IN01805C

Captol 5

Corbes

En el aquest captol es presenta la teoriames elemental de corbes i, en especial,corbes parametriques, tant al pla coma lespai, pensant en les aplicacions pera informatica grafica i CAD. Lobjectiuprioritari es el de desenvolupar metodesper obtenir parametritzacions de corbessituades en posicions arbitraries: un delsprocediments que se segueixen es el du-tilitzar la parametritzacio del tipus decorba en posicio estandard favorable iaplicar posteriorment un canvi de siste-ma de coordenades.

La necessitat de treballar amb cor-bes tridimensionals dinteres motiva laintroduccio del tema de les superfcies ide lobtencio de corbes com a intersecciode superfcies.

Shi tracten tambe les corbes classiques, en particular les coniques, i shi fa una breu introduccio,amb proposits de construccio geometrica, dels aspectes mnims de geometria diferencial quepermeten la construccio de la tangent i la normal a una corba en un punt.

El tema sacaba introduint un dels metodes basics del disseny de corbes 2D i 3D, el metode deles corbes de Bezier.

5.1 Motivacio

En informatica grafica i disseny de solids, es necessari utilitzar moltes vegades superfcies quesintersequen o que sintersequen amb plans que formen part duna escena (figura 5.1, perexemple). Aquestes interseccions son corbes o reunions de corbes i es per aquest motiu que cal

174 Geometria per a la informatica grafica i CAD

saber-les estudiar i representar.

Figura 5.1

Considereu, com a exemple addicional, la interseccio dun pla i una esfera; la subfigura esquerrade la figura 5.2 es deficient; a la dreta es mostra un esquema correctament executat a partir delcalcul de la corba interseccio.

Figura 5.2

Daltra banda, algunes corbes notables constitueixen la base o els elements de disseny de laforma, com ocorre per exemple amb lhelix circular, element geometric constitutiu descales decargol, per exemple, o de superfcies helicodals (rampes helicodals en parquings).

Figura 5.3. CardioideMoltes corbes que podem ano-menar classiques apareixen enlanalisi del moviment de meca-nismes; per aixo es interessantconeixer-ne les expressions anal-tiques per a la seva representacioo per a la simulacio mecanica.

Finalment, les corbes i superfcies constitueixen lobjecte dun camp daplicacio tan important

5 Corbes 175

com son el CAD (Computer Aided Design) i, mes concretament, el CAGD (Computer AidedGeometric Design), de multiples usos concrets en arees tan diverses com el disseny aeronautic,el disseny naval i el disseny de carrosseries dautomobils.

A causa de les necessitats del disseny i de la produccio automatitzada, shan desenvolupatmetodes especfics de construccio de corbes i superfcies per ordinador.

Pero cal tenir previament un coneixement basic de les corbes i les superfcies des del punt devista de la geometria, abans dentrar en questions mes especfiques de CAD i CAGD. Aquestestudi podria ser molt extens, incorporant porcions importants de la geometria diferencial; peroaqu ens limitarem a una breu introduccio, orientada de manera molt practica. Aixo serviratambe per coneixer algunes de les corbes i superfcies mes notables. Tot i que necessariamenthauran dapareixer algunes superfcies, ja que el tema de les corbes hi esta ntimament lligaten mes dun aspecte, reservem el captol seguent per a un estudi mes sistematic del tema.

5.2 Metodes de descripcio de corbes

Hi ha diferents maneres de donar o expressar una corba, depenents addicionalment de si lacorba es bidimensional o tridimensional. Algunes de les formes nomes son possibles per acorbes bidimensionals (per exemple, en forma explcita o polar) o per a corbes tridimensionals(com les que apareixen com a interseccio de superfcies).

5.2.1 Corbes (2D) en forma explcita

Certes corbes bidimensionals es poden expressar en lanomenada forma explcita, es a dir en laforma y = F (x), en un determinat interval de R. Normalment, la funcio F sera com a mnimcontnua, i moltes vegades es consideraran propietats diferencials addicionals.

En aquest cas la corba en questio es el conjunt de punts de la forma (x, F (x)), o, per dir-hoamb mes precisio:

= {(x, F (x)) R2|x [x0, x1] R}

La representacio no sol oferir dificultats, ja que podem generar els diversos punts de la corbadirectament i produir aix poligonals que laproximen en les representacions.

y = F (x)

x0 x1 x0 x1

Figura 5.4

Per descomptat, aquesta expressio es ideal per treballar amb corbes, pero malauradament noes la mes frequent o, en tot cas, no sempre esta disponible. Daltra banda, moltes corbes no espoden expressar en forma explcita (per exemple, corbes per a les quals a una mateixa abscissacorrespon mes duna ordenada, es a dir mes dun punt, com es el cas duna circumferencia, perexemple).

Naturalment, tambe podem tenir expressions del tipus x = F (y), igualment expressio explcitaduna corba. Per exemple, x = y2 correspon a una parabola de vertex a lorigen de coordenades


i deix leix Ox.

x

y

O

x = y2

Figura 5.5

5.2.2 Corbes (2D) en forma implcita

Una corba expressada en forma implcita es un conjunt de punts del pla que satisfan una equaciodel tipus F (x, y) = 0, es a dir,

= {(x, y) R2|F (x, y) = 0},

on F es una funcio contnua, usualment amb propietats diferencials addicionals.

Per exemple, x2+y2 = a2 es lequacio (en forma implcita, doncs) de la circumferencia de centrelorigen de coordenades i radi a, que podem reescriure per ajustar-la a la definicio general comx2 + y2 a2 = 0; i aleshores es F (x, y) = 0, amb F (x, y) = x2 + y2 a2.

Linconvenient daquesta representacio es que no sempre podem generar els punts de la corbaper representar-la com a poligonal. Nomes en alguns casos especialment favorables es potdescompondre el problema de la seva representacio en dos problemes separats: per exemple, sila corba es x2 + y2 = 1 podem representar separadament ( = 1 2):

1 : y = +1 x2, 1 x 1

2 : y = 1 x2, 1 x 1

O x

y

11

1 O x

y

11

2Figura 5.6

No tot son inconvenients en la forma implcita, ja que resulta molt comoda per demostrar certespropietats geometriques que pot satisfer la corba en questio, com per exemple simetries respectedun punt o respecte duna recta. Vegem-ne un exemple en el cas de la circumferencia unitatx2+ y2 = 1, que denotarem amb , per a la qual volem provar que lorigen de coordenades nescentre de simetria; cal veure doncs que, si P = (x, y) , aleshores tambe P = (x,y) ,cosa que es una comprovacio rutinaria: (x)2 + (y)2 = x2 + y2 = 1. Lexpressio en forma

5 Corbes 177

implcita tambe es especialment util per decidir si un punt P = (x, y) pertany o no a la corba,ja que nomes cal comprovar si en satisfa lequacio.

La forma explcita sempre es pot reduir a implcita; en efecte, si tenim y = f(x), podemdescriure els punts de la corba com els que satisfan lequacio y f(x) = 0, es a dir, els quesatisfan F (x, y) = 0, amb F (x, y) = y f(x).

5.2.3 Corbes (2D i 3D) en forma parametrica

Definicio 5.1 Una corba parametrica a lespai es una funcio contnua definida en un intervalI = [a, b] R, i a valors vectorials en R2 o en R3. Una corba es plana si la funcio vectorial es a valors en R2, es a dir

: I R2, t (t) = (x(t), y(t))

En cas alternatiu la corba es una corba de lespai tridimensional i es donada per

: I R3, t (t) = (x(t), y(t), z(t))

Molt sovint sidentifica la corba com a funcio amb el conjunt de punts imatge :

= {(t)|t I = [a, b] R}

Aquesta identificacio pot no ser convenient perque pot ocorrer que diferents funcions produ-eixin el mateix conjunt imatge .

En relacio amb aquesta definicio tenim:

I es linterval de parametres (I = [a, b] R)

t es el parametre amb el qual descrivim els diversos punts de la corba; la variacio de t dea a b en I produeix el recorregut del punt (t) al llarg de la corba.

(a)

(t1)

(t2)

(t3)

(b)

I

a

t1

t2

t3

b

Figura 5.7

La corba es descrita parametricament per , que nes una parametritzacio; la descripciomitjancant nes una descripcio en forma parametrica.

A continaucio donem un exemple de corba parametrica, que correspon a una corba classica, larodonea:


{x(t) = a cosmt cos ty(t) = a cosmt sin t

0 t 2.

Des del punt de vista computacional lexpressio duna corba en forma parametrica es, deixant apart la forma explcita, la mes convenient, ja que permet un calcul comode i la seva representacioper una aproximacio poligonal (figura 5.8).

Figura 5.8

Conversio de forma explcita a forma parametrica. Les corbes bidimensionals donades en formaexplcita y = f(x) son sempre expressables en forma parametrica. En efecte, podem escollirt = x com a parametre i considerar la parametritzacio de la corba x(t) = t, y(t) = f(t). Perexemple, la parabola y = x2 sexpressa en forma parametrica com (x) = (x, x2). En particularaixo significa que sempre podrem representar corbes donades en forma explcita mitjancantsoftware de representacio de corbes en forma parametrica.

Ates que si tenim una parametritzacio duna corba ja la podem estudiar i representar, la nostraprincipal preocupacio es la dobtenir parametritzacions de les corbes. Aixo significa escollir unparametre adequat amb el qual es pugui descriure amb certa comoditat la corba i obtenir lesformules que permeten expressar els punts de la corba en funcio del parametre; moltes vegadesprocurarem triar algun parametre natural associat a la corba.

Una observacio que conve fer es que en molts textos es considera, a la definicio de corba pa-rametrica, que es compleixen certes propietats de suavitat, que es tradueixen tecnicament enpropietats diferencials. Renunciem a aquest punt de vista perque ens interessa poder considerarcom a corba una poligonal i tambe les corbes que es defineixen a trossos. Aquests propietats dediferenciabilitat faran falta mes endavant per tractar les tangencies i les normals a una corbaen un punt.

Podem tambe expressar les corbes parametritzades en forma vectorial compacta; Per exemple,per a una corba bidimensional, si considerem la base usual de coordenades cartesianes e1, e2,podem escriure (t) = x(t)e1 + y(t)e2. En el cas tridimensional, en termes de la base usual decoordenades cartesianes e1, e2, e3, tindrem (t) = x(t)e1 + y(t)e2 + z(t)e3.

Primers exemples

Exemple 5.1. El segment com a corba parametrica. Un primer exemple, segurament el messimple, es el dun segment al pla o a lespai. En efecte, si considerem el segment determinat pelspunts A,B, aleshores els punts del segment es poden descriure per lequacio parametricovectorialde la recta determinada per A,B, es a dir, per P (t) = A + t(B A), limitant la variacio delparametre de manera que es descriguin nomes els punts compresos entre A i B, de forma queel segment en questio sexpressa com

P (t) = A+ t(B A), 0 t 1

5 Corbes 179

Utilitzant ara lexpressio parametricoescalar podem escriure, si estem en R3 i A = (a1, a2, a3) iB = (b1, b2, b3),

x(t) = a1 + t(b1 a1)y(t) = a2 + t(b2 a2)z(t) = a3 + t(b3 a3)

amb 0 t 1.

Exemple 5.2. La circumferencia com a corba parametrica. Un exemple simple pero importantes el de la circumferencia, que tractarem seguidament.

La parametritzacio usual. Considerem la circumferencia de centre lorigen O i radi R, dequaciox2 + y2 = R2.

