IGEP – Tema 2. Leyas financieras básicas: estudio usando aplicaciones informáticas.

Contenido1. Capital financiero.........................................................................................................................12. Leyes financieras: capitalización y descuento.............................................................................4

2.1 Leyes de capitalización..........................................................................................................42.2 Leyes de descuento................................................................................................................52.3 Propiedades de las leyes financieras.....................................................................................5

3. Operación financiera....................................................................................................................64. Leyes financieras clásicas............................................................................................................6

4.1 Leyes de capitalización..........................................................................................................74.1.1 Ley de capitalización simple..........................................................................................74.1.2 Ley de capitalización compuesta...................................................................................8

4.2 Leyes de descuento..............................................................................................................104.2.1 Ley de descuento simple comercial.............................................................................114.2.2 Ley de descuento simple racional................................................................................134.2.3 Ley de descuento compuesto.......................................................................................14

4.3 Ejercicios para resolver usando hoja de cálculo..................................................................14

1. Capital financiero.Los bienes económicos, siempre que vayan a ser uso de intercambio no simultaneo, no solo deben ser valorados por su cuantia, sino que también se debe tener en cuenta el momento en el que serán disponibles.

De este modo, podemos decir que una misma cantidad de dinero da lugar a diferentes capitales financieros dependiendo del momento en que se pueda disponer de él. Así, mil euros hoy y mil euros dentro de tres años son capitales financieros distintos. 

Un capital financiero se representa por medio de una par ordenado: (C,t); donde C es el capital y t el tiempo que debe transcurrir hasta que podamos disponer del capital, pudiendo ser ambos números tanto positivos como negativos:

● Si C<0, se trata de una deuda.

● Si t<0, estamos considerando un punto temporal anterior al origen (0).

No obstante, para centrar el tema del que nos ocuparemos utilizando el software de hoja de cálculo adecuado, daremos la siguiente definición en la que se restringe el concepto a cantidades positivas.

Def.­ Llamaremos Espacio financiero al conjunto  E={C , t /C , t∈ℝ+} .

□

Este concepto de espacio financiero hace que no podamos comparar dos cantidades sin tener en cuenta al tiempo, por ello para representar un capital financiero necesitamos utilizar dos ejes, tal y como vemos en la figura siguiente, donde se representa los capitales C1,t 1 y  C2, t2 :

Al comparar dichos capitales puede ocurrir que:

a) Que el tiempo de vencimiento coincida:  t 1=t 2

b) Que las cantidades coincidan:  C1=C2

c) Que las cantidades y los tiempos no sean iguales y que la relación de desigualdad sea distinta para cada magnitud:  C1C2 y t1t 2 o C1C2 y t 1t 2

d) Que las cantidades y los tiempos no sean iguales y que la relación de desigualdad sea la misma para ambas magnitudes:  C1C2 y t 1t 2 o C1C2 y t 1t 2

El primer caso es facil de comparar, ya que únicamente debemos considerar las cantidades implicadas: si  t 1=t 2 y  C1C2 , entonces  C1,t 1 será preferido a  C2, t2 . Gráficamente la situación será:

El segundo caso es similar, siendo ahora iguales las cuantias, el parámetro a utilizar en la comparación será el temporal, en este caso es preferible poder disponer del dinero lo antes posible, es decir: si  t 1t 2 y  C1=C2 , entonces  C1, t 1 será preferido a  C2, t2 . 

Gráficamente la situación será:

C

tt1

t2

C1

C2

C

tt1=t

2

C1

C2

En el tercer caso se dan las dos condiciones que acabamos de comentar, siendo sencillo decidir que capital financiero es preferible:

● si  t 1t 2 y  C1C2 , entonces  C1, t 1 será preferido a  C2, t2 .

● si  t 1t 2 y  C1C2 , entonces  C2, t2 será preferido a  C1, t 1 .

Gráficamente la situación en el primero de estos supuestos es la siguiente:

En la cuarta situación es en la que se plantean los problemas, puesto que debemos ponderar los parámetros para derterminar cuál es el mejor capital financiero, siendo, en principio situaciones incomparables. Sin embargo, si tenemos que decidir entre recibir un millón hoy, o dos millones dentro de un año, la mayoría de nosotros elegiría dos dentro de un año, atendiendo a que si hoy tenemos un millón, sería dificil invertir el dinero para doblar la cantidad en un año. 

