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IDENTIFICACION DE SISTEMASGRUPO DE INVESTIGACION EN CONTROL INDUSTRIAL
LINEA DE INVESTIGACION EN
Por que identificar?
http://eiee.univalle.edu.co/~gici
conocimiento
Estructura (Ecuaciones, diagramas de bloque o de flujo, conexión de matrices, etc.)
Valores de parámetros
Valores de los estados en cierto instante o como funciones de tiempo.
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Esquema general de la identificación
PROCESO
Elementos de la
Representaciones
ej. : respuesta al impulso, respuesta de frecuencia, respuesta al escalón.
Paramétricas
ej. : función de transferencia, ecuación diferencial o ecuación de diferencias.
Metodología de la Identificación
Formulación de un criterio
Metodología de la Identificación
Preparación del experimento
la entrada debe reunir las siguientes características:
Tener un valor DC conocido para ubicar el proceso en un
adecuado punto de funcionamiento.
Ser limitada en amplitud, para no sacar el proceso de su
punto de funcionamiento.
Secuencia binaria pseudoaleatoria (SBPA).
S1
Si
Sj
SN
127
8
La magnitud de la SBPA es un aspecto importantísimo, valores muy grandes pueden perturbar demasiado al proceso, sacándolo de su punto de funcionamiento, mientras valores muy pequeños producen efectos sobre la salida que pueden ser ocultados por el ruido, según las pruebas efectuadas esta magnitud puede ser entre el 10% y 20%, dependiendo de la relación señal / ruido presente en cada proceso.
(SBPA)
La magnitud de la SBPA es un aspecto importantísimo, valores muy grandes pueden perturbar demasiado al proceso, sacándolo de su punto de funcionamiento, mientras valores muy pequeños producen efectos sobre la salida que pueden ser ocultados por el ruido, según las pruebas efectuadas esta magnitud puede ser entre el 10% y 20%, dependiendo de la relación señal / ruido presente en cada proceso.
Amplitud de la secuencia
(SBPA)
Para fines prácticos se selecciona como frecuencia de reloj para la SBPA. un múltiplo de la frecuencia de muestreo
Frecuencia de la secuencia
(SBPA)
Se recomienda que sea tal que se pueda:
Realizar una identificación básica con la primera tercera parte de los datos.
Con el segundo tercio, realizar la identificación.
Con la última parte realizar una validación de la identificación.
Longitud de la toma de datos
Preprocesamiento básico
Se debe remover las tendencias de la señal.
Si la toma de datos fue realizada a un alta rata de muestreo, hay que considerar la posibilidad de hacer un filtrado de los datos, considerese que puede haber efectos de solapamiento de datos. Lo mas complicado es detectar si existen señales de ruido indeseables que deban ser filtradas en el preprocesamiento.
ESTIMACION DE LOS PARAMETROS DE UN MODELO EN TIEMPO DISCRETO A PARTIR DE DATOS DE ENTRADA-SALIDA LIBRES DE RUIDO
IDENTIFICACION OFF-LINE
p : Número de datos o muestras tomadas
Para realizar la estimación se debe coleccionar p=m+n+1
datos y se debe cumplir que det[A’k] diferente de cero
Representación de Sistemas Dinámicos en el dominio del tiempo
Esquema General
Representación de Sistemas LTI
Representación...-casos particulares- Estructuras
Donde:
y
IDENTIFICACION POR MINIMOS CUADRADOS
desconocidos, se debe encontrar el que minimiza :
El problema: Dado un conjunto de N pares de medidas de
entrada salida,
Mínimos Cuadrados Lineales
Para modelos de regresión lineal
La solución óptima
sumatoria
Mínimos Cuadrados Lineales
La solución optima podrá ser calculada siempre y cuando el factor sea invertible
Análisis de la estimación con Mínimos Cuadrados Lineales
La solución optima podrá ser calculada siempre y cuando el factor sea invertible
Supongase un sistema real dado por:
La ecuación solo es válida cuando se conoce de modo exacto
la estructura del modelo
Para estimación exacta debe cumplirse que:
1- sea una matriz invertible, esto se logra usando
excitación u(k) con persistencia de orden n.
