II GUIA DE CALCULO I

Docente: Luis Avendaño López

Calcula las derivadas de las funciones:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2Calcula mediante la fórmula de la derivada de una potencia:

1

2

3

4

5

6

7

3Calcula mediante la fórmula de la derivada de una raíz:

1

2

3

4Deriva las funciones exponenciales

1

2

3

4

5

5Calcula la derivada de las funciones logarítmicas:

1

2

3

4

5

6Calcula la derivada de las funciones trigonométricas:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

8Derivar por la regla de la cadena las funciones:

1

2

3

4

5

6

7

10Hallar las derivadas sucesivas de:

1

2

3

4

12Calcular la diferencial de las siguientes funciones:

1

2

3

4

Ejercicios propuestos

Soluciones de los ejercicios propuestos

Concepto geométrico de derivada:

Y = f(x)

Y Q(x + x, y + y)

T y

P(x,y) Rx

La figura muestra que es la pendiente de la secante que une un punto fijo

P(x,y) cualquiera de la curva con otro cuando , P permanece fijo y Q se mueve sobre la curva acercándose a P; la recta PQ va girando alrededor de P hasta que llega a la posición límite que es la tangente PT a la curva en el punto P. Así pues es la pendiente de la tangente a la curva y = f(x) en el punto P.Ejemplos

1. Hallar para y determinar la cotangente en .

Solución:

evaluando la derivada en con x=5

2. Calcular la ecuación de la tangente en para la función Solución:

evaluando la derivada para x=5

en x=5 evaluamos la función

la ecuación de la recta tangente en x=5 es

3. Sea . Calcular la ecuación de la curva tangente en la abscisa; x=0 e x = -2.Solución:

evaluando la curva en x=0 y=-2 ,o sea en P(0,2), se obtiene la pendiente m=0por lo tanto la ecuación pedida es

Evaluando la curva en x=-2 y= , o sea en P(-2,-94) se obtiene la pendiente m=144, por lo tanto la ecuación pedida es

4. Hallar la pendiente de la cúbica en el punto x = 4 .Solución: Como ya es sabido la derivada representa el valor de la tangente a la curva en

cualquier punto de ésta por lo cual luego = 40 por lo

cuál la pendiente de la cúbica en el punto x = 4 es 40 ( m = 40 ).

Otra Aplicación de los diferenciales:1. Un gerente de ventas estima que su equipo venderá 10.000 unidades durante el

próximo mes. El cree que su estimación es precisa dentro de un error porcentual del 3%. Si la función de utilidad es dólares por mes, en donde x= número de unidades vendidas por mes. Calcule el error porcentual máximo en la utilidad estimada.

Solución:si x=10.000 , la utilidad será

el error porcentual máximo en el valor estimado de x es del 3%

de modo que el error máximo dx está dado por

el error en la utilidad está dado aproximadamente por

de modo que el error máximo en la utilidad estimada es de $60. El error porcentual es, por tanto,

esto indica que el error porcentual máximo en la utilidad es del 1%.

Ejercicios:1. Hallar la pendiente de las siguientes curvas en el punto x = 1.

a) b) c) R: a) -10 b) -1 c) -1/8

2. Calcular las coordenadas del vértice de la parábola y = x2 - 4x + 1 , teniendo en cuenta que la pendiente de la tangente en dicho punto es igual a cero. R V(2,-3).

3. Calcular la pendiente de las tangentes a la parábola y = -x2 + 5x – 6 en los puntos de intersección con el eje X. M = 1, m = -1.

4. Dada la función y = x3 – 3x , determine la ecuación de la recta tangente y normal en el punto de abscisa –1.

5. ¿En que punto de la curva y = x2 - x la pendiente de la recta tangente es paralela con la recta de ecuación 3x – 9y –4 = 0?

