inferenc.PDF

I.E.S. Bajo Guadalquivir 1

Ejercicios Ejercicio 1 La altura de los jvenes andaluces se distribuye segn una ley normal de media desconocida y varianza 25 cm2. Se ha seleccionado una muestra aleatoria y, con una confianza del 95%, se ha construido un intervalo para la media poblacional cuya amplitud es de 2.45 cm.

a) Cul ha sido el tamao de la muestra seleccionada? b) Determina el lmite superior y el inferior del intervalo de confianza si la muestra

tomada dio una altura media de 170 cm. Solucin: a) 64 b) I = (168.775, 171.225) Ejercicio 2 Se conoce que el nmero de das de permanencia de los enfermos de un hospital sigue una distribucin normal de media 8.1 das y desviacin tpica 9 das. Se elige al azar una muestra de 100 enfermos:

a) Razona cul es la distribucin de la media muestral. b) Cul es la probabilidad de que la media muestral est comprendida entre 8 y 10

das? Solucin: a) N(8.1, 0.9) b) 0.4264 Ejercicio 3 Tomada al azar una muestra de 500 personas de una determinada comunidad, se encontr que 300 lean la prensa diaria regularmente.

1. Halla, con un intervalo de confianza del 90%, un intervalo para estimar la proporcin de lectores entre las personas de esa comunidad.

2. A la vista del resultado anterior, se pretende repetir la experiencia para conseguir una cota de error del 5% (de la proporcin) con el mismo nivel de confianza del 90%. Cuntos individuos ha de tener la muestra?

Solucin: 1. I = (0.563, 0.636) 2. n = 722 Ejercicio 4 Queremos estimar la media de una variable aleatoria que se distribuye normalmente con una desviacin tpica de 3.2. Para ello, se toma una muestra de 64 individuos, obtenindose una media de 32.5. Con qu nivel de confianza se puede afirmar que la media de la poblacin est entre 31.5 y 33.5? Si la desviacin tpica de la poblacin fuera 3, cul es el tamao que debera tener la muestra con la que estimamos la media poblacional si queremos que el nivel de confianza sea del 99% y el error admisible no supere el valor de 0.75? Solucin: C = 98.76% n = 107 Ejercicio 5 La vida media de una muestra tomada al azar de 121 bombillas es de 3000 horas y la desviacin tpica es de 220 horas. Calcula el intervalo de confianza aproximado para la media poblacional para un nivel de confianza del 99%. Solucin: I = (2948.48, 3051.52)


Ejercicio 6 A partir de la informacin suministrada por una muestra aleatoria de 100 familias de cierta ciudad, se ha determinado el intervalo de confianza al 99% (42.58) para el gasto medio mensual por familia (en euros) en electricidad. Determina, justificando las respuestas:

a) La estimacin puntual que daramos para el gasto medio mensual por familia en electricidad en esa ciudad.

b) Qu nmero de familias tendramos que seleccionar al azar, como mnimo, para garantizarnos, con una confianza del 99%, una estimacin de dicho gasto medio con un error mximo no superior a 3 euros?

Solucin: a) 50 b) 3341 familias Ejercicio 7 Se supone que la altura de las alumnas de segundo de bachillerato de una determinada ciudad sigue una distribucin normal de 165 cm y desviacin tpica de 11 cm. Se toma una muestra al azar de 121 de estas alumnas y se calcula su media. Cul es la probabilidad de que esta media sea menor que 164 cm.? Solucin: 0.1587 Ejercicio 8 El peso de las 100 vacas de una ganadera se distribuye segn una normal de media 600 kg. y una desviacin tpica de 50 kilos. Se pide:

a) Cuntas vacas pesan ms de 570 kilos? b) Cuntas pesan menos de 750 kilos? c) Cuntas pesan entre 500 y 700 kilos?

Solucin: a) 73 vacas, b) todas las vacas, c) 99 vacas Ejercicio 9 En una muestra aleatoria de 300 votantes, 180 se mostraron favorables al partido A.

a) Estima en tanto por ciento, y con un nivel de confianza del 99%, entre qu lmites se encuentra la proporcin de votantes al partido A.

b) Con un nivel de confianza del 95%, cul debe ser el tamao de la muestra para que se realice una estimacin con un error menor o igual a 0.05?

