Captol 6

Superfcies

A lguns dels objectes geome`trics (no lineals) que apareixen amb molta freque`ncia eninforma`tica gra`ca i CAD son les superfcies, i es per aquest motiu que sembla conve-nient fer-ne un estudi descriptiu que complementi lestudi fet anteriorment amb les corbes. Lanalitat es poder disposar dobjectes sucients amb els quals construir escenes tridimensionalsde prou riquesa i complexitat.

Es fara` e`mfasi sobre els aspectes de construccio i representacio. Es presentaran algunes su-perfcies notables, com les qua`driques, i tipus especials de superfcies, com les de revolucio.

Un cop tractats els aspectes generals, es fa un estudidescriptiu de les qua`driques, atesa la seva enorme im-porta`ncia en CAD i informa`tica gra`ca, i sinsisteix enlobtencio de parametritzacions que ens en permeti laconstruccio co`moda. Sestudien les corbes que sobser-ven amb molta freque`ncia en el nostre entorn geome`tric,com son les interseccions de plans amb les qua`driquesmes usuals, com el cilindre, el con i lesfera, i les corbesinterseccio dalgunes qua`driques en posicions especials.Son despecial intere`s en CAD i informa`tica gra`ca lessuperfcies de revolucio, que tambe es tracten aqu, so-bretot des del punt de vista de la parametritzacio. Fi-nalment, el ca`lcul de la normal a una superfcie ha de permetre a lalumne resoldre problemesgeome`trics de tange`ncia i de posicionament tangent i, posteriorment, problemes de visualitzaciorealista.

No tractarem aqu en general el problema dels me`todes especials de disseny de superfcies perordinador. Es veura` nomes un me`tode ba`sic de disseny de superfcies per ordinador (superfciesde Bezier).

6.1 Aspectes generals

Vegem en primer lloc les diferents formes mitjancant les quals podem expressar analticamentuna superfcie, conjunt de punts a lespai tridimensional que satisfan determinades relacions.

232 Geometria per a la informa`tica gra`ca i CAD

6.1.1 Superfcies en forma explcita

Equacio

Una superfcie S es donada en forma explcita si lequacio que la deneix o caracteritza es deltipus

z = F (x, y)

on x [x0, x1], y [y0, y1]; aleshores, els punts de la superfcie son els de la forma (x, y, F (x, y))o be, equivalentment,

S = {(x, y, z)|z = F (x, y, z), x [x0, x1], y [y0, y1]}

o be S = {(x, y, F (x, y))|x [x0, x1], y [y0, y1]}.

0

1

2

3 0

1

2

3

-1-0.5

00.51

0

1

2

3 0

1

2

3

-1.5051

(x0, y0)

(x1, y1)

Figura 6.1

Alguns exemples: z = xy; z = sinxy; z = x2 + y2.

Aquesta expressio es la ideal per a la representacio i lestudi, ja que permet representar fa`cilmentels punts (x, y, F (x, y)) de la superfcie, variant (x, y) en el pla de coordenades xy sobre elrectangle [x0, x1] [y0, y1].

Representacio duna superfcie en forma explcita

La idea es obtenir una certa representacio de la superfcie S a partir de les llesques o seccionsprodudes sobre S per plans que son paral.lels als de coordenades xz i yz o, equivalentment,perpendiculars als eixos de coordenades Oy i Ox, respectivament (com es veu a la gura 6.1).Pel que fa als paral.lels al pla de coordenades xz, aquests plans son de la forma y = c, amby0 c y1 i tallen S en una corba o seccio corba que es pot parametritzar per c(x) =(x, c, F (x, c)), x0 x x1,i ana`logament si son del segon tipus.

Considerar diversos plans de la forma y = ci, a intervals equiespaiats sobre [y0, y1], produeixuna col.leccio de corbes que donen una certa idea de la forma de la superfcie. Aixo` es potcompletar amb la col.leccio de seccions

d(y) = (d, y, F (d, y)), y0 y y1,

produdes pels talls dels plans x = d, x0 d x1 sobre la superfcie S a representar.

En conjunt es crea una malla que, degudament estructurada, dona lloc a una col.leccio depolgons i, en conseque`ncia, a una superfcie polie`drica amb la qual saproxima i es representala superfcie. Els polgons son usualment, en realitat, quadrila`ters guerxos a lespai (es a dir, nocontinguts en un pla); de vegades es rena el procediment triangulant els quadrila`ters esmentats(com fa, per exemple, Mathematica).

6 Superfcies 233

6.1.2 Superfcies en forma implcita

En la forma implcita tenim la superfcie S donada com el conjunt de punts de lespai quesatisfan una relacio del tipus F (x, y, z) = 0,i aleshores es S = {(x, y, z)|F (x, y, z) = 0}.

Alguns exemples:

x2 + y2 + z2 = 4,

z2 = x2 + y2,

esin zx log y cos(zx2 + y2) 2 = 0.

A partir de la forma implcita algunes vegades podrem reescriure les equacions de la superfcieen forma explcita, si mes no per a algunes parts daquesta superfcie. Per exemple, en elprimer cas de lequacio x2 + y2 + z2 = 1,podem escriure z =

1 x2 y2 i, de fet, fem una

descomposicio la superfcie original S en reunio de dues superfcies, donades explcitament per

S1 : z =1 x2 y2

S2 : z = 1 x2 y2

en el domini ma`xim del pla on tinguin sentit les expressions, es a dir, al cercle x2 + y2 1;aleshores es S = S1 S2. Observem que la superfcie x2+ y2+ z2 = 1 es lexpressio del conjuntdels punts de lespai que disten 1 de lorigen i es, per tant, lesfera de centre lorigen i radi 1.Les superfcies S1 i S2 son, respectivament, els hemisferis superior i inferior de lesfera donada.Recordem que d((x, y, z), (0, 0, 0)) =

x2 + y2 + z2 = 1.

x

y

z

Figura 6.2

No sempre es podra` fer a la pra`ctica aquesta reduccio a forma explcita, com es pot veure alultim exemple de la llista anterior:

esin zx log y cos(zx2 + y2) 2 = 0.

Lexpressio implcita es la menys indicada per a propo`sits de representacio, ja que es fa difcilobtenir punts que siguin de la superfcie, i es, per tant, complicat de fer-ne una representacioamb malles poligonals que aproximin la superfcie donada per una superfcie polie`drica.

Pero` no tot son inconvenients amb lequacio implcita duna superfcie. Per a alguns problemeses la millor forma disponible. Vegem alguns exemples daquesta situacio:

234 Geometria per a la informa`tica gra`ca i CAD

1. Si hem de comprovar si un punt pertany o no a una superfcie. Per exemple, es fa`cil veureque el punt ( 1

3, 1

3, 1

3) es de lesfera x2 + y2 + z2 = 1, ja que en satisfa` lequacio.