6. Dada la función y = x3 – x2 + x determine la ecuación de la recta tangente y normal en el punto (1 , 1).

7. ¿En que punto(s) de la curva y = x2 – 2x la pendiente de la normal es igual a –1/4?8. Hallar la ecuación de la tangente a la curva y = x3 + 2 en el punto (2, 10).9. Hallar los puntos (si hay algunos ) donde la curva y = x3 + 2 tiene su tangente paralela

al eje X.10. ¿En cuál punto (si hay alguno) de la curva es la normal paralela a la recta 4x

+ y = 4?.11. Para cada una de las siguiente hallar la ecuación de la recta tangente y normal al

punto dado.

a) y = x3 + 2x , (0,0). b) ; (8,4) c) ; (1,1) d) ; (4,2)

SOLUCIONES

EJERCICIOS DERIVADAS

Ejercicio nº 1.-

Calcula f '(2), utilizando la definición de derivada, siendo:

f (x) = 2x2 + 5x

Solución:

h

hhhlímh

hhlímh

fhflímfhhh

18510)44(218)2(5)2(2)2()2(2'2

0

2

00

13)132()132(1321851028800

2

0

2

0

hlím

hhhlím

hhhlím

hhhhlím

hhhh

Ejercicio nº 2.-

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f (x) = 2x2 - 3x + 1, que es paralela a la recta 2x + 3y - 1 = 0.

Solución:

:pendiente misma la tendrá ,3

120132 recta la a paralela es Si

xyyx

32'

y

127

374

3234'

xxxxf

Ordenada en el punto:

725

127

f

Ecuación de la recta tangente:

7223

32

127

32

725

xyxy

Ejercicio nº 3.-

Considera la función:

f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1

a) Estudia su crecimiento y halla sus máximos y mínimos.

b) Estudia su curvatura y obtén sus puntos de inflexión.

Solución:

a) f '(x) = 6x2 + 18x + 12

f '(x) = 0 6 (x2 + 3x + 2) = 0

2

12

132

893

x

xx

Signo de f '(x):

f (x) es creciente en (-, -2) (-1, +); es decreciente en (-2, -1). Tiene un máximo en (-2, -3) y un mínimo en (-1, -4).

b) f ''(x) = 12x +18

23

1218018120''

xxxf

Signo de f ''(x):

de punto un Tiene.,23 en cóncava es;

23, en convexa es

xf

.27,

23 en inflexión

Ejercicio nº 4.-

., hxxf

22 intervalo el en 3

1 función la de T.V.M. la Hallaa)2

b) Con el resultado obtenido, calcula f '(2).

Solución:

hhh

h

h

hfhfh

331)44(3

)3(3

1)2()2()2(2,2 T.V.M.a)

2

2

34

3)4(

3444 2 h

hhh

hhh

34

3)4(2)2(2b)

00

hlímh

fhflímf'hh

Ejercicio nº 5.-

Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva f (x) = 4x3 - 2x + 1 que son paralelas a la recta y = 10x + 2.

Solución:

Si son paralelas a la recta y = 10x + 2, tienen la misma pendiente; es decir, ha de ser:

f '(x) = 10

1

11121210212' 222

x

xxxxxf

Ordenadas en los puntos:

f (-1) = -1; f (1) = 3

Ecuaciones de las rectas tangentes:

- En x = -1 y = -1 + 10 (x + 1) y = 10x + 9

- En x = 1 y = 3 + 10 (x - 1) y = 10x - 7

Ejercicio nº 6.-

Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función:

f (x) = (x -2)2 (x + 1)

Di dónde es creciente, decreciente, cóncava y convexa.

Solución:

Derivada:

f '(x) = 2 (x - 2) (x + 1) + (x - 2)2 = (x - 2) [2 (x + 1) + x - 2] =

= (x - 2) (2x + 2 + x - 2) = 3x (x - 2) = 3x2 - 6x

2

00230'

x

xxxxf

Signo de f '(x):

f (x) es creciente en (-, 0) (2, +); es decreciente en (0, 2). Tiene un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0).

Segunda derivada:

f ''(x) = 6x - 6

f ''(x) = 0 6x - 6 = 0 x = 1

Signo de f ''(x):

f (x) es convexa en (-, 1); es cócava en (1, +). Tiene un punto de inflexión en (1, 2).

Ejercicio nº 7.-

Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50 céntimos de euro la unidad, vende una media de 200 helados diarios. Por cada céntimo que aumenta el precio, vende dos helados menos al día. Si el coste por unidad es de 40 céntimos, ¿a qué precio de venta es máximo el beneficio diario que obtiene el heladero? ¿Cual será ese beneficio?

Solución:

Llamamos x al número de céntimos en los que aumenta el precio. Así, cada helado costará 50 + x céntimos; y venderá 200 - 2x helados diarios.

