II SEGUNDO SEMESTREIntegral Definida UISEK - 2010 Sept 2011

Profesor: Hernán Carrasco MongeProfesor: Hernán Carrasco MongeProfesor: Hernán Carrasco MongeProfesor: Hernán Carrasco Monge

Tema : Integral Definida

Para el estudio de la integral definida debemos considerar la existencia de

una función positiva y continua en un intervalo cerrado [ a , b ].

Recordemos que una partición de un intervalo cerrado [ a , b ] genera n

subintervalos de la forma :

[ ] [ ] [ ] [ ]x x x x x x x xn n0 1 1 2 2 3 1, , , , , ,.................. ,−

de n es entero positivo y los extremos satisfacen las desigualdades:

a x x x x x bn n= < < < < < =−0 1 2 1.................. , donde cada subintervalos tiene

longitud ∆ x i iix x= − −1.

Sea [ ]b,aP una partición de [ a , b ]. Al mayor valor que toma

n,1i,i,1x =∀∆ se le llamara la norma de la partición y se denotara por || P ||.

∆ ∆ ∆ ∆ ∆x x x x xn1 2 3 4678674 84 678678 678

a x= 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x n −1 x bn =


2

Definición

Sea f una función definida en un intervalo cerrado [ a , b ] y sea p

una partición de [ a , b ]. Una suma de Riemann de f para P es cualesquier

expresión de la forma : S ( f ; P ) = f xii

n

i( )ξ=∑

1

∆ , donde ξ i es algún valor del

intervalo ] [i1i x,x − para I = 1, 2 ,3...n.

Definición

Sea f una función definida en un intervalo cerrado [ a , b ] y L un

número real , tal que Lx)(fLim i

n

ii

0p=∑→

∆ξ , entonces L se llama el limite de la

suma de Riemann.

Definición

Sea f una función definida en un intervalo cerrado [ a , b ]. La integral

definida de f desde a hasta b denotada por f x d xa

b

( )∫ , está dada por :

Siempre que él limite exista.

i

n

ii0p

b

a

x)(fLimxd)x(f ∆ξ∑∫ →=


3

Notación :

f x d xa

b

( )∫

Propiedades

a.- Si a > b ⇒ f x d xa

b

( )∫ = - f x d xb

a

( )∫ , si existen las integrales.

b.- Si f ( a ) existe, entonces f x d xa

a

( )∫ = 0

Teorema

Si f es continua en [ a , b ] , entonces es integrable en [ a , b ]

Propiedades de la Integral Definida

1.- k f x d x k f x d xa

b

a

b

( ) ( )= ∫∫

2.- d x b aa

b

= −∫

Limite Superior Limite Inferior Integrando Variable de integración


4

3.- ∫∫ ∫ +=+b

a

b

a

b

a

xd)x(gxd)x(fxd))x(g)x(f(

Teorema

Si a < c < b y f es integrable tanto en [ a , c ] como en [ c , b ], entonces f es

función integrable en [ a , b ] y

Teorema

Si f es integrable en [ a , b ] y si f x( ) ≥ 0 para todo x que pertenece al

intervalo [ a , b ], entonces f xa

b

( ) ≥∫ 0 .

Teorema

Si f es integrable en [ a , b ] y si f x g x( ) ( )≥ para todo x que pertenece al

intervalo [ a , b ], entonces f x g xa

b

a

b

( ) ( )≥∫ ∫ .

Demostración :

Sea h ( x ) = g ( x ) – f ( x ) , la cual es una función que satisface la

condición h ( x ) >0 para todo x en [ a , b ], en consecuencia por teorema anterior

se tiene que ∫ ≥b

a

0)x(h ⇒

f x d x f x d x f x d xa

c

a

b

c

b

( ) ( ) ( )= +∫∫ ∫


5

∫∫ ∫∫ >−=−=b

a

b

a

b

a

b

a

0xd)x(fxd)x(gxd))x(f)x(g(xd)x(h

Luego podemos concluir que ∫∫ >b

a

b

a

xd)x(fxd)x(g

Teorema

Si f es una función continua en el intervalo [ a , b ], alcanza en él un valor

máximo absoluto M y un valor mínimo absoluto m. Entonces :

Demostración

m ≤ f ( x ) ≤ M

m ∆ xi ≤ f ( x ) ∆ xi ≤ M ∆ xi

m x f x x M xii

n

ii

n

i ii

n

∆ ∆ ∆= = =∑ ∑ ∑≤ ≤

1 1 1

( )

m x f x x M xii

n

ii

n

i ii

n

∆ ∆ ∆= = =∑ ∑ ∑≤ ≤

1 1 1

( )

m b a f x x M b aii

n

i( ) ( ) ( )− ≤ ≤ −=∑

1

∆

)ab(Mx)x(flim)ab(m i

n

1iin

−≤≤− ∑=∞→

∆

)ab(Mxd)x(fx)x(flim)ab(mb

ai

n

1ii

n

−≤=≤− ∫∑=∞→

∆

m b a f x d x M b aa

b

( ) ( ) ( )− ≤ ≤ −∫


6

m b a f x d x M b aa

b

( ) ( ) ( )− ≤ ≤ −∫

Por lo tanto, existe un valor c ∈] a , b [ tal que:

ab

xd)x(f

)c(f

b

a

−=∫

Lo cual genera el Teorema del Valor medio para integrales .

Teorema ( del valor Medio )

Si la función f ( x ) es continua en el intervalo [ a , b ], existe en éste

intervalo un punto c tal que satisface :

bcaab

xd)x(f

)c(f

b

a <<−

=∫

Ejemplo :

a.- Demuestre que : 72

6 9 1352

3

12

42≤ − + + ≤∫ ( )x x x d x

Solución :

f x x x x( )= − + +3 26 9 1 ⇒ f x x x′ = − +( ) 3 12 92

f x′ =( ) 0 ⇒ 3 12 9 3 3 1 02x x x x− + = − − =( )( )


7

luego los valores críticos son x = 3 y x = 1. Calcularemos la

segunda derivada : f x x′′ = −( ) 6 12 ⇒ f ′′ = − <( )1 6 0 , ∴ f ( 1 ) = 5 es un

valor máximo de la función, análogamente se verifica que f ′′ = >( )3 1 0 , en

consecuencia f ( 3 ) = 1, es un mínimo . Es decir M = 5 y m = 1, luego obtenemos

la relación:

1 ( 4 - 12

) ≤ ( )x x x d x3

12

426 9 1∫ − + + ≤ 5 ( 4 -

12

)

235

xd)1x9x6x(27 2

4

21

3 ≤++−≤ ∫

b.- Calcular el límite de la sucesión: xd)e1(n1

a2

2

xn

n2n

−+= ∫

Solución :

Sea f ( x ) = 1 + e x− 2

función continua, para todo x en los reales,

aplicando el T.V.M. tenemos :

xd)e1(n1

a2

2

xn

n2n

−+= ∫1

12

2 2

nn n e( ) ( )− + ξ

Donde n < ξ < n 2 , luego si n → ∞ ⇒ → ∞ξ , en consecuencia

1)01(1)e1(Limn

nnLimaLim

2

ξ2

2

nnn=+=+=−= −

∞→∞→∞→

ξ

Lim an

n→∞= ⇒1 1xd)e1(

n1

Lim2

2

nn

n2n

=+ −

∞→ ∫ .


8

Teorema ( Fundamental del Cálculo )

Si la función f ( x ) es continua en el intervalo [ a , b ]. Si F es una anti

derivada de f, entonces :

Ejemplo :

a.- Calcular e d xx

0

1

∫

Solución :

e d x e ex x

0

1 1

01∫ = = −

b.- Calcular Cos x d x( )0

2

π

∫

Solución :

Cos x d x Sen x( ) ( )0

2

20

1

π

π∫ = =

c.- Calcular x d x−−∫ 11

2

f x d x F x F b F aa

b

ab( ) ( ) ( ) ( )∫ = = −


9

Solución

x d x x d x x d x− = − + −− −∫ ∫ ∫1 1 11

2

1

1

1

2

( ) ( )

x d x xx x

x− = −−

+ − =−∫ 1

2

1

1 2

2

152

1

2 2 2

( ) ( )

Ejercicio

Calcular los limites de las siguientes sumas:

a.-

−++++∞→ 2222n n

1n............

n3

n2

n1

Lim

b.-

+++

++

++

+∞→ 22222222n nnn

............3n

n2n

n1n

nLim

Solución

Caso 1 :

como n1

x =∆ ni

i =ξ⇒

−++++∞→ 2222n n

1n............

n3

n2

n1

Lim = nI

n1

Lim1n

1in∑

−

=∞→

−++++∞→ 2222n n

1n............

n3

n2

n1

Lim = ∑−

=∞→∆∆

1n

1in

x)xi(Lim

= ∑−

=∞→∆ξ

1n

1iin

x)(fLim = xdx1

0∫ =

21

2x

1

0

2

=

-1 1 2

0 1


10

luego

−++++∞→ 2222n n

1n............

n3

n2

n1

Lim = 21

Caso 2:

+++

++

++

+∞→ 22222222n nnn

............3n

n2n

n1n

nLim = ∑

=∞→ +

n

1i22n in

nLim

∑=∞→

+

n

1i22

2

n inn

n1

Lim = ∑=∞→

+

n

1i2n

ni

1

1n1

Lim

como n1

x =∆ ni

i =ξ⇒ i

2i 11

)(fξ+

=ξ luego

+++

++

++

+∞→ 22222222n nnn

............3n

n2n

n1n

nLim =

4)x(arctg

x1xd 1

0

1

02

π==+∫

Definición

Sea f ( x ) una función continua , se llama integral indefinida de f a

la función φ ( ) ( )x f u dua

x

= ∫ .

Propiedades

a.- Si f ( x ) es una función continua en [ a , b ], la función φ ( )x

es continua si a es un punto cualquiera del intervalo.

b.- Si f ( x ) > 0 entonces la función φ ( )x es creciente.