2. Si hem destudiar alguna propietat geome`trica, com podria ser la simetria respecte dunpunt o respecte dun pla. Per exemple, podem considerar la superfcie donada per x2 +y2 + z2 = 1 i analitzar si es sime`trica respecte de lorigen. Per fer-ho hem de veure queper a tot punt P = (x, y, z) de la superfcie, es a dir per a tot punt que en satisfacilequacio, el sime`tric P respecte de lorigen, es a dir el punt P = (x,y,z), tambees de la supercie, cosa que podem comprovar immediatament: (x)2+(y)2+(z)2 =x2 + y2 + z2 = 1.

3. Si volem obtenir la interseccio duna superfcie i una corba, aleshores la situacio mesfavorable es aquella en la qual la superfcie esta` en forma implcita i la corba en formaparame`trica, ja que substituint podem obtenir els para`metres per als quals es produeixinterseccio. Per exemple, ens pot interessar obtenir la interseccio de la recta

r :

{x = x0 + ay = y0 + bz = z0 + c

i la superfcie en R3 dequacio x2 + y2 = 1. Substitum a lequacio de la superfcie perobtenir el valor de corresponent al punt dinterseccio, si nhi ha.

Conversio de la forma explcita en implcita

Una superfcie en forma explcita sempre pot escriures trivialment en forma implcita. Enefecte, podem reescriure z = F (x, y) en la forma G(x, y, z) = 0 si fem G(x, y, z) = F (x, y) z.Per exemple, z = xy es pot reescriure com a G(x, y, z) = 0 si G(x, y, z) = xy z.

6.1.3 Superfcies en forma parame`trica

Una superfcie S esta` en forma parame`trica si existeixen funcions contnues f, g, h i para`metresu, v tals que els punts (x, y, z) de S es poden expressar en la forma

x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v),

essent el domini de variacio dels para`metres u, v sengles intervals de R: u0 u u1, v0 v v1, es a dir (u, v) [u0, u1] [v0, v1].

Podem explicitar la depende`ncia respecte dels para`metres amb la notacio seguent:

x(u, v) = f(u, v)y(u, v) = g(u, v)z(u, v) = h(u, v),

6 Superfcies 235

Ou

u1u0

v

v0

v1

Figura 6.3

Aleshores podem descriure la superfcie en forma parametricovectorial:

r(u, v) = (f(u, v), g(u, v), h(u, v))

o be

S = {(f(u, v), g(u, v), h(u, v))|(u, v) [u0, u1] [v0, v1]}.

No imposem de moment cap propietat diferencial a f , g, h. Es consideraran hipo`tesis en aquestsentit mes endavant, quan es tracti el concepte de normal a una superfcie i pla tangent.

Exemples

Exemple 6.1. El primer exemple, ja conegut, es el dun pla. Si el pla passa pel punt P =(x0, y0, z0) i te subspai director U generat per u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3), aleshores podemexpressar el pla en forma parametricoescalar:

x(, ) = x0 + u1 + v1y(, ) = y0 + u2 + v2z(, ) = z0 + u3 + v3,

expressio que facilita lobtencio de representacions de plans com a superfcie parame`trica.

Exemple 6.2. Considerem lesfera de centre (0, 0, 0) i de radi R, es a dir, x2 + y2 + z2 = R2.

x

y

P

z

Figura 6.4

Aleshores els punts de lesfera es poden descriure utilitzant els para`metres de la gura 6.4 iresulta

236 Geometria per a la informa`tica gra`ca i CAD

x(, ) = R sin cos y(, ) = R sin sin z(, ) = R cos,

amb 0 2, 0 , o be

r(, ) = (sin cos , sin sin , cos)

Observem que fent = 0 descrivim un meridia` de lesfera; amb = 0 descrivim un paral.lel

(gura 6.5).

O

2

= 0

= 0

Figura 6.5

Figura 6.6

Ambdos sistemes, de paral.lels i me-ridians, generen una malla sobre lasuperfcie que dona lloc a una col-leccio de quadrila`ters guerxos ambels quals la representem aproximant-la per la superfcie polie`drica corres-ponent. Per aixo` aquesta es la formaideal i preferida per a la representaciogra`ca de superfcies. Aquesta ideade generar una llista de polgons 3D apartir de la malla de meridians i paral-lels es pot fer servir, encara que siguien un context llunya` al smil cartogra`-c, per a la representacio de superfci-es parame`triques.

Normalment, poder representar una superfcie exigeix obtenir-ne alguna parametritzacio.

Conversio de forma explcita a forma parame`trica

Amb una funcio de representacio de superfcies en forma parame`trica tambe es poden repre-sentar les que tenim en forma explcita z = f(x, y), ja que es sucient prendre x, y com apara`metres; aleshores, la parametritzacio sera` (x, y, f(x, y)).

Lunica conversio que no es senzilla es el pas dimplcita a parame`trica i a linreves.

Una altra situacio en la qual es posa de manifest lintere`s de disposar de la forma implcitaduna superfcie: si volem estudiar la interseccio de dues superfcies, es convenient tenir-neuna en forma implcita i laltra, parametritzada. Per exemple, considerem la superfcie x2 +y2 + z2 = 1 (esfera) i la superfcie x2 + y2 = a2, a > 0 (cilindre), que parametritzem com

6 Superfcies 237

r(t, z) = (a cos t, a sin t, z). Substitum a lequacio de la primera: 1 = x2 + y2 + z2 = a2 + z2;aleshores resulta la relacio z2 = 1 a2 i, en conseque`ncia, per a 0 < a 1 existeix interseccio.Es pot veure fa`cilment que la interseccio es el conjunt format per les dues corbes

1 :

x(t) = cos ty(t) = sin t

z(t) =1 a2

, 2 :

x(t) = cos ty(t) = sin t

z(t) = 1 a2,

ambdues per a t [0, 2] (eventualment coincidents si a = 1).

6.1.4 Corbes com a interseccio de superfcies

Una possible manera dexpressar una corba a lespai tridimensional es en la forma dinter-seccio de dues superfcies, com per exemple: corba dinterseccio duna esfera i un pla, corbadinterseccio de dos cilindres, corba dinterseccio duna esfera i un con, i altres.

Si F1(x, y, z) = 0 i F2(x, y, z) = 0 son, respectivament, equacions de les superfcies S1, S2 enforma implcita, aleshores la corba = S1 S2 es el conjunt dels punts de lespai que satisfanel sistema corresponent

:

{F1(x, y, z) = 0F2(x, y, z) = 0

Per exemple,

:

{x2 + y2 + z2 = 1x+ y + z = 1

seria la corba interseccio de lesfera x2 + y2 + z2 = 1 amb el pla x+ y + z = 1, com es veu a lagura 6.7.

