Societat Catalana de Matematiques

President: Carles Perello VallsVicepres.: Josep Lluıs Sole ClivillesSecretaria: Marianna Bosch CasaboTresorera: M. Teresa Martınez-SearaVocals: Ramon Eixarch

Antoni Goma NasarreJosep Grane Manlleu

Josep M. Mondelo GonzalezIgnasi Mundet Riera

Carles Romero ChesaOriol Serra Albo

Enric Ventura CapellJoan Verdera Melenchon

Delegatde l’IEC: Joan Girbau i Bado

Comunicacions:

Carrer del Carme, 4708001 BarcelonaTel.: 932 701 620Fax: 932 701 180A/e: scm@iec.cat

Secretaria: Nuria FusterTel.: 933 248 583 de 10 a 17 h

SCM/NotıciesNovembre 2007. Numero 24

Edita:Societat Catalana de Matematiques(filial de l’Institut d’Estudis Catalans)

Editor en cap:Enric Ventura Capell

enric.ventura@upc.edu

Disseny: Teresa Sabater

Compost en LATEX: Maria Julia

Foto de portada:

Carles Perello, president de la SCM,Pili Royo, presidenta de laFEEMCAT i Albert Violant,president de la SBM-Xeix.

ISSN: 1696-8247Diposit Legal: B.9480-2003

Index

La Junta informa 1

Internacional 2Arran de l’ICM 2006 2Petites coses de l’ICM 2006 i de les seves sequeles 5Exposicio: El segle xx a traves de les matematiques 105ECM, Amsterdam del 14 al 18 de juliol de 2008 11

Noticiari 12Matematiques i industria 12Els matematics conquereixen el mercat laboral 17Matefest-Infofest 2007 18Les universitats informen 19Activitats amb ajut de la SCM 22

Activitats de la SCM 25Quarta Jornada d’Ensenyament 25Desena Trobada de la SCM 27Cangur 2007 28Olimpıada 2007 31

Agenda 32

Contribucions 33Un comentari respecte a l’avaluacio de la recerca 33

Premis 35Premi FSB 2006 35Premi Richard von Misses 2006 37Premi Lester R. Ford 2007 38Premi SEMA 2007 38Premi Evariste Galois 2006 39Premi Evariste Galois 2007 40

Parlem de llibres 42Literatura i matematiques 42Volum iii i iv de Conferencies FME 47

Webs de matematiques 48Mathematics genealogy project 48

Problemes 49

Tesis 57

La Junta informa

Report de la Junta

Iniciem el nou curs fent balanc de la feina fetaper la nova Junta Directiva des que va pren-dre possessio el novembre de 2006. El nostredesig de continuıtat amb la polıtica duta a ter-me per la junta anterior i, molt especialment, elsuport de moltes de les persones que ja col.labo-raven intensament en les activitats de la socie-tat a traves de la junta o de les seves comissionsha facilitat molt el relleu. Encara que a horesd’ara tinguem els ulls posats molt mes en lestasques que estan per desenvolupar que no pasen la collita del que ha estat fet, volem destacarla feina duta a terme durant aquest perıode enles tres grans lınies d’actuacio seguents:

• La vida interna de la societat. Pel que fa a lesactivitats de cada any, podem comencar es-mentant la Trobada anual que es va celebrarel passat 15 de juny, dedicada aquest anya la figura d’Euler, tres-cents anys despresdel seu naixement. Venen despres les activi-tats per a secundaria, amb la multitudinariaprova Cangur que aquest any va arreplegar18.190 alumnes de 509 centres de Catalunyai Valencia. Cal valorar l’enorme esforc queaixo suposa per a la comissio organitzado-ra a la qual volem agrair la seva dedicacio. Ino oblidem l’ESTALMAT, els Problemesa l’Esprint ni l’Olimpıada Matematica,que ha enviat aquest any nou participantscatalans a la fase espanyola. Entre la restad’activitats, podem destacar les publicacionshabituals del Butlletı i de la SCM/Notıcies,que mirarem de treure a partir d’ara ambuna frequencia mes regular, aixı com l’entre-ga del Premi Evariste Galois (atorgat aquestany a la Judit Abardia) o la proposta d’enJoaquim Puig com a candidat als premis del5e Congres Europeu de Matematiques. Coma activitat excepcional, aquest any se celebrael Centenari de l’IEC i, amb aquest motiu,organitzarem ben aviat una trobada conjun-ta amb la Societat Catalana de Fısica sobreels darrers cent anys d’evolucio conjunta dela fısica i la matematica.

• L’ensenyament de les matematiques. La nostracandidatura proposava donar un lloc preemi-nent a les questions lligades a l’ensenyament

de les matematiques a tots els nivells, i aques-ta segueix sent una de les nostres principalspreocupacions. Per aquest motiu mantenimuna relacio regular amb la FEEMCAT i elDepartament d’Educacio de la Generalitat deCatalunya per participar en temes com arael Centre de Recursos per Ensenyar i Apren-dre Matematiques (CREAM) que organitzael Departament o be el Grup Museu de lesMatematiques de la FEEMCAT.

La SCM tambe ha donat suport a la FEEM-CAT en les iniciatives que s’han creat entornde temes relacionats amb la consideracio delcurrıculum de matematiques a l’ESO o la cre-acio d’un grup d’estudi sobre l’evolucio de lesproves de matematiques a les PAU. A totesles etapes educatives, els temes curricularsgeneren questions alhora delicades i crucialsper al futur de les matematiques a Catalunya.La Quarta Jornada d’Ensenyament, que hemorganitzat juntament amb la FEEMCAT i laSocietat Balear de Matematiques Xeix, s’hadedicat a debatre aquestes questions sota eltıtol Per que hem d’estudiar matematiques?Reflexions entorn del currıculum, des d’infan-til fins a la universitat.

• Les relacions amb l’exterior. El tema dels vin-cles entre la societat i la resta del mon ma-tematic es sempre un tema rellevant en lesactivitats de la societat. Comencant pel meslocal, podem esmentar sobre aixo l’aprova-cio d’un nou reglament del Comite Espanolde Matematicas (CEMat), del qual la nos-tra societat es membre. Tambe s’ha seguitde prop la possible creacio de l’Instituto Es-panol de Matematicas (IEMath) dins del pro-jecte Consolider. Ampliant perspectives,estem en vies d’acordar un conveni de reci-procitat amb la Societat Australiana de Ma-tematiques i tenim en perspectiva fer-ho ambd’altres societats, com per exemple la mexi-cana.

Encara no fa un any que vam assumir el re-lleu de la Junta Directiva i a moltes de les ini-ciatives amb les quals estem treballant els faltaveure la llum. Tenim pendent abordar en con-dicions els canvis que es produiran molt aviat

1

en l’ensenyament universitari i per aixo propo-sem crear una comissio d’universitats que puguiabordar les questions que se’ns plantegin. Re-bem de manera molt regular cartes dels socisen que expressen el seu malestar o preocupa-cio en aspectes relacionats amb l’ensenyamentde les matematiques i la formacio del professo-rat. Per poder-los atendre en bones condicions,preveiem crear una bustia de greuges que recu-lli aquestes manifestacions en deixi constancia ipermeti atendre-les amb l’ajuda del nostre co-mite d’ensenyament. Per aixo, pero, cal que dis-posem d’un web amb mes interactivitat, que

pugui albergar per exemple un forum on els so-cis expressin les seves opinions i recomanacions,i que serveixi com a mitja de comunicacio in-tern de la SCM. Tambe hem endegat un pro-grama de treball per tal de donar impuls a lamatematica i la ciencia com a membres de pledret de la cultura, aixı com projectar la ma-tematica en arees de la nostra societat, com arala industria o l’empresa, on encara hi te pocavisibilitat. Estem avancant en aquestes vies iesperem poder-ne mostrar els fruits al properinforme.

Marianna BoschSecretaria de la SCM

Editorial

La redaccio de la revista vol agrair un cop mestots els que hi col.laboreu activament amb elsvostres articles, ja sigui acceptant l’encarrecd’escriure sobre un tema concret, o be enviantels vostres articles d’opinio. Sense aquestes con-tribucions no seria possible omplir regularmentaquestes pagines amb continguts d’interes per ala comunitat matematica catalana. Seguim de-

manant, doncs, la vostra participacio per alspropers numeros de la revista, pels quals espe-rem les vostres col.laboracions.

Aprofitem per a recordar que els escrits dela SCM/Notıcies que apareixen signats reflexenl’opinio de l’autor i no necessariament la de laSCM ni la de l’edicio de la revista.

Internacional

Arran de l’ICM 2006

Ara fa un any, erem a Madrid clausurantl’ICM 2006. No cal dir que va ser un esdeve-niment excepcional; pot passar molt i molt detemps fins que Espanya sigui novament la seud’un altre ICM. Potser es per aixo que tots elsque vam intervenir d’una manera o una altraen l’organitzacio ho considerem com un fet sin-gular de la nostra vida professional del qual ensha agradat ordenar els records, explicar-los enalgunes ocasions i, en tot cas, guardar-los coma part del nostre equipatge.

La SCM/Notıcies em demana precisamentaixo, explicar com vaig viure l’ICM. Per tant,el que segueix son unes quantes reflexions per-

sonals i records que poden diferir en molt de lapercepcio que d’altres van tenir del congres.

Possiblement sense la meva implicacio an-terior en l’organitzacio del 3ecm no se m’hau-ria presentat l’oportunitat de fer-ho tambe enl’ICM 2006. Considero aquest fet una mica pa-radoxal. L’esforc col.lectiu del comite organit-zador del 3ecm va ser molt gran, participar enuna activitat encara de dimensions superiorsera quelcom que ni em passava pel cap. En fi-nalitzar el 3ecm no hi havia, de fet, el mes petitindici que Espanya pogues ser la seu del properICM, pero penso que si hi hagues estat, hau-ria pres la decisio de mantenir-me’n al marge.

2

Per que? Crec que una experiencia tan inten-sa i alhora enriquidora ha d’estar a l’abast delmajor nombre possible de persones; com mesdiversitat en la participacio, mes qualitat en elsresultats, mes entusiasme, mes responsabilitatscompartides, mes beneficiaris de l’experiencia.

I malgrat aquesta hipotesi, vaig acabarparticipant i contribuint molt intensament enl’ICM 2006. Com va anar? Molt poc despresque Madrid fos elegida la seu de l’ICM 2006,a l’assemblea general de l’IMU a Shangai a latardor de 2002, en Carlos Andradas, aleshorespresident de la RSME, m’ho va proposar. EnCarlos estava treballant en la gestacio del co-mite executiu de l’ICM 2006. Cada persona d’a-quest comite havia de tenir una area de respon-sabilitat ben definida. Va valorar l’experienciaadquirida en el 3ecm i el magnıfic congres quevam organitzar a Barcelona amb un esforc ple-nament col.lectiu liderat pel Sebastia Xambo.Era necessari que alguns dels membres del fu-tur comite executiu tinguessin experiencia. Emva proposar fer-me carrec de tots els aspectesrelacionats amb la implementacio del progra-ma cientıfic, es a dir, el que vaig acabar sent: lapresidenta del comite local del programa.

Amb el pas del temps he anat adquirint elcostum de valorar amb calma tots els aspectesque una nova responsabilitat pot comportar enla meva vida. Aixı, durant uns quants dies vaigestar capficada amb l’oferta. Vaig acabar ve-ient que era un privilegi poder aportar el meuesforc precisament en l’area mes agraıda del co-mite organitzador; el suport i la petita empen-ta d’algunes de les persones mes properes emvan ajudar a acceptar-ho. En l’ambit estricta-ment personal crec que la decisio va ser un en-cert, per tot el que m’ha aportat. Si tambe hova ser per a l’ICM, no em toca valorar-ho a mi.

La primera reunio del comite executiu aca-bat de formar va tenir lloc a finals de l’any2002, el president era en Carlos Andradas. Nopodia perdre el referent del 3ecm, que de fetem va acompanyar fins a la clausura de l’ICM.De seguida em vaig adonar de les marcadesdiferencies entre els dos escenaris. Que els me-canismes de funcionament a Madrid i a Barce-lona son diferents no es una llegenda, es unarealitat. D’altra banda, l’ICM que preveiemtenia una mida que era aproximadament qua-tre vegades la del 3ecm. Tots dos entren enla denominacio de grans congressos, pero

les seves respectives dimensions son significati-vament diferents. Finalment, em trobava ambuns lımits de responsabilitat molt mes preci-sos que en el 3ecm. Alla vaig fer-me carrec dela secretaria d’organitzacio, la qual cosa sig-nificava accions transversals a totes les areesi em va proporcionar una visio global del quees un gran congres, alhora que un entrena-ment extremadament util. Aquest darrer as-pecte de responsabilitats ben delimitades emva proporcionar una certa comoditat amb elquefer diari. Vaig adoptar una actitud escru-pulosa de no-interferencia amb les altres arees,excepte si se’m demanava explıcitament con-sell o intervencio; a la vegada, vaig defensar lapresa de decisions en la meva com una com-petencia propia. Crec que aquesta estrategiaporta a progressar eficientment en l’organitza-cio d’activitats cientıfiques de tanta comple-xitat. Vaig notar que el context en que emmovia no estava gaire acostumat a actuar d’a-questa manera, pero no vaig tenir cap proble-ma per treballar com m’havia proposat fer-ho.

La tasca que s’havia de realitzar tenia dosaspectes. En primer lloc, establir la programa-cio diaria del programa cientıfic fixat pel co-mite de programa de l’ICM. Aquest consistiaen vint conferencies plenaries i cent seixanta-quatre conferencies invitades, classificades envint seccions cientıfiques. En segon lloc, orga-nitzar la part no invitada del programa, quevam agrupar en tres tipus d’activitats: comuni-cacions curtes, posters i sessions de programarimatematic. El nombre de participacions en ca-dascuna d’aquestes entrades va ser de 684, 304i 24 respectivament. En tercer lloc, programaractivitats organitzades per col.lectius diversosque vam agrupar amb el nom d’altres activi-tats (n’hi va haver vint-i-una) i tambe les acti-vitats culturals (n’hi va haver set organitzadesper l’area que portava el mateix nom). Final-ment, vam participar activament en l’organit-zacio d’una part de les activitats especials, enla promocio d’algunes d’elles i en la programa-cio de totes. Addicionalment, vam assignar pre-sidencia per cada conferencia plenaria, per cadasessio d’invitades (que consistia en dues o tresconferencies), per cada sessio de comunicacionscurtes i de programari matematic, i per les ac-tivitats especials que ho requerien.

Per dur a terme aquests deures vam nome-nar un comite: el comite local del programa. La

3

meva idea era col.laborar estretament amb unpetit grup de matematics que estessin disposatsa treballar intensament, que per les seves espe-cialitats cobrissin un ampli espectre de les ma-tematiques i, si era possible, amb una certa dis-persio geografica pel que fa als llocs de treball.Amb ells vam dur a terme tot el que he expli-cat en el paragraf anterior. Va ser una feina im-pressionant, no se m’acut cap altra adjectiu perdescriure-ho. Tan impressionant i tan magnıficacom a experiencia d’esforc conjunt, professionali entusiasta, que no podre mai oblidar l’aporta-cio dels membres del comite i les relacions quevam establir en aquella epoca. Gracies Jesus,Jose Antonio, Wences, Chelo, Marcel, Tomas,Rafael i Juan.

Valoro com un encert el que a primera vistasemblava un disbarat: formar un comite tan pe-tit per a una tasca tan extensa. Penso que va fa-cilitar la fluıdesa i l’eficiencia amb les quals vamtreballar i tambe la cohesio en les discusions ipresa de decisions. Com es facil deduir, confegirel programa va consistir a resoldre un problemacombinatori de dificultat notable. Vam inten-tar marcar tres moments d’especial intensitatal llarg del congres, al comencament, al centre ial final, per tal que el ritme no decaigues. Vamproposar-nos presentar temes variats en cadamatı de plenaries, per tal de posar emfasi en ladualitat unitat-diversitat de les matematiques.Vam treballar perque les interferencies de lessessions en paral.lel fossin coherents. Vam vet-llar perque els espais on cada activitat s’haviade dur a terme reunissin les condicions optimesi fossin adequats als objectius.

Implementar els objectius que he descrit vacomportar interactuar estretament amb el pre-sident del comite de programa IMU, profes-sor Noga Alon, el professor John Ball, presi-dent de l’IMU, l’area d’infraestructures, l’em-presa a carrec del suport tecnic del congres,Unicongress, amb seu a Madrid, i l’empresa en-carregada d’elaborar la versio electronica delprograma, Agilgrup, amb seu a Barcelona.

La quantitat d’ingredients que cal conside-rar en l’organitzacio d’un gran congres, ente-nent per aixo un congres multidisciplinari ambun nombre d’assistents superior a mil, per posaruna xifra orientativa de tall, requereix dues es-tructures paral.leles amb un perfecte engranat-ge de funcionament. D’una banda, un comite dematematics, d’altra banda, un suport professi-

onal per als aspectes logıstics. Crec que no calque clarifiqui quines son les funcions atribuıdesa cadascu. Un excel.lent programa cientıfic i unaprogramacio adequada sense l’acurada gestiod’uns bons espais i la preparacio i el mante-niment de serveis indispensables, poden minvarl’exit del congres. D’altra banda, una bona ges-tio de les inscripcions i una oferta d’hotels ade-quada als diferents poders adquisitius dels po-tencials assistents acaba atraient mes clients, laqual cosa te una repercusio molt positiva en lesfinances del congres. Hi ha una diferencia fona-mental entre les dues estructures. La primera esde cientıfics que de manera voluntaria dediquenpart del seu temps a un objectiu clarament ci-entıfic pero tambe amb molts components bas-tant allunyats de la professio. La segona es co-mercial, cobra pel servei que ofereix i en prin-cipi no s’espera que un diumenge a la tardaestiguin pendents de resoldre questions relacio-nades amb el congres, per urgents que puguinser. L’engranatge perfecte es difıcil d’assolir. Elsmatematics, i penso que els cientıfics en gene-ral, tenim la impressio que entenem gairebe detot, que treballem eficientment, acuradament.No estem gaire acostumats a la separacio decompetencies i a acceptar que l’enfocament deprofessionals per a temes practics pot ser millorque el nostre. Penso que es molt important feruna excel.lent eleccio d’empresa per la secreta-ria tecnica a l’hora d’organitzar un gran congresi, una vegada triada, deixar a les seves mansels temes de la seva competencia, amb segui-ment pero sense gaire interferencies. Aquesta esla teoria, la practica es lleugerament diferent.Almenys en el paıs on vivim. La meva expe-riencia es mes aviat negativa sobre l’existenciade la sofisticacio tecnica necessaria per dur aterme una gestio perfecta del proces de presen-tacio de comunicacions que faciliti l’avaluacioi posterior tramesa per publicar-les. En canvi,es extremadament positiva en aspectes menyssofisticats, pero complexos, com la gestio de lesinscripcions i reserves d’hotels, el seguiment dela comptabilitat, l’organitzacio dels actes soci-als. Unicongress va ser una eleccio optima, m’a-treviria a dir. Els aplicaria els comentaris ante-riors, pero he d’afegir que van trencar-me elsesquemes que per a mi regeixen una empresaprivada. Ells estaven on line els diumenges ala tarda, molts vespres despres de sopar, mol-tes festes. . . la Paloma, la Carine i les persones

4

que quedaven a la seva ombra van proporcionarun suport magnıfic i una cara amable i compe-tent als participants. En Rafel i la Maria, jun-tament amb altres col.laboradors d’Agilgrup,van actuar com a professionals experts i moltcompetents per al disseny i l’elaboracio d’unaversio on line molt sofisticada del programa idel seu volcat parcial en un programa impres(http://www.icm2006.org/v−f/web−fr.php). Encap ICM anterior s’havia proporcionat una einatan util per escenificar el programa.

Personalment vaig tenir la immensa satis-faccio d’interactuar amb tots els conferenciantsinvitats i amb un bon nombre de presidents desessions, d’involucrar-me en els aspectes orga-nitzatius i protocol.laris de lliurament de les me-dalles Fields, del premi Nevanlinna i la medallaGauss i de concebre i organitzar la taula rodonade clausura. Vaig patir l’emocio del secretismeamb referencia als guardonats i el misteri en-torn de la conjectura de Poincare. Tot aixo vacomportar coneixer i tractar amb personalitatsmolt diverses, amb estils molt diferents i tenir

cura de problemes i questions molt variades, desde les estrictament cientıfiques fins a temes gai-rebe domestics i de caire personal. Vaig tenir elprivilegi de coneixer moltes beautiful minds omillor ments excepcionals, vaig gaudir delplaer d’observar molt de prop el talent i d’en-tendre que significa aquest mot, de constatarcom molt sovint el talent i l’equilibri no es pre-senten junts. I despres d’aquesta immersio enun ambient tan excepcional m’he quedat ambel dubte de si es prou motivacio per exercir laprofessio ser simplement un peo de la ciencia.PS. He optat per no citar gaire noms, llevat delsque de manera natural se’m presentaven. Per obviaromissions, a banda de suggerir-vos que acompanyeula lectura d’aquest article amb una visita a la paginaweb del congres http://www.icm2006.org, voldria ci-tar explıcitament tots els membres del comite localdel programa, i tots els membres del comite exe-cutiu de l’ICM 2006, que trobareu en els apartatscorresponents del web, i els professors Jean PierreBourguignon, Lennart Carleson i Ari Laptev.Djursholm (Suecia), setembre de 2007

Marta Sanz-SoleUniversitat de Barcelona

Petites coses de l’ICM 2006 i de les seves sequeles

L’autor d’aquest escrit va ser membre del co-mite executiu del Congres Internacional delsMatematics, ICM 2006, que es va celebrar aMadrid l’agost de 2006. Com se sap, l’ICM secelebra cada quatre anys i es el congres mes im-portant de l’ambit matematic, tant pel nombrede participants (al voltant de 3.500 a Madrid)com per la rellevancia cientıfica dels conferen-ciants. Es l’activitat mes notable que organit-za la International Mathematical Union (IMU),que aplega, per paısos, els matematics de tot elmon.

Voldria en aquesta nota explicar alguns delsfets relacionats amb el llarg proces d’organit-zacio del congres que em varen impressionar oencuriosir i que, penso, poden interessar als lec-tors de les SCM/Notıcies. Tambe explicare al-gunes coses, que m’han semblat memorables,sobre la genesi i el desenvolupament de certesaccions de polıtica cientıfica que es varen con-cebre durant i despres de l’ICM 2006.

La Societat Catalana de Matematiquescom a institucio coorganitzadora

En els primers passos de la gestacio de la sol-licitud per a l’organitzacio de l’ICM hi varenintervenir en Jacob Palis, president de la IMUdurant el perıode 1998–2002, i en Jose Luis Fer-nandez per la part espanyola, que va coordinardespres un petit comite amb representants de laReal Sociedad Matematica Espanola (RSM), dela SCM i de les altres dues societats espanyolesde matematiques (la de matematica aplicada ila d’estadıstica). Sembla que la capacitat orga-nitzativa mostrada per la SCM en el congreseuropeu de matematiques celebrat l’any 2000 aBarcelona tambe hi va tenir un paper. En J. L.Fernandez es persona amb qualitats indiscuti-bles de lıder: gran capacitat de treball, excel.lentmatematic, bones relacions internacionals i ha-bilitat per engrescar altres persones en tasquescol.lectives. Es va proposar a la SCM i a les

5

altres societats que col.laboressin, en condiciod’institucions coorganitzadores, en un projecteque representava un repte notable i del qual enpodien extreure beneficis indubtables per al col-lectiu de matematics del Regne d’Espanya. LaSCM va acceptar la proposta i el que a mi em vasorprendre extraordinariament aleshores es quela decisio es va prendre sense promoure abansun debat en el si de la societat sobre altres pos-sibles maneres de col.laborar amb l’organitzaciode l’ICM. Hi ha persones que haurien preferitque s’hagues ofert tot l’assessorament necessa-ri i l’experiencia adquirida en l’organitzacio delcongres europeu sense que la societat s’hi in-volucres directament. Quina era la millor opcionomes ho mostrara el temps i dependra de comla SCM podra capitalitzar en benefici propi elfet d’haver coorganitzat un esdeveniment reei-xit de la magnitud de l’ICM.

Les decapitacions

En J. L. Fernandez, que es perfilava com el can-didat amb mes merits i mes adequat per serpresident del comite executiu de l’ICM, mai nova arribar a ser-ho. No vaig ser testimoni delsfets pero les meves fonts indiquen que un nuclimolt reduıt, actiu i bel.ligerant de persones del’entorn madrileny amb relacions estretes ambel Ministeri (que designare d’ara en endavantamb l’acronim EM, per entorn ministerial) vaconsiderar que el president del comite executiude l’ICM no podia ser una persona les activitatsprofessionals de la qual li impedissin una dedi-cacio prioritaria a les tasques organitzatives delcongres. Aixo va excloure en J. L. Fernandez, acausa de la seva dedicacio a tasques d’assesso-rament financer a institucions bancaries. No sedel cert quin paper hi va tenir la SCM. Final-ment qui va ser nomenat president del comiteexecutiu de l’ICM va ser el llavors president dela RSM, en Carlos Andradas. En Carlos An-dradas, persona amable, lliberal i conciliadora,va durar en la presidencia aproximadament unany, fins que va acceptar el carrec de vicerectord’investigacio de la Universitat Complutense deMadrid, moment en el qual es va posar en mar-xa la maquinaria construıda per l’EM, que, ambl’argument precedent, va provocar un nou can-vi de president en el comite executiu de l’ICM.El nou i definitiu president, que ja era secretaridel comite, va ser en Manuel de Leon.

Aquest segon canvi era cosa mes delicada,perque se substituıa un president al cap d’unany i aixo podia no ser ben vist per la IMU acausa de la imatge de desunio que projectava.Es va fer molt suaument i el president sortintva passar a ser vicepresident.

La feina ben feta

S’ha de dir que al comite executiu hi havia per-sones que treballaven molt i be (el presidentde Leon, per exemple). Altres treballaven be ialtres o treballaven poc i malament o no treba-llaven gens. El Congres va resultar ser un exiti el merit s’ha d’atribuir en gran mesura a lespersones que varen treballar molt i be. El pro-grama i l’estructura de les diferents seccions i eldesenvolupament dels actes va ser brillant i lesinfraestructures varen funcionar perfectament.Hi va haver actes culturals complementaris benfets i interessants. El Palau de Congressos deMadrid es un edifici projectat per l’arquitecteBofill, magnıfic, enorme i funcional. No crec queels catalans puguem disposar de res semblantfins, pel cap baix, al proper Estatut.

Fins i tot el rei va ser a la inauguracio ial coctel del primer dia, fet que va permetreconstatar que la primera institucio del Regnedonava suport a la matematica.

Crec que els congressistes estrangers es vanendur una bona impressio de l’esdeveniment,tant pel que fa al contingut cientıfic com a l’or-ganitzacio.

Espanyolisme banal

Michael Billig, socioleg angles, va escriure unllibre (Banal Nationalism, Sage Publications,Londres, 1995; la traduccio al catala: Nacio-nalisme banal, Editorial Afers, Universitat deValencia) en el qual analitza el fenomen ano-menat nacionalisme banal. Amb aquest nom esvol designar el conjunt d’actituds i actes ambevident contingut nacionalista que passen comles coses mes naturals, innoques i aseptiques delmon. Exemples de nacionalisme banal son can-tar l’himne nacional a les escoles, esventar ban-deres de totes les mides imaginables arreu, serun fervent seguidor de les seleccions esportivesi altres de semblants. El que es troba perfec-tament natural quan es practica des de l’estatnacio es vist com a radicalisme perillos quan

6

surt d’aquest ambit. Catalans i bascos sabemde que parlo.

L’espanyolisme banal va ser present sovintal si del comite executiu, sempre en manifesta-cions orals diverses, pero es va mantenir dinsde lımits de baixa intensitat, excepte en duesocasions, les dues relacionades amb questionslinguıstiques.

La primera es va presentar quan es va plan-tejar el paper de les llengues del Regne d’Es-panya als missatges de benvinguda al web delCongres. La iniciativa, certament positiva, vasorgir de la presidencia, cosa molt lloable, perova acabar en una tensa disputa per correuelectronic mes propia del segle xix que del xxi.La idea inicial era que els missatges de ben-vinguda figuressin en angles, castella, catala,euscar i gallec. Es va intentar immediatamentque angles i castella tinguessin un paper distin-git. Pel que fa a l’angles ningu no va tenir aobjectar, com a llengua que es de la ciencia, ac-ceptada com a tal per tot el mon des de fa unapila d’anys. L’argumentacio per al castella so-nava un pel arcaica: que si tants milions, llenguaoficial a tot el Regne, congressistes de paısossud-americans, etc. Es varen proposar solucionsanonimes, per si colaven, amb diferents midesde lletra i diferents posicions a la pantalla, to-tes suggerien la superioritat del castella sobrela resta de les llengues de l’estat organitzador.Finalment la solucio, positiva, la va proposarla senyora de l’empresa de Madrid que assesso-rava en l’organitzacio del Congres: lletres de lamateixa mida per a tothom, el welcome a dalta la dreta i els altres quatre idiomes a baix ala dreta tots junts en disposicio vertical. Aixosı, el castella primer, no fos que s’enfonses algu-na essencia. No cal dir que els blaveros vanpiular al cap d’un temps demanant un segonbenvinguts per al valencia. Com que aleshoresja no tenıem temps per perdre no es va consi-derar que calgues entrar en la discussio.

La segona va ser mes comica. Ja havien pas-sat mes d’un parell d’anys, potser fins i tottres, quan el president de Leon va informar quela subvencio del Ministeri d’Assumptes Exteri-ors es condicionava a la traduccio del web delcongres al castella. Els arguments del Ministeri,presentats i defensats pel president del comiteexecutiu, eren els seguents:

1. Els matematics sud-americans no sabenangles. Algun membre del comite va adduir que

aixo no era cert i que defensar-ho fins i tot podiaser interpretat com una desconsideracio enversla comunitat matematica sud-americana.

2. Els professors de secundaria de ma-tematiques del Regne no saben angles. Algu vainsinuar que com a mınim sabien llegir angles.

3. El contribuent s’ha de veure recompen-sat d’alguna manera per la subvencio atorgadai la promocio de la llengua castellana n’es una.Un catala va preguntar si a ell el Ministeri noel considerava un contribuent. Jo no estic se-gur que s’entengues del tot la idea que es voliatransmetre. Una de les persones que treballa-ven molt i be va dir simplement que era un er-ror d’imatge. Recordo que algu de Madrid, cosad’agrair, va proposar que ens podıem plantejarfer la traduccio tambe a les altres llengues delRegne, pero ningu va considerar, amb bon cri-teri, que calgues oferir resistencia a la propostadel Ministeri, i no se’n va parlar mes. Es vafer la traduccio de nomes una part del web alcastella.

Per mi va ser curios adonar-me que l’estruc-tura polıtica de la societat espanyola es auto-semblant, com molts fractals. A cada escala hiha sempre el mateix tipus d’actituds, de creen-ces i de prejudicis que a l’escala de la polıticageneral del Regne. De la mateixa manera quel’Estat atorga privilegis a una sola llengua, auna altra escala l’Institut Cervantes nomes enpromou una i ignora les altres, i a l’escala petitael comite executiu de l’ICM 2006 es pensa queel contribuent nomes ha de promoure el castellaen esdeveniments cientıfics internacionals.

Batalles pel poder polıtic en l’ambitmatematic

El president de Leon tambe era, i continua sent,el president de l’anomenat Comite Espanol deMatematicas, que es l’organitzacio que s’encar-rega de difondre al Regne les instruccions, lesconsignes i els suggeriments que emanen de lesdiverses comissions de la IMU. Aquest Comitees va crear el 2003 en substitucio d’una orga-nitzacio ja existent, i es va dotar fins i tot d’unreglament, el qual preveu una serie molt de-tallada de coses que no cal esmentar ara. Lessocietats matematiques, la SCM tambe, hi par-ticipen i hi tenen assignats representants. El fetes que el Comite pretenia ampliar les seves com-petencies i actuar com una entitat vertebradora

7

de la matematica espanyola. La voluntat verte-bradora explica la natura de l’entitat mes quecap altra cosa. Les societats matematiques hovaren interpretar com una camisa de forca quese’ls pretenia imposar i mai s’ho varen miraramb entusiasme.

En ocasio de l’organitzacio de l’ICM 2006i en el marc d’un augment de recursos per ala ciencia en general, es va concebre el progra-ma de suport a la recerca anomenat Consoli-der. Immediatament es va desencadenar unalluita per controlar el Consolider en l’ambit ma-tematic en la qual van intervenir, desitjant-ho ono, matematics polıticament influents d’arreu,amb l’EM en primera fila. El Comite Espanolde Matematicas hi va voler ficar cullerada, co-sa que no li corresponia en absolut, i es varencrear tensions notables que haurien pogut fertrontollar el proces d’organitzacio de l’ICM siel sentit comu mes elemental no s’hagues impo-sat: el comite va ser congelat fins a la tardor de2006. M’arriben notıcies, per cert, que les sevesactivitats vertebradores s’han repres. Tornem afinals del segle xix amb el patiments per la in-vertebracio d’Espanya?

