Pedro ha gastado 4600 soles se escribe: - 4600 soles.POSITIVOS Y NEGATIVOS EN EL DEBE Y EN EL HABER.Debe ()Haber (+)

Ganancia de Eladio+ 1800

Gasto de Pedro 4600

Hay magnitudes que varan en dos sentidos. Por convenio diremos que uno es positivo y el otro negativo.Los nmeros positivos son mayores que cero.Se escriben precedidos por el signoms ( + ) e indican:Hacia la derecha.Hacia delante.Al norte del Ecuador.Tiempo posterior al despegue.Sobre el nivel del mar.Temperatura sobre cero.Tengo dinero.

Los nmeros negativos son meno- res que cero.Se escriben precedidos por el signomenos ( - ) e indican: Hacia la izquierda. Hacia atrs. Al sur del Ecuador. Tiempo anterior al despegue. Bajo el nivel del mar. Temperatura bajo cero. Debo dinero.Para expresar las cantidades positivas se utilizan los nmeros naturales con el signo ( + ).Para expresar las cantidades negativas se utilizan los nmeros naturales con el signo menos ( - ).3. Conjunto de los Nmeros EnterosPara indicar si un objeto se encuentra a la derecha o a la izquierda de un punto de referencia, podemos indicar con un signo + si est hacia la derecha y con un signo "-" si se ubica hacia la izquierda. De staforma obtenemos dos conjuntos:Z+ Conjunto de nmeros positivos.

Z - Conjunto de nmeros negativos.- +

- + 0 +1 +2 +3 +4 +5

-5 -4

-3 -2 -1 0El conjunto formado por los nmeros positivos, los nmeros negativos y el cero se llama conjunto de nmeros enteros.ZZ = {.....-4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, .....}- + -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2+44. Valor Absoluto de un Nmero EnteroSe llama valor absoluto de un nmero entero al nmero cardinal que resulta de prescindir su signo, tambin se le considera como la distancia del nmero dado al cero. El valor absoluto de un nmero se expresa encerrando este nmero entre dos barras.El valor absoluto de +5 es 5, y se escribe |+5| = 5. El valor absoluto de 6 es 6, y se escribe |6| = 6.El valor absoluto de0 es 0, y se escribe | 0 | = 0.NOTA: Al valor absoluto tambin se le llama mdulo.5. El Opuesto de un nmero entero.El opuesto de un nmero entero es el nmero que tiene el mismo valor absoluto, pero diferente signo; por ejemplo: El opuesto de +8 es 8El opuesto de 15 es + 15-49 y +49 son nmeros opuestos.NOTA: Definimos el opuesto de "n" como op(n) = -n6. Relacin de Orden en ZZ es un conjunto ordenado. Esto quiere decir que hay nmeros enteros mayores o menores que otros.Un nmero entero es menor que otro, si est colocado a la izquierda de l en la recta numrica; y es mayor, cuando est a su derecha.Analicemos los siguientes ejemplos: Ordenaremos de menor a mayor +7, -6, +4 y -2 en la recta numrica, a partir del 0. As, tenemos que:- + -7-6

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +4

+5 +6 +7 +8El nmero menor es -6, porque es el que est ms a la izquierda; luego viene el -2, el +4 y el +7. En smbolos queda:-6 < -2 < +4 < +7. En el siguiente ejemplo, ordenaremos de mayor a menor -1, +2, +5, 0 y -3. Tenemos:- + -7-6

