IncrementoDefinicinSea x una variable con un primer valor x1 y un segundo valor x2 entonces el cambio en el valor de x es. A esta diferencia, se le denomina el Incremento de x , y se denota por. Sea una variable que depende de x cuando, entonces. De la misma manera cuando entonces. As, el Incremento de y es : De la ecuacin tenemos reemplazando en se obtieneDado que x1puede ser cualquier valor de x, podemos suprimir el subndice y escribiren orma alternativa, dado que , podemos escribirEjemplo 1

11!l volumen de venta de gasolina de cierta estacin de servicio depende del precio por litro. Si pes el precio por litro en centavos, se encuentra que el volumen de ventas q "en litros por da# est$ dado por %alcular el incremento en el volumen de ventas que corresponde a un incremento en el precio de 1&'c a 1('c por litro. SolucinDatos: p es la variable independiente y q la uncin de p. p1 ) 1&' p2 ) 1('. ) incremento de p ) p2 - p1 ) 1(' * 1&' ) 1'los valores correspondientes de q son los siguientes. por tanto el incremento de q esta dado por :!l incremento de q mide el crecimiento y el +ec+o de que sea negativo signiica que q decrece. !l volumen de ventas decrece en ,.''' litros por da si el precio se incrementa de 1&'c a 1('c. Ejemplo 2Dada la uncin, calcular si x ) 1 ySolucin -eemplazando los valores de y tenemos

22as un cambio de ',& , es decir,en el valor de x, da como resultado un cambio ende Ejemplo 3Dada la uncin ".# ) &./ 0 determine el incremento de la uncin s . ) 1 y

!ntonces tenemos que:

Tasa de Cambio PromedioSe llama Tasa o Razn de Cambio Promedio al cuociente entre la variacin de y con la variacin de x.2eom3tricamente, la 4asa de %ambio 5romedio de y con respecto a x, es igual a la pendiente de la recta tangentea la gr$ica de y = f(x). 6a 4asa de %ambio 5romedio de y con respecto a x es:

',11 33 o bienEjemplo 1Costos, Ingresos y Utilidades:7n abricante de productos qumicos advierte que el costo de producir x toneladas, por semana, de cierto ertilizante est$ dado pordlares y el ingreso obtenido por la venta de x toneladas est$ dado por 6a compa8a actualmente produce (.1'' toneladas por semana, pero est$ considerando incrementar la produccin a (.&'' toneladas por semana. %alcule los incrementos resultantes en el %osto, el Ingreso y la 7tilidad. Determine la 4asa de %ambio 5romedio de la utilidad por las toneladas e.tras producidas. Solucin C(x) : %osto de producir x toneladas a la semana (x) : Ingresos por la venta de x toneladas : Incremento en la produccin por tanto y como entonces

44 y adem$s entonces: o sea, los costos se incrementaron en 9 1.'''por el incremento en la produccin, mientras que los ingresos se incrementaron en 9 (.0''. Ejemplo 2%uando cualquier ob:eto se suelta a partir del reposo y se le permite caer libremente ba:o la uerza de gravedad, la distancia s "en pies# recorrida en el tiempo ! "en segundos# est$ dada por Determinar la velocidad promedio del ob:eto durante los intervalos de tiempo a# !l intervalo de tiempo de ( a , segundos.b# !l cuarto segundo "de ! ) ( a ! ) 1 segundos# c# !l intervalo de tiempo entre los instantes ( y (1;& segundos.d# !l lapso de . Solucin 6a velocidad promedio de cualquier mvil es igual a la distancia recorrida y dividida entre el intervalo de tiempo empleado. Durante el lapso de a, la distancia recorrida es el incremento, y as la velocidad promedio es la razn a Si<

55 por tanto :el mvil cae de una distancia de &,= pies, con la velocidad promedio de 1&> pies;seg. ! 5ara< por tanto:el mvil cae de una distancia de 11& pies, con la velocidad promedio de 11& pies;seg.c Si< por lo tanto :el mvil cae de una distancia de ,& pies, con la velocidad promedio de 1'1 pies;seg. d !n el caso general :

66es la velocidad promedio durante el lapso de. Ejemplo 3!l costo de producir . bienes est$ dado por:.Determine el incremento en el costo cuando el n?mero de unidades se incrementa de (' a 1'. %alcule el costo promedio por unidad cuando la produccin aumenta de (' a 1' unidades.-eemplazando los valores en la uncin costo dada tenemos:!ntonces la tasa de cambio promedio viene dada por:

77

DE"I#$D$S I%&"'DUCCI'%En el %$lculo Dierencial es undamental comprender laidea de incremen!o ya que se asocia alanocinde"eri#ada, esto+a permitido, alolargodelossiglos, +allar solucionesaproblemas tales como: determinar la ecuacin de rectas tangentes a una curva y calcular losvalores m$ximos o m%nimos de las unciones.6a Derivada e.presa la variacin de las unciones entre dos puntos muy cercanos y se aplica asituaciones sicas como el c$lculo de la velocidad de un mvil, como tambi3n a la solucin deotros problemas relacionados a la economa, la demograa, la ingeniera, etc.Definicin AnalticaSea y = f(x) una uncin dada. 6a Derivada de y con respecto a x, sedenota por(r)fico: Interpretacin 2eom3trica

88se deine poro biencon tal de que este lmite e.ista. A la Derivada se le llama tambi3n %oeiciente Dierencialy la operacin de calcular la derivada de una uncin se le denomina diferenciacin. Si la Derivada de una uncin e.iste en un punto particular, signiica que f es dierenciable en ese punto. 6a Derivada de y = f(x# con respecto a xtambi3n se denota por smbolos tales como representa un smbolo y no deber$ interpretarse como un cuociente. Interpretacin Geomtrica*a Derivada de una uncin representa la pendiente de la tangente a la curva y = f(x#, en el punto cuya abscisa es x.