Por tanto, por la venta de los helados obtendrá unos ingresos:

I (x) = (50 + x) (200 - 2x)

Pero tiene unos gastos de: G (x) = (200 - 2x) · 40

Luego, el beneficio será de:

B (x) = I (x) - G (x) = (50 + x) (200 - 2x) - (200 - 2x) · 40 = (200 - 2x) (50 + x - 40) =

= (200 - 2x) (x + 10) = -2x2 + 180x + 2 000

Hallamos x para que el beneficio sea máximo:

B '(x) = -4x + 180

B '(x) = 0 -4x + 180 = 0 x = 45

B ''(x) = -4; B ''(45) < 0 en x = 45 hay un máximo

Por tanto, obtendrá el máximo beneficio vendiendo cada helado a 50 + 45 céntimos de euro. En este caso, el beneficio sería de B (45) = 6 050 céntimos, es decir, de 60,50 euros.

Ejercicio nº 8.-

., hx

xf

11 intervalo el en 1

3 función la de T.V.M. la Hallaa)

b) Con el resultado obtenido, calcula f '(1).

Solución:

h

hh

hh

hh

hfhfh )2(2

)2(36

23

23

23

113

)1()1(1,1 T.V.M.a)

)2(23

)2(23

)2(2636

hhh

hhhh

43

)2(231)1(1b)

00

h

límh

fhflímf'hh

Ejercicio nº 9.-

.2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuación la Halla 02 xxxy

Solución:

Ordenada en el punto:

4162 y

Pendiente de la recta:

632

3232·632

1'22

xx

xxxx

y

872'

y

Ecuación de la recta:

49

872

874

xyxy

Ejercicio nº 10.-

Halla los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función:

1

222

x

xxxf

Solución:

Dominio R {1}

Derivada:

2

2

2

22

2

2

12

1222222

122122'

x

xxx

xxxxxx

xxxxxf

20

02020' 2

xx

xxxxxf

Signo de f' (x).

f (x) es creciente en (, 0) (2, ); es decreciente en (0, 1) (1, 2). Tiene un máximo en (0, 2) y un mínimo en (2, 2).

Ejercicio nº 11.-

La producción de cierta hortaliza en un invernadero (Q(x) en kg) depende de la temperatura (x en C) según la expresión: Q(x) = (x + 1)2 (32 - x)

a) Calcula razonadamente cuál es la temperatura óptima a mantener en el invernadero.

b) ¿Qué producción de hortaliza se obtendría?

Solución:

a) Buscamos el máximo de la función Q(x):

Q '(x) = 2 (x + 1) (32 - x) + (x + 1)2 · (-1) = (x + 1) [2 (32 - x) - (x + 1)] =

= (x + 1) [64 - 2x - x - 1] = (x + 1) (63 - 3x)

210363

1010'

xx

xxxQ

Q ''(x) = (63 - 3x) + (x + 1) · (-3) = 63 - 3x - 3x - 3 = -6x + 60

Q ''(-1) = 66 > 0 en x = -1 hay un mínimo.

Q ''(21) = -66 < 0 en x = 21 hay un mínimo.

Por tanto, la temperatura ha de ser de 21 C.

b) La producción en este caso sería de:

Q(21) = 5 324 kg

Ejercicio nº 12.-

Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente función. Halla sus máximos, mínimos y puntos de inflexión:

1912

234

xxxxf

Solución:

Derivada:

xxxxf 233

'23

2241106

0

03

63

60'2

223

xxx

xxxxxxxxf

3

0

x

x

Signo de f' (x):

f (x) es decreciente en (, 2) (0, 3); es creciente en (2, 0) (3, ). Tiene

.1,0 en máximo un Tiene .417,3 en otro y

97,2 en mínimo un

Segunda derivada:

23

2'' 2 xxxf

79,1

12,16

7626

724206230'' 2

xx

xxxxf

Signo de f '' (x):

f (x) es decreciente en (; 1,12) (1,79; ); es convexa en (1,12; 1,79). Tiene dos puntos de inflexión:

(1,12; 0,03) y (1,79, 1,99)

Ejercicio nº 13.-

Una huerta tiene actualmente 24 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que, por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para que la producción sea máxima? ¿Cuál será esa producción?