La febre immobiliaria matematica

Abans de la batalla del Consolider i durantun perıode d’un any es varen convidar a visi-tar Espanya diverses personalitats amb carrecsdirectius en centres de recerca d’arreu, nord-americans i europeus sobretot. Aixo es feia ambrecursos d’una accio especial concedida a l’EMpel Ministeri per tal d’esbrinar com s’havia deconstituir l’anomenat Centro Nacional de Ma-tematicas (CNM). El proces va culminar en unatrobada general amb aquestes personalitats es-trangeres, com una mena de congres, despres dela qual va apareixer un document de sıntesi. Enaquest document es detallaven moltes propos-tes sobre com s’havia de desenvolupar la ma-tematica espanyola en el futur al si del CNM.En perfecta consonancia amb la tradicio es-panyola mes autentica i contra tots els exem-ples positius que ens proporciona la historia re-cent del desenvolupament cientıfic en els paısosavancats, la proposta estrella era la construc-cio d’un edifici, el qual havia de vertebrar lamatematica espanyola. Aquest edifici havia deser en una ciutat que disposes de diverses uni-versitats, per tal d’aprofitar millor la inversio,

molt ben comunicada amb el mon i amb centresde supercomputacio. El nom d’aquesta ciutat,que mai es va pronunciar ni escriure, segur queel lector ja l’ha endevinat. La meva perplexitatassolı fites inimaginables. Simplement no m’hopodia creure. El secretari general d’investigaciod’aleshores, molt assenyadament, no va perme-tre que la cosa tires endavant.

Pero recentment, en el congres Hispano-frances (Franco-espagnol) que es va celebrar aSaragossa del 9 al 14 de juliol de 2007, en Manu-el de Leon, com a representant del Consejo Su-perior de Investigaciones Cientıficas (CSIC), vaanunciar que s’iniciaria immediatament la cons-truccio al campus de la Universidad Autonomade Madrid (UAM) d’un edifici de 12.000 me-tres quadrats per a us d’un consorci d’insti-tuts de fısica i matematiques de la Comunidadde Madrid (alguns creats recentment): un delCSIC, i els altres de la UAM, la Compluten-se i la Carlos III respectivament. El Centre deRecerca Matematica (CRM) ubicat a la Uni-versitat Autonoma de Barcelona (UAB) dispo-sa de 1.200 metres quadrats cedits per la UABi s’ha anat fent amb la col.laboracio de moltsmatematics catalans i de fora durant vint-i-tresanys. Alla en vint-i-quatre mesos en faran un denou i deu vegades mes gran. Si tenim en comp-te l’estructura autosemblant de l’Estat, cosesd’aquest estil deuen passar a tots els ambits del’Administracio. Jo em pregunto quin argumentqueda encara per esgrimir contra aquells quesostenen que Catalunya necessita urgentmentun estat propi.

L’acte en el qual es va fer aquest anun-ci estava presidit per l’actual secretari generald’investigacio, que es un matematic de la Uni-versitat Carlos III. En el seu parlament vapronunciar l’adjectiu nacional o les seves vari-ants a rao, aproximadament, d’una vegada perminut. Sortia per tot arreu: Centro Nacional deMatematicas, Plan Nacional de Matematicas,investigacion nacional, presupuesto nacional,etc. He de confessar que l’allau nacional emva aclaparar i vaig perdre el fil de la seva in-tervencio, pero el vaig sentir dir que s’haviad’evitar la fragmentacio i que hi hauria unaventanilla unica. Constato amb consternacioque els polıtics espanyols, de dretes i d’esquer-res, petits i grans, han abandonat l’adjectiuestatal, que descriu molt millor i sense capconnotacio ideologica les entitats a les quals

8

s’aplica i han adoptat el nacional. El pensa-ment vola, sense voler-ho, portat per tants na-cionals, a l’any 1939. Jo crec que un discursamb la frequencia de nacionals esmentada sua-ra, amb gran probabilitat, no aportara gaireberes de bo per a Catalunya, pero he d’admetreque, per falta d’informacio, encara no he veri-ficat la meva creenca en el cas que ens ocupa.

Un col.lega periodista de la UAB, expert enhistoria de la comunicacio, em va explicar ambgran precisio i lucidesa les raons de la meva per-plexitat, que es veu que no es en absolut un fe-nomen aıllat a Catalunya. Segons ell, quan es vaconstituir el regim democratic al final dels anyssetanta, a Catalunya el franquisme ja havia re-culat molt, sobretot entre la part mes activade la societat catalana i es va acabar superantmolt rapidament durant els anys vuitanta. Elssımbols i la terminologia franquista varen des-apareixer junt amb les idees rebudes, els au-tomatismes socials i els reflexos mentals. Aixosembla que no va passar amb la mateixa inten-sitat a la resta de l’Estat. D’aquı la sorpresa iconsternacio de molts catalans davant de certescoses que vingueren d’Espanya durant els anysnoranta i el comencament del segle xxi.

L’Instituto Espanol de Matematicas

El secretari general d’investigacio te intencio decrear una nova institucio anomenada InstitutoEspanol de Matematicas (IEMat). Per configu-rar l’estructura, les finalitats i el funcionamentd’aquesta nova institucio, una segona versio delnonat CNM, es va nomenar una comissio d’unavintena escassa de matematics espanyols, unaespecie d’elit social matematica espanyola, enla qual, per cert, hi havia absencies molts re-llevants. Es va generar un nou document quecomencava amb una analisi de la situacio actu-al de la matematica espanyola, bastant encer-tada segons el meu parer, i continuava propo-sant una serie d’accions per tal d’endrecar lescoses. Pero totes les propostes, moltes de lesquals eren assenyades, giraven com satel.lits alvoltant d’un astre: un edifici per a la seu centralde l’IEMat. Aquesta vegada havien parlat finsi tot amb l’arquitecte, perque es detallaven elsmetres quadrats del despatx del director, delsseus secretaris i del parquing. Davant d’aixo elmeu astorament va sobrepassar tots els lımitsque la fantasia mes viva pugui imaginar i vaig

arribar a la conclusio (evident) que jo soc d’unaltre paıs.

Durant el congres de Saragossa tambe varenintervenir el gestor del Plan Nacional de Mate-maticas i la coordinadora de matematicas del’Agencia Nacional de Evaluacion y Prospecti-va (ANEP), persones que col.laboren amb el se-cretari general per posar en marxa l’IEMat. Lacoordinadora de l’ANEP va mostrar un mapad’Espanya amb uns puntets que representavenels instituts de matematiques que hi ha, tots,excepte el CRM, de recent creacio (i, la ma-joria, una fotocopia institucional de les corres-ponents facultats de matematiques). Tambe vamostrar el percentatge de projectes de recercade matematiques per comunitat autonoma. Esva veure que a Andalusia no hi ha puntets mal-grat que hi ha el maxim percentatge de projec-tes. Tot aixo afegit al fet que s’ha escrit l’expres-sio reequilibrio regional a proposit de l’IEMatdeixa bastant clar on es creara la seu central del’IEMat. El lector espavilat ja sap qui acostumaa pagar els plans de redistribucio de la riquesaal Regne d’Espanya, aixı que no insisteixo en laquestio.

Just quan es va saber que hi havia la inten-cio de crear l’IEMat, l’EM va generar un do-cument en el qual es demostrava que l’IEMathavia de ser administrat per ells i que havia deser una pista d’aterratge (sic) per quan s’acabesel Consolider (que dura cinc anys). A aquestaconclusio s’hi arribava, en part, mitjancant unargument numeric: es calculava el factor d’im-pacte en l’ambit matematic de les publicacionsde les diverses universitats espanyoles. El fac-tor d’impacte d’un article es un numero quees calcula segons el nombre de cites que ha re-but l’article. No es pren cap mitjana respectede la poblacio de possibles citadors, aixı que teun valor molt petit per fer comparacions entrediverses arees. El fet es que les millors universi-tats en matematiques d’Espanya resultaven serles dues autonomes, la Complutense, la UB ila de Granada. Pero si es comptava tambe elCSIC, durant els ultims anys, aquest resultavaser clarament el primer. Es sorprenent la feblesade l’argument numeric i l’agosarament a l’horad’autoproposar-se com a millors administradorspossibles de l’IEMat.

Sobre l’avaluacio de les publicacions mit-jancant el nombre de cites, metode molt uti-litzat i valorat per l’EM, nomes fare un comen-

9

tari. Si es consideren les cites que figuren alMathSciNet, opcio tambe utilitzada per l’EMen altres ocasions, resulta que el nombre de ci-tes de diversos matematics espanyols supera elde Lennart Carleson, l’analista viu mes impor-tant del segle xx i premi Abel de l’any passat.

Conclusio

Hi ha una serie de paısos que han desenvolu-pat durant mes d’un segle un sistema de recercauniversitaria contrastat que ha donat excel.lentsresultats en tots el ambits, en particular en latransferencia de tecnologia i la connexio ambla societat. A Espana la recerca cientıfica s’hadesenvolupat molt recentment, de fet a partirde la instauracio de la democracia fa uns tren-ta anys. En aquest perıode s’han fet avancos,pero es evident que encara estem molt llunydels paısos amb tradicio democratica del nostreentorn. Hi va haver un salt qualitatiu als anysvuitanta amb els governs del PSOE, que va-ren assegurar un financament estable als grupsde recerca universitaris i varen augmentar sig-nificativament la inversio general en universi-tats i recerca. Encara estem esperant un segonsalt qualitatiu que ens permeti apropar-nos alsestandards dels paısos avancats en diversos as-pectes fonamentals: seleccio, sistema salarial idesenvolupament de la carrera professional delprofessorat i dels investigadors, disseny d’unapolıtica cientıfica a llarg termini que reorientiamb flexibilitat l’activitat de recerca i presentiun calcul de les infraestructures necessaries.

Sembla que tot aixo no arribara a curt ter-mini i, per descomptat, no arribara en l’ambitmatematic amb les polıtiques que es dissenyenara. No es tracta ara d’afrontar el segon saltqualitatiu. Tampoc es tracta, mes modesta-ment, de promoure la recerca de qualitat enmatematiques, ni de crear vies que permetinals matematics amb una formacio tradicionalapropar-se a la matematica d’aplicacio o d’in-centivar la recerca matematica mes propera ales aplicacions tecnologiques o a altres ciencies.Sembla que del que es tracta es de construir unsedificis nous de trinca per a qui se’ls ha gua-nyat treballant-hi durant anys pels passadissosdel Ministeri.

Com se sap la Generalitat va perdre unrecurs al Tribunal Constitucional sobre com-petencies en materia de recerca. El resultat esque ara, quan els carrecs ministerials de torn de-cideixen fer alguna accio al marge de les convo-catories competitives, s’ha d’invertir una quan-titat ingent d’energia per influir en la direcciopositiva i per no perdre els recursos que enscorresponen.

A Catalunya hi ha qui treballa amb la dura ipacient practica del peix al cove, cosa que certa-ment es d’agrair, perque, si no, ens aniria moltpitjor. Pero penso que es contraproduent i nega-tiu que durant aquests ultims anys una majoriasignificativa de matematics catalans no hagimsabut bastir una posicio comuna, consensuada,construıda en l’interes de tots, pel progres de lamatematica que fem i que reflecteixi la nostramanera de fer-la i de pensar-la.

Joan VerderaUAB

Exposicio: El segle xx a traves de les matematiques

Organitza: Universitat Ramon Llull i Societat Catalana de MatematiquesDates: novembre 2007, Barcelona

En ocasio del Congres Internacional dels Ma-tematics (ICM) l’any 2006 es va preparar unaexposicio sobre la historia dels congressos ICMdes del primer de la serie, que va tenir lloc aZuric l’any 1897, fins al darrer de l’any 2006a Madrid, en que es va ofereix material, da-

des i anecdotes de tots ells. L’exposicio va te-nir un gran exit durant l’ICM 2006 i despreses va exhibir a Sevilla durant tres setmanes, enles quals va assolir tambe un notable exit d’as-sistencia, principalment d’alumnat dels centresde secundaria (mes de mil estudiants).

10

Aquest any 2007 s’ha previst dur l’exposicioa Barcelona i Madrid, i deixar per a l’any vi-nent el seu trasllat a Santiago de Compostela iSaragossa. Despres d’algunes dificultats inicialsper a la seva ubicacio —cal un espai rectan-gular d’un mınim de 10× 12 m2 cobert i sensecolumnes— tenim la possibilitat d’acollir-la a laUniversitat Ramon Llull en un dels seus localsal Campus Universitari La Salle de Barcelona.

L’exposicio mostra, amb un enfocamenteminentment visual, la successio de congressosde la serie ICM com un fet cultural on es re-flecteix, de manera sorprenentment fidel, l’e-volucio social i historica del segle xx. No es,per tant, una exposicio amb contingut tecnicde matematiques, sino sobre el mon on hanviscut els matematics. Aquest caracter de l’ex-

posicio es fruit tant de la seva propia concep-cio com del proces de recopilacio del material,en el qual s’han contactat moltes institucionsuniversitaries, instituts de recerca, societats ci-entıfiques, museus, biblioteques, arxius i perso-nes. Aixo ha permes recollir una gran quanti-tat de dades i d’imatges d’un enorme interesdes del punt de vista historic i cultural. Peraixo pot ser vista per un public molt general,ja que el seu contingut no nomes evita el con-tingut tecnic sino que fa servir els ICM com aexcusa per mostrar la cara mes humana i pro-fundament cultural de les matematiques i de laseva evolucio durant el segle xx, cosa que con-tribueix a mostrar la ciencia com una activitatafectada pel curs de la historia. Esperem quevingueu molts a visitar-la.

Marianna Bosch i Carles Casacuberta

5ECM, Amsterdam del 14 al 18 de juliol de 2008

Molts de nosaltres encara evoquem com un re-cord molt proper la realitzacio del 3ECM, aBarcelona, del 10 al 14 de juliol de 2000. Gai-rebe exactament vuit anys mes tard tindra lloca Amsterdam una nova edicio d’aquests con-gressos de la Societat Matematica Europea. Usconvidem a visitar regularment la pagina webdel congres a http://www.5ecm.nl si voleu estaral corrent dels progressos de l’organitzacio.

El programa del congres esta ja completa-ment configurat. El Comite Cientıfic ha vol-gut combinar l’estructura tradicional de con-ferencies plenaries i invitades amb dues acti-vitats que recullen experiencies del 3ECM i el4ECM, respectivament, i que es van considerarmolt reeixides per diferents motius.

En el programa del 5ECM hi ha vint-i-unminisimposis triats pel Comite Cientıfic a par-tir d’una convocatoria oberta que va tenir moltd’exit. Cal destacar la presencia de matematicscatalans en l’organitzacio i el programa d’al-guns d’ells. Aquestes activitats constituiexenun pol d’atraccio de participants. Son moltsels matematics que no se senten especialment

atrets pels congressos generals, com els ICM iels ECM, pero que en canvi incrementen el seuinteres si, simultaniament, poden participar enactivitats directament relacionades amb el seuscamps tematics.

Al 5ECM tambe podrem assistir a les Sci-ence Lectures. Es tracta de conferencies sobretemes cientıfics en els quals les matematiques hitenen un paper fonamental. L’objectiu es posara l’abast d’un ampli public cientıfic experienciesd’interaccio fructıfera interdisciplinaria. El can-vi climatic, les biociencies i la teoria de la infor-macio quantica formen part dels temes triats.El premi Prıncipe de Asturias de Ciencia y Tec-nologıa 2006 Ignacio Cirac es un dels conferen-ciants que ha acceptat participar en aquestessessions. La presencia de Science Lectures alsECM te com a precedent Estocolm. Aprofitantla relacio d’aquesta ciutat, que va ser la seudel 4ECM l’any 2004, amb els premis Nobel,es van organitzar conferencies del mateix tipus,algunes de les qual van ser impartides per guar-donats amb aquest prestigios premi.

Marta Sanz-SoleMembre del Comite Cientıfic del 5ECM

11

Noticiari

Matematiques i industria: una perspectiva interdisciplinaria(. . . ) la intensa i desapassionada bellesa d’una gran maquina.

Rupert Brooke

En un mon en el qual la qualitat, i potser fins itot el futur, de la vida en el planeta dependracada vegada mes de la tecnologia, les oportu-nitats perque els matematics afectin el nostreentorn son il.limitades. El mon ens ve a dema-nar consell, i la nostra actitud a donar consellinfluira en la cultura de la nostra disciplina, enles recompenses del nostre treball, i en la posiciode la nostra professio. Els matematics d’arreuel mon estan tastant el potencial de les connexi-ons industrials. Aquest breu survey preten do-nar un xic del flaire d’algunes d’aquestes activi-tats, tot i fent esment que les iniciatives actualses distribueixen ampliament i que un resum noels pot fer justıcia. Junt amb les oportunitatstenim riscs, aixı com una necessitat de liderat-ge. Aquest assaig s’hauria d’interpretar com apretext per a premiar justament l’esforc i ava-luar els resultats, aixı com donar alguna pis-ta als nostres col.legues mes joves que s’enfron-ten a noves oportunitats. Les seccions seguentscopsen la natura de la recerca en el mon in-dustrial, les diferents cultures presents en elsambients academics i industrials, algunes com-paracions entre paısos, i els desafiaments a lestradicions academiques actuals.

La naturalesa de la recerca industrial

En un interessant capıtol sobre recerca indus-trial, aparegut en un informe recent del Na-tional Academy of Sciences, titulat Facilita-ting Interdisciplinary Research [5], es fa notarque els objectius dels professors, els laborato-ris governamentals i els esforcos de la recercaindustrial difereixen en quant que els primersestan subjectes a la professionalitat academica,els seguents a les necessitats nacionals i la ter-cera a les necessitats del mercat, respectiva-ment. Aixı doncs, les cultures de recerca que-den reflectides, en l’academia, en una conduc-ta individual, manada per la curiositat, i pertant des de baix cap a dalt, mentre que enels laboratoris governamentals i en els industri-als la recerca esta comandada i dirigida des de

dalt cap a baix. L’experiencia dels matematicsa la industria no esta familiaritzada amb ladels matematics academics. Els matematics quetreballen a la industria troben que la recercaacademica es intimidadora a causa del seu en-focament a l’excel.lencia individual i la seva es-tructura competitiva de reconeixement, mentreque els matematics academics troben la cultu-ra a la industria intimidadora aixı mateix. Calreconeixer que les nostres percepcions quedenafectades per la nostra cultura.

L’expressio de matematics a la industrianormalment significa una entre dues coses: eltreball de recerca feta pels matematics contrac-tats per la industria o alternativament els es-forcos de matematics academics per participaren projectes provinents de la industria. Al SI-AM Report on Mathematics in Industry [7], fannotar els esforcos que els empresaris industrialsestan esmercant en la formacio matematica delsseus empleats. Els empresaris estan reconeixentles habilitats dels matematics a fer abstracci-ons, analitzar i saber buscar les eines apropi-ades per resoldre un problema donat. Mes imes, els empresaris potencials observen que unaeducacio matematica es mes que un conjunt detecniques, i que la satisfaccio de trobar soluci-ons a problemes atreu molts estudiants cap ales matematiques. Aixo pot ser un potent mo-tor de millora de la productivitat en el sectorindustrial.

En el mateix informe del SIAM i tambe enmoltes converses informals, es manifesta l’em-fasi en la importancia que, per a un matematicque aspiri a una carrera reeixida en la industria,o per a un academic que aspiri a interaccionsindustrials reeixides, te el fet de desenvoluparhabilitats en la comunicacio, i a entendre elvalor del treball en equip. El camp de la re-cerca propia sembla menys important que l’ha-bilitat per explicar-ho a una persona no espe-cialista en aquest tema. Els empresaris indus-trials tambe cerquen un valor addicional en elconeixement de base o en l’interes a guanyaraquest. No tota la recerca interdisciplinaria es

12

industrial, pero tota la recerca industrial es in-terdisciplinaria, i moltes de les consideracionsque porten a desenvolupar connexions interdis-ciplinaries tambe son aplicables per a aquellsque desitgen el contacte amb la industria, o queanimen els seus estudiants en aquesta direccio.L’estudi NAS [5], tot i que no esta centrat enels matematics, emfasitza alguns dels desafia-ments de proporcionar una millor experienciainterdisciplinaria als estudiants, i adverteix so-bre alguns dels riscs que es corren en allargar elperıode d’estudi de llicenciatura o en retardarla iniciacio a la recerca als estudiants.

Encara que hi ha acord general sobre elsbeneficis de millorar l’habilitat per comunicar-se, els tutors no sempre tenen clar com acon-sellar els estudiants respecte de l’amplitud i laprofunditat dels coneixements a adquirir. Perals matematics empleats a la industria, als be-neficis d’una bona amplitud de coneixements—una varietat mes amplia de problemes i expe-riencies— es contraposa el desavantatge d’unacerta perdua d’identitat com a matematic. Finsi tot, associacions com SIAM i ICIAM, que in-tenten representar les matematiques industrialsi aplicades, troben que desproporcionadamentpocs matematics contractats a la industria ve-uen beneficis en l’afiliacio en un grup que tecom a funcio principal produir revistes i con-ferencies d’estil academic. Mentre que es no-ta que el benefici principal de la comunicacioentre academics i professionals del sector in-dustrial se’n va cap al costat academic o in-dustrial, el fet es ques aquesta manca de co-municacio es un desavantatge global, i mes araquan a la societat se li plantegen els enormesdesafiaments tecnologics de que sentim parlardiariament. Ultimament, SIAM ha estat expe-rimentant amb petites conferencies deliberada-ment organitzades de manera que dominin lespresentacions pels matematics contractats a laindustria; els registres que s’han obtingut de laprimera conferencia amb aquesta cerca propor-cionen una mostra interessant de problemes iperspectives industrials [3].

El Consorci Europeu per a Matematics ala Industria (ECMI) te un paper importanten el disseny dels programes de llicenciaturaen matematiques per a la industria, implemen-tats cooperativament per tot Europa [2]. El llocweb d’ECMI conte un registre de programes,caracteritzats per la combinacio d’analisi ma-

tematica, expertesa computacional incloent-hil’us d’eines de programari, i experiencia com abecari a la industria, que pugui servir com amodel per a un nou tipus d’educacio de llicen-ciats.

Fotografia 1: La recerca en temes de seguretat a

General Motors involucra el modelat matematic a mes

a mes de la recerca experimental. Les eines de geome-

tria i mecanica son importants aquı. Unes altres parts

de l’analisi involucren simulacio, optimitzacio i visu-

alitzacio. S’espera que un investigador que participi

en un projecte com aquest tingui domini en molts

dels temes de les matematiques classiques i aplicades.

Cortesia de General Motors Corporation.

Educar estudiants que treballaran a la in-dustria es fa encara mes difıcil per la gran vari-etat de tipus de carrera i camins a la industria,pel fet que pocs cientıfics industrials es contrac-tin com a matematics (o fins i tot com ainvestigadors), i pels canvis en la recerca i eldesenvolupament industrials. Als EUA, els la-boratoris de recerca industrial com AT&T, Bo-eing o IBM, que eren la imatge dels matematicsa la industria durant mes d’una generacio, hanreduıt en gran manera els seus esforcos en larecerca basica. Naturalment han entrat en eljoc algunes empreses noves, com Microsoft. Noobstant aixo, es difıcil d’imaginar que una granuniversitat tanqui la seva presencia de recercatan rapidament. Els canvis en la recerca indus-trial poden reflectir la natura canviant de laindustria: la globalitzacio de fabricacio i de lesindustries quımiques; la consolidacio i concen-tracio de la propietat; i l’emergencia de campusindustrials i mercats nous a l’Europa de l’Est ia l’Asia. Com a mınim als EUA i el Canada, nohi ha cap indicacio que la industria estigui res-ponent a la quantificacio de la tecnologia con-

13

tractant un nombre mes gran de doctors en ma-tematiques que fa cinc o deu anys. El grau dedoctor sı que es necessari si un vol anomenar-sematematic dins la universitat. Potser es que lesindustries no senten que aquest grau de recercasigui desitjable en una educacio matematica?

La torre de vori i el mon real

Hi pot haver una gran distancia entre les con-tribucions mes valuoses, fetes fins i tot pels mi-llors matematics implicats en recerca industriali les coses que de fet importen a l’alta direc-cio de companyies o empreses grans. Seria fatuafirmar que les matematiques poden resoldreels problemes de la industria. Tanmateix, hi haara una entesa general en el que molts aspectesde la recerca i el desenvolupament industrialsrequereixen les matematiques en una mesurames o menys gran. La fotografia 1 prove d’unarxiu de General Motors, i mostra una apro-ximacio computacional orientada a la segure-tat del conductor. L’editorial de Business We-ek en l’edicio del 23 de gener de 2006 es titu-la Perque les matematiques sacsejaran el teumon [1]. Una nova generacio d’arees comer-cials, com la criptografia, les matematiques fi-nanceres i la mineria de dades, utilitza camps deles matematiques —teoria dels nombres, com-binatoria, teoria de probabilitat— no tradici-onalment considerades com a part de les ma-tematiques aplicades. Aquest fet ha estimulatun respecte nou per les matematiques aplica-des com a disciplina, i tambe una estimula-cio excitant sobre els usos industrials de lesmatematiques en tot l’espectre d’arees de re-cerca dins de matematiques. James R. Schatz,cap del grup de recerca de matematiques al’Agencia de Seguretat Nacional, diu que, Maino hi ha hagut un temps millor de ser un ma-tematic. A Unleashing Mathematics [6] se ci-ten altres exemples d’exit economic atribuıt ales matematiques: National Grid Transco (Reg-ne Unit) calcula el valor del modelat i la simu-lacio en 400 Me anuals, mentre que Arjo Wig-gins, un fabricant internacional de paper de se-guretat, obtenia 15 Me explotant sequenciesde Bruijn en matematiques discretes. Pero enspreguntem si els matematics serveixen el mondel comerc i la industria de manera semblant acom ho fan els administratius i els servidors demissatges en l’entrada de dades. Que necessiten

saber els cientıfics que treballen a la industriasobre negocis per tal de ser profitosos a l’em-presa, i com ho aprendran?

Noves connexions amb la industria

A molts paısos s’esta popularitzant una maneraalternativa d’entrar en contacte amb els pro-blemes industrials. En el passat els cientıficshan perseguit acords de consultoria individu-als amb les empreses, pero aquests contractesno han tingut gaire impacte a fora de l’expe-riencia immediata del grup participant, per-que els acords de confidencialitat i les prohi-bicions en publicacio normalment formen partde l’acord. Tanmateix, recentment els grups dematematics estan reeixint a fer mes contactesoberts, a traves de grups d’estudi o tallers deproblemes industrials. Els noms poden variar,aixı com els detalls. Un departament o insti-tut de matematiques pot endegar un seminarien que investigadors de la industria, sovint nomatematics, presenten problemes, i els mem-bres academics de l’audiencia seleccionen as-pectes d’aquests problemes per treballar, nor-malment en grup, incloent-hi estudiants, sovinten col.laboracio amb el presentador industrial.El concepte de grup d’estudi va comencar a Ox-ford, i s’ha desenvolupat ampliament a Europa,i va ser seguit als EUA en el Rensselaer Poly-technic Institut, i expandit en un cert nombrede formats diferents per l’Institut per a Ma-tematiques i les seves Aplicacions, i per moltsaltres llocs. Hi ha ara massa exemples per citar-los en aquesta nota curta. S’ha pres l’acord queels treballs es facin oberts, sense confidenciali-tat, i a qualsevol que contribueixi significativa-ment a la solucio se li permet publicar de mane-ra similar com en la recerca academica. S’ha fetpopular la preparacio de tallers dedicats, d’unasetmana de duracio, en que l’esforc es concentraal voltant d’un problema particular; els orga-nitzadors de grups d’estudi poden reunir mitjadotzena de problemes i els ofereixen a un grupd’unes trenta a seixanta persones. L’objectiu esproduir una solucio al final de la setmana. Compassa sovint a la industria, el resultat no es unproducte final, sino que es el millor que els in-vestigadors poden obtenir amb el condicionantd’un termini fixat.

Aquests exercicis, poden oferir una provaconceptual als directors i enginyers d’industria

14

esceptics. A condicio que estiguin disposats ausar uns quants dies del seu temps (o del tempsdel seu personal), poden acabar de copsar dequina manera una analisi matematica pot col-laborar a resoldre els problemes. La inversio esrelativament petita per part de la industria, isi els resultats son bons, pot portar a col.labo-racions contınues, acords d’assessoria, bequesper als estudiants, o fins i tot una feina perma-nent per a un llicenciat en matematiques. L’or-ganitzacio d’aquests tallers s’apren a base del’exemple, i alguns departaments de matema-tiques ara els fan habitualment. Si el taller esreeixit, aquestes iniciatives serveixen als grupsacademics i industrials per obtenir el valuos ob-jectiu de facilitar la proximitat, d’aprendre elsuns dels altres els seus metodes i cultures i perdesenvolupar un estil que els permet treballarjunts. Aquest tipus d’experiment encara estaen fase de desenvolupament, i apareixen ques-tions punyents: De quina manera avaluar l’exitdels tallers o dels grups d’estudi? On es apropi-at publicar els resultats? Quin es l’impacte enels estudiants? Quines classes de departamentshaurien d’intentar aquests tallers, i cada quan?Alguns departaments troben dificultats a ava-luar els esforcos dels academics (preocupats perles seves reputacions academiques) mentre queno hi ha un acord general en com atorgar credita la participacio en seminaris i tallers. No obs-tant aixo, el nombre i la varietat d’aquests ta-llers continua augmentant, com testifica la llistamantinguda per Oxford [4]. De moment, no hiha cap norma d’actuacio i rendiment que siguinacceptats per tota la comunitat. Aixı, l’estatusdels tallers industrials s’emmirallen en els se-minaris d’ensenyament universitari en departa-ments intensius en recerca. Encara que aqueststallers poden ser importants, interessants, finsi tot excitants, no son la ruta a un reconeixe-ment nacional o internacional, excepte per aunes quantes estrelles.

Al Canada, la xarxa de MITACS te un pa-per interessant avancant en la causa de les con-nexions industrials. MITACS (Matematiquesde les Tecnologies de la Informacio i les Es-tructures Complexes) es una xarxa federal fi-nancada de Centres d’Excel.lencia (NCE), ambun pressupost gran i una garantia de finan-cament de catorze anys sota la subvencio deNCE. Originariament MITACS es va iniciaramb la missio de fer mes empresarials els de-

partaments de matematiques, ara opera un xiccom un grup d’estudi a escala mes gran: les sub-vencions es donen als equips i grups d’investi-gadors academics i estudiants, normalment demes d’un departament, que treballen en projec-tes, o amb socis industrials o amb el propositde comercialitzar els resultats d’un projecte derecerca especıfic. MITACS patrocina un con-junt divers d’activitats, algunes mes comercialsque altres, de manera similar a com ho fan al-guns grups d’estudi o algunes organitzacions derecerca europees, com Fraunhofer-Gesellschaft(que aborda tot tipus d’area cientıfica i d’engi-nyeria, no nomes les arees matematiques) a Ale-manya o l’Institut Smith al Regne Unit. Una in-novacio de l’enfocament de MITACS es que elsprojectes son usualment iniciats per investiga-dors academics. Qualsevol amb una idea sobrecom la seva recerca podria tenir us comercial esconvidat a sol.licitar l’ajut. El Canada, a dife-rencia dels EUA i la majoria dels paısos euro-peus occidentals, no te un gran teixit de recercaindustrial, i han obtingut una resposta entusias-ta despres de motivar la recerca academica coma estımul de la recerca industrial. Les reunionsd’intercanvi a MITACS, com la il.lustrada en lafotografia 2, tıpicament atreuen un centenar deposters.

Fotografia 2: Els participants en una reunio re-

cent d’intercanvi de MITACS es reuneixen al vol-

tant dels posters dels estudiants. La part substan-

cial de l’emfasi en els projectes de MITACS es en la

formacio dels estudiants perque entenguin les prio-

ritats dels directors a la industria quan tenen plan-

tejats problemes desafiants. Els estudiants treba-

llen al costat dels academics i els enginyers de la

industria; tambe participen en tallers que desenvo-

lupen habilitats i tecniques de comunicacio i pre-

sentacio. Cortesia de MITACS.

15

Comparacions globals

A escala mundial, les relacions entre matema-tiques i industria son tan diverses com ho sonels camps de les matematiques i l’abast de lespropies industries. El grup regional ECMI [2]esta seguint a Europa aquestes relacions. Enalguns paısos la recerca en certs ambits es re-alitzada majoritariament pel sector public, alcontrari del que passa als EUA, que son realit-zades per la industria (p. e. la produccio d’elec-tricitat). Mes amunt s’ha indicat que l’informede la National Accademy [5], feia distincio entreles industries, que operaven seguint les pressi-ons del mercat, i els laboratoris governamen-tals, centrats en necessitats nacionals i socials.

Als diferents paısos, les tensions entre lesforces de mercat i les regulacions governamen-tals del mercat, que cerquen interessos i objec-tius socials mes amplis, es desenvolupen dife-renciadament, com passa per exemple amb lesdemandes de propietat intel.lectual. En algunspaısos, les universitats no cal que justifiquinque les seves despeses de recerca tinguin unarellevancia social o industrial, mentre que enaltres paısos la recerca basica es anecdotica.

Tanmateix, els departaments academics nohan d’oblidar, dins el brogit de la cerca de fermillors connexions amb la industria, que la se-va feina primordial es l’educacio d’estudiants enels coneixements fonamentals i en la formacioen la recerca basica. Mike Lazaridis, presidentde Research in Motion, creador de Blackberry,parla vehementment a favor d’impulsar i man-tenir les universitats amb un fort componenten la recerca fonamental. Adverteix que la va-loracio de la recerca universitaria amb criteriscomercials, com el nombre de patents generats,pot ser negativa. En les seves propies paraulesdiu que El sistema actual funciona. [8].

Conclusions

S’esta fomentant les interaccions entre els ma-tematiques i la industria en un cert nombrede maneres: preparant estudiants per carre-res a la industria (aquest article no te prouespai per analitzar el nombre creixent de pro-grames masters professionals en matematiques,que es un exemple d’aquesta tendencia); ate-nent les prioritats dels matematics que actual-ment treballen a la industria; i en desenvolu-par vies per a la interaccio entre matematics

academics i els tecnics (sovint no matematics)de la industria. Els esforcos actuals sorgeixenespontaniament de centres d’interes entre in-dividus i grups petits en els departaments dematematiques i instituts. Aquests esforcos sonbenvinguts. Mostren el desig dels matematics—la gent jove en particular— de participaren la construccio del mon en el qual viuen.Aquest entusiasme a fer activitats practiquesi a comunicar-se amb gent de fora dels de-partaments academics de matematiques potajudar a fer canviar el signe actual, de dismi-nucio gradual de l’interes en les matematiquesdels estudiants de grau mitja, que, als paısosindustrialitzats i a escala mundial, s’estan de-cantant pels estudis d’empresarials, la medi-cina i el dret. Tenim bones raons per aplau-dir aquestes iniciatives com una bona cosa.