Solucin: a) Entre el 52.7% y el 6.2% b) n = 369 Ejercicio 10 Se selecciona aleatoriamente una muestra de 600 personas en una ciudad y se les pregunta se consideran que el trfico en la misma es aceptablemente fluido. Responden afirmativamente 250 personas. Cul es el intervalo de confianza de la proporcin de ciudadanos de esa ciudad que consideran aceptable la fluidez del trfico, con un nivel de confianza del 90%? Solucin: I = (0.376, 0.443) Ejercicio 11 Se va a realizar una encuesta entre la poblacin espaola mayor de edad. Si se admite un margen de error del 2%, a cuntas personas habr que entrevistar con un nivel de confianza del 95%? Solucin: A 2401 personas.


Ejercicio 12 Una variable aleatoria X tiene distribucin normal, siendo su desviacin tpica igual a 3.

a) Si se consideran muestras de tamao 16, que distribucin sigue la variable aleatoria media muestral?

b) Si se desea que la media de la muestra no difiera en ms de 1 unidad de la media de la poblacin, con probabilidad de 0.99, cuntos elementos, como mnimo, se deberan tomar en la muestra?

Solucin: a) N(, 3/4) b) 60 elementos Ejercicio 13 En una poblacin, los ingresos anuales siguen una distribucin normal con una media de 2 millones de euros y una desviacin tpica de 800000 . Si la proporcin de pobres es el 4% y la de ricos el 2%, cules son los ingresos anuales que marcan los lmites de la pobreza y de la riqueza en esa poblacin? Solucin: El lmite de la pobreza sera 600000 y el de la riqueza 3643200. Ejercicio 14 Una poblacin de tamao 1000 se ha dividido en 4 estratos de tamao 150, 400, 250 y 200.

a) Utilizando la tcnica de muestreo aleatorio estratificado con afijacin proporcional se han seleccionado 10 individuos del tercer estrato. Cul es el tamao de la muestra?

b) Utilizando la tcnica del apartado anterior se desea seleccionar una muestra de tamao 20. Cmo debe tomarse dicha muestra?

Solucin: a) n = 40, b) 3, 8, 5 y 4 Ejercicio 15 Si una variable aleatoria X obedece a una ley normal de media 10 y desviacin tpica 2, contesta:

a) Si se toman distintas muestras, todas de tamao 100, de esa variable X y se considera la nueva variable X media muestral, obtener su media y su desviacin tpica.

b) Cul es la probabilidad de que X tome valores fuera del intervalo [ ]9,11 ? Solucin: a) = 10, = 0.2 b) la probabilidad de que X tome valores fuera del intervalo [ ]9,11 es prcticamente 0. Ejercicio 16 Se desea estimar la cantidad media de dinero que los estudiantes de un centro se gastan para el da de San Valentn. Se sabe que la desviacin tpica de toda la poblacin es de 700 pts., y que una muestra de 49 estudiantes se gast una media de 2300 pts.

a) Hallar un intervalo de confianza con un nivel del 95% para la media poblacional.

b) Con que nivel de confianza se puede afirmar que la media de todo el centro est entre 2050 y 2550 pts?

Solucin: a) (2135.5, 2464.5) b) 98.76%


Ejercicio 17 La cuarta parte de una poblacin ha sido vacunada contra una enfermedad. Cul es el tamao mnimo que debe tener una muestra de dicha poblacin para que, con un nivel de confianza del 95%, la proporcin muestral y la poblacional no difieran en ms de 0.02? Explica los pasos seguidos para obtener la respuesta. Solucin: n = 1801 Ejercicio 18 El coeficiente intelectual de los alumnos y alumnas de un centro se distribuye segn una ley normal de media 110 y desviacin tpica 16. Nos proponemos extraer una muestra aleatoria de 25 alumnos.

a) Cul ser la distribucin de las medias de las muestras que pueden extraerse?

b) Cul ser la probabilidad de que el coeficiente intelectual medio de los 25 alumnos de la muestra sea superior a 115?

c) Dar el intervalo para la media de los coeficientes intelectuales de la muestra con un nivel de confianza del 99%.