Esta decisión, sin embargo, depende de factores como la situación económica, la oportunidad del momento y la necesidad. 

En una situación económica enla que se nos ofrezca un interés del 5% anual por una inversión, el resultado de invertir nuestro millón sería 1050000, si comparamos esta cantidad con los dos millones que se nos ofrecen dentro de un año, notamos que el reultado es una pérdida de ingresos de 950000. 

Supongamos que hoy es 10/01/2009, entonces los capitales serán: (1000000, 10/01/2009) y (2000000,10/01/2010). El primero de los capitales invertido al 5% anual producirá el capital financiero (1050000, 10/01/2010) que ya es comparable.  

C

tt1

C1=C

2

t2

C

tt1

C1

t2

C2

Este es el método habitual para comparar capitales financieros: intentar obtener una representación de ambos capitales en un mismo momento de tiempo, para lo cual se tiene en cuenta el modo en el que un capital puede variar en virtud de la inversión realizada. 

En este contexto cobra gran importancia el concepto de interés, es decir, el precio que hay que pagar por disponer de capitales financieros ajenos durante un periodo de tiempo. Evidentemente, dicho precio dependerá del capital del que se dispone y del tiempo durante el que se dispone de él, lo que expresado de forma porcentual da lugar a concepto de tipo de interés. 

El tipo de interés se determina por la oferta y demanda de dinero, como cualquier otro bien económico: si hay una alta demanda de préstamos, el tipo subirá, mientras que si la demanda disminuye, el tipo también disminuirá, siempre dentro de unos márgenes legales para intentar evitar la usura. En particular en los tipos de interés aplicables intervienen directamente las políticas económicas de los distintos gobiernos: la política monetaria y la política fiscal.

2. Leyes financieras: capitalización y descuento.

Def.­  Llamaremos ley financiera a una expresión matemática que nos permite proyectar cualquier capital financiero, (C,t),  en cualquier instante de tiempo, p:

V=F(C,t;p) 

Donde V es la cuantía equivalente en p al capital financiero (C,t).

□

A la hora de comparar dos capitales financieros, lo importante, además de la cuantía,  es la distancia en el tiempo que los separa. Es decir, da igual calcular el capital equivalente a uno dado desde 2001 a 2003, que desde 2007 a 2009, lo relevante es que en ambos casos han trascurrido dos años. Esto reponde a la propiedad denominada  estacionariedad de las leyes financieras, según la cuál, el resultado de su aplicación no varia cuando se produzca un desplazamiento en el tiempo:

F C , t ; p=F C ,tk ; pk

de este modo, si  n=p−t , tendremos  V=F C ,n .

C

t10/01/2009

1000000

10/01/2010

2000000

1050000

→

Destacamos a continuación dos tipos de leyes financieras dependiendo del sentido aplicado al tiempo que separa a dos capitales: futuro o pasado.

2.1 Leyes de capitalización.Si proyectamos un capital financiero a un instante de tiempo posterior, diremos que estamos capitalizando, para lo cual se suele utilizar si  pt , V=L C , t ; p , o bien, si  n0 , 

V=L C ,n . Gráficamente la situación será:

2.2 Leyes de descuento. Si decidimos calcular el capital equivalente a un capital dado en un momento anterior al tiempo de vencimiento, estaremos aplicando una ley financiera de descuento, y ahora la notación es: si 

pt , V=AC , t ; p , de otro modo, si  n0 ,  V=AC ,n . Gráficamente la situación será:

2.3 Propiedades de las leyes financieras.Veamos ahora cuales son las propiedades que debe satisfacer una ley para ser considerada como ley financiera, dentro de las reglas económicas fundamentales.

1. Ser una función positiva: dado un capital de cuantía positiva, su equivalente en cualquier instante de tiempo también lo es, mientras que si partimos un capital negativo, o deuda, su equivalente en cualquier instante de tiempo será también negativo.