11

c.- Si f ( x ) < 0 entonces la función φ ( )x es decreciente.

d.- Si f ( x ) = 0 entonces la función φ ( )x es constante

e.- φ ( ) ( )x f u dua

x

= ∫ ⇒ φ′ =( ) ( )x f x

Ejemplo :

a.- Calcular ∫

−→

x

0

t

x0xtde

e1

xLim

2

2

Solución :

∫

−→

x

0

t

x0xtde

e1

xLim

2

2 = 2

2

x

x

0

t

0x e1

tdex

Lim−

∫→

este limite tiene la forma 00

, luego aplicaremos regla de L´Hopital :

2

2

x

x

0

t

0x e1

tdex

Lim−

∫→

= 2

22

x

xx

0

t

0x ex2

extde

Lim−

+∫→

1x21

)x1(Lim

e2ex4

ex2e2Lim

2

2

0xxx2

x2x

0x22

22

−=++−=

−−+

→→

∫

−→

x

0

t

x0xtde

e1

xLim

2

2 = - 1.

b.- Usando la definición la función logaritmo natural, para todo

x > 0 dada por : Ln ( x ) = 1

1tdt

x

∫ . Determine el valor de


12

Ln ( Limxnn

n

→∞+( ) )1 .

Solución :

Ln ( Limxnn

n

→∞+( ) )1 = Lim L n

xnn

n

→∞+( ( ) )1

= Lim n L nxnn→∞

+( ( ) )1

= Lim nt

d tn

x

n

→∞

+

∫( )1

1

1

aplicando T.V. M.

= Lim nxn

fn→∞

( ( ) )ξ = Lim nxnn→∞

( )1ξ

11

nsi

nx

1

111

nx

11 →⇒∞→∴+

>>⇒+<<ξξ

ξ

Lim xn→∞

( )1ξ

= x Limn→∞

( )1ξ

= x

Ln ( Limxnn

n

→∞+( ) )1 .= x.

Teorema de Cambio de Variable

Si la función u = g ( x ) tiene derivada continua en el intervalo [ a, b ]

y f tiene una primitiva en el recorrido de g, entonces :

∫∫ =′)b(g

)a(g

b

a

ud)u(fxd)x(g))x(g(f


13

Ejemplo

Calcular xd)1x(x

14

13∫ +

Solución

Sea u2 = x entonces 2 u d u = d x

xd)1x(x

14

13∫ +

= ( )

2

13

1

2u

u udu

+∫

= ( )

21

31

2du

u +∫

= 365

)1u(2

1

2 =+− −

Definición :

Sea f ( x ) > 0 ∀ x , x ∈ Dom f , entonces el área acotada por la

curva de la función, las rectas x = a; x = b y el eje x está dada por

la integral definida:

∫=b

a

xd)x(fA

a b

A

Y = f ( x )

x u

1

4

1

2


14

Ejemplo:

Calcular el área de la figura acotada por las curvas: 2xy = , x = 1 , x =2 y

el eje x.

Solución:

A = ∫2

1

2 xdx = 2

1

3

3x

A = 37

u. de a.

Ejemplo:

Calcular el área de una circunferencia cuya ecuación es 222 ayx =+ .

Solución:

22 xay −= , luego calcularemos

el área total por :

A = 4 ∫a

0

xd)x(f

A = 4 ∫ −a

0

22 xdxa

para calcular está integral consideraremos la sustitución trigonométrica :

x = a sen ( t ), luego d x = a co s ( t ) d t y t = arcsen ( ax

)

( a , 0 )

( 0, a )

1 2

x

y


15

x t

0

a

0

2π

A = 4 ∫ −a

0

22 xdxa = td)t(cosa)t(senaa42

0

222∫

π

−

= td)t(cosa)t(sen14 22

0

2∫

π

− = td)t(cosa4 222

0∫

π

A = π

ππ

22

0

2

0

2 a)4

)t2(sen2t

(a4 =+ luego A = π2a

Observaciones:

a.- Si la función es negativa en un intervalo [ a , b ] entonces el

área limitada por su gráfica, las rectas x = a , x= b y el eje x , está dada por

la relación:

g ( x ) = - f ( x )

A = ∫b

a

xd)x(g

Y = f ( x )

x

y Y =g ( x )


16

Ejemplo:

a.- Calcular el área de la figura limitada por el eje x , las

rectas x = -1 , x = 1 y la curva 3xy = .

Solución:

Como las dos áreas son simétricas

Podemos calcular el área total por

A = 2 xdx1

0

3∫ = 2

21

4x

1

0

4

=

Definición

El área limitada entre las gráficas y = f ( x ) , y = g ( x ) y las rectas x = a y

x = b, está dada por:

A = ∫ −b

a

xd))x(g)x(f(

Ejemplo

Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones

y x= −2 1 ; y = x.

-1

1


17

Solución

y x= −2 1

y = x.

a = -.0618 ; b = 1.618

A = ∫ −−b

a

2 xd)1x(x(

A = x x

xa

b

a

b

a

b2 3

2 3− + =

1.574

Ejercicio

Calcular el área limitada por la gráfica de la función y x x x= − −3 2 6

y el eje x.

Solución

y x x x= − −3 2 6 = x ( x - 3 ) ( x + 2 )

A x x x d x13 2

2

0

6= − −−∫ ( )

A1 = (3

16)x3

3x

4x

0

2

2

0

2

30

2

4

=−−−−−

A x x x d x23 2

0

3

6= − − −∫ ( )


18

A2 = -(4

63x3

3x

4x

3

0

2

3

0

33

0

4

=−− luego se tiene que el área total es :

A t =3

79 unidades de área

Ejercicio

Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y x2 1= − e

y x2 114

= −

Solución

[ ]∫ −−−=1

0

22 yd)y1()y1(42A

=A

−=

−

31

163y

y61

0

31

0 +

A = 4 u. de a.

Ejercicio :

Calcular el área encerrada por la astroide :

x = 2 Cos3 ( θ ) donde θ ∈ [ 0 , 2π ]

y = 2 Sin3 ( θ )


19

Solución :

A Sin Cos Sin dt = −∫4 2 63

2

02

π

θ θ θ θ( ) ( ) ( ( ) )

θθθ

π

d)(Cos)(Sin48A 22

0

4t ∫=

Fórmula de reducción:

xd)x(Sin)x(Cosnm1n

nm)x(Cos)x(Sen

xd)n(Sin)x(Cos 2nm1m1n

nm −+−

∫∫ +−+

+−=

+−= ∫2

0

222

0

33

t xd)x(Sin)x(Cos21

6)x(Cos)x(Sen

48A

ππ

+−= ∫2

0

22

0

3

t xd)x(Cos41

4)x(Cos)x(Sen

24A

ππ

=

+= 2

0

2

0t 4

)x2(Sin2x

6A

ππ

π23


20

Coordenadas Polares:

En el sistema de coordenadas polares un punto P puede ser

ubicado por medio de un haz de circunferencias concéntricas, donde el centro o,

es llamado polo .

Tomemos una recta que pase por el polo, a la cual llamaremos eje polar,

Luego un punto en el sistema de coordenadas polares que determinado por su

radio polar R y su ángulo polar θ: P ( R , θ ).

Observación :

Un punto P ( R , θ ), puede ser representado por θ o por 2 K π θ , donde k

es un número entero.

Conversión de Coordenadas Polares a Coordenadas Rec tangulares .

Para establecer la representación de un punto dado en coordenadas

polares, en un sistema de coordenadas rectangulares, debemos hacer coincidir el

polo del sistema polar con el origen del sistema rectangular, como así mismo el

eje polar con el eje x.

Eje polar Polo

( R , θ )


21

Luego X = R Cos ( θ ) e Y = R Sen (θ ) en consecuencia las

coordenadas polares del punto P son ( R Cos (θ ) , R Sen (θ)).

En forma análoga podemos transfornar un punto dado en

coordenadas cartesianas a coordenadas polares:

222 Ryx)(SenRy

)(CosRx=+⇒

θ=θ=

, luego

=

+=

)xy

(tgArc

yxR 22

θ

Observaciones

a.- Si el ángulo θ > 0, entonces este se mide en el sentido

contrario al movimiento de los punteros del reloj.

θ

origen polo

Eje polar

Eje X

P ( R, θ )

( 2 , 4

π )

4π

Eje Polar


22

b.- Si el ángulo θ < 0, entonces este se mide en el sentido del

movimiento de los punteros del reloj.

Ejemplos

Representar en el sistema de coordenadas polares los puntos:

a.- ( 4

,2π− ) b.- (

4,2

π−− ) c.- ( 0,2 )

d.- ( π− ,2 ) e.- ( π,2 ) f.- ( 0,2− )

Soluciones ( -2 ,

4π− ) (2 ,

4π )

4π

( 2 , π ) ( 2 , 0)

( -2 , 4

π ) ( 2 , 4

π− )

Definición

Una ecuación cartesiana puede representarse por: R = f ( θ ), donde θ es el parámetro de la función.

4π−

4π−

( 2 , 4

π− )

Eje Polar


23

Ejemplo

a.- Para obtener la ecuación en coordenadas polares de una recta cuya

ecuación es y = x, basta reemplazar x = R Cos ( θ) e y = R Sen (θ ) en dicha ecuación y resolver la ecuación trigonométrica. Y = x ⇒ Sen ( θ) = Cos(θ), luego tg (θ) = 1 , en consecuencia la

ecuación polar de esta recta es θ = 4π

Toda recta que pasa por el origen tiene por ecuació n polar

α=θ b.- Analizaremos que ocurre con las ecuaciones polares de

circunferencias trasladadas sobre los ejes de coordenadas: Caso 1.-

a.- Consideremos una circunferencia con centro en ( b , 0 ) y radio R = b.

222 by)bx( =+−

bx2yx 22 =+

)(CosRb2R 2 θ=

)(Cosb2R θ=


24

b.- Consideremos una circunferencia con centro en ( -b , 0 ) y

radio R = b.

Caso 2.- a.- Consideremos una circunferencia con centro en ( 0 , a ) y

radio R = a.