El seguent pas, tanmateix, es respondre lespreocupacions que es generen davant aques-tes noves aventures. Cal sospesar l’encoratja-ment de la novetat enfront del fet de donarsuport continuat per a la missio basica delsdepartaments academics: la recerca fonamen-tal i l’educacio de la propera generacio d’in-vestigadors matematics. Els departaments dematematiques, les agencies de financament dela recerca i les industries han de desenvoluparprocediments de mesura de la qualitat de les in-teraccions entre industria i universitat, han dedeterminar-ne el valor i han de compensar elsparticipants. Els incentius financers son sempreatractius, pero el prestigi i un sentit compartitd’excel.lencia tambe son necessaris. No ens hade sorprendre que les diferents cultures univer-sitaries i industrials han fet sorgir diferents ma-neres d’avaluar i reconeixer els merits. Despresde tot, aquestes diferencies son una de les ra-ons que han portat que la mateixa recerca ma-tematica s’hagi desenvolupat diferentment a lesuniversitats i a la industria. Si es desenvolupaun paradigma nou que reclama que el beneficipugui ser tant per al professor com per a l’em-presa industrial, llavors els participants haurantrobat una manera comuna de mostrar la sevavalua. Sera interessant mirar com tot aixo esdesenvolupa.

Agraıments

Voldria agrair a Chandler Davis, Universitat deToronto, el fet de suggerir-me escriure aquestarticle; a James Crowley, director executiu de

16

SIAM, a Camp de David, de General Motors ia Arvind Gupta, director cientıfic de MITACS,les valuoses discussions que hem mantingut ihaver-me proporcionat fotografies i referencies.

Referencies[1] Business Week, 23 de gener de 2006.[2] ECMI – European Consortium for Mathem-

atics in Industry. http://www.ecmi-indmath.org/.

[3] David R. Ferguson; Thomas J. Peters [Ed]. Fi-ladelfia: SIAM, 2005.

[4] Mathematics in Industry Information Service.http://www.maths-in-industry.org/past/. Web

mantingut per Oxford Centre for Industrialand Applied Mathematics (OCIAM).

[5] Facilitating Interdisciplinary Research. Was-hington: National Academies Press, 2005.

[6] Unleashing Mathematics. Informe de la NETI-AM project, accessible al web del Smith Insti-tute http://www.smithinst.ac.uk/Projects/NETIAM.

[7] The SIAM Report on Mathematics in Industry.Filadelfia: SIAM, 1998.

[8] Smith, M. Commercialization: the systemworks. [Canada: University Affairs] (febrer de2005).

Barbara Lee KeyfitzFields Institute for Mathematical Sciences

Barbara Lee Keyfitz es directora del Fields Institute for Mathematical Sciences.Tambe es professora de matematiques John i Rebecca Moore a la Universitat de Houston.

Traduccio de J. M. Fuertes (UPC) de l’article Mathematics and industry: an interdisciplinary perspective,publicat a la revista Madrid Intelligencer de Springer, 2006. Agraım a l’autora i a Springer l’autoritzacioper fer aquesta traduccio per a la SCM/Notıcies.

Els matematics conquereixen el mercat laboral

L’11 de setembre de 2007, la revista Expansion publicava un article sobre les expectatives professio-nals dels llicenciats en matematiques. El reproduım tot seguit per tal d’animar els nostres estudiantsde matematiques, presents i futurs (podeu trobar l’original a l’adreca http://www.expansionyempleo.com/

edicion/expansionyempleo/empleo/mercado−laboral/es/desarrollo/1034152.html).

Diuen els universitaris que la de matematiqueses una carrera de fons, amb poques garantieslaborals mes enlla de la docencia. No obstantaixo, un estudi recent revela que els llicenci-ats en matematiques son uns dels professio-nals mes buscats per les empreses financeres,informatiques, tecnologiques i cientıfiques. Elseu salari pot superar els 50.000 euros anuals.

Vocacio, dedicacio i constancia son tres delsrequisits mes importants per a superar la carre-ra de matematiques, una titulacio que, malgratla seva alta taxa d’ocupacio, compta cada ve-gada amb menys alumnes en les seves facultats.Nomes entre els anys 2000 i 2005, el nombre dematriculats en aquests estudis es va reduir enun 43 %.

Entre les noves generacions, la carrera dematematiques te fama de ser difıcil, llarga i ambuna sortida laboral enfocada exclusivament a ladocencia, la qual cosa obstaculitza la recupera-cio d’un dels tıtols que desenvolupen amb messolidesa la capacitat analıtica i la logica del pro-fessional.

Molt al contrari de l’opinio generalitzadaen les aules, el 95 % dels llicenciats en mate-matiques disposa d’una ocupacio dos anys des-pres d’abandonar la universitat i, als cinc anys,l’ocupacio laboral d’aquest col.lectiu es gairebeplena. Segons l’informe Salidas profesionales delos estudios de matematicas, elaborat per la Re-al Sociedad Matematica Espanola (RSME), el

17

38,3 % d’aquests llicenciats troba ocupacio enl’ambit docent; el 16,4 %, en el sector finan-cer; el 14,5 %, en l’Administracio publica; el7 %, en empreses relacionades amb l’activitatinformatica; el 6,6 %, en consultores; i el 5,1 %,en organitzacions cientıfiques i tecnologiques.

Tecnolegs

La manca de professionals en el camp de les tec-nologies de la informacio ha disparat la deman-da de titulats en matematiques dins del sector.Nomes en el primer semestre de 2007, el 49,4 %de les ofertes d’ocupacio dirigides a aquests lli-cenciats estaven enfocades a cobrir posicions re-lacionades amb la computacio avancada i el bu-siness intelligence —conjunt d’estrategies ori-entades a administrar la informacio sobre l’em-presa, mitjancant dades estadıstiques.

Per a les empreses del sector, el principalatractiu d’aquests graduats enfront dels d’al-tres carreres consisteix en una serie de com-petencies professionals altament vinculades ala seva formacio matematica. Entre d’altres,

l’estudi destaca la capacitat analıtica d’aquestsprofessionals, que treballen de manera ordena-da i metodica, amb una clara orientacio al re-sultat i al client.

Retribucio

En el planol retributiu, l’informe de la RSMEassenyala que el sou mitja dels matematics os-cil.la entre els 30.000 i els 35.000 euros brutsanuals. Segons l’antiguitat, el salari d’aqueststitulats varia entre els 20.000 euros —durantels dos primers anys d’experiencia— i els 50.000—a partir del dese any en el mercat laboral.En el cas de les empreses financeres, el soud’aquests professionals supera els 50.000 eurosbruts anuals despres de deu anys d’experiencia.

Com a consequencia, l’estudi, realitzat apartir d’una enquesta entre 516 titulats, reve-la que els llicenciats en matematiques mostrenun grau de satisfaccio elevat amb referencia ala preparacio academica que van obtenir en launiversitat. El 78,2 % considera que s’adequade manera molt acceptable al mon laboral.

Matefest-Infofest 2007

El passat 28 de marc de 2007 es va celebrar lasetena edicio de la Matefest-Infofest, la festa deles matematiques i la informatica de la Univer-sitat de Barcelona.

La Matefest-Infofest preten ser el festivalde les matematiques i la informatica. Aquestainiciativa, que es desenvolupa en una jornada,es dissenyada i portada a terme pels estudiantsde la diplomatura d’enginyeria tecnica d’in-formatica de sistemes i de la llicenciatura dematematiques de la Universitat de Barcelona.

Amb el suport de la universitat, els estudi-ants interessats, des de l’inici del curs academic,formen una comissio per coordinar tots els te-mes relacionats amb la Matefest-Infofest: con-vidar els instituts de secundaria i batxillerat,elaborar estands, confeccionar i mantenir unapagina web, guarnir la universitat, llogar totel material necessari per a la seva realitzacio...Periodicament la comissio es reuneix per tal decoordinar totes les tasques i solucionar els pos-sibles problemes.

Dos son els objectius que motiven dur a ter-me aquesta jornada, d’una banda es vol apropar

les matematiques i la informatica als estudiantsde secundaria i batxillerat de tot Catalunya quetenen interes per estudiar una diplomatura o lli-cenciatura relacionada amb aquestes materies.Per aquests estudiants la Matefest-Infofest potser una primera presa de contacte amb l’ambituniversitari.

D’altra banda tambe vol despertar l’interesi la curiositat en tot aquell que, a priori, nosent cap atraccio envers les matematiques i lainformatica. Per a ells la Matefest-Infofest els

18

pot suposar un contacte sorprenent amb aques-tes disciplines.

Matematiques i informatica a l’abast detothom

Enguany es va duplicar l’assistencia, mes demil alumnes d’ESO i secundaria van recorrerel claustre i el primer pis tot jugant i experi-mentant en els estands que s’havien preparat.

Van poder estimar en quin joc d’atzar tin-drien major probabilitat de guanyar a l’estandde La probabilitat en els jocs d’atzar, vanconeixer i detectar els fractals, es van apropara la topologia i a les distancies, van jugar ajocs classics com el Tangram, amb multitud devariants, els escacs o el joc xines Go i a jocsmenys coneguts com el Joc d’en Wytoff, van

escoltar una funcio, van fer jocs de logica i ma-tematica, van veure la relacio entre Gaudı iles matematiques o van construir poliedres ambmiralls.

El alumnes d’informatica van desenvoluparestands per apropar els assistents al mon internd’un PC, i van mostranr-ne el funcionament, laconnexio de periferics interns i externs, el mun-tatge i la connexio de xarxes per compartir re-cursos com ara fitxers i impressores, altres so-bre intel.ligencia artificial o sobre robots senzillson es pot explicar com van comencar els pri-mers automatismes electrics. Tambe els assis-tents van poder veure aplicacions del llenguat-ge Java als telefons mobils o nocions basiquessobre el processament d’imatges.

A mes, durant tot el matı es van celebrarconferencies a l’Aula Magna i a causa de l’ele-vada assistencia es va fer servir una altra aulaper fer conferencies simultaniament. Josep Plava rendir homenatge a Leonhard Euler en eltres-cents aniversari del seu naixement, CarlesCasacuberta va donar una conferencia amb eltıtol de Nusos, llacos i embolias, i Xavier Jar-que va impartir la conferencia Dels jocs a lateoria: teoria de jocs. Tots tres son professorsde la Universitat de Barcelona. Les conferenciesvan tenir molt d’exit de participacio i molts vanser els professors que van demanar-ne la versioescrita.

En definitiva, tots van acabar molt satisfetsamb l’exit tant d’organitzacio com de participa-cio i amb ganes de tornar a repetir l’any vinent.

Malena Martın, Olga Gomez, Ismael Sanchez i David BecerraComissio organitzadora

Les universitats informen

Activitats de la Facultat de Matematiques de la UB el 2007

La Facultat de Matematiques de la Universi-tat de Barcelona, dins del marc de col.laboracioamb els professors de l’ensenyament secunda-ri, ha continuat les diverses activitats que jafa diversos anys que es porten a terme. Aixıdoncs, els dies 24 i 31 de gener, va tenir llocla xerrada taller Visualitzacio de dades ci-entıfiques a carrec de la doctora Anna Puig,que ens va explicar com utilitzar eines grafiquesi matematiques per ajudar a la visualitzacio iinterpretacio de grups complexos de dades.

El matı del dia 28 de marc vam celebrar l’e-dicio d’enguany de la Matefest-Infofest. Aques-ta festa singular l’organitzen els mateixos alum-nes de la Facultat i va adrecada als alumnes delsegon cicle d’ESO i tambe de batxillerat. Enaquesta jornada, es va poder experimentar ambles diverses vessants de les matematiques i de lainformatica, a les diferents paradetes i estandsrepartits per tot l’edifici historic de la UB. Alllarg del matı tambe es va poder gaudir de con-ferencies i tallers. Coincidint amb la Matefest-

19

Infofest, la Facultat organitza la Jornada dePortes Obertes adrecada a tots els alumnes desecundaria que vulguin informacio sobre els en-senyaments que s’imparteixen a la Facultat.

Des de la Facultat hem continuat donantsuport a diversos treballs de recerca en ma-tematiques, i hem posat en contacte els nos-tres alumnes i professors amb aquells alumnes itutors de batxillerat que aixı ho han demanat.Tornarem a comencar aquesta activitat durantels primers mesos de 2008.

Aquest curs que ara comenca tambe es pre-senta amb molts actes a l’agenda. Les xerra-des taller d’enguany tindran lloc els dies 7 i14 de novembre i 23 i 30 de gener. A la tar-dor escoltarem la doctora Olga Julia, parlar-nos d’Estadıstiques curioses mentre que a

comencaments de 2008 el doctor Oriol Pujolens parlara sobre La visio artificial: que ve-uen les maquines?. Com es habitual, les du-es conferencies venen seguides d’un taller onparticipen tots els alumnes assistents per po-sar en practica el que han apres. (Les inscrip-cions per a les dues xerrades taller es fan du-rant el mes de setembre. Si habitualment norebeu la informacio i voleu comencar a fer-ho,nomes cal que envieu un correu electronic asecundaria@maia.ub.es.) D’altra banda, l’ediciod’enguany de la Matefest tindra lloc el dia 23d’abril, coincidint amb la diada de Sant Jordi.

Trobareu informacio sobre totes les acti-vitats a http://www.ub.edu/csecundaria/ubicati informacio mes general sobre la Facultat ahttp://www.mat.ub.edu.

Nuria FagellaCoordinadora d’activitats per a secundaria

Dissabtes de les matematiques a la UAB

Un any mes el Departament de Matematiquesde la Universitat Autonoma de Barcelona haorganitzat els Dissabtes de les Matematiques.Aquestes xerrades, iniciades durant els di-mecres del curs 1999–2000, obviament sotaun altre nom, han anat evolucionant fins aconvertir-se en els actuals Dissabtes. Pensemque aquestes trobades s’han transformat enuna cita important que el Departament ofe-reix als estudiants i professors tant de se-cundaria i batxillerat com de la llicenciatu-ra de matematiques amb la intencio de mos-trar la presencia de les matematiques en elmon actual i compartir aixı la passio peraquesta ciencia. I tambe, per que no, passaruns matins dels dissabtes forca entretinguts.

Les xerrades son impartides per profes-sors vinculats d’alguna manera amb al De-partament de Matematiques de la UAB. En-guany l’encarregada d’obrir les trobades ha es-tat Natalia Castellana, que ens ha presentat laxerrada: Per a quins problemes trucaries a untopoleg? Despres d’una captivadora xerrada,els nois van poder participar en una gimcanaen la qual, despres de deslligar-se d’un munt decordes, treure boles i pals d’on semblava impos-sible i, fins i tot, sortir d’una armilla sense pos-

sibilitat de descordar-la, van poder declarar-seprofessionals deslligadors de nusos.

El segon dissabte es va dedicar a l’Any de l’e-volucio, declarat per la UAB, ates que coin-dia amb el 125e aniversari de la mort de Char-les Darwin. L’Angel Calsina va ser l’encarre-gat d’introduir tot el public a l’encisador monde models matematics per a l’estudi de ladinamica de poblacions. La seva xerrada va ser:Com les matematiques ens ajuden a entendrela natura. Els estudiants van poder simularnumericament i graficament l’evolucio de diver-ses poblacions i entendre la dinamica de pobla-cions d’anecs, de mosques i fins i tot de les ano-menades cigales magiques.

20

De l’evolucio als malabars, des de la Univer-sitat Metropolitana de Londres arribava AndyTonks per presentar el tercer dissabte amb eltıtol: Les matematiques i els jocs malabars.

Combinant teoria i practica, va poder mostrarpart del fonament matematic darrere del dis-seny de malabars. Finalment, els assistents van

poder confeccionar sequencies realment impen-sables que els simuladors i, fins i tot, els mesavancats en el camp, executaven.

Ja per tancar el cicle, ens faltava un viat-ge espacial. En Josep Maria Mondelo, va ini-ciar la seva xerrada amb un viatge sorprenentper l’espai amb el CELESTIA, va introduir totel public al mon de l’astrodinamica. Reptes decom dissenyar trajectories espacials (i fins i totautopistes espacials) van quedar pendents per-que els assistents ho poguessin fer. Pero no espodia acabar sense que despres de dissenyar unamissio d’observacio solar, es pogues tripular unanau que hi anes. Amb l’ORBITER, un simula-dor de vol sorprenentment real, van poder em-prendre un vol orbital. Des d’un canvi de plaorbital i un canvi de la mida de l’orbita, als quevolien retornar a la Terra no els quedava mesremei que realitzar habilment la maniobra dereentrada.

Berta Barquero i Armengol GasullOrganitzadors

Activitats de la FME durant el quadrimestre de primavera del curs 2006–2007

La Jornada Euler va ser una de les primeres ac-tivitats del quadrimestre de primavera el dia14 de febrer. La Jornada cada any s’associaamb el personatge al qual la Facultat de Ma-tematiques i Estadıstica de la Universitat Po-litecnica de Catalunya dedica el curs i enguanyha estat L. Euler amb motiu del tercer centenaridel seu naixement. Va consistir en les seguentscinc conferencies: Euler y los infinitos (gran-des y pequenos) pronunciada per Antonio Du-ran, Sortis in ludis: Euler, juegos y parado-jas per Juan M. R. Parrondo, Euler y la Te-orıa de Numeros per Fernando Chamizo, Lesequacions d’Euler dels fluids no viscosos perJoan Sola-Morales, i Euler, series i funcio zetade Riemann per Joaquim Bruna. Precisamentdurant una de les estones entre conferencies, esvan inaugurar uns nous espais: les sales Q i R.

El dia 28 de febrer es va celebrar un acte ala FME en el qual es va distingir el professorJosep Pla i Carrera magister honoris causa perla FME, en reconeixement de la seva continu-ada labor en la difusio de la matematica i laseva historia, i per la seva relacio especial ambel centre.

La Xarxa FME, l’organitzacio d’antics estu-diants i amics de la FME, va concedir senglestıtols honorıfics als antics rectors de la UPCJaume Pages i Josep Ferrer i als anteriors de-gans de l’FME Joan Sola-Morales i Pere Pas-cual. L’entrega es va celebrar a mitjan mes demaig a la sala d’actes de la FME.

Josep Pla, magister honoris causa

En relacio amb les activitats per donar aconeixer els estudis als estudiants de secunda-ria, la FME va organitzar algunes activitats es-

21

pecials per realitzar a l’estand que la UPC teniaen el Salo Estudia. A mes, la Facultat va acollirels dies 12 i 13 d’abril el Forum de les Escolesque organitza la UPC per acostar les escoles ifacultats als estudiants de secundaria.

El 4t Premi Poincare, que la FME atorga almillor treball de recerca de secundaria en ma-tematiques i/o estadıstica, va ser per a Nom-bres primers: analisi de la complexitat d’Ori-ol Lozano d’Aula Escola Europea. El lliuramentdel premi, juntament amb l’atorgament d’altrespremis i mencions, va tenir lloc el dia 15 de maigamb l’assistencia del vicerector de recerca de laUPC, Xavier Gil.

Durant molts dijous al matı dels mesos demarc i abril, hem tingut a la Facultat grupsd’estudiants de batxillerat realitzant activitatsa l’entorn de l’estadıstica.

Els estudiants de la FME organitzen moltesactivitats, pero segurament entre les que tenenmes projeccio cal esmentar la representacio acarrec del grup de teatre, els dies 7 i 8 de marc,

i el concert que es va celebrar el 9 de maig ambla participacio de la coral de la FME.

Per contactar amb el mon laboral, el dia 25de maig es va celebrar el 6e Forum de la FMEamb molt bona assistencia.

Algunes de les conferencies d’aquest segonquadrimestre han estat: La musica de los nu-meros primos, de Marcus de Sautoy el dia 27de marc, o ¿Se puede oir la forma de unared?, de Joachim von Below, ja el mes demaig. Finalment, el dia 20 de juny es va cele-brar la cloenda del curs Euler amb la conferen-cia Euler: idees seminals en combinatoria, acarrec del professor Josep M. Brunat. En l’ac-te de cloenda van intervenir la vicerectora deplanificacio i programacio d’infraestructures dela UPC, Teresa Rovira, i el consol de Suıssa aBarcelona.

La Facultat de Matematiques i Estadısticadedicara el curs 2007–2008 a Bernhard Rie-mann. Trobareu la informacio al nostre webhttp://www-fme.upc.es.

Margarida MitjanaVicedegana de relacions FME

Activitats amb ajut de la SCM

EUROCRYPT 2007Barcelona, del 20 al 23 de maig de 2007

Del 20 al 23 de maig es va celebrar a Barcelonael congres Advances in Cryptology-Eurocrypt2007, International Conference on the Theoryand Application of Cryptologic Techniques.Aquest congres va ser organitzat pel Grup deMatematica Aplicada a la Criptografia del De-partament de Matematica Aplicada IV de laUPC i per en Javier Lopez del Departamen-to de Lenguajes y Ciencias de la Computacionde la Universidad de Malaga. Eurocrypt 2007es la vint-i-sisena edicio d’aquest congres in-ternacional que se celebra des de l’any 1982 ique constitueix el maxim forum de trobada iintercanvi d’idees entre els principals investiga-dors internacionals, d’empreses privades i insti-tucions publiques, que treballen o tenen interesen les arees de criptologia i seguretat, tant enl’ambit teoric com en el de les seves aplicacions,implementacio i utilitzacio.

Els articles presentats en aquest congreshan de ser articles originals sobre qualsevol delsaspectes tecnics de la criptologia i la seguretatde la informacio. Aquest congres es fortamentcompetitiu, cosa que queda patent per la xi-fra de trenta-tres articles escollits d’entre elscent setanta-tres presentats pels millors inves-tigadors i centres d’investigacio de tot el mon.Aquesta qualitat tan alta en els treballs escollitsfa que sigui una cita d’obligada assistencia pera la comunitat criptografica internacional i queconcentri els millors cientıfics de l’area, proce-dents fonamentalment de matematiques, d’in-formatica i d’enginyeria de telecomunicacio. Elproces de seleccio dels articles va ser anonim,es va assignar cada article a almenys tres delsvint-i-quatre membres del comite de programai assistits per cent trenta-dos referees externs.Tot aquest delicat treball va ser coordinat pel

22

cap del comite de programa, en Moni Naor delWeizmann Institute of Science d’Israel. Cal des-tacar que nomes hi ha un article acceptat d’ungrup d’investigacio de tot el sud d’Europa, eldel Grup de Matematica Aplicada a la Cripto-grafia de la UPC. Els articles seleccionats vanser publicats per l’editorial Springer-Verlag enel volum 4515 de la seva prestigiosa serie Lec-ture Notes in Computer Science.

La gestacio de l’organitzacio del congres vacomencar abans de l’estiu de l’any 2004. Du-rant gairebe un any vam estar preparant la can-didatura amb la inestimable ajuda del Barce-lona Convention Bureau. El maig de 2005 ala ciutat d’Aarhus (Dinamarca) es va escollirla nostra entre tres candidatures presentades.Des d’aquesta data fins al maig de 2007 hemestat treballant en l’organitzacio del congresMonica Breitman, Paz Morillo, Jorge Villar, Ja-vier Lopez, German Saez (els dos darrers coma general co-chairs) i la resta de membres delGrup de Matematica Aplicada a la Criptogra-fia de la UPC, especialment els nostres docto-rands i exdoctorands. Cal remarcar tambe eltreball de la Monica Garizuain, administradoradel Departament de Matematica Aplicada IVde la UPC.

Whitfield Diffie i Paz Morillo

El pressupost total del congres ha estatd’uns cent vuitanta mil euros sense incloureen aquesta quantitat l’allotjament dels assis-tents ni l’excursio oficial del congres. Es vanobtenir ajuts dels centres oficials i empresesseguents: Ministerio de Educacion y Ciencia,

AGAUR de la Generalitat de Catalunya, Cen-tro Criptologico Nacional (Centro Nacional deInteligencia), CatCert, Applus, Safelayer, UPC,CRM i Departament de Matematica AplicadaIV de la UPC. Tambe vam comptar amb la col-laboracio de la Seccio Espanyola de l’IEEE, dela Revista SIC i de l’Ajuntament de Barcelona.Estem molt agraıts a la Societat Catalana deMatematiques de l’IEC que va becar uns estu-diants per assistir al congres. Aixı mateix, laReal Sociedad Espanola de Matematicas va be-car tambe l’assistencia d’estudiants. A part delsregals tıpics que es fan en els congressos (en elnostre cas: bossa, llibreta i bolıgraf amb inscrip-cio, tassa de ceramica amb el nom del congresi un escalfador de tasses USB), una serie d’em-preses catalanes van regalar productes per ferun lot que va sorprendre gratament a tots elsassistents. Les empreses que van donar els pro-ductes van ser Galetes Birba, licor de cremacatalana Melody Original, carquinyolis Vicensi cerveses Damm. A mes tambe vam afegir aaquest lot un regal solidari d’Intermon-Oxfam.

Els resultats cientıfics del congres han estatmolt satisfactoris, principalment per la qualitatdels articles presentats i per les sessions con-vidades. El nombre total d’assistents que ensvam congregar a l’Hotel Catalonia Plaza, seudel congres, va ser de tres-cents vuitanta, en-tre investigadors d’universitats, d’empreses delmon de les telecomunicacions (operadors i sub-ministradors de serveis de telecomunicacions,empreses d’equipaments i serveis, empreses es-pecıfiques de productes criptografics), de labo-ratoris d’I+D, d’organismes oficials i dels queson dependents de ministeris de defensa de di-versos paısos. El resso en els mitjans de co-municacio tambe va ser destacable: reportatgea l’informatiu Hola Barcelona de BTV del 21de maig, reportatge al Telenotıcies migdia deTV3 del 24 de maig, entrevistes a COM Radio iRadio Barcelona (SER) el 23 de maig, a Radio 4(RNE) el 25 de maig i el 31 de maig, notıcia aCatalunya Informacio el 24 de maig, article aEl Periodico de Catalunya del 4 de juny, tambearticles als diaris Diario de Cordoba, La Opi-nion de Malaga, El Sur, i repercussio a catorzepagines web (principalment les versions digitalsde diaris i revistes, entre d’altres la versio digi-tal de La Vanguardia). La importancia i la qua-litat del congres va ser entesa tambe pel con-seller d’Innovacio, Universitats i Empreses de

23

la Generalitat de Catalunya, Josep Huguet, iper la comissionada d’universitats, Blanca Pal-mada, que van donar la benvinguda i van ofe-rir un coctel en el Palau de Pedralbes. La im-portancia del congres tambe va fer que se ce-lebressin altres reunions relacionades: Confe-rence on Cryptology and Digital Content Se-curity (CDCSEC) i el Workshop on Mat-

hematics of Cryptology (Recent Trends in Se-cure Computation), tots dos organitzats pelCRM; ECRYPT Hash Workshop 2007 or-ganitzat per la xarxa ECRYPT; Internatio-nal Conference on Information Theoretic Secu-rity (ICITS), organitzat per la Universitat deMalaga i la Universitat Rey Juan Carlos.

Paz Morillo i German SaezUPC

NEEDS 2007 School and WorkshopAmetlla de Mar, del 15 al 24 de juny de 2007

L’Ametlla de Mar va acollir del 15 al 24 dejuny la 17a edicio del congres Nonlinear Evo-lution Equations and Dynamical Systems (NE-EDS) amb la participacio de mes de cent-setanta investigadors en matematiques i fısicade mes de trenta paısos. Els congressos NE-EDS tenen una llarga tradicio dins de l’area dela fısica matematica i, en especial, de l’estudide sistemes integrables en sistemes dinamics. Apart de les questions estrictament cientıfiques,els congressos s’han distingit en les seves edici-ons per la seva contribucio al dialeg entre els dosblocs durant la guerra freda i, de fet, el congrescompta amb la presencia d’un dels seus impul-sors, Francesco Calogero, que rebe el Premi No-bel de la Pau en nom de l’organitzacio PugwashConferences on Science and World Affairs. Coma novetat d’aquesta edicio, el congres ha estatprecedit d’una escola.

El congres NEEDS 2007 forma part d’u-na serie de conferencies internacionals inicia-da l’any 1980 i de la qual fou la 17a edicio.La tematica de les conferencies NEEDS es amig camı entre la fısica i les matematiques, sen-se oblidar la interaccio amb la modelitzacio deprocessos fısics, quımics i biologics. Juntamentamb les tradicionals aplicacions a la fısica, hanaparegut en els darrers temps nous camps d’a-plicacio en la biologia i en la quımica en elsquals el coneixement adquirit en aquest tipusd’equacions pot ser essencial en treballs inter-disciplinars.

Ja des dels inicis, la serie de conferenciesNEEDS va concentrar la seva atencio sobre elcamp dels sistemes no lineals, on s’inclouen lamajoria de models matematics de la natura-lesa. Des d’aleshores en aquest camp d’estudis’han anat configurant dues lınies de recerca,la dels sistemes integrables (aquells que en teo-

ria son solubles explıcitament i, per tant, homen pot tenir un coneixement mes detallat) i ladels que no ho son, que constitueixen la majo-ria dels models no lineals i on s’inclouen els sis-temes caotics. Tanmateix aquestes dues lıniesno son compartiments estancs sino que moltsdels resultats per a sistemes caotics s’obtenen apartir de considerar pertorbacions de sistemesintegrables.

Precisament aquesta voluntat de traspassarles fronteres que sovint s’estableix entre dife-rents camps de la ciencia ha motivat que, enaquesta edicio, el congres anes precedit d’unaescola avancada. Els cursos han estat: An in-troduction to pattern formation per AlastairRucklidge, de la Universitat de Leeds, Proper-ties of low dimensional systems in the large perCarles Simo, de la Universitat de Barcelona,The transition from regular to irregular motionexplained as a travel on Riemann Surfaces perPaolo M. Santini, de la Universitat de Roma,i Synchronization and Networks per Steven H.Strogatz, de la Universitat Cornell. Gairebe uncentenar d’investigadors varen assistir a aques-ta escola, la qual considerem un dels grans exitsdel NEEDS 2007.

Essent fidel a la seva tradicio de transver-salitat, en aquesta edicio s’ha intentat afavorirels intercanvis entre els cientıfics de diferentsarees geografiques i crear un entorn adient pera la comunicacio entre investigadors en totes lesetapes de la seva carrera cientıfica. En aques-ta edicio es presentaren mes d’un centenar decontribucions entre comunicacions i posters ques’editaran en un volum d’actes. El congres de-dica una sessio a la memoria de Martin Kruskal,historic participant del congres i recentmentdesaparegut. Finalment, tambe es realitza unaexcursio al delta de l’Ebre.

24

El congres i l’escola han estat financats perdiverses agencies catalanes i estatals, entre ellesel Fons de Promocio d’Activitats de la SocietatCatalana de Matematiques, cosa que ha permesla participacio de participants joves i de paısos

en vies de desenvolupament, com ha estat sem-pre en l’esperit de les trobades NEEDS.

Per a mes informacio, vegeu el web delcongres http://www.needs-conferences.net/2007

Joaquim Puig i SadurnıComite organitzador, UPC

Participants al NEEDS 2007

Activitats de la SCM

Quarta Jornada d’Ensenyament

Aquest curs 2007–2008 inaugurem nous currı-culums a primaria i a l’ESO fruit de la implan-tacio inicial de la LOE. Al mateix temps, lesuniversitats catalanes estan immerses en la pla-nificacio dels nous tıtols de graduats, masters idoctorats seguint les directrius de l’espai euro-peu d’educacio superior, que es concreten en laLOU.

Entrega de la documentacio als participants

Tot aquest proces de renovacio curriculartorna a plantejar, des de diferents perspecti-ves, responsabilitats i objectius, el problema

de decidir quines matematiques s’han d’estu-diar a les diferents etapes educatives, quina im-portancia se li ha de dedicar en relacio en lesaltres materies i quin tipus d’innovacio apor-tara el nou llenguatge de les competencies, jasigui pel que fa a la manera de concebre les ma-tematiques i la seva rao de ser, com la manerad’organitzar-ne l’ensenyament i l’aprenentatge.

El dissabte 29 de setembre gairebe dos-centsprofessors de primaria, secundaria i universitatvan participar a la Quarta Jornada d’Ensenya-ment organitzada, com en les edicions anteriors,per la SCM i la FEEMCAT, a les quals s’afegeixara la Societat Balear de Matematiques Xeix.L’objectiu de la jornada va ser debatre entorndel problema del currıculum de matematiquesi la manera com s’elaboren els diferents plansd’estudis, des d’infantil fins a la universitat.

Al matı es van celebrar dues taules rodo-nes, la primera centrada en l’elaboracio delcurrıculum i la segona en els definidors curri-culars que influeixen en el que s’ensenya mesenlla dels programes. Hi van participar dos re-

25

presentants del Departament d’Ensenyament iprofessors de les diferents etapes educatives quehan estat involucrats, d’una manera o altra, enl’elaboracio de nous plans d’estudis, en el debatcurricular, en l’organitzacio de la selectivitat,en el debat de la dedicacio horaria de les mate-matiques a l’ESO o en el problema de l’articula-cio de les etapes educatives primaria-secundariai secundaria-universitat.