Solución:

Llamamos x al número de árboles que se plantan. Tenemos que el número de frutos sería:

f (x) (24 x) (600 15x) 15x2 240x 14 400

Buscamos x para que f (x) sea máxima:

f ' (x) 30x 240

88302400240300' xxxxf

Veamos que es un máximo:

f '' (x) 30 ; f '' (8) 30 < 0 en x 8 hay máximo. (Como f (x) corresponde a una parabola invertida, en x 8 está el máximo absoluto).

Por tanto, se deben plantar 8 árboles. Así, habrá un total de 24 8 32 árboles, que producirán 15 360 frutos.

Ejercicio nº 14.-

Halla la derivada de la función f (x), en x0 = -1, utilizando la definición de derivada:

2

14 2

xxf

Solución:

h

hh

límh

h

límh

fhflímf'hhh

25

21)21(4

25

21)1(4

1)1(1

2

0

2

00

4)42(2

)42(22

842

5148400

2

0

2

0

hlím

hhhlím

hhhlím

hhhlím

hhhh

Ejercicio nº 15.-

el con corte de punto el en 12 curva la a tangente recta la de ecuación la Obtén

xxy

eje de abscisas.

Solución:

Punto de corte con el eje X:

0,2 Punto202120

xxxxy

Pendiente de la recta:

222 )1(3

)1(21

)1()2(1'

xxxx

xxxy

31

932' y

Ecuación de la recta tangente:

32

312

31

xyxy

Ejercicio nº 16.-

Estudia los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función:

22124)(

xxxf

Solución:

Dominio = R - { 2 }

Derivada:

44

2

2)(x])124(2)2(4[)2(

)2()2(2·)124()2(4' xxx

xxxxxf

33 )2(164

)2(24884

xx

xxx

f '(x) = 0 -4x + 16 = 0 x = 4

Signo de f '(x):

f (x) es creciente en (-, 2) (4, +); es decreciente en (2, 4). Tiene un máximo en (4, 1).

Ejercicio nº 17.-

Un depósito abierto de latón con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros, ¿qué dimensiones debe tener para que su fabricación sea lo más económica posible?

Solución:

Llamamos x al lado de la base e y a la altura del depósito. Así, el volumen es:

232 0004dm 0004

xyyxV

La superficie total del depósito (recordemos que está abierto) será:

0;000160004·44 222

2 xxx

xx

xxxyA

Buscamos x para que A sea mínima:

2

3

2

200016200016'x

xxx

A

A' 0 16 000 2x3 0 2x3 16 000

dm2000080008200016 33 xx

Veamos que es un mínimo:

mínimohay 20 en020'',200032'' 3 xAx

A

Por tanto, el lado de la base debe medir x 20 dm y la altura, y 10 dm.

PROBLEMAS CON ENUNCIADO DE OPTIMIZACION.

1. Hallar dos enteros cuya suma es 12 y cuyo producto sea máximo. (Rp:6y6).

2. La suma de dos números enteros positivos es 12. Hallarlos si:

a. la suma de sus cuadrados es mínima. (Rp:6y6)b. El producto de uno por cuadrado del otro es máximo. (Rp:4y8)c. El producto de uno por el cubo del otro es máximo. (Rp:3y9)

3. Determine dos números cuya suma sea 10 y tales que su producto sea máximo.(Rp.: 5 y 5)

4. Determine dos números positivos cuya suma sea 75, tales que el producto de uno por el cuadrado del otro sea máximo. (Rp.: 50 y 25)

5. Determine dos números cuya suma sea 16 de tal forma que su producto sea tan grande como sea posible. (Rp.:8 y 8)

6. Estudiar el movimiento de una partícula que se mueve en una recta horizontal, tal que;a. 36 23 ttsb. 375 23 tttsc. 41 2 ttvd. 41 tve. 296 23 ttts

7. En una página se han de imprimir 54’ cuadradas. Si los márgenes han de tener 1’

arriba y abajo, '211 a los lados. Hallar las dimensiones más económicas para la

página. (Rp:12’ y 8’)

8. Se trata de encerrar un prado rectangular usando cerca de alambre en 3 lados y un seto como cuarto lado, con 800 m de alambre. ¿Cuál es el área máxima que se puede cercar?. 2000.80: mRp

9. A un campo rectangular se le va a poner una cerca y se le va a dividir en dos campos más pequeños por una valla paralela a uno de sus lados. Hallar las dimensiones del campo máximo que se pueda rodear con 300m de cerca.

Rp:75 y 50m)

10. Con una hoja cuadrada se desea hacer una caja del mayor volúmen posible, sin tapa.

Hallar el volumen de la caja.