222 by)bx( =++

bx2yx 22 −=+ )(CosRb2R 2 θ−=

)(Cosb2R θ−=

donde π≤θ≤0

222 a)ay(x =−+

ay2yx 22 =+ )(SenRa2R 2 θ=

)(Sena2R θ=

donde π≤θ≤0


25

b.- Consideremos una circunferencia con centro en ( 0 , -a ) y

radio R = a.

c.- La Cardioide es una curva cuya ecuación polar es:

R = 1 – Cos ( θ ) donde 0 ≤ θ ≤ 2 π

Esta gráfica se puede obtener dando valores al parámetro θ entre o y 2 π . Pero también se puede utilizar el Software Maplee, de la siguiente manera:

Formato General para representar una curva en coord enadas polares

plot([r(t),t,t=valor inicial..valor final ], coords =polar); Parámetros:

r(t) : Ecuación polar t : ángulo de rotación

coords=polar : Especifica que la representación debe ser en un sistema de coordenadas polares.

222 a)ay(x =++

ay2yx 22 −=+ )(SenRa2R 2 θ−=

)(Sena2R θ−=

donde π≤θ≤0


26

a.- Si consideramos la ecuación polar de la cardioide: R = 1 ± Cos ( θ ) ,

entonces:

� Plot ( [ 1 – Cos ( θθθθ ) , θθθθ, θθθθ=0..2*Pi ], coords = polar );

� plot ( [ 1 + Cos ( θθθθ ) , θθθθ, θθθθ=0..2*Pi ], coords = pola r );

c.- Una curva interesante es la definida por la ecuación polar

R = )3/t(sin2 3 la cuál podemos representar por:

�

� plot ( [ 2*( Sen ( θθθθ/3 ))^3 , θθθθ , θθθθ = 0 .. 3*Pi ] , coords = polar );


27

d.- Las Ecuaciones R = a sin ( n θ ) , R = cos ( n θ ) , con n

mayor o igual que dos 2, generan rosas de 2n pétalos si n es

un número par y positivo y rosas de n pétalos si n es un

número impar y positivo.

� plot ( [ 2*( Sen ( 3* θθθθ ))^3 , θθθθ , θθθθ = 0 .. 2*Pi ] , coords = polar );

� plot ( [ 2*( Sen ( 2* θθθθ ))^3 , θθθθ , θθθθ = 0 .. 2*Pi ] , coords = polar );

Área en coordenadas Polares

Si R = f ( θ ) representa una curva en coordenadas polares,

donde α < θ < β, entonces el área acotada por la curva y los

correspondientes ángulos polares está dada por la relación:

R = 2 sen ( 3 θ )

R = 2 sen ( 2 θ )

∫β

α

θθ= d])(f[21

A 2

β=θ

α=θ

A


28

Ejemplo: Calcular el área de la curva R = θe , donde 0=θ , π=θ

Solución:

A = =θ∫π

θ d]e[ 2

0

θ

π

θ de0

2∫ = )1e(

21

2e 2

0

2

−= π

πθ

Ejemplo: Calcular el área limitada por la curva )3(sen4R θ= .

Solución :

Sen ( 3 θ ) = 0 ⇒ 6

0π=θ∨=θ , luego:

θθ= ∫

π

d)3(sen1621

A6

0

21 du)u(sen16

21 2

0

2∫=

π

32

]4

)u2(sen2u

[38

A2

0

2

01

π=−=

ππ

π4A6A 1t ==⇒

R = θe


29

Longitud de Arco:

Sea ℜ→ℜ⊆= ]b,a[f , una función continua y derivable en Dom f y

]b,a[P una partición de [ a , b ] , la poligonal que un punto :Pi )x(f,x( ii ) con el

punto 1IP − : )x(f,x( 1i1i −− ) la denotaremos por iL .

Luego 21ii

21iii1i ))x(f)x(f()xx()P,P(d −−− −+−=

)xx()xx(

))x(f)x(f(1)P,P(d 1ii

2

21ii

1iii1i −

−

−− −

−−

+=

pero por Teorema del Valor Medio para funciones, tenemos que:

1ii

1iii xx

)x(f)x(f)(f

−

−

−−

=ξ′ , donde ii1i xx <ξ<−

iL = i2

i x])(f[1 ∆ξ′+

1iP −

iP

iL

a b


30

=∑=

n

1iiL ∑

=

∆ξ′+n

1ii

2i x])(f[1

como la función f es continua , entonces 2i ])(f[1 ξ′+ es una función

continua, luego si aplicamos limite cuando n tiende a infinito, tenemos que:

=∑=

∞→

n

1iin

LLim∞→n

Lim ∑=

∆ξ′+n

1ii

2i x])(f[1 , luego la longitud de arco ,

está dada por la relación

]b,a[L xd])x(f[1b

a

2∫ ′+

Ejemplo:

Sea f ( x ) = Ln ( x ), calcular la longitud del arco de curva , desde

5xhasta,3x == .

Solución

xdx1

1L5

3

2

∫

+=

xdx

1xL

5

3

2

∫+

=

Calcularemos la integral:

∫+

xdx

1x 2

= ∫ ++

xd1xx

1x2

2

= ∫ + 1xx

xd2

+ ∫ +xd

1x

x2

Sea x = tg ( θ ) entonces d x = sec2 ( θ ) d θ , luego:


31

Caso 1:

∫ + 1xx

xd2

= ∫ +θθθθ

1)(tg)(tg

d)(sec2

2

= ∫ θθθ

)(tgd)(sec

= ∫ θθ d)(eccos

= Ln ( cosec (θ ) - cotg (θ ) )

= Ln

−

+x1

x

1x 2

Caso 2:

∫ +xd

1x

x2

= 1xuudu

121 2 +==∫

donde u = x2 + 1 y d u = 2 x d x

xdx

1xL

5

3

2

∫+

= =

5

3

2

x1

x

1xLn

−

+ +

5

3

2 1x +

L = 1 + ln ( )3

1(Ln)

2

1 − = 1 + 21

)23

(Ln

Ejemplo :

Hallar la longitud de curva definida por:

td1eyx

0

t2∫ −= , donde a ≤ x ≤ b

Solución

2x22 ]1e[1]y[1 −+=′+ = x2e ⇒ x2 e]y[1 =′+


32

abb

a

x eexdeL −== ∫ς

Observación

Si la curva está dada por las ecuaciones paramétricas:

bta)t(y

)t(x≤≤⇒

ϕ=φ=

, luego la longitud de arco está expresada

por ∫ ϕ′+φ′=ς

b

a

22 td])t([])t([L

Ejemplo:

Hallar la longitud del arco de la envolvente del círculo :

X = a ( Cos ( t ) + t Sen ( t ) )

Y = a ( Sen ( t ) – t Cos ( t ) ) desde t =0 a t = T.

Solución:

))t(Cost)t(Sen)t(Sen(a)t(X ++−=′

)1()t(Costa])t(X[)t(Costa)t(X 2222 =′⇒=′

))t(Sent)t(Cos)t(Cos(a)t(Y +−=′

)2()t(Senta])t(Y[)t(Senta)t(Y 2222 =′⇒=′

Luego de ( 1 ) y ( 2 ) tenemos que :

[ ta])t(Y[])t(X[ta])t(Y[])t(X[ 222222 =′+′⇒=′+′

2T

0

T2a

tdtaL == ∫ς

Ejemplo:

Hallar la longitud de la circunferencia cuyas ecuaciones paramétricas son:

x = a Cos ( t ) e y = a Sen ( t ) , donde 0 ≤ t ≤ 2 π.


33

Solución:

)t(Sena])t(x[)t(Sena)t(x 222 =′⇒−=′

)t(Cosa])t(y[)t(Cosa)t(y 222 =′⇒=′

luego )t(Cosa)t(Sena])t(y[])t(x[ 22 +=′+′

a2tdaL2

0

π== ∫π

ς .

Ejemplo:

Hallar la longitud de arco de la cicloide:

x = 2 ( t - Sen ( t ) ) e y = 2 ( 1 – Cos ( t )),

Solución:

Para obtener la gráfica de la cicloide, usaremos la siguiente

instrucción para el Maplee:

� plot ( [ 2* ( t - sin(t)) , 2* ( 1 - cos(t)), t=0. .2*Pi ] ) ;

))t(Cos)t(Cos21(4]x[))t(Cos1(2x 22 +−=′⇒−=′

))t(Sin4]y[)t(Sin2y 22 =′⇒=′ , luego se tiene que:


34

)t(Cos122))t(Cos22(4]y[]x[ 22 −=−=′+′

2t

Sin42t

Sin222]y[]x[ 222 ==′+′

td2t

Sin4td2t

Sin222xd]y[]x[L2

0

2

0

22

0

22∫∫∫

πππ

ς ==′+′=

16)2t

(Cos8L2

0

=−=π

ς

Observación . Si la curva está dada en coordenadas polares, es decir tiene la

forma R = f ( θ ), donde x = R Cos (θ ) e y = R Sin (θ ), luego

podemos encontrar las correspondientes derivadas:

)(Sin)(f)(Cos)(f)(x)(Cos)(fx θθ−θθ′=θ′⇒θθ=

)(Cos)(f)(Sin)(f)(y)(Sin)(fy θθ+θθ′=θ′⇒θθ=

)(Sin])(f[)(Cos)(Sin)(f)(f2)(Cos])(f[])(x[ 22222 θθ+θθθθ′−θθ′=θ′

)(Sin])(f[)(Cos)(Sin)(f)(f2)(Cos])(f[])(y[ 22222 θθ+θθθθ′+θθ′=θ′

2222 ])(f[])(f[])(y[])(x[ θ+θ′=θ′+θ′

2222 ])(f[])(f[])(y[])(x[ θ+θ′=θ′+θ′


35

θθ+θ′=θθ′+θ′= ∫∫β

α

β

ας d])(f[])(f[d])(y[])(x[L 2222

Ejemplo:

Calcular la longitud de arco de la cardioide R = 2 ( 1 – Cos ( θ ))

Solución:

� plot ( [ 2* ( 1 - cos( t ) ), t=0..2*Pi ], coords =polar ) ;

∫π

ς θθ+θ−=2

0

22 d)(sen4))(cos1(4L

∫π

ς θθ+θ+θ−=2

0

22 d)(sen)(cos)(cos212L

∫π

ς θθ−=2

0

d)(cos222L

θθ+θ′= ∫β

ας d])(f[])(f[L 22


36

∫π

ς θθ−=2

0

d)(cos122L

∫π

ς θ

θ=2

0

d2

sin4L = ( ) πθ−2

02cos(8 )