A la tarda es van convidar quatre profes-sors a presentar materials matematics poc di-fosos en la cultura matematica de la nostracomunitat i que poden convertir-se en einesutils per dur a terme nous desenvolupamentscurriculars: la utilitat social de la matematicaa traves de la criptografia o els metodes devotacio, l’us de la historia a l’ensenyament odels contes populars per estudiar la relaciollengua-matematiques. Malgrat la densitat dela Jornada, que tambe va incloure una pre-sentacio del nou museu de la matematica aCatalunya, no es va esgotar ni molt menys

la complexitat i controversia d’un tema tancomplex i sensible com el de decidir quines ma-tematiques s’han d’estudiar i per que cal fer-ho.

Els participants en el claustre de la Casa deConvalescencia seu de l’IEC

La nostra comunitat matematica haura de bus-car mes ocasions de trobada per continuar eldebat, tant entre nosaltres com amb els altresestaments socials.

Marianna BoschComite organitzador

Programa de la Quarta Jornada d’Ensenyament

Taula rodona: Com s’elabora un currıculum de matematiques?Moderadora: Iolanda GuevaraPonents: Santi Ullibarri, L’elaboracio del currıculum de l’ensenyament obligatoriAnna Cima, Les matematiques en la universitatLluısa Girondo, Les matematiques per a la docenciaTana Serra, Les matematiques en l’ensenyament obligatori

Taula rodona: Mes enlla del currıculum: altres definidors curricularsModerador: Jordi DeulofeuPonents: Juan L. Ramırez, Els definidors curriculars actualsAnton Montes, La prova de selectivitat i el currıculum del batxilleratPilar Royo, L’organitzacio temporal i la dedicacio horariaJaume Casasnovas, El pas de secundaria a la universitatNuria Guitart, El pas de primaria a secundaria

Conferencies: Materials matematics per a nous desenvolupamentscurricularsRosa Camps i Berta Barquero, Un passeig per la criptografiaM. Rosa Massa, Ensenyar matematiques utilitzant-ne la historiaXavier Mora, Metodes de votacio: podrıem fer-ho millor!Carme Aymerich, Codificar i descodificar contes populars, una relaciollengua-matematiques

26

Desena Trobada de la SCM

El passat 15 de juny, es va fer a la seu de l’Ins-titut d’Estudis Catalans la desena edicio de laTrobada Matematica de la SCM, amb el tıtolEuler: 300 anys despres. La trobada voliacentrar-se en l’estat actual d’alguns dels pro-blemes que varen ser plantejats i/o treballatsper Euler ara fa tres-cents anys i que encaraavui constitueixen un repte per a matematicsd’arreu del mon. Per aixo es van convidar qua-tre cientıfics especialistes en alguns d’aqueststemes. L’acte va comencar amb les paraules debenvinguda del president de la Societat, CarlesPerello, i a continuacio es va seguir la progra-macio seguent.

Joan Sola-Morales, de la Universitat Po-litecnica de Catalunya, va fer una xerrada ti-tulada Les equacions d’Euler, en la qual vaparlar de la presencia actual de l’obra d’Eu-ler en el mon de les equacions diferencials, ambemfasi especial en el sistema de les equacionsd’Euler de la mecanica de fluids. Aquesta visiova donar lloc a exposar la importancia actualde temes com el calcul de variacions i d’altres,que representen un bagatge imprescindible pera l’activitat matematica. Pel que fa al sistemadel moviment dels fluids no viscosos, va desta-car el seu paper veritablement actual, en as-pectes com la modelitzacio, l’analisi i tambe lageometria. En modelitzacio va parlar del paperdels fluxos potencials, l’aproximacio acustica iles ones en aigues profundes. En analisi va des-criure l’estat actual del coneixement pel que fa al’existencia i unicitat de solucions del problemade valor inicial. I en temes geometrics va donaruna mirada al sistema hamiltonia del movimentrelatiu de vortexs en el pla i a l’interpretacio deles equacions d’Euler com un flux geodesic endimensio infinita.

La segona conferencia fou a carrec d’Emi-li Elizalde, de l’Institut d’Estudis Espacials deCatalunya, sota el tıtol Euler, la funcio ζ ila mecanica quantica. L’Emili ens va parlarsobre les extensions complexes de la funcio ζd’Euler, introduıdes per Bernhard Riemann, iles generalitzacions posteriors de Hurwitz, Di-richlet, Epstein i d’altres. Despres va dedicarbona part de la seva intervencio a les funcionsζ que es construeixen sobre els operadors pseu-dodiferencials, i a les seves aplicacions, com ametode de regularitzacio. Aixo es, la manera de

donar sentit a la suma de determinades seriesdivergents i dels determinants d’operadors queno pertanyen a la classe de la traca (el quees coneix amb els noms de ζ-traca i ζ-deter-minant, a causa de Ray i Singer). Va passardespres a les aplicacions d’aquests metodes iconceptes dins dels formalismes de la mecanicaquantica i de les teories quantiques de camps.La major part de les series (pertorbatives) i delsdeterminants (acciones efectives de les teoriesquantiques) que aquı apareixen son divergents,i resulta que el metode (de regularitzacio) quehom construeix a partir de la funcio ζ de l’ope-rador hamiltonia (energia) del sistema quanticen questio es molt efectiu, alhora que d’allo mesbonic des d’un punt de vista formal, per dur aterme aquest proces de donar sentit fısic a im-portants quantitats (que d’entrada resulten serinfinites), com ara la densitat d’energia de lesfluctuacions del buit quantic.

La tercera conferencia fou impartida perXavier Xarles, de la Universitat Autonoma deBarcelona, sota el tıtol La funcio ζ d’Euler.Va parlar-nos dels valors en els naturals de lafuncio ζ. Comencant per com Euler va provarque la suma dels inversos dels quadrats es iguala π2/6. Seguidament de com el mateix Eulerva poder calcular igualment la suma dels in-versos de les potencies quartes, i finalment lespotencies enesimes, quan n es un nombre parell.Tambe va comentar com Euler tractava algunesseries divergents i com suggeria quin podia serel valor de la funcio ζ en el −1 (o, altrament dit,la suma d’1+2+ · · ·+n+ · · · ): el valor que ob-tenia era el correcte segons la teoria actual (deRiemann). Despres va passar a tractar els va-lors en els senars, explicant el resultat d’Aperyen que el valor en el 3 es irracional, i els resul-tats recents de Rivoal, Zudilin, i d’altres, sobrela irracionalitat de certs valors en els senars.Finalment va parlar dels valors multizeta, i decertes conjectures de Zagier, Goncharov i altresque podrien explicar la transcendencia i inde-pendencia algebraica de tots els valors de la fun-cio ζ en els senars.

Passat el migdia i despres d’un bon dinari una copa de cava, el doctor Josep Pla de laUniversitat de Barcelona va fer la seva xerradasobre Euler i les Disquisitiones Arithmeticae.Ens va explicar allo que Gauss en les Disquisi-

27

tiones Arithmeticae atribueix a Euler, allo que,a mes, diu que ell en copia la demostracio, iallo que en fa una demostracio diferent. I tambeparla d’allo que, malgrat que Euler ja ho haviafet, Gauss no li atribueix. Finalment, respec-te al teorema fonamental, enunciat per Euleri demostrat per primera vegada per Gauss, vaanalitzar com evoluciona el pensament d’Eulerfins a arribar a establir-ne l’enunciat. El doc-tor Pla va recordar tambe la Griselda Pascuali la traduccio que va fer de les Disquisitiones,en catala, editat per la Societat Catalana deMatematiques.

Pel que fa a la presentacio de la recerca quefan els joves, enguany varem recuperar el for-mat classic de presentacio de posters. Val a dir,pero, que la participacio va ser escassa. Per aixo

volem agrair l’esforc que van fer aquells que esvan atrevir a participar alhora que animem atots els que es dediquen a la recerca a Catalu-nya que participin activament i presencialmenten la propera edicio.

Sobre l’alt grau de l’interes cientıfic que vatenir la Trobada, crec que tots hi estarıem d’a-cord. Pero tambe, voldria remarcar l’esforc delsconferenciants a presentar temes d’alt contin-gut tecnic, en la resolucio dels quals s’utilitzeneines molt sofisticades, d’una manera entenedo-ra per a tota la comunitat matematica. Per totaixo, moltes gracies a tots ells. Per ultim, mol-tes gracies a tots els que varen col.laborar enaquesta edicio de la Trobada, sobretot aquellsque tenen la feina menys lluıda pero molts cops,la mes important.

Tere M-SearaComite organitzador

Cangur 2007

L’any 2007 es va celebrar la XII Prova Cangurde la SCM, que va tenir l’honor de ser conside-rada una de les activitats incloses en el Cente-nari de l’Institut d’Estudis Catalans i va rebreun premi de l’Obra Social Caixa Sabadell i unasubvencio del Departament d’Educacio, que desdel primer any ha donat ple suport a la SCMper al desenvolupament del Cangur. Es obli-gat, doncs, comencar aquesta ressenya donant-los l’agraıment explıcit: sense aquests tres pi-lars no s’hagues sustentat economicament l’e-difici del Cangur. Tambe hi han ajudat lesaportacions economiques rebudes de la Univer-sitat Politecnica de Catalunya, de la Universi-tat Autonoma de Barcelona, de la UniversitatPompeu Fabra, de la Universitat de Valencia ide la Universitat Jaume I i, naturalment, laquota de tres euros que ingressa cada partici-pant.

Igualment es de justıcia comentar com apart fonamental de l’exit la col.laboracio entusi-asta i desinteressada del professorat i d’un grannombre d’institucions que enguany han possi-bilitat que en mes de cent centres de Catalunyai el Paıs Valencia un gran nombre de noies ide nois es reunissin per fer matematiques. El

mateix dia, en una organitzacio germana, ambels mateixos enunciats que elabora la comissiovalenciano-balear-catalana de la SCM, tambees va celebrar el Cangur a les Balears.

La comissio pensa que el fet de reunir alum-nes de diferents centres en un mateix centreper desenvolupar la prova i acompanyar-la, enmolts casos, d’altres activitats o d’un esmorzarimpulsa decididament la participacio. Gracies,doncs, a totes les universitats de Catalunya i delPaıs Valencia i als centres d’educacio secunda-ria que van oferir les seves aules.

Creiem que tot plegat es el que ha fet que laderivada de la funcio que dona la participacioen el Cangur segueixi sent positiva.

Enguany s’han aplegat centres de cinquan-ta-tres comarques i de cent noranta-set muni-cipis i s’han superat els diset mil participants iaquesta es una xifra ben considerable. D’est aoest i de nord a sud hem arribat de Roses (Em-porda) a Utiel (a la zona de parla castellana dela Comunitat Valenciana) i de la Jonquera (Em-porda) a Guardamar (Baix Vinalopo). I comque tambe, any rere any, augmenta el nombrede centres participants, aixo ens fa tenir l’espe-ranca que continuara la tendencia creixent.

28

El dia 22 de maig de 2007, amb l’acte delliurament dels premis celebrat a la sala d’ac-tes del Rectorat de la Universitat Autonoma deBarcelona i presidit conjuntament pel consellerd’Educacio i pel rector de la UAB es va cloureel Cangur 2007. I de seguida ja es va comencara treballar per al Cangur 2008. Us hi esperem!

Segurament escapa de l’objectiu d’aquestarticle detallar la relacio de tots els premiatsque, juntament amb altres detalls del Cangur,podeu consultar al web http://www.cangur.org.

Esmentem, aixo sı, els quatre guanyadors,que van ser, per nivells, Xavier Fernandez-Real Girona (IES Jaume Vicens Vives, Giro-na), Eduard Portell Penades (Fundacion Escu-ela Suiza, Barcelona), Adrian Rey Rodrıguez(IES Vicent Castell i Domenech, Castello dela Plana) i David Garces Urzainqui (ColegioAleman de Valencia, Valencia) i els pins de pla-ta, que reconeixen una participacio molt des-tacada en els quatre nivells del Cangur, queenguany es van atorgar a Antai Llaquet Bayo(alumne de l’IES Escola Industrial de Sabadell)i Eloi Roset Altadill (alumne de l’IES JoaquınBau, de Tortosa).

Aquesta maxima distincio del Cangur tam-be s’ha atorgat a algunes personalitats relacio-nades amb l’activitat. Enguany la comissio or-ganitzadora va proposar que s’atorgues a Car-les Casacuberta perque durant els quatre anysque ha estat president de la SCM el seu impulsdel Cangur i la seva dedicacio perque la provaassolıs el maxim exit han estat excepcionals.

Per acabar aquest article i fer-lo un poquetdiferent del d’altres anys, acabare amb un petitestudi sobre alguns dels problemes plantejatsen el Cangur.

En el nivell 1 la pregunta que mes ha enga-nyat, potser sorprenentment, es la 7a:• Enunciat: En Joan va neixer el dia 1 de gener

de 2002 i es un any menys un dia mes vell que enPere. Quina es la data de naixement d’en Pere?

• Encerts: 19,3 %, errades: 80,0 %, en blanc:0,7 %.

La moda de les respostes va ser la B) 2 degener de 2001 practicament empatada amb laC ) 31 de desembre de 2000. Aquest fet ens potajudar a constatar allo que tantes vegades s’-ha comentat, a saber, quina es la gran interre-lacio entre la competencia linguıstica i la com-petencia matematica: ben segur que els que vanrespondre aquestes opcions en comptes de lacorrecta, E ) 31 de desembre de 2002, no havienllegit amb atencio i comprensio l’enunciat.

La questio que menys alumnes han encertat(que tambe es la de mes percentatge d’erradesentre aquells que l’han contestada) es la 28a:

• Enunciat: D’una peca de fusta en forma deparal.lelepıpede rectangular se n’ha retallat unapart, que tambe te forma de paral.lelepıpede rec-tangular, amb les mesures que es poden veure ala figura.

Determineu el percentatge de disminucio dela superfıcie exterior de la peca.• Encerts: 5,4 %, errades: 70,7 %, en blanc:23,9 %.

Geometria i percentatges, com s’ha de mi-llorar el treball en aquests aspectes!

En el nivell 2 la pregunta amb mes encerts(el 88,6 % dels participants) es la primera, quetambe es la que han respost un major nom-bre d’alumnes (nomes l’1,5 % l’ha deixada sensecontestar). Podrıem dir que aixo es logic, perl’estructura de la prova, que tendeix a plante-jar les questions per nivell creixent de dificultat,pero de vegades hi ha hagut sorpreses! L’enun-ciat es aquest:

• Quin es el resultat de2007

2 + 0 + 0 + 7.

La pregunta que mes ha enganyat es la 12a:

• Enunciat: Es marquen sis punts sobre dues rec-tes paral.leles, quatre sobre la primera recta i dos

29

sobre la segona recta. Quin es el nombre total detriangles que es poden formar amb aquests puntscom a vertexs?• Encerts: 13,9 %, errades: 80,9 %, en blanc:5,2 %.

La moda de les respostes va ser la C ) 12mentre que la resposta correcta es D) 16. Pot-ser nomes van comptar els triangles cap amunto cap avall i no tots?

En aquest nivell la questio amb menys nom-bre d’encerts (que tambe es la de mes percen-tatge d’errades entre aquells que l’han contesta-da) es la 29a que, alhora, es la pregunta que mesalumnes han deixat en blanc. Potser sı, doncs,que aquesta era la mes difıcil !

• Enunciat: Una estranya calculadora nomes potmultiplicar per 2 o per 3, o be elevar a la potencia2 o a la potencia 3 el nombre que hi ha a la panta-lla. Comencant amb el nombre 15, quin dels resul-tats seguents es pot obtenir fent cinc operacionsseguides amb aquesta calculadora?

A) 28 × 35 × 56 D) 2× 32 × 56

B) 28 × 34 × 52 E ) 26 × 36 × 54

C ) 23 × 33 × 53

• Encerts: 5,9 %, errades: 42,8 %, en blanc:51,3 %.

Sabria el lector deduir quina es la respostacorrecta?

En el nivell 3 tampoc no hi ha hagut sor-preses: la primera pregunta ha representat unabona entrada a la feina de la prova Cangur.Es la questio amb mes encerts i tambe la quemenys alumnes han deixat en blanc. Ara be, valla pena comentar que una de les preguntes delprimer terc del Cangur (el de les questions mesfacils) ha estat la que ha provocat un nombremes gran d’errades.

• Enunciat: A quin nombre s’ha d’elevar 44 perobtenir 88?

A) 2 B) 3 C ) 4 D) 8 E ) 16

• Encerts: 20,8 %, errades: 66,4 %, en blanc:12,8 %.

La dispersio de respostes entre les cinc op-cions ha estat molt gran pero, quina creieu queha estat la moda? Efectivament! La A) 2. Res-posta feta sense pensar? Segurament!

Les questions que han resultat mes compli-cades per als participants han estat la 23a (la

que mes alumnes han deixat en blanc) i la 25a(la que menys alumnes han encertat).

• 23. Enunciat: Sigui A el menor nombre en-ter positiu amb la propietat seguent: 10A es unquadrat perfecte i 6A es un cub perfecte. Quantsdivisors positius te el nombre A?

A) 30 B) 407 C ) 54 D) 72 E ) 96

• Encerts: 5,5 %, errades: 31,4 %, en blanc:63,1 %.

• 25. Enunciat: En un joier hi ha mes d’un collar.Cada collar te el mateix nombre de diamants i hiha com a mınim 2 diamants a cada collar. Se sapamb seguretat que, si el nombre de diamants enel joier es conegut, aleshores es podra determinarsense cap mena de dubte el nombre de collars.Hi ha mes de 200 diamants pero menys de 300.Quants collars hi ha en el joier?

A) 16 B) 17 C ) 19 D) 25E ) Cap dels anteriors

• Encerts: 3,9 %, errades: 46,1 %, en blanc:50,0 %.

Quina caracterıstica comuna hi veiem? Sonproblemes de divisibilitat. I, realment, quan laComissio Cangur posava a punt la versio cata-lana dels enunciats ja va pensar que eren pro-blemes difıcils, sobre tot el 25e.

En el nivell 4 el primer exercici era visual(diguem-ne de visio geometrica si us semblaadient) i la Comissio pensava que potser enga-nyaria forca. Pero no va ser aixı, va ser la pre-gunta amb mes encert, i amb molta diferencia!

• Enunciat: Na Maria vol construir un circuit perfer una cursa de cotxes electrics de manera quetotes les peces que unira per construir el circuittindran les vies paral.leles excepte dues, una queja te posada i una altra.

D’altra banda vol que les vies que ocupin els cot-xes al principi i al final siguin les que es veuen a lafigura. Quina peca haura de posar al lloc indicatamb una X?

A) B) C ) D) E )

30

• Encerts: 82,1 %, errades: 16,6 %, en blanc:1,3 %.

Trobo interessant comentar l’elevat encertd’una de les preguntes del segon grup, cosa queno es gaire habitual.• Enunciat: La suma de cinc enters consecutius esigual a la suma dels tres seguents enters consecu-tius. Quin es el mes gran d’aquests vuit nombres?• Encerts: 61,3 %, errades: 27,6 %, en blanc:11,2 %.

En canvi en un altre problema que es podriaqualificar com l’anterior d’equacions, la situacioha estat justament la inversa. Un problema delprimer grup (el numero 10) amb moltes erra-des:• Enunciat: L’angle β es un 25 % mes petit quel’angle γ i un 50 % mes gran que l’angle α. Ales-hores l’angle γ es:

A) Un 25 % mes gran que α.

B) Un 50 % mes gran que α.

C ) Un 75 % mes gran que α.

D) Un 100 % mes gran que α.

E ) Un 125 % mes gran que α.

• Encerts: 16,5 %, errades: 73,9 %, en blanc:9,6 %.

Altra vegada ens trobem amb la preguntaseguent: Sera que els percentatges provoquendesconcert? Ben segur!

Acabem aquesta petita ressenya estadısticatot comentant el problema 26e, el que menysalumnes han encertat (que tambe es el que hatingut un mınim percentatge d’encert respectela gent que ha contestat) i el problema 30e, elque mes persones han deixat en blanc.• 26. Enunciat: Trobeu el nombre de nom-bres reals a de manera que l’equacio quadraticax2 + ax+ 2007 = 0 tingui dues arrels enteres.• Encerts: 4,0 %, errades: 42,6 %, en blanc:53,3 %.• 30. Enunciat: La sequencia creixent 1, 3, 4, 9,10, 12, 13,... inclou totes les potencies de 3 i totsels nombres que poden esser descompostos coma suma de diferents potencies de 3. Quin es l’ele-ment 100 de la sequencia?

• Encerts: 11,1 %, errades: 28,8 %, en blanc:60,1 %.

Tambe els trobeu difıcils? No sereu pas lesuniques persones que ho pensen!

Antoni GomaCap de la Comissio Cangur de la SCM

Olimpıada 2007

Del 22 al 25 de marc de 2007 es va fer la 43aedicio de l’Olimpıada Matematica Espanyolaa Torrelodones (Madrid) organitzada per l’A-juntament d’aquesta poblacio i les universitatsComplutense i Autonoma de Madrid.

Els nou participants catalans van tornaramb cinc medalles: quatre de plata i una debronze.

Medalles de plata:Albert Santiago Boil (IES de Bruguers, Gava).Bernat Serra Montolı (IES La Sedeta, Barcelo-na). Arnau Messegue Buisan (IES Ciutat de Ba-laguer, Balaguer). Josep Marc Mingot Hidalgo(Col.legi Claver, Lleida).

Medalles de bronze:Eloi Marın Amat (Frederic Mistral-Tecnic Eula-lia, Barcelona).

L’equip espanyol que passa a la fase inter-nacional a Hanoi, Vietnam, estigue format per:Diego Izquierdo Arseguet (Madrid), AdrianRodrigo Escudero (Saragossa), Daniel RemonRodrıguez (Asturias), David Alfaya Sanchez(Madrid) Gabriel Furstenheim Milerud (Ma-drid) i Glenier Lazaro Bello Burguet (La Ri-oja), aquest cop sense presencia catalana.

S’ha gaudit d’una generosa hospitalitat perpart de l’Ajuntament de Torrelodones i s’haagraıt des de la SCM enviant un missatge degratitud en nom de tots.

Josep GraneUPC

31

Agenda

X Jornadas de Trabajo en Mecanica Ce-leste

Data i lloc: del 5 al 7 de setembre de 2007 alCRM.Comite cientıfic: R. Barrio (U. Saragossa), S.Ferrer (U. Murcia), J. Llibre (UAB), J. Pala-cian (U. Publica de Navarra) i J. Pelaez (UPM).

http://www.crm.cat/MecanicaCeleste

Workshop on Derived Categories

Data i lloc: del 5 al 14 de novembre de 2007 alCRM.Coordinadors: L. Alonso (U. Santiago de Com-postel.la), A. Jeremıas (U. Santiago de Compos-tel.la) i A. Neeman (U. Nacional d’Australia,Canberra).

http://www.crm.cat/Derived−Categories

Advanced School on Numerical Solutionsof Partial Differential Equations

Data i lloc: del 15 al 21 de novembre de 2007 alCRM.Coordinador: J. A. Carrillo (ICREA-UAB), R.Donat (U. Valencia), C. Pares (U. Malaga) i Y.Vidal (UPC).

http://www.crm.cat/ASPDEs

DocCourse in Combinatorics and Ge-ometry: Additive Combinatorics

Data i lloc: gener, febrer i marc de 2008 al CRM.Coordinadors: J. Cilleruelo (UAM), M. Noy(UPC) i O. Serra (UPC).

http://www.crm.cat/AdditiveCombinatorics

Advanced Course on Simplicial Methodsin Higher Categories

Data i lloc: del 4 al 14 de febrer de 2008 alCRM.Coordinadors: C. Casacuberta (UB) i J. Kock(UAB).

http://www.crm.cat/ACQuasiCategories

Advanced Course on Geometric Flowsand Hyperbolic Geometry

Data i lloc: del 12 al 19 de marc de 2008 alCRM.Coordinadors: J. Porti (UAB) i V. Miquel (U.Valencia).

http://www.crm.cat/ACGeometryFlows

Jornada de la Societat Catalana de Matematiquesi la Societat Catalana de Fısica

Dins del marc de la commemoracio del Cente-nari de l’Institut d’Estudis Catalans, la SocietatCatalana de Matematiques, junt amb la Socie-tat Catalana de Fısica, organitza el dissabte 17de novembre, un acte sota el tıtol L’impactede la fısica en la matematica actual. Un camırecorregut plegats.

Al comencament del segle xx es produı unarevolucio en la fısica que influı fortament enles matematiques. Ara, als inicis del segle xxi,aquesta interaccio mutua creiem que continua

amb mes o menys intensitat. En les xerradess’analitzara aquesta relacio en quatre proble-mes lligats respectivament a la relativitat, a lessupercordes, a les supersimetries i a la cosmo-logia.

Els conferenciants que han acceptat parti-cipar-hi son Girbau i Grifols, catedratics de lesnostres universitats, i Towsen i Candelas, dosfısics de molt renom, amb treballs que han obertnoves lınies d’interes dins del mon matematic.

Josep Lluıs SoleSCM

32

Contribucions

Un comentari respecte a l’avaluacio de la recerca

En l’ultim numero de la SCM/Notıcies, que ditsigui de passada, era d’un nivell excel.lent ambdiversos articles molt interessants i de rabiosaactualitat, varem poder llegir un article del pro-fessor Antonio Cordoba. A l’article es posavende relleu alguns topics de la nostra professioque m’han animat a escriure aquestes ratlles.No pretenc pas polemitzar amb l’esmentat pro-fessor, simplement voldria fer una reflexio com-plementaria als seus arguments, tot i que en al-guns casos en faci referencia per tal de centrarl’analisi.

El professor Cordoba argumenta que el JCR(llista/ordenacio de les revistes en funcio del seuimpacte) es prou bo per repartir —diguem— elsquatre duros que l’Administracio destina a gra-tificar l’esforc de la nostra recerca, pero no peravaluar-la/validar-la, potenciar lınies de recer-ca, financar programes, etc. Jo diria que aques-ta visio ens perjudica greument com a professio-nals, ja que el missatge que enviem a la societates que les gratificacions economiques (que sur-ten dels seus impostos!) no son incentius a lafeina ben feta, o a l’excel.lencia, sino que sonuna mena de retribucions per pagar el hobbyd’uns quants professors de la universitat quequan no saben que fer es dediquen a escriurearticlets mes o menys interessants.

Crec entendre parcialment la rao ultima onse sustenta aquesta visio de la questio. Voldrıemque, acostumats com estem als teoremes, l’ava-luacio tambe tingues un caracter perfecte, unamena d’eina que quan hi introduıssim els nos-tres resultats o treballs, dones de forma ine-quıvoca una valoracio impecable de la seva bon-dat, interes, dificultat, etc. Aixı, i nomes aixı,els matematics podrıem acceptar algun sistemad’avaluacio de la nostra feina. El resultat d’a-quest fet es que, com que l’eina no existeix (niexistira), la nostra feina no es pot avaluar, i con-seguentment, no fem res o repartim miseries. Encanvi en altres aspectes de la vida tots volemque la feina d’altri sigui avaluada i que aques-ta avaluacio tingui efectes (positius o negatius)sobre el professional que la duu a terme. Noes un interes depredador o malaltıs el que ensmou a l’avaluacio, sino el fet de procurar que

la tasca professional que se’ns ha encomanat esporti a terme de manera positiva, i seria faltara la veritat dir que aquells qui hem accedit ala universitat en els darrers —posem— quinzeanys, no sabıem que la recerca era una tascaprioritaria de la nostra feina. Pero, com deia,aquesta avaluacio no pot pretendre ser divina,com no ho es, per posar un exemple proper, elsexamens que posem als nostre alumnes. Un exa-men pot no mostrar amb exactitud el grau deconeixement de tots ells de forma inequıvoca,pero ens sembla una manera practica i trans-parent d’avaluar-los. I doncs, que podem fer?

El professor Cordoba proposa una respostaa la meva pregunta. Escriu textualment: L’u-nica manera reconeguda d’avaluar la tasca d’uncientıfic es mitjancant la importancia i la di-ficultat dels seus resultats, que estan acom-panyats de l’originalitat de les idees i de lestecniques que hagi introduıt per obtenir-los. To-ta la resta es soroll.... Argumenta que en al-tres escoles matematiques mes desenvolupadeso madures que la nostra, aixo es fa aixı. Curi-osament estic demanant financament a la NSFamericana per fer un congres a Barcelona i emdemanen en el currıculum up to five best publi-cations.... Amb tot, estaria basicament d’acordamb el professor Cordoba (si traiem la parau-la dificultat, que no se pas per que es impor-tant, pero aixo seria una altra discussio), si nofos perque no esta clar qui es el subjecte quedecideix la bondat dels treballs. Fem una co-missio de notables que llegeixi tots els resultatsi els avaluı? Esta dient, de manera indirecta,que l’unica aportacio que paga la pena de lamatematica dels darrers —posem— cinc anyses la prova que Perelman ha fet de la conjec-tura de Poincare, i tota la resta es soroll? Ami em sembla que per aquest camı no aniremenlloc; que cal ser mes realistes, i que no po-dem reduir la matematica moderna a aquestasimplicitat excel.lencia/soroll, ni tampoc crecque cap paıs ho faci. L’article Non coopera-tive games publicat per en J. Nash l’any 1950en els Annals of Mathematics no era (en aquelltemps) ni important, ni difıcil, ni aportava ideesoriginals en les proves (el teorema fonamental

33

es una aplicacio del teorema del punt fix).... I,renoi, ja m’agradaria que algun dels meus tre-balls fes un soroll semblant. I sent una micadolent, podrıem escriure una llista ben llargade treballs importants i difıcils que han estattotalment oblidats... pero que potser renaixe-ran en el futur com a peces basiques de novesteories.

Crec sincerament que un proces d’avaluacioraonablement bo el tenim davant nostre, i el fa,de manera essencialment desinteressada, la co-munitat matematica internacional a traves delsreferee reports de les diferents revistes. Aquestes el millor sistema que podem tenir. Molt llunyde ser un metode just i perfecte. Cert. Pero al-menys esta basat en criteris com la professiona-litat dels matematics, l’anonimat, la internaci-onalitzacio, lluny de quotes de poder local delsgrups amb poca massa crıtica, etc. Millorable?Sens dubte, i per a totes les parts. Des dels pro-fessionals, participant dels comites editorials osabent que cada cop que tenim un referee a lesnostres mans cal fer-lo de manera acurada, sen-se apriorismes, prenent-nos els temps necessari,i mirant de reconeixer a l’article la importanciadels seus resultats, l’originalitat de les idees i deles tecniques.... Des de les revistes, que hauriend’exigir (almenys) dos referees per tal de teniruna visio el mes curosa possible del treball, ifer un seguiment del proces editorial, donar lesrespostes en un temps raonable, etc.

No es tant, doncs, una defensa del JCR idels seus criteris sino de la bondat intrınsecadel sistema de referee com a filtre prou rigorosd’avaluacio d’un treball. Dedicar ara un sobreesforc des d’una comissio de notables per deci-dir si allo que esta publicat es o no importantcrec que es perdre el temps. Es inutil, i a mes noserveix per a res discutir-nos fins a l’infinit persi el meu treball es millor o es pitjor, mes facilo mes difıcil, que el d’un altre. Tots sabem queels Annals of Mathematics, l’Acta Mathemati-ca, els SIAM Journals, el Topology, el Journalof Differential Equations, els journals de l’AMSi de la LMS, els Annals of Probability, per citar-ne nomes algunes, son revistes de prestigi quefan arbitratges seriosos, i hem de creure queaquest sistema, amb totes les errades que vul-gueu, es un bon sistema. Feu la prova del coto.Mireu quants matematics reconeguts i actius enrecerca no tenen, en el seu currıculum, publica-cions importants i difıcils en alguna d’aquestes

revistes. No n’hi ha, o es un conjunt de mesurazero (i conec algun cas...), pero no pretenc decap de les maneres fer un sistema d’avaluacioperfecte; simplement prou bo per reconeixer lafeina de la gran majoria; i que sigui un sistemaviable, que tothom entengui, i senzill de posaren practica. Res mes, i res menys.

Encara puc portar el meu argument mesenlla. M’he entretingut a mirar quins matema-tics de la comunitat catalana han publicatun treball als Annals of Mathematics, revis-ta que tots acceptem com de maxim prestigi,en el perıode 2000–2007. Nomes en tenim tres(sı, tres!) representants, i us puc ben assegu-rar que si hagues hagut de donar cinc noms,aquests tres haurien estat entre els escollits.Son, sense cap mena de dubte, d’entre els mi-llors matematics que tenim, i conseguentment,son capacos de col.locar els seus treballs en lesmillors revistes. Els felicito, i me’n felicito coma membre de la comunitat matematica que elsacull.

No hi ha dubte que el JCR te alguns proble-mes intrınsecs. Dos exemples: la volatilitat d’al-gunes (no moltes) de les seves revistes, i el fetque hi ha algunes revistes de prestigi que no vo-len sortir per raons filosofiques o economiques.Tambe es cert que darrerament he vist algu-nes versions alternatives al JCR on es tenen encompte algunes consideracions diferents a l’ho-ra d’ordenar. Potser mes encertades, ho accep-to. Tot i que algunes revistes canvien la sevaposicio relativa no penso que la diferencia siguimolt significativa en termes generals.

De fet, si em permeteu, i per acabar, pro-poso la variant seguent, que entenc que sim-plifica l’escenari i elimina els problemes es-mentats. En comptes de tenir una llista ordi-nal de les revistes jo faria tres grups de revis-tes; un primer grup amb revistes generals demaxim nivell (American Journal of Mathema-tics, Acta Mathematica, etc.), un segon grupamb revistes d’alt nivell, pero mes especıfiquesde les arees de coneixement (Journal of Diffe-rential Equations, Topology, Annals of Statis-tics, etc.) i un tercer grup on s’incloguin to-tes les revistes que tenen uns estandards dereferee acceptables, i que incloguin, per exem-ple, arees afins a les matematiques. Sinceramentcrec que seria forca facil posar-nos d’acord enel —diguem— setanta-cinc per cent, i despresd’una mica de discussio i generositat per part de

34

tots, en el cent per cent. Donem a aquesta llistaun caracter basicament permanent, posem-nosa treballar, i deixem-nos de discussions esterilssobre si aquell article/resultat que tinc es moltbo pero la revista on l’he publicat no esta prouben col.locada, mentre sempre oblidem aquelltreball no tan bo que va ser acceptat en unarevista millor de l’esperat. Els que em coneixeusabeu que sempre dic que el capital huma dela comunitat matematica catalana es bonıssim,pero poc eficient.