Como vemos en la representación gráfica de esta propiedad, dado un capital disponible en el momento 0, si lo capitalizamos con un valor positivo de n, su valor equivalente siempre positivo, tiende a crecer indefinidamente. Mientras que si actualizamos el capital a instantes de tiempo anteriores, cuando n es negativo, su valor se hace progresivamente menor , pero de forma asintótica al eje, es decir, su valor se aproxima a cero, pero nunca llega a serlo, y en consecuencia nunca toma valores negativos.

C

t0

C

n

V=L(C,n)

C

t0

C

n

V=A(C,n)

2. Ser una función homogénea de grado 1 respecto a C: es decir, si aplicamos la ley a una cantidad se obtiene el mismo resultado que si aplicamos la ley a una unidad monetaria y después multiplicamos el resultado por la cantidad.

F C ,n=C.F 1,n

Esta propiedad permitirá utlizar leyes financieras unitarias, es decir, referir las leyes a una unidad monetaria, por lo que éstas solo dependerán del tiempo:  F 1,n⇒ F n .

3. Cumplir con la propiedad reflexiva: si el resultado de aplicar la ley a C en un tiempo n, es V, entonces el resultado de aplicar la ley a V en el tiempo ­n será C.

4. Ser una función continua en n: la ley financiera no puede tener saltos ni interrupciones en un momento de tiempo determinado.

5. Ser una función creciente respecto a n: si aumenta el tiempo la cantidad aumenta.

3. Operación financiera.Una operación financiera se define como el intercambio no simultáneo de capitales financieros entre agentes económicos, los cuales pactan la ley financiera con la que establecer la equivalencia financiera de dichos capitales.

En toda operación financiera podemos distinguir los siguentes elementos:

a) Las personas que intervienen enla operación financiera:

● La primera persona, física o jurídica, que interviene en la operación es la que entrega el primer capital. A esta persona se le denomina prestamista o acreedor.

● La segunda persona es quién recibe el primer capital y se compromete a devolverlo transcurrido un periodo de tiempo. Dicha persona será el prestatario o deudor.

b) Los capitales financieros que intervienen en la operación. Aquí distinguimos los capitales que entrega el prestamista y los que devuelve el prestatario:

● Al capital que entrega el prestamista se le denomina prestación.

● Al capital que devuelve el prestatario se le denomina cotraprestación.

c) El tiempo que dura la operación, donde a su vez podemos distinguir los siguientes conceptos:

● El origen de la operación, que coincide con el vencimiento del primer capital de la operación, es decir, el momento de entrega del primer capital.

● El final de la operación, que coincide con el instante en que se entrega el último 

C

t

V=L(C,n)

C

0

V=A(C,­n)

capital.

● Por último, la duración de la operación, que no es más que el tiempo que transcurre entre el origen y el final.

d)  Además, el principio que debe regir cualquier operación financiera es el principio de equivalencia financiera entre prestación y contraprestación, calculada mediante una ley financiera que debe ser pactada por las partes. Tanto la prestación como la contraprestación pueden estar constituidos por diversos capitales, por tanto, el primer paso es calcular la suma financiera de los capitales que las componen, tras lo cual únicamente debemos comparar financieramente ambos conjuntos de capitales.

4. Leyes financieras clásicas.El número de expresiones matemáticas que podrían ser leyes financieras, por cumplir las propiedades expuestas anteriormente, es muy numeroso. De todas ellas las más utilizadas son las denominadas leyes financieras clásicas.

A continuación estudiaremos cinco leyes clásicas, dos de ellas de capitalización y tres de descuento.

4.1 Leyes de capitalización.En este caso calcularemos el capital financiero futuro equivalente a un capital financiero presente. Por ello, al capitalizar una capital financiero C, el capital equivalente futuro, V, debe ser mayor, ya que la ley financiera debe ser creciente. El modo en el que se produce este crecimiento viene dado por las características de aplicación del interes al cual el capital será sometido.