99

1010 5ara aclarar a?n mas estas interpretaciones, se recomienda acudir a lose:emplos de la unidadsiguiente @3todos de Derivacin.Allse deriva aplicando los m3todos de Derivacin por deinicin y por propiedades.Dadaslasm?ltiplesaplicacionesdeladerivacinadierentesdisciplinasdelaeducacinsuperior, se +ace necesario estudiar las ormas en que se presenta esta operacin del %$lculoDierencial en ellas, y poder as utilizarla al m$.imo como +erramienta de traba:o.Estudiaremos dos Mtodos de Derivacin:A.Derivacin por deinicin "por pasos#B.Derivacin por propiedades%ada uno de estos @3todos se utilizan seg?n las condiciones del problema a resolver.Derivacin por DefinicinSea y = f(x) una uncin real derivable.Se denota por:

1111a la derivada de y con respecto a x.Se deine Derivada deunaAuncincon respectoa x,en torno a un puntoxcualquiera, al6mite:

!l procedimiento para derivar una uncin por deinicin es el siguiente: 1B %$lculo de f: reemplazaren lugar de x.&B -estar f(x) a ambos ladosde la igualdad.(B Despe:ar) ff, y dividir por 1B CallarEjemplo 1Determinar la Derivada por el m3todo de pasos, y = 2x2 & 'x() Solucin:Sea+aso %, 1:-eemplazar "x ( x# en lugar de x*+aso %, 2:

1212-estar f (x) +aso %, 3:Despe:ar y , dividir por x: +aso %, -:Callar el lmite:

Ejemplo 2%onsiderar a# Derivacin por pasos

b#Su aplicacin correspondera por e:emplo, a calcular la pendiente de la recta tangenteen el punto "(.D#

1313Desarrollemos:que correspondea la pendientede la recta 4ga la curvaen el punto 5 "x ,y# eneste caso 5 (x, y#)5 "(,D#entoncesAlevaluarla derivada en este punto resulta:Donde = corresponde a la pendiente de la recta 4g a la curva en el punto 5,donde+ ) ( 6a ecuacin de la recta tangenteen 5 "(,D#,se obtieneconsiderandola pendientem ) =yel punto 5 de Interseccin con la curva!ny y1=m(x - x1) 5 (x,y) ) 5 "(,D# y m ) =y * D ) = "xE (#y =6 x 9

1414 !l 2raico es: c# De la misma orma se puede determinar que la ecuacin de la rectaT, a la curva en 5 ) "*1,1=# es: y = --x - 1.y su gr$ico es:

1515 Ejemplo 3Determinarparaydeterminarlapendientedelarectatangentealacurva en el punto y escribir la ecuacin.Solucin:

1616!valuando la Derivada:

Ejemplo -%alcular la ecuacin de la tangente en para Solucin

1717!valuando la Derivada para x ) ,en x ) , evaluamos la uncin x6a ecuacin de la recta tangente en x ) , es6a ecuacin de la recta tangente en x ) , es Ejemplo .Sea %alcular las ecuaciones de las rectastangente y normal en la abscisa x) 'Se puede aplicar directamente el paso FG ,:)

1818)!valuando la derivada para x ) ' se obtiene:que corresponde al valor de la pendiente "m# en el punto de coordenada x ) '.Si se eval?a la uncinpara x ) ', se obtiene:

6uego el punto 5 ) "',*, es donde se intersecta la curva con la recta tangente, de pendiente m ) 1.Donde: ecuacin de la recta tangente en 5ara +allar la ecuacin de la recta normal en 5 ) "',*

1919%omo & rectas son perpendiculares !ntonces:m/) 5endiente recta normalm!) 5endiente recta tangente%omo m! )1

2020!ntonces:5ara 5 ) "',* se tiene:

!cuacin de la recta normal a la recta tangente en el punto 5 "',* de la curvay = 0x'-)x2( 0x*&

2121Derivacin por Propiedades$continuacin, sedeinenlassiguientes5ropiedadesquepermitenoperar el AlgebradeDerivadas, para una uncin dada.1# Derivada de una constante Derivada de la uncin identidad(# Derivada de inversa1# Derivada de una constante por una uncin,# Derivada de una suma y;o resta=# Derivada de un producto0# Derivada de un cuociente

2222># -egla de la cadenaD# Derivada de una potencia1'# Derivada de una raz cuadrada11# Derivada de una raz en3sima1 Derivada del logaritmo natural1(# Derivada de logaritmo de cualquier base11# Derivada de e.ponencial1,# Derivada de e.ponencial de cualquier base.1=#

232310#1>#1D#&'#&1#&&(#&1#&,#&=#&0#

2424Ejemplo 1!ncontrar para Solucin Se utilizaran las siguientes propiedades:Aplicandoa launcin!ntonces, la derivada es:Ejemplo 2Derive Solucin Aplicando6uego la derivada de corresponde a :