Enviem a la societat, i als polıtics, el mis-satge clar (i catala) que la nostra professio

sap, amb les mateixes mancances que qual-sevol altra, reconeixer la feina ben feta. Mesencara, sap reconeixer la diferencia entre uncurrıculum d’excel.lencia, un currıculum nota-ble, i un bon currıculum. O es casualitat que elsnostres millors matematics publiquin en revis-tes de maxim nivell? Crec, sincerament, que no.

Si un dia tinc temps, i els editors em donenuna mica mes d’espai, m’agradaria parlar d’u-na cosa tant o mes important que l’avaluacio:i un cop ens avaluem, que?... els trams son unincentiu (suficient)?

Xavier JarqueUB

Premis

La seccio de premis de la SCM/Notıcies 23 va estar monograficament dedicada a les grans figuresmatematiques guardonades al passat ICM 2006. Aixo ens va obligar a postposar per al presentnumero uns quants escrits que des de la redaccio tenıem mig preparats: el Premi Ferran SunyerBalaguer 2006 atorgat a Xiaonan Ma i George Marinescu, el Premi Richard von Misses 2006 atorgata Jose Antonio Carrillo, i el Premi Galois 2006 de la SCM atorgat a l’Ariadna Farres. Demanemdisculpes als respectius autors i premiats pel retras sofert (l’ocasio s’ho valia!), i afegim a la llistaalguns escrits mes: el Premi Galois 2007 atorgat a Judit Abardia, el Premi Lester Ford 2007atorgat a Lluıs Bibiloni, Jaume Paradıs i Pelegrı Viader, i el Premi SEMA 2007 a la divulgacio enmatematica aplicada atorgat a Xavier Mora. Enhorabona a tots vosaltres pels vostres respectiusguardons, i a la comunitat matematica catalana per continuar tenint membres que guanyen premisde tots els nivells.

Premi FSB 2006Desigualtats de Morse holomorfes i nuclis de Bergmanper Xiaonan Ma i George Marinescu

En aquest treball, els autors donen, per primeravegada, un tractament autocontingut i unificatsobre les desigualtats de Morse holomorfes i lesexpansions asimptotiques del nucli de Bergman,fent us de nuclis calents i presentant tambe di-verses aplicacions. El punt de vista prove dela teoria de l’ındex local, especialment de lestecniques de localitzacio analıtica desenvolupa-des per Bismut-Lebeau. Basicament, les desi-gualtats de Morse holomorfes son consequenciade l’expansio asimptotica en temps petit delnucli calent. El nucli de Bergman correspon allımit del nucli calent quan el temps tendeix a in-finit, i el comportament asimptotic es mes sofis-ticat. Un principi senzill en aquest treball es quel’existencia del forat espectral dels operadorsimplica l’existencia de l’expansio asimptoticadel corresponent nucli de Bergman, indepen-

dentment del fet que la varietat X sigui com-pacta o no, o singular, o amb vora. A mes,els autors presenten una manera general i al-gorısmica de calcular els coeficients d’aquestaexpansio.

El primer capıtol es dedica a una introduc-cio del material basic. Despres de donar unapresentacio autocontinguda sobre connexions al’espai tangent, l’operador de Dirac i la formulade Lichnerowicz, els autors especifiquen aqueststemes per al laplacia de Kodaira, i estudien endetall la formula de Bochner-Kodaira-Nakanoamb i sense vora. Totes aquestes formules sonfonamentals i tenen moltes aplicacions. S’usenrepetidament al llarg del text. Com a aplicaciodirecta i immediata, s’estableixen els resultatsclassics d’anulacio i la propietat del forat espec-tral per als laplacians de Kodaira i els operadors

35

de Dirac modificats. Aquests ultims tindran unpaper essencial en l’aproximacio de l’expansioasimptotica del nucli de Bergman.

El primer capıtol es pot usar com a llicointroductoria per a estudiants graduats.

A continuacio donem una visio mes detalla-da dels temes tractats en el treball.

Sigui X una varietat complexa compacta iL un espai lineal holomorf sobre X. Denotemper Hq(X,L) el q-esim grup de cohomologia dela fibracio de seccions holomorfes de L sobre X.

Molts dels resultats importants en geome-tria algebraica i complexa s’obtenen combi-nant una propietat d’anul.lacio amb un teore-ma d’ındex, o be de resultats asimptotics so-bre les potencies-tensor Lp quan p → ∞. Undels exemples mes famosos es el teorema d’a-nul.lacio de Kodaira-Serre, que afirma que si Les positiu, Hq(X,Lp) s’anul.la per q > 1 i pprou gran. L’observacio fonamental es que l’es-pectre de l’operador de Kodaira-Laplace p ac-tuant sobre les (0, q)-formes, q > 1, amb valorsa les potencies-tensor Lp, canvia a la linealitatadequada en la potencia-tensor p. Com a con-sequencia, el nucli de p es trivial sobre les for-mes de grau superior i el teorema d’anul.lacio esdedueix de la teoria de Hodge i de l’isomorfismede Dolbeault. A mes, el teorema de Riemann-Roch-Hirzebruch implica que Lp te moltes sec-cions holomorfes sobre X per a p prou gron,la qual cosa inclou la varietat X en un espaiprojectiu.

Una important generalitzacio que s’esmen-ta son les desigualtats de Morse holomorfesi asimptotiques degudes a Demailly. Aques-tes desigualtats donen fites asimptotiques deles sumes de Morse dels nombres de BettidimHq(X,Lp) en termes de certes integrals dela forma de curvatura de L. Les desigualtats deMorse holomorfes son una eina eficac en geo-metria complexa. Es basen, altra vegada, en elcomportament espectral asimptotic de l’opera-dor de Kodaira-Laplace p per a p prou gran.

Son nombroses les aplicacions d’aquests teo-remes d’anul.lacio i desigualtats de Morse holo-morfes. Deixeu-me mencionar el teorema d’im-mersio de Kodaira, el classic teorema de l’hi-perpla de Lefschetz per a varietats projectives,el calcul del comportament asimptotic de la tor-sio analıtica de Ray-Singer deguda a Bismut i

Vasserot, aixı com la solucio de la conjectura deGrauert-Riemenschneider per Siu i Demailly, ola compactificacio de varietats de Kahler ambcurvatura de Ricci negativa per Nadel i Tsu-ji. El treball de Donaldson sobre l’existencia desubvarietats simplectiques fou inspirat pel ma-teix cercle d’idees.

Les desigualtats de Morse holomorfes sonresultats globals que poden deduir-se a partird’informacions locals tals com el comportamentdel calor o nucli de Bergman. En aquesta formarefinada, podem establir l’expansio asimptoticadel nucli de Bergman associada a Lp per p →∞, la qual ha tingut un impacte enorme so-bre la recerca en els ultims anys. Especialment,destaquem les seves aplicacions en l’enfocamentde Donaldson sobre l’existencia de metriques deKahler amb curvatura escalar constant en re-lacio amb l’estabilitat de Mumford-Chow, quefou principalment motivada per una conjecturade Yau. Altres aplicacions son la convergenciade les metriques de Fubini-Study induıdes, ladistribucio dels zeros en seccions aleatories, laquantitzacio de Berezin-Toeplitz, aixı com al-tres problemes.

Un altre operador important que es tractaen el treball, altre cop a la vista de la generalit-zacio per a varietats simplectiques, es l’opera-dor de Dirac actuant sobre les potencies-tensoraltes de L sobre varietats simplectiques.

Xiaonan Ma nasque el 7 d’octubre de 1972a Zhejiang, Xina. Despres dels seus estudis uni-versitaris a la universitat de Wuhan a Chian,obtingue el doctorat a la Universitat de Parıs-Sud (Orsay) sota la direccio del professor J.-M.Bismut el 1998. Des de desembre de 2001 fins asetembre de 2007, ha estat Charge de rechercheal Centre de Mathematiques Laurent Schwartz,Ecole Polytechnique a Palaiseau. Actualmentes professor a la universitat parisenca Diderot-Parıs 7.

George Marinescu nasque el 22 de juny de1965 a Brasov, Romania. Estudia a la Univer-sitat de Bucarest i es doctora a la UniversitatParıs 7 sota la direccio del professor L. Boutetde Monvel el 1994. Ha tingut posicions postdoc-torals a Edimburg, Parıs i Berlın i ha treballattambe a la Universitat Humboldt de Berlın desdel 2000 fins al 2005. Des de 2006 es professorde la Universitat de Colonia.

Jose Ignacio BurgosUB

36

Premi Richard von Misses 2006

El Premi Richard von Misses es un premi inter-nacional molt prestigios que es concedeix anu-alment des de l’any 1989 a un cientıfic jove(menor de trenta-sis anys) pels seus resultatsdestacats en l’ambit de la matematica aplicadai la mecanica. El premi es concedit per l’Asso-ciacio Internacional de Matematica Aplicada iMecanica (GAMM), que es una societat inici-alment radicada sobretot a Alemanya pero queactualment esta ben implantada arreu del mon.Aquesta societat va ser fundada el 1929 ni mesni menys que per Ludwig Prandtl i per Richardvon Misses.

El premi de l’any 2006 va ser atorgat al nos-tre company Jose Antonio Carrillo de la Plata,per les seves contribucions, tal com es deia enla concessio, a les equacions en derivades par-cials, la simulacio numerica i el calcul cientıfic.El premi va ser entregat, amb la solemnitat quemereix, el mes de marc, durant el 77e congresanual d’aquesta associacio, celebrat a la Uni-versitat Tecnica de Berlın.

Jose Antonio Carrillo, nascut a Granada iformat principalment a aquella universitat i ala universitat de Texas a Austin, es des de l’any2003 professor d’investigacio d’ICREA, adscrita la UAB, on ha contribuıt de manera molt im-portant a la creacio d’un grup de recerca dequalitat ben reconeguda. A mes de donar-li l’en-horabona, a ell, que es qui naturalment se lamereix per aquest premi, podem tambe felici-tar l’ICREA i la UAB per haver sabut incorpo-rar a l’ambit catala de recerca una personalitatcientıfica tan destacada.

No es normal que els esdeveniments ma-tematics tinguin massa transcendencia en elsmitjans de comunicacio, i tot sovint crec queaixo es una pena. Per aixo, considero una bonacosa que la concessio d’aquest premi hagi re-but, almenys en els mitjans catalans, un ressonotable. Jo vaig assabentar-me d’aquest premiprecisament perque vaig llegir la llarga entrevis-ta a Carrillo que va sortir a El Periodico, peroes que tambe n’han sortit (que jo sapiga) a LaVanguardia, al Diari de Sabadell i al setmana-ri El Temps, a mes d’una simpatica i encerta-da entrevista radiofonica a COM-Radio. Aixıdoncs, a mes de celebrar aquest premi amb enCarrillo, potser tambe hem d’agrair-li que hagifet apareixer les matematiques en els mitjans

de comunicacio habituals, cosa que com he ditpassa poc sovint.

El currıculum cientıfic del professor Carri-llo no es facil de resumir, pero si haguessimde destacar unes poques coses, en destacariatres: en primer lloc i pel que fa als temes, totsels relacionats amb el mon de les equacionscinetiques. Ara, pel que fa als objectius, o siguiel tipus de resultats que busca en les equaci-ons que estudia, posaria en lloc destacat els delcomportament asimptotic de les solucions pertemps grans. Finalment, pel que fa als metodes,voldria destacar la combinacio entre metodesanalıtics i numerics.

Que son les equacions cinetiques? Nor-malment es dona aquest nom a equacionsen derivades parcials que modelen fenomensfısics (mecanics, termics, de difusio, electromag-netics, etc.) que poden veure’s com una inter-pretacio col.lectiva o macroscopica de fenomensindividuals mes simples. En aquest sentit, potdir-se que els passos principals del proces demodelitzacio, que tenen mes en compte lafısica del problema, es produeixen a escala mi-croscopica o individual, com per exemple potser la modelitzacio de les col.lisions entre lespartıcules d’un gas com si fossin col.lisions en-tre boles elastiques. Mentre que la reduccioprogressiva de les equacions, cosa que donalloc a diferents models, amb diferents escalesde detall, es un proces tıpicament i principal-ment matematic. Els treballs del J. A. Carrillos’han ocupat de l’estudi de les equacions de Vla-sov i les seves variants (Vlasov-Poisson-Fokker-Planck, Vlasov-Maxwell) i les equacions per amedis granulars (tipus Boltzmann).

El comportament asimptotic de les soluci-ons per temps grans es un tema de llarga tra-dicio en equacions en derivades parcials, i queenllaca amb temes tıpics de sistemes dinamics(com es el tema de l’estabilitat) i de geome-tria (com son els temes de simetria i d’auto-similitud). Aquests temes han estat investigatsper Carrillo tant en les ja esmentades equacionscinetiques com tambe en equacions de difusiono lineal, un altre tipus important d’equacionsen les quals tambe ha obtingut resultats impor-tants.

Finalment, pel que fa als metodes ja hemesmentat la combinacio dels metodes analıtics

37

amb els numerics. Els resultats dels que hemparlat fins ara, sobre equacions cinetiques o so-bre equacions de difusio no lineal, son mes aviatde tipus analıtic. La contribucio mes importantde Carrillo en temes de simulacio numerica i de

calcul cientıfic s’ha produıt en els seus treballssobre fenomens de transport de partıcules car-regades en semiconductors, un tema molt im-portant i de molta actualitat que li ha permesposar-se en relacio amb l’enginyeria electronica.

Joan de Sola-Morales RubioUPC

Premi Lester R. Ford 2007

Els matematics Lluıs Bibiloni, de la UniversitatAutonoma de Barcelona, i Jaume Paradıs i Pe-legrı Viader, de la Universitat Pompeu Fabra,han rebut el prestigios premi Lester R. Ford,en reconeixement pel seu article On a Seriesof Goldbach and Euler. El premi ha estat ator-gat el 4 d’agost d’enguany per la MathematicalAssociation of America.

L’article tracta, segons paraules del mateixEuler, de la serie numerica que te per sumandsels inversos de les potencies n dels naturals m,disminuıdes en 1, amb m i n prenent tots elsvalors dels naturals mes grans que 1. La sumade la serie es 1.

Segons el mateix Euler, la cosa mes sorpre-nent d’aquesta mena de series seria la possibi-litat de trobar la seva suma, ja que els metodesconeguts fins ara necessiten del terme general ode la llei de continuacio, sense els quals sem-bla obvi que no podem obtenir la seva suma perqualsevol altre metode

Al cor d’aquest article, es troba l’us que

Euler fa de l’infinitament gran i l’infinitamentpetit. La demostracio d’Euler comenca assig-nant un valor a la suma de la serie harmonica,la qual cosa, segons els nostres estandards, hade ser considerat una manera erronia de rao-nar. Els autors mostren com salvar la demos-tracio d’Euler introduint tan pocs canvis comsigui possible i utilitzant aquesta correccio coma pretext per introduir les nocions d’analisi noestandard que es necessiten per donar rigor al’argument. Al mateix temps es mostra tambecom les modificacions necessaries introduıdespermeten una rigoritzacio fent servir tan solsmetodes estandards amb el proposit d’ajudar afer mes entenedors els metodes no estandardsals no especialistes.

El resultat, a mes d’informatiu i entretin-gut es especialment digne de ser llegit a l’anydel 300 aniversari del naixement d’Euler.(Text extret de l’anunci de la Mathematical Asso-ciation of America sobre el premi Lester R. Fordd’enguany.)

Premi SEMA 2007

Resum del treball Les equacions de Navier-Stokes: Un repte per al determinisme Newtonia deXavier Mora que ha rebut el Premi SEMA 2007 a la divulgacio en matematica aplicada. (Ex-tret de la introduccio de Les equacions de Navier-Stockes, Prepublicacions del Departament deMatematiques de la UAB, 41, desembre 2005.)

Un dels aspectes mes valorats de la ciencia esque tot sovint es capac de predir el futur. Perexemple, la mecanica celeste es capac de predireclipsis amb una gran precisio. Mes relacionatamb el tema d’aquesta exposicio es el cas dela meteorologia; en aquest cas no s’aconsegueixtanta precisio i antelacio com es voldria, peroels resultats no deixen de ser apreciables.

En aquests exemples, i en molts altres delmateix estil, la possibilitat de predir l’evoluciofutura es basa a coneixer be l’estat present delsistema i les lleis que en governen l’evolucio.

Matematicament, l’estat d’un sistema es des-criu mitjancant una col.leccio mes o menys grande variables numeriques, i les lleis que governenl’evolucio temporal d’aquestes variables acostu-men a prendre la forma d’equacions diferenci-als. Aquestes equacions especifiquen una relacioque s’ha de complir en cada moment i que de-termina la velocitat de variacio de les diferentsvariables a partir del seu valor en aquell ma-teix moment. En el cas de la mecanica celesteles variables d’estat son les posicions i veloci-tats de desplacament dels diversos astres, i les

38

equacions diferencials en questio venen donadesper les lleis de Newton, a saber, que l’accelera-cio d’un cos es proporcional a la forca a queesta sotmes, i que aquesta forca es pot calcu-lar a partir de les posicions dels diversos astresmitjancant la formula que avui coneixem coma llei de la gravitacio universal.

Doncs be, les equacions de Navier-Stokes noson mes que les equacions diferencials que go-vernen una altra forma de moviment, a saber,el moviment d’un fluid, com ara l’aire o l’ai-gua. De fet, aquestes equacions segueixen ex-pressant la llei de Newton, forca igual a massaper acceleracio, encara que aquı no es conside-ra pas un conjunt finit de partıcules, sino unmaterial continu. Una altra diferencia respec-te a la mecanica celeste es que les equacionsde Navier-Stokes tenen en compte les forces defriccio, les quals actuen en el sentit de frenar elmoviment. En aquesta exposicio ens restringi-rem al cas especial d’un fluid incompressible, esa dir, de densitat constant, que no seria tant elcas de l’aire sino mes aviat el de l’aigua.

Tal com hem dit, s’espera que les equacionsde Navier-Stokes comparteixin amb les equaci-ons de la mecanica celeste la propietat de deter-minar l’evolucio futura a partir de l’estat pre-sent. Doncs be, els problemes apareixen a l’horade donar una demostracio matematica rigorosad’aquesta afirmacio. En el cas de la mecanicaceleste, i moltes altres equacions diferencials, sıque es possible donar tal demostracio. En canvi,les equacions de Navier-Stokes s’hi resisteixenaferrissadament. Malgrat els notables esforcosque s’han fet respecte d’aixo, fins ara no haestat possible donar una demostracio rigorosadel suposat determinisme d’aquelles equacions,ni de l’absencia d’aquest.

Les dificultats que sorgeixen en aquest pro-blema matematic no estan desprovistes de sig-nificat fısic. Ja a finals del segle xix, els experi-mentadors mes acurats havien fet notar que encertes situacions els moviments dels fluids ex-hibien una aparent manca de determinisme. Aaquest fenomen experimental se li va donar elnom de turbulencia, ja que el que s’observa noes gaire diferent del significat ordinari d’aquestterme. D’altra banda, tambe es cert que aquestaaparent manca de determinisme podria ser sen-zillament el resultat d’una precisio insuficienten l’especificacio de l’estat inicial. De fet, avuidia sabem molt be que les solucions exactes d’u-na equacio diferencial poden ser perfectamentdeterministes pero al mateix temps tambe po-den dependre de manera molt sensible de l’es-tat inicial, de manera que a la practica s’ob-servi un comportament aparentment no deter-minista. Vers 1960 els meteorolegs es van ado-nar clarament d’aquesta possibilitat (gracies ala potencia de calcul proporcionada pels ordi-nadors) i anys despres va quedar batejada ambel nom d’efecte papallona.

Doncs be, en relacio amb tot aixo es impor-tant notar que el problema del determinismede les equacions de Navier-Stokes es refereix aquelcom mes greu que un simple efecte papa-llona: pel que sabem fins ara, podria ser que lessolucions matematiques exactes de les equaci-ons de Navier-Stokes ja no estiguessin ben de-terminades! La distincio entre una i altra cosasegurament no es important des d’un punt devista practic, pero sı que ho es per a la cienciacom a eina per entendre el mon.

Aquest treball intenta acostar-se al nuclidel problema des d’una perspectiva el menystecnica possible.

Premi Evariste Galois 2006

La navegacio amb vela solar (solar sailing) con-sisteix a aprofitar l’impuls produıt per la re-flexio de la llum solar sobre una superfıcie al-tament reflectora, anomenada vela solar, pertal de propulsar un satel.lit artificial. Pot sem-blar una idea de novel.la de ciencia ficcio (i hova ser en un primer moment), pero avui diaes tecnologicament factible, motiu pel qual lesagencies espacials subvencionen diversos estu-dis de missions amb aquesta tecnica de propul-

sio. La vela solar presenta com a caracterısticadistintiva el fet que subministra un impuls petitpero indefinit, sense necessitat de consumir captipus de combustible (quımic o electric).

El treball de l’Ariadna Farres, que li va va-ler el Premi Galois de la SCM 2006, te una pri-mera part de descripcio de resultats existents.Comenca per revisar rapidament la fısica ne-cessaria per tal d’introduir els parametres quepermeten modelar la navegacio amb vela solar,

39

que son l’efectivitat de la vela i la seva ori-entacio. A continuacio revisa models existentsper navegacio amb vela al voltant d’un planeta,juntament amb diverses estrategies de control(canvi de l’orientacio de la vela durant el vol).La mes intuıtiva es l’anomenada control on-off:orientant la vela perpendicularment a la llumsolar mentre el satel.lit s’allunya del sol i paral-lelament quan s’apropa, s’aconsegueix convertiruna orbita inicialment el.lıptica en una espiral,que acaba escapant de l’atraccio del planeta. Altreball s’han implementat efectivament aquestaestrategia de control juntament amb d’altres, is’han calculat les corresponents trajectories.

Punts de libracio del RTBP

La novetat del treball radica en el desenvo-lupament i estudi d’un model per a la navega-cio amb vela al voltant dels punts de libraciodel sistema Terra-Lluna. Els punts de libracio,descoberts per Euler i Lagrange, i tambe cone-guts com a punts lagrangians, son els punts d’e-quilibri del problema restringit de tres cossos(RTBP), en el qual

• es descriu el moviment d’un cos de massa ne-gligible (el satel.lit artificial) sota l’atracciogravitatoria de dos cossos massius o primaris(Terra i Lluna),

• se suposa que els primaris descriuen cerclesun al voltant de l’altre, i

• es pren un sistema de coordenades en el qualels primaris estan fixats.

Els punts de libracio es denoten per Li,i = 1, . . . , 5 (vegeu la figura). El mes intuıtiues el punt L1, que hom pot imaginar com elpunt on les atraccions de la Terra i la Llunaes cancel.len. No es exactament aixı perque,a mes de les forces gravitatories, cal conside-rar forces centrıfugues, que son les responsablesde l’existencia dels altres punts de libracio. Siafegim al RTBP l’efecte del Sol, suposant pera ell un moviment circular uniforme al voltantdel baricentre Terra–Lluna, de perıode (aproxi-madament) un mes, obtenim el problema bicir-cular (BCP). Com que aquest model esta go-vernat per un sistema d’equacions diferencialsperiodiques, els punts de libracio passen a sersubstituıts per orbites periodiques.

En aquest treball es desenvolupa el proble-ma bicircular amb vela (BCPS), que afegeix alBCP l’impuls de la vela solar, de manera quepassa a dependre dels parametres de la vela(efectivitat i orientacio). Per a aquest nou mo-del, s’estudia per a quins valors d’efectivitat iorientacio es preserven les orbites periodiquessubstitutes dels punts de libracio, mitjancanttecniques de continuacio numerica, partint deles corresponents orbites periodiques del BCP.Tambe s’estudia l’estabilitat d’aquestes orbites.

Aquest treball constitueix un nou pas enla lınia d’aplicacio de la teoria de sistemesdinamics al disseny de missions espacials apunts de libracio, que va ser introduıda per Car-les Simo els anys vuitanta, i en la qual treba-llen diversos investigadors dels grups de siste-mes dinamics de Barcelona.

Josep M. MondeloUAB

Premi Evariste Galois 2007CHn: l’espai, els convexos i l’infinit

Un dels problemes classics de la geometria haestat estudiar la relacio entre l’area d’una figuradel pla i el perımetre de la corba que la tanca.Per exemple, fixada la longitud del perımetrequina es la figura amb area mes gran que potenvoltar? Aquest es el classic problema isope-

rimetric i, al pla, te el cercle com a solucio. Sien lloc de pensar al pla pensem a l’espai llavorsens podem preguntar per la relacio entre el vo-lum d’un cos i l’area que el tanca. Novamentl’esfera dona solucio a aquesta questio.

Un altre problema d’aquest tipus, tambe

40

molt estudiat, es quin valor pren el quociententre l’area i el perımetre per a successions defigures convexes del pla que creixen tendint aomplir-lo. En el pla euclidia ordinari es facilveure que aquest valor es infinit. Es a dir, l’areacreix molt mes de pressa que el perımetre. Perexemple, per a un cercle de radi r tenim quel’area es πr2 i el perımetre 2πr, llavors el quo-cient tendeix a infinit com ho fa el radi. Arabe, hi ha altres geometries (no euclidianes) pera les quals l’anterior lımit no es infinit.

Una d’aquestes geometries es la hiperbolica.El pla hiperbolic es un espai en el qual no escompleix el cinque postulat d’Euclides, es a dir,donada una recta i un punt exterior hi ha mesd’una recta que passa pel punt i que es paral.lelaa la recta donada. El comportament del quoci-ent area/perımetre al pla hiperbolic va ser estu-diat l’any 1971 per Lluıs A. Santalo i I. Yanez(Averages for polygons formed by random li-nes in Euclidean and hyperbolic planes, J.Appl. Probability, num. 9 (1972), p. 140–157.)que van demostrar que per a cercles i altres con-vexos prou bons el quocient tendeix a 1.

En el treball de la Judit Abardia, que li havalgut el Premi Galois de la SCM del 2007, s’es-tudia la relacio entre el volum i l’area d’un cosa l’espai hiperbolic complex.

L’espai hiperbolic complex es l’espai ambcurvatura negativa mes senzill despres de l’es-pai hiperbolic real. Si te dimensio complexa n(i, per tant, dimensio real 2n) el denotarem perCHn. Des del punt de vista de la geometriacomplexa, es a dir, pensant-lo com a varietatcomplexa i no com a varietat real, te curvatu-ra constant. Es diu que te curvatura holomorfaconstant.

Per tal de comprendre’l millor se n’estudienen aquest treball diferents models, la qual cosaens dona una visio mes geometrica, que permetestudiar de manera senzilla les seves propietatsi les dels seus objectes, com per exemple quinaspecte tenen les hipersuperfıcies i els convexos.

Com a curiositat de l’espai hiperbolic com-plex destaquem que les esferes no tenen totesles curvatures principals iguals, cosa que ensdiu que situats en un punt d’una esfera d’a-quest espai la veurıem corbada diferent segonscap a quina direccio miressim.

Un dels principals resultats del treball de laJudit Abardia fa referencia als valors que potprendre en el lımit el quocient volum/area en elcas de l’espai hiperbolic complex CHn (aquestsempre sera inferior a 1/2n si la curvatura ho-lomorfa es −4). Concretament:

Teorema Sigui Ω(t)t∈R+ una famılia de do-minis compactes λ-convexos que tendeixin aomplir tot l’espai CHn. Denotem per vol(Ω(t))el volum de Ω(t) i per vol(∂Ω(t)) el volum(area) de la seva vora. Llavors

λ

4n≤ lim inf

t→∞

vol(Ω(t))vol(∂Ω(t))

≤

lim supt→∞

vol(Ω(t))vol(∂Ω(t))

≤ 12n

.

Aquest resultat millora a CHn l’obtingutper A. A. Borisenko, E. Gallego i A. Reventos(Relation between area and volume for λ-con-vex sets in Hadamard manifolds, DifferentialGeom. Appl., num. 14 (2001), p. 267–280, ) pera varietats de Hadamard.

El concepte de λ-convexitat generalitzal’habitual de convexitat (quan λ = 0 estem par-lant de convexos). Controla la curvatura de lavora dels conjunts que es consideren.

Tambe demostra que la cota superior quees dona en aquest teorema es la millor possible.En efecte, a partir de les esferes i els cilindres deCHn defineix diverses successions de convexosque tendeixen a omplir tot l’espai i que tenenaquest valor com a lımit.

Felicitem la Judit pel seu magnıfic treball il’encoratgem a continuar treballant en aquestalınia.

Agustı ReventosUAB

41

Parlem de llibres

Literatura i matematiques

Literatura i ciencia: un acostamentInstitut d’Estudis Catalans, Barcelona, 26 i 27 de maig de 2000

Fa uns quants anys, concretament el 2000, vaig pronunciar una conferencia a la trobada Literatura imatematiques, que va tenir lloc a l’IEC en ocasio de l’Any Mundial de les Matematiques. Amb l’anim derecuperar les reflexions fetes en aquella ocasio i de fer-les extensives als socis de la SCM, he refet, retocat iactualitzat el text de la meva exposicio de fa ja set anys. Podeu llegir-lo tot seguit.

M’omple d’orgull i satisfaccio poder parlar deliteratura —de novel.la— en aquest temps enque la confusio sembla regnar entre els qui te-nen la responsabilitat tecnopolıtica d’organit-zar els continguts dels ensenyaments basics deles nostres noies i dels nostres nois. Alhora m’a-vergonyeix perque que puc dir, inexpert comsoc en aquest camp, que ja no hagi estat dit,i molt millor, per d’altres mes ben preparats idocumentats?

Una cosa, pero, sı que puc afirmar amb ro-tunditat, certesa i serenitat. Si no fos per la no-vel.la, sedentari de mi, mai no hauria anat ambel capita Ahab a la caca de la balena blanca, nihauria baixat al Centre de la Terra, ni tampochauria pogut presenciar les croades al costatdel rei Cor de Lleo. Com podria haver sentit, lameva pell, el fred terrible, indescriptible, de l’hi-vern a l’estepa russa quan vaig acompanyar elsexercits de Napoleo, o l’horror dels bombarde-jos amb fosfor sobre Dresde, si no hagues cone-gut la freulain de Berlın? No hauria pogut viurel’angoixa del criminal quan el rosega per dinsel penediment i el remordiment. O be, homecom soc, com hauria pogut entendre mai la So-litud de la noia de la plana que es perd, en totsels sentits de la paraula, en la negror dels corsdels homes ferestecs que viuen en l’aıllament dela muntanya, l’angoixa de Laura, menyspreada,calumniada, criticada pels murmuris i les male-dicencies de les gents mesquines de la capitald’Osona, o la desesperacio d’Anna, que, cega-ment enamorada, ho arrisca tot pel seu amor iperd la posicio, el marit, el fill, i l’amant i, sen-se cap altra sortida, la vida? Mai no hauria po-gut participar en les discusions teologiques quevan mantenir els franciscans i els benedictins al’Abadia mentre, a poc a poc, els frares ana-ven morint en circumstancies estranyes, ni enla construccio de les catedrals, al comencament

del gotic, ni al naixement dels burgs que es for-maven a la seva empara. Qui m’hauria deixatentrar al serveis secrets britanics per tal de con-tribuir a descobrir un talp o, fent brillants de-duccions logiques, amb Sherlock i Watson, atra-par criminals perillosos, tot filosofant amb elpare Brown? M’hauria estat totalment impossi-ble viure, durant el segle xiv, el creixement capa la Ribera de la Barcelona medieval, i la cons-truccio de la catedral popular, Santa Maria delMar, o la Barcelona, ja mes propera, de la febred’or i la de sa Senyoria. I encara molt mes difıcilhauria estat poder coneixer mes d’aprop l’Ale-xandria il.luminada pel far, simple reflex pal.lidde la llum intel.lectual del seus homes d’estudii recerca, viure l’ocas de l’Imperi roma, parti-cipar dels pensaments d’emperadors com Adriao Marc Aureli, conviure amb Avicena, o ambUmar Khayyam, les peripecies polıtiques, religi-oses, cientıfiques, i culturals de l’islam, recorrerla quotidianitat del carrer dels miracles del Cai-re, ple de miseria humana. Haver descobert l’a-varıcia, l’ansia de poder, el desig de venjanca,cavalcat per les terres de la penınsula Ibericacom un foll, sempre pero amb la veu sincerai senzilla del que toca de peus a terra. Compodria lluitar davant les muralles d’una ciutatinvencible, convencut que, malgrat ser mortal,sobreviuria i un cop acabada la comtessa, benprotegit amb les armes que facilita l’astucia, re-tornar per fi a casa, on m’esperen la dona i elfill, segrestats pels cobdiciosos. En definitiva,mai no hauria pogut viure la vida d’una gei-sha, rellegir la vida de Jesucrist, endinsar-meen l’India de l’emancipacio de la dominacio an-glesa, viure les vivencies d’escriptors, pintors,musics, etc. Assistir a l’incendi d’un bosc, o dela selva, a l’erupcio d’un vulca, a una matanca,coneixer els habitants d’altres planetes, conviu-re amb els amish, passejar per Venecia o Sicılia

42

de la ma de bons policies, parlar amb els ca-valls, enamorar-me a Africa, tot descobrint elque s’amaga en el seu subsol i tambe en la mes-quinesa dels bufets d’advocats anglesos, i tantesi tantes altres experiencies que em fora del totimpossible d’enumerar i que, sense la novel.la,m’haurien estat totalment vetades.