Figura 6.7

De fet, la situacio pot ser mes complicada, ja que la interseccio de dues superfcies pot estarformada per mes duna corba.

Lexpressio anterior de com a interseccio de dues superfcies en forma implcita constitueix elque sanomenen equacions cartesianes de la corba.

En el tema anterior dedicat a les corbes ja va`rem veure alguns exemples de parametritzacio decorbes a lespai, expressades com a interseccio de superfcies. Shi va estudiar lexemple anterior

238 Geometria per a la informa`tica gra`ca i CAD

i, a mes, el de la corba interseccio del pla x+ y+ z 1 = 0 i el cilindre x2+ y2 = 1 (gura 6.8).

Figura 6.8

6.2 Les gures ba`siques

Vegem a continuacio algunes superfcies molt importants que apareixen de forma repetida eninforma`tica gra`ca i CAD. De fet, el nostre entorn geome`tric no polie`dric esta` constitut moltesvegades per parts daquestes superfcies: es tracta de lesfera, el cilindre (circular) recte i el con(circular) recte. De fet, son constituents fonamentals en el disseny de peces meca`niques en CAD,i la seva prese`ncia es ubqua a gran quantitat dels entorns geome`trics que ens envolten: tubs,components de peces meca`niques, conduccions de uids i altres nombrosos i variats objectes.Tambe hi ha components cilndrics i esfe`rics en edicis. Aixo` no esgota la llista, ja que hi haaltres superfcies notables que tambe apareixen en situacions similars, com per exemple el toro superfcies to`riques, que poden estar formades per part dun tor (en veiem en els colzes quepermeten empalmar cilindres en combinacions de tubs) o daltres. Les veurem mes endavant.

6.2.1 Lesfera

Tot i que ja ha aparegut la superfcie esfe`rica en apartats anteriors, aqu en detallarem i siste-matitzarem alguns aspectes.

Denicio

Lesfera S de centre el punt C = (a, b, c) i de radi R > 0 es el conjunt de punts de lespaitridimensional que estan a dista`ncia R de C. Considerant la dista`ncia ordina`ria de R3, es a dir,

d((x1, y1, z1), (x2, y2, z2)) =(x1 x2)2 + (y1 y2)2 + (z1 z2)2,

aleshores es S = {(x, y, z) R3|d((x, y, z), (a, b, c)) = R}

Equacions

Teorema 6.1 Lequacio de lesfera de centre C = (a, b, c) i radi R es (xa)2+(y b)2+(zc)2 = R2.

Demostracio Es un simple desenvolupament:

d((x, y, z), (a, b, c)) = R,(x a)2 + (y b)2 + (z c)2 = R,

(x a)2 + (y b)2 + (z c)2 = R2.

6 Superfcies 239

Cal tenir present que (x a)2 + (y b)2 + (z c)2 = R2 es lequacio de la superfcie esfe`ricaen forma implcita. El volum interior a la superfcie es descriu mitjancant (x a)2 + (y b)2+(z c)2 < R2,el volum interior amb la superfcie inclosa es ilexterioralesferas(x a)2+(yb)2 + (z c)2 > R2, cosa que es pot veure immediatament si expressem aquests conjunts entermes de dista`ncies al centre de lesfera.

En el cas particular que el centre sigui lorigen de coordenades C = (0, 0, 0), aleshores lequaciode lesfera es x2 + y2 + z2 = R2.Ens referirem a lesfera unitat com a lesfera de centre lorigeni radi 1, es a dir, x2 + y2 + z2 = 1.

Parametritzacio de lesfera

Per poder representar lesfera es convenient tenir-la parametritzada.

Coordenades esfe`riques

A mes del sistema de coordenades cartesia` sutilitzen a lespai altres sistemes de coordenades,dentre els quals destaca el sistema de coordenades esfe`riques. En aquest sistema, donats treseixos ortogonals dorigen O, la posicio dun punt de lespai P = (x, y, z) es pot determinar per:

La dista`ncia de P a lorigen.

Langle que forma el pla xz amb el pla determinat per P i leix Oz, angle que es mesurapositivament (en sentit antihorari) en el pla xz, amb origen dangles leix Ox.

Langle format pel semieix positiu Oz amb la recta orientada pel vectorOP , es a dir,

es medeix positivament del semieix positiu cap el vector indicat.

Fent una analogia geogra`ca o cartogra`ca, es la longitud i es la colatitud ; la coordenada sanomena radivector de P .

Les coordenades (, , ) sanomenen coordenades esfe`riques del punt P .

x

z

y

P

O

Figura 6.9

El pas a coordenades cartesianes es fa mitjancant

{x = sin cos y = sin sin z = cos

Les coordenades esfe`riques estan molt ben adaptades a la descripcio de lesfera i, en general, ales gures que presenten simetria esfe`rica o simetria respecte dun punt. Per exemple, lequaciode lesfera de centre lorigen i radi R en coordenades esfe`riques es = R. Tambe resultenco`modes per generar els paral.lels i meridians que ens calen per a la representacio de lesferacom a llista de polgons, construts precisament a partir de la malla esmentada. Aix, perexemple, generem un meridia` amb = 0 i un paral

.lel amb = 0.

Teorema 6.2 Una parametritzacio de lesfera de centre lorigen i radi R es la seguent:

240 Geometria per a la informa`tica gra`ca i CAD

x(, ) = R sin cos y(, ) = R sin sin z(, ) = R cos

[0, 2], [0, ].

Demostracio Utilitzant com a para`metres la longitud i la colatitud (coordenades esfe`ri-ques)

x

y

P

z

Figura 6.10

tindrem la parametritzacio seguent

x(, ) = R sin cos

y(, ) = R sin sin

z(, ) = R cos

amb [0, 2], [0, ]. Hem vist que tot punt de lesfera donada sexpressa en la formaanterior. Immediatament es pot comprovar que tot punt de la forma anterior satisfa` lequaciode lesfera i, per tant, es de lesfera, ja que

(R sin cos )2 + (R sin sin )2 + (R cos)2 = R2.

Si lesfera es de centre (a, b, c), aleshores es immediat veure, utilitzant les equacions de canvidorigen, que la parametritzacio corresponent es

x(, ) = R sin cos + a

y(, ) = R sin sin + b

z(, ) = R cos+ c

Si, en comptes dels para`metres anteriors, escollim la longitud u i la latitud v, la parametritzaciocorresponent de lesfera de centre (0, 0, 0) i radi R es la seguent:

6 Superfcies 241

x

y

P

u

z

v

x(u, v) = R cos v cosu

y(u, v) = R cos v sinu

z(u, v) = R sin v

amb 0 u 2, /2 /2.

Podem generar tota lesfera o nomes una part seleccionant adequadament el domini de variaciodels para`metres (vegeu-ne un exemple a la gura 6.11). Per exemple,

Esfera completa: 0 u 2, 2 v 2 .