2525corresponde a la primera derivada de la uncin.Ejemplo 3Derivar la uncinSolucinAplicando la propiedad de la derivada de un cuociente:6a derivada dequeda:6o que da como resultado despu3s de las reducciones algebraicas:

2626Ejemplo -Derivar :5or 5ropiedad de multiplicacin y usando regla de la cadena:Ejemplo .Derivar :7sando y regla de la cadena

6a Derivadade queda:Ejemplo /Derivar

2727ycalcular y evaluar para SolucinSabiendo que y !ntonces :porIdentidad 4rigonom3trica< que corresponde a la derivada de6uego se eval?aen Ejemplo 0Derivarla uncin , usando regla de la cadena. Solucin

2828Se puede obtener por e:emplo, la derivada en x ) 1 .7tilizando el procedimiento descrito con anterioridad yevaluandola derivadaenx ) 1 se obtiene. Se recomienda evaluar la primera Derivadaen otros puntos y paracompletarrealizarel gr$ico correspondiente. %ota7tilicesotHare ycalculadora en todosaquelloscasosygr$icosqueloameriten1 US'S DE *$ DE"I#$D$E.isten situaciones especiales, donde la Derivada :uega un papel muy importante, estas son:$1 Derivacin Implcita21 Derivacin 5aram3tricaC1 -eglas de 6ICopital

Supongamos que se da una ecuacin en la que no est$ despe:ada y en orma e.plcita. !n estecaso, se deriva respecto a .a ambos lados de la ecuacin, a este proceso se le llama Derivacin Implcita.!.iste otra situacin, donde x e y est$n en uncin de un par$metro !, en este caso se deriva x con respecto a ! e y con respecto a ! , a este procedimiento se le denomina Derivacin 5aram3trica.!n la 7nidad anterior, se vio que +ay 6mites que se indeterminan, algunas de estas indeterminaciones se solucionan derivando, a este proceso se le conoce como -eglas de 6ICopital.A continuacin, se detalla cada caso.Deri3acin Impl4citaLas unciones de la orma y = f(x)e.presan a ye.plcitamente en t3rminos de x,y puedenderivarseodierenciarsedeacuerdoconlasreglasvistas anteriormente,apropiadas altipoparticular de unciones.Sin embargo, e.isten ecuaciones en las que intervienen x e y, de la orma, donde no se presenta a y, e.plcitamenteen t3rminosde x, y no pueden manipularse de manera que se logre ese propsito, como es el caso de la uncin:

2929en que ambas variables aparecen como argumentos de 1. 6a relacin est$ e.presada entre lasvariables x e y, pero la variable y no est$ deinida e.plcitamente en t3rminos de x.4ales ecuaciones deinenaycomounauncindex, endondeacadavalor dex,lecorresponde un valor de y que satisace la ecuacin.!n consecuencia, se dice que la ecuacindetermina a y como una f2ncin imp3%ci!a dex.!n general!sposiblecalcularapartir detalesecuacionesmedianteel @3tododelaDerivacinImplcita, queindicaderivar cadat3rminoenlarelacinimplcitadadaconrespectoalavariable independiente.+rocedimiento6a derivada de y con respecto a xse obtiene derivando la ecuacin, t3rmino at3rmino, considerandoaycomo una uncindex, y despe:andoluegoenla ecuacinresultante, la derivada Ejemplo 1Determinar:en la ecuacin: SolucinDerivando con respecto a x 4ambi3n se usa la siguiente notacin:

3030Ejemplo 2Jbtenerpara la ecuacin.SolucinDerivando con respecto a x

Ejemplo 3Determinar para la ecuacin SolucinDerivando con respecto a x

3131 Ejemplo 4%alcular si SolucinDerive cada t3rmino con respecto a xaplicando derivada implcitadespe:andose tiene Ejemplo .%alcular si SolucinAplicamos propiedad del logaritmo de un productoderivamos con respecto a xpor regla de derivadas

3232Deri3acin +aram5trica DefinicinUnaAuncinsedicerepresentadaparam3tricamentecuandolascoordenadas "., y# deunpunto 5 cualquiera,se encuentran en uncin de una terceravariable o par$metro.!sto sedenota por: eDonde la tercera variable o par$metro es KLEjemplo $nal4tico, con luego . !ntonces es un par$metro de x e y .Ejemplo (r)ficoSea

3333Dando los valores al par$metro se tiene la siguiente tabla de valores' 1 '&' 1&*1 '%on estos valores se construye la gr$ica de la uncin representada por el par$metro K L5ara determinar la derivada de una uncin representada param3tricamente se debe eectuar lasiguiente operacin:Seauna uncin representada param3tricamente, de un par$metro !,

3434Su derivada se determina como:Ejemplo 1Dada la siguiente uncin, obtener: Solucin comoSi transormamos la uncin 5aram3trica en t3rminos xe y ,Se tiene: <

'''' 1D>' cm ( !:emplo (!n un gas idealse cumple que:donde ; es la constante universal de los gases y vale '.'>&. Determinar el m$.imoporcenta:edeerror queseproduceal calcular lapresin, P,si latemperatura, T, y el volumen, =, tienen los siguientes valores:T ) &>0.( t '.,?