También trataremos el asunto de los tantos equivalentes, ya que, siempre que utilizemos una ley financiera debemos tener en cuenta que el interés aplicado y el número de periodos n deben venir dados en las mismas unidades de tiempo. Normalmente en operaciones a largo plazo la unidad temporal utilizada es el año, pero en operaciones a corto plazo se suele utilizar el mes. No obstante, en muchas ocasiones se utilizan otras unidades temporales, como el trimestre o el cuatrimestre, por lo que, para aplicar correctamente la ley de capitalización simple, es necesario hacer cambios de unidades en las fórmulas o bien utilizar tipos de interés equivalentes en función de la unidad temporal que deseemos emplear.

Def.­ Se denominan tantos de interés equivalentes a aquellos que aplicados a un mismo capital, durante un mismo periodo de tiempo, producen un mismo montante o capital final.

□

4.1.1 Ley de capitalización simple.

La expresión matemática es:  L n=1n.i con n.i0 , donde i es el tipo de interés referido al mismo periodo de tiempo en el que viene expresada la variable n. 

Esta ley de capitalización simple es sumativa, ya que para cada periodo de tiempo sumamos una cantidad fija de intereses, que viene expresado por el tipo i. Por ello la función matemática que representa la ley es una función lineal.

En caso de tener un capital C en el instante 0, los capitales en los tiempos 1 y 2 respectivamente serán  C1=C.1i y  C2=C.12.i , por lo que tras n periodos de tiempo tendremos:

Cn=C.1n.i  

Ejemplo1. Capitalizar 1000 € durante tres años al 10% de interés simple anual, obteniendo su representación gráfica.

□

Si analizamos la expresión anterior, para un capital inicial  CO , tendremos que:

Cn=CO .1n.i ⇒ Cn=COCO .n.i

Así, los intereses generados serán:  I=CO .n.i  , con lo que el capital final, o montante, será:

  Cn=COI

Tantos equivalentes: dada la ley financiera de capitalización simple , el capital final equivalente a un capital inicial C 0 durante n años, a un tanto anual i, viene dado por la expresión:

  Cn=C 01n.i

Si ahora medimos ese periodo de tiempo en emésimos de año, tendremos una cantidad total de m.n de periodos, y si el interés por cada periodo es de  im , la expresión matemática será:

Cn=C 0.1n.m.im

Para que los dos tantos sean equivalentes debe ocurrir que los montantes finales sean iguales, por lo tanto:

Cn=C 0.1n.i =C0 .1n.m.im

y despejando en esta expresión tenemos:

i=m.im ⇒ im=im

 

De este modo se comprueba que, en el caso de la capitalización simple, si se divide año en periodos, el interés también queda dividido por esa misma cantidad de periodos. En el caso de periodos superiores a un año, como son los trienios o quinquenios,  la obtención del tanto equivalente se realiza utilizando la misma expresión, aunque modificando un poco la notacón para distinguir este 

caso del anterior. Por ejemplo, en el caso de un trienio, tendremos que  i3=i

1/3=3.i .

Ejemplo 2. Queremos invertir 1000 € durante seis meses en una cuenta de ahorro de un banco que nos ofrece un 6% de rentabilidad anual. ¿Cuál será el montante de la operación?

C

t

1+i

1

1+2i

i

i

0 1 2

□

4.1.2 Ley de capitalización compuesta.

La expresión matemática que define esta ley, también conocida como interés compuesto, esL n=1i n ,  con n,i>0, donde i es el tipo de interés expresado para el mismo periodo de 

tiempo en el que viene expresada la variable n.

En esta ley de capitalización el incremento producido en cada periodo por el interés se va incorporando a la cantidad inicial, por ello, partiendo de una unidad monetaria, se obtiene la secuencia siguiente: 

● a1=1

● a2=1i

● a3=1i1i .i=1i 2

● a4=1i 21i 2. i=1i 3

● .......

El crecimiento en este caso es exponencial, y la situación gráficamente es:

Si hacemos referencia a una cantidad inicial,  C0 , el capital equivalente n periodos de tiempo después a un interés i será  Cn=C 0.1in

Ejemplo 3.  Queremos invertir 1000 € durante tres años en una cuenta de ahorro de un banco que nos ofrece un 10% compuesto de rentabilidad anual. ¿Cuál será el montante de la operación?