Expressar parametricament una corba exigeix determinar un parametre en termes del qual siguifacil o factible expressar els diversos punts de la corba, i despres, o simultaniament, formular-nelexpressio. En aquest cas, un parametre natural de descripcio dun punt qualsevol P = (x, y)de la circumferencia es langle polar del punt, mesurat amb lorigen habitual del sistema decoordenades polars. Podem enunciar, doncs, el resultat seguent.

Teorema 5.1 Una parametritzacio de la circumferencia x2 + y2 = R2 es la seguent:

{x(t) = R cos ty(t) = R sin t

, 0 t 2,

on t es langle polar del punt (x, y) de la circumferencia.

Demostracio

Hem de veure dues coses: que tot punt de la circumferencia es pot expressar en la forma anterior,es a dir, com (R cos t, R sin t), per a un t convenient i recprocament, es a dir, que tots els puntsde forma (R cos t, R sin t) pertanyen a la circumferencia.

Pel que fa a la primera part, nomes cal considerar lesquema de la figura 5.10, de la qual esderiva trivialment:


, 0 t 2,

O

x

y

R

Figura 5.9

O

x

y R

t

P = (x, y)

Figura 5.10

O

(R, 0)x

y

Figura 5.11

Pel que fa a la segona, nomes cal veure que els punts de la forma (R cos t, R sin t) son de lacorba, es a dir, en satisfan lequacio, cosa que es comprova rutinariament:

(R cos t)2 + (R sin t)2 = R2(cos2 t+ sin2 t) = R2,


i amb aixo acaba la demostracio.

En daltres termes, tenim que

(t) = (R cos t, R sin t), 0 t 2

es una parametritzacio de la circumferencia. En termes de la base de coordenades cartesianespodem escriure tambe (t) = R cos te1 +R sin te2.

Observeu que en aquest cas el parametre escollit te un significat geometric clar i intutiu; nosempre pot ser aix.

La variacio del parametre en sentit creixent a linterval I = [0, 2] produeix un sentit derecorregut de la corba que es antihorari, amb inici en el punt (R, 0) (figura 5.11).

1

2

Figura 5.12

Arcs de circumferencia. Po-dem descriure arcs de cir-cumferencia limitant conve-nientment la variacio delparametre. Aix, per exem-ple, el primer quadrant dela circumferencia anterior esdescriuria amb la parame-tritzacio donada amb la vari-acio 0 t 2 . Mes en gene-ral, larc corresponent entre1 i 2 sobtindra amb 1 t 2.

Parametritzacio duna circumferencia qualsevol.

Considerem la circumferencia de centre C = (a, b) i de radi R, es a dir, dequacio (xa)2+(yb)2 = R2; en aquest cas, utilitzar com a parametre langle polar dels punts de la circumferenciaseria forca complicat i per aquest motiu en descartem la possibilitat. Considerem el nou sistemade coordenades S = (C; {e1, e2}), amb nou origen C i eixos paral

.lels, respectivament, alshabituals.

O x

y

SS x

y

t

O = CFigura 5.13

En S la circumferencia te per equacio x2 + y2 = R2; podem utilitzar la parametritzacioanterior, amb t angle polar en el sistema S, i escriure la parametritzacio corresponent:


, 0 t 2,

Lexpressio en lantic (i original) sistema de coordenades ens donara la parametritzacio buscada:

{x(t) = a+R cos ty(t) = b+R sin t

, 0 t 2,

5 Corbes 181

Considerem ara alguns exemples de circumferencies a lespai, en plans paral.lels als de coorde-nades.

La circumferencia de centre lorigen i radi R situada en el pla de coordenades xy admet laparametritzacio

x(t) = R cos ty(t) = R sin tz(t) = 0

, 0 t 2,

La corba es recorre a partir de (R, 0, 0) en sentit antihorari (de leix Ox+ cap a leix Oy+ pelcam mes curt) vista des de leix Oz positiu.

La circumferencia de centre sobre leix Oy i radi R situada en el pla y = 3 admet la parame-tritzacio

x(t) = R cos ty(t) = 3z(t) = R sin t

, 0 t 2,

No unicitat de la parametritzacio

Podem veure a continuacio que la parametritzacio duna corba no es necessariament unica,tant pel que fa a lexpressio parametrica com pel domini de parametres. En efecte, canviant eldomini de parametres a I = [0, ], lexpressio parametrica (t) = (R cos 2t, R sin 2t) descriu elmateix conjunt de punts, els de la circumferencia x2 + y2 = R2, pero duna manera diferent.

Tambe podem parametritzar la circumferencia anterior mitjancant (t) = (R cos(t+4 ), R sin(t+4 )), amb 0 t 2. En aquest cas la corba es descriu tambe en sentit antihorari, a partir delinici en el punt corresponent de la bisectriu del primer quadrant.

Tambe y = y(x) =1 x2, per a 1 x 1, es una parametritzacio de la semicir-

cumferencia unitat corresponent al semipla dordenades positives o nul.les. Formalment seria(x) = (x,

1 x2), 1 x 1.

5.2.4 Corbes (2D) en forma polar

Hi ha corbes que es descriuen de manera natural en termes de les coordenades polars (r, ) delspunts corresponents, mitjancant una relacio r = f(), 0 1 (vegeu un esquema a la


figura 5.14).

r

P = (r, )

r = f()

Figura 5.14

En serien exemples r = R (circumferencia de centre lorigen i radi R), r = a, r = aeb i altresde similars.

Parametritzacio de corbes en forma polar. En aquest cas es pot escriure lequacio de la corbaen forma parametrica prenent com a parametre langle polar:

{x() = r cos = f() cos y() = r sin = f() sin

, [0, 1]

Un exemple interessant es el de lespiral dArquimedes, que es la corba dequacio polar r = a(observem que lequacio correspon a la dels punts que sallunyen de lorigen proporcionalmenta langle polar).

0 26

4

2a

2a

2a

Figura 5.15

Una parametritzacio de lespiral dArquimedes r = a, amb a > 0 es, doncs,

{x() = a cos y() = a sin

, [0, 1]

Si volem que es donin 6 voltes, per exemple, haurem de considerar linterval de variacio delparametre [0, 12].

Lexpressio de la circumferencia de centre lorigen i radi R en forma polar es senzillament r = R,amb [0, 2].

Una altra corba interessant es la cardioide, donada per

r = a(1 + cos ), a > 0, 0 2,

5 Corbes 183

que es parametritza per

{x() = a(1 + cos ) cos y() = a(1 + cos ) sin

, [0, 2]

(2a, 0) = 0 = 2

Figura 5.16.Per a proposits de referencia, en la posicio estandard de lacardioide, donada per la parametritzacio anterior en el sis-tema de coordenades cartesianes, el vertex de la cardioidees el punt que correspon a = 2, en aquest cas lorigen decoordenades, i leix de la cardioide es la semirecta dorigenel vertex V orientada pel vector

V P , essent P el punt de

la cardioide que correspon a = 0 en la parametritzaciodonada; en aquest cas es el semieix orientat Ox.

5.2.5 Corbes (3D) com a interseccio de superfcies

Algunes corbes tridimensionals apareixen de manera natural com a interseccio de superfcies;per exemple, podem considerar la corba interseccio de lesfera x2 + y2 + z2 = R2 i el plax+y+z = 1 (per a R suficientment gran perque hi hagi interseccio), com es veu a la figura 5.17(les dues subfigures de lesquerra); es el conjunt de punts que satisfan el sistema dequacions

{x2 + y2 + z2 = R2

x+ y + z = 1

Aquestes equacions sanomenen equacions cartesianes de la corba.

Figura 5.17

Representar la corba exigeix disposar dalgun metode per obtenir-ne els punts duna poligonaldaproximacio, cosa que normalment ens porta al problema de trobar-ne una parametritzacio,problema no sempre facil de resoldre. El tema plantejat en general es bastant difcil; nomes eltractarem en alguns dels casos particulars mes habituals.

Hi ha casos mes senzills que moltes vegades ens permeten expressar comodament determinadescorbes a lespai situades en plans paral.lels als de coordenades; per a fer-ho hem de veure quinaes lequacio cartesiana dun cilindre en una posicio favorable. Considerem el cilindre recte, deixleix de coordenades Oz i de base la circumferencia sobre el pla z = 0, centre lorigen i radia. Aleshores, els punts (x, y, z) del cilindre es projecten perpendicularment sobre lesmentada


circumferencia, en els punts (x, y, 0), i per tant les coordenades x, y satisfan lequacio dels puntsde la circumferencia en dimensio 2, es a dir, x2 + y2 = a2 i, pel que fa a la tercera coordenadaz, varia lliurement des de fins a +. Finalment, doncs, el cilindre es el conjunt

C = {(x, y, z) R3|x2 + y2 = a2}

Per aquest motiu, lequacio del cilindre es

x2 + y2 = a2

Una observacio important a fer es que lequacio x2 + y2 = a2 no te un significat unvoc, jaque depen de la dimensio considerada: en dimensio 2, es lequacio duna circumferencia; endimensio 3, es lequacio dun cilindre.

Lequacio del cilindre recte de base la circumferencia del pla z = 0, de radi R i centre (a, b, 0)o, equivalentment, el cilindre recte deix paral.lel a leix Oz i de radi R, es

(x a)2 + (y b)2 = R2.

Tot aixo es interessant per a la descripcio de certes corbes. Per exemple, la circumferenciaen z = 0 de centre O i radi a es la interseccio de dues superfcies, el pla z = 0 i el cilindrex2 + y2 = a2 i per aquest motiu

{z = 0x2 + y2 a2 = 0

nes lexpressio com a interseccio de dues superfcies.

El cilindre recte deix Oy i radi a te equacio x2 + z2 = a2, i el cilindre recte deix Ox i radi aes dequacio y2+ z2 = a2; aleshores, la circumferencia situada al pla y = 3, de centre a leix Oyi de radi R, es pot expressar com a interseccio de dues superfcies, es a dir com a solucio delsistema

{y = 3x2 + z2 R2 = 0

Finalment, conve tenir present que la interseccio de dues superfcies no sempre es una unicacorba (es a dir, connexa), fins i tot en casos molt senzills; algunes vegades la interseccio es lareunio de dues o mes corbes: per exemple, la interseccio duna esfera de radi R i un cilindredeix que passa pel centre de lesfera i es de radi r < R, esta formada de dues circumferencies.

Figura 5.18

5 Corbes 185

5.3 Algunes parametritzacions notables

Veurem en aquesta seccio algunes parametritzacions molt utils dalgunes de les corbes meshabituals, les que apareixen amb mes frequencia en problemes geometricografics; totes elles sonconiques en el pla. Tambe veurem algunes corbes (classiques) que apareixen a lanalisi demecanismes.

5.3.1 Parametritzacio de lel.lipse

5.3.1.1 El.lipse reduda en posicio canonica

Lequacio en el sistema de coordenades cartesianes habitual del pla

x2

a2+

y2

b2= 1

correspon a lel.lipse de centre lorigenO = (0, 0), semieixos a, b > 0 i eixos principals coincidentsamb els eixos de coordenades (figura 5.19).

ab

O (a, 0)

(0, b)y

xFigura 5.19

Teorema 5.2 Una parametritzacio de lel.lipse

x2

a2+

y2

b2= 1 (a, b > 0) es

{x() = a cos y() = b sin

, 0 2,

Demostracio

Vegem en primer lloc que els punts de la forma anterior son de lel.lipse, es a dir, que en satisfanlequacio, cosa que es una comprovacio de rutina:

x()2

a2+

y()2

b2=

(a cos )2

a2+

(b cos )2

b2= cos2 + sin2 = 1

Vegem ara que tots els punts de lel.lipse son daquesta forma, es a dir, per a cada P = (x, y)de lel.lipse existeix [0, 2] tal que

{x = a cos y = b sin

, 0 2,

Al mateix temps donarem un significat geometric al parametre , que es un angle, pero nolangle polar de P !


