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Semana06[1/14]

Principio de induccin y Sumatorias

3 de abril de 2007



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Induccin Semana06[2/14]

Principio de induccin: Primera forma

Una categora importante de proposiciones y teoremas es la de las propiedades de los nmeros naturales.Aqu tenemos, por ejemplo

(n )n< 2n

(n ) (nes primo n=2) nes impar

(n 1)32n+1 +2n+2 es divisible por7

En general, sip(n)es una proposicin cuya variable libre npertenece a , las distintas formas delprincipio

de induccinnos proporcionan proposiciones equivalentes a la proposicin

(n n0)p(n)

Estas formas alternativas nos facilitarn en muchos casos obtener una demostracin de la propiedad buscada.

Principio de induccin, primera forma

Consideremos la proposicin(n n0)p(n)

donden0 es un nmero natural fijo.La primera forma del principio de induccin nos dice que esta proposicin es equivalente a

p(n0) [(n n0)p(n) p(n+1)]



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Principio de induccin: Ejemplos

Observemos los siguientes ejemplos:

ProposicinDemostrar que

(n ) 32n+1 +2n+2 es divisible por7

Demostracin.El caso base esn= 0. Aqu, tenemos que demostrar que

320+1 +20+2 es divisible por7

Pero esto es verdadero, pues320+1 +20+2 =3 +4= 7.Supongamos ahora que tenemos unn tal que se cumple la propiedad, es decir que32n+1 +2n+2 esdivisible por 7.Con esta informacin, a la cual llamamos hiptesis inductiva, tenemos que demostrar que32(n+1)+1 +2(n+1)+2 es tambin divisible por 7.Gracias a la hiptesis inductiva, tenemos que existe un k

tal que32n+1 +2n+2 =7k. Entonces:

32(n+1)+1 +2(n+1)+2 = 32n+3 +2n+3

= 9 32n+1 +2 2n+2

= (7 32n+1 +2 32n+1) +2 2n+2

donde esta descomposicin la hacemos de modo de poder factorizar el trmino32n+1 +2n+2.Contina...



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Continuacin demostracin.As, continuamos desarrollando

32(n+1)+1 +2(n+1)+2 = 7 32n+1 +2 (32n+1 +2n+2)

= 7 32n+1 +2 7k

= 7 (32n+1 +2k)

por lo que concluimos que32(n+1)+1 + 2(n+1)+2 es divisible por 7. Gracias al principio de induccin, la propiedaden cuestin es cierta.



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Proposicin

Demostrar que

(n 1)1 +2+. . .

+n=

n(n+1)

2

Demostracin.El caso base a demostrar en esta ocasin es n= 1.Aqu, tenemos que demostrar que

1=1 (1 +1)

2

lo que es cierto.Supongamos ahora que la propiedad vale para algn n 1(hiptesis inductiva). Debemos demostrar que lapropiedad tambin es cierta paran+1. Es decir, que

1+2 + . . . + (n+1) =(n+1)(n+2)

2

En efecto:

1 +2+ . . . + (n+1) = 1 +2+ . . . +n+ (n+1)

= n(n+1)

2 + (n+1)

= n(n+1) +2(n+1)

2

= (n+1)(n+2)

2

y se concluye la veracidadde la propiedad gracias al

principio de induccin.


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Principio de induccin: Segunda forma

La segunda forma del principio de induccin nos dice:

Principio de induccin, segunda forma

La proposicin

(n n0)p(n)

es equivalente a

p(n0) (n>n0) [p(n0) . . . p(n 1) p(n)]

Como ejemplo de la aplicacin de esta forma del principio de induccin,

recordemos que los nmeros compuestos son los nmeros naturales mayores que 1 que poseen un divisor

distinto de 1 y de s mismos, es decir, si n 2:

nes compuesto (d {2, . . . , n 1})d |n

Recordemos tambin que los nmeros primos son los que no son compuestos.


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Principio de induccin: Ejemplo

ProposicinTodo nmero naturaln 2posee al menos un divisor que es un nmero primo. Es decir,

(n 2)(pnmero primo)p| n

Demostracin.Utilizaremos segunda forma de induccin. El caso base esn= 2, para el cual observamos que p= 2 es unnmero primo tal que p| n.

Hagamos ahora el paso inductivo: Sea n> 2, y supongamos que para todo valor k=2, 3, . . . , n 1se tienequekposee un divisor primo. Separamos por casos:

Sines primo, entonces p= nes un nmero primo tal que p| n.

Sinno es primo, entonces existe un natural d {2, . . . , n 1}tal qued |n.Por hiptesis inductiva ynotando qued


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Frmulas de recurrencia

Consideremos el siguiente set de igualdades, al cual llamaremos recurrencia:

x0 = axn+1 = f(x0, . . . , xn) (n 0)

Las recurrencias nos permitirn una forma alternativa de definir secuencias de nmeros, como por ejemplo

x0=2

xn+1=2+xn (n 0)

define la secuencia2, 4, 6, 8, 10, . . .de nmeros pares positivos.Una cualidad importante de las frmulas de recurrencia es que son altamente compatibles con lasdemostraciones que utilizan principio de induccin. Por ejemplo, consideremos la frmula de recurrencia

x0 = 1

xn+1 = 1+xn

2

2(n 0)

Demostraremos que(n )xn 2.