Solucin: a) N(110,3.2) b) 0.0594 c) I = (101.756, 118.243) Ejercicio 19 El nmero de horas semanales de ocio que los estudiantes de Bachillerato dedican a la lectura sigue una Normal de media 7 horas y varianza 1.44. Tomamos una clase de 36 estudiantes para estudiar su media muestral. a) Cul es la probabilidad de que esta media est entre 7.3 y 7.6 horas? b) Si tomramos 150 muestras de 36 estudiantes cada una, En cuntas de ellas cabra esperar una media muestral inferior a 7.1 horas? Solucin: a) 0.06545 b) en 104 Ejercicio 20 El coeficiente intelectual de una poblacin sigue una distribucin normal con media 100 y desviacin tpica 12. Se elige al azar una muestra de 16 personas.

a) Qu distribucin sigue la media muestral? Justifcalo. Cul es su media y su desviacin tpica?

b) Encontrar la probabilidad de que la media de sus coeficientes intelectuales este comprendida entre 98 y 102.

Solucin: a) X ~ N(100,3) b) 0.4908 Ejercicio 21 El peso de los nios varones a las 10 semanas de vida se distribuye segn una normal con desviacin tpica de 87 g. Cuntos datos son suficientes para estimar, con una confianza del 95%, el peso medio de esa poblacin con un error no superior a 15 g.? Solucin: n = 130


Ejercicio 22 El consumo de un cierto producto sigue una distribucin normal con varianza 300. A partir de una muestra de tamao 25 se ha obtenido una media muestral igual a 180. Halle un intervalo de confianza al 95% para la media del consumo. Solucin: I = (173.21, 186.789) Ejercicio 23 Los estudiantes de las Universidades de cierto pas dedican al estudio un nmero de horas semanales que sigue una distribucin normal de media desconocida y de desviacin tpica 7 horas. Calcule cuantos estudiantes debern seleccionar al azar para determinar el parmetro con una precisin inferior a una hora y con una confianza del a) 90% b) 99% Solucin: a) n = 133, b) n = 326 Ejercicio 24 La edad, en aos de las personas de una poblacin se distribuye normalmente con media desconocida y varianza 4. Cul es el tamao muestral a partir del cual la edad media de la poblacin difiere de la media muestral en menos de 1 ao con una confianza del a) 90%, b) 99%? Solucin: a) n = 11 b) n = 27 Ejercicio 25 La talla de los individuos de una poblacin sigue una distribucin normal de media y desviacin tpica 8 cm. Se han determinado las tallas de 25 individuos, encontrndose una media de 168 cm. Obtenga un intervalo de confianza al 95% para la media de la poblacin. Solucin: I = (164.864, 171.136) Ejercicio 26 La media de edad de los alumnos que se presentan a las pruebas de acceso a la Universidad es de 18.1 aos y la desviacin tpica 0.6 aos.

a. (1 punto) De los alumnos anteriores se elige, al azar, una muestra de 100, cul es la probabilidad de que la media de la edad de la muestra est comprendida entre 17.9 y 18.2 aos?

b. (1 punto) Qu tamao debe tener una muestra de dicha poblacin para que su media est comprendida entre 17.9 y 18.3 aos, con una confianza del 99.5%?

Solucin: a) 0.95107 b) n = 72 Ejercicio 27 Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 individuos a los que se ha medido el nivel de glucosa en sangre, obtenindose una media muestral de 110 mg/cc. Se sabe que la desviacin tpica de la poblacin es de 20 mg/cc. 1. (1.5 puntos) Obtenga un intervalo de confianza, al 90%, para el nivel de glucosa en

sangre en la poblacin. 2. (0.5 puntos) Qu error mximo se comete con la estimacin anterior? Solucin: 1. I = (106.71, 113.29) 2. 3.29


Ejercicio 28 Las ventas mensuales de una tienda de electrodomsticos se distribuyen segn una ley normal con desviacin tpica 90000 ptas. En un estudio estadstico de las ventas realizadas en los ltimos 9 meses, se ha encontrado un intervalo de confianza para la media mensual de las ventas, cuyos extremos son 466300 y 583900 ptas.

a. (0.5 puntos) Cul ha sido la media de las ventas en estos 9 meses? b. (1.5 puntos) Cul es el nivel de confianza de este intervalo?

Solucin: a) 525100 b) 95% Ejercicio 29 La media de las estaturas de una muestra aleatoria de 400 personas de una ciudad es 1.75 metros. Se sabe que la estatura de las personas de esa ciudad es una variable aleatoria que sigue una distribucin normal con varianza 2 = 0.16m2

1. (1 punto) Construya un intervalo, de un 95% de confianza, para la media de las estaturas de la poblacin.