16L =ς

Ejemplo:

Calcular la longitud de arco de la curva

θ=3

sen2R 3

Solución:

� plot ( [ 2* ( sin( t / 3 ) ^ 3 ), t = 0 .. 3*Pi ] ,

coords=polar ) ;

∫π

ς θ

θ+

θ

θ=3

0

624 d3

sen43

cos3

sen4L


37

∫π

ς θ

θ+

θ

θ=3

0

224 d)3

sen3

cos(3

sen4L

∫π

ς θ

θ=3

0

4 d3

sen4L

∫π

ς θ

θ=3

0

2 d3

sen2L

]4

)u2(sen

2u

[6udusen6L000

2πππ

ς −== ∫

π=ς 3L


38

Guía N° 1 Integral Definida

1.- Demuestre que:

a.- ∫∫∫ −=−=a2

a

a

0

a

0

xd)ax(fxd)xa(fxd)x(f

b.- ∫∫ =bk

ak

b

a

xd)kx

(fk1

xd)x(f

2.- Partiendo de la definición, calcular las siguientes integrales:

a.- xda1

0

x∫ b.- ∫

b

a

xd)x(cos

c.- xdxb

a∫ Ind: Hacer iξ = a iq i = 0,1,2,...(n-1) y

n1

ab

q

=

3.- Demuestre que:

a.- ∫ <<1

0

x exde12

b.- 23

2xdxsen

21

12

2

π

0

2 ππ <+< ∫

4.- Demuestre ( sin calcular las integrales) que:

a.- 0xdx1x1

Ln)x(cos2

1

2

1

=

−+

∫−


39

b.- ∫∫ =−

2

1

0

)x(cos2

1

2

1

)x(cos xde2xde

c.- ∫−

=a

a

0xd))x(cos(f)x(sen

5.- Dada la función:

3x2

2x1

1x0

)x2(

0

x1

)x(f2 ≤<

≤<≤≤

−

−=

Probar que la función F( x ) = ∫x

0

td)t(f , es continua en [ ]3,0 .

6.- Calcular los limites de las siguientes sumas:

a.-

−++++∞→ 2222n n

1n.............

n3

n2

n1

Lim

b.-

+++

++

++

+∞→ 22222222n nnn

.............3n

n2n

n1n

nLim

c.-

++++++

∞→ nn

1................n2

1n1

1n1

Limn

7.- Demostrar que la siguiente integral está acotada como se indica:

2

1xd

xx2

132 1

02

<−+

< ∫

8.- utilizar la identidad, para demostrar que para a > o, tenemos:

5a

3a

ax1

xd)

5a

3a

a(a1

1 53a

02

53

6+−≤

+≤+−

+ ∫


40

9.- Sea f una función continua en [ ]b,a . Si ∫ =b

a

0xd)x(f . Demostrar que

f ( c ) = 0 por lo menos para un c en [ ]b,a . 10.- Encontrar el n

naLim

∞→ si:

a.- xd1x

)x2(senn2

1a

n3

n

n

+= ∫

b.- xd1x

xa

n

11

1n

+= ∫

+

11.- Dado que Ln ( x ) = ∫x

1 uud

:

a.- Demuestre que Ln ( e ) = 1

b.- Calcular

−+

→ x1x1

lnx1

Lim0x

c.- Demostrar que : xnx

1LimLnn

n=

+∞→

12.- Encontrar una función f, tal que:

∫ ≠−−=x

c

2 0x,x21

)x(cosx)x(sentd)t(ft

13.- Demostrar que si x,0)x(f ∀>′′ y ∫+

−=1x

x

td)t(f)tx()x(g , entonces

)x(g ′′ no cambia de signo. 14.- Dada una función g continua tal que:

a.- g ( 1 ) = 5


41

b.- 2td)t(g1

0

=∫

c.- f ( x ) = ∫ −x

0

2 td)t(g)tx(21

a.- Demuestre que ∫ ∫−=′x

0

x

0

td)t(gttd)t(gx)x(f

b.- Determinar )1(fy)1(f ′′′′′

15.- Demostrar que 0x,x >∀ si F ( x ) = tdtx

)t(sen

x2∫

π

, entonces

0)x(sen)x(Fx2)x(Fx 23 =++′ . 16.- Calcular aplicando Regla de L´Hopital, los siguientes limites:

a.- ∫−→

x

0

t

x0xtde

e1

xLim

2

2

b.- td1x

))t(arctg(

Lim2

x

0

2

x +

∫∞→

c.- )x(senx)x1(Ln

td)ex(

Lim22

x

0

)t(sen2

0x

2

−+

+∫−

→

17.- Hallar los valores extremos ( máximos y/o mínimos), si existen de:

a.- F( x ) = ∫ −−x

1

22

t

td)t1(e

2

b.- F ( x ) = tde2

4t5tt

2

∫ ++−


42

18.- Encontrar la derivada xdyd

de las funciones representadas

paramétricamente por:

a.- x ( t ) = ∫t

2

zdZ

)z(Ln , y ( t ) = ∫

)t(Ln

5

z zde

b.- x ( t ) = ∫)t(sen

e2

zd)z(arcsen , y ( t ) = ∫t

n

2

zdz

)z(sen


43

Guía 2

Aplicaciones de la Integral Definida 1.- Hallar el área de la figura limitada por las curvas x3y,x9y 2 == 2.- Hallar el área de la figura limitada por la hipérbola equilátera 2ayx = y las

rectas x = a , x = 2 a. 3.- Hallar el área de la figura limitada por la curva 2x4y −= y el eje x.

4.- Hallar el área de la figura limitada por la hipocicloide 3

2

3

2

3

2

ayx =+ e el eje x.

5.- Hallar el área de la figura limitada por la catenaria )ee(2a

y ax

ax

−+= , los

ejes ox y oy, y la recta x = a. 6.- Hallar el área de la figura limitada por un arco de la cicloide:

−=−=

))t(cos1(ay

))t(sent(ax

y el eje de las abscisas. 7.- Hallar el área de la figura limitada por las parábolas yp2x,xp2y 22 == . 8.- Hallar el área de la figura limitada por la hipocicloide :

==

)t(senay

)t(cosax3

3

t ∈ [ 0 , 2 π]


44

9.- Hallar el área de la figura limitada por:

a.-

−==

2

3

xx2y

xy

b.-

+−=−+−=x2x3xy

x3x4xy23

23

c.-

−=−=

32

2

xx3y

xx3y


b.-

=−=+−=

xy

)1x(y2xy

2


+=

=

1x2

y

xy

2

2

12.- Hallar el área de la figura limitada por la cardioide:

R = 2 ( 1 – cos ( θ ) ) 0 < θ < 2 π.

13.- Hallar el área de la figura limitada por el eje polar y la primera vuelta de la espiral de Arquímedes R = a θ.

14.- Hallar el área de una hoja del grafo polar R = | 4 cos ( θ ) |


45

15.- Hallar el área comprendida en el interior del círculo R = cos ( θ ) y por fuera

de la cardioide R = 1 – cos ( θ ). 16.- Hallar el área de intersección de las regiones limitadas por las curvas:

a.-

θ=θ=

)(sena2R

)(cosa2R

b.-

θ=θ+=)(sena2R

))(cos1(aR

17.- Hallar el área de la figura limitada por la curva R = 2 a cos ( 3 θ ) y

que está fuera del círculo R = a.

18.- Determinar C de modo que ambas áreas achuradas sean iguales.

a

b

x

y

f ( x ) = 2 x – 3 3x c


46

Demuestre que el área encerrada por la hipérbola 222 ayx =− , el eje x y una recta que une el origen con el punto ( x , y ) de la curva es:

A = )a

axx(Ln

2a 222 −+

20.- Demuestre que el área de: a.- Una circunferencia con centro en el origen y radio r es A = 2rπ .

b.- Una elipse con centro en ( 0, 0 ) y eje focal el eje x, cuya ecuación es

1by

ax

2

2

2

2

=+ está dada por A = π a b.

21.- Demuestre que las áreas de las regiones encerradas por la curva

)x(seney x−= y el eje x, entre raíces consecutivas forman una progresión geométrica.

22.- Un estudio indica que dentro de x meses la población de cierta ciudad

aumentará a la razón de 3/235 x+ personas por mes. ¿Cuándo crecerá la población en los próximos 8 meses?.

23.- Un objeto se mueve de manera que su velocidad después de t minutos es

2325 tt ++ metros por minuto ¿Qué distancia recorrerá el objeto durante el segundo minuto?

24.- El valor de reventa de cierta maquinaria industrial decrece durante un

periodo de 10 años a una razón que cambia con el tiempo. Cuando la maquinaria tiene x años, la razón a la que cambia su valor es )10(220 −x dólares por año. ¿En cuánto se deprecia la maquinaria durante el segundo año?

( a , 0 )

( x , y )

x

y


47

25.- Los promotores de una feria de distrito estiman que si las puertas se abren a la 9:00 a.m., t horas después los visitantes entran a la feria a una razón

de ( ) ( )23 25424 +++− tt personas por hora. ¿Cuántas personas entrarán a la feria entre las 10:00 a.m. y el mediodía?

26.- En cierta fábrica, el costo marginal es 2)5(6 −q dólares por unidad cuando el nivel de producción es q unidades. ¿En cuánto aumentará el costo total de fabricación si el nivel de producción se incrementa de 10 a 13 unidades?

27.- Cierto pozo petrolífero que produce 400 barriles de crudo al mes se secará

en 2 años. En la actualidad el precio de petróleo crudo es US$ 18 por barril y se espera que aumente a una razón constante de 3 centavos mensuales por barril. Si el petróleo se vende tan pronto como se extrae del suelo, ¿cuál será el ingreso futuro total obtenido del pozo?

28.- Se estima que dentro de t días la cosecha de un agricultor aumentará a la

razón de 16.03.0 2 ++ tt arrobas por día. ¿En cuánto aumentará el valor de la cosecha durante los próximos 5 días si el precio de mercado permanece fijo en US$3 por arroba?