Nomes la novel.la —aquest escrit, gene-ralment en prosa i d’una llargaria considera-ble, destinat a delectar el lector amb narraci-ons d’aventures heroiques —relacionades ambla historia o inventades— o be amb descrip-cions de fets, d’accions i de caracters que vo-len, o no, representar la vida real, com diu eldiccionari—, m’ha permes viure, sentir, pensar,creure, enganyar, odiar, matar, pagar amb elpreu de la preso, o amb el del remordiment, es-timar, apassionar-me, patir, plorar, a voltes, devegades, riure, construir, destruir, enviar homesa la mort. . . , en mi mateix, a la meva propiacarn, en el meu pensament, amb els meus sen-timents quan, de fet, res de tot allo no em per-tanyia pas realment. M’era alie, pero la novel.lai l’encert, mes o menys brillant, del novel.listame n’han fet partıcep.

Es per aquestes raons, molt pobres i moltpersonals, ben certament, i no pas per cap al-tra, que defenso aquı publicament, en ocasio del’Any Mundial de les Matematiques, amb veualta, forta i segura, la necessitat de la novel.la,en general, i de la novel.la cientıfica, en parti-cular.

M’agradaria explicar-me una mica mes. Laciencia la podem coneixer, tot estudiant-la.Aixo limita el coneixement de la ciencia a unapart, normalment molt reduıda, i limita els quipoden atansar-s’hi. Nomes ho aconsegueixen,cada un segons les seves capacitats i possibi-litats, els cientıfics, que s’hi poden apropar atraves dels textos cientıfics —i, en particular,a traves dels articles especialitzats. La resta enqueda exclosa pel tecnicisme que cada una deles branques de la ciencia desenvolupa. Es fins itot difıcil que un cientıfic, especialitzat en unabranca —i, a voltes, en un branquillo—, puguiapropar-se amb rigor i serietat cientıfica a d’al-tres branquillons, branques, o a d’altres arbres.Avui no podem esperar que el projecte de Des-cartes —el coneixement es u i singular— siguiaplicable en l’ambit de la ciencia.

Tanmateix podem ampliar l’espectre delsnostres coneixements cientıfics, no especialit-

zats, amb la lectura de textos de divulga-cio, de crıtica, o d’epistemologia del coneixe-ment cientıfic. Obren un ventall de possibilitats—cosa que amplia l’horitzo— alhora que, na-turalment, limiten la profunditat del coneixe-ment. Cal recorrer a una exposicio global, ales intuıcions primordials, als resultats concrets,tot evitant els tecnicismes que farien la lecturaincomprensible. Son lectures limitades, pero, auna petita munio de lectors possibles. Cal unacerta qualificacio i un cert tipus d’interessosmolt concrets per tal de realitzar l’esforc que,malgrat la seva pretesa simplicitat, presenten.

Aquestes dues menes de literatura ci-entıfica, per apassionants que siguin, no per-meten sentir el batec vital de la ciencia i delscientıfics al public culte, en general. A molts elsespanten i, moltes vegades, amb rao. A d’altresels semblen massa tecniques i, per aixo mateix,poc interessants. I encara a uns altres els sem-bla que l’esforc que representa la seva lectura icomprensio no queda justificat pel coneixementque els aporta.

Nomes queda, doncs, un camı per poderparlar de ciencia i de cientıfics, per poder sentirel batec viu de la recerca cientıfica, per poderviure els moments de gloria del cientıfic i l’an-goixa que li proporciona el seu treball, per cop-sar el flash de la intuıcio, compartir la rutinaquotidiana de llur tasca, la gresca dels congres-sos, la serenor de les lectures en els seminaris es-pecialitzats, i tantes i tantes experiencies que nosoc capac de glossar. Aquest camı —aquesta esla meva tesi— nomes el pot donar —i, sincera-ment, crec que el dona— la novel.la cientıfica. Sies una bona novel.la, fara viure, permetra parti-cipar, deixara sentir l’experiencia cientıfica mesenlla de l’experiencia cientıfica en ella mateixa,de la mateixa manera que ens permet partici-par en una justa de Deu en defensa del pro-pi honor, o del blaso familiar, ens permet ferla volta al mon amb vuitanta dies, en globus,per mar, en tren, muntats damunt d’un elefant,ens permet sentir l’angoixa i la solitud del ju-gador empedreıt, ens permet fer un jo acuso,quan la justıcia militar per tal de mantenir moltalt el pendo de la gloria i del poder davant lespotencies estrangeres condemna un innocent i,un cop coneguda la injustıcia comesa, es manteimperterrita, son tretze, i tantes i tantes altresexperiencies.

* * *

43

Des de fa uns quants anys, la literatura ci-entıfica, no especialitzada —la literatura de di-vulgacio cientıfica, en el sentit mes ampli de laparaula—, ha crescut forca i, gracies a les tra-duccions castellanes i catalanes, ens hi hem po-gut apropar sense haver de fer l’esforc afegit dellegir en una llengua forana a la nostra cultu-ra mes immediata. Dissortadament les traduc-cions catalanes, en aquest camp, son molt mesescadusseres i cal buscar-les amb lupa. A mes,permeteu-me aquesta disgressio, es molt difıcilcomprendre els criteris de sel.leccio seguits a l’-hora de prendre la decisio de traduir un text irebutjar la traduccio d’un altre text.

Ara, limitant-me a la matematica, esmen-tare algunes obres que m’han semblant atracti-ves, instructives i originals, encara que no totesamb el mateix nivell ni tampoc amb la mateixaagilitat expositiva.Oskar Becker Magnitudes i lımites del pensami-ento matematico. Rialp. Madrid, 1966.Alfred Renyi Dialogues on Mathematics. 1 Hol-den-Day. San Francisco, 1967.Philip J. Davis–Reuben Hersh Experiencia ma-tematica. Labor, Barcelona 1988.Jean Diuedonne En honor del espıritu humano.Alianza. Madrid, 1989.John Allen Paulos El hombre anumerico.2 Tus-quets. Barcelona, 1990.Serge Lang El placer estetico de las matemati-cas.3 Alianza. Madrid, 1992.

Dava Sobel La longitud .4 Edicions 62. Barcelo-na, 1995.Dava Sobel La hija de Galileo.5 Debate. Ma-drid, 1999.Ian Stewart De aquı a l’infinito.6 Drakontos.Crıtica. Grijalbo Mondadori. Barcelona, 1998.John L. Casti El quinteto de Cambridge.7 Tau-rus. Madrid, 1998.John L. Casti Paradigmes perduts.8 Universitatde les Illes Balears. Palma 1995.Simon Singh L’enigma de Fermat .9 Edicions 62.Barcelona, 1998.Simon Singh Codigos secretos.10 Debate. Ma-drid, 1999.Michael Guillen Cinco ecuaciones que cambiaronel mundo.11 Debate. Madrid, 1999.David Bodanis E = mc2.12 Planeta. Barcelona,2002.Martin Davis La Computadora Universal: DeLeibniz a Turing .13 Debate. Madrid, 2002. Edi-torial Planeta. Barcelona, 2002.Marcus de Sautoy The Music of Primes.14 FourState. Cambridge, 2003.

En cada una d’elles, amb mes o menys habi-litat i encert, se’ns ofereixen lectures prou ente-nedores de certs fets i resultats matematics, ointerpretacions epistemologiques d’aquests re-sultats. En algunes, la presentacio es mes tec-nica; en d’altres, se’ns presenta una menad’historia de l’evolucio d’un resultat concret odel pensament matematic, en general, inten-tant d’apropar-nos a les matematiques, la seves

1Es un text excel.lent. Dos d’aquests dialegs han estat traduıts al catala per Josep Maria Font al Butlletı de laSocietat Catalana de Matematiques, IEC, Barcelona.

2Fa anys, quan va sortir en castella, en vaig fer una ressenya a El Paıs.3La primera conferencia es una petita joia.4D’una gran qualitat periodıstica.5D’una gran sensibilitat.6Un classic de la divulgacio de temes matematics mes o menys actuals i amb poca connexio entre ells, pero exposat

amb molta claredat.7Un intent interessant de fer dialogar personatges amb interessos diferents a la recerca d’un objectiu comu. De fet

es una expoisicio novel.lada.8Un intent per fer-nos reflexionar. Es de la mena de textos que plaıen Nadal Batle.9Qui no vol saber quelcom del teorema darrer de Fermat? Aquest periodista cientıfic fa un apropament a partir

dels guions que va fer quan intenta de divulgar-lo a la bbc.10El considero un text de divulgacio cientıfica en el sentit ampli de la paraula, modelic i execel.lent.11Un intent difıcil, no massa reeixit.12Una visio historica i evolutiva del problema, molt adequat per a una primera aproximacio.13D’interes per als que vulguin aproximar-se a l’evolucio conceptual que va del llenguatge universal a la maquina

de Turing. Escrit amb molta claredat per un dels especialistes mes notables de computacio teorica, des del vessantlogic, dels anys 1960–1970.

14Nomes en puc dir una cosa: excel.lent. Quan en vaig parlar amb els meus amics de la UPF, Joan Miralles, JaumeParadıs i Pelegrı Viader, i vaig comentar que havia proposat a l’Editorial Rubes que el traduıs sense que la mevaproposta trobes resso, en Joan va prendre el repte pel seu compte i, pel que se, es a punt de sortir la traducciocastellana que n’ha fet. En recomano la lectura. Si tot va be, en fare una ressenya mes extensa al Parlem de Llibresdel proper numero de la SCM/Notıcies.

44

tecniques, els seus resultats, les seves especta-tives, etc.; en d’altres, la presentacio s’apropames a una exposicio novel.lada.

Tambe trobem alguns textos que hem deconsiderar com a contes de la vora del foc, peroque tenen l’objectiu d’apropar-nos a la mate-matica, fent-nos-la tan simpatica i entenedo-ra com sigui possible. En aquesta col.leccio, elnombre de tıtols es molt mes escas:George Gamow-M. Stern Jeux mathematiques.15

Dunod. Parıs, 1966.Malba Tahan L’home que calculava.16 VeronEditor. Barcelona, 1972.Hans Magnus Enzensberger El dimoni dels nom-bres.17 Barcanova-Siruela. Barcelona, 1997.

De fet, son entreteniments, divertimentos,adrecats a escolars i adolescents. En general,s’allunyen de la complexitat —de l’entramat,de la xarxa interna— del fet matematic. En capcas, no tenen la profunditat dels textos serio-sos de divulgacio, ni la complexitat psicologicadels personatges, ni la riquesa d’aventures quees propia de la novel.la. Vull pensar que son unxic fal.lacos, en el sentit que volen fer atracti-va la matematica a un lector que, de fet, no envol saber res, ni quan es atractiva. Pero, potser,m’erro en aquesta consideracio.

Finalment, disposem d’alguns intents de fernovel.les cientıfiques, en l’ambit del fet ma-tematic, entesa amb tota la seva extensio:Arturo Azuela El matematico. Consejo Superi-or de Investigaciones Cientıficas. Seminario decultura mexicana. Madrid, 1993.Josep Pla i Carrera Damunt les espatlles dels ge-gants.18 La Magrana. Barcelona, 1998.Jorge Volpi En busca de Klingsor . Seix Barral.Barcelona, 1999.Denis Guedj El teorema del lloro. Barcelona,2000.Doxiadis El tıo Petros y la conjetura de Gold-bach. Tiempos Modernos. Barcelona, 2000.

Juan Carlos Arce El matematico del rey . Plane-ta. Barcelona, 2000.Carles Quadras Report: Una narracio cientıfica.EUB. Barcelona, 2003.Guillermo Martınez Els crims d’Oxford . Colum-na. Barcelona, 2004.Catherine Shaw La Incognita de Newton. Roca.Barcelona, 2006.

Em fixare nomes en tres d’aquests tıtols.19

El primer, El teorema del lloro, a banda de laquantitat d’informacio que conte —vol ser unahistoria breu de la matematica— no la consi-dero, en absolut, una novel.la, com tampoc novaig considerar que ho fos El mon de Sofia. Elllibre, entes com una novel.la, no te ritme. Elsseus personatges no tenen profunditat. Son unsimple pretext per entabanar, de manera apa-rentment atractiva, una exposicio historica dela matematica. Si aquesta exposicio no es, enella mateixa, atractiva, el llibre perd tot el suc,tota la gracia. Tanmateix pot ser util per a pro-fessors de matematiques d’ESO i de batxille-rat i, ben orientat, fins i tot per a estudiantsde primer curs d’universitat. En cap cas, pero,no aconsellaria ningu que el llegıs d’una tirada,com si realment es tractes d’una novel.la.

El segon llibre que vull comentar es En bus-ca de Klingsor ,20 malgrat que esta escrita encastella i no es propiament una novel.la de ma-tematica i de matematics, sino mes aviat defısica i de fısics, sobretot de fısics. Es un in-tent de fer una novel.la que s’insereix en el mondels cientıfics. El final em sembla fluix, per nodir absolutament previsible i inconnex amb laresta. Aixo no obstant, de la ma del jove tinentnord-america, l’autor ens porta a coneixer totsi cada un dels fısics mes importants de l’epocade l’Alemanya nazi, i d’alguns matematics re-llevants d’aquell moment. Intenta tambe, inte-grant’ho com un tot, en l’accio de la novel.la,exposar les teories fısiques desenvolupades per

15Problemes exposats en forma de contes. Avui ja es un classic.16En la lınia de l’anterior.17Fa una aproximacio que no considero gens aconsellable: presenta les questions matematiques com a inconnexes

fins i tot quan en podria mostrar la connexio. Ja en vaig fer una ressenya al Notıcies, em sembla.18Premi de Literatura Cientıfica 1998.19Del darrer, el de Catherine Shaw, introduıt en aquesta ocasio, en refer la conferencia de l’any 2000, en podeu

veure la ressenya de Montgomery.Fora d’interes, des del punt de vista de l’analisi d’una novel.la i el seu vincle amb el fet cientıfic real comparar

les dues darreres, totes dues de lladres i serenos —com en deiem a casa dels pares quan era petit—, totes dues enuniversitats angleses de prestigi, i totes dues de ficcio. La primera de ficcio total i la segona de ficcio basada en unfet historic.

20En ocasio de la seva estada a Barcelona l’any 2000, en vaig fer una presentacio a la Facultat de Matematiquesde la UB.

45

cada un d’ells, fugint potser una mica massa del’explicacio cientıfica rigorosa. A vegades, na-turalment, aquesta integracio resulta forcada,pero l’autor es prou habil perque lligui amb elcontext.

La darrera, L’oncle Petros i la conjectura deGoldbach es dins de l’ambit de la novel.la cien-tıfica, una petita joia. Ens permet viure la vidad’un matematic fictici, el tıo Petros, i, a mes,ens apropa, tant com es possible dins d’una no-vel.la pensada precisament com una novel.la, ala recerca matematica del tıo Petros, a la d’al-tres matematics que no son el tıo Petros, a lesdificultats amb que es troba un investigador enmatematiques, a les excuses i justificacions quefabrica —o que podria fabricar— per justificarels seus fracassos i frustracions. Te profundi-tat psicologica i constitueix una petita apro-ximacio —molt petita, es clar— a l’aritmeticai a l’existencia de dues tecniques, l’analıtica ila classica o de tipus algebric. Es una novel.laque conte ciencia. Es una bona opcio per a unmatematic que desitja apropar-se al public mesampli possible. Exposa els fets sense trair, pera res, l’esperit de la matematica. Descriu situ-acions, apunta problemes, fa viure angoixes iexits.

Quan vaig haver de publicar Damunt deles espatlles dels gegants, l’editor em va impo-sar una condicio sine qua non, una limitacioforca cruel, que mutilava, al meu entendre, launitat de la novel.la i, en gran part, l’objectiupel qual havia estat escrita, a banda de disfru-tar jo mateix fent-la. L’Addenda per als ma-tematicament mes curiosos s’havia de supri-mir. Contenia formules. Valga’m Deu. Era untext matematic! No podia formar part d’unanovel.la! Si contenia formules, no era una no-vel.la. Era un text de divulgacio cientıfica. Crecque s’equivocava del tot. Crec que no va enten-dre res de res. Si mes no, no en va entendrel’esperit. L’apendix contenia el discurs del vellprofessor, un discurs que havia estat el leitmo-tiv dels seus records, un discurs que justificavael fet de repassar la vida del jove geni frances.En suprimir-lo, es matava el paral.lelisme que esvolia crear entre el vell professor, gris, i el joveinvestigador, tot foc. A mes, contenia dos tex-tos d’Evariste Galois, escrits des de la preso de

Saint Pelagie, que constituıen la pedra de toc dela seva rabia i frustracio, rabia contra els pro-homs de la matematica de la Franca de la sevaepoca, la Restauracio, i frustracio pels seus pro-pis fracassos, rabia i frustracio matematiquesque no eren, en absolut, alienes a la crisi depersonalitat que l’havien de portar a la situaciode desesperacio total i al duel. Seria interessantveure que hi ha de comu entre aquest final i eldel tıo Petros.

Tambe vull reivindicar el dret, i la necessi-tat, de fer novel.les cientıfiques que continguinvides de cientıfics, amb la seva personalitat ipsicologia, fets cientıfics acompanyats de les ex-plicacions cientıfiques, amb teoremes, i que almateix temps exposin les frustracions dels ci-entıfics i les limitacions de les matematiques.Els continguts cientıfics seran elementals, peroels continguts vitals i les aventures viscudes notenen per que ser-ho. Tindran la riquesa que laimaginacio de l’escriptor sigui capac de propor-cionar, la mateixa que puguin tenir les novel.lesque tracten d’altres questions i expliquen d’al-tres histories. Seran nadons de ciencia, pero po-den ser homes i dones fets i drets com a novel-les. Si l’autor es habil, com Doxiadis, es possibleaconseguir una bona, forca bona, novel.la sobrematematics i matematiques. He llegit novel.lesmolt pitjors que aquesta i, en canvi, molt mesconegudes.

El periodista Schwarz explicava l’altre diaen fer la presentacio d’El Tıo Petros y la conje-tura de Goldbach: Con un tıtulo como este ycon un escritor griego pense que no valıa la penaprestarle atencion alguna. Sin embargo, cuan-do un amigo de confianza me dijo que valıa lapena leerla y, haciendole caso, me puse a leerla,ya no la pude dejar.

Tant de bo fossim capacos —hi ha d’haverde tot a la vinya del Senyor— de fer arribar lanostra manera d’entendre la vida, la nostra tas-ca, els nostres esforcos, els nostre treball callati constant —potser no assagen els musics, noentrenen els esportistes—, els nostres exits i lesnostres frustracions a tota la societat a travesde novel.les —jo en dic novel.les cientıfiques,pero el nom es redundant— d’una certa qua-litat.

Josep Pla i Carrera2000, Any Mundial de les Matematiques

UB

46

Volum III i IV de Conferencies FME

La Facultat de Matematiques i Estadıstica vatrobar adient dedicar el curs 2005–2006 a CarlFriedrich Gauss (1777–1855) i el curs 2006–2007 a Leonhard Euler (1707–1783). Com enels dos cursos precedents (el 2003–2004 fou de-dicat a H. Poincare i el 2004–2005 a A. Ein-stein), aquestes iniciatives expressaven el desigi la voluntat de la FME de commemorar figureshistoriques cabdals i de celebrar les repercussi-ons de les seves idees des del seu temps fins al’actualitat.

Ara, a mes dels materials accessibles a tra-ves del web, la FME ha publicat sengles recullsen paper de les conferencies del curs Gauss i delcurs Euler. S’afegeixen aixı un volum Gauss i unvolum Euler als volums Poincare i Einstein delscursos anteriors.

En el volum Gauss es recullen catorzeconferencies, de les quals deu fan referenciaexplıcita a alguns aspectes de la vida i obrade Gauss. Aquestes deu conferencies, disposa-des segons l’ordre temporal d’imparticio, con-figuren una primera part del volum. La sego-na part del volum esta constituıda per qua-tre altres conferencies impartides durant el cursGauss i tambe disposades seguint l’ordre tem-poral d’imparticio.

El primer article dels deu dedicats a Gausscorrespon a la llico inaugural del curs Gauss,impartida per Pere Pascual Gainza el 14 desetembre de 2005 Geometria de superfıcies,una aproximacio a la figura de Gauss. El se-gon, corresponent a la conferencia del 8 de fe-brer de 2006, es l’article de M. Santander sobreles contribucions de Gauss a la fısica. A con-tinuacio venen els articles corresponents a lesconferencies de la Jornada Gauss, celebrada el15 de febrer de 2006: articles de Karin ReichJohann Carl Friedrich Gauss, Pilar BayerLes disquisicions aritmetiques de Gauss, Pi-lar Ibarrola Gauss y la estadıstica, AgustıReventos Gauss i la geometria i Joan C. La-rio Gauss i els polıgons; despres l’article de’nJosep Pla corresponent a la conferencia que vaimpartir el 15 de marc de 2006 sobre el teore-ma fonamental de l’algebra i finalment l’article

de Carles Simo De la mecanica celeste als sis-temes dinamics: un camı d’anar i tornar cor-responent a la conferencia de cloenda del cursGauss el 17 de maig de 2006.

Dels quatre articles que constitueixen la se-gona part, els dos primers corresponen a la ses-sio del 9 de novembre de 2005 —inclosa en lesactivitats de la Setmana de la Ciencia— sobrerelacions creatives entre la fısica i la geome-tria, a carrec de Yuri Kubishin i Ignasi Mun-det, i presentada per S. Xambo. A continua-cio ve l’article de Juan J. Morales Hamiltony la Teorıa de Galois, el qual correspon a laconferencia que va impartir el 3 de marc de2006 per commemorar el bicentenari del naixe-ment de William Rowan Hamilton (4 d’agost de1805 – 2 de setembre 1865). Finalment incloemun article de Vicente Munoz La conjetura delrango toral, el qual correspon a la conferenciaque va impartir l’11 de maig de 2006.

Pel que fa al volum sobre Euler, el primerarticle correspon a la llico inaugural del curs,el 20 de setembre de 2006, a carrec d’EnricFossas Leonhard Euler: quatre llicons esco-llides. El segueixen els cinc articles correspo-nents a la Jornada Euler, celebrada el 14 defebrer de 2007: Antonio Duran Euler y losinfinitos–grandes y pequenos, Juan M. R. Par-rondo Sortis in ludis: de la paradoja de SanPetersburgo a la teorıa de la utilidad, Fernan-do Chamizo Euler y la teorıa de numeros,Joan Sola-Morales Les equacions d’Euler delsfluids no viscosos i Joaquim Bruna Euler,series i funcio zeta de Riemann. Continua ambun article de Joachim von Below ¿Se puede oirla forma de una red?, corresponent a la con-ferencia que va impartir el 24 de maig de 2007,i amb l’article de Josep M. Brunat Euler: ide-es seminals en combinatoria corresponent ala conferencia de cloenda del curs Euler que esva celebrar el dia 20 de juny de 2007. El vo-lum acaba amb un article de Josep Pla, queno correspon a cap conferencia impartida a laFME, sino a la seva darrera llico com a profes-sor ordinari de la Facultat de Matematiques dela Universitat de Barcelona.

Sebastia XamboUPC

47

Webs de matematiques

Mathematics genealogy project

No teniu curiositat per saber qui son els vos-tres avantpassats matematics? Per definicio, unavantpassat matematic teu es algu que esta enlınia directa per sobre teu respecte a la relacioser director de tesi de. Es a dir, si comenceua tirar amunt, el director del director del vostredirector, etc., podeu anar tan endarrere com hihagi registres de qui son els directors. Aquestatasca, que en altra epoca hauria estat una recer-ca molt feixuga, avui dia es perfectament possi-ble gracies a la base de dades del MathematicsGenealogy Project, que podeu trobar a l’adrecahttp://www.genealogy.ams.org. La feina va seriniciada per Harry B. Coonce, un professor dela Universitat Estatal de Minnesota a Mankato,que volia saber qui era el director del seu direc-tor. L’any 2002, i despres de la seva jubilacio,el projecte es trasllada a la Universitat Esta-tal de Dakota del Nord, on encara es conservaun mirror. Davant del creixement del projecte ide l’interes que la comunitat matematica hi de-dica, l’American Mathematical Society se n’hafet carrec des del 2003, i des del 2005 comptaamb un ajut economic del Clay MathematicsInstitute.

Es forca curios posar el nas dins la base dedades i comencar a descobrir qui era directorde qui. Per exemple, sabıeu que el Klein va te-nir dos directors? (Plucker i Lipschitz). I queel director del Hilbert era el Lindemann (queva demostrar la transcendencia de π)? I que eldirector de la tesi de l’Euler va ser el JohannBernoulli, a qui va dirigir el seu germa Jakob?Aquests fets es poden comprovar a la base dedades del Mathematics Genealogy Project.

Si teniu curiositat, i una mica de sort, podeubuscar els vostres avantpassats fins, per exem-ple, en Leibniz, la tesi del qual va ser dirigi-da per en Weigel (per cert, a jutjar pel tıtol,Disputatio Inauguralis De Casibus Perplexis In

Jure, no esta clar ni tan sols que fos de ma-tematiques). Potser us sembla difıcil que enLeibniz figuri entre els vostres avantpassats ma-tematics. No ho es tant, de les 111.063 personesque hi ha a la base de dades, 44.738 son descen-dents d’en Leibniz, es a dir, mes del 40 %. I esque si sou capacos de fer anar el vostre llinatgematematic fins al segle xvii, amb gran probabi-litat us sortira en Leibniz o algu altre tan famoscom ell perque, ben mirat, no es que en aquellaepoca hi hagues massa matematics. . .

Si busqueu un nom actual conegut, com perexemple en Terence Tao (un dels ultims medallaFields), trobareu una bona llista de matematicsfamosos, sense ordre particular perque a l’arbrehi ha diverses bifurcacions: Zygmund, Hilbert,Lindemann, Klein, Plucker, Gauss, Pfaff, Lipsc-hitz, Poisson, Fourier, Lagrange, els Bernoulli,Leibniz. . . Tots aquests matematics son avant-passats d’en Tao. Potser si us busqueu tindreula mateixa sort!

I, evidentment, com sol passar amb totesaquestes bases de dades creades i mantingudesa la xarxa, sou els mateixos interessats els quiheu d’aportar les vostres dades. Si el vostre nomno hi surt, o si hi ha algun error o incorreccio,a la mateixa web hi trobareu el formulari perdemanar que us hi incloguin, o que actualitzinles vostres dades.

Finalment, si us passegeu pel web del Mat-hematics Genealogy Project, observareu que ala vora del nom de la universitat on vau lle-gir la vostra tesi hi surt una petita bande-ra del paıs on pertany. Per defecte, les uni-versitats catalanes tenen associada la bande-ra espanyola. Si hi esteu interessats, podeuenviar un missatge al director del projecte,harry.coonce@ndsu.nodak.edu, i demanar que usla canviı per la senyera catalana. Cal fer paıs!

Josep BurilloUPC

48

Problemes

La seccio de problemes del SCM/Notıcies torna, i aquesta vegada amb molt de material! Delsproblemes proposats a numeros anteriors n’hem rebut forca solucions, cosa que posa de manifestla diversitat d’enfocaments amb que pot ser atacat un mateix problema. Lamentablement, l’espaies curt i nomes en podem publicar una de cadascun dels problemes resolts.

Naturalment, tot i aixo, hem de fer public i amb veu ben alta el nostre agraıment a tots els quicol.laboren, sigui per les treballadıssimes solucions que ens han enviat, sigui per les seves aportacionsen forma de nous enunciats. Cal fer notar que, a mes, un petit grup d’estudiants de matematiquescomenca a treure el cap amb molta forca en aquesta seccio.

Mencionem el professor Joaquim Nadal Vidal, que ens soluciona el difıcil problema A65, ensaporta una altra solucio de l’A68, molt mes senzilla que les publicades fins ara, i resol finalment elproblema A72, a mes de fer-ho per als A73 i A74.

Un tandem brillant, els estudiants Xavi Ros i Hugo Fernandez, van mes enlla d’allo que demanael problema A73 i demostren la validesa de l’enunciat en condicions molt menys restrictives quela que s’hi imposava! El primer d’ells, a mes, ens forneix d’una elegant solucio del problema A74amb l’us dels nombres complexos, i ens proposa l’enunciat A80. D’aquest mateix problema A73,el professor Miquel Amengual ens fa notar que va ser proposat per Hongria a la Sisena OlimpıadaMatematica Internacional (Moscou, 1964) i en dona la referencia: Samuel L. Greitzer, InternationalMathematical Olympiads 1959–1977, The Mathematical Association of America (1978).

Agraım tambe al professor Miquel Amengual la seva solucio del problema A74 i l’enunciatdel problema A78, a Jordi Delgado la solucio del divertit cas dels cent condemnats (A75) i al’estudiant (i tambe olımpic com els altres dos) Gerard Planes la proposta de l’A77. A tothom:moltıssimes gracies!

Com sempre, us recordem que, si treballeu amb TEX o LaTEX, fareu que la nostra atencio es pu-gui concentrar en els aspectes mes agradables de la feina de compondre aquesta seccio, i que les adre-ces de correu per enviar-nos el vostre treball son cromero@xtec.cat o be carles.romero.c@gmail.com.Fins a la propera!

Problemes proposats

A77. (Proposat per Gerard Planes Conangla,estudiant, FME (UPC).) Un nombre finit m depagesos participa en un concurs per tal de saberquin d’ells es mes bon negociant. Inicialment,tots ells tenen la mateixa quantitat de diners, icomencen invertint-los en un nombre finit n deparcel.les de conreu, tot seguint sempre aquestmateix patro:

Cada comprador indica els diners que vol in-vertir en cadascuna de les n parcel.les (no hi hacap preu prefixat) i, de cada parcel.la, se n’endula fraccio

Fi =di

xi,

on di ∈ R representa els diners que ha deciditinvertir en la parcel.la i-esima i xi es la suma detots els diners que tots els m concursants hanacabat pagant per aquesta parcel.la en particu-lar. A mes, cap dels pagesos sap com han re-

partit els seus diners els altres pagesos. Un copfet aixo, es procedeix a calcular els beneficis:

A cada pages, cada parcel.la li produira elbenefici:

Bi = Ai · Fi,

on Ai > 0 es una constant propia de cada par-cel.la que indica la qualitat de la terra, i Fi es lafraccio posseıda de la parcel.la. El benefici to-tal que obtindra cada pages sera la suma delsbeneficis Bi obtinguts a cada parcel.la.

Finalment, es fa el recompte de beneficisde cada pages i el que te uns beneficis es-trictament inferiors a la resta es eliminat (encas d’empat entre els ultims classificats, totsells serien eliminats). Aleshores, es repeteix elproces —es tornen a subhastar terres i a calcu-lar beneficis— pero nomes entre els pagesos queno han estat eliminats. El concurs acaba quan

49

nomes queda un concursant, o quan l’ultim que-da empatat amb el primer.

Es demana trobar com ha de distribuir unpages els diners entre les parcel.les per arribaramb tota seguretat a la fase final i demostrarque aquesta estrategia de distribucio es unica.

A78. (Proposat per Miquel Amengual Covas,Cala Figuera, Mallorca.)

Sigui 4ABC un triangle, sigui D el se-gon punt d’interseccio de la bisectriu de l’angleBAC amb el circumcercle del triangle 4ABCi siguin B′ y C ′ els respectius peus de les per-pendiculars a la bisectriu AD tirades des delsvertexs B i C. Demostreu que

BB′ + CC ′ ≤ AD .

En quines condicions hi ha igualtat?

A79. (D’una olimpıada universitaria iberoame-ricana.) Els divisors positius d’un nombre enterpositiu n estan escrits en ordre creixent a partir

del nombre 1, i fins a n:

1 = d1 < d2 < d3 < · · · < n .

S’ha de trobar la n que compleix:

i) n = d13 + d14 + d15

ii) (d5 + 1)3 = d15 + 1 .

A80. (Proposat per Xavi Ros Oton, estudiant,FME (UPC).) Sigui 4ABC un triangle ambmedianes ma, mb i mc. Sigui 4PQR el triangleque te per costats ma, mb i mc i siguin da, db idc les distancies del baricentre d’aquest triangleals seus vertexs. Demostreu que:

a) da + db + dc = p

b) [PQR] =34[ABC]

on p i [ABC] denoten, respectivament, el semi-perımetre i l’area del 4ABC.

Solucions

A65. (Proposat per la redaccio.) Demostreuque, per a tot nombre enter i positiu n, hi hauna potencia de 2, expressada en base 10, lesn ultimes xifres de la qual son tots uns o do-sos. Per exemple, per a n = 1, 25 = 32 i, per an = 2, 29 = 512.Solucio: (Solucio de Joaquim Nadal Vidal, IESde Cassa de la Selva.) Necessitem dos resultatsprevis:

Proposicio 1. Si 2j − 1 = 5kmk amb mk 6= 5,aleshores hi ha mk+1 6= 5 que fa 25j − 1 =5k+1mk+1.

25j = 2j5 =(1 + 5kmk

)5=

= 1 + 5 · 5kmk + 10 · 52km2k

+ 10 · 53km3k + 5 · 54km4

k + 55km5k =

= 1 + 5k+1(mk + 2 · 5km2

k

+2 · 52km3k + 53km4

k + 54k−1m5k

)=

= 1 + 5k+1mk+1

i

mk+1 =mk + 2 · 5km2k + 2 · 52km3

k

+ 53km4k + 54k−1m5

k 6= 5

perque, per hipotesi, mk 6= 5. Aixı, doncs,25j − 1 = 5k+1mk+1 i mk+1 6= 5.

Proposicio 2. Si ek > 0 es l’exponent mes petitque fa 2ek−1 = 5kmk ambmk 6= 5 i 0 < t < 5ekfa 2t − 1 = 5k+1nk+1, amb nk+1 6= 5, aleshorest = ek i t > ek.