Considerem la construccio de la figura 5.20, suposant, per exemple, a > b.

ab

O (a, 0)

(0, b)y

x

PQ

B

y

Figura 5.20

Sigui la circumferencia de centre lorigen de coordenades O i de radi b, i sigui P = (x, y)un punt de lel.lipse. Tracem des de P una semirecta paral.lela a leix Ox fins que talli lacircumferencia en el punt Q, i sigui B la projeccio ortogonal de Q sobre Ox. Considerem aralangle polar del punt Q en el sistema usual de coordenades polars: aquest es el parametreescollit per formular una parametritzacio de lel.lipse. Vegem ara com podem expressar P =(x, y) en funcio de .

Considerant el triangle rectangle OQB tenim y = QB = OQ sin = b sin .

Ara, substitunt a x2

a2+ y

2

b2= 1, resulta finalment, i per a tots els quadrants, que x = a cos ,

com es pot comprovar facilment.

En el cas a < b considerariem el grafic de lafigura 5.21.Es considera la circumferencia de centre O iradi a. Si P = (x, y) es un punt de lel.lipse,es traca la paral.lela des de P a leix Oy finsque sintersequi amb , en el punt Q. Amb angle polar de Q podem escriure x = a cos i,imposant que el punt sigui de lel.lipse, resultaray = b sin per a tots els quadrants. Amb aixosacaba la demostracio.

P

a

b(0, b)

a

Figura 5.21

El parametre anterior sanomena angle excentric i te el significat dangle polar; pero no delpunt P de lel.lipse, sino del punt Q de la construccio auxiliar anterior.

Arcs del.lipse. A linterval I = [0, 2] es genera lel.lipse completa; restringint la variacio delparametre a un subinterval podem generar arcs del.lipse.

Naturalment, la parametritzacio que hem vist de la circumferencia es pot derivar de la para-metritzacio de lel.lipse com a cas particular.

5.3.1.2 El.lipses en posicio general

El.lipse en el pla de centre arbitrari. De manera similar al cas de la circumferencia decentre diferent de lorigen, podem tambe escriure facilment, utilitzant un canvi de sistemade coordenades per canvi dorigen, lequacio de lel.lipse de centre C = (, ) i semieixos delongituds a, b i eixos principals respectivament paral.lels als eixos de coordenades cartesianes.

5 Corbes 187

O

C

P

x

y

y

x

Figura 5.22

Lequacio i la parametritzacio son, respectivament,

(x )2

a2+

(y )2

b2= 1,

{x = + a cos y = + b sin

, 0 2,

Una parametritzacio de lel.lipse de centre lorigen de coordenades, situada al pla z = 0, deixosprincipals els de coordenades de xy i de semieixos a, b > 0, es la seguent:

x() = a cos y() = b sin z() = 0

, 0 2,

El.lipse en el pla en posicio arbitraria. Vegem simplement un exemple de parametritzacioduna el.lipse de centre C = (, ), semieixos a, b i tal que leix principal corresponent al semieixa forma amb leix de coordenades Ox un angle = 45, segons la figura adjunta.

O x

C

P

b

at

Figura 5.23

Considerem el nou sistema de coordenades cartesianes S = (C, x, y) (vegeu la figura 5.23).En aquest sistema lequacio de lel.lipse es la duna el.lipse reduda en posicio canonica i es, pertant,

x2

a2+

y2

b2= 1

i la parametritzacio usual corresponent es

{x(t) = a cos ty(t) = b sin t

, 0 t 2,


Hem de fer, doncs, el canvi de coordenades corresponent a canvi dorigen i rotacio deixos. Lamatriu de canvi de base es

A =

(cos sinsin cos

)

i, per tant, la parametritzacio buscada es

(x(t)y(t)

)= A

(x(t)y(t)

)+ C = A

(a cos tb sin t

)+ C,

don finalment resulta

{x(t) = a cos t cos b sin t sin + y(t) = a cos t sin + b sin t cos +

, 0 t 2,

i daquesta forma podem representar el.lipses o arcs del.lipse en posicio general. Per exemple,larc corresponent al primer quadrant sobtindria amb 0 t 4 , i la semiel

.lipse corresponental primer i segon quadrants sobtindria amb 0 t .

Es podria expressar equivalentment en forma vectorial directament utilitzant la base ortonormale1

= (cos , sin), e2 = ( sin, cos ):

r(t) = a cos te1 + b sin te2 + C

El.lipse sobre un pla Es tracta dobtenir una parametritzacio de lel.lipse sobre el pla :x + y + z = 3, de centre C = (1, 1, 1) i de semieixos a, b, de manera que la direcciodeterminada per leix principal corresponent al semieix a sigui

CD, amb D = (1, 2, 0).

x

y

z

C

D

Figura 5.24

Lobtindrem per canvi de base: es tractade construir un nou sistema de coordena-des cartesianes, lligat al pla de lenunciat,sistema en el qual tinguem una parame-tritzacio comoda de la corba (referenciaadaptada). La idea es plantar un sis-tema cartesia amb origen a C i eixos do-nats per la direccio

CD (el primer), la di-

reccio normal al pla (el tercer) i un segoneix perpendicular als dos anteriors, esco-llit adequadament per controlar el sentitde recorregut sobre la corba.

Concretament, consideremCD = D C = (1, 2, 0) (1, 1, 1) = (0, 1,1),

CD =

2, i

prenem

e1 =

1

CD

CD = (0,

12,

12) = (0,

2

2,

2

2)

Per al tercer vector e3, considerem

N = (1, 1, 1),

N =

3 i prenem

e3 =

1

N

N = (

13,13,13) = (

3

3,

3

3,

3

3)

5 Corbes 189

Per obtenir e2 calcularem el producte vectorial dels dos anteriors (ja resultara unitari, per

ser producte vectorial dortogonals unitaris), en lordre adequat si volem mantenir lorientacio,cosa que afectara el sentit de recorregut sobre lel.lipse. Podem prendre, doncs,

e2 = e3

e1 = (

6

3,

6

6,

6

6)

Figura 5.25

Considerem el nou sistema S = (C; {e1 , e2 , e3 }), en el qual, doncs, el pla passa a ser elpla de coordenades z = 0, si les coordenades respectives, relatives als eixos corresponents, sonx, y, z. En aquest nou sistema de coordenades lel.lipse buscada sexpressa parametricamentper

x(t) = a cos ty(t) = b sin tz(t) = 0

, 0 t 2,

x y

z

Figura 5.26

Linici de lel.lipse es al punt C + ae1. El recorregut es fara en sentit antihorari mirant

lel.lipse des del semiespai dentre els dos determinats per que no conte lorigen.

Figura 5.27

La matriu de canvi de base es


A =

0

63

33

22

66

33

22

66

33

Aplicant finalment X = AX +C, resulta la parametritzacio corresponent de lel.lipse (observemque e3

interve de manera indirecta en el calcul de e2):

x(t) = 63 b sin t+ 1

y(t) =22 a cos t+

66 b sin t+ 1

z(t) = 22 a cos t+

66 b sin t+ 1

, 0 t 2,

Figura 5.28.Un simple canvi de signe en el segon vector dela nova base produira la mateixa el.lipse com aconjunt de punts, pero es generara duna altra for-ma, com es pot veure al grafic de la figura.

Alternativament, podem escriure lexpressio vectorial de lel.lipse:

(t) = a cos te1 + b sin te2 + C

5.3.2 Parametritzacio de la hiperbola

Donada la hiperbola

O (a, 0)(a, 0)

x

y

Figura 5.29

dequacio

x2

a2

y2

b2= 1, (a, b > 0)

es poden considerar diverses parametritzacions de la corba, dues de les quals es descriuen acontinuacio.

5.3.2.1 Parametritzacio amb funcions trigonometriques

Teorema 5.3 La hiperbola

5 Corbes 191

x2

a2

y2

b2= 1, (a, b > 0)

admet la parametritzacio per a x > 0, y 0 donada per

{x(t) = a sec ty(t) = b tg t

, 0 t 0 es valida la parametritzacio anterior fent variar el


parametre a linterval (2 ,2 ). A lesquema seguent es pot veure com sobtenen les branques

de la hiperbola sense canviar la parametritzacio:

2

23

2

2

Figura 5.31

Per simetritzacio es pot formular una parametritzacio de la branca esquerra

{x(t) = a sec ty(t) = b tg t

,

2< t 0, y 0de la hiperbola, i siguin O lorigen iA = (a, 0). Sigui ara P = (x, y) unpunt daquesta part de la hiperbola i larea signada de la zona amb tramade lesquema adjunt. Amb = 2 espot demostrar que el punt P sexpres-sa com {

x() = a ch y() = b sh

No farem aqu la demostracio. Simplement ens limitarem a comprovar que tots els punts de laforma anterior son de la hiperbola:

x2

a2

y2

b2= ch2 sh2 = 1

Finalment, la parametritzacio completa, per branques, sera:

- Branca dreta (x > 0):

{x() = a ch y() = b sh

, < +

5 Corbes 193

i es recorre segons lesquema de la figura 5.33 (dreta).

- Branca esquerra (x < 0):

{x() = a chy() = b sh

, < +

i es recorre segons lesquema de la figura 5.33 (esquerra).

= 0

+

= 0

+

Figura 5.33

5.3.3 Corbes especials

En aquesta seccio presentarem, sense cap anim de completesa, algunes de les corbes que apa-reixen en lanalisi de certs mecanismes; ho aprofitarem essencialment com a exemples de comresoldre en determinades circumstancies el problema de lobtencio de parametritzacions de cor-bes.

Vegem com exemples dues corbes: la cicloide i lepicicloide.

La cicloide. Considerem un punt duna roda de bicicleta que gira sense lliscar sobre unalnia recta; la trajectoria que segueix aquest punt es una cicloide. Es tracta dobtenir-ne unaparametritzacio.

Figura 5.34

Concretant, considerem una circumferencia C de radi R tangent a lorigen a leix Ox; siguiP el punt que inicialment esta a lorigen. Suposem que la circumferencia comenca a girar, esdesplaca en el sentit de leix Ox positiu i es mante tangencial a leix dabscises. Volem descriurela posicio del punt P = (x, y) en funcio del parametre angular t, corresponent a lesquema dela figura 5.35.

P

PP

P

C x

yFigura 5.35


Precisant lesquema a la figura 5.36, si s es la distancia recorreguda sobre leix Ox, ha digualarlarc recorregut sobre la circumferencia, de manera que s = tR. Ates que

{x = s xy = R+ y

,resulta

{x(t) = tR x(t)y(t) = R + y(t)

P

t

s

s

x

y t

Px

y

tFigura 5.36

Sera

{x(t) = R sin( t) = R sin ty(t) = R cos( t) = R cos t

i, per tant,

{x(t) = R(t sin t)y(t) = R(1 cos t)

Si volem descriure la part de trajectoria corresponent a la primera volta, aleshores caldra prendre0 t 2.