7878= ) '.&1.(t'.'( m(Dado que: entonces: C1 E=tremos de una funcin de 3arias 3aria!lesSeaz = f(x,y) continua y derivable "primeras y segundas derivadas#, calculando: ) ' ) 'Si:7 ) 8 ) C )

7979Sea el discriminante: )7C E 8& , entonces:1G.Si T ', la uncin tiene un e.tremo en el punto P(a, b) y este es a#un m$.imo si 7 W ' (o C W' ) b#un mnimo si 7T ' (o C T ' ) &G. SiW ', en el punto P(a, b# no e.iste e.tremo.(G. Si) ', la e.istencia de e.tremo de la uncin en el punto P(a, b) queda indeterminada.!:emplo 1Averiguar los e.tremos de la uncin:z = f (x, y# ) (axy - x' - y' Desarrollo ) ' ) 'la solucin del sistema esx ) y ) ', x ) y ) a 7 )8 )C )Sea el discriminante: )7C E 8& )(= x y * Da&, entonces:"i#.como T ', la uncin tiene un e.tremo en el punto P(a, a) y este esun m$.imoya que7 W ' "o C W' #

8080"ii#. comoW ', en el punto P"','# no e.iste e.tremo.!:emplo &%alcule la distancia, d, m$s corta desde el punto "1,',* +asta el plano + / & y ( z ) 1 Solucin6a distancia desde cualquier punto "x ,y, z# al punto "1,',* es:pero si "x, y, z) est$ en el plano x / &y / z ) 1, entonces z ) 1 E x E &y reemplazando en d:Se minimiza d al minimizar d2 :Al derivar e igualar a cero:))al resolver el sistema dala solucin:.

8181Al aplicar el criterio de Segunda Derivada para este punto crtico:)))D(x ,y )= ff ( f#& )&1 T 'confT 'esto signiica que es un mnimo local. -eemplazando este punto en la ecuacin para d, se tiene: !:emplo (7na pieza de +o:alata de &1 cm de anc+o +a de convertirse en artesa doblando +acia arriba losdos lados. Callar el anc+o y la inclinacin de cada lado si la capacidad es m$.ima. Desarrollo

8282!l $rea de la seccin transversal, se muestra en la igura debe ser m$.ima. 6a seccin transversal es un trapecio cuya base superior es&1 E & x /& x cos , su base inerior es &1 E & xy su alturax sen . !l $reaes:A ) "&1 E & x# x sen . ( x cos. x sen. =20 x sen . - 2 x 2 sen . ( x2 cos. sen. Al derivar, se tiene: A)A)Del sistema se desprenden dos soluciones: 1G. . ) ', . ) ' lo que dara la capacidad mnima ' &G. cos . ) 1 ; & . ) ='G , . ) > cm la capacidad es m$.imaDE=tremo Condicionado SellamaExtremoCondicionadodeunauncinf(x, y)enel casom$ssimple, al m$.imoomnimo de esta uncin alcanzado con la condicin de que sus argumentos est3n ligados entres por la ecuacin (x, y# ) ' "ecuacin de enlace#. 5ara +allar el e.tremo condicionado de launcin "., y# conlaecuacindeenlace"x, y# )', seormalallamadaf2ncinde@a,ran,e: 1 (x, y) = f(x, y) ( (x, y) es el multiplicador constante indeterminado, y se busca el e.tremo ordinario de esta uncinau.iliar. 6a condiciones necesarias para que +aya un e.tremo se reducen al sistema de tresecuaciones:

8383con tres incgnitas, x, y, , de las que, en general, se pueden deducir 3stas.!l problemade la e.istencia y el car$cter del e.tremo condicionado se resuelve sobre la basedel estudio del signo que tiene la segunda dierencial de la uncin de 6agrange:

para el sistema de valores de x, y, , con la condicin de que dx y dy est3n relacionados entre si por la ecuacin: 6a uncin f(x, y) tendr$ un:1G @$.imo condicionado, si W '&G @nimo condicionado, si T '!:emplo 1Determinar los e.tremos condicionados de la uncin:z = x2 ( y2 , six < & ( y < ( = 1 A ". , y# ) .& / y&/ ". ; & / y ; ( E 1#

8484

!l punto de mnimo condicionado es "1> ; 1(, 1& ; 1(, 1=> ; 1=D# y corresponde a un puntodonde intersecta el plano al cilindro.Ejemplo 2+art4culaen una caja1%onsidere el problemamec$nico cu$ntico de una partcula de masa m coninada en una ca:a.6a ca:a es un paraleleppedo de lados a, b y c.Q%u$l es la orma de la ca:a que minimiza laenerga 9, sometida a la restriccin de que el volumen es constanteS Desarrollo:!l estado base de la energa de la partculaesta dado por: Sometido a la restriccin de que el volumen es constante: =(a, b, c) = abc = ; = cons!an!e (a, b, c)= abc - ;!ntonces:1= 9(a ,b, c) ( (abc & ;)

8585 Al derivar se desprende: %oncluimos que la ca:a que minimiza la energa es un cubo. Jbservamos que permanececomo multiplicador indeterminado.!:emplo ("eactor %uclear Cil4ndrico%onsidereune:emplobasadoenlateoradelosreactoresnucleares. Supongaunreactornuclear t3rmico que tiene la orma de un cilindro circular recto de radioR, altura >. 6a teora dediusin de neutronesproporciona la restriccin: Q5ara qu3 relacin entre R y >se minimiza el volumen:f (R, >) = R2>del reactorS DesarrolloSea

8686 1 =f (R,>) ( (R,>) = R2> ( ( )

-esolviendo, se obtiene:

donde: es la relacin entre R y > para minimizar el reactor cilndrico circular recto. 7sando en veriicamos la condicin de mnimo.