29.- Se estima que la demanda de petróleo crece exponencialmente a una

razón de 10% anual. Si en la actualidad la demanda de petróleo es 30,000 millones de barriles por año, ¿cuánto petróleo se consumirá durante los próximos 10 años?

30.- Se calcula que la demanda del producto de un fabricante crece

exponencialmente a una razón de 2% anual. Si la demanda actual es

5,000 unidades por año y el precio permanece fijo en US$400 por unidad,

¿qué ingresos recibirá el fabricante por la venta del producto en los

próximos 2 años?

31.- Después de t horas en el trabajo, un obrero de una fábrica puede producir

tte 5.0100 − unidades por hora. ¿Cuántas unidades produce un trabajador entre las 10:00 a.m. y el mediodía, si llega al trabajo a las 8:00 a.m.?


48

32.- Suponer que dentro de x años un plan de inversión generará utilidades a la

razón de 21 100)( xxR += dólares por año, mientras que un segundo plan lo

hará a la razón de xxR 2220)(2 += dólares por año.

a.- ¿Durante cuántos años será más rentable el segundo plan? b.- ¿Cuánto será el exceso de utilidad si se invierte en el segundo plan,

en lugar del primero, durante el período indicado en el literal a)?

c.- Interpretar el exceso de utilidad del literal b) representado por el área entre dos curvas.

33.- Supóngase que dentro de x años un plan de inversión generará utilidades

a la razón de xexR 12.01 60)( = dólares por año, mientras que un segundo

plan lo hará a la razón de xexR 12.01 60)( = dólares por año, mientras que

un segundo plan lo hará a la razón de xexR 08.02 160)( = dólares por año.

a.- ¿Durante cuántos años será más rentable el segundo plan?

b.- ¿Cuánto exceso de utilidad se obtendrá si se invierte en el segundo

plan, en lugar del primero, durante el periodo señalado en el literal a)?

c.- Interpretar el exceso de utilidad del literal b) representado por el área

entre dos curvas. 34.- Una máquina industrial de x años genera ingresos a la razón de

210025,6)( xxR −= dólares por año y origina costos que se acumulan

a la razón de 215000,4)( xxC += dólares por año.

a.- ¿Durante cuántos años es rentable el uso de la maquinaria?

b. ¿Cuánta ganancia neta genera la maquinaria durante el período indicado en el literal a)?


49

c.- Interpretar las ganacias netas del literal b) representadas por el área entre dos curvas.

35.- Supóngase que cuando tiene x años, una maquinaria industrial genera

ingresos a la razón de 28025,6)( xxR −= dólares por año y origina costos

que se acumulan a la razón de 213681,4)( xxC += dólares por año.

a.- ¿Durante cuántos años es rentable el uso de la maquinaria?

b.- ¿Cuánta ganancia neta genera la maquinaria durante el periodo señalado en el literal a)?

c.- Interpretar las ganancias netas halladas en el literal a) representadas

por el área entre dos curvas. 36.- Después de t horas en el trabajo, un obrero de fábrica produce

21 )1(260)( −−= ttQ unidades por hora, mientras que un segundo obrero

produce ttQ 550)(2 −= unidades por hora.

a.- Si ambos llegan al trabajo a las 8 a.m., hacia mediodía ¿cuántas

unidades más habrá producido el primer trabajador en relación con el

segundo?

b.- Interpretar la respuesta del literal a) representada por el área entre

dos curvas.

37.- Se estima que dentro de t semanas las contribuciones a una campaña de

beneficencia se recibirán a la razón de tetR 2.0000,5)( −= dólares por semana, y se espera que los gastos se acumulen a la razón constante de US$676 por semana

a.- Durante cuántas semanas será rentable la campaña de recaudación

de fondos?


50

b.- ¿Cuánta ganancia neta genera la campaña durante el periodo

señalado en el literal a)?

c.- Interpretar las ganancias netas del literal b) representadas por el

área entre dos curvas.

38.- Se estima que dentro de t semanas las contribuciones a una obra de

beneficencia se recibirán a la razón de tetR 3.0537,6)( −= dólares por semana, y se espera que los gastos se acumulen a la razón constante de US$593 por semana.

a.- ¿Durante cuántas semanas será rentable la campaña de

recaudación de fondos?

b.- ¿Cuánta ganancia neta genera la campaña durante el periodo

hallado en el literal a)?

c.- Interpretar las ganancias netas del literal a) representadas por el

área entre dos curvas.


51

39.- Hallar la longitud de la circunferencia 222 ryx =+

40.- Hallar la longitud de la hipocicliode 3

2

3

2

3

2

ayx =+ 41.- Hallar la longitud de un arco de la cicloide:

−=−=

))t(cos1(ay

))t(sent(ax

42.- Hallar la longitud de arco de la curva y = Ln ( x ) entre los limites

8x,3x == 43.- Hallar la longitud de arco de la curva

[ ]π∈θ

θ=θ=

2,0)(senaR

)(cosaR

44.- Hallar la longitud de arco de la curva:

a.- 23 xy = desde ( -1 , 1 ) a ( 2 2 , 2 )

b.- [ ]1,0t2t2ty

3t2tx2

2

∈

+−=++=

c.- [ ] 0ay2,0))t2(sen)(sen2(ay

))t2(cos)(cos2(ax>π∈θ

−θ=−θ=


52

Aplicaciones de la Integral Definida a la Empresa

Sea p = D (x) una función de demanda que relaciona el precio unitario de p de un

artículo con la cantidad x demandada por éste.

X : unidades

P: $ por unidad

∫=0q

00 xd)x(D)q(A

x

P

P = D ( X )

Cantidad total que los consumidores están dispuesto a gastar


53

Problema 1.- En un estudio de 1989 para el comité de desarrollo económico de un país en

desarrollo, los economistas del gobierno y los expe rtos en energía

concluyeron que si se implantaba la ley para la con servación de la energía

en 1990, el consumo nacional de petróleo del país d urante los siguientes

cinco años aumentaría de acuerdo con el modelo:

t05.0e20)t(R =

donde, t se mide en años 1 t = 0 corresponde al año 1990 y R (t) en millones de barriles por año, sin embargo, si el gobierno no imponía medidas de conservación de la energía la tasa esperada de aumento del consumo de petróleo sería dada por t08.0

1 e20)t(R = millones de barriles por año. Con estos modelos, determinar la cantidad de petróleo que se ahorraría de 1990 a 1995 de haberse implantado la ley. Solución

[ ]∫ =−=5

0 1 3.9td)t(R)t(RS

∴∴∴∴ 9.3 millones de barriles se habrían ahorrado

R1 ( x )

R ( t )

5 t

Y


54

Problema 2.- Suponer que dentro de x años un plan de inversión generará utilidades a la razón de R1 (x) = 100 + x2 dólares por año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón de R2 (x) = 220 + 2x dólares por año. a. ¿Durante cuántos años será más rentable el segundo Plan? b. ¿Cuántos será el exceso de utilidad si se invierte en el segundo plan, en

lugar del primero, durante el período indicado en a. Solución:

a.- )x(R)x(R 21 = entonces:

12x

0120x2x

x2220100x2

2

==−−

+=+

Luego 12 años el segundo plan es más rentable que el primero.

b.- [ ] xd)x(R)x(RA12

012∫ −=

X años

R1 ( x )

R2 ( x )

12


55

[ ] xdxx2120A12

0

2∫ −+=

A = 1008 dólares es la ganancia neta durante el período de 12 años Problema 3.-

Después de t horas en el trabajo, un obrero de fábrica produce Q1( t ) = 60 – 2 ( t -1)2 unidades por hora, mientras que un segundo obrero produce Q2 ( t ) = 50-5 t unidades por hora. a. Si ambos llegan al trabajo a las 8 a.m., hacia el mediodía ¿cuántas

unidades más habrá producido el primer trabajador en relación con el segundo?

b. Interpretar el resultado y graficar las curvas. Solución

[ ] xd)x(Q)x(QA4

0

21∫ −=

[ ] xd8t9t2A4

0

2∫ ++−=

A = 61,3 unidades

Q1( t )

Q2( t )

4 horas

unidades


56

Problema 4.-

Considere la función 2)1q1.0(

300)p(D

+= la función de demanda de los

consumidores a. Hallar la cantidad total de dinero que los consumidores están dispuesto a

gastar para obtener q0 = 5 unidades del artículo. b.- Trazar la curva de demanda e interpretar el área que representa la disposición a gastar de los consumidores en el literal ( a ). Solución

1000qd)1q1.0(

300A

5

02

=+

= ∫

Luego podemos concluir que los consumidores están dispuesto a gastar US$ 1000 por los 5 artículos.


57

Definición

El excedente de los consumidores, es la diferencia entre lo que los consumidores estarían dispuesto a pagar por x unidades del artículo y lo que en realidad pagarían

∫ −=x

0xpxd)x(DEC

:p precio unitario de mercado

x : es la cantidad vendida

= Problema 5

Suponga que la función de demanda de los consumidores de cierto artículo es 2x100p −= dólares por unidad. Halle el excedente de los consumidores si el artículo se vende a un precio 64$USp = por unidad.