2. (1 punto) Cul sera el mnimo tamao muestral necesario para que pueda decirse que la verdadera media de las estaturas est a menos de 2 cm. de la media muestral, con una confianza del 90%?

Solucin: 1. I = (1.746, 1.753) 2. n = 11 Ejercicio 30 (2 puntos) Sabiendo que la varianza de una ley normal es 162 = , determine el nivel de confianza con el que puede decirse que su media est comprendida entre 6.2 y 8.8, si se toma una muestra aleatoria de tamao 36 de esa ley normal, cuya media muestral es 7.5. Solucin: 95% Ejercicio 31 En los individuos de una poblacin, la cantidad de colesterol en sangre se distribuye segn una ley normal de media desconocida y desviacin tpica de 0.5 g/l. Hemos tomado una muestra de 10 individuos, y se ha obtenido una media muestral de 1.7 g/l. a) (1 punto) Obtenga un intervalo de confianza, al 95 %, para la cantidad media de

colesterol en sangre de la poblacin. b) (1 punto) Qu nivel de confianza tendra un intervalo para la media cuyos lmites

fuesen 1.293 y 2.107? Solucin: a) I = (1.39, 2.009) b) 99% Ejercicio 32 Una agencia de alquiler de automviles necesita estimar el nmero medio de kilmetros diarios que realiza su flota de automviles. Se sabe que el nmero de kilmetros por da sigue una distribucin normal con desviacin tpica de 6 Km/da. Se toman los recorridos de 100 vehculos de la flota, obtenindose que la media muestral es de 165 Km/da. a) (1 punto) Construya un intervalo de confianza para la media de dicha distribucin a

un nivel de confianza del 95 %. b) (1 punto) Cul debera ser el tamao de la muestra para asegurar al nivel de

confianza del 90 % que el error cometido es a lo sumo 0.1? Solucin: a) I = (163.871, 166.128) b) n = 9742


Ejercicio 33 (2 puntos) Segn un estudio sociolgico, el gasto mensual de los jvenes espaoles durante los fines de semana se distribuye segn una ley normal de media 25000= pts. y desviacin tpica 3000= pts. Tomamos, al azar, una muestra de 36 jvenes. Cul es la probabilidad de que esta muestra tenga un gasto medio comprendido entre 23800 pts. y 26200 pts? Solucin: 0.9836 Ejercicio 34 Se desea estimar, con un error mximo de 0.2 horas, el tiempo medio de estudio diario de los alumnos de primer curso universitario. Se sabe que la desviacin tpica es de 1 hora y se toma una muestra aleatoria de 100 alumnos. a) (1 punto) Calcule el nivel de confianza del intervalo que se obtendr. b) (1 punto) Calcule el nmero de individuos que debe tener una muestra para

asegurarnos una confianza del 99 %. Solucin: a) 95.44% b) n = 166 Ejercicio 35 Un estudio realizado sobre 100 usuarios revela que un automvil recorre anualmente un promedio de 15200 Km con una desviacin tpica de 2250 Km. a) (1 punto) Determine un intervalo de confianza, al 99 %, para la cantidad promedio

de kilmetros recorridos. b) (1 punto) Cul debe ser el tamao mnimo de la muestra para que el error

cometido no sea superior a 500 Km, con igual confianza? Solucin: a) I = (14620.4, 15779.6) b) n = 135 Ejercicio 36 (2 puntos) La cantidad de hemoglobina en sangre del hombre sigue una ley normal con desviacin tpica de 2 g/dl. Calcule el nivel de confianza de una muestra de 12 extracciones de sangre que indique que la media poblacional de hemoglobina en sangre est entre 13 y 15 gramos por decilitro. Solucin: 91.64% Ejercicio 37 (2 puntos) Una ciudad de 2000 habitantes est poblada por personas de pelo negro, rubio o castao. Se ha seleccionado, mediante muestreo aleatorio estratificado con afijacin proporcional, una muestra constituida por 28 personas de pelo negro, 32 de pelo rubio y 20 de pelo castao. Determine cul es la composicin, segn el color del pelo, de esa ciudad. Solucin: 700 de pelo negro, 800 de pelo rubio y 500 de pelo castao. Ejercicio 38 (2 puntos) En una poblacin normal con varianza conocida se ha tomado una muestra de tamao 49 y se ha calculado su media: 4.2=x . Determine la varianza de la poblacin sabiendo que el intervalo de confianza, al 95 %, para la media poblacional es (3.64, 4.76). Solucin: 2 = 4