8787E>E"CICI'S "ESUE*&'S DE* :E&'D' +'" +$S'S11 Sea 2x y . Callar:a. derivada por pasosb. analice que sucede para .)(c. ecuacin de la tangente en 5"(,D#d. ecuacin de la recta tangente en 5"*1,1=#Solucin:a.aplicando procedimiento de la derivada por pasosa( )( )( ) x x x limx xxx x xxyx x x x x x f x x fx2 2222 ) ( ) (022 2 2 + + + + + + b. la ecuacin de la recta, es la derivada representada por x x fdxd2 ) ( luego 6 ) 3 ( fdxdrepresentalapendientedelarectatangenteen.)(para 2) ( x x f a. la ecuacin de la recta tangente en 5"(,D# se obtiene considerando la pendiente m)= yla ecuacin de la recta dados estos dos elementos:9 6) 3 ( 6 9) (1 1 x yx yx x m y yb. para obtener la ecuacin de la recta tangente en 5"*1,1=# se eval?a la derivada"m# en.)*18 ) 4 ( fdxdluego16 8) 4 ( 8 16 + x yx y

888821 Callar dxdy para 0 , ) ( > x x x f y determinar la cotangente en ) 5 , 5 ( P.Solucin:x x x xlimx x x x x xx x xxx x xxyxx f x x fxyx x x y x x f yx x x x f y yx21 11) ( ) () () (0+ ++ ++ ++ + + + + + + + + evaluando la derivadaxxdxd21en ) 5 , 5 ( P con .),5 , 4 22 , 0 + x y31 %alcularlaecuacindelatangenteen) , 5 ( y P paralauncin17 12 52 + x x ySolucin:12 1012 10 ) 12 5 10 (12 5 1012 ) ( 5 1017 ) ( 12 ) ( 5 ) (022+ + + ++ + + + + + + + + xdxdyx x x limx xxyx x x x yx x x x x x f y yxevaluando la derivada para .),m xdxd + 62 ) 12 10 (en .),evaluamos la uncin 168 17 5 12 5 52 + yla ecuacin de la recta tangente en .), es42 62 x y

8989-1 Sea 2 123+ x y. %alcular la ecuacin de la curva tangente en la abcisa< .)' e . )*&.Solucin:dxdyx x x x x limx x x xxyx x x x x yx x x x x x x yx x y yx + + + + + + + + + + + + + + 2 2 202 22 2 23 3 2 2 3336 ) 12 36 36 (12 36 36) ( 12 ) ( 36 36) 2 12 ( 2 ) ) ( ) ( 3 3 ( 122 ) ( 12evaluando la curva en .)' y)*& ,o sea en 5"',, se obtiene la pendiente m)'por lo tanto la ecuacin pedida es2) 0 ( 0 2 yx yevaluandolacurva en.)*&y)94 2 ) 2 ( 123 + , oseaen5"*&,*D1# seobtienelapendiente m)111, por lo tanto la ecuacin pedida es194 144) 2 ( 144 94+ + +x yx y

9090!X!-%I%IJS 5-J57!S4JS D! 6I@I4!S P %JF4IF7IDAD%JF4IF7IDAD D! 7FA A7F%IJF1113 6 2) (2 3 4+ + xx x xx f. Q!s continua en .)1S -p.: si2124) (2+xxx f-p.: si31' +4 1 , 3211 1 , 1 2) (2x xx xx g-1x x f 2 3 ) ( + .1 Sea'2 4224) (2x six sixxx fDetermine en que punto es discontinua.-p.:1/1 Determine si la uncin es continua en los intervalos indicados:a.[ ] 4 , 1 1 ) (2 + x x fb.[ ] 3 , 3 9 ) (2 x x fc.' 2 3 22 5) (x xx xx f01 Demuestrequelassiguientesuncionessondiscontinuasenel n?mero.)adado.6uego, determine sila discontinuidad es evitable o no. Sies evitable, deina "a# de@anera que la uncin resulte continua en .)a. a.444 3) (2 axx xx fb.33 212) (22 + ax xx xx fc.' + 3 ; 3 5333 4) (2a x six sixx xx f

9191d.' +5 ; 5 0551) (a x six sixx fe.' 3 ; 3 23 3) (a x si x si xx f.' > + 2 ; 2 2 32 9) (2a x si xx si xx f91 Determine los intervalos de . donde las unciones dadas son continuas:a.2 2) 3 ( ) ( + x x x fb.8 22) (2 +x xxx fc.x x f 7 3 ) ( d.12 7 ) (2 + x x x fe.3 2) 1 ( ) ( x x x f .1 2 ) (2 4+ x x x fg.xxx f4 51) (+;1 Determine los valores de m y n en:' + +< < +3 1 ,3 1 1) (2x o x si n mx xx si xx f para que ".# sea continua en todo -.1?1 Determine el valor de las constantes a y b para que la siguiente uncin sea continuaen todo -.

9292'< + < x b xx si b axx si ax xx f2 , 5 22 1 ,1 ; 4 3) (23

9393111 Dada la uncin' +23223,3 29 4) (2x six sixxx fa. Determine ) (23x f limx b. demuestre

,_

23) (23f x f limxc. Qes continua la uncin en ?23 x121Sea '> + < 3 53 3 23 2) (x si x bx si b axx si a xx fDetermine los valores de a y b tales que la uncin sea continua en todo -.