Cantidad total que los consumidores estarían dispuestos a gastar

Gasto real de los

consumidores

Excedente de los

consumidores

x

P = D ( X )

x

p

P = D ( X ) P = D ( X )

x

p


58

Solución:

)x(Dp = si p = 64 nos determina el número de unidades que se compraran a ese precio. 64 = 100-x2 x2 = 36

∫ =−−=6

0144)64()6(xd)x100(EC 2

∴ US$ 144 Definición El excedente de los productores está dada por :

∫−=x

0dx)x(Sxp.P.E

S ( x ) función de oferta p : precio unitario en el mercado

x : cantidad ofrecida

X

6 X unidades

64

100 Y = 100 – x2

P precio


59

Problema 6.- El proveedor de las secadoras de pelo portátil pondrá a la venta x cientos de unidades cuando el precio unitario al mayoreo sea x8.136p += dólares determine el excedente de los productores si el precio de mercado al mayoreo se establece como $9 por unidad. Solución:

x8.136)x(D += función de demanda

p : $9 por unidad.

x8.13681x8.1369 +=⇒+=∴ luego 25x =

E.P = (25) (9) - ∫ +25

0dxx8.136 = $35,19

Problema 7.- La función de oferta para los discos compactos está dada por

3x1.0x01.0p 2 +−= y la función de demanda es 8x2.0x01.0p 2 +−= donde p es el precio unitario al mayoreo en dólares y x representa la cantidad que pondrá a disposición del mercado al proveedor, medida en unidades de millar. Determine el excedente de los productores si el precio de mercado al mayoreo es

igual al precio de equilibrio. Solución:

8x2.0x01.0)x(Dp 2 +−−== función de demanda


60

3x1.0x01.0)x(Sp 2 ++== función de oferta

8x2.0x01.03x1.0x01.0 22 +−−=++

05x3.0x02.0 2 =−+

5p10x =⇒=

artículos10x =

artículopordólares5p =

EP. = ( 10 ) ( 5 ) - xd)3x1.0x01.0( 2 ++∫

EP. = 11,66 dólares Problema 8

La función de demanda de cierta marca de bicicletas de 10 velocidades está dada por: 250x001.0)x(Dp 2 +−== donde p es el precio unitario en dólares y x es la cantidad demandada, en unidades de millar. La función de oferta para estas bicicletas está dada por: 100x02.0x0006.0)x(Sp 2 ++== donde p representa el precio unitario en dólares y x el número de bicicletas que el proveedor pondrá en el mercado en unidades de millar. Determinar el excedente de los consumidores, si el precio de mercado de una bicicleta se igual al precio del equilibrio.

x

Excedente al

Productor

3

8

300

160

p

x

S ( x ) : Oferta

D ( x ) : Demanda


61

1. D (x) = S (x) ⇒ 0.0006 x2 + 0.02 x+100 = -0.001 x2 +250 0.0016 x2 +0.02 x – 150 = 0 16 x2 + 200x – 1500000 = 0 2 x2 + 25 x – 187500 = 0 (2x + 625) (x – 300) = 0 ∴ 300x = punto de equilibrio 2. El precio unitario, cuando x = 300 es : 250)300(001.0)300(Dp 2 +−==

160p =

E ∫ −=300

0)300()160(xd)x(DC

EC = US$ 18.000 Definición: La utilidad neta generada por cierta maquinaria industrial durante un determinado período de tiempo es la diferencia entre el ingreso total generado por maquinaria R1 (t) y el costo total de operación y mantención de ésta C´(t); esto es, para un período entre t = 0 y t = u años, la utilidad se interpreta como el área entre las dos curvas.

[ ]∫ −=∴m

0td)t´(c)t´(R)t(U

Problema 9.- Suponga que cuando tiene t años, una maquinaria industrial genera ingresos a razón de 2t10025.6)t´(R −= dólares por año y origina costos que se acumulan a razón de c´(t) = 4000+ 15 t2 por año. a. ¿Durante cuántos años es rentable el uso de la maquinaria? b. ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por la maquinaria durante el

período del literal (a).


62

Solución:

22 t154000t10025.6 +=−

2025t25 2 =

9t81t 2 =⇒= años la maquinaria es rentable.

150.12td)2025t25()t(U9

0

2 =+−= ∫

Luego la utilidad netas en los nueve años es de US$ 12.150 dólares Definición:

El valor futuro total o acumulado, después de t años, de un flujo de ingresos de R ( t ) dólares por año, que ganan intereses a razón de r por año compuesta en forma continua, está dada por:

∫−=

T

0

rtrt tde)t(ReA

D

Año9

)t(C′

)t(R′


63

Problema 10.- En Fecha reciente Crystal Car Wash compró una máquina automática para el lavado de autos que se espera que genere $40.000de ingreso por año, dentro de t años, durante los próximos cinco años. Si los ingresos se reinvierten en una empresa que genera intereses a razón de 12% por año compuesto en forma continua, determinar el valor total acumulado de este flujo de ingreso al cabo de cinco años. Solución:

R (t) = 40.000 dte000.40eAt12.0

5.12.0 5

0

−

∫=

R = 12% ⇒ r = 0.12 dte000.40.eAt12.0

6.0 5

0

−

∫=

t = 5 60,039.274A ≈ ∴ El valor acumulado es $274.040 aproximadamente Problema 11.- La señora Gordon adquirió una franquicia de 15 años de una tienda de artículos de cómputo, la cual espera que genere ingresos a razón de R (t) = 400.000 dólares por años. Si la tasa de interés prevaleciente es de 10% por año compuesta en forma continua, ¿Cuál es el valor presente de la franquicia?

R ( t ) = 40.000 ∴ tde000.40eAt1.0

15.1.0 15

0

−

∫=

R = 0.1 dte69,733.4.46At1.015

0

−

∫=

t = 15 873.375.610.3A = A = 3.610.375,88 dólares


64

Problema 12.- Encuentre el monto de una anualidad si se pagan $ 250 al mes por ella durante un período de 20 años, a un interés del 8% anual compuesto en forma continua. Solución: T = 20 R (t) = 250 • 12 = 3000 r = 0.08 R (t) = 3000

∫−=

20

0t08.020.08.0 tde3000eA

A = $148.239 CURVAS DE LORENTZ Un método utilizado por los economistas para estudiar la distribución del ingreso en una sociedad se basa en la curva de Lorentz. Para describir esta curva, sea f (x) la proporción del ingreso total recibido por el 100% más pobre de la población para 1x0 ≤≤ con esta terminología f (0.3) = 0.1 establece que el 30% más bajo de las personas que tiene un ingreso recibe el 10% del ingreso total. Propiedades de p: 1. [ ]1,0fDom = 2. [ ]1,0fcRe = 3. 1)1(f0)0(f =∧= 4. [ ]1,0x,xx)x(f ∈∀≤

5. ↑)x(f Cuanto más se acerque la curva de Lorentz a la recta y = x, la distribución del ingreso será más equitativa. Esto nos permite determinar el coeficiente de desigualdad o índice de Gini, de una curva de Lorentz.

[ ]∫ −=∴1

0xd)x(fx2L


65

L se determina como la razón limitada por y = x y la curva de Lorentz y el área del ∆ formado bajo y = x.

11

2

1 A2

21A

AA

L ===

[ ]∫ −=1

0dx)x(fx2L

Problema 13 La distribución del ingreso en cierto país es descrita por la función

x151

x1514

)x(f 2 +=

a. Trace la curva de Lorentz por la función b. Calcule f (0.3) y f (0.7) e interprete los resultados. Solución: F (0.3) = 0.104

1 ⇒ 30% de la población de más bajos ingresos recibe el 104% del

ingreso total.

y=x F (0.7) = 0.504

∴El 70% de la población con más bajos ingresos recibe el 50.4% del ingreso total.

1


66

Problema 14 En un estudio realizado por el comité de desarrollo económico de cierto país, se determinó que la curva de Lorentz para la distribución del ingreso de los profesores universitario queda descrita mediante la función.

x141

x1413

)x(f 2 +=

y la de los abogados mediante la función

x112

x11g

)x(g 4 +=

a. Calcule el coeficiente de desigualdad de cada curva de Lorentz. b. ¿Cuál profesión tiene una distribución más equitativa? Solución Caso 1: Coeficiente de desigualdad de los Profesores

∫

−−=1

0xdx

141

x1413

x2L 2

∫

+−=1

0xdx

1413

x1413

2 2

= 0.154 Caso 2: Coeficiente de desigualdad de los abogados

[ ]∫ −=1

02 xd)x(fx2L

∫

−−=1

04 xdx

112

x119

x2L2

L2 ∫

+−=1

04 xdx

119

x119

2


67

L2 = 0.245 , L1 < L2 ∴ en el país, los ingresos de los profesores universitarios se distribuyen más uniforme que los ingresos de los abogados. Problema 15 En un estudio realizado por el comité de Desarrollo Económico de cierto país, se determinó que la curva de Lorentz para la distribución del ingreso de los corredores de bolsa queda descrita mediante la función

x121

x1211

)x(f 2+=

y la de los profesores de bachillerato mediante la función

x61

x65

)x(g 2+=

a. Calcular el coeficiente de desigualdad de cada curva de Lorentz. b. c. ¿Cuál profesión tiene una distribución del ingreso más equitativa?

Solución Caso 1:

∫

−−=1

02

1 xdx121

x1211

x2L

∫

−=1

02 xdx

1211

x1211

2

= 0.152


68

Caso 2:

∫

−−=1

02

1 xdx61

x65

x2L

∫

−=1

02 xdx6x

65

2

= 0,278 Luego cómo, L1 < L2 se puede concluir que en el país, los ingresos de los profesores de Bachillerato se distribuyen más uniforme que los ingresos de los corredores de la bolsa.


69

Taller : Aplicaciones de la Integral Definida a la Empresa

En cada problema , usted deberá realizar un análisis de los resultados y explicar los efectos de los resultados obtenidos.

1.- ( Curva de Lorentz ) La distribución del ingreso de cierto país está descrita

por la curva de Lorentz x201

x2019

Y 2 += , en donde x es la proporción

de captadores de ingresos e Y es la proporción del ingreso total recibida.

a.- ¿ Qué proporción recibe el 20% de la gente más pobre ?. b.- Determine el coeficiente de desigualdad de la curva de Lorentz.

2.- ( Curva de Aprendizaje ) Después de pintar los primeros 40 automóviles, un establecimiento de pintado de automóviles estima que la curva de aprendizaje es de la forma 25,0x10)x(f −= . Encuentre el número total de horas-hombre que se requierirán a fin de pintar 60 automóviles.

3.- ( Curva de Aprendizaje ) Sonido X & Y produce radiorreceptores en su

línea de ensamblado. Se sabe que los primeros 100 aparatos (1 unidad ) les lleva un total de 150 horas – hombre y por cada unidad adicional de 100 aparatos, se requirió menos tiempo de acuerdo con ls curva de aprendizaje

2,0x150)x(f −= , en donde f ( x ) es el número de horas – hombre requeridas a fin de ensamblar la unidad número ( x + 1 ). ¿ Cuántas horas- hombre se requerirán con objeto de ensamblar 5 unidades ( esto es, 500 radiorreceptores) después de que se han ensamblado las primeras 5 unidades?.