Hemisferi superior: 0 u 2, 0 v 2 .

Hemisferi inferior: 0 u 2, 2 v 0.

Figura 6.11

6.2.2 Exercicis

1 Estudieu quin es el centre de simetria i els plans de simetria de lesfera, si nhi ha.

2 Descriviu el conjunt de punts formats per la superfcie esfe`rica de centre (a, b, c) i radiR i lexteriorde lesfera.

3 Escriviu lequacio en coordenades esfe`riques de lesfera de centre (a, b, c) i radi R.

4 Limiteu amb precisio la variacio de les coordenades esfe`riques per descriure unvocament els puntsde lespai.

5 Parametritzeu els meridians i paral.lels duna esfera considerats com a corbes a lespai.

6 Determineu el centre i el radi de lesfera

2x2 + 2y2 + 2z2 6x+ 8y 2z + 5 = 0.

242 Geometria per a la informa`tica gra`ca i CAD

6.2.3 El cilindre

El cilindre circular recte: denicio i equacions

El cilindre circular recte S deix la recta r i de radi R > 0 es el conjunt de punts de lespaique disten R de la recta r. Tambe es la superfcie generada per una recta (generatriu) paral.lelaa r a dista`ncia R de r, en girar a lentorn de r un angle 2.

Teorema 6.3 Lequacio del cilindre circular recte deix Oz i radi R es x2 + y2 = R2.

Demostracio Si leix es leix de coordenades Oz, aleshores els punts del cilindre es projectensobre el pla z = 0, paral.lelament a Oz, sobre la circumfere`ncia continguda en el pla xy, decentre (0, 0) i radi R, dequacio x2 + y2 = 1 en aquest pla. En conseque`ncia, el cilindre indicates precisament S = {(x, y, z)|x2 + y2 = R2, z arbitrari}i, per aquest motiu, lequacio (en R3)del cilindre esmentat es x2 + y2 = R2.

Observem que a R2, x2 + y2 = R2 es lequacio duna circumfere`ncia i que, en canvi, a R3, eslequacio dun cilindre.

Com en el cas de lesfera, lequacio que satisfan els punts de la la`mina o superfcie cilndrica esde la forma x2+y2 = R2,els punts de linterior son els que satisfan x2+y2 < R2,els de linteriorjuntament amb la superfcie cilndrica estan determinats per x2 + y2 R2i els de lexterior alcilindre, per x2 + y2 > R2.Aixo` es pot justicar a partir de lexpressio dels punts interiors iexteriors duna circumfere`ncia en el pla xy.

Permutant les variables, podem escriure les equacions dels cilindres deix els altres eixos decoordenades:

y2 + z2 = R2 ( eix Ox)

x2 + z2 = R2 ( eix Oy)

Parametritzacions del cilindre

Coordenades cilndriques. Un punt P = (x, y, z) de lespai queda determinat per:

Laltura z (positiva o negativa) sobre el pla de coordenades xy.

Les coordenades polars (r, ) de la projeccio P = (x, y, 0) sobre el pla xy.

x

z

y

P

z

r

P

O Figura 6.12

Les coordenades (r, , z) sanomenen coordenades cilndriques de P i son ido`nies per a la descrip-cio del cilindre o de gures amb simetria cilndrica, es a dir, simetria respecte de leix Oz. Aix,per exemple, el cilindre x2 + y2 = R2 te per equacio en coordenades cilndriques r = R. Laconversio a coordenades cartesianes es donada per:

6 Superfcies 243

{x = r cos y = r sin z = z

Daqu en resulta ra`pidament una parametritzacio del cilindre x2 + y2 = R2:

x(t, z) = R cos y(t, z) = R sin z(t, z) = z

amb [0, 2], z arbitrari. Daquesta manera es poden generar parts de la la`mina cilndrica.Les generatrius del cilindre es poden descriure per = 0, r = R.

Les parametritzacions dels cilindres en posicions arbitra`ries es poden obtenir per canvi desistemes de coordenades a partir de la parametritzacio en la posicio considrada anteriorment(vegeu exemple del captol de geometria me`trica).

Generalitzacio de les superfcies cilndriques

-5

0

5

-5

0

5

15

20

25

30

-5

0

5

-5

0

5

15

20

25

0

El cilindre circular es de fet un cas moltparticular de superfcie cilndrica (o la`minacilndrica). Podem considerar el cilindre cir-cular recte com la superfcie generada peruna recta (generatriu) que es mou paral.lela-ment a leix Oz i recorre tots el punts de lacircumfere`ncia del pla xy, de centre lorigeni de radi R. En aquest cas, parlem de la cir-cumfere`ncia com a directriu del cilindre. Lacircumfere`ncia es pot substituir en generalper altres corbes directrius, com per exemplelel.lipse, una para`bola o hipe`rbola o una si-nusoide. Aleshores parlarem de cilindre rectede directriu lel.lipse donada (o la sinusoideo la para`bola). La gura adjunta mostra uncilindre generalitzat de directriu una espiraldArquimedes generada pel conjunt de rectesque passen per lespiral i son perpendicularsal pla que la conte z = 0.

Una de les generalitzacions mes important es la que anomenarem cilindre el.lptic deix Oz,denit com el conjunt dels punts de lespai que es projecten sobre el pla xy, paral.lelament a

Oz, sobre lel.lipse del pla dequacio x2

a2+ y

2

b2= 1, es a dir el conjunt de punts

S = {(x, y, z)|x2

a2+y2

b2= R2, z arbitrari}

Per tant, lequacio del cilindre el.lptic (en R3) es de la forma

x2

a2+y2

b2= R2

Una parametritzacio possible es la que es deriva duna parametritzacio de lel.lipse, projeccioen planta del cilindre:

244 Geometria per a la informa`tica gra`ca i CAD

x(t, z) = a cos ty(t, z) = b sin tz(t, z) = z

amb t [0, 2] i z arbitrari.

Cilindre pergam. Donada lespiral dArquimedes r = a (en el pla xy), es construeix elcilindre recte generalitzat de directriu lespiral. Donada H, considerem nomes la part corres-ponent a linterval 0 z H. Una parametritzacio daquesta superfcie seria la derivada de laparametritzacio de lespiral dArquimedes:

x(, z) = a cos y(, z) = a sin z(, z) = z

, 0, 0 z H.