□

Tantos equivalentes: planteamos ahora el estudio de los tantos de interés equivalentes para el caso del interés compuesto. Para ello dividiremos cada periodo de capitalización en m subperiodos, siendo im  el tanto por emésimo de periodo. 

El capital final utilizando n periodos será  Cn=C 0.1in , mientras que el capital final utilizando periodos emésimos será  Cn=C0 .1im

m.n , si tal y como dice la definición de tantos equivalentes establecemos la igualdad entre ambos capitales, obtenemos:

C0. 1i n=C0 .1imm.n ⇒ 1i =1im

m  

de donde podemos deducir que  im=1i 1m−1=m

1i−1 , y despejando el interés del periodo 

completo con respecto al interés de la parte tendremos que  i=1i mm−1 .

C

t

1+i

(1+i)2

i

i+i2

0 1 2

1

Def.­ Se denomina tanto anual equivalente a aquel tanto equivalente que, aplicado a un perido de tiempo expresado en años, es equivalente al tanto periodal, im . 

□

El tanto anual equivalente, comunmente TAE, suele utilizarse como referecia para comparar distintas alternativas, tomando al año como unidad temporal de referencia. El cálculo no es tan sencillo en este caso como en el caso de la capitalización simple, por ello en este modelo se hace uso de otro tanto de interés, el denominado tanto nominal,  jm , y se  define como el tanto anual que resulta del producto del tanto periodal, im , por el número de periodos que contiene el año, m:

jm=im . m

El cálculo del tanto nominal es igual al cálculo del tanto anual equivalente en capitalización simple, y es el tanto que se suele contratar en las operaciones financieras con bancos y otras entidades. Normalmente una entidad bancaria utiliza únicamente el tanto periodal, a partir del cuál calcula el tanto nominal para reflejarlo en el contrato y el tanto anual equivalente para publicarlo y comparar sus inversiones. En la siguiente tabla vemos un resumen de estos intereses y su relación:

Tanto Símbolo Número de periodos en un año Razón Cálculo

Tanto de interés anual i anual Comparar i=1imm−1

Tanto periodal im m Calcular im=jm

m

Tanto nominal jm anual Contratar jm=im . m

Ejemplo 4.  Invertimos 10000 € en una cuenta bancaria que nos ofrece una remuneración del 6% anual pagadero por meses:

a) Determinar los distintos intereses que utiliza el banco para desarrollar el producto financiero.

b) Calcular el capital obtenido transcurridos dos años

c) Calcular el capital obtenido transcurrido un año, si hemos invertido 100 €.

Ejemplo 5. Si vamos a realizar una inversión de 5000 € en una entidad financiera, que nos remunera el capital al 12% nominal y nos da a elegir el intervalo de tiempo en el que queremos que nos liquide los intereses, ¿cuál eligiríamos, meses, trimestres, semestres o años? 

□

4.2 Leyes de descuento.La característica principal de las leyes de descuento es el valor negativo de la variable n, ya que el punto de proyección del capital se encuentra ahora en el pasado. Al contrario de lo que ocurría en el caso de la capitalización, al descontar un capital financiero el capital equivalente debe ser de menor cuantía que el capital proyectado, ya que la ley financiera debe ser decreciente con respecto a la 

variable n.

Trataremos las tres leyes de descuento más utilizadas en la práctica: la ley de descuento simple racional, la ley de descuento compuesto y la ley de descuento simple comercial. Las dos primeras leyes son las correspondientes a las leyes de capitalización simple y compuesta, mientras que el interés de la última reside en el uso que de ella se hace por parte de las entidades financieras.

Gráficamente una ley de descuento se representara de la forma:

En este caso, los tantos equivalentes se definen de la forma siguiente:

Def.­ Se denominan tantos de interés equivalentes a aquellos que aplicados a un mismo capital, durante un mismo periodo de tiempo, producen un mismo capital inicial.

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En este caso, igual que en el apartado aterior dividiremos el año en m periodos iguales, pero ahora el tanto por cada emésimo de año corresponderá a un descuento: dm. 

4.2.1 Ley de descuento simple comercial.

La expresión matemática que define esta ley es:

A n=1−n.d     con n, d >0  y donde n = t – p  

 donde d es el tipo de descuento expresado para el mismo periodo de tiempo en el que viene expresada la variable n.