Lepicicloide. Considerem CR una circumferencia fixa de centre lorigen i radi R i una circum-ferencia mobil Cr de radi r que esta situada en el mateix pla que CR i que hi es tangent exterior,i suposem que Cr gira sense lliscar al voltant de la circumferencia fixa en sentit antihorari apartir duna posicio inicial, que suposarem que es aquella en la qual el centre de Cr esta situatsobre el semieix positiu Ox. Un punt fix P de Cr genera daquesta manera una corba planaanomenada epicicloide (vegeu lesquema de la figura 5.38). Suposem que el punt fix escollit enla posicio inicial es P = (R, 0).

Anem a obtenir una parametritzacio de lepicicloide en termes de langle polar de lesquema.Sigui M0 el centre de la circumferencia fixa, r0 el seu radi, i siguin M el centre instantani de lacircumferencia mobil i r el seu radi.

CR

CrMr

P

M0 Figura 5.37

Considerem lesquema auxiliar seguent:

5 Corbes 195

CR

CrM

r

+

P

M0 ( + )Figura 5.38

Sigui P = (x, y) un punt generic de la circumferencia mobil. Es tracta dobtenir el vectorM0P . En primer lloc, tenim

M0P =

M0M +

MP =

M0M

PM , i trivialment

M0M =

((r + r0) cos, (r + r0) sin) iPM = (r cos(+ ), r sin(+ )); per tant,

M0M = ((r + r0) cos, (r + r0) sin) (r cos( + ), r sin(+ ))

Podem escriure una relacio entre i derivada del fet que les longituds recorregudes sobre lescircumferencies respectives coincideixen i, en consequencia, r0 = r, don =

r0r. Per tant,

+ = + r0r = (1 +r0r ) i, finalment,

{x() = (r0 + r) cos r cos(1 +

r0r )

y() = (r0 + r) sin r sin(1 +r0r)

Vegeu diverses epicicloides a la figura 5.39 obtingudes fent variar les relacions entre els dosradis.

Figura 5.39

5.3.4 Exercicis

1 Trobeu una representacio parametrica de les corbes seguents:

a) x2

5 +y2

8 = 4

b) x2 + y2 4x 2y = 4

2 Trobeu una representacio parametrica de les corbes donades en coordenades polars per a

a) r = ea

b) r = a(1 + cos ) (cardioide)

c) r = 2cos


3 Determineu les equacions cartesianes de la corba parametrica

x = 4 sin2 ty = 2 cos tz = 2 sin t

4 Reparametritzeu lel.lipse en funcio de langle polar.

5 Parametritzeu lepicicloide, suposant que les circumferencies anteriors estan situades sobre el plax + y + z = 3, amb el centre de la circumferencia fixa en el punt P0 = (1, 1, 1), i amb origendangles polars la semirecta orientada P0P1, on P1 = (0, 0, 3).

6 Parametritzeu lel.lipse de centre C = (2, 1, 2), amb semieixos a = 2, b = 3, situada en un plaperpendicular a la recta (2, 1, 2) + t(3, 4, 2), de tal manera que leix principal corresponent alsemieix a = 2 passi per Q = ( 43 , 1, 3).

5.4 Helixs

5.4.1 Lhelix circular o cilndrica

Lhelix circular es un dels exemples mes notables de corba parametrica a lespai. Des del puntde vista geometric, lhelix circular deix Ox, radi a i pas (o pas de rosca) b = 0 es la corba delespai per a la qual

els punts es projecten ortogonalment sobre el pla z = 0 en la circunferencia de centrelorigen i radi a continguda sobre aquest pla, cosa que es equivalent a dir que estan sobreel cilindre recte x2 + y2 = a2de base aquesta circumferencia, i

les altures dels punts son proporcionals (amb el factor de proporcionalitat b) a langlepolar girat mesurat de la manera habitual en el pla de coordenades xy.

x

z

y

P

t

Figura 5.40

Precisant, en el pla xy, els punts es projecten sobre la circumferencia dequacio x2 + y2 = a2,que podem parametritzar en funcio de langle polar t de la manera habitual i expressar aix:

{x(t) = a cos ty(t) = a sin t

Daquesta forma, linici de la corba sera al punt (a, 0, 0).

Finalment completem la parametritzacio de lhelix expressant el creixement de laltura propor-cionalment a t:

5 Corbes 197

x(t) = a cos ty(t) = a sin tz(t) = bt

Si b > 0, lhelix que sobte sanomena dextrogira (tambe es diu que gira a la dreta); si b < 0,lhelix es levogira (o gira a lesquerra); sanomena tambe helix cilndrica per raons obvies.

Linterval de variacio del parametre depen de les voltes que hagi de fer lhelix; una volta corres-pon a 0 t 2, 6 voltes corresponen a 0 t 12; naturalment, tambe es poden descriurearcs dhelix circular.

Vegem alguns exemples relacionats amb la parametritzacio de les helixs.

Exemple 5.1. Podem veure quina es laltura recorreguda per una volta completa:

z1 = bt1

z2 = bt2, t2 = t1 + 2

z2 z1 = bt2 bt1 = 2b

Exemple 5.2. Doneu la parametritzacio de lhelix circular deix que passa per (x0, y0, 0) i esparal.lel a Oz, de radi a > 0 i pas b:

x(t) = x0 + a cos ty(t) = y0 + a sin tz(t) = bt

Exemple 5.3. Parametritzacio de lhelix circular deix Oz, radi a, pas de rosca b > 0 que siniciaal punt (a, 0,z0). Simplement es lhelix circular habitual desplacada en la direccio de leix Oxnegatiu; la parametritzacio corresponent sera

x(t) = a cos ty(t) = a sin tz(t) = bt z0

Exemple 5.4. Finalment, la parametritzacio de lhelix circular deix leix Ox, radi a i pas derosca b:

x(t) = bty(t) = a cos tz(t) = a sin t


5.4.2 Altres tipus dhelixs

Amb aquest esquema descriptiu podem considerar altres tipus dhelixs, com per exemple lhelixel.lptica, formada per punts la projeccio ortogonal dels quals sobre z = 0 recorre lel.lipse donadaper

{z = 0x2

a2 +y2

b2 = 1, que es parametritzara per

x(t) = a cos ty(t) = b sin tz(t) = ct

Figura 5.41

Tambe podem considerar una helix espiral que es projecti perpendicularment sobre una espiraldArquimedes r = a en el pla z = 0 i que sigui tal que laltura dels punts creixi proporcional-ment a langle polar de les projeccions. La parametritzacio corresponent es

x() = a cos y() = a sin z() = b

x y

zFigura 5.42

Lhelix anterior sanomenara helix espiral dArquimedes, deix Oz, i pas b. Observem que lhelixespiral sinicia a lorigen de coordenades. A la figura 5.42 es a = 3, b = 2 i 0 6.

5.4.3 Parametritzacions dhelixs en posicions arbitraries

La parametritzacio duna helix deix diferent dels eixos de coordenades es pot obtenir a partirde la parametritzacio estandard i un canvi de sistema de coordenades des dun sistema queconverteixi leix de lhelix en el nou eix z del nou sistema de coordenades; en veurem diversosexemples en aquesta seccio. Lestrategia de resolucio general daquests exemples tambe es potadoptar per a altres corbes diferents de lhelix.

Exemple 5.5. Considerem en el sistema habitual de coordenades cartesianes la recta r : x =y = z i una helix circular dextrogira H deix r, radi a > 0 i pas de rosca b > 0. Sha deparametritzar lhelix segons una parametritzacio H(t) = (x(t), y(t), z(t)), t [0, 2] tal que

5 Corbes 199

H(0) = P0 = (x0, y0, z0) sigui un punt del pla z = 0, amb coordenades x0 > 0, y0 < 0.

Figura 5.43

Suposem que estem treballant en la referencia cartesiana habitual S = (O; {e1, e2, e3}); en unareferencia daquest tipus la parametritzacio de lhelix dextrogira de radi a > 0, pas b > 0 i eixOz es la seguent


, 0 t 2.

Per a t = 0 lhelix circular passa per P1 = (a, 0, 0). La recta r passa per lorigen i es devector director w = (1, 1, 1) (o qualsevol multiple escalar no nul). Construirem una referenciacartesiana comoda, dorigen O = O i deixos mutuament perpendiculars tals que el tercer eixde coordenades z sigui la recta r, que volem que faci el mateix paper que leix Oz pel que fa alnostre problema.

Observada des de leix z positiu veiem recorrer la projeccio ortogonal de lhelix sobre el pla xysobre una circumferencia en sentit positiu o antihorari, es a dir, de x a y (del primer eix decoordenades al segon en el pla xy pel cam mes curt). Per tal de reproduir aquesta situacio,orientem r per w = (1, 1, 1) (observem que shagues pogut escollir w = (1, 1, 1)).

Per tant, el tercer vector unitari de la nova referencia es

e3 =1

ww = (

13,13,13)

Linici de lhelix buscada es P0 = (x0, y0, z0) per a t = 0. En consequencia, novament perreproduir la situacio habitual, per tal de poder fer servir la parametritzacio anterior, escollimcom a direccio i orientacio del primer vector de la nova base

OP0 i ara precisem quin seria e1:

considerem u1 = (, , ) = OP0. Per tant, = 0, per una de les condicions (P0 es del pla

z = 0). Daltra banda u1 ha de ser ortogonal a e3 i, en consequencia, u1 e3 = 0, cosa que estradueix en + = 0 i podem escollir, per exemple, = 1 i, aleshores, = 1. Es a dir,u1 = (1,1, 0)

Dentre les dues orientacions possibles de la mateixa direccio, aquesta sajusta a les condicionsdonades x0 > 0,y0 < 0.

Normalitzant,


e1 =1

u1u1 = (

12,

12, 0)

El segon vector e2 ha de ser ortogonal a e1 i a e3 i tindra, per tant, la direccio del productevectorial de e1 i e3. Lordre sha de triar adequadament per tal que {e1, e2, e3} sigui una basede la mateixa orientacio que {e1, e2, e3} (si volem tenir una copia del que passa amb S), cosaque aqu es essencial per mantenir el sentit de gir dextrogir de lhelix. Es podria calcular elvector que ens falta, comprovar despres lorientacio mitjancant el signe del determinant i, encas negatiu, considerar el vector oposat. Tambe podrem fer-ho visualment. Ho resoldremde manera mes sistematica seguint els canvis dorientacio que es produeixen, dacord ambun resultat previament demostrat en relacio amb el tema del producte vectorial. En efecte,{e1, e3, e1 e3} es de la mateixa orientacio que {e1, e2, e3}, {e1, e1 e3, e3} es de diferentorientacio que {e1, e2, e3}, i, en consequencia {e1, e3 e1, e3} es de la mateixa orientacio que{e1, e2, e3}.

Prenem, doncs,

e2 = e3 e1 = (16,16,

26),

ja unitari, perque es producte vectorial de dos vectors ortogonals i unitaris.

Finalment, la nova referencia es

S = (O; {e1, e2, e3})

i la matriu de canvi de base es

A =

12

16

13

12

16

13

0 26

13

En la referencia S, lhelix buscada sexpressa parametricament amb


, 0 t 2.

En consequencia, a la referencia original tindrem la parametritzacio donada per

x(t)y(t)

z(t)

= A

x(t)y(t)

z(t)

, 0 t 2,

i, per tant,

x(t) = a2cos t+ a

6sin t+ b

3t

y(t) = a2cos t+ a

6sin t+ b

3t

z(t) = 2a6sin t+ b

3t

, 0 t 2,

es la parametritzacio buscada.

Observem que lhelix comenca en el punt P0 = (a2

2 ,a2

2 , 0).