Cilindres projectants

Resulta molt util lequacio del cilindre per expressar les equacions de co`niques a lespai en certescircumsta`ncies. Per exemple, la circumfere`ncia situada al pla z = 0, de centre situat a leix z ide radi R, es pot descriure com a interseccio del pla z = 0 i el cilindre x2 + y2 = R2, es a dir,que es el conjunt de punts que satisfan el sistema dequacions

{x2 + y2 = R2

z = 0

Podem sistematitzar aquesta idea. Suposem que tenim una corba donada com a intersecciode dues superfcies, per exemple en forma implcita:

:

{F1(x, y, z) = 0F2(x, y, z) = 0

Si de les equacions anteriors podem eliminar alguna variable (per exemple, z) i podem obteniruna relacio que satisfan x, y per a tots els punts de la corba, com per exemple F (x, y) = 0,aleshores tenim denit el conjunt de punts de lespai C = {(x, y, z)|F (x, y) = 0, z arbitrari};aixo`es un cilindre recte, justament de directriu

:{F (x, y) = 0z = 0

De fet, no es altra cosa que la projeccio de sobre el pla de coordenades xy. Aquest cilindresanomena cilindre projectant de sobre el pla de coordenades xy. Ana`logament, hipote`tiquesrelacions que es puguin obtenir, com per exemple G(y, z) = 0, H(x, z)=0, serien altres cilindresprojectants de sobre els plans de coordenades yz, xz, respectivament. Aixo` pot ser util perexpressar una corba com a interseccio de superfcies mes senzilles.

6.2.4 Exercicis

1 Limiteu amb precisio la variacio de les coordenades cilndriques per descriure unvocament elspunts de lespai.

2 Escriviu lequacio del cilindre deix Oz i radi R en coordenades esfe`riques.

3 Escriviu lequacio de lesfera unitat en coordenades cilndriques.

6 Superfcies 245

4 Escriviu una parametritzacio del cilindre situat sobre el pla de coordenades xy, daltura h = 10,de radi R = 2 i deix que passa per (1, 1, 0) i es paral.lel a leix Oz.

5 Parametritzeu el cilindre (x 1)2 + (y 2)2 = 4.

6 Escriviu la parametritzacio de les generatrius del cilindre.

7 Parametritzeu la superfcie x2 + y2 4x 2y 3 = 0, 1 z 1.

8 Parametritzeu la superfcie x2 + 2y2 4xy 2x 2y = 0.

9 Obteniu una parametritzacio del cilindre circular de radi R i eix la recta que passa per lorigen ite vector director (1, 1, 1).

10 Obteniu les equacions cartesianes de la corba

x = 1 t2

y = 1 + tz = 1

2 t+ 1

11 Donada la corba representada per la interseccio de les superfcies

{4x2 + y2 + z2 7 = 02x2 + y2 z2 + 1 = 0,

expresseu-la de diverses maneres com a interseccio de dos cilindres de segon ordre. Quines sonles projeccions sobre els plans de coordenades?

12 Trobeu lequacio dels cilindres projectants de les corbes dequacions (expressades com a intersec-cio de superfcies) seguents:

a) x2 + y2 + 3z2 = 9, x2 y2 + z2 = 6

b) x2 + y2 2z = 0, x2 y2 + z2 = 6

c) 4x2 + y2 8z = 0, 4y2 z2 6x = 0

d) xz = y, yz = x

6.2.5 El con

Denicio

El con circular recte de ve`rtex un punt donat V i deix la recta e que passa per V es el conjuntde rectes de lespai que passen per V i que formen un angle constant amb la recta e; aquestesrectes son les generatrius del con. Tambe es pot denir com la superfcie generada per la rotaciocompleta duna recta que talla leix e, rotacio a lentorn de e. A la gura 6.13 es veuen cons

246 Geometria per a la informa`tica gra`ca i CAD

(amb dos fulls).

Figura 6.13

Equacio cartesiana

Considerem ara el cas en el qual V = (0, 0, 0), leix e es leix de coordenades Oz i es langleconstant que formen les generatius amb leix (podem suposar 0 < < 2 ):

P

z

y

x

Figura 6.14

Podem obtenir fa`cilment lequacio cartesianadel con. En efecte, si P = (x, y, z) nes un puntarbitrari, i si r es la dista`ncia de P a leix Oz,tindrem

tg =r

z=

x2 + y2

z,

donx2 + y2 = tg2 z2,

equacio cartesiana del con recte circular de ver-tex lorigen, deix leix z i semiangle en el ve`rtex. Es molt frequent veure escrita lequacio delcon com a x2 + y2 = z2, pero` aixo` corresponnomes al cas particular =45.

Parametritzacio del con

El con circular recte anterior es pot parametritzar, utilitzant com a para`metres la dista`ncia vdun punt al ve`rtex (origen) i langle polar u de la projeccio del punt al pla xy de la maneraseguent; es fa`cil veure que podem escriure (de fet es en coordenades esfe`riques, amb colatitudconstantment igual a ).

x(u, v) = v sin cosuy(u, v) = v sin sinuz(u, v) = v cos

amb 0 v, 0 u 2.

6 Superfcies 247

Figura 6.15

Aquesta parametritzacio nomes descriu el full superior del con.

Els cons deix rectes diferents de la considerada anteriorment es poden parametritzar utilitzantcanvi de sistemes de coordenades i la parametritzacio anterior.

6.2.6 Exercicis

1 Proposeu una parametritzacio del full inferior del con.

2 Proposeu una parametritzacio que utilitzi els para`metres u, z (angle polar i altura, respectiva-ment).

3 Parametritzeu les generatrius del con.

4 Parametritzeu les seccions del con per plans perpendiculars a leix del con.

5 Considereu la corba representada parame`tricament per r(t) = (et cos t, et sin t, et), t [0, ].Determineu una superfcie que la contingui i dibuixeu la corba.

6 Demostreu que la corba {x = t cos ty = t sin tz = bt

esta` sobre un con i trobeu-ne lequacio.

6.2.7 El tor

El tor es la superfcie generada per la revolucio completa duna circumfere`ncia a lentorn dunarecta del seu pla que no la talli. La recta sanomena eix del tor i anomenarem pla diametral deltor el pla perpendicular a leix que passa pel centre de la circumfere`ncia generadora.

Figura 6.16

248 Geometria per a la informa`tica gra`ca i CAD

El tor (o part del tor) es una superfcie que apareix molt frequentment en peces meca`niques iinstal.lacions de conduccio de uids (colzes connectant dues seccions cilndriques).

Per xar idees, per obtenir-ne una parametritzacio, suposem que la circumfere`ncia es al pla xz,es de centre (R, 0, 0) i es de radi r, es a dir, es

{y = 0(xR)2 + z2 = r2

i suposem que fem un gir respecte de leix Oz en sentit positiu (es a dir, el sentit que passa deleix Ox a leix Oy). Considerem una instanta`nia interme`dia, com la de lesquema. Aleshorespodem especicar la posicio del punt P = (x, y, z) mitjancant les constants r,R i els angles , ,que utilitzarem com a para`metres:

x = R cos + (r cos) cos

y = R sin + (r cos) sin

z = r sin

Per tant, una possible parametritzacio del tor seria

x(, ) = (R + r cos) cos y(, ) = (R + r cos) sin z(, ) = r sin

, amb 0 2, 0 2.