Esta ley es sumativa, por lo que en cada periodo de tiempo se resta una cantidad fija de intereses que viene expresado por el tipo de descuento. La interpretación gráfica de esta ley será:

Como vemos, esta ley se representa por medio de una función lineal, en la que, por cada unidad de tiempo que transcurre descontamos la cantidad d. Así, dado un capital inicial Cn su capital equivalente n periodos de tiempo antes de su disponibilidad, a un tipo de descuento d, será:

C0=Cn .1−n.d

C

tp

V

C

tn

C

t

1 – d 

­2

1 – 2d  d

d

1

­1 0

En este caso, una de las características genéricas de las leyes financieras no se cumple, ya que puede ocurrir que, dado un capital positivo, su equivalente no lo sea, tal y como ocurre en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 5. Supongamos que tenemos derecho a recibir 1000 € dentro de siene años y queremos conocer cuál es la deuda equivalente hoy, utilizando la ley de descuento simple comercial al 15% de tanto de descuento anual.

□

El resultado obtenido en el ejemplo anterior no es razonable, para que esta situación no pueda producirse debemos limitar el rango de aplicación de esta ley a aquel en el que la función se mantiene positiva, es decir:

1−n.d 0 ⇒ 1n.d ⇒n1d

En consecuencia, el periodo de descuento está restringido por el inverso del tipo de descuento aplicado. Teniendo en cuenta que la ley de descuento simple comercial se aplica en operaciones a corto plazo, es decir, operaciones inferiores al año, esta limitación matemática no supone una restricción en la práctica.

La tabla siguiente muestra algunos tiempos límites para determinados tipo de descuento.

 

Tanto de descuento Cálculo Límite de utilización

5%10%15%20%

1/0,051/0,11/0,151/0,2

20 años10 años

6,66 años5 años

Gráficamente la situación es:

 

Ejemplo 6. Un gran supermercado nos debe el importe de una factura que asciende a 500 €, que nos abonará dentro de seis meses. ¿Cuál es la deuda equivalente hoy, si descontamos a un tipo de descuento del 1% mensual?

□

Tantos equivalentes: en principio utilizamos la ley de descuento simple comercial de periodicidad anual:  C0=Cn .1−n.d ; si aplicamos esta fórmula para periodos emésimos de año tendremos 

C0=Cn .1−n.m.dm , y por último, tal y como dice la definición de tantos equivalentes, establecemos la igualdad entre ambas expresiones por referirse a la misma cantidad de tiempo, pero con distintas unidades de aplicación del descuento:

Cn .1−d.n=Cn .1−m.n.d m  

C

tp

V=1 – d.(1/d)=0

1

tn =1/d

donde, simplificando tenemos que:

d=dm . m

o lo que es lo mismo: 

d m=dm

Como vemos, los tantos equivalenes en la ley de descuento simple comercial son análogos a los tantos equivalentes en capitalización simple, ya que ambas leyes son sumativas.

Ejemplo 7. 

a) Un cliente nos adeuda na cantidad de 100.000 € que se compromete a pagar dentro de tres meses, deuda que se ha documentado en una letra de cambio. Ante la necesidad de liquidez de nuestra empresa, descontamos la letra en el banco a un tanto de descuento del 12% anual. ¿Qué cantidad recibiremos hoy en nuestra cuenta?

b) Una vez recibido el dinero, la política de la empresa cambia, debido a una entrada de liquidez por otra vía, y se decide volver a capitalizar la cantidad recibida tras la gestión descrita en el apartado a), la inversión se realiza a tres meses y con una remuneración del 12% de interes anual. ¿Que cantidad recibiremos tras ese periodo de tiempo?

□

 Lo que sucede en el ejemplo 7 nos demuestra que la ley de capitalización simple y la ley de descuento simple comercial no son inversas una de otra, ya que al capitalizar el capital tras el descuento, con las mismas condiciones de tiempo y tasas, el resultado que se obtiene no es la cantidad inicial.