4.- ( Curva de Aprendizaje ) Electrónica Morales produce calculadoras

electrónicas en su línea de ensamblado. Las primeras 50 calculadoras demandan 70 horas, y por cada unidad adicional de 70 calculadoras, se requiere menos tiempo de acuerdo con ls curva de aprendizaje

32,0x70)x(f −= ,. ¿ Cuánto tiempo demandará el ensamblado de 500 calculadoras después de que se han ensamblado las primeras 200 calculadoras?.


70

5.- ( Curva de Aprendizaje ) Suponiendo que existe una mejora del 20% cada

vez que la producción se duplica ( por ejemplo la sexta unidad requiere 80% del tiempo consumido por la tercera unidad, la vigésima unidad requiere 80% del tiempo demandado por la décima, etc ) determine el valor

de la constante b para la curva de aprendizaje bxa)x(f = .

6.- ( Maximización de la Utilidad ) Las tasas de ingreso y costo en una

operación de perforación petrolera están dados por:

2

1

t14)t(R −=′ y 2

1

t32)t(C +=′ respectivamente, en donde el tiempo t se mide en años y R y C en millones de dólares. ¿ Cuánto deberá prolongarse la perforación a fin de obtener utilidades máximas?. ¿ Cuál es esta utilidad máxima?.

7.- ( Maximización de la Utilidad ) El costo y el ingreso de cierta operación

minera están dados por:

3

1

t10)t(R −=′ y 3

1

t22)t(C +=′ respectivamente, en donde el tiempo t se mide en años y R y C en millones de dólares. Determine por cuánto deberá continuarse la operación con objeto de obtener una utilidad máxima. Cuánto deberá prolongarse la perforación a fin de obtener utilidades máximas ?. ¿ Cuál es el monto de la utilidad máxima, suponiendo que los costos fijos de operación inicial son de $ 3 millones?.

8.- ( Maximización de la Utilidad ) En una operación de extracción de

petróleo las tasas de ingresos y costos son t20)t(R −=′ y 4)t(C =′ respectivamente, en donde el tiempo t se mide en años y R y C en millones de dólares. Encuentre el número de años que tiene que funcionar la operación para asegurar una utilidad total máxima.


71

Calcule el valor presente de la utilidad total suponiendo una tasa nominal de descuento de 10%.

9.- ( Excedentes del Consumidor y Productor ) Determine el Excedente del Consumidor y del Productor en el caso de un producto para las siguientes funciones de demanda y de oferta:

a.- p= D ( x ) = 15 – 2 x p= S ( p ) = 3 + x b.- p= D ( x ) = 17 – 0,5 x p= S ( p ) = 5 + 0,3 x c.- p= D ( x ) = 1200 -1,5 x p= S ( p ) = 200 + x2 d.- p= D ( x ) = 120 – x2 p= S ( p ) = 32 + 3 x

e.- p= D ( x ) = 2x

280+

p= S ( p ) = 20 + 2.5 x

f.- p= D ( x ) = 6x

370+

p= S ( p ) = 3.8 + 0.2 x

10.- ( Decisión de Inversión ) Una compañía puede reducir sus gastos laborales automatizando su planta. Sin embargo la automatización de la planta requiere mantenimiento sustancaila extra, el cual se incrementa con el tiempo. El ahorro anual después de t años está dado por

2t2

1t4120)t(S −−=′ ( millones de dólares por año ).

a.- Calcule el ahorro total sobre los 8 primeros años. ¿ Cuántos años

debe conservarse el equipo automatizado antes de que los ahorros totales empiecen a decrecer?.

b.- ¿ Cuál es el valor máximo de los ahorros totales?.

11- ( Decisión de Inversión ) Una compañía está considerando la compra de

una nueva maquinaria con un costo de $ 5000. Se estima que la máquina ahorrará dinero a la compañía a una tasa de 160 ( 5 + t ) dólares anuales en un tiempo t después de la adquisición.

¿ Se pagará la máquina a sí misma durante los próximos 5 años?

12- ( Decisión de Inversión ) Para tomar la desición correcta en el ejercicio anterior , la compañía debe calcular el valor presente de sus ahorros futuros y compararlos con el costo de la máquina.


72

a.- Calcule el valor presente de los ahorros en los primeros 5 años

después de la adquisición de la máquina, suponiemdo una tasa de interés nominal del 8%.

b.- ¿ Se pagará la máquina a sí misma ahora en este periodo de 5

años?

13.- ( Estrategia de desarrollo ) Una compañía minera puede escoger entre dos estrategias para explorar sus recursos. La proimera implica un costo de $ 25 millones y producirá una utilidad neta de $ 10 millones anuales en los próximos 20 años. La segunda representa un costo inicial de $ 60 millones y producirá una utilidad neta de $ 20 millones anuales por un periodo de 10 años.

Calcule el valor presente de estas dos estrategias suponiendo una tasa de

descuento nominal de 10%, ¿Cuál es la estrategia mejor ?

14.- ( Estrategia de desarrollo ) Repita el ejercicio anterior cuando la tasa de

utilidad para la primera estrategia es )t20()t(P −=′ millones de dólares y la t millones de dólares. Suponga los mismos costos y tasa de descuentos iniciales.

15.- ( Ahorro de maquinaria y costos ) Una compañía adquirió una máquina

nueva a un costo de $ 19.000. Estima que esta máquina ahorrará dinero . Estiman que esta máquina ahorrorá dinero a la compañía a razón de 1000 ( 5 + t ) dólares por año en un tiempo t años después de su adquisición. Sin embargo, el costo de operación de la máquina en ese tiempo será 1500 + 135 t2 dólares anuales.

Calcule el ahorro neto total de la compañía durante de la compañía durante los primeros t años.

Pruebe que después de 5 años estos ahorros netos han sobrepasado el

precio de adquisición. Determine el número de años que la compañía deberá quedarse con la

máquina y el ahorro neto total durante ese tiempo.


73

16.- ( Crecimiento del Capital ) Si A ( t ) es el capital de una empresa en

el instante t ∈ I ( t ) es la tasa de inversión, se sigue que ItdAd = .

Determine el incremento en el capital entre t = 4 y t = 9 si la tasa de interés está dada por t4)t(I += ( en miles de dólares por año)

17.- ( Crecimiento del Capital ) Durante el periodo 0 ≤ t ≤ T, un capital es invertido continuamente en una empresa a una tasa I ( t ) . Si la inversión crece continuamente a una tasa de interés nominal R, entonces el capital invertido en un tiempo t habrá

crecido en valor por el factor )tT(re − al final del periodo ( r = 100R

). Por

tanto, el valor final de la inversión es igual a

∫−=

T

0

)tT(r tde)t(I)T(A

Calcule el valor final si r = 0,1 y T = 10 en los siguientes casos:

a.- I ( t ) = I, constante

b.- 10t5si

5t0si

0

I2)t(I

≤≤≤≤

=

c.- 10t5si

5t0si

I2

0)t(I

≤≤≤≤

=

¿ Cuál de estas tres estrategias en los cosos a), b) y c) da el valor final máximo? ¿ Por qué ?.


74

18.- ( Rentabilidad Financiera )

En una empresa en que los bienes de capital se consideran fijos, sea P ( x )el valor en dólares de la producción cuando x horas-hombre de mano de obra se emplean por semana. La derivada P′ ( x ) se denomina la productividad marginal de la mano de obra. Si w es la tasa de salarios ( en dólares por hota-hombre), la función de utilidad está dada por P ( x ) – w x . Luego, pruebe que la utilidad está dada por:

[ ]∫ ′−′0x

00 xd)x(P)x(P

e interprete esto como un área apropiada. Esta cantidad se conoce como la rentabilidad finaciera de los bienes de capital dados. Encuentre la rentabilidad financiera si la productividad marginal está dada

por P′ ( x ) = 120 ( ) 2

1

400x−

+ , en donde la tasa de salarios es ( a ) $ 3 por hora; ( b ) $4 por hora ; ( c ) $5 por hora.

20- ( Excedente de los consumidor ). La función de demanda de cierta cinta para máquina de escribir está dada por

6x1.0x01.0p 2 +−−=

donde p es el precio unitario en dólares y x es la cantidad demandada

cada semana, en unidades de millar. Determine el excedente de los consumidores si el precio de mercado se establece como $4 por cinta.

20.- ( Excedente de los consumidor ). La función de demanda de cierta

marca de discos compactos está dada por

8x2.0x01.0p 2 +−−= donde p es el precio unitario al mayoreo en dólares y x es la cantidad

demandada cada semana, en unidades de millar. Determine el excedente de los consumidores si el precio de mercado al mayoreo se establece como $5 por disco.


75

21.- ( Excedente de los consumidor ). Se sabe que la cantidad demandada

de cierta marca de secadora de pelo portátil es de x cientos de unidades por semana, y que el precio unitario correspondiente, al mayoreo, es

x5225p −=

dólares. Determine el excedente de los consumidores si el precio de

mercado al mayoreo se establece como $10 por unidad. 22.- ( Excedente de productor ). El proveedor de las secadoras de pelo

mencionadas pondrá a la venta x cientos de unidades cuando el precio unitario al mayoreo sea

x8.136p +=

dólares. Determine el excedente de los productores si el precio de

mercado al mayoreo se establece como $9 por unidad. 23.- ( Excedente de productor ). La función de oferta para los discos

compactos del ejercicio 2 está dada por

3x1.0x01.0p 2 ++= donde p es el precio unitario al mayoreo en dólares y x representa la

cantidad que pondrá a disposición del mercado el proveedor, medida en unidades de millar. Determine el excedente de los productores si el precio de marcado al mayoreo es igual al precio de equilibrio.

24.- ( Excedente de los consumidor y del productor ). La gerencia de la

compañía de neumáticos Titán ha determinado que la cantidad demandada x de sus neumáticos Super Titán cada semana se relaciona con el precio unitario p mediante la relación.