2-
Para N
Donde E{.}=0 si se cumple al menos una de las dos
condiciones siguientes:
i) Si vo(k) es una secuencia de variables aleatorias inde-
pendientes con media cero, su valor no dependerá de lo
que pase antes del instante t = k. Y por tanto
ya que solo contiene información de u(l) y y(l) hasta el
instante .
ii) solo contenga valores de u(k), y(k) y vo(k) que sean estadísticamente independientes
Mínimos Cuadrados Pseudo-Lineales
Para el caso de las estructuras ARMAX, OE y BJ los modelos
de regresión no son lineales en :
El cálculo de no puede hacerse derivando e igualando a cero a porque el vector de regresión
también es función de :
basados en métodos numéricos
y =(y1, ...., yN)T : conjunto de N medidas
: valores calculados a partir de mediante el modelo adoptado para el sistema.
Problema: Determinar un vector de “d” parámetros
(constantes en el tiempo) utilizando una serie de N
medidas yT = (y1, ...., yN) sobre la salida del sistema lineal
estático:
siendo M una matriz de N filas y “d” columnas.
Algritmo de los Mínimos Cuadrados
Solución de problemas:
Caso 1: N = “d”
Suponiendo que M es de rango completo, det [M] 0, el
problema podría resolverse de forma inmediata:
N<np
Existen más incógnitas que ecuaciones. hay infinitas soluciones, la solución es una variedad lineal. Sin embargo, seleccionando la estimación:
M* : "matriz inversa generalizada”.
La solución obtenida es la de la mínima norma, que verifica la relación:
siendo 1 cualquier otra solución.
Si las N filas de M son linealmente independientes
(matriz M de rango máximo), la estimación será:
En donde M*D se denomina inversa generalizada por
la derecha, ya que verifica:
MM*D = I
N > np
En general, no existe solución. Se demuestra que si M
es de rango máximo, el método de los mínimos cuadra
dos puede utilizarse para encontrar la solución.
Se trata de obtener la estimación que minimiza el índice:
M*I se denomina inversa generalizada por la izquierda
M*IM = I
Caso hipotético:
y(k) + a1 y(k-1) + ... + an y(k-n) = b1 u(k-1) + ... + bn u(k-n)
y el vector de medidas:
m(k) = [ - y(k-1), ... , - y (k-n), u(k-1), ... , u(k-n)]
El error de predicción de salida puede escribirse como:
e(k) = y(k) - m(k)
donde m(k) es la predicción de la salida en el instante k
Coleccionando datos desde k = n hasta N
E(N) = Y(N) - M(N)
ESTIMACIÓN RECURRENTE DE MÍNIMOS
Y(N) = M(N)
Comienzo
formar m con nuevas medidas;
calcular ganancia mediante K P*mT*(I+m*P*mT)-1;
actualizar estimación mediante +K*(y-m* );
actualizar matriz P mediante P P-K*m*P;
hacer N N+1
Herramientas
para
Identificacion
IDINPUT: Genera los datos de entrada para propósitos de simulación.
IDSIM: Simula un sistema lineal general
PREDICT: Calcula las predicciones de la salida del modelo
Edinson Franco Mejía, M.Sc.
IDFILT: Para realizar filtros a los datos del proceso.
Funciones para Estimación Paramétrica
BJ: Estima un modelo BOX JENKINS
IV4: Estima un modelo ARX usando el método de la variable instrumental de cuatro etapas.
Funciones para Estimación Paramétrica
CANSTART: Estima modelos multivariables en forma canónica de espacio de estado; generalmente usado junto con N4SID.
N4SID: Estima modelos de espacio de estado usando un método de subespacio
PEM: Estima un modelo lineal general.
IDMODRED: Reduce un modelo a un orden inferior
THC2THD: Transforma un modelo de tiempo continuo en tiempo discreto
THD2THC: Transforma un modelo de tiempo discreto en tiempo continuo
TH2ARX: Transforma los datos del modelo que están en formato theta a parámetros arx
TH2SS: Transforma los datos del modelo en formato theta a matrices de espacio de estado..
PRESENT: Muestra modelo paramétrico en pantalla.
IDPLOT: Muestra los datos de entrada y salida en pantalla
BODEPLOT: Gráfica el diagrama de Bode del modelo
ZPPLOT: Presenta en pantalla el diagrama de polos y ceros del modelo
Funciones para Validación
COMPARE: Compara la salida simulada o predicha con la salida del modelo
PE: Calcula los errores de predicción
Ejercicio
FIN!!!
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