OOx Oy

Oz

circumfere`ncia generadora

r

R

Figura 6.17

6 Superfcies 249

6.3 Les qua`driques

Hi ha un tipus especial de superfcies, que te molta importa`ncia en gra`cs per ordinador iCAD, al qual pertanyen superfcies tan conegudes i daparicio tan frequent com el cilindre, elcon o lesfera, que parcialment hem analitzat anteriorment. Son les superfcies de segon ordreo qua`driques.

6.3.1 Denicio de qua`drica

Lequacio general de segon ordre es

a11x2 + a22y

2 + a33z2 + 2a12xy + 2a23yz + 2a13xz + 2a14x+ 2a24y + 2a34z + a44 = 0.

Les superfcies de segon ordre o qua`driques son les superfcies formades pels punts de lespaique satisfan equacions del tipus anterior, es a dir, equacions generals de segon ordre.

Recordem novament lequacio de lesfera de centre (a, b, c) i de radi R:

(x a)2 + (y b)2 + (z c)2 = R2

Si desenvolupem lequacio obtinguda anteriorment,

x2 + y2 + z2 2ax 2by 2cz + (a2 + b2 + c2 R2) = 0,

i aquest no es mes que un cas particular dun tipus mes general de superfcie, les superfcies desegon ordre, ja que lequacio correspon a una equacio de segon ordre (grau 2) en les variablesx, y, z. Tambe en son exemples el con i el cilindre, que ja hem vist.

En serien exemples addicionals les equacions seguents:

x2 2y2 + 4z2 3xy + 2z 1 = 0,

x2 + y2 = 1,

xy z = 0,

z x2 y2 = 2.

6.3.2 El problema de la classicacio de qua`driques

Donada lesfera x2+y2+ z2 = 1,resulta simple cone`ixer-ne la forma, entre altres motius perque`en sabem lorigen en termes de dista`ncia a un punt, el centre de lesfera, i tambe es relativamentfa`cil obtenir-ne una representacio. Aixo` no resulta tan fa`cil amb daltres equacions. Si tenim,per exemple, 7x2 + 6y2 + 5z2 4xy 4yz 6x 24y + 18z + 18 = 0,no sabem quin tipus dequa`drica es, ni quina es la forma de lobjecte geome`tric que representa, ni com esta` situadaa lespai, ni com es pot parametritzar per obtenir-ne una representacio. Ara be, fent el canvidorigen donat per x = x+1, y = y+2, z = z1 (es a dir, passem al nou origen O = (1, 2,1)),lequacio de la qua`drica resulta ser 7x2 + 6y2 + 5z2 4xy 4yz 18 = 0.

250 Geometria per a la informa`tica gra`ca i CAD

Considerem la nova base

e1 = (

1

3,2

3,2

3), e2

= (2

3,1

3,

2

3), e3

= (2

3,

2

3,1

3),

que dona lloc a la matriu de canvi

M =

13 23 232

313

23

13

23

23

i, en conseque`ncia, al canvi de coordenadesx = 13x

+ 23y + 23z

y = 23x + 13y

23z

z = 23x 23y

+ 13z

Es podria comprovar que els eixos nous son mutuament perpendiculars.

Lequacio de la qua`drica en aquestes noves coordenades es 3x2 + 6y2 + 9z2 = 18,es a dir,

x2

6+y2

3+z2

2= 1,

que podrem identicar daqu molt poc com un el.lipsoide de semieixos a =6, b =

3,

c =2. Si sabessim com parametritzar-lo, podriem fer-ho, obtenir una parametritzacio en les

coordenades originals i representar-lo mitjancant alguna funcio disponible de representacio desuperfcies parame`triques.

Com trobar les equacions del canvi de coordenades, com a lexemple anterior?

La pregunta que es pot plantejar es la seguent: donada una qua`drica, existeix alguna transfor-macio de coordenades similar a lanterior (i de la qual haurem de precisar les propietats) queredueixi lequacio de la qua`drica a una forma mes simple? La resposta es armativa i, a mes,afortunadament, hi ha un cata`leg nit de tipus de qua`driques essencialment diferents (ja enprecisarem el signicat), que seguidament estudiarem. Es tracta, doncs, destudiar els diversostipus de qua`driques des dun punt de vista descriptiu amb lobjectiu de disposar de nous objectesgeome`trics molt importants, de les seves equacions i parametritzacions i poder-los representar.Daquestes qua`driques en forma simplicada es diu que estan en forma cano`nica; el proces desimplicacio mitjancant un canvi de sistema de coordenades sanomena reduccio a forma cano`-nica; i, en general, la identicacio de la qua`drica mitjancant la reduccio a la forma cano`nica ila consideracio de certes quantitats que resulten invariants es el proces de classicacio. Cal dirque existeix teoria que resol completament el problema de la classicacio de qua`driques, comes veura` mes endavant. Aqu ens limitarem a fer un estudi geome`tric senzill de les qua`driquesmes importants, i no ens dedicarem a estudiar les qua`driques en general de manera sistema`tica.

6.3.3 Estudi descriptiu de les qua`driques

A continuacio analitzarem les qua`driques seguents des del punt de vista geome`tric:

1. Lel.lipsoide.

2. Els hiperboloides: dun full i de dos fulls.

3. Els paraboloides: el.lptic i hiperbo`lic.

6 Superfcies 251

4. El con (de segon ordre).

5. Els cilindres (de segon ordre): el.lptic, hiperbo`lic i parabo`lic.

El sistema de coordenades es lhabitual de lespai de dimensio 3, es a dir, es el de coordenadescartesianes corresponent a una refere`ncia ortonormal.

De fet hi ha 17 formes cano`niques, entre les quals cal comptar les anteriors. On son les altres?Les altres poden generar-se de la consideracio de totes les possibilitats dassignar valors alscoecients aij , cosa que eventualment pot portar formalment al conjunt buit (en els reals) o bea parelles de rectes, plans paral.lels o altres, com per exemple el cas de la qua`drica x2 y2 = 0,que es una parella de dos plans, x+ y = 0 i x y = 0. Son les qua`driques degenerades.

El que mes informacio pot donar sobre la forma de la superfcie es considerar seccions perplans paral.lels als de coordenades, me`tode que utilitzarem sistema`ticament en el que segueix,juntament amb daltres aspectes. Els noms de les qua`driques anteriors fan refere`ncia als tipusde seccions co`niques que sobtenen en intersecar la gura amb diversos plans, en especial plansparal.lels als plans de coordenades.

6.4 Lel.lipsoide

Lequacio de lel.lipsoide en forma reduda es

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1,

on podem suposar sense pe`rdua de generalitat que a, b, c > 0, ja que hi guren com a quadrats.Els coecients a, b, c sanomenen semieixos principals de lel.lipsoide (en les direccions dels eixosprincipals).