94946I@I4!S: 1. Aplique operatoria algebraica convencional y veriique los resultados. 42422xxlimx0. 1 xlim3 25 622 + +x xx x ) *1 1D. 2 xlim222++xx ) 23>. 1 xlim392xx ) 1 &'. 1 xlim112xx ) 'D. 3 xlim232xx ) 0&1. 2 xlim283++xx ) 1&1'. 2 ylim26 52++ +yy y ) , &&. 4 xlim 4643xx ) 1>11. 2 ylim26 52+ yy y ) *1 &(. 2 xlim2 5 310 322 +x xx x ) 1

95951&. 3 xlim33 42++ +xx x ) *& &1. 2 lim64 422 3 + +

) '

9696&,. a xlim2 23 3x aa x ) *23a&=. 4 xlimx xx x x44 3 322 3 ) 421&0. 1 xlim13 6 22 3 4+ + xx x x ) *>&>. 1 lim( )

1 12 + ) (&D. 1 xlimxx23 3 ) '('. 2 xlim221 1xx ) *41(1. 2 xlim81634xx ) 38(&. 1 xlim1]1

933922xxxx ) 415((. 342122 31 + +x xx x xlimx(1. 322122 31 + + x xx x xlimx(,. 433 7 52 33 + xx x xlimx(=. 1633 52 33 xx x xlimx

9797(0. 3413 2321 + xx xlimx21 Aplicar criteriosdemayor potenciayracionalizacinseg?nconvengaveriiquelosresultados:1. xlimx x xx x3 61 3 23 42 4 + ) 31&. xlim3 5 23 222 ++ x xx x ) 21(. xlim10 34 23 72 5 +x xx x ) '1. nlim6 2 55 322 +n nn n ) 53,.317 31 522++ xx xlimx=. xlim5 22 10 62 32 3+ ++ + +x xx x x)210. tlim

,_

++112tt, para

,_

0 ,1

t ) '>. nlim( );'+++1 1223nnnn n ) 1

9898D.4 nlim42xx ) 411'.0 xlimx x x + 2 2 ) 211.1 xlim11xx ) &1&.0 lim

2 4 +) 411(.1 xlim1123xx ) 2311.1 xlim4 4 x ) ' &0. xlim300 213 72 7+ ++ x xx x ) 211,. xlim( ) x x x 12 11 22 3+ ) & &>.a xlim a xa x a x+ 3 ) a 211=. xlimx x xx x5 5163 43 + ) ' &D. xlim2725 75 34 5 +x xx x 10. xlimxx x +23 ) 3('. xlimx x x +2 ) 211>. xlimx x xx x3 61 2 82 32 3 ++ ) 34(1.81 xlim981xx ) 1>1D.1 xlim11xx ) 21(&. xlim( ) 3 2 3 22 2+ + + + x x x x ) &&'. xlim8 5 26103+ +x xx x ) ' ((. xlim( ) x x x 6 2 22 2 ) 223

9999&1. xlim2001 21492 106642 4 +xx x ) 21(1. xlim( ) ( )( ) ( ) 4 32 1+ ++ +x xx x ) 1&&. xlim2143++xx ) ' (,. 332+ xx xlimx&(. xlim1 100 35 632 3+ + x xx x ) & (=. 3231 2 42+ + xx xlimx&1. xlim72 523+ ++x xx x ) (0. 3231 2 42+ + xx xlimx&,.0 xlim1 11 13 + +xx ) 23(>. xlim323 9422+x xx x(D. nlimn n +1 ) ' 1,. xlim48 623xx x ) '1'. 214 3 242+ xx xlimx1=. xlim225 32 5x xx+ ) 5211. nlim1 5222+nn n ) 5210. 81167 33 24

,_

+ nnlimx1&. nlim4 75 4 322+ +nn n ) 731>. a xlim a xa x a x+ 3 ) a 211(. nlim43 22 4;'+nn ) 1= 1D. nlim1 233++nn n ) 2111. nlim11 2++nn ) & ,'. nlim312+ nn ) 32

10010031 !l costo en millones de dlares para el gobierno de apre+ender un .Y de cierta drogailegal, a su entrada por las ronteras, viene dado por:100 0 ,100528< xxxCa. calcular el costo de apre+ender el &,Yb. Callar el lmite de % cuando100 x-1 7napartculacaedel reposoba:olaaccindelagravedad. Q%u$l eslavelocidadinstant$nea despu3s de 211segundosS..1 7napelotase arro:averticalmente+aciaarriba conunavelocidadde1'cm;seg. 6adistanciarecorridaencmdespu3s det segundos est$dadapor216 40 t t s .Determine la velocidad instant$neacm;segb. despu3s de dos segundos -p.:*&1cm;seg/1 !n el e:ercicio anterior, calcule la velocidad instant$nea despu3s de t segundos.a. Qqu3 ocurre cuando 45 tSb. Qcu$l es la velocidad instant$nea cuando 25 tS

10110101 Aplique 4eorema de 6I Copital y veriique los resultados:a.1 xlim1143xx ) 34b.1 xlim( )23 3 211 2+ xx x ) 91c.27 xlim3273xx ) &0d.5 xlim54 1 xx ) *21e.4 xlim4162xx ) >.0 lim

xx + ) x 21g.0 lim

xx1 1+ ) x x 21 +.4 xlim2 23 1 2 +x x ) 32 2i.7 xlim493 22 xx ) 561 :.1 xlim113xx ) 61N.0 xlimxxx151++ ) ,