2x144p −=

donde p se mide en dólares y x en unidades de millar. Titán colocará en el

mercado x unidades de los neumáticos si el precio unitario es


76

2x21

48p +=

dólares. Determine el excedente de los consumidores y el de los

productores cuando el precio unitario de mercado es igual al precio de

equilibrio.

25.- ( Excedente de los consumidor y de los productor ) . La cantidad

demandada x (en unidades de centenas) de las cámaras miniatura Mikado cada semana se relaciona con el precio unitario p (en dólares) como

80x0.0p 2 +−=

por otro lado, la cantidad x (en unidades de centenas) que el proveedor está dispuesto a poner a la venta se relaciona con el precio unitario p (en dólares) de la forma

40xx1.0p 2 ++= si el precio de mercado se establece como el precio de equilibrio, determine el excedente de los consumidores y el de los productores.

26.- ( Valor presente de una inversión ). Suponga que se espera que una

inversión genere ingreso a razón de

000200)t(R =

dólares por año durante los próximos cinco años. Encuentre el valor

presente de esta inversión si la tasa de interés prevaleciente es de 8% por

año compuesta en forma continua.

27.- ( Franquicias ). La señora Gordon adquirió una franquicia de 15 años de

una tienda de artículos de cómputo, la cual espera que genere ingresos a razón de

R (t) = 400 000


77

dólares por año. Si la tasa de interés prevaleciente es de 10% por año compuesta en forma continua, ¿cuál es el valor presente de la franquicia?

28.- ( Curvas de Lorentz ). La distribución del ingreso en cierto país es descrita

por la función

x161

x1615

)x(f 2 +=

a. Trace la curva de Lorentz para esta función b. Calcule f (0.4) y f (0.9) e interprete los resultados.

29.- ( Curvas de Lorentz ). En un estudio realizado por el Comité de Desarrollo

Económico de cierto país, se determinó que la curva de Lorentz para la distribución del ingreso de los profesores universitarios queda descrita mediante la función.

x141

x1413

)x(f 2 +=

y la de los abogados mediante la función

x112

x119

)x(g 4 +=

a Calcule el coeficiente de desigualdad de cada curva de Lorentz.

b. ¿Cuál profesión tiene una distribución del ingreso más equitativa? 30. ( Curvas de Lorentz ) La distribución del ingreso en cierto país es descrita

por la función

x151

x1514

)x(f 2 +=

a. Trace la curva de Lorentz para esta función b. Calcule f (0.3) y f (0.7) e interprete los resultados

31.-. ( Curvas de Lorentz ). En un estudio realizado por el Comité de Desarrollo

Económico de cierto país, se determinó que la curva de Lorentz para la


78

distribución del ingreso de los corredores de bolsa queda descrita mediante la función

x121

x1211

)x(f 2 +=

y la de los profesores de bachillerato mediante la función

x61

x65

)x(g 2 +=

a. Calcule el coeficiente de desigualdad de cada curva de Lorentz b. ¿Cuál profesión tiene una distribución del ingreso más equitativa?

31.- La compañía Nacional de Seguros de Vida Franklin

adquirió una nueva computadora por $200,000. Si la tasa con que cambia el valor de reventa de la computadora está dada por la función

)10t(3800)t(´V −=

donde t es el lapso transcurrido desde la fecha de compra y V´(t) se mide

en dólares por año, encuentre una expresión V(t) para el valor de reventa

de la computadora después de t años. ¿Cuánto cuesta la máquina

después de seis años?

32.- El departamento de mercadotecnia de la corporación

Vistavisión pronostica que las ventas de su nueva línea de televisores con sistema de proyección aumentará a razón de

t04.0e20003000 −− 24t0 ≤≤

unidades por mes una vez introducidos al mercado. Encuentre una

expresión para la cantidad total de televisores que Vistavisión espera


79

vender a t meses de su introducción al mercado. ¿Cuántas unidades

espera vender Vistavisión durante el primer año?

33.- Debido al creciente costo de la gasolina, el jefe de la Dirección de Transito

de cierta ciudad estima que el número de viajeros que utilizan el sistema de transporte subterráneo aumentará a razón de

2/1)t4.01(3000 −+ 36t0 ≤≤

por mes, a t meses del presente. Si 100 000 pasajeros viajan actualmente

en el sistema, encuentre una expresión para el total de viajeros del

subterráneo dentro de t meses. ¿Cuántos pasajeros lo utilizarán dentro de

seis meses?

34 La gerencia de una división de Ditton Industries ha determinado que la

función de costo marginal diario asociada con la producción de máquinas para la fabricación de palomitas de maíz está dada por

10x03.0x00003.0)x´(C 2 +−=

donde C´(x) se mide en dólares por unidad y x denota las unidades

fabricadas. La gerencia también ha determinado que los gastos fijos diarios

relacionados con la producción de estas máquinas ascienden a $600.

Halle los gastos totales de Ditton relacionados con la producción de las

primeras 500 máquinas de este tipo.

35. En 1980, el mundo produjo 3.5 mil millones de toneladas métricas de

carbón. Si la producción se incrementó a razón de t04.0e5.3 mil millones de toneladas métricas por año en el año t (t=0 corresponde a 1980), ¿cuál es la cantidad de carbón producida a nivel mundial entre 1980 y el final de 1985?

36.- Con las técnicas de producción actuales, se espera que la producción de

petróleo estimada en cierto pozo dentro de t años sea


80

t05.0e100)t(R1 =

miles de barriles por año; sin embargo, con una nueva técnica de producción, se estima que la tasa de producción de petróleo de dicho pozo dentro de t años sea

t08.0e100)t(R2 =

miles de barriles por año. Determine la cantidad adicional de petróleo que

se produciría durante los próximos 10 años si se adopta la nueva técnica. 37.- La función de demanda de cierta marca de videocasetes está dada por

23x2.0x01.0p 2 +−−=

donde p es el precio unitario en dólares y x es la cantidad demandada por

semana, medida en unidades de millar. Determine el excedente de los

consumidores si el precio unitario al mayoreo es de $8.

38.- La cantidad demandada x (en unidades de centena) de las tiendas de

campaña Sportsman 5 x 7, por semana, se relaciona con el precio unitario p (en dólares) mediante la ecuación

40xx1.0p 2 ++=

La cantidad x (en unidades de millar) que el proveedor está dispuesto a

poner a la venta se relaciona con el precio unitario mediante la ecuación 20x2x1.0p 2 ++= Si se establece que el precio de mercado sea el precio de equilibrio,

encuentre los excedentes de los consumidores y de los productores. 39.- El señor Cunningham planea depositar $4000 por año en su cuenta de

ahorro para el retiro Keogh. Si el interés se compone en forma continua


81

con una tasa de 8% por año. ¿cuánto dinero tendrá en su cuenta después

de 20 años?

40.- La señorita Parker vendió su casa firmando un contrato, donde el

comprador le paga un enganche de $9000 y se compromete a realizar pagos mensuales de $925 cada mes durante 30 años. Si la tasa de interés prevalecientes es de 12% por años compuesta en forma continua, ¿cuál es el valor presente del precio de adquisición de la casa?

41.- La señora Carlson adquirió una franquicia de 10 años para un gimnasio y

espera que le genere ingresos a razón de

P(t) = 80 000 dólares por año. Si la tasa de interés prevaleciente es de 10% por año

compuesta en forma continua ¿cuál es el valor presente de la franquicia? 42.- La distribución del ingreso en cierto país es descrita mediante la función

x181

x1817

)x(f 2 +=

a. Trace la curva de Lorentz para esta función b. Calcule f(0.0) y f(0.6) e interprete los resultados c. Calcule el coeficiente de desigualdad de esta curva de Lorentz.

43.- Se espera que la población de cierta ciudad,

actualmente con 80 000 habitantes, crezca de manera exponencial en los próximos cinco años, con una constante de crecimiento igual a 0.05. Si las predicciones son correctas, ¿cuál será la población promedio de la ciudad durante los próximos cinco años?

44.- Un fabricante estima que cuando se producen x unidades, éstas se

venderán a un precio p, )x75(31

p −= . Si se conoce que el costo marginal


82

de producir x unidades está dado por 3x41 + , y se conoce además que le

costo de producir ocho unidades es de 35 dólares, ¿cuánto es la utilidad cuando se producen y venden 10 unidades?

45.- Si la función marginal de costo de producir cierto artículo es 2x

505x2 − , y el

costo total de producir 10 unidades es 225, ¿cuál es la función de costos? 46.- Suponga que dentro de t años un plan de inversión generará utilidades a

razón de R (t) = 100 + t2 dólares al año, mientras que en un segundo plan lo hará a razón de R (t) = 220 +2t dólares al año.

a. ¿Durante cuántos años es rentable el uso de la maquinaria? b. ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por la maquinaria

durante el período del literal a)? 47.- Suponga que cuando tiene t años, una maquinaria industrial genera

ingresos a razón de R (t) = 6.025 –10t2 dólares por año y origina costos que se acumulan a razón de C (t) = 4.000 +15t2 dólares por año.

a. ¿Durante cuántos años es rentable el uso de la maquinaria? b. ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por la maquinaria

durante el período del literal a)? 48.- Suponga que cuando tiene t años, cierta maquinaria industrial

genera ingresos a razón de R (t) = 6.025 –8t2 dólares por año y origina costos que se acumulan a razón de C (t) = 4.681 +13t2 dólares por año.

c. ¿Durante cuántos años es rentable el uso de la maquinaria? d. ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por la maquinaria

durante su período de rentabilidad? 49.- Para las funciones de demanda f (x) de los consumidores en los problemas

siguientes:

a. Trace la curva de demanda e interprete como un área la disposición a gastas de los consumidores del literal b)

b. Halle la cantidad total de dinero que los consumidores están dispuestos a gastar para obtener x unidades del artículo.

i. )x64(2)x(f 2−= dólares por unidad; x = 6 unidades


83

ii. )x25(2)x(f 2−= dólares por unidad; x = 4 unidades 50.- Para cada una de las funciones de demanda de los dos problemas

anteriores, calcule el excedente de los consumidores si el artículo se vende a un precio p respectivamente de:

a. p = 56 b. p = 27

II SEGUNDO SEMESTREIntegral Definida UISEK - 2010 Sept 2011

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