Ejercicio 39 Una muestra aleatoria de 36 cigarrillos de una marca determinada dio un contenido medio de nicotina de 3 miligramos. Se sabe que el contenido en nicotina de estos cigarrillos sigue una distribucin normal con una desviacin tpica de 1 miligramo. a) (1 punto) Cul es la probabilidad de que el contenido medio en nicotina de los

cigarrillos de esa marca sea superior a 3.2 miligramos? b) (1 punto) Obtenga un intervalo de confianza al 99% para el contenido medio de

nicotina de estos cigarrillos. Solucin: a) 0.1151 b) I = (2.570, 3.429) Ejercicio 40 Tomada, al azar, una muestra de 120 estudiantes de una Universidad, se encontr que 54 de ellos hablaban ingls. Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de confianza para estimar la proporcin de estudiantes que hablan el idioma ingls entre los estudiantes de esa Universidad. Solucin: I = (0.3753, 0.5247) Ejercicio 41 Con los datos del ejercicio anterior, se pretende repetir la experiencia para conseguir que la cota del error que se comete al estimar, por un intervalo de confianza, la proporcin de alumnos que hablan ingls en esa Universidad no sea superior a 0.05, con un nivel de confianza del 99%. Cuntos alumnos tendramos que tomar, como mnimo, en la muestra? Solucin: n = 657 Ejercicio 42 Tomada una muestra aleatoria de 300 personas mayores de edad de una gran ciudad, se obtuvo que 105 haban votado a un determinado partido X. Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de confianza que permita estimar la proporcin de votantes del partido X en esa ciudad. Solucin: I = (0.305, 0.395) Ejercicio 43 En una muestra aleatoria de 300 personas mayores de edad de una gran ciudad se encontr que 105 lean un determinado peridico X. A la vista de esos datos se pretende seleccionar una nueva muestra para conseguir una cota de error de 3 centsimas como mximo, con un nivel de confianza del 95%, para la estimacin de la proporcin de lectores de ese peridico por medio de un intervalo de confianza. Deduzca el nmero de individuos de la poblacin que, como mnimo, debe tener la muestra. Solucin: n = 972 Ejercicio 44 En una encuesta realizada a 500 mujeres adultas de una poblacin se encontr que 300 de ellas estn casadas actualmente. Construya con estos datos un intervalo de confianza, con un nivel del 90%, para la proporcin de mujeres adultas actualmente casadas en esa poblacin. Solucin: I = (0.564, 0.636)


Ejercicio 45 Se desea estimar, por medio de un intervalo de confianza, la proporcin p de individuos daltnicos de una poblacin a travs del porcentaje observado en una muestra aleatoria de individuos de tamao n. Si el porcentaje de individuos daltnicos en una muestra aleatoria es igual al 30%, calcule el valor mnimo de n para que, con un nivel de confianza del 95%, el error que se cometa en la estimacin sea inferior a 0.031. Solucin: n = 840 Ejercicio 46 Para estimar, por medio de un intervalo de confianza, la proporcin p de individuos miopes de una poblacin, se ha tomado una muestra de 80 individuos con la que se ha obtenido un porcentaje de individuos miopes del 35%. Determine, usando un nivel de confianza del 99%, el correspondiente intervalo de confianza para la proporcin de miopes de toda la poblacin. Solucin: I = (0.213, 0.487) Ejercicio 47 Una muestra aleatoria de automviles tomada en una zona turstica ha permitido obtener un intervalo de confianza, al nivel del 95%, para estimar de la proporcin de matrculas extranjeras de esa zona, siendo sus extremos 0.232 y 0.368. a) Determine el valor de la proporcin estimada a travs de esa muestra y una cota del error de estimacin a este nivel de confianza. b) Utilizando el mismo nivel de confianza, cul sera la cota de error, si esa misma proporcin se hubiera observado en una muestra de 696 matrculas? Solucin: a) p = 0.3 y la cota del error 0.068. b) Cota del error 0.034. Ejercicio 48 Para conocer la audiencia de uno de sus programas (proporcin de televidentes que lo prefieren), una cadena de TV ha encuestado a 1000 personas elegidas al azar obteniendo una proporcin muestral del 33% de personas favorables a ese programa. Calcule una cota del error de estimacin, por medio de un intervalo de confianza, con un nivel del 92%. Solucin: Cota del error 0,026. Ejercicio 49 Se va a tomar una muestra aleatoria de 600 recin nacidos en este ao en una ciudad para estimar la proporcin de varones entre los recin nacidos de esa ciudad, mediante un intervalo de confianza con un nivel del 95%. Cul ser el error de estimacin a ese nivel si se observan 234 varones en la muestra? Solucin: Cota del error 0.039. Ejercicio 50 Para estimar la proporcin de familias con un solo hijo en una ciudad, se ha tomado una muestra de familias al azar, de las cuales el 30% tiene un solo hijo. Cul es el mnimo tamao muestral necesario para que, con esos datos, un intervalo de confianza de esa proporcin a un nivel del 95% tenga una cota de error de 0.06, como mximo? Solucin: n = 225