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +4

+5 +6 +7 +8El nmero mayor es +5 y el menor es -3. Nos queda:+5 > +2 > 0 > -1 > -3CONCLUSIONES TILESAnalizando los ejemplos anteriores, podemos sacar algunas conclusiones muy importantes. Estas nos servirnp a r a o r d e n a r n m e r o s e n t e r o s s i n d i b u j a r l a r e c t a n u m r i c a :* Todo nmero entero positivo es mayor que 0.* Todo nmero entero positivo es mayor que cualquier nmero entero negativo.* Todo nmero entero negativo es menor que 0.* Todo nmero entero negativo es menor que cualquier entero positivo.Ejemplos:a)+7 > +2b) +87 > +54c) 5 > 9 d) 45 > 72e) +51 > 0f)0 > 6 Entre enteros positivos, es mayor el que tiene un valor absoluto mayor. Por ejemplo, si ordenamos +40, +9,+300 de mayor a menor, tenemos que: el mayor valor absoluto lo tiene 300, luego sigue 40 y finalmente 9. Entonces decimos:+300 > +40 > +9Mientras ms lejos de 0 est un nmero entero positivo, su valor es mayor, porque est ms a la derecha.En los enteros negativos sucede lo contrario; mientras ms lejos de 0 est un nmero, su valor es menor, porque est ms a la izquierda en la recta numrica.Esta conclusin nos permite determinar que en los enteros negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto.Por ejemplo, ordenaremos de menor a mayor -40, -9, -300. El menor es -300, porque tiene el valor absoluto mayor, le sigue -40 y luego -9.-300 < -40 < -9ANTECESOR Y SUCESOROtra caracterstica que presenta un conjunto numrico ordenado es que cada nmero tiene antecesor ysucesor.Para cualquier nmero, es antecesor el que se ubica inmediatamente a la izquierda de l y es sucesor, el que est inmediatamente a su derecha. Observa:Nmero-+Antecesor

Sucesor8 7 6 5 4 3 2 1 0+1+2+3 +4+5+6+7Antecesor

SucesorNmero

Antecesor

SucesorNmeroTest de AprendizajeEfectuar los siguientes ejercicios1.|+7| =2.|-8| =3.|0| =4.|-15| =5.|20| =6.op (+3) =7.op (-5) =8.op (op (-20)) =9.op (op (5)) =10. |op (-100)| =PractiquemosNivel I1. Cul es el nmero entero que separa los nmeros positivos de los negativos?2. Cul es el nmero opuesto a 20?3. Cul es el opuesto de 30?4. Si x es un nmero entero; qu valor puede tomarx de modo que: 2 < x < 4?5. Responde las siguientes preguntas:a) Si: 32 grados sobre cero son representados por+32 C. Cmo se representa 5 bajo cero?b) Si: 20 puntos ganados se representa por +20 puntos.Cmo se representa 9 puntos perdidos?c) Si Elena deposita S/. 5000 en su cuenta de ahorros, se representa por +5000 nuevos soles.Cmo se representa un retiro de S/. 600?6. Expresa con nmeros enteros:a) Un submarino se encuentra 85m bajo el nivel del mar.b) Richard tiene una ganancia de S/. 3219. c) El ao 1243 antes de cristo.7. Contesta las siguientes preguntas:a) Si: 12m bajo el nivel son indicados por 12m. Cmo se puede indicar 35m sobre el nivel del mar?b) Si: 25m a la izquierda son indicados por 25m.Cmo pueden indicarse 45m a la derecha?c) Si: 3 pisos abajo son indicados por 3 pisos.Cmo puede indicarse 5 pisos para arriba?8. Representar en una recta numrica los siguientes nmeros:+4 ; 7 ; +9 ; 5 ; +11 ; 6 ; 8 ; 15 ; +6 ; 2 a) Cul es el nmero ms prximo al origen?b) Qu nmero esta ms alejado del origen?

9. Representa en una recta numrica los siguientes nmeros:+4 ; 6 ; 5 ; 7 ; +1 ; 0 ; 13 ; +8 ; +6 ; 11 a) Cul es el nmero ms cercano a 3?b) Qu nmero esta ms alejado de 3?10.Ordena los siguientes nmeros de mayor a menor.6 ; +8 ; 4 ; +12 ; 0 ; 1 ; +15 ; 100 ; +23 ; 16Nivel II11. Completa:a) |+4| = |4| = b) |8| = | | = c) op(+7) =d) op(15) =12.Si "x" es un nmero entero, que valores puede tomar"x". (donde "