Demostracin.Lo haremos utilizando primera forma de induccin. El caso base resulta ser cierto pues corresponde ademostrar quex0 2(recordemos quex0= 1).Supongamos ahora que para algnn se tiene quexn 2. Se tiene, entonces, que

xn+1= 1+xn

2

2=1 +

x2n4

1+22

4 =2

con lo quexn+1 2, y se concluye la demostracin.Principio de induccin y Sumatorias

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Frmulas de recurrencia

Consideremos la secuencia de nmeros definida por la recurrencia

f1 = 1

f2 = 1

fn+2 = fn+1+fn (n )

la cual se llama secuencia denmeros de Fibonacci. Sus primeros trminos son

f1 = 1

f2 = 1f3= f2+f1= 1 +1 = 2

f4= f3+f2= 2 +1 = 3

f5= f4+f3= 3 +2 = 5

f6= f5+f4= 5 +3 = 8...

ObservacinLos nmeros de Fibonacci estn relacionados con muchos elementos de la naturaleza. Visitahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonacci, para ms detalles.


I d i Semana06[10/14]
http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonaccihttp://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonacci


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Frmulas de recurrencia: Nmeros de Fibonacci

Entre muchas propiedades que cumplen, demostraremos la siguiente:

Propiedad

(n 1)f4nes divisible por3

Demostracin.La demostraremos usando primera forma de induccin. El caso base es n= 1, en el cual tenemos que probarquef4 es divisible por 3. Esto es directo, pues como ya vimos, f4=3.Para el paso inductivo, supongamos que f4nes divisible por 3 para algn n 1. Existe, entonces, unk tal

quef4n=3k. Debemos demostrar que f4(n+1) es divisible por3

Desarrollemos este trmino, utilizando la frmula de recurrencia que cumplen los nmeros de Fibonacci:

f4(n+1) = f4n+4

= f4n+3+f4n+2

= (f4n+2+f4n+1) + (f4n+1+f4n)= f4n+2+2f4n+1+f4n

= (f4n+1+f4n) +2f4n+1+f4n

= 3f4n+1+2f4n

= 3f4n+1+2 3k

= 3(f4n+1+2k)

con lo quef4(n+1tambin es divisible por 3, que era lo que desebamos.


S t i Semana06[11/14]


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Sumatorias Semana06[11/14]

Introduccin

Seaa0, a1, a2, . . . , anuna secuencia de nmeros reales. En esta seccin estudiaremos propiedades y mtodos

de clculo para su suma a0+a1+a2+ . . . +an

Introduciremos para este efecto una notacin especial:

a0+a1+a2+ . . . +an=n

k=0

ak

Al smbolo le llamaremossumatoria.Ms generalmente:

SumatoriaSiaM, aM+1, . . . ,aNes una secuencia de nmeros reales, definimos su sumatoria por recurrencia:

Mk=M

ak = aM

nk=M

ak = an+n1k=M

ak (n= M+ 1, . . . ,N)

En este captulo estudiaremos propiedades y mtodos de clculo para sumatorias de diversos tipos.




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Sumatorias: Propiedades

La sumatoria cumple la siguiente lista de propiedades:

Propiedades1 Suma de la secuencia constante igual a 1.

Jk=I

1= (J I+1)

2

Sea

, y sean(ak)

n

k=1,(bk)

n

k=1 dos secuencias.2.1 Factorizacin de constantes.J

k=I

ak = J

k=I

ak

2.2 Separacin de una suma.J

k=I

(ak+ bk) =J

k=I

ak+J

k=I

bk

3 Traslacin del ndice, sis .J

k=I

ak=J+s

k=I+s

aks




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5 Separacin en dos sumas, siI L < J.

J

k=I

ak =L

k=I

ak+J

k=L+1

ak

6 Propiedad telescpica.J

k=I

(ak ak+1) =aI aJ+1

Demostracin.Demostraremos (1) y (6).Para (1): Lo haremos por induccin sobre JI.Caso baseJ=I: debemos demostrar que

Ik=I

1= (I I+1)

lo cual es directo, pues ambos lados valen 1.Supongamos ahora que

Jk=I1 = (J I+1). Entonces

J+1k=I

1= 1 +J

k=I

1= 1+ (J I+1) = (J+1) I+1

Contina...Principio de induccin y Sumatorias



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Continuacin demostracin.Para (6): Nuevamente por induccin sobre JI.SiJ=I, el resultado se reduce a demostrar que

Ik=I

(ak ak+1) =aI aI+1

lo cual es directo gracias a la definicin de sumatoria.Supongamos ahora que

Jk=I(ak ak+1) =aI aJ+1. Entonces

J+1k=I

(ak ak+1) = (aJ+1 aJ+2) +J

k=I

(ak ak+1) = (aJ+1 aJ+2) + (aI aJ+1) =aI aJ+2


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