Ejercicio 51 Una cadena de TV quiere saber si la audiencia de uno de sus programas sigue mantenindose en el 25% de los espectadores. Cuntos espectadores se deberan encuestar al azar, como mnimo, para tener un nivel de confianza del 90% de que el error en la estimacin de la proporcin actual sea igual o inferior a 0.03? Solucin: n = 564 Ejercicio 52 Calcule el tamao mnimo de una muestra aleatoria de jvenes entre 18 y 25 aos para tener una confianza del 95% de que el error que se cometer al estimar la proporcin de fumadores entre esas edades no sea superior a 0.05, sabiendo que en una encuesta previa se ha encontrado un 32% de fumadores entre estos jvenes. Solucin: n = 335 Ejercicio 53 Se va a tomar una muestra aleatoria de 600 recin nacidos en este ao en una ciudad para estimar la proporcin de varones entre los recin nacidos de esa ciudad, mediante un intervalo de confianza con un nivel del 95%. Con qu proporcin estimada ser mxima la amplitud de ese intervalo? Cul es la amplitud mxima? Solucin: p = 0.5. Amplitud mxima 0.08. Ejercicio 54 Para estimar la proporcin de consumidores que prefieren un determinado refresco, por medio de un intervalo de confianza, se ha tomado una muestra al azar de 1075 consumidores, entre los que se han encontrado 516 que lo prefieren. Determine una cota del error cometido para esa estimacin a un nivel de confianza del 95%. Solucin: Cota del error 0.030. Ejercicio 55 En una muestra aleatoria de 600 coches de una ciudad, 120 son de color blanco. Construya un intervalo de confianza de la proporcin de coches de color blanco con un nivel de confianza del 98%. Solucin: I = (0.162, 0.238) Ejercicio 56 Se estima la proporcin de varones adultos, residentes en una poblacin, con obesidad severa (30 < IMC 40), mediante una muestra aleatoria de tamao 500. Se obtiene una estimacin de varones con obesidad severa del 18%. Utilizando un nivel de confianza del 98%, cul es el error mximo que se cometer al estimar, por medio de un intervalo de confianza, esa proporcin? Solucin: Cota del error 0.04. Ejercicio 57 Se desea estimar la proporcin de adultos que leen un determinado diario local por medio de un intervalo de confianza. Obtenga el tamao mnimo de la muestra que garantice, an en la situacin ms desfavorable, un error de la estimacin inferior a 0.03, con un nivel de confianza del 95%. Solucin: n = 1068


Ejercicio 58 Se estima, por un intervalo de confianza, la proporcin de hogares con conexin a Internet utilizando una muestra aleatoria y con un nivel de confianza del 96%. Se obtiene as, una proporcin estimada del 28%, con un error mximo del 6%. Cul es el tamao mnimo de la muestra utilizada? Solucin: n = 236 Ejercicio 59 Mediante una muestra aleatoria de tamao 400 se estima la proporcin de residentes en Sevilla que tienen intencin de asistir a un partido de ftbol entre el Betis y el C.F. Sevilla. Si para un nivel de confianza del 95% resulta un error mximo en la estimacin del 3%. Obtenga el valor de