3

272: aRp

11. Hallar las dimensiones de la máxima caja abierta que se puede fabricar con una lámina cuadrada de hojalata, de 24 cm de lado, cortando cuadrados iguales en sus esquinas y doblando los lados. (Rp:16 y 4cm)

12. Hallar las dimensiones de un cilindro de volumen V, de modo que se cumple una mínima cantidad de material en su construcción.

32Vr ; rh 2

13. Un recipiente cilíndrico de base circular ha de tener 364cm . Hallar las dimensiones de modo que la cantidad requerida sea mínima (área);

a. si el recipiente no tiene tapa.

3

4:

hrRp

b. si el recipiente está tapado 322

r ; rh 2

14. Un matrimonio dispone de alambre suficiente para construir una valla de 100 pies. Ellos desean usarlo para cercar 3 lados de un jardín rectangular, cuyo cuarto lado bordea un edificio. ¿Cuáles deberían ser las medidas del jardín para que la valla abarque el área máxima posible?

(Rp:1250 pies)

15. Si se cortan4 cuadrados congruentes en las esquinas de un cartón cuadrado y tiene 12’ de lado, y se doblan sus cuatro lados, se obtiene una caja sin tapa. ¿Cuál debería ser el tamaño de los cuadrados que se cortan para obtener una caja de volumen máximo? (Rp:128 3lgpu )

16. De todos los recipientes metálicos cilíndricos que encierran un volumen de 100 pulgadas cubicas. ¿Cuál de ellos requiere la menor cantidad de material?.

rhhRp 2;502: 3

17. Entre todos los recipientes cilíndricos sin tapa y de 100 pulg. Cúbicas. ¿Cuál requiere menos material?. (Rp:r=h)

18. Entre todas las cajas rectangulares cerradas con base cuadrada y de 1000 pulg. cúbicas de volumen. ¿En cuál se usa menos material?

3lg1000: puRp

19. ¿Cómo deberían elegirse dos números no negativos, cuya suma sea 1, para minimizar la suma del cuadrado de uno y el cubo del otro?

(Rp:0,45 y 0,54)

20. Un granjero quiere construir un corral rectangular y dividirlo por una valla paralela a uno de los lados. Dispone de 240 m de alambre. ¿Cuáles son las dimensiones del corral de área máxima que puede encerrar?

(Rp:2.400 2m )

21. Una página impresa ha de contener 50 2cm impreso, con 4 cm marginales arriba y abajo, y 2 cm marginales a los lados. Encuentre las dimensiones de la hoja a imprimir de forma que su área sea mínima.

(Rp:162 2cm )

Ejercicio

Ejercicio

Ejercicio

:

Ejercicio

:

Ejercicio

   

Derivada de una función logarítmicaEjercicio

:

Ejercicio

Ejercicio

Ejercicio

Ejercicio

 

 

Derivada de una función exponencial con base el número eEjercicio

Ejercicio

Ejercicio

Ejercicio

Ejercicio

Ejercicio

 

Derivada de una función exponencial con base distinta del

número e Ejercicio

Solución:

Ejercicio

Solución:

Ejercicio

Solución:

Ejercicio

Solución:

Ejercicio

Solución:

 

 

Derivada de una función trigonométrica tipo seno  

Ejercicio

Solución:

Ejercicio

Solución:

Ejercicio

Solución:

Ejercicio

Solución:

Ejercici

Solución.

 

 

Derivada de una función trigonométrica tipo coseno  

Ejercicio

Soluciónución:

Ejercicio

Soluciónución:

Ejercicio

Solución:

Ejercicio

Solución:

Ejercicio

Solución:

 

 

Derivada de una función trigonométrica tipo tangente  

Ejercicio

Solución:

Ejercicio

Solución:

Ejercicio

Solución:

Ejercicio

Solución:

Ejercicio

Solución:

 

 

Derivada de una función trigonométrica tipo arco tangente  

Ejercicio

Solución:

Ejercicio

Solución:

Ejercicio

Solución:

Ejercicio

Solución:

Ejercicio

Solución:

 

Ap l i c a nd o l a s p r o p i ed a des d e l o s l o g a r i tmo s te nemo s :

Ap l i c a nd o l a s p r o p i ed a des d e l o s l o g a r i tmo s te nemo s :