5 Corbes 201

5.4.4 Exercicis

1 Parametritzeu la cardioide de parametre a, vertex situat al punt A = (1, 1/2) i semieix en ladireccio del vector u = (2, 1) (figura 5.44).

A

B

Figura 5.44

2 Determineu les equacions parametriques i cartesianes de lhelix circular directa, deix Oy, pas derosca 4 i que passa pel punt (2, 0, 0).

3 Podem expressar lhelix circular com a interseccio de dues superfcies?

4 Escriviu parametritzacions dhelixs circulars de radi a, pas de rosca b i eix els que sindiquen acontinuacio, respectivament:

a) Eix paral.lel a leix Oz passant pel punt (1, 1, 0).

b) Eix paral.lel a leix Ox que passa pel punt (0, 1, 2).

c) Eix donat per la recta que passa pel punt P0 = (1, 0, 0) i direccio donada per u = (1, 1, 1).

5 Proposeu una parametritzacio de lhelix circular deix Oz, de radi a i pas de rosca b, amb eldomini de parametres t [0, ], linici de la qual sigui el punt (a,0, 0) per a t = 0.

5.5 Classificacio de coniques

No podem tractar el tema en tota la seva generalitat ni tampoc amplitud, ja que aixo correspon-dria mes aviat a un captol de formes quadratiques i reduccio de formes quadratiques. Faremnomes una exposicio restringida (i resumida) al cas especial de les coniques amb lobjectiu deparametritzar determinades corbes. Se suposa que el lector coneix els aspectes basics de lesconiques.

5.5.1 Equacions de segon ordre

Una equacio de segon ordre en n variables es una equacio del tipus

ni,j

aijxixj +ni

bixi + f = 0, aij = aji, i, j.

Un cas particular daquest tipus dequacio es el corresponent a dues variables

ax2 + 2bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0

Ja hem vist abans equacions daquest tipus. Recordem-ho:


x2 + y2 1 = 0 (circumferencia)

x2 + y2 2x 2y + 1 = 0 (circumferencia)

x2

a2+ y

2

b2 1 = 0 (el.lipse)

x2

a2 y2

b2 1 = 0 (hiperbola)

y x2 + 2 = 0 (parabola)

En relacio amb aquests exemples, en el segon cas, com es pot distingir que efectivament es unacircumferencia? Per exemple, per un proces de completacio de quadrats:

x2 + y2 2x 2y + 1 = 0(x2 2x) + (y2 2y) + 1 = 0((x 1)2 1) + ((y 1)2 1) + 1 = 0(x 1)2 + (y 1)2 = 1,

i ara ja podem identificar que, efectivament, es la circumferencia de centre (1, 1) i radi 1.Haguessim obtingut el mateix resultat de simplificacio de lequacio per un canvi de coordenadespassant el nou origen de coordenades a (1, 1). Encara podem veure un exemple addicional decompletacio de quadrats en el cas de lequacio seguent, que utilitzarem al llarg del text:

3

2x2 +

1

2y2

2x = 0 (5.1)

Agrupant els termes en x podem reescriure la part corresponent com

3

2x2

2x =

3

2(x2

22

3x) =

3

2((x

2

3)2

2

9) =

3

2(x

2

3)2

1

3

Substitunt a lequacio resulta

3

2(x

2

3)2 +

1

2y2 =

1

3,

que es pot reescriure com

(x23 )

2

(23 )

2+

y2

(

23 )

2= 1, (5.2)

que podem identificar com lel.lipse de centre C = (23 , 0), semieixos a =

23 , b =

23 i eixos

principals respectivament paral.lels als eixos de coordenades i amb les mateixes orientacions.

Tambe es poden formular equacions com x2 = 1, x2 y2 = 0, x2 = 0, x2 = 1, igualmentequacions de segon grau pero que no corresponen a les coniques habituals, sino a casos dege-nerats, les coniques degenerades. Els exemples anteriors corresponen, respectivament, a duesrectes paral.leles, dues rectes que es tallen, dues rectes coincidents i el conjunt buit.

Altres casos no son tan facils de reconeixer, sobretot quan hi apareixen productes creuats xyde les variables: tota lestrategia consisteix a trobar un canvi adequat de coordenades que enspermeti eliminar els productes creuats i identificar la corba. Es pot demostrar que aquest

5 Corbes 203

problema sempre te solucio, en un nou sistema de coordenades cartesianes; a mes, el resultatfinal es sempre una conica, llevat de casos degenerats: per tant, es pot veure que les equacionsde segon grau en dues variables sempre corresponen a coniques, es a dir, a

el.lipses

hiperboles

paraboles

coniques degenerades

Observant lestructura de lequacio general de segon ordre hi podem distingir:

Una part quadratica, polinomi de segon grau en les variables, de la forma Q(x1, , xn) =ni,j aijxixj ; en el cas de dues variables la part quadratica seria de la forma Q(x, y) =

ax2 + 2bxy + cy2,

Una part lineal, polinomi de primer grau en les variables, de la forma L(x1, , xn) =ni bixi; en el cas de dues variables la part lineal seria L(x, y) = dx+ ey,

Un terme independent f ,

de manera que podem reescriure lequacio general de segon ordre com

Q(x1, , xn) + L(x1, , xn) + f = 0

Es tractara de reduir en primer lloc la part quadratica.

Considerem el problema de reduir i classificar lequacio seguent:

x2 + y2 + xy x y = 0 (5.3)

Seguirem tractant aquest exemple al llarg de lexposicio seguent.

5.5.2 Formes quadratiques

Definicio 5.2 Una forma quadratica en n variables es una expressio del tipus

Q(x1, , xn) =n

i,j=1

aijxixj ,

on els coeficients escalars compleixen la propietat aij = aji, per a tot i, j.

Un exemple en dues variables, corresponent a lequacio 5.3, seria el seguent:

Q(x, y) = x2 + y2 + xy, (a11 = a22 = 1, a12 = a21 =1

2)


5.5.3 Expressio matricial duna forma quadratica

Donada una forma quadratica, considerem en primer lloc lamatriu associada a la forma quadra-tica, que es la matriu M = (aij), formada pels coeficients de la forma quadratica, i que es sime-trica, es a dir, es tal que M = MT per la condicio aij = aji. En el cas de lexemple anterior,Q(x, y) = x2 + y2 + xy, es

M =

(1 1212 1

)

La matriu de la forma quadratica es util per expressar-la en termes matricials; concretament,es una comprovacio rutinaria justificar que

Q(x1, , xn) = (x1 xn)M

x1...xn

= XTMX, si X =

x1...xn

.

En el nostre exemple,

Q(x, y) = x2 + y2 + xy = (x y)

(1 1212 1

)(xy

)

5.5.4 Canvi duna forma quadratica per canvi de base

Sigui A la matriu dun canvi de base; es compleix per tant X = AX . Sigui XTMX una formaquadratica. Aleshores podem escriure

XTMX = (AX )TM(AX ) = (X TAT )M(AX ) = X T (ATMA)X = X TCX ,

amb C = ATMA. Lexpressio obtinguda tindra lestructura duna forma quadratica si escompleix la condicio de simetria CT = C, cosa que podem comprovar immediatament:

CT = (ATMA)T = ATMT (AT )T = ATMA = C.

Si el canvi es fa entre bases ortonormals, aleshores es AT = A1 i, en consequencia, es

Q(x1, , xn) = X

TCX , C = A1MA

5.5.5 Reduccio metrica duna forma quadratica

Suposem que sesta treballant en base ortonormal. Estem interessats a reduir una forma quadra-tica en n variables en una altra de simplificada en la qual nomes figurin els quadrats de lesvariables, possiblement afectats per alguns coeficients (alguns deventualment nuls), pero quehagin desaparegut els productes creuats de variables, i aixo per canvi de base, es a dir, que ensinteressa passar a unes noves coordenades en les quals la forma quadratica sexpressi com

Q(x1, , xn) = 1x

21 + + nx

2n

5 Corbes 205

Esperem poder identificar (com aix sera) la corba expressada en aquesta forma.

Si diagonalitzem lendomorfisme donat per M en base ortonormal (es a dir, si podem trobaruna base ortonormal de vectors propis de M), essent 1, , n els valors propis corresponents,i si A es la matriu de canvi de base, tindrem que sera, tenint en compte com canvia la matriudun endomorfisme per canvi de base,

A1MA =

1 0...

0 n

Aleshores, essent un canvi entre bases ortonormals, pel que abans hem escrit tindrem que,efectivament, la forma quadratica es reduiria a suma de quadrats de les noves variables (afectatsdels escalars corresponents) i haurien desaparegut els productes creuats de variables diferents,com podem veure a continuacio:

Q(x1, , xn) = X

T (A1MA)X = X T

1 0...

0 n

X = n

i=1

ix2i .

Per tant, es tracta de veure si aquesta diagonalitzacio en base ortonormal sempre es possible.Afortunadament, la resposta es afirmativa per a endomorfismes simetrics, que son els que escaracteritzen per tenir matriu simetrica en base ortonormal, com ocorre en el nostre cas. Aixoes consequencia del seguent teorema, que no demostrarem.

Teorema 5.4 Tot endomorfisme simetric es diagonalitzable en alguna base ortonormal.

Als efectes practics necessitem calcular:

Els valors propis de M . Daquesta manera ja tenim lexpressio reduda de la formaquadratica en les noves coordenades, i, per tant, de la part quadratica de lequacio de segongrau. Per a aixo caldra calcular les arrels del polinomi caracterstic P () = det(M I),es a dir, les solucions de P () = 0.

Seguint amb lexemple anterior de la forma quadratica Q(x, y) = x2+y2+xy, el polinomicaracterstic corresponent es

P () = det(M I) =

1 1212 1

= 42 8+ 3.Les arrels del polinomi son 1 =

32 , 2 =

12 i, per tant, ja sabem que, en les noves

coordenades que es puguin agafar corresponents a la base ortonormal de diagonalitzacio,la forma quadratica queda reduda a

Q(x, y) =3

2x2 +

1

2y2

Una base ortonormal de vectors propis. Ens fa falta per concretar el canvi de base i, even-tualment, poder transformar tambe la part lineal de les equacions generals de segon grau.Aixo significa que, com es habitual, hem de trobar bases dels nuclis Ker(MiI) i que lareunio es una base de diagonalitzacio. Ara be, aixo encara no garantiria lortonormalitat


de la base: dins de cada nucli trobem una base ortonormal, per ortonormalitzacio dunabase ja obtinguda (el resultat, com es va veure, segueix essent del subspai i, en consequen-cia, els vectors corresponents segueixen essent vectors propis del valor propi corresponent).Utilizem finalment que vectors propis dun endomorfisme simetric corresponents a valorspropis diferents son ortogonals per garantir que vectors propis de nuclis diferents sonortogonals. Donarem una justificacio daquesta afirmacio en el cas bidimensional.

Continuant amb lexemple anterior, anem a obtenir una base ortonormal de vectors propis:

Calculem el nucli de M 1I. Es

M 1I =

(1 1212 1

)

(32 00 32

)=

( 12

12

12

12

),

don podem escriure

(00

)( 12

12

12

12

)(xy

)=

( 12x+

12y

12x

12y

)

i resoldre el sistema corresponent, cosa que ens porta a obtenir una base del nucli;en aquest cas, prenem u1 = (1, 1), que unitaritzem a u1 = (

12, 1

2).