A la gura 6.18 podem veure un exemple del.lipsoide.

Figura 6.18

6.4.1 Aspectes generals de la geometria de lel.lipsoide

Lorigen es centre de simetria de lel.lipsoide, i aixo` es pot justicar provant que, si P =(x, y, z) satisfa` lequacio de lel.lipsoide, tambe la satisfa` P = (x,y,z), sime`tricrespecte de lorigen, cosa que es immediata.

Els plans de coordenades xy, xz, yz son plans de simetria de lel.lipsoide.

252 Geometria per a la informa`tica gra`ca i CAD

Interseccions amb els eixos de coordenades. Lequacio de leix Oz es{y = 0z = 0

Substituint a lequacio de lel.lipsoide, resulta x = a i, en conseque`ncia, els punts dinter-seccio son (a, 0, 0). De forma ana`loga calculem les interseccions amb els altres eixos: ambleix Oy es (0,b, 0) i amb leix Oz es (0, 0,c), i aixo` dona el signicat geome`tric a lesquantitats a, b, c, denominades semieixos principals en les tres direccions de coordenades.

En el cas especial en el qual a = b = c = R, resulta lesfera de centre lorigen (0, 0, 0) iradi R:

x2 + y2 + z2 = R2.

Hi ha un cas especial intermedi entre el general i lesfera, que es aquell en el qual dosdels semieixos coincideixen: en aquest cas tenim lel.lipsoide de revolucio, generat per larotacio completa duna semiel.lipse a lentorn dun eix de coordenades, com seria el casdel gir complet a lentorn de leix Ox de la semicircumfere`ncia

{z = 0x2

a2+ y

2

b2= 1, y 0

6.4.2 Interseccio de lel.lipsoide amb plans paral.lels als de coordena-des

Vegem com son les interseccions amb plans paral.lels als de coordenades. Considerem, per exem-ple, plans paral.lels al pla de coordenades xy, es a dir, plans del tipus z = . Ens aproximarema lel.lipsoide des de linnit sobre leix Oz i anirem obtenint seccions. La interseccio es la corbadequacio cartesiana {

x2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2= 1

z =

Per tal daclarir-ne la forma, projectem-la paral.lelament a Oz sobre el pla de coordenades xy;per fer-ho obtenim a partir de les equacions cartesianes una relacio que compleixen les variablesx, y; simplement substitunt sobte

x2

a2+y2

b2= 1

2

c2

Si || > |c|, aleshores no hi ha interseccio, i aixo` signica, per tant, que lel.lipsoide esta` compre`s

entre el pla z = c i el pla z = c. Si || = |c|, aleshores es compleix x2

a2+ y

2

b2= 0, don x = y = 0

i, per tant, les interseccions son (0, 0,c). Suposem nalment || < |c|, o sigui c < < c; defet, per la simetria respecte del pla de coordenades xy, podem suposar 0 < c. En aquestcas la interseccio no es redueix a un punt i si = a

1 (

c)2, = b

1 (

c)2, es la corba

{x2

2+ y

2

2= 1

z =

La projeccio sobre el pla xy es lel.lipse (en xy)

x2

2+y2

2= 1

de semieixos , , deixos els eixos de coordenades Ox, Oy i de centre lorigen (0, 0). Per tant,la corba interseccio es una el.lipse ja que esta` continguda en un pla paral.lel al de projeccio i esprojecta en una el.lipse.

6 Superfcies 253

Podem analitzar amb mes detall com son les el.lipses interseccio: lexpressio 1 (c)2 es creixent

a mesura que decreix de c a 0 i, en conseque`ncia els semieixos creixen a mesura que decreixcap a 0 des de c.

El valor ma`xim sassoleix quan es mnim, es a dir = 0, cas en el qual la projeccio (iinterseccio) es en xy

x2

a2+y2

b2= 1

Per a c < < 0 obtenim un comportament sime`tric.

Figura 6.19

La situacio es la mateixa per ainterseccions per plans paral.lels alsaltres plans de coordenades: lesseccions son el.lipses, i aixo` ja enspermet tenir una idea bastant cla-ra de la forma de lobjecte. El fetque totes les interseccions siguin el-lptiques es el que motiva el nomdel.lipsoide. La gura 6.19 resu-meix el que sha dit respecte deles seccions. Mes endavant veuremque tambe son el.lptiques les inter-seccions amb qualsevol pla (sempreque hi hagi interseccio efectiva).

Com a conseque`ncia daquesta ana`lisi resulta que lel.lipsoide es una gura geome`trica tada,continguda en el prisma [a, a] [b, b] [c, c].

Lequacio de lel.lipsoide de centre (, , ) i deixos respectivament paral.lels als de coordenadeses

(x )2

a2+

(y )2

b2+

(z )2

c2= 1

6.4.3 Lel.lipsoide com a deformacio (af) de lesfera unitat

Teorema 6.4 La transformacio donada per

{x = axy = byz = cz

es a dir, (x, y, z) = (ax, by, cz), transforma lesfera S

x2 + y2 + z2 = 1

en lel.lipsoide E

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

254 Geometria per a la informa`tica gra`ca i CAD

Demostracio En efecte, sigui P0 = (x0, y0, z0) S, es a dir, es compleix x20 + y20 + z

20 = 1.

Vegem que (x0, y0, z0) = (ax0, by0, cz0) es de lel.lipsoide; per fer-ho cal provar que en satisfa`

lequacio, com es pot veure a continuacio:

(ax0)2

a2+

(by0)2

b2+

(cz0)2

c2= x20 + y

20 + z

20 = 1.

Per tant, els punts de lesfera es transformen en punts de lel.lipsoide, es a dir, (S) E.Recprocament, sigui Q = (x1, y1, z1) E. Vegem que existeix Q S tal que (Q) = Q. Enefecte, de Q E es deriva

x21a2

+y21b2

+z21c2

= 1

don

(x1

a)2 + (

y1

b)2 + (

z1

c))2 = 1,

es a dir que Q = (x1a ,y1b ,

z1c ) S i clarament tenim que (Q) = Q; en conseque`ncia, E

(Q) = Q i, en resum, (S) = E.

Aquest resultat (i daltres dana`legs pel que fa a altres qua`driques) te conseque`ncies interessants,com es veura` a continuacio.

Una possible aplicacio pra`ctica podria consistir en lobtencio del.lipsoides per deformacio delesfera unitat, calculada una unica vegada. Linconvenient es que, si lesfera sha calculat ambun nombre determinat de polgons (creats a partir de paral.lels i meridians), aquest nombreresta x si no hi ha un reca`lcul i, en conseque`ncia, si les mides de lel.lipsoide son molt mesgrans que les de lesfera tindrem un nombre insucient de polgons. Lavantatge es que lesdeformacions no exigeixen ca`lculs trigonome`trics, que nomes shaurien de fer una vegada per alobtencio de lesfera unitat. Un altre inconvenient es que, amb les deformacions, es produeixenalteracions que afecten curvatures i altres conceptes de forma, cosa que sha de tenir en comptei que, evidentment, no es pot considerar en la generacio de lesfera mare.