En general lo que sucede es, dada una cantidad Cn sobre la que aplicar un descuento d, para obtener una cantidad equivalente C0 , si ahora aplicamos una capitalización simple con un interés i=d, en un periodo igual al descuento, tendremos:

C0=Cn .1−n.d ⇒ C ' n=C0. 1n.d ⇒ C ' n=Cn .1−n.d .1n.d

realizando el producto notable que aparece en la expresión anterior tendremos:

C ' n=Cn. 1−n2 .d2 ⇒C ' n

Cn

=1−n2 .d 2 ⇒C ' n

C n

1 ⇒ C ' nCn

Para solventar esta circunstancia se define la ley de descuento simple racional, que tratamos a continuación.

4.2.2 Ley de descuento simple racional.

Def. La expresión matemática que define la ley de descuento simple racional es la función inversa de la ley de capitalización simple: 

A n=1

1n.i con  n , i0 , donde  n=t−p

□

En la figura siguiente vemos un gráfico que compara los descuentos simple racional y comercial, observándose que el descuento racional es menor que el comercial:

Tantos equivalentes: en primer lugar establecemos el capital inicial utilizando periodos anuales, de manera que,

C0=Cn

1n.i

en segundo lugar, establecemos el capital final utilizando peridos de tiempo de emésimos de año, y tenemos,

C0=Cn

1n.m.im

estableciendo la igualdad entre ambas expresiones y simplificando, obtenemos i=im. m , de donde despejamos el tanto periodal: 

im=im

4.2.3 Ley de descuento compuesto

Def.­ La expresión matemática que define la ley de descuento compuesto es la función inversa de la ley de capitalización compuesta:

A n=1i −n , con  n , i0 , donde  n=t−p

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En realidad, el descuento compuesto no es más que la prolongación para valores negativos de la ley de capitalización compuesta.

Tantos equivalentes: en este caso serán exactamente iguales a los de la ley de capitalización compuesta:

i=1imm−1 y im=1i

1m−1

Ejemplo 8.  Descontar 15000 € un cuatrimestre, mediante las tres leyes de descuento: simple comercal, simple racional y compuesto; para un tanto del 9% anual. Compara los resultados.

□

4.3 Ejercicios para resolver usando hoja de cálculo.A continuación se incluyen algunos ejercicios cuya resolución implica el uso de una o varias de las fórmulas de los apartados anteriores, y para los que es conveniente usa de la hoja de calculo, tanto 

C

t1

1 – d 

1

0

11i

para la resolución de cada ejercicio particular, como para crear un liro de cálculo con el que resolver situaciones similares, en las que únicamente cambien los datos. 

Ejercicio 1.  Dados los siguientes pares de capitales, determinar si son equivaltentes o no. En el caso de ser equivalentes determinar bajo que condiciones.

a) (1000€,1) y (1000€,2)

b) (1000€,1) y (2000€,2)

c) (2000€,1) y (1000€,2)

Ejercicio 2. Si nvertimos 10000€ al 6% simple anual, ¿cuál será el montante a los 9 meses?¿Y si el tipo de interés es del 6% nominal liquidable por meses?¿Cuál es el TAE en cada uno de los casos?

Ejercicio 3. Nuestro banco nos propone un depósito bancario de 10000€ que se remunera al 6% nominal pagadero por meses. Dichos intereses se abonan en la cuenta corriente, dado que el depósito es de 10000€ exactos. El depósito se anuncia al 6,17% TAE. Determina la rentabilidad del dinero si lo invertimos en dicho depósito durante un año completo, sabiendo que la cuenta corriente no se remunera.

Ejercicio 4. Al comprar un televisor de plasma con PVP de 2000€, nos proponen la posibilidad de aplazar el pago de la siguiente manera: una entrada inicial del 10% del valor de la compra más 10 pagos mensuales iguales por el 10% de la compra cada uno. Determina el interés y el coste del aplazamiento del pago.

Ejercicio 5. Nuestro banco abona intereses al 1% anual simple, liquidando los intereses al final de cada semestre natural, es decir, final de junio y final de diciembre. Si una persona deposita 1500€ el 16 de septiembre de 2005 y los retira el 17 de enero de 2007.

a) ¿Es un problema de interés simple o compuesto?

b) Calcula el montante a retirar.