Calculem el nucli de M2I. Es procedeix de manera similar al cas anterior i sobteu1 = (1, 1). Unitaritzant, u2 = (

12, 1

2). Observem que u1, u2 son ortogonals i

que, per a aquesta eleccio, {u1, u2} es una base de la mateixa orientacio que loriginal.

Tenim, per tant, una base ortonormal de vectors propis de la mateixa orientacio queloriginal, de matriu de canvi donada per

A =

(12

12

12

12

),

que correspon geometricament a una rotacio dels eixos cartesians de 45.

En les noves coordenades, es a dir, en el nou sistema de coordenades S =(O; {u1, u2}) lequacio que hem estat considerant queda convertida en

3

2x2 +

1

2y2

2x = 0, (5.4)

com es pot comprovar expressant x, y en funcio de x, y per la formula del canvi debase i substituint.

Anteriorment shan enunciat resultats generals pel que fa a la reduccio de formes quadratiquesi endomorfismes simetrics, que no demostrem aqu. Ara be, en el cas bidimensional i, pertant, duna forma quadratica en dues variables Q(x, y) = ax2 + 2bxy + cy2, on se suposa queb = 0, podem fer demostracions ad hoc de les afirmacions anteriors (tot i que es podrien feren dimensio arbitraria, seguint altres lnies). En efecte, considerant la matriu de la forma

quadratica M =

(a bb c

), les arrels del polinomi caracterstic P () = 2 (a+ c)+ ac b2

son

1 =(a+c)+

(ac)2+4b2)

2

2 =(a+c)

(ac)2+4b2)

2

5 Corbes 207

Observeu que 1+2 = a+ c (cosa que farem servir mes endavant en la forma 1a = c2).

Ara be, si b = 0, es = (a c)2+4b2 > 0 i, en consequencia, 1, 2 R i 1 = 2; per tant, Mes diagonalitzable. Vegem que vectors propis de valors propis diferents de M son ortogonals:sigui w = (w1, w2) vector propi de valor propi i, cosa que significa que (M iI)w = 0 o,equivalentment, que

(a i b

b c i

)(w1w2

)=

(00

)

o be

{(a i)w1 + bw2 = 0bw1 + (c i)w2 = 0

De la primera equacio, essent b = 0 en resulta

w2

w1=

i a

b, i = 1, 2,

i de la segona, tenint en compte que i = c (ja que en cas contrari serien a = b = c = 0), esderiva

w2

w1=

b

i c, i = 1, 2,

Siguin ara els vectors propis u,v, es a dir Mu = 1u i Mv = 2v. Aleshores tenim, pel quesha obtingut abans,

u2u1

= 1ab

v2v1

= b2c

,

don

u1v1

u2v2=

1 a

2 c=

c 22 c

= 1,

don u1v1 + u2v2 = 0, es a dir u v = 0, com shavia de veure.

5.5.6 Simplificacio de la part lineal

En general, la part lineal es simplificara per completacio de quadrats agrupant les variablescorresponents sempre que sigui possible; lexemple anterior (5.4),

3

2x2 +

1

2y2

2x = 0

ja ha estat estudiat anteriorment (5.1) i es pot reescriure en la forma

3

2(x

2

3)2 +

1

2y2 =

1

3


Considerant ara el canvi dorigen en la referencia S donat per

{x = x

23

y = yresulta

{x = x +

23

y = y

El nou origen es, per tant, en el sistema S, O = (23 , 0). Canviant dorigen i passant al sistema

S = (O; {u1, u2}), lequacio resulta simplificada a

x2

(23 )

2+

y2

(

23 )

2= 1,

que ja sabem identificar com a el.lipse i sabem parametritzar:

{x(t) =

23 cos t

y(t) =

23 sin t

, t [0, 2].

Finalment, passarem a lantic sistema de coordenades. Resta per expressar el nou origenO en elsistema S, cosa que resulta immediatament de W = AO = (13 ,

13 ) i ara, aplicantX = AX

+W ,

(x(t)y(t)

)=

(12

12

12

12

)(x(t)y(t)

)+

(1313

)

Finalment obtenim

{x(t) = 13 cos t

13sin t+ 13

y(t) = 13 cos t+13sin t+ 13

, 0 t 2.

Es pot sistematitzar la simplificacio de la part linial duna equacio de segon ordre en duesvariables. La part lineal, que podem expressar matricialment com L(x, y) = NX, on N = (d e),es transforma en part lineal per un canvi de coordenades, ja que L(x, y) = N(CX ) = (NC)X =

(d e)

(x

y

).

En consequencia, el problema de simplificacio de la part lineal es planteja de la mateixa maneraque abans de fer la reduccio de la part quadratica.

Lequacio de la conica ha quedat transformada en

1x2 + 2y

2 + dx + ey + f = 0,

i com a mnim un dels 1, 2 es no nul, ja que en cas contrari seria CTMC = 0, i tambe ho

seria C1MC = 0, don M = C0C1 = 0, contrari a la hipotesi que no tots els a, b, c son nuls.

Si 1 = 0, per exemple, podem completar quadrats absorbint el terme d:

1x2 + dx = 1(x

2 +d

1x) = 1(x

+d

21)2

d2

41.

Similarment, si 2 = 0, podem fer el mateix; si 1 = 0, 2 = 0, redum la conica a

5 Corbes 209

1x2 + 2y

2 + f = 0

fent el canvi dorigen

{x = x d

21

y = y e

22

i aleshores f = f d2

41 e

2

42, i el problema sha acabat completament.

Resta el problema de que fer si algun i es nul. Suposem, sense perdua de generalitat, que1 = 0, 2 = 0. Nomes podem completar un quadrat, i podem escriure 1x2 + ey + f = 0,amb x = x d

21, i f = f d

2

41( i aixo significa passar a un nou origen). Per acabar, si

e = 0, tenim un cas degenerat, i si e = 0, fem finalment y = y f

ei lequacio queda reduda

a 1x2 + ey = 0, que es una parabola.

5.5.7 Exercicis

1 Donades les coniques seguents en el sistema habitual de coordenades cartesianes, trobeu unsistema de coordenades cartesianes en el qual lequacio sigui reduda, classifiqueu-les i escriviuuna parametritzacio de la corba corresponent en el sistema de coordenades original.

a) 31x2 24xy + 21y2 + 4x+ 6y 25 = 0

b) 4x2 + 11y2 + 24xy + 20x+ 60y + 24 = 0

c) 9x2 + y2 + 6xy + 20x 60y 1 = 0

d) 9x2 + y2 + 6xy + 60 + 20y 1 = 0

e) x2 + y2 6xy + 6x+ 6y + 9 = 0

f ) 5x2 + 4xy + 8y2 32x 56y + 80 = 0

5.6 Exemples de corbes interseccio de superfcies

El tema es tractara de forma mes sistematica en el captol dedicat a les superfcies. Aqu nomesen veurem alguns exemples. Previament cal saber projectar sobre els plans de coordenades iintroduir alguns exemples simples de superfcies.

5.6.1 Projeccio de corbes 3D sobre els plans de coordenades

Pot ser dinteres per a lestudi de corbes a lespai saber projectar les corbes ortogonalment sobreels plans de coordenades, cosa que equival a projectar paral.lelament a leix de coordenadesperpendicular al pla de projeccio. Interessa especialment obtenir lequacio de la corba projeccioi, a mes, si es pot, parametritzar-la.

Per exemple, la projeccio ortogonal sobre el pla z = 0 es la projeccio paral.lela sobre z = 0segons la direccio de leix Oz, cosa que significa simplement fer correspondre a P = (x, y, z) elpunt P = (x, y, 0). z Analogament per als altres plans de coordenades; si projectem sobre el plade coordenades xz el punt P = (x, y, z) obtindrem P = (x, 0, z). Normalment ens interessaratrobar lequacio de la corba projeccio, es a dir, una relacio entre les coordenades del pla deprojeccio que sigui satisfeta pels punts de la projeccio. Trobar una relacio daquest tipus potsignificar obtenir exactament la corba o be un conjunt mes ampli que la contingui (per exemple,


podria ocorrer que la nostra projeccio fos un arc de circumferencia i que el que obtinguessimfos la circumferencia sencera: per tant, caldra afinar posteriorment amb el domini de variaciodel parametre.

Considerem per exemple lhelix circular


Si no tinguessim informacio geometrica sobre la figura podrem deduir que es projecta sobrez = 0 en una circumferencia, ja que per als punts de la corba podem escriure la relacio (x(t))2+(y(t))2 = a(cos2 t+ sin2 t) = a2.

Pel que fa a la projeccio sobre el pla xz, eliminarem el parametre t per tal dobtenir una relacioentre x i z satisfeta pels punts de la corba: de z(t) = bt en podem escriure t = 1b z i, ara,substituint a x = a cos t, obtenim la relacio en xz donada per x = a cos z

b, cosenoide sobre la

qual es projecta lhelix. Quant a la projeccio sobre el pla yz, procedim de la mateixa manera iobtenim que la corba es projecta sobre la sinusoide y = a sin zb .

Vegem ara una cas diferent en el qual la corba esta donada com a interseccio de superfcies,com seria el cas de la interseccio dun cilindre i un pla:

{x2 + y2 = 1x+ y + z = 1

Suposem que volem trobar la projeccio sobre el pla de coordenades xz. Hem dobtenir a partirde les equacions alguna relacio entre les variables x, z que compleixein, per tant, tots els puntsde la corba i, en consequencia, tambe de la projeccio. Tractem deliminar y: a partir de lasegona equacio resulta y = 1 x z i, substituint a la primera, obtenim la relacio buscadax2 + (1 x z)2 = 1, don resulta 2x2 + z2 + 2xz 2x 2z = 0, corba en el pla xz que contela corba projeccio. Es pot justificar que hi coincideix completament.

5.6.2 Cilindres generalitzats

Per descriure correctament algunes corbes a lespai es convenient generalitzar el concepte decilindre. Considerem una corba en el pla xy. Definim cilindre recte de directriu com lasuperfcie generada per les rectes que passen per la corba i son paral.leles a leix Oz (lesrectes generadores sanomenen generatrius del cilindre) (analogament respecte dels altres plansde coordenades).

Per exemple, si considerem la sinusoide y = sinx com a directriu del cilindre generalitzatcorresponent, aleshores aquest cilindre es el conjunt de punts de lespai donat per

{(x, y, z) R3|y = sinx, z R}

i, per tant, lequacio daquest cilindre de directriu sinusoidal, col.leccio de punts de R3 que

5 Corbes 211

satisfan y = sinx, es justament y = sinx.

Figura 5.45

A les figures 5.46 i 5.47 podem veure exemples addicionals.

Figura 5.46

Figura 5.47

El cilindre circular recte correspon a aquesta descripcio amb directriu una circumferencia, peroara res ens obliga a restringir-nos a aquest cas particular. Podem considerar directrius el-lptiques (cilindre el.lptic), paraboliques (cilindre parabolic), hiperboliques (cilindre hiperbolic)i altres corbes, com per exemple la sinusoide (uralitas), com es pot veure a les figures anteriorsi posteriors. Observeu novament que y = x2 es lequacio duna parabola en R2, pero en canvies lequacio dun cilindre parabolic en R3.

z

y

xO

Figura 5.48. Cilindre parabolicy = x2.


En els exemples anteriors, la projeccio de lhelix circular sobre el pla yz es una sinusoide,interseccio del pla x = 0 i el cilindre generalitzat de directriu sinusodal, que podem expressarcom

{x = 0y = a sin z

b

La projeccio sobre el pla xz es

{y = 0x = a cos zb

Aixo significa tambe que lhelix circular esta continguda en aquests cilindres i, en consequencia,en la seva interseccio.