Tenint en compte ara la descripcio de linterior duna esfera, i les propietats de laplicacio dedeformacio anterior, podem descriure fa`cilment linterior dun el.lipsoide dequacio

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

En efecte, linterior sense la superfcie, linterior amb la superfcie i lexterior son donats, res-pectivament, per

x2

a2+y2

b2+z2

c2< 1,

x2

a2+y2

b2+z2

c2 1,

x2

a2+y2

b2+z2

c2> 1.

6.4.4 Parametritzacio de lel.lipsoide

Podem obtenir de dues maneres (com a mnim!) parametritzacions de lel.lipsoide en formacano`nica.

Me`tode 1 . Utilitzarem la propietat segons la qual lel.lipsoide es pot obtenir com a deformaciode lesfera unitat per la transformacio bijectiva

(x, y, z) (x

a,y

b,z

c),

6 Superfcies 255

com sha vist anteriorment. Si P = (x, y, z) es un punt de lel.lipsoide, aleshores Q = (xa, yb, zc)

es el punt de lesfera unitat x2 + y2 + z2 = 1 que es transforma en P . Podem ara expressar Qen termes de la parametritzacio de lesfera unitat en coordenades esfe`riques (longitud i latitud)i, en conseque`ncia, podem escriure

x

a= cosu cos v

y

b= sinu cos v

z

c= sin v

i, daqu, una parametritzacio de lel.lipsoide,

x(u, v) = a cosu cos v

y(u, v) = b sinu cos v

z(u, v) = c sin v,

amb u [0, 2] (longitud), v [2 ,2 ] (latitud), pero` no del punt P , sino de Q. Natu-

ralment, restriccions a la variacio dels para`metres a determinats subintervals produeix parts delel.lipsoide (hemisferis superior, inferior, octants, etc., ana`logament al cas de lesfera). Podemproposar una altra parametritzacio en termes de la longitud i de la latitud (no de P ).

Me`tode 2 . Tambe podem utilitzar el fet que les seccions per plans paral.lels al pla de coordenadesxy son el.lipses i sabem com parametritzar una el.lipse. Considerem el pla z = , amb || c, esa dir, que hi ha interseccio amb lel.lipsoide, i aquesta interseccio es una el.lipse, que es projectasobre el pla de coordenades xy en lel.lipse

x2

a2+y2

b2= 1

2

c2,

que podem reescriure com (en xy)

x2

(a1

2

c2)2

+y2

(b1

2

c2)2

= 1,

i que podem parametritzar com (en xy)

x = a

1

2

c2 cosu

y = b1

2

c2sinu

u [0, 2]

Ara, per a lel.lipsoide es c z c i, en conseque`ncia, 1 zc 1. Sabem que existeix ununic v [0, ] tal que cos v = z

c, o be v = arccos z

c. Podem escriure, per tant, z = c cos v i

aleshores tenim

1

z2

c2=1 cos2v =

sin2v = | sin v| = sin v,

256 Geometria per a la informa`tica gra`ca i CAD

ja que sin v 0 a linterval [0, ]. Podem ara escriure la parametritzacio corresponent a lel-lipsoide:

x(u, v) = a cosu sin v

y(u, v) = b sinu sin v

z(u, v) = c cos v,

amb 0 u 2, 0 v .

Per a les altres qua`driques es podrien obtenir parametritzacions amb me`todes basats en els dosanteriors.

Ara, amb qualsevol de les parametritzacions no es problema representar lel.lipsoide o part dela gura geome`trica amb qualsevol funcio de representacio de superfcies parame`triques.

Com representar un el.lipsoide en posicio general?

Reprenent ara lexemple de la qua`drica 7x2 + 6y2 + 5z2 4xy 4yz 6x 24y + 18z + 18 =0,recordem que mitjancant el canvi global de coordenades donat per

x = 13x

+ 23y + 23z

+ 1y = 23x

+ 13y 23z

+ 2z = 23x

23y + 13z

1,

la qua`drica es transforma en x2

6 +y2

3 +z2

2 = 1,que correspon a un el.lipsoide que podem

parametritzar mitjancant

x(u, v) = a sin v cosu

y(u, v) = b sin v sinu

z(u, v) = c cos v

amb u [0, 2], v [2 ,2 ], a =

6, b =

3, c =

2. En conseque`ncia, tenim una parametrit-

zacio de lel.lipsoide en la refere`ncia original utilitzant les equacions del canvi de coordenades:

x(u, v) = 13x

(u, v) + 23y(u, v) + 23z

(u, v) + 1y(u, v) = 23x

(u, v) + 13y(u, v) 23z

(u, v) + 2z(u, v) = 23x

(u, v) 23y(u, v) + 13z

(u, v) 1

es a dir,

x(u, v) = 13a sin v cosu+

23b sin v sinu+

23c cos v + 1

y(u, v) = 23a sin v cosu+13b sin v sinu

23c cos v + 2

z(u, v) = 23a sin v cosu23b sin v sinu+

13c cos v 1

Ara podrem representar lel.lipsoide amb alguna funcio general de representacio de superfciesparame`triques (per exemple, mitjancant una malla poligonal creada per un sistema de meridiansi paral.lels). Queda clar amb aquest exemple que, encara que nomes sigui per a la represen-tacio de qua`driques, es fonamental disposar de me`todes per classicar-les i per obtenir algunatransformacio de cooordenades concreta per reduir-la.

6 Superfcies 257

6.4.5 Exercicis

1 Parametritzeu les el.lipses interseccio de lel.lipsoide amb plans paral.lels als plans de coordenades.

2 Justiqueu que els plans de coordenades son plans de simetria de lel.lipsoide.

3 Estudieu quins son els punts de lespai per als quals es compleix

a) x2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2 1

b) x2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2< 1

c) x2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2> 1

4 Donat lel.lipsoide x2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2= 1,

a) Justiqueu que lorigen de coordenades es centre de simetria.

b) Justiqueu que els plans de coordenades son plans de simetria

6.5 El paraboloide el.lptic

6.5.1 Equacions

Lequacio reduda del paraboloide el.lptic es

z =x2

a2+y2

b2

i tambe les que es puguin obtenir per permutacions de les tres variables, es a dir

x =z2

a2+y2

b2, y =

x2

a2+z2

b2.

Lequacio que considerarem en el que segueix es

z =x2

a2+y2

b2.

A la gura 6.20 es pot veure una representacio parcial de la superfcie.

Figura 6.20

c: Els autors, 1999; Edicions UPC, 1999.