102102l.011231++ xxlimx DE"I#$D$SEJERCICI!I< Determinar la primera derivada, usando las operaciones b$sicas de derivacin#despe:andoy yr 2%&"D#reemplazando "># en "D#1 'o#2%e$ 33 3+yeyrer rpor lo tanto la respuesta es) #e$ 2 (#e$) #e$ 2 ('o# 22 32 2 ++rre yre y01 Sea 2 2 25 2 3 ) , ( y x y xy y x f + . Callar ) 2 , 1 ( xyf.Solucin: en este caso se deben determinar las 1 combinaciones para derivadasparciales de orden superior.( )2 2 22210 10 3 y xy yx"x" +

114114!ercicios 'es#eltos 11 Si las unciones de demanda para dos artculos relacionados est$n dados por 0 , 0 > > b a be y ae xq p p qdetermine las unciones de demanda marginal.Solucin:q p p qq p p qbeqyaeqxbepyaepx puesto que 0 0 >>pyyqx, los artculos son compe!i!i#os.21 Si las unciones de demanda para dos artculos relacionados est$n dados por 02> apqayq paxdetermine las unciones de demanda marginal.Solucin:2 2 22 32pqaqyq paqxq papyq papx puesto que0 0 , que es un valor casi igual al valor e.acto.01 @ediante el uso de dierenciales, obtener un valor apro.imado de 98.Solucin:%omo D> es cercano a 1'' que es cuadrado perectose e.presa la uncin comox y como un cambio de 1'' a D>por lo tanto para.)1''y 2 xtenemos1 , 0100 222 xdxdyas que 9 , 9 1 , 0 100 98 91 7na seccin de terreno es un cuadrado con lados de una milla ",&>' pies# de longitud. Si se remueve de cada lado una ran:a de &' pies para destinarse a una carretera. Q%u$nta $rea se pierde en esta seccinS.

132132Solucin:sea . la longitud de un lado, entonces el $rea es2) ( x x f ! si el lado se modiica a x x +, el cambio en el $rea ! es dado en orma apro.imada por la dierencialx x x x f ! 2 ) ( "como . ),&>' piesy40 x "puesto que se removieron & ran:as de &' pies cada una#400 , 422 ) 40 )( 5280 ( 2 !as, la p3rdida de $rea es apro.imadamente igual a 1&&,1'' pies cuadrados.+'CICI)" P')P,"T)" D )PTIMI-ACI).I1#c. !l producto de uno por el cubo del otro es m$.imo. "-p:(yD#31 Determine dos n?meros cuya suma sea 1' y tales que su producto sea m$.imo."-p.: , y ,#-1 Determine dos n?meros positivos cuya suma sea 0,, tales que el producto de uno porel cuadrado del otro sea m$.imo. "-p.: ,' y &,#.1 Determinedosn?meroscuyasumasea1=detal ormaquesuproductoseatangrande como sea posible. "-p.:> y >#/1 !studiar el movimiento de una partcula que se mueve en una recta +orizontal, tal queI#91 Se trata de encerrar un prado rectangular usando cerca de alambre en ( lados y unseto como cuarto lado, con >'' m de alambre. Q%u$l es el $rea m$.ima que se puedecercarS.( )2000 ( 80 0 m $p;1 A un campo rectangular se le va a poner una cerca y se le va a dividir en dos camposm$s peque8os por una valla paralela a uno de sus lados. Callar las dimensiones delcampo m$.imo que se pueda rodear con (''m de cerca.-p:0, y ,'m#1?1%on una +o:a cuadrada se desea +acer una ca:a del mayor vol?men posible, sin tapa.Callar el volumen de la ca:a.

,_

32720 a $p111 Callar lasdimensionesdelam$.imaca:aabiertaquesepuedeabricar conunal$mina cuadrada de +o:alata, de &1 cm de lado, cortando cuadrados iguales en susesquinas y doblando los lados. "-p:1= y 1cm#

135135121 Callar lasdimensionesdeuncilindrodevolumenM,demodoquesecumpleunamnima cantidad de material en su construccin.32)r < r2 131 7n recipiente cilndrico de base circular +a de tener 364cm. Callar las dimensiones demodo que la cantidad requerida sea mnima "$rea# 3l& p*#1/1 Detodoslosrecipientesmet$licoscilndricosqueencierranunvolumende1''pulgadas c?bicas. Q%u$l de ellos requiere la menor cantidad de materialS.r $p 2 ;502 03 101!ntre todos los recipientes cilndricos sin tapa y de 1'' pulg. %?bicas. Q%u$l requieremenos materialS. "-p:r)+#191 !ntretodaslasca:asrectangularescerradasconbasecuadradayde1'''pulg.c?bicas de volumen. Q!n cu$l se usa menos materialS( )3l& 1000 0 p* $p1;1Q%mo deberan elegirse dos n?meros no negativos, cuya suma sea 1, para minimizarla suma del cuadrado de uno y el cubo del otroS"-p:',1,y ',,1#2?1 7n gran:ero quiere construir un corral rectangular y dividirlo por una valla paralela a unode los lados. Dispone de &1' m de alambre. Q%u$les son las dimensiones del corral de$rea m$.ima que puede encerrarS"-p:&.1'' 2m#

136136211 7na p$gina impresa +a de contener ,' 2cmimpreso, con 1 cm marginales arriba yaba:o, y & cm marginales a los lados. !ncuentre las dimensiones de la +o:a a imprimirde orma que su $rea sea mnima."-p:1=& 2cm#221 7naventanaest$+ec+adeunrect$nguloydeuntri$nguloequil$teroenla partesuperior. Q%u$les deben ser las dimensiones de la ventana para ma.imizar el $rea, siel permetro 5 es i:oS.