Demostracio: la primera premissa garanteixque t 6= ek. Suposem t < ek. Aleshores femla resta

5kmk − 5k+1nk+1 = 2ek − 1−(2t − 1

)= 2ek − 2t = 2t

(2ek−t − 1

)que dona

2ek−t−1=5kmk − 5k+1nk+1

2t=5kmk − 5nk+1

2t.

Pero com que mk 6= 5, el numerador de la frac-cio i, per tant, tota ella, no conte el factor 5, encontradiccio amb la hipotesi que ek es l’expo-nent mes petit que compleix la condicio. Aixı,doncs, t > ek.

Podem, per tant, fer la divisio entera de tentre ek per obtenir p i r amb t = ekp + r,1 ≤ p < 5 i 0 ≤ r < ek. Ara tindrem

5k+1nk+1 = 2t − 1 = 2ekp+r − 1

= (2ek)p · 2r − 1 =(1 + 5kmk

)p· 2r − 1 .

50

Pero(1 + 5kmk

)p=

= 1 + p5kmk +(p

2

)52km2

k + · · ·+ 5pkmpk

= 1 + 5k

(pmk+

(p

2

)5km2

k + · · ·+ 5(p−1)kmpk

)i, si posem

qk = pmk +(p

2

)5km2

k + . . .+ 5(p−1)kmpk

es clar que qk 6= 5 perque ni p ni mk ho son.Resulta

5k+1nk+1 =(1 + 5kqk

)· 2r − 1=2r + 2r5kqk − 1

o sigui,

2r − 1 = 5k+1nk+1 − 2r5kqk

= 5k (5nk+1 − 2rqk) = 5klk

amb lk 6= 5, perque qk 6= 5. Ara, com que ek esl’exponent positiu mınim i 0 ≤ r < ek, no quedaaltra opcio que r = 0 i, per tant, t = ekp = eki p = 2, 3 o 4, que es el que volıem demostrar.

Fixem-nos ara en 24 − 1 = 15 = 5 · 3. Laproposicio 1 ens assegura que

220 − 1 = 52 i 220 − 1 6= 53

2100 − 1 = 53 i 2100 − 1 6= 54

2500 − 1 = 54 i 2500 − 1 6= 55

. . . . . . . . . i . . . . . . . . .

i, en general, que, per a tot k,

24·5k−1 − 1 = 5k , i 24·5k−1 − 1 6= 5k+1 (∗)

A mes, 4 · 5k−1 es l’exponent mes petit que hocompleix, fet que demostrem ara per inducciosobre k:

Per a k = 1, el fet es redueix a les afir-macions 24 − 1 = 5 i 24 − 1 6= 52, que soncertes. Si suposem que el fet es compleix per ak, aixo vol dir que ek = 4 · 5k−1 es el menorexponent que compleix (∗) i hem de veure queek+1 = 4 · 5k = 5ek es l’exponent mes petit quecompleix

2ek+1 − 1 = 5k+1 , i 2ek+1 − 1 6= 5k+2

Si hi ha t < ek+1 = 5ek que compleix

2t − 1 = 5k+1 i 2t − 1 6= 5k+2

podem aplicar la proposicio 2 i hi ha tres pos-sibilitats:

i) Que t = 2ek. Aleshores, 2t − 1 = 22ek − 1 =5k+1. Ara posem 22ek = 1 + 5k+1 i, en elevar alquadrat, obtenim(

22ek)2 = 24ek = 1 + 5k+1 .

Ara fem

2ek+1− 24ek =25ek− 24ek =24ek (2ek− 1)=5k+1

que implica2ek − 1 = 5k+1 (∗∗)

que es contradictori amb (∗).

ii) Que t = 3ek. Pel mateix procediment d’ele-var al quadrat obtenim

26ek = 1 + 5k+1

i, aleshores,

26ek− 2ek+1 =26ek− 25ek =25ek (2ek− 1)=5k+1

que torna a portar a la contradiccio (∗∗).

iii) Que t = 4ek. Nomes cal fer

2ek+1− 24ek =25ek− 24ek =24ek (2ek− 1)=5k+1

que es la mateixa contradiccio (∗∗).En consequencia, t no pot ser mes petit que

ek+1 i la hipotesi d’induccio tambe es certa pera k + 1.

Observem ara que, si R > q + 1,

2R+4·5q − 2R = 2R(24·5q − 1

)= 2 · 2q+1 · 5q+1 = 2 · 10q+1

i2R+4·5q − 2R 6= 10q+2

cosa que significa que 2R+4·5qi 2R, comptant

des de les unitats, tenen iguals les primeres q+1xifres, mentre que les respectives (q+2)-esimesxifres son diferents pero de la mateixa paritat.A mes, el nombre format per aquestes q + 1xifres es multiple de 2q+1. En efecte, si C esaquest nombre,

2R = 10q+1A+ C

i

C = 2R − 10q+1A

= 2q+1(2R−q−1 − 5q+1A

)= 2q+1 .

51

Aixo es la clau que permet, no nomes demos-trar l’existencia que es demana a l’enunciat delproblema, sino construir efectivament exemplesdels nombres que s’hi demanen.

Comencem amb 29 = 512, que acaba en 12.Aleshores, amb q = 1, els nombres

29 , 29+4·5 = 229 , 229+4·5 = 249 ,

249+4·5 = 269 , 269+4·5 = 289

acaben en 12 i les respectives xifres de les cen-tenes son senars, com ho es la de 29 = 512, itotes diferents. En consequencia, per a algunad’aquestes potencies, la xifra de les centenes es1 i, per tant, hi ha una potencia de 2 que acabaen 112.

No costa gaire veure que 289 es, precisa-ment, la potencia de 2 que acaba en 112, enca-ra que aixo es irrellevant per a la demostracio.Com que

2m = 1000A+ 112 = 23 · 53 ·A+ 7 · 24

= 23(53 ·A− 7 · 2

)resulta

2m−3 = 53 ·A− 7 · 2i el nombre A ha de ser parell, cosa que implicaque la xifra dels milers de qualsevol potencia de2 acabada en 112 ha de ser parella. Novament,els nombres

289 , 289+4·52= 2189 ,

2189+4·52= 2289 , 2289+4·52

= 2389 ,

2389+4·52= 2489

acaben en 112 i les respectives xifres dels milersson parelles i totes diferents. Per tant, per a al-guna d’aquestes potencies, la xifra dels milerses 2 i, en consequencia, hi ha una potencia de2 que acaba en 2112 (que es pot veure que es289).

Aquest proces constructiu es pot allargar in-definidament, tot demostrant la veritat de l’a-firmacio de l’enunciat del problema.

En general, si 2R te les n darreres xifres queson uns o dosos, tenim

2R = 10nA+ C

on C es el nombre format per les n darreresxifres, uns o dosos, i que es multiple de 2n. Siposem C = 2n ·B, resulta

2R = 10nA+ C = 10nA+ 2nB

= 2n (5nA+B)

que dona2R−n = 5nA+B

cosa que mostra que A i B son de la mateixaparitat i la (n+1)-esima xifra per la dreta seraparella o senar segons ho sigui B.

En consequencia, a partir d’una potenciaR-esima de 2 que tingui les n ultimes xifres unso dosos el proces consisteix a seleccionar d’entreels nombres

2R , 2R+4·5n, 2R+8·5n

,

2R+12·5n, 2R+16·5n

aquell que tingui la (n + 1)-esima xifra 1 o 2,segons si la (n + 1)-esima xifra de 2R es o nosenar, cosa que equival que B sigui senar o no.

A68. (D’una olimpıada brasilera.) Trobeu to-tes les solucions enteres i positives de l’equacio

(m+ 1)n − 1 = m! .

Solucio: (Solucio de Joaquim Nadal Vidal, IESde Cassa de la Selva.) Per a n = 1 tenim:

(m+ 1)1 − 1 = m! ⇒ m = m!

que dona m = 1 o m = 2.Per a n = 2 resulta

(m+ 1)2 − 1 = m! ⇒ m2 + 2m = m! ⇒m(m+ 2) = m! ⇒ m+ 2 = (m− 1)!

i m = 4.Per a n > 2 tenim:

(m+ 1)n − 1 = m! ⇒

mn +(n

1

)mn−1 +

(n

2

)mn−2

+ · · ·+(

n

n− 1

)m = m! ⇒

⇒ mn−1 +(n

1

)mn−2 +

(n

2

)mn−3

+ · · ·+(

n

n− 1

)= (m− 1)!

Com que (m−1)! es multiple de m−1, el nom-bre 1 es una arrel del polinomi

mn−1+(n

1

)mn−2+

(n

2

)mn−3+· · ·+

(n

n− 1

)

52

cosa impossible, perque, en tenir tots els coe-ficiens positius, es segur que no s’anula per am = 1.

En consequencia, les uniques solucions sonm = 1 i n = 1, m = 2 i n = 1 i, finalment,m = 4 i n = 2.

A71. (Proposat per la redaccio.) Demostreuque els nombres reals i positius a, b i c son elscostats d’un triangle no degenerat si, i nomessi, qualsevol parella de nombres reals (p, q), ambp+ q = 1, fa

a2p+ b2q > c2pq

Solucio: (Solucio de la redaccio.) Les condici-ons

p+ q = 1a2p+ b2q > c2pq

equivalen que, per a tot nombre real,

a2p+ b2(1− p) > c2p(1− p)

o sigui

c2p2 +(a2 − b2 − c2

)p+ b2 > 0

que es compleix si, i nomes si, el discriminantde l’expressio quadratica de la dreta es negatiu,es a dir, si(

a2 − b2 − c2)2 − 4b2c2 < 0

que es pot escriure∣∣a2 − b2 − c2∣∣ < 2bc

o sigui,−2bc < a2 − b2 − c2 < 2bc.

Obtenim

(b− c)2 < a2 i a2 < (b+ c)2

i, finalment,

|b− c| < a < b+ c

cosa que mostra que a, b i c son els costats d’untriangle no degenerat.

A72. (Proposat per la redaccio.) Quantes pare-lles de nombres reals (p, q) hi ha de manera queels punts de R2, (p, q), (p2, q2) i (p3, q3) siguinels vertexs d’un triangle equilater?

Solucio: (Solucio de Joaquim Nadal Vidal, IESde Cassa de la Selva.) La igualtat dels costatsporta al sistema d’equacions(

p2 − p)2 +

(q2 − q

)2

=(p3 − p

)2 +(q3 − q

)2(p2 − p

)2 +(q2 − q

)2

=(p3 − p2

)2 +(q3 − q2

)2

el qual, despres d’operar i descompondre en fac-tors, queda

−p3(p−1)2(p+2)=q3(q−1)2(q+2) (∗)

−p2(p−1)3(p+1)=q2(q−1)3(q+1) (∗∗)

(1)

Si p = 0, les solucions de l’equacio (∗) son q =0, 1,−2 i les de l’equacio (∗∗) son q = 0, 1,−1.Aixı, doncs, (0, 0) i (0, 1) son solucions trivialsdel sistema que donen sengles triangles degene-rats, en els quals els tres vertexs son el mateixpunt.

Si p = 1, les solucions de (∗) son, igual-ment, q = 0, 1,−2 i les de l’equacio (∗∗) sonq = 0, 1,−1 i, una altra vegada, les solucions delsistema (1, 0) i (1, 1) donen (p, q) =

(p2, q2

)=(

p3, q3), i els triangles que s’obtenen tambe son

degenerats.Si p = −2, les solucions de (∗), son

q = 0, 1,−2, pero cap de les parelles (−2, 0),(−2, 1) i (−2,−2) es solucio de l’equacio (∗∗) i,per tant, no n’obtenim cap triangle equilater.De la mateixa manera, si p = −1, les solucionsde (∗∗) son q = 0, 1,−1 i tampoc cap de lesparelles (−1, 0), (−1, 1) i (−1,−1) es solucio de(∗).

Descartades solucions que facin zero els fac-tors de les equacions del sistema (1), podemdividir-les per obtenir

p(p+ 2)(p− 1)(p+ 1)

=q(q + 2)

(q − 1)(q + 1). (2)

Apareix ara la possibilitat p = q, la qual pero,en traslladar-la al sistema (1) es veu que nomesson possibles els casos ja examinats de les pa-relles (0, 0) i (1, 1). Podem, doncs, imposar lacondicio que p 6= q. Aleshores, despres d’operara l’equacio (2) i simplificar, obtenim

p = − q + 22q + 1

expressio que es pot fer servir per substituir p aqualsevol de les dues equacions de (1). Si ho fem

53

a l’equacio (∗), despres de calculs i simplificaci-ons en que fem servir que q 6= 0 i que q 6= −2,obtenim

27(q + 2)2(q + 1)2 = q2(q − 1)2(2q + 1)6

i, en treure l’arrel quadrada,

3√

3(q + 2)(q + 1) = ±q(q − 1)(2q + 1)3 (3)

Aixo son dues equacions polinomiques de 5egrau, les quals, per tenir el grau senar, tenen ca-dascuna d’elles, almenys, una solucio real, quetrobarem per qualsevol dels metodes coneguts.Aixı, si agafem la possibilitat “+”, l’equacio (3)es

8q5 + 4q4 − 6q3 −(5 + 3

√3)q2

−(1 + 9

√3)q − 6

√3 = 0

amb solucio aproximada q = 1, 484593195, perla qual p = −0, 877911202. Obtenim el trianglede vertexs

(−0, 877911202, 1, 484593195)(0, 7707280788, 2, 204016955)(−0, 6766308141, 3, 272068573)

i costat igual a 1, 798772366.I, si agafem la possibilitat “−” a l’equacio

(3), aleshores en resulta

8q5 + 4q4 − 6q3 +(3√

3− 5)q2

+(9√

3− 1)q + 6

√3 = 0

amb solucio aproximada q = −0, 877911202,que dona p = 1, 484593195. Aquest resultat jaera d’esperar, ja que nomes es un intercanvi decoordenades: la x passa a ser la y i al reves.

Mitjans mecanics de calcul mostren que capde les dues equacions te mes arrels reals i, pertant, nomes hi ha dues parelles de nombres realsque, exclosa la possibilitat de triangles degene-rats, compleixin el que es demana i son:

(p, q) = (−0, 877911202, 1, 484593195)

i

(p, q) = (1, 484593195,−0, 877911202) .

A73. (Proposat per la redaccio.) Demostreuque, si a, b i c son els costats d’un triangle nodegenerat, aleshores

a2(b+ c− a) + b2(a+ c− b)

+c2(a+ b− c) ≤ 3abc .

Solucio: (Solucio de Xavi Ros Oton, estudi-ant, FME (UPC), Barcelona, i Hugo FernandezHervas, estudiant, FCM (UCM), Madrid.) Acontinuacio demostrarem que la desigualtat escompleix no nomes si a, b i c son els costats d’untriangle, sino que tambe es compleix si a, b i cson tres nombres reals i positius qualssevol.

La desigualtat es pot escriure com:

a3+b3+c3+3abc ≥ a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)

i si tenim en compte que

(b+ c− a)(c+ a− b)(a+ b− c) = a2(b+ c)

+ b2(c+ a) + c2(a+ b)− a3 − b3 − c3 − 2abc

observem que es equivalent a

abc ≥ (b+ c− a)(c+ a− b)(a+ b− c) . (1)

Sense perdre generalitat, podem suposar a ≥b ≥ c ≥ 0 i, aleshores,

c+ a− b ≥ 0 i a+ b− c ≥ 0 .

Si a, b, c no son els costats d’un triangle, esobligatori que a ≥ b + c, o sigui, b + c − a ≤ 0i, per tant,

abc ≥ 0 ≥ (b+ c− a)(c+ a− b)(a+ b− c) .

D’altra banda, si a, b, c son els costats d’un tri-angle, aleshores, si p es el semiperımetre del tri-angle, podem fer el canvi

x = p− a =a+ b+ c

2− a =

b+ c− a

2

y = p− b =a+ b+ c

2− b =

c+ a− b

2

z = p− c =a+ b+ c

2− c =

a+ b− c

2

que fa x+ y = 2p− a− b = c

y + z = 2p− b− c = a

z + x = 2p− c− a = b

i la desigualtat a demostrar es ara

(x+ y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz .

54

Pero aquesta desigualtat es una consequenciaimmediata de la desigualtat aritmetica-geometrica, ja que

x+ y

2≥ √

xy

y + z

2≥ √

yz

z + x

2≥√zx .

Nota: De fet, si a, b, c son els costats d’untriangle, la desigualtat (1) es consequencia dela desigualtat d’Euler R ≥ 2r.

A74. (Proposat per la redaccio.) Demostreuque un triangle 4ABC es rectangle si, i nomessi,

cosA

2cos

B

2cos

C

2− sin

A

2sin

B

2sin

C

2=

12.

Solucio: (Solucio de Xavi Ros Oton, estudiant,FME (UPC).) Com que A+B +C = π, tenim

i = eiπ2 = ei(A

2+B

2+C

2 ) = eiA2 eiB

2 eiC2 =

=(

cosA

2+ i sin

A

2

) (cos

B

2+ i sin

B

2

)(

cosC

2+ i sin

C

2

)

i, quan igualem les parts reals i les parts ima-ginaries, obtenim

cosA

2cos

B

2cos

C

2= cos

A

2sin

B

2sin

C

2

+ sinA

2sin

B

2cos

C

2+ sin

A

2cos

B

2sin

C

2

i

sinA

2sin

B

2sin

C

2= cos

A

2cos

B

2sin

C

2

+ cosA

2sin

B

2cos

C

2+ sin

A

2cos

B

2cos

C

2− 1

Ara calculem(cos

A

2− sin

A

2

) (cos

B

2− sin

B

2

)(

cosC

2− sin

C

2

)= cos

A

2cos

B

2cos

C

2

− cosA

2cos

B

2sin

C

2− cos

A

2sin

B

2cos

C

2

+ cosA

2sin

B

2sin

C

2− sin

A

2cos

B

2cos

C

2

+ sinA

2cos

B

2sin

C

2+ sin

A

2sin

B

2cos

C

2

− sinA

2sin

B

2sin

C

2=

= 2(

cosA

2cos

B

2cos

C

2− sin

A

2sin

B

2sin

C

2

)− 1

i aquesta expressio es zero si, i nomes si,

cosA

2cos

B

2cos

C

2− sin

A

2sin

B

2sin

C

2=

12

i per tant si, i nomes si, un dels tres angles deltriangle es recte.

A75. (Proposat per V. Diekert.) En una presohi ha cent presos condemnats a mort, numeratsde l’1 al 100. El director de la preso els ofereixuna ultima possibilitat de salvar-se, que con-sisteix en aixo: fa cent paperets amb cadascundels numeros de l’1 al 100, i els col.loca aleato-riament dins dels cent calaixos (tambe nume-rats de l’1 al 100), un paperet a cada calaix,d’una calaixera que te al seu despatx. Men-trestant els presos son a les seves cel.les, total-ment incomunicats del mon exterior i entre ells.La prova consisteix en el fet que, per a cadai = 1, . . . , 100, seguira els cinc passos seguents:

1) Cridara el pres i al seu despatx, tot sol;2) li deixara obrir els cinquanta calaixos que ell

vulgui;3) comprovara si un dels calaixos oberts conte

el paperet amb el numero i;4) els tornara a tancar tots; i5) tornara el pres a la seva cel.la sense deixar-lo

parlar amb ningu.

La condicio que posa es que, si tots els pre-sos obren el calaix amb el seu propi numero,aleshores, tots se salven, pero, nomes que unpres falli, tots moren.

Un dels presos, que es matematic, de segui-da s’adona que el director de la preso els esta

55

prenent el pel. Obrint cinquanta dels cent calai-xos a l’atzar, cada pres te probabilitat 1/2 d’en-certar el seu propi numero i, per tant, les proba-bilitats que tot el col.lectiu se salvi son 1/2100,que es com dir que ja estan morts abans decomencar la prova. Despres de pensar una mi-ca, fa una sol.licitud al director: Podria parlaruns minuts amb la resta de presos abans de co-mencar el proces?. El director (conscient que,de tota manera, 1/2100 es insignificantment pe-tit), accepta i li concedeix uns minuts.

Sabrieu dir en quina estrategia esta pensantel pres matematic, que aconsegueix augmentarfins a mes del 30 % (sı, heu llegit be, a mesde 0, 3!!) la probabilitat que tot el col.lectiu sesalvi?Solucio: (Solucio de Jordi Delgado Rodrıguez.)Sigui N = 50 i considerem la permutacio que acada ındex i ∈ 1, . . . , 2N fa correspondre elnombre amagat al calaix i-esim. En el que se-gueix ens referirem a aquesta permutacio coma permutacio o disposicio inicial.

Si ara fem que cada pres comenci obrintel calaix amb ındex igual al seu (es a dir,que el pres i-esim comenci obrint el calaix i-esim, i = 1, . . . , 2N) i aleshores continuı la cer-ca obrint successivament el calaix indexat pelnombre amagat al calaix anterior fins a tenir Ncalaixos oberts, el que cada pres estara fent esrecorrer un cicle de la permutacio inicial, quesera completat si troba el propi ındex i quedarasense completar si no el troba.

Aixı, cada pres complira la seva part si, inomes si, el cicle al qual pertany el seu ındexconsta de N o menys elements. Com que ca-da pres comenca per un calaix diferent, tots elscicles hi estan involucrats, i, per tant, s’acon-seguira el repte col.lectiu si, i nomes si, cadacicle de la permutacio inicial consta de, com amaxim, N elements o, el que es equivalent (peromes rapid de calcular), la permutacio inicial note cicles de longitud estrictament superior a N .

Aixı, tot seguint l’estrategia proposada, laprobabilitat que tots els presos trobin el seuındex es la probabilitat que la permutacio ini-cial no contingui cicles d’ordres entre N + 1 i

2N . Ara be, el nombre de permutacions de 2Nelements amb un cicle de longitud k > N es

(2Nk

)(k − 1)!(2N − k)! =

(2N)!k

Si suposem equiprobables les possibles dis-posicions inicials, obtenim que, per a tot k entreN +1 i 2N , la permutacio inicial conte un ciclede longitud k amb probabilitat 1/k.

Com, a mes, en ser els cicles considerats dellargada superior a N , no se’n poden donar dosa la mateixa permutacio, es tracta d’esdeveni-ments disjunts i, per tant, la probabilitat quehi hagi algun cicle de longitud superior a N es

2N∑k=N+1

1k

En definitiva, la probabilitat que la permu-tacio inicial no contingui cicles d’ordres superi-ors a N , i per tant tots els presos trobin el seuındex, es

PN = 1−2N∑

k=N+1

1k

Quan N = 50 aquesta probabilitat es

P50 = 1−100∑

k=51

1k

= 0, 31183

Observem que, en el cas general, es

PN = 1−2N∑

k=N+1

1k

= 1− (H2N −HN )

on Hn es l’n-esim nombre harmonic:

Hn =n∑

k=1

1k

Si tenim en compte que, per a n prou gran,

Hn = ln(n) + γ +O

(1n

)resulta que

PN ≈1−(ln(2N)− ln(N))=1−ln(2) = 0, 30685

per a N prou gran.

Carles RomeroIES Manuel Blancafort, la Garriga

56

Tesis

• Lluıs Bruna i Floris va llegir la seva tesi, dirigida per Joan Girbau i Bado,titulada Estudi de l’estabilitat lineal de l’equacio d’Einstein en els models deRobertson-Walker, el dia 22 de desembre de 2004. La tesi correspon al Depar-tament de Matematiques de la Universitat Autonoma de Barcelona.

L’objectiu d’aquesta tesi es establir el marc ma-tematic adequat per a l’estabilitat lineal de l’e-quacio d’Einstein G = χT , una vegada aconse-guit aixo, trobar aquelles condicions perque esdoni aquest tipus d’estabilitat quan es conside-ra un model de Robertson-Walker per a l’uni-vers.

El concepte d’estabilitat lineal sorgeix enpreguntar-se si realment les solucions d’unaequacio linealitzada serveixen per aproximar lessolucions de la corresponent equacio no line-al. En el cas de l’equacio d’Einstein en el buitG(g) = 0 aquesta questio dona lloc a la defini-cio classica d’estabilitat, basada en la nocio detangencia: donats dos espais de Banach X i Yi una aplicacio diferencial f : X → Y entre ells,una equacio del tipus f(x) = y0 per a un y0 ar-bitrari pero fix es diu que es linealment estableen una solucio x0 si per a tota direccio h quesatisfa Dx0f(h) = 0 existeix una corba x(λ) desolucions exactes que es tangent a h en x0.

D’acord amb el punt de vista d’Ein-stein en el seu article Sobre les ones gravi-tatories (1918), l’estabilitat lineal de G = χTha de garantir que un procediment com elseguent sigui correcte: interpreteu l’univers comun model de R-W (g0, T0), ambdos relacionatsper G(g0) = χT0; aleshores, donada una per-torbacio δT de T0 i amb la finalitat de tro-bar la corresponent pertorbacio δg de g0 quecompleix G(g0 + δg) = χ(T0 + δT ), consideremDg0G(δg) = χδT . Cal adonar-se de la petitadiferencia entre els dos casos: mentre el cas delbuit obeeix l’esquema f(x) = 0, i. e., cerquemsolucions de f(x) = 0 properes a la solucio x0

de la mateixa equacio, en el cas de la materia,donat qualsevol q proper a zero, ens interessemper aquelles solucions de f(x) = y0 + q que sona prop del punt x0 que satisfa f(x0) = y0.

En consequencia es necessaria una defini-cio d’estabilitat lineal adaptada a aquesta no-va situacio. En poques paraules, tot el que s’e-

xigeix es que les solucions de l’equacio no li-neal i les de l’equacio linealitzada, per a unq donat, puguin ser parametritzades pel ma-teix espai vectorial (posem ψq(z) i ϕq(z), ambψ0(0) = ϕ0(0) = x0), de manera que l’er-ror Eq(z) = ϕq(z) − ψq(z) comes en conside-rar una o l’altra esta controlat per la condiciolim(z,q)→(0,0)

Eq(z)√‖z‖2+‖q‖2

= 0. Tot i que la idea

de tangencia ha passat a ocupar un segon pla,aquesta definicio mes laxa ha d’implicar l’antigaquan q = 0 (per a una versio mes detallada, mi-reu el capıtol 3). La primera no es mes que unapetita modificacio de l’ultima; de fet, la con-dicio necessaria es la mateixa per a ambdues:l’aplicacio diferencial en x0 ha de ser exhaus-tiva i el seu nucli ha de tenir un suplementaritopologic.

Malgrat tot, aquesta nova definicio no espot aplicar directament a l’equacio d’Einsteinescrita en la forma G = χT perque la condi-cio de conservacio de l’energia divgT = 0 lligales primeres deformacions de g i de T . Es pertant necessari trobar un nou marc on les vari-ables que representen la geometria i l’energiao materia siguin independents. Aquesta repre-sentacio ve donada per un problema de Cauchyben posat perque si aquest es el cas a cada per-torbacio de les dades inicials de Cauchy cor-respon una pertorbacio de la solucio i per tantl’estabilitat per linealitzacio de les quatre equa-cions de lligam per a les dades de Cauchy esequivalent a la del sistema format per les equa-cions G = χT i divgT = 0. El capıtol 1 estaıntegrament dedicat al problema de Cauchy pera l’equacio d’Einstein amb materia. Es demos-tra que quan les equacions G = χT i divgT = 0estan desacoblades i les equacions de la materiadivgT = 0 poden ser escrites en forma de sis-tema hiperbolic quasi lineal i simetric sense ca-racterıstiques, el problema de Cauchy associatal sistema G = χT i divgT = 0 esta ben po-

57

sat. Per exemple, aixo s’esdeve per a un mediholonom i en particular per a un fluid perfecte.

En un model de Robertson-Walker (V, g, T )l’espai-temps V es una varietat producte M×Ion (M, g) es una varietat de Riemann de curva-tura (seccional) constant i I un interval de R, lametrica es de la forma g = −dt⊗dt+ζ2(t)g, t ∈I, i T es un tensor d’impulsio-energia correspo-nent a un fluid perfecte T = (ρ+ p)u⊗ u+ pg,on la densitat ρ i la pressio p depenen nomesde t i estan relacionades per una equacio d’es-tat (capıtol 2). Els resultats d’aquesta tesi estanrecollits en la taula seguent:

varietat M curvatura compacitat estabilitatR3 0 no sıH3 -1 no sıS3 1 sı no

R3/Γ 0 sı noH3/Γ -1 sı sı

Aquı Γ a X/Γ es refereix a un subgrup dis-cret del grup d’isometries de X que actua demanera lliure i propiament discontınua. La de-mostracio en el capıtol 4 dels dos primers ca-

sos (els anomenats universos oberts) utilitzales mateixes tecniques usades per Y. Choquet-Bruhat, A. Fischer i J. Marsden per demos-trar l’estabilitat lineal de l’equacio d’Einsteinen el buit en la metrica η de Minkowski. Caldir, pero, que en el cas hiperbolic H3 ha estatnecessari (apendix A) donar una demostracioexplıcita del fet que per una banda les pertor-bacions d’ordre zero de la laplaciana i d’altrabanda l’operador ∇∗LXg son isomorfismes to-pologics, resultats que se sapiga no existien enla literatura. El tercer cas (capıtol 5) rau en elfet que la 3-esfera admet en cada punt una ba-se de l’espai tangent formada per tres camps deKilling. Els ultims dos casos (capıtol 6), que noson simplement connexos, mostren que l’esta-bilitat per linealitzacio no te res a veure amb lacompacitat. La demostracio de R3/Γ es identicaa la de S3, i el cas H3/Γ es basa en un resul-tat de S. Bochner (1946) que assegura que totavarietat de Riemann compacta i amb el tensorde Ricci definit negatiu te un nombre finit d’i-sometries.

• Francesc Pozo Montero va llegir la seva tesi, dirigida per Jose Rode-llar Benede, titulada Nonlinear control of uncertain systems: some application-oriented issues, el dia 20 de gener de 2005. La tesi correspon al Departamentde Matematica Aplicada III de la Universitat Politecnica de Catalunya.

L’analisi i el control de sistemes amb incerte-ses son un dels problemes mes interessants enl’ambit de la teoria de control. En les ultimesdues decades hi ha hagut un augment impor-tant en la recerca dedicada a resoldre de mane-ra analıtica problemes de control on les incerte-ses poden apareixer tant en la representacio delsistema com en les mesures. No obstant aixo,la profusio de la produccio cientıfica amb unamarcada orientacio teorica no ha estat acom-panyat d’una recerca similar dels aspectes d’uncaire mes aplicat. Aquesta tesi preten contri-buir en la comprensio d’alguns aspectes practicsd’algorismes de control especıfics. Mes concre-tament, tractem el popular metode anomenatbackstepping i una tecnica recent computaci-onal per resoldre el problema de la sıntesi desistemes no lineals.

Respecte als sistemes no lineals, els anys no-ranta van comencar amb un important avenc: elbackstepping, metode de control recursiu per asistemes no lineals i no restringit a fites lineals.La verdadera forca d’aquest metode va ser des-coberta quan es van desenvolupar els dissenysde control per a sistemes no lineals amb incerte-ses estructurades. La manera com el backstep-ping incorporava les incerteses i els parametresdesconeguts va contribuir a la seva difusio i ac-ceptacio. Aquesta tesi es dedica, d’una banda,a aplicar aquest metode de control en el campde l’enginyeria civil i, de l’altra, a fer un estudide la sensibilitat numerica de la implementaciocomputacional del metode.

En l’aplicacio a l’enginyeria civil, es consi-dera un sistema de control hıbrid per a estruc-tures amb aıllament de base histeretic (control

58

passiu) i un sistema de control actiu. L’objec-tiu del component de control actiu, aplicat ala base de l’estructura, es mantenir els des-placaments relatius de la base amb el terra, ide l’estructura amb la base dins d’un rang rao-nable, d’acord amb el disseny de l’aıllament debase. L’aıllament de base exibeix un comporta-ment histeretic no lineal, descrit pel model deBouc-Wen. El sistema es formula representantla dinamica del sistema en dos sistemes de coor-denades: absolutes (respecte a un eix inercial) irelatives al terreny. Es presenta una comparacioentre les dues alternatives mitjancant simulaci-ons numeriques i s’observa com, efectivament,la llei de control backstepping garanteix l’estabi-litat i un bon comportament transitori del llactancat.

Una altra lınia de recerca ha estat l’es-tudi de la sensibilitat numerica del backstep-ping adaptatiu. En aquest sentit, la complexi-tat de la llei de control fa imprescindible l’a-jut del calcul numeric per a fer les computaci-ons del senyal de control. El nostre treball es-tudia per primer cop els aspectes de sensibili-tat numerica del disseny de sistemes de controlmitjancant backstepping. Es demostra que, tot ique l’augment dels parametres de disseny millo-

ra teoricament la resposta del sistema, aquestaugment provoca l’aparicio d’altes frequenciesen el senyal de control.

La tercera lınia de recerca que tractemen aquest treball es la utilitzacio de solucionsnumeriques a problemes de control quan solu-cions analıtiques —com ara el backstepping—fallen o son molt difıcils d’implementar. De fet,una limitacio de la tecnica del backstepping esla necessitat que el sistema controlat tingui unacerta estructura triangular. D’altra banda, unaaltra limitacio practica d’aquest metode es lasensibilitat numerica o la complexitat de la lleide control. Com una alternativa a les solucionsanalıtiques del problemes de control, es presen-ta una nova tecnica numerica. La tecnica estabasada en un criteri de convergencia recent-ment desenvolupat —dual del segon teorema deLyapunov— i en un programari que verifica lapositivitat de polinomis de diverses variablesbasant-se en una descomposicio en sumes dequadrats. Les nostres contribucions en aquestaarea consisteixen a estendre aquestes tecniquesa sistemes racionals i la inclusio d’incerteses pa-rametriques en la formulacio del problema desıntesi del control.

• Josep Rubio Massegu va llegir la seva tesi, codirigida per Eusebi JarautaBragulat i Pere Rubio Dıaz, titulada Sobre l’ordenacio de les arrels reals deles derivades de polinomis a coeficients reals, el dia 10 de febrer de 2005. Latesi correspon al Departament de Matematica Aplicada III de la UniversitatPolitecnica de Catalunya.

Alguns problemes classics sobre teoria analıticade polinomis estan relacionats amb un proble-ma mes general: determinar com estan ordena-des les arrels reals d’un polinomi a coeficientsreals i les arrels reals de totes les seves deriva-des.

Si ens restringim a l’ordenacio entre arrelsde derivades consecutives d’un polinomi, aquestproblema pot formular-se de la manera seguent.Sigui n un nombre natural no nul. Per a cadaj = 0, 1, . . . , n − 1 considerem variables inde-terminades x

(j)1 , x

(j)2 , . . . , x

(j)m(j), que anomena-

rem variables de derivacio j, i que considera-rem lligades per les desigualtats x(j)

1 < x(j)2 <

. . . < x(j)m(j). Definir un ordre entre variables

de derivacions consecutives significa especifi-

car, per a dues variables qualssevol de deriva-cions consecutives, diguem x

(j)i1

i x(j+1)i2

, una de

les tres ordenacions seguents: (i) x(j)i1< x

(j+1)i2

,

(ii) x(j)i1

= x(j+1)i2

o (iii) x(j)i1

> x(j+1)i2

. Lla-vors, el problema consisteix a determinar pera quines ordenacions entre variables de deriva-cions consecutives existeix un polinomi P (x),de grau n, de manera que si les arrels realsde cada derivada P (j), 0 ≤ j ≤ n − 1, sonels nombres y(j)

1 < y(j)2 < · · · < y

(j)r(j), aleshores

r(j) = m(j) i entre arrels de derivades conse-cutives es verifiquen els lligams proposats. Esa dir, si (i) x(j)

i1< x

(j+1)i2

, (ii) x(j)i1

= x(j+1)i2

, o

(iii) x(j)i1>x

(j+1)i2

, aleshores s’ha de complir (a)

y(j)i1<y

(j+1)i2

, (b) y(j)i1

= y(j+1)i2

o (c) y(j)i1>y

(j+1)i2

59

respectivament. Si tal polinomi existeix alesho-res es diu que l’ordenacio proposada es repre-sentable per un polinomi.

El teorema de Rolle imposa restriccionsen l’ordenacio de les variables en el cas queaquesta ordenacio sigui representable per po-linomis. Concretament, si x

(j)i < x

(j)i+1 son

dues variables consecutives amb una matei-xa derivacio j, aleshores ha d’existir unavariable de derivacio j + 1, x

(j+1)k , tal que

x(j)i < x

(j+1)k < x

(j)i+1. No obstant aixo, les

restriccions imposades pel teorema de Rolleno son suficients perque una ordenacio de lesvariables sigui representable per un polinomi.

En aquest sentit, ens proposem assolir elstres objectius seguents:

(1) Caracteritzar les ordenacions entre variablesde derivacions consecutives que son represen-tables per polinomis.

(2) Classificar els polinomis segons l’ordenaciode les arrels de derivades consecutives i tro-bar certs nombres d’interes relacionats ambaquesta classificacio, com per exemple elnombre de classes en que queden classificatsels polinomis de grau n i el nombre de clas-

ses obertes de grau n (classes estables per apertorbacions).

(3) Estudiar que succeeix quan es consideren or-denacions que inclouen lligams entre varia-bles de derivacions no consecutives.

L’objectiu (1) s’ha assolit establint que lesordenacions entre variables de derivacions con-secutives representables per polinomis coinci-deixen amb les ordenacions que satisfan les res-triccions imposades per un resultat que gene-ralitza el teorema de Rolle. Essencialment, s’haobtingut el recıproc del teorema, que diu queentre cada dues arrels reals consecutives d’unpolinomi hi ha un nombre senar d’arrels de laderivada comptant multiplicitats.

L’objectiu (2) s’ha assolit classificant elspolinomis segons l’ordenacio que presenten lesarrels de les seves derivades consecutives. Elsnombres d’interes relacionats amb aquesta clas-sificacio s’han obtingut a partir de formules re-currents.

L’objectiu (3) s’ha assolit determinant elsnombres n per als quals la mencionada genera-litzacio del teorema de Rolle es suficient perqueuna ordenacio de les variables que inclogui lli-gams entre variables de derivacions no consecu-tives sigui representable per un polinomi.

• Javier Herranz Sotoca va llegir la seva tesi, dirigida per German Saez iMoreno, titulada Estudi d’un problema de conveccio natural en un cub des delpunt de vista dels sistemes dinamics, el dia 15 d’abril de 2005. La tesi corresponal Departament de Matematica Aplicada IV de la Universitat Politecnica deCatalunya.

Les signatures digitals son una de les con-sequencies mes importants de l’aparicio de lacriptografia de clau publica, l’any 1976. Aquesttipus d’esquema proporciona autenticitat, inte-gritat i no repudi a les comunicacions digitals.En els ultims anys, s’han anat introduint al-gunes extensions o variacions del concepte designatura digital, i s’han proposat molts esque-mes realitzant aquests nous tipus d’esquemesde signatura.

En aquesta tesi, considerem les definicionsbasiques i les propietats de seguretat requeridesals esquemes tradicionals de signatura digital ien dos de les seves extensions: els esquemes dis-tribuıts de signatura digital i els esquemes de

signatura d’anell. En els esquemes distribuıts,diferents usuaris d’una entitat fixa han de col-laborar per calcular una signatura en nom del’entitat, a partir dels seus fragments d’una in-formacio privada. En els esquemes de signaturad’anell, un usuari escull un conjunt d’usuarisque el conte i calcula una signatura anonimaen nom d’aquest conjunt, de manera que tot-hom esta convencut que algu dins del conjuntha signat, pero ningu no sap quin membre delconjunt ho ha fet.

Fem una revisio de l’estat de l’art referenta aquests dos temes, i despres proposem i ana-litzem nous esquemes especıfics per a diferentsescenaris. Concretament, estudiem primer es-

60

quemes distribuıts de signatura basats en RSA,per a estructures d’acces generals. Despres mos-trem que aquests esquemes es poden fer servircom a base per a la construccio d’altres pro-tocols criptografics, com son els esquemes dis-tribuıts de distribucio de claus i els esquemesde comptatge. En el terreny de les signaturesd’anell, proposem esquemes per a escenaris onles claus criptografiques son del tipus logaritmediscret, i per a escenaris on les claus son basa-des en identitats. Finalment, proposem tambe

alguns esquemes distribuıts de signatura d’a-nell, que son un tipus d’esquema que combinaels conceptes de signatures distribuıdes i signa-tures d’anell.

Demostrem formalment la seguretat de to-tes aquestes propostes, assumint que algunsproblemes matematics son difıcils de resoldre.Especıficament, basem la seguretat dels nostresesquemes en la dificultat del problema RSA, obe del problema del logaritme discret, o be delproblema computacional de Diffie-Hellman.

• Sonia Tarragona Romero va llegir la seva tesi, codirigida per Marıa Isabel Garcıa Planas iMaria Dolors Magret Planas, titulada Estudio geometrico de familias diferenciables de sistemassingulares, el dia 27 de maig de 2005. La tesi correspon al Departament de Matematica AplicadaI de la Universitat Politecnica de Catalunya.

Els objectes tractats en aquesta tesi son sis-temes dinamics lineals singulars invariants enel temps Ex(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) =Cx(t), que representem mitjancant quaternesde matrius (E,A,B,C) ∈ Mn(C) ×Mn(C) ×Mn×m(C)×Mp×n(C).

L’estudi se centra en dues relacions d’equi-valencia, la semblanca per realimentacio i l’e-quivalencia per realimentacio, que son les queadmeten canvis de base en els espais d’estat,d’entrades i de sortides, realimentacio d’estatsi derivativa, injeccio externa i, en el segon cas, ames, premultiplicacio de l’equacio d’estats peruna matriu invertible.

La primera es pot considerar com la gene-ralitzacio natural de la semblanca per a ma-trius quadrades i la semblanca per blocs de laqual s’obte la forma reduıda de Kronecker. Pera aquesta relacio d’equivalencia, trobar una for-ma reduıda canonica es un problema obert, delqual en aquesta tesi es dona solucio en algunscasos. S’observa que si B = 0 i C = 0, el pro-blema es redueix a l’impossible de classificar si-multaniament parelles de matrius per la relaciode semblanca. Recordem que els problemes quecontenen aquest problema es coneixen com wildproblems.

La introduccio de la segona relacio es moti-vada pel fet que quan el sistema es normalitza-ble mitjancant una realimentacio derivativa, elsistema estandard resultant no es equivalent al

primer per la semblanca per realimentacio. Esper aixo que conve introduir aquesta nova re-lacio d’equivalencia. Per aquesta segona relaciotambe es troben formes reduıdes en els matei-xos casos que per a la primera relacio aixı comun conjunt complet d’invariants que permetendecidir, donada una quaterna qualsevol, a quinaclasse d’equivalencia pertany.

S’aborda tambe el calcul de deformacionsversals per a ambdues relacions d’equivalenciaseguint les tecniques geometriques introduıdasper V. I. Arnold en el cas particular de la va-rietat diferenciable de les matrius quadradesen les quals actua el grup lineal. Una aplica-cio de la descripcio de deformacions miniver-sals explıcites es l’estudi de pertorbacions lo-cals i l’obtencio de la dimensio de les diferentsorbites. Es realitza tambe l’analisi de l’estabili-tat estructural caracteritzant les quaternes es-tructuralment estables.

Finalment, i a causa que la particio enorbites de l’espai de quaternes de matrius noes localment finita, es presenta una nova parti-cio (per a ambdues relacions d’equivalencia) enestrats formats per la unio disjunta d’orbitesque tenen els mateixos invariants discrets vari-ant tan sols en el valor del parametre continu.S’estudien propietats de regularitat de les es-tratificacions i com aplicacio es presenten elsdiagrames de bifurcacions de famılies de siste-mes amb pocs parametres.

61

• Dolors Puigjaner i Riba va llegir la seva tesi, codirigida per Carles Simoi Torres i Francesc Giralt i Prat, titulada Estudi d’un problema de conveccionatural en un cub des del punt de vista dels sistemes dinamics, el dia 26 de junyde 2005. La tesi correspon al Departament de Matematica Aplicada i Analiside la Universitat de Barcelona.

El problema de conveccio natural, tambe ano-menat de Rayleigh-Benard, representa un siste-ma dinamic dissipatiu que conte dos parametresimportants: el nombre de Rayleigh (Ra) i elnombre de Prandtl (Pr). Des del punt de vis-ta practic la conveccio natural es fonamental,tant en problemes mes recents com els siste-mes d’aıllaments i climatitzacio d’edificis comen problemes mes tradicionals com els processosde cristal.litzacio. Des del punt de vista teoric,l’estudi d’aquest problema ens pot ajudar a en-tendre els mecanismes de formacio d’estructu-res o patrons del flux, les diverses inestabilitatshidrodinamiques i les successives bifurcacionsque poden conduir a l’inici de la turbulencia.

En aquest treball s’ha desenvolupat una me-todologia que permet determinar les bifurcaci-ons i l’estabilitat de les solucions estacionariesdel problema de conveccio natural en cavitatsparal.lelepipediques. Aquesta metodologia im-plementa dos algorismes de continuacio: l’unusa el Ra en la parametritzacio de les corbesde solucions i l’altre el parametre arc. Ambdosalgorismes es basen en el metode espectral deGalerkin. Usant una formulacio de la velocitaten termes de funcions potencials s’ha obtingutuna base completa en la qual les condicions ala frontera i la conservacio de la massa es ve-rifiquen identicament. La paritat de les funci-ons base s’ha tingut en compte per reduir ladimensio del problema i per interpretar la to-pologia de les diferents estructures de flux ques’han identificat. S’ha comprovat que el com-portament dels coeficients espectrals respecteals parametres de truncament s’ajusta forca beal comportament tıpic de la convergencia ge-ometrica.

Aquesta metodologia s’ha aplicat per de-terminar diagrames de bifurcacions dels fluxosestacionaris a l’interior d’una cavitat cubicaescalfada per sota per a valors Ra fins a1, 5 × 105. S’ha triat la geometria cubica per-que la seva propia simetria fa que tendeixin adesenvolupar-se fluxos amb simetries en la se-

va organitzacio espacial. En augmentar el Ra,aquests fluxos simetrics, tendeixen a tenir bifur-cacions de trencament de simetria i, per tant,els diagrames de bifurcacions que es generenson forca complexos, molt mes que en el casd’un paral.lelepıpede arbitrari. Aquest proble-ma s’ha investigat per a dos fluids amb propie-tats fısiques forca diferents, aire (Pr = 0, 71) ioli de silicona (Pr = 130), i per a dues condi-cions de frontera: parets laterals perfectamentadiabatiques i parets laterals perfectament con-ductores. S’han calculat, doncs, quatre diagra-mes de bifurcacions. La importancia de teniren compte les solucions inicialment inestablesha quedat palesa en aquest treball, ja que al-gunes d’aquestes solucions han esdevingut es-tables despres de passar per una o diverses bi-furcacions.

En total s’han continuat tretze i catorzebranques de solucions, respectivament, per aPr = 0, 71 i Pr = 130 en el cas de parets la-terals adiabatiques. D’aquestes n’hi ha cinc isis, respectivament, que son estables per a al-guns rangs de Ra en l’interval estudiat. Quanes consideren parets laterals perfectament con-ductores els nombre de branques calculades pera Pr = 0, 71 i Pr = 130 es vint-i-una i trenta-cinc, respectivament, de les quals n’hi ha qua-tre i nou, respectivament, que son estables pera alguns rangs de Ra en la regio investigada.En els quatre casos estudiats s’han trobat al-guns intervals de Ra en els quals existeixen al-hora mes d’una solucio estable. Molts dels flu-xos identificats evolucionen cap a fluxos forcames complexos quan s’augmenta el Ra. S’hacomprovat que quan aquesta evolucio es con-siderable queda perfectament reflectida en elscanvis que experimenta el nombre de Nusselt enels diagrames de bifurcacions. Els resultats ob-tinguts concorden amb els resultats experimen-tals previament publicats i expliquen la majoriade les transicions entre diferents estructures deflux observades per al cas Pr = 130.

62

• Ricard Martı i Miras va llegir la seva tesi, dirigida per Enric Nart Vinals,titulada Enumeracio d’orbites de n-conjunts d’espais projectius sota l’accio delgrup lineal, el dia 19 de juny de 2006. La tesi correspon al Departament deMatematiques de la Universitat Autonoma de Barcelona.

En aquesta memoria emprenem un estudi enu-meratiu dels n-conjunts racionals d’espais pro-jectius sobre un cos finit k. Atenent a la do-ble naturalesa dels n-conjunts (racionals punta punt o globalment) i al fet que admetin ono repeticions dels seus punts, l’objectiu de lamemoria es el d’obtenir formules explıcites pera les quatre famılies de nombres seguents:

TN (n) :=∣∣∣∣PGLN+1(k)\\

(PN (k)n

)∣∣∣∣ ,TN (n) :=

∣∣∣∣PGLN+1(k)\\((

PN (k)n

))∣∣∣∣ ,tN (n) :=

∣∣∣∣PGLN+1(k)\\(

PN

n

)(k)

∣∣∣∣ ,tN (n) :=

∣∣∣∣PGLN+1(k)\\((

PN

n

))(k)

∣∣∣∣ ,on, en general, donat un conjunt finit X i ungrup finit Γ que actua sobre X, denotem perΓ\\X el conjunt d’orbites d’aquesta accio, i(

PN

n

)(k) :=

(PN (k)n

)Gal(k/k)

((PN

n

))(k) :=

((PN (k)n

))Gal(k/k)

.

En el capıtol 1 de la memoria obtenimformules per als T2(n), T 2(n) i d’altres nombresrelacionats, que compten el nombre de classesd’isometria de codis de dimensio tres amb cer-tes propietats especıfiques. Les formules es ba-sen en un recompte explıcit del nombre de clas-ses de conjugacio d’elements de PGL3(k) quedonen lloc a permutacions de P2(k) amb la ma-teixa descomposicio en cicles i son prou mal.lea-bles com per permetre obtenir expressions delsnombres T2(n), T 2(n) com a polinomis en q (onk = Fq) amb coeficients racionals.

En el capıtol 2 trobem formules explıcitesper al nombre total de n-conjunts racionals ien el capıtol 3 estudiem el nombre d’orbites so-ta l’accio del grup lineal. El resultat clau es un

calcul de la funcio zeta del quocient d’un espaiprojectiu per un automorfisme. A partir d’a-quest resultat es pot imitar el procediment delcapıtol 1 per obtenir expressions explıcites perals t2(n), t2(n) com a polinomis en q amb coe-ficients enters.

En el capıtol 4 desenvolupem aquestes ide-es per a un espai projectiu PN de dimensio ar-bitraria. Els metodes utilitzats en els capıtolsanteriors se sintetitzen en la classificacio delselements de PGLN+1(k) en subtipus i en laconstruccio per a cada subtipus α d’un posetL(α) amb pesos dimensio i exponent en cadanode V , que permeten considerar un indicadord’exponents

L(PGLN+1,PN ) :=∑α∈T

Nα

∏V ∈L(α)

zα,V ∈ Q[zα,V ],

on T es el conjunt de tots els subtipus possiblesi Nα compta el nombre de classes de conjugaciode PGLN+1(k) amb subtipus α fixat. Els posetsL(α) es construeixen a partir de subvarietats li-neals γ-invariants propies, on γ ∈ PGLN+1(k)es qualsevol automorfisme amb subtipus α. Apartir d’aquest indicador d’exponents obtenim∑

n∈NTN (n)xn = L(PGLN+1,PN )|zα,V =hα,V (x)

,

∑n∈N

TN (n)xn = L(PGLN+1,PN )|zα,V =hα,V (x),

per a funcions hα,V (x), hα,V (x), que donemexplıcitament.

Considerem despres una distribucio analogadels elements de PGLN+1(k) en G-subtipus (laG fa referencia a Galois), i per a cada G-subtipus α construım un poset LG(α) amb pe-sos dimensio, exponent i grau en cada node V ,que permeten considerar un G-indicador d’ex-ponents

LG(PGLN+1,PN ) :=∑α∈TG

NG,α

∏V ∈LG(α)

zα,V ∈ Q[zα,V ],

63

on TG es el conjunt de tots els G-subtipus possi-bles i NG,α compta el nombre de classes de con-jugacio de PGLN+1(k) amb G-subtipus α fixat.A partir d’aquest G-indicador d’exponents po-dem obtenir com en el cas anterior un computexplıcit de la funcio generadora dels tN (n) itN (n).

Per poder pensar que aquestes formules sonplenament satisfactories des del punt de vistacombinatori calen dues coses. En primer lloc calobtenir una descripcio intrınseca dels conjunts

T , TG i dels posets L(α), LG(α), en termes dedades combinatories independents de l’estruc-tura de grup de PGLN+1(k); aquesta tasca s’a-compleix en el capıtol 4. Finalment, cal dispo-sar tambe de formules explıcites per als coefi-cients universals Nα, NG,α; aquesta tasca, ques’ha dut a terme en els capıtols 1, 2 i 3 en el casdel pla projectiu, adquireix una gran comple-xitat en dimensions mes grans i aquest calculha quedat finalment fora de l’abast d’aquestamemoria.

• Monica Manjarın Arcas va llegir la seva tesi, dirigida per Marcel NicolauReig, titulada Estudi d’una classe de varietats complexes compactes, el dia 6de juliol de 2006. La tesi correspon al Departament de Matematiques de laUniversitat Autonoma de Barcelona.

En aquesta tesi doctoral presentem una novatecnica per construir una famılia d’estructurescomplexes no-kahlerianes sobre certes classesde varietats compactes. La motivacio principald’aquest estudi es deu al fet que la majoria d’e-xemples de varietats complexes que es conei-xen, en particular totes les varietats projecti-ves, son de tipus kahleria, tot i que a partirde la dimensio 3 les varietats complexes de ti-pus kahleria son relativament escasses. L’einabasica es la classe de varietats reals de dimen-sio senar que admeten una estructura CR dedimensio maxima i una accio CR transversa deR, que es coneix com estructura normal de quasicontacte (nacs). Mes precisament, partim d’u-na varietat dotada d’una nacs i per construc-cions geometriques elementals obtenim una va-rietat compacta amb una estructura complexadefinida per mitja de la nacs de partida. Con-siderem tres construccions: (A) productes dedues varietats reals dotades de nacs, (B) S1-fibrats principals sobre una varietat amb unanacs (verificant una restriccio addicional sobreel fibrat) i (C ) suspensions d’una varietat ambuna nacs per un automorfisme que la preser-va. Totes les varietats obtingudes per aquestsprocediments admeten un camp holomorf sensezeros. Recıprocament, demostrem que l’estruc-tura complexa d’una varietat Kahler compactaque admet un camp holomorf sense zeros es potrecuperar per la construccio del cas (C). En par-ticular demostrem que tota varietat compactadotada d’una nacs admet una complexificacioi que tota varietat Kahler compacta amb uncamp holomorf sense zeros es la complexifica-

cio d’una varietat compacta amb una nacs. Laseguent questio que ens plantegem es caracte-ritzar quan les estructures complexes anteriorsadmeten una metrica kahleriana. Demostremque existeix una obstruccio perque les varietatsd’aquests tipus siguin de tipus kahleria que s’-expressa en termes d’un invariant cohomologicde la nacs de partida: la classe d’Euler del fluxassociat a la CR-accio. Provem que cap vari-etat complexa obtinguda per les construccionsanteriors pot ser de tipus kahleria a menys queles classes d’Euler de totes les nacs implicadessiguin zero. A mes, quan els fluxos associats ales CR-accions son isometrics donem condicionsnecessaries i suficients peque la varietat siguide tipus kahleria utilitzant la teoria transversade Hodge. En els casos (A) i (B) la caracte-ritzacio es pot expressar de forma aproximadadient que la varietat complexa resultant es detipus kahleria si i nomes si les classes d’Eulerson zero i els fluxos son transversalment kahle-rians. En el cas (C ), com que imposar que elflux sigui isometric es massa restrictiu, estudi-em la questio sota altres hipotesis. D’altra ban-da, com es coneixen pocs exemples de varie-tats de dimensio mes gran que 3 que admetinnacs, en la memoria estudiem nacs sobre grupsde Lie compactes i connexos de dimensio se-nar. Comencem caracteritzant geometricamenttotes les nacs invariants per l’esquerra sobre elsgrups de Lie semisimples compactes i connexosi utilizem aquesta discussio per construir (no-ves) nacs no-invariants sobre qualsevol grup deLie connex compacte de dimensio senar.

64

• Carme Olive Farre va llegir la seva tesi, dirigida per Tere Martınez-Seara,titulada Calcul de l’escissio de separatrius usant tecniques de matching com-plex i ressurgencia aplicades a l’equacio de Hamilton-Jacobi, el dia 10 de juliolde 2006. La tesi correspon al Departament de Matematica Aplicada I de laUniversitat Politecnica de Catalunya.

L’objecte del nostre estudi es aplicar les tecni-ques de matching complex i de la teoria de laressurgencia al problema de la mesura de zonescaotiques en sistemes dinamics hamiltonians.

Ens hem centrat en un exemple test quehan usat ja diferents autors anteriorment, comes el sistema del pendol amb una pertorbaciorapidament oscil.lant µ(1− cos q) sin(t/ε) amb0 < ε < 1. La metodologia i tecniques empra-des son pero aplicables a un ventall mes amplide sistemes. El parametre µ es independent deε i no necessariament petit.

Aquest tipus de sistemes es comporten compropers a integrables tot i que la pertorbaciono sigui petita, perque les zones caotiques es-devenen exponencialment petites quan ε ten-deix a zero. Per tenir una idea de la magnitudd’aquestes zones caotiques, estudiem el trenca-ment de les separatrius, associades a l’orbita ho-moclınica del sistema no pertorbat, i mesuremla separacio entre les varietats invariants esta-ble i inestable associades a l’orbita periodicahiperbolica apareguda quan el parametre µ noes zero. Aquestes varietats bidimensionals po-den representar-se com a grafs de les diferen-cials d’unes funcions analıtiques T+ i T−, queson dues solucions particulars de l’equacio enderivades parcials de Hamilton-Jacobi.

Despres d’un canvi de variables adequat enel pla complex, que ens porti prop de la sin-gularitat de l’orbita homoclınica del sistemano pertorbat, es possible obtenir de l’equaciode Hamilton-Jacobi una part dominant inde-pendent del parametre singular ε, anomenadaequacio Inner.

Mitjancant la teoria de la ressurgencia, apartir de dues solucions particulars de l’equacioInner, calculem en primer ordre de ε la separa-cio entre les varietats invariants.

La diferencia total T+−T− es solucio d’unaequacio en derivades parcials lineal homogenia,de la qual, per redrecament del flux, es demos-tra que les seves solucions fitades a una certabanda vertical complexa son exponencialmentpetites al camp real. Usant tecniques de matc-hing complex, obtenim tant la fita de T+−T−,com el canvi de variables que redreca el flux.

Si µ = εp, els resultats als quals hem arri-bat confirmen, en els casos 0 < p < 2 que enca-ra quedaven pendents, el terme dominant de ladistancia entre varietats que preveu el metodepertorbatiu de Poincare-Melnikov. En qualsevolcas, obtenim una formula asimptotica d’aques-ta distancia per a ε petit, amb el parametre µindependent de ε.

• Maria Rosa Latorre i Sarle va llegir la seva tesi, dirigida per JoaquimGimenez Rodrıguez, titulada Regulacion de la nocion de volumen en un au-la inclusiva, el dia 4 de maig de 2007. La tesi correspon al Departament deDidactica de les Ciencies Experimentals i la Matematica de la Facultat de Pe-dagogia de la Universitat de Barcelona.

Dins el mon educatiu s’han d’atendre les ne-cessitats d’una gran diversitat d’alumnat i, enparticular, s’han d’adequar a les estrategies d’a-prenentatge i ensenyament d’aquells alumnesdeficients auditius que es troben en aules in-clusives en l’educacio secundaria obligatoria, demanera que se’ls faciliti l’acces als nous conei-xements de forma significativa i dinamica. Eldesenvolupament de les noves tecnologies pos-

sibilita la incorporacio d’avencos tecnologics iajudes especıfiques en el treball matematic iamb aixo s’aconsegueixen noves maneres d’en-senyar i avaluar en matematiques.

El problema de la investigacio aporta dequina manera s’ha de dissenyar un entorn - sis-tema d’aprenentatge - regulacio sobre la nociode mesura de volum que permeti i potenciı l’ac-tivitat geometrica via l’ordinador, entre l’alum-

65

nat amb deficit auditiu, alumnat oient i profes-sorat. D’altra banda, tambe es mostra com esel desenvolupament del proces regulador i qui-nes son les dificultats, semblances i diferenciesquan es posa en funcionament aquest entorn enuna aula inclusiva amb una alumna deficientauditiva i alumnes oients amb dificultats d’a-prenentatge del mateix nivell que ella mateixa,durant dos cursos academics.

Per a poder respondre a aquesta problema-tica, s’ha desenvolupat i implementat un primerdisseny d’adaptacions curriculars teletutoritza-des sobre volum, i s’ha possibilitat un posteri-or redisseny de l’estructura mes pautat, a par-tir dels resultats obtinguts. D’aquesta mane-ra, partint de l’analisi del disseny inicial i dela replanificacio no nomes s’estableixen i tipifi-quen les semblances, diferencies i dificultats en

el proces d’aprenentatge de l’alumna deficientauditiva, de la seva parella oient i de la resta del’alumnat oient sobre l’adquisicio de la nocio dela mesura de volum i les seves caracterıstiques,sino que permet la identificacio de les ajudes es-pecıfiques que s’han d’oferir als alumnes sordsper tal d’afrontar les seves dificultats a l’ho-ra de construir la idea de volum, cosa que re-forca al mateix temps el sistema cognitiu del’alumnat, en fer-los conscients dels seus pro-pis progressos. Finalment, es mostra l’evolucioal llarg de tot el proces de la construccio de laidea de volum, tant per part de l’alumna defi-cient auditiva com de l’alumnat oient, respecteals aspectes relacionats amb el volum que s’haconsiderat en aquesta investigacio: la visualit-zacio, la unitat, la variabilitat, la comparacio iequivalencia i l’estimacio del volum.

66

Birkhäuser Customer Servicec/o SDCHaberstrasse 7D-69126 HeidelbergTel.: +49 / 6221 / 345 0 Fax: +49 / 6221 / 345 42 29e-mail: orders@birkhauser.ch

www.birkhauser.ch

Titles of 2007

Pucci, P., Università degli Studi di Perugia, Italy / Serrin, J., Universi-ty of Minnesota, MN, USA

The Maximum Principle2007. X, 234 pp. HardcoverEUR 49.90 / CHF 85.00ISBN 978-3-7643-8144-8PNLDE – Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications

Maximum principles are bedrock results in the theory of second order elliptic equations. This principle, simple enough in essence, lends itself to a quite remarkable number of subtle uses when combined appropria-tely with other notions.

Intended for a wide audience, the book provides a clear and comprehensive explanation of the various maximum principles available in elliptic theory, from their beginning for linear equations to recent work on nonlinear and singular equations.

Arzhantseva, G., Université de Genève, Switzerland / Bartholdi, L., Swiss Federal Institute of Tech-nology, Lausanne / Burillo, J., Uni-versitat Politècnica de Catalunya / Ventura, E.,Universitat Politècnica de Catalunya, Barcelona, Spain

Geometric Group TheoryGeneva and Barcelona Conferences

2007. 253 pp. 39 illus.HardcoverEUR 109.00 / CHF 179.00ISBN 978-3-7643-8411-1TM – Trends in Mathematics

This volume assembles research papers in geometric and combinatorial group theory. This wide area may be defined as the study of those groups that are defined by their action on a combinatorial or geometric object, in the spirit of Klein’s programme.

The contributions range over a wide spectrum: limit groups, groups associated with equations, with cellular automata, their structure as metric objects, their decomposi-tion, etc. Their common denominator is the language of group theory, used to express and solve problems ranging from geometry to logic.

Ma, X., Ecole Polytechnique, Paris, France / Marinescu, G. University of Köln, Germany

Holomorphic Morse Inequalities and Bergman Kernels2007. XIII, 422 pp.HardcoverEUR 59.90 / CHF 105.00ISBN 978-3-7643-8096-0PM – Progress in Mathematics

This book gives for the first time a self-contained and unified approach to holomorphic Morse inequalities and the asymptotic expansion of the Bergman kernel on manifolds by using the heat kernel, and presents also various applications.

The main analytic tool is the analytic localization technique in local index theory developed by Bismut-Lebeau. The book includes the most recent results in the field and therefore opens perspectives on several active areas of research in complex, Kähler and symplectic geometry. A large number of applications are included, e.g., an analytic proof of the Kodaira embedding theorem, a solution of the Grauert-Riemenschneider and Shiffman conjectures, a compactification of complete Kähler manifolds of pinched negative curvature, the Berezin-Toeplitz quantization, weak Lefschetz theorems, and the asymptotics of the Ray-Singer analytic torsion.

Costa, D.G., University of Nevada, Las Vegas, USA

An Invitation to Variational Methods in Differential Equations2007. XII, 138 pp. 9 illus.SoftcoverEUR 39.90 / CHF 65.00ISBN 978-3-7643-4535-9

This book is a short introductory text to variational techniques with applications to differential equations. It presents a sampling of topics in critical point theory with applications to existence and multiplicity of solutions in non-linear problems involving ordinary differential equations (ODEs) and partial differential equations (PDEs).

Five simple problems in ODEs which illustrate existence of solutions from a variational point of view are introduced in the first chapter. These problems set the stage for the topics covered, including minimization, deformation results, the mountain-pass theorem, the saddle-point theorem, critical points under constraints, a duality principle, critical points in the presence of symmetry, and problems with lack of compactness. Each topic is presented in a straightforward manner, and followed by one or two illustrative applications.

The concise, straightforward, user-friendly approach of this textbook will appeal to graduate students and researchers interested in differential equations, analysis, and functional analysis.

67

SOCIETAT CATALANA DE MATEMATIQUES

Filial de l’Institut d’Estudis Catalans

Carrer del Carme, 47, 08001 Barcelona

c/e: scm@iec.cat Adreca web: http://scm.iec.cat

Sol.licitud d’inscripcio com a soci de la SCM o actualitzacio de dades

Tipus de soci: Ordinari Estudiant (cal acreditacio*) Institucio

En reciprocitat. Soc soci de(Al web trobareu la llista de societats amb les quals la SCM te acords de reciprocitat.)

Desitjo fer-me soci en reciprocitat de: EMS RSME

Nom i cognoms:o Institucio

Adreca: Telefon:

Fax: Correu electronic:

Codi postal: Poblacio:

Lloc d’estudi o de treball:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Butlleta per a la domiciliacio bancaria

El sotasignat autoritza que anualment es faci efectiu el rebut de soci de la Societat Catalana de Ma-

tematiques a nom de

a la llibreta d’estalvi/el compte corrent/la targeta de credit que s’indica seguidament:

Titular del compte:

Entitat bancaria:

Codi de l’entitat bancaria:

Adreca de l’oficina:

Codi de l’oficina i dıgits de control:

Numero del compte o llibreta:

Targeta de credit:

Valida fins al:

Data: DNI:

Signat:

SignaturaLes quotes per a l’any 2007 i 2008 son les seguents: 34 euros socis ordinaris, 17 euros socis estudiantsi membres de societats amb conveni de reciprocitat, 68 euros institucions, 20 euros EMS i 23,5 eurosRSME les dues ultimes pagant la quota a traves de la SCM.

*Cal adjuntar fotocopia del comprovant de la matrıcula.