Figura 5.49

5.6.3 Exemples dinterseccio

Exemple 5.1. Parametritzacio de la interseccio del cilindre x2+y2 = 1 amb el pla x+y+z = 1.

Figura 5.50

Sigui la corba interseccio. La idea basica es la de projectar ortogonalment la corba sobre elpla z = 0, parametritzar la corba projeccio (si es factible) i despres obtenir a partir daqu la

5 Corbes 213

parametritzacio de , donant altura utilitzant lequacio del pla.

x

y

z

C

P

P

xy

z

C

P

Figura 5.51

La projeccio es en aquest cas trivial, ja que la corba interseccio es en particular sobre el cilindrei es projectara sobre la base del cilindre, intersecccio de z = 0 amb el cilindre; per tant, laprojeccio es la circumferencia completa

{x2 + y2 = 1z = 0

Ara be, aquesta circumferencia admet la parametritzacio

x(t) = cos ty(t) = sin tz(t) = 0

, 0 t 2

Aquest es el parametre que prenem per parametritzar la corba , que ha de ser tambe del pla,es a dir que sha de complir z(t) = 1x(t)y(t). En consequencia, la parametritzacio buscadaes

x(t) = cos ty(t) = sin tz(t) = 1 cos t sin t

, 0 t 2

Limitant linterval de variacio del parametre podem descriure nomes arcs de la corba en questio.

La projeccio shagues pogut fer sobre un altre pla de coordenades; aixo dependra en general dequina sigui la corba projeccio mes facil de parametritzar.

Exemple 5.2. Parametrizacio de la corba interseccio de lesfera unitat i el pla x + y + z = 1(vegeu la figura 5.17); La corba te per equacions cartesianes

{x2 + y2 + z2 = 1x+ y + z = 1

Projectem la corba sobre el pla de coordenades z = 0. Trobem alguna relacio entre les variablesx, y que es compleix per a tots els punts de la corba i, per tant, per a tots els de la projeccio:de lequacio del pla podem escriure z = 1 x y i ara, substituint a lequacio de lesfera,x2 + y2 + (1 x y)2 = 1, en resulta finalment la relacio x2 + y2 + xy x y = 0. Aix,doncs, la projeccio es pot expressar com

{x2 + y2 + xy x y = 0z = 0


Observeu que tambe queda expressada com a interseccio del pla z = 0 i el cilindre x2 + y2 +xyx y = 0 (tambe tenim que aquest cilindre produeix una interseccio amb lesfera formadaper dues corbes, una de les quals es la corba ).

x

y

z

xy

z

Figura 5.52

Situem-nos ara en R2 al pla xy i parametritzem la corba x2+y2+xyxy = 0. Aquesta corbaes una conica i cal classificar-la per saber que es, coneixer-ne els elements i la seva posicio en elpla per poder-la parametritzar. Pero observem que aquest exemple ja ha estat resolt a la secciodedicada a les coniques i, en consequencia, podem escriure la parametritzacio corresponent a

lel.lipse de semieixos a =23 i b =

23 , centre en el punt (

13 ,

13 ) i eix principal corresponent a

a formant un angle de 45 amb leix Ox.

O

y

xC

a

b

Figura 5.53

Com sha vist anteriorment, una parametritzacio es

{x(t) = 13 cos t

13sin t+ 13

y(t) = 13 cos t+13sin t+ 13

, 0 t 2.

Finalment, la corba es parametritza com

x(t) = 13 cos t13sin t+ 13

y(t) = 13 cos t+13sin t+ 13

z(t) = 1 x(t) y(t) = 23 cos t+13

, 0 t 2.

Exemple 5.3.

Considerem lesfera de centre lorigen de coordenades i radi 1, i el cilindre circular recte deradi 12 i deix que passa pel punt (

12 , 0, 0) i que es paral

.lel a leix Oz. Es tracta dobtenir una

5 Corbes 215

parametritzacio de la corba interseccio dambdues superfcies en el semiespai z 0.

x

y

z

Figura 5.54

Lequacio de lesfera es S : x2 + y2 + z2 = 1; lequacio del cilindre es C : (x 12 )2 + y2 = (12 )

2,cilindre recte de directriu la circumferencia

:

{(x 12 )

2 + y2 = (12 )2

z = 0

Sigui 0 = SC la interseccio de les superfcies; de fet, busquem = 0{z 0}. La projeccioparal.lela a leix Oz de la corba sobre el pla z = 0 es , coincidint amb la interseccio delcilindre amb el pla z = 0.

O

z = 0

x

yesfera

cilindre

Figura 5.55

La idea es parametritzar en el pla xy la circumferencia dequacio

(x1

2)2 + y2 = (

1

2)2

i despres calcular el punt corresponent sobre lesfera, es a dir, la coordenada z corresponent aP = (x, y, z).

La circumferencia base del cilindre sexpressa segons la parametritzacio trigonometrica usual:

{x(t) = 12 +

12 cos t

y(t) = 12 sin t, 0 t 2.


Tot punt de es projecta sobre ; recprocament, per a tot punt P de existeix un unicpunt P de que es projecta sobre P , com seguidament veurem.

A partir de lequacio de lesfera x2 + y2+ z2 = 1 i considerant lhemisferi superior z 0 podemescriure z = +

1 x2 y2. Ara, utilitzant lexpressio de x, y en funcio de t:

z =1 x2 y2 =

1 (

1

2+

1

2cos t)2 (

1

2sin t)2 =

1 cos t

2= sin

t

2.

Per tant, una parametritzacio de es

x(t) = 12 +12 cos t

y(t) = 12 sin tz(t) = sin t2

, 0 t 2.

El recorregut complet de P sobre es produeix amb un recorregut complet de P sobre . Enconsequencia, el domini de variacio del parametre t es lindicat: [0, 2]. Observem que del fetque es projecti sobre es dedueix que el domini I de variacio de t compleix I [0, 2], i quedel fet que per a cada P existeixi un unic P = (12 +

12 cos t,

12 sin t, sin

t2 ) de es deriva la

igualtat I = [0, 2]. Si nomes calgues representar la corba a loctant definit pels tres semieixosde coordenades positives, aleshores haurem de prendre I = [0, ].

5.6.4 Exercicis

1 Considereu la corba interseccio de la semiesfera x2+y2+z2 = 1, z 0 i el cilindre (x1/2)2+y2 = (1/2)2. Quines son les projeccions de sobre els diversos plans coordenats, en les direccionsdonades pels eixos de coordenades?

2 Considerem lesferax2 + y2 + z2 2x 2y 4z 4 = 0.

La tallem pel pla x+yz = 1 i despres projectem la interseccio sobre el pla z = 0, paral.lelamenta leix Oz.

a) Trobeu i estudieu aquesta projeccio.

b) Parametritzeu la corba interseccio.

3 Parametritzeu la circumferencia interseccio de lesfera x2 + y2 + z2 = 1 i el pla x+ 2y + z = 1.

5.7 Tangent i normal a una corba

5.7.1 Derivada duna funcio vectorial de variable real

Una funcio vectorial de variable real es una funcio definida en un interval I = [a, b] R i avalors vectorials de Rn, es a dir, f : I Rn. Evidentment, les parametritzacions de les corbescorresponen a funcions daquest tipus:

f : [0, 2] R2, f() = (R cos ,R sin )

g : [0, 2] R3, g() = (R cos ,R sin , b)

Les funcions anteriors son funcions de components escalars f = (f1, , fn), amb fi : I R,i = 1, , n. Podem donar ara la definicio seguent.

5 Corbes 217

Definicio 5.3 Si les funcions {f1, , fn} son funcions derivables en un interval, aleshoresdefinim derivada de la funcio vectorial f com

df

dt= f (t) = (f 1(t), , f

n(t)) (5.5)

a linterval en questio.

Una propietat interessant es la de com es comporta la derivacio de funcions vectorials respectedel producte escalar ordinari en Rn. El resultat es que es comporta de forma analoga a com hofa respecte del producte de funcions reals, com es precisa a lenunciat seguent.

Lema 5.1 Siguin f, g : R Rn funcions vectorials derivables. Aleshores es compleix

d

dt[f(t) g(t)] = (

d

dtf(t)) g(t) + f(t) (

d

dtg(t)),

on el producte escalar de Rn es lordinari.

Demostracio

Suposem lexpressio en termes de components

f = (f1, , fn), g = (g1, , gn)

Aleshores tenim

f(t) g(t) =n

i=1

fi(t)gi(t)

i ara podem aplicar les propietats usuals:

d

dt[f(t) g(t)] =

ni=1

d

dt[fi(t)gi(t)] =

ni=1

(f i(t)gi(t) + fi(t)gi(t))

=n

i=1

f i(t)gi(t) +n

i=1

fi(t)gi(t) =

df

dt g + f

dg

dt.

Lema 5.2 Si u(t) es un vector derivable unitari, es a dir, u(t) = 1 per a tot t, aleshores u(t)i d

dtu(t) son ortogonals per a tot t.

Demostracio

En efecte, tenim u(t) u(t) = 1 i ara, derivant, resulta

d

dt[u(t) u(t)] = 0

Per tant,


u(t) d

dtu(t) + [

d

dtu(t)] u(t) = 0,

es a dir

u(t) u(t) = 0,

com shavia de veure.

Observacio. De fet no cal que u(t) sigui unitari: nhi ha prou que sigui u(t) = k, per a tot t;aixo ocorre per exemple per a corbes situades sobre lesfera.

5.7.2 Tangent a una corba

Suposem que tenim una corba donada per la parametritzacio (t) derivable a linterval dedefinicio.

La direccio de la tangent a la corba (t) en el punt corresponent al parametre t0 esta donadapel vector derivada vectorial

(t) = limh0

(t0 + h) (t0)

h

Definicio 5.4 Sigui una corba parametritzada per una funcio vectorial contnua (t). Siexisteix la derivada (t) i es (t) = 0, aleshores la recta

r : X = (t) + (t), R

es la tangent a en (t). El vector (t) sanomena vector tangent a en (t).

Vegem-ne alguns exemples:

Exemple 5.1. En el cas de lel.lipse (t) = (a cos t, b sin t) existeix tangent a tots els puntsde la corba i el vector tangent es donat per (t) = (a sin t, b cos t); en particular, per a lacircumferencia (t) = (R cos t, R sin t) el vector tangent es (t) = (R sin t, R cos t).

t Figura 5.56

Exemple 5.2. En el cas de lhelix circular (t) = (a cos t, a sin t, bt) existeix tangent a tots els

5 Corbes 219

punts de la corba i el vector tangent es donat per (t) = (a sin t, a cos t, b)

Figura 5.57

Exemple 5.3. Considerem lespiral dArquimedes r = a, parametritzada per () =(a cos , a sin ). El vector tangent a qualsevol punt de la corba es (t) = (a(cos sin ), a(sin + cos )). Lorigen de la corba, corresponent a = 0, es lorigen de coor-denades i en aquest punt el vector tangent es (0) = (a, 0) = a(1, 0), es a dir, que a lorigenlespiral dArquimedes es tangent a leix Ox.

Figura 5.58

5.7.3 Normal a una corba

Donada una corba en el pla parametritzada per (t), amb tangent (t) = 0 a tots els punts, esdefineix la normal a la corba en el punt (t) com la recta perpendicular a la recta tangent enel punt en questio.

Es pot calcular de la manera seguent: essent (t) = 0, podem considerar el vector unitari quedefineix la mateixa direccio que la tangent (tangent unitaria) donat per

T (t) =(t)

(t).

Obviament, T (t) = 1, t, i aleshores, pel lema anterior, resulta T (t) ortogonal a T (t) per atot t; en consequencia, T (t) ens dona la direccio normal a la corba en el punt (t) si T (t) = 0.En aquest cas la recta normal es


r : X = (t) + T (t), R

Si T (t) = 0, es defineix el vector normal unitari com

N(t) =T (t)

T (t).

5.7.4 Exercicis

1 Proveu que per a lhelix circular les tangents formen un angle constant amb leix Oz.

2 Obteniu les equacions de la tangent i la normal a la corba (t) = (t2, t3) en el punt (0, 0).

3 Obteniu lequacio de la tangent a la corba{x2 + y2 + z2 = 1x2 + z2 = x

en el punt (1, 0, 0)

4 Donada la corba (t) = (t, t2, t3), calculeu el vector tangent i normal unitaris en el punt (1, 1, 1).

5 Donada la corba (t) = (t, t2, t3), calculeu la tangent i la normal en el punt (t).

6 Parametritzeu la circumferencia interseccio de lesfera x2 + y2 + z2 = 1 i el pla x + y = 1.Calculeu la recta tangent a en un punt generic de la corba, en funcio del parametre escollit ala parametritzacio anterior. Parametritzeu la circumferencia de radi R, centre un punt genericde la corba situada en un pla perpendicular a la corba en el centre (es a dir, perpendicular a latangent en el punt).

7 Donada lhelix circular deix Oz, radi a i pas de rosca b, amb la parametritzacio habitual,considereu-ne la part corresponent a la variacio del parametre [0, 2Pi]. Obteniu una pa-rametritzacio de la circumferencia de radi R, centre un punt de lhelix corresponent al valor 0del parametre i continguda en un pla perpendicular a la tangent en el punt.

8 Parametritzeu lel.lipse interseccio dun cilindre recte deix Oz amb un pla no parl.lel a leix Oz.

9 Expresseu la corba {x = sin ty = tz = 1 cos t

t [0, 2]

com a interseccio de dues superfcies i doneu una idea de la seva representacio.

10 Dibuixeu les dues superfciesz = x2 + y2

x = y

i estudieu la corba interseccio.

5.8 Introduccio al disseny de corbes 2D i 3D

Les corbes de Bezier foren inventades per lenginyer de lempresa Renault P. Bezier, el qual lesva desenvolupar, conjuntament amb daltres metodes, per al disseny assistit per ordinador decorbes i superfcies en el treball practic de disseny de carrosseries dautomobils.

Les corbes de Bezier son les mes senzilles possibles, pero constitueixen un bon primer exemplede disseny de corbes adaptat a les necessitats de dissenyadors de corbes lliures, i molt adequatper a la seva incorporacio a software especialitzat de CAD geometric.

5 Corbes 221

Aquest tipus de corbes no sutilitzen nomes en CAD geometric (automobil, mecanic, aeronau-tic) sino tambe en una amplia varietat de software de dibuix, de disseny grafic, de producciode material grafic 3D i de disseny de tipus de caracters (tipografia digital), en el llenguatgePostScript, en processadors cientfics especialitzats com per exemple LATEX.

Hi ha altres metodes mes complexos i sofisticats, que el lector pot consultar a la bibliografia([FARI92]).

Les corbes de Bezier sajusten a la manera de treballar seguent:

Es considera una poligonal formada per n + 1 punts anomenada poligonal de control, jaque en principi la forma de la poligonal ha de controlar la forma de la corba. Aquestapoligonal pot ser introduda de manera interactiva per lusuari, i tambe pot ser modificadainteractivament a la vista del resultat.

Seguidament, el sistema genera una corba que satisfa determinades propietats analti-ques; en particular la forma generada pot no satisfer lusuari, que aleshores podra variarinteractivament la poligonal de control.

Vegem-ne exemples a la figura 5.59: en el pla (esquerra) i a lespai (dreta) si la poligonales tridimensional.

Figura 5.59

Es convenient que la corba generada tingui determinades propietats raonables:

Que estigui donada en forma parametrica, cosa que en facilita lanalisi i la representacio.

Que sigui contnua i suau (derivable amb derivada contnua).

Que passi pels punts inicial i final, amb certes propietats de tangencia en aquests punts.

Que no sallunyi excessivament de la poligonal de control.

Que un canvi en un punt de la poligonal permeti veure la modificacio induda de manerafacilment apreciable.

5.8.1 Metode de Bezier

Siguin donats n+ 1 punts en sequencia ordenada formant aix una poligonal que anomenarempoligonal de control P0, P1, , Pn. Es defineix la corba de Bezier associada a la poligonal decontrol anterior com la corba parametrica donada per

P (u) =n

i=0

Bi,nPi, 0 u 1,


amb Bi,n(u) polinomis de Berstein donats per lexpressio

Bi,n(u) =

(n

i

)ui(1 u)ni, 0 i n,

amb variacio del parametre donada per 0 u 1.

Per exemple, si la poligonal de control es de punts tridimensionals, es Pi = (xi, yi, zi) i es te lacorba de Bezier corresponent P (u) = (x(u), y(u), z(u)), amb

x(u) =n

i=0 Bi,n(u)xiy(u) =

ni=0 Bi,n(u)yi

z(u) =n

i=0 Bi,n(u)zi

Vegeu quines corbes de Bezier es generen amb diverses poligonals bidimensionals senzilles,obertes (figura 5.60) i tancades (figura 5.61).

Figura 5.60

Figura 5.61

Vegem el resultat descollir diverses poligonals tridimensionals senzilles, obertes i tancades (fi-gures 5.62 i 5.63).

Figura 5.62

Figura 5.63

Vegem un exemple concret en el cas bidimensional i amb una poligonal de 4 punts (n = 3).

5 Corbes 223

Sigui la poligonal de control donada per P0 = (0, 0), P1 = (1, 1), P2 = (2,1), P3 = (1,2) icalculem els diversos polinomis de Bernstein Bi,n:

i = 0 : B0,3(u) =(30

)u0(1 u)3 = (1 u)3

i = 1 : B1,3(u) =(31

)u1(1 u)31 = 3u(1 u)2

i = 2 : B2,3(u) =(32

)u2(1 u)32 = 3u2(1 u)

i = 3 : B3,3(u) =(33

)u3(1 u)33 = u3

Per tant,

P (u) =3

i=0

Bi,3Pi = (1 u)3P0 + 3u(1 u)

2P1 + 3u2(1 u)P2 + u

3P3.

Prenent coordenades,

{x(u) = (1 u)3x0 + 3u(1 u)2x1 + 3u2(1 u)x2 + u3x3y(u) = (1 u)3y0 + 3u(1 u)2y1 + 3u2(1 u)y2 + u3y3

I concretant a aquest exemple,

{x(u) = 3u(1 u)2 + 6u2(1 u) + u3

y(u) = 3u(1 u)2 3u2(1 u) 2u30 u 1.

5.8.2 Propietats de les corbes de Bezier

Teorema 5.5 Donada la poligonal P0, , Pn i la corba P (u) de Bezier associada, aleshoreses compleix:

1. P (u) es derivable amb derivada contnua.

2. P (u) sinicia i acaba als extrems P0, Pn

3. P (u) es tangent a les arestes extremes de la poligonal de control, es a dir, a P0 es tangenta P0P1 i a Pn es tangent a Pn1Pn.

4. P (u) esta continguda a lenvolupant convexa del conjunt de punts {P0, , Pn} (amb laqual cosa es concreta la propietat de no allunyar-se de la poligonal de control).

Demostracio

1. La propietat es certa trivialment, ja que les funcions (per exemple en el cas 3D)x(u), y(u), z(u) son funcions polinomiques en u de grau igual al nombre de costats dela poligonal de control, es a dir (n+ 1) 1 = n; de fet, la corba es C.

2. La corba de Bezier comenca i acaba en els extrems de la poligonal, ja que P (0) = P0 iP (1) = Pn, com es pot comprovar trivialment.

3. Reescrivim desglossadament P (u) en la forma seguent:


P (u) = (1 u)nP0 + nu(1 u)n1P1 +

n2i=2

(n

i

)ui(1 u)niPi

+

(n

n 1

)un1(1 u)Pn1 + u

nPn

= (1 u)nP0 + nu(1 u)n1P1 +

n2i=2

(n

i

)ui(1 u)niPi

+nun1(1 u)Pn1 + unPn

I ara podem derivar:

P (u) = n(1 u)n1P0 + n[(1 u)n1 (n 1)u(1 u)n2]P1

+n2i=2

(n

i

)[iui1(1 u)ni ui(n i)(1 u)ni1]Pi

+n[(n 1)un2(1 u) un1]Pn1 + nun1Pn

Ara, substituint:

P (0) = nP0 + nP1 = n(P1 P0) = nP0P1

P (1) = nPn1 + nPn = n(Pn Pn1) = nPn1Pn

4. Considerem fixat u [0, 1]; el punt P (u) sexpressa com a combinacio lineal dels puntsde la poligonal

P (u) =n

i=0

Bi,n(u)Pi,

essent els escalars corresponents a la combinacio lineal i = Bi,n(u), i = 0, , n (fixatu). Nomes caldra veure, tenint en compte la caracteritzacio analtica dels punts de len-volupant convexa, que i 0,i i

ni=0 i = 1. Ara be, i =

(ni

)ui(1 u)n1 0, ja

que u [0, 1], i tambe tenim, per la formula binomial,n

i=0 i =n

i=0

(ni

)ui(1u)ni =

[u+ (1 u)]n = 1n = 1.

5.8.3 Control de la forma

El teorema anterior es una col.leccio de propietats que controlen la forma de la corba a partirdels punts de la poligonal de control.

En particular, la propietat dinclusio en lenvolupant convexa tradueix la idea que la corba nosallunya de la poligonal, que en controla la forma. Es poden derivar consequencies immediatesdaquesta propietat; per exemple, si la poligonal de control es de punts tridimensionals queestan en un pla, aleshores la corba de Bezier B associada esta continguda en aquest pla: enefecte, la corba de Bezier esta continguda en lenvolupant convexa dels punts de la poligonal de

5 Corbes 225

control, envolupant convexa que esta continguda en lenvolupant convexa del pla, que es el pla,per convexitat: B EC({P0, , Pn}) EC() .

La propietat dinclusio de la corba de Bezier en lenvolupant convexa te importancia addicionalper a tests dinterferencia: suposem que volem saber si dues corbes de Bezier sintersequen ono (problema que pot interessar de resoldre en informatica grafica o CAD). Si les envolupantsconvexes no sintersequen, ja podem afirmar que les corbes de Bezier corresponents no sin-tersequen. Aixo convindra de fer-ho quan un test minimax shagi descartat per no concloent:en tot cas la capsa minimax es relativa al conjunt de punts de la poligonal de control. Aixopermet una decisio rapida en els casos negatius, dels quals en pot haver molts, i aix shaura dededicar un esforc computacional nomes als casos en els quals el primer test elemental minimaxno permeti arribar a conclusions.

Un aspecte dinteres es lefecte de la variacio dun punt sobre la forma de la corba; com araveurem, en corbes de Bezier no es possible el control local, ja que la modificacio dun puntrepercuteix sobre la forma global. Per fer-ho caldra analitzar els factors de forma donats pe

IN01805C

Documents

Transcript of IN01805C