( )

,_

223 5;3 60P P$p231 7n canal de riego, +ec+o de concreto, debe tener una seccin en orma de trapecioissceles, con ( de sus lados de 1 m. Q%u$l debera ser la orma del canal, si se deseaque tenga el $rea m$.imaS. %onsidere el $rea como una uncin de . y resuelva."-p: >m#2-1 Callar el volumen del cono circular recto m$s grande que se puede inscribir en unaesera de radio -."-p.:( ) 6 4 3'o# 'o#38 $ )=. reemplacep)='' >=&b# Si el costo total al producir por unidades es:% ".# ) ('' / 1' .Q cu$l es la utilidad marginal al producir 1' unidadesS

1411417 ".# ) - ".# E % ".#7 ".# ) " 1('' . E >= . E "('' / 1'.#7 ".# ) 1&D 'Z7] ".# ) 1('' E 10& . E1' 7] ".# ) 1&D' E 10& ."reemplace . )1'#c# %osto promedio :al producir 1' unidades\\%".# ) %".#Z\\%".# ) ('' /1'."reemplace.por 1'#Z%"1'#).(# 7n abricante produce cierto artculo que vende en 0,'' c;u. Sus costos de produccinson:&1'' en arriendo y (>'' en materiales y mano de obra%alcule la 7".# al producir ,' artculos .%".# ) &1''/(>'' .-".# ) 0,'' .7 ".# ) -".# E % ".#) 0,'' . E &1'' E (>'' .7".# ) (0''. * &1''7",'# )!: 1 : 6a siguiente representa el costo para producir . unidades.%".# ) 1.&''.''' / ',1 .&6a ecuacin demanda es:Z ) 1''.''' E , pa# Q%u$l es le costo promedio para producir 1'.''' unidadesS\\ % ) 1.&''.''' / ',1 . "1'.'''# &1'.'''b#%osto marginal) &. . ',1) ',&.%osto marginal para producir 1'.''' unidades.%`"1'.'''#) ',& . 1'.''') &.'''c# Ingreso: -".# ) . . p p ) precio . ) 7nidades demandadas.Ingreso medio ) . p

142142 .-".# ) pd#Ingreso marginal: -]".# ) d -d .e# Q%u$l es el ingreso marginal al vender 1''.''' unidadesS,. !lingreso mensualde una abrica es -".#)&1'./ ','',.& dlares cuando se producen .unidades durante un mes .7sualmente se producen >' unidades por mes y se planea aumentarla produccin mensual en una unidad.a# 7se el an$lisis marginal para estimar el ingreso adicional generado por la produccin de launidad>1.=. Se estima que al cabo de t a8os , eltira:edel peridicolocal ser$ : 4"t#) 1'' t& / 1''t/ 1'a# Callarelincremento de t , si t cambia de & a ,.b# %alcule4 a "(# e interprete.0. 6a siguiente ecuacinde demanda p ) ,&'' * ='. , relacionael n?mero . de artculos vendidos a un preciop.

a# obtenga el ingreso marginalal producir ,& unidades. b# aun preciode 9,'' Q%u$l es elingreso marginalS c# siel costototalal producir . unidadeses %"Z# ) ,''' / 1'. Q%u$l es la utilidad marginal al producir1' unidadesS d# Qcu$l es el costo promediode producir 1' unidades.II.* A56I%A%IJF!S D! 6A D!-IMADA !F 6A 2-AAI%A D! 7FA A7F%IJF1 continuacin se orece una serie de problemas que son posibles de resolver mediante el modelo de m$.imos y mnimos de una uncin de acuerdo al criterio de la segunda derivada2,o'e3.m.e$%o0 1. Sea 4= /(5) una uncin real y continua&. Determinar 46(. Cacer 46=0 y obtener los valores crticos 1. Determinar 466,. !valuar 466 con los valores crticosy e.aminar los signos obtenidos=. a# Sientonces e.iste un 5unto mnimo "@in#b# Sientonces e.iste un 5unto m$.imo "@a.#c# Sientonces e.iste un punto de inle.in "In# 0. !valuar la uncin original con los valores crticos y determinar los puntos crticos, es decir.

143143Ejemplo !ea . Determinar sus puntos crticos.!ol7'.8$01.&.:;(".*(#".*1#)'(. 1.entonces e.iste 5unto mnimo "@in#entonces e.iste 5unto m$.imo "@a.#entonces e.iste 5unto de inle.in "In#,.* .por lo tanto @in )"(,*># K @a. )"1,*1#K In ) "&,*=#=. -epresenta estos puntos en un gr$ico para observar estos puntos crticos.%ontin?e 7d.Ejercicios: Determinar la concavidad y los puntos de inle.inpara las siguientes unciones: a# ".#) .( *(.a b#".# ) .( /.& *>. / = c#".# ).1*.(*=.& /1. />

144144c# ".# ) &.( /1(.& /&1. /DI9:ER2RE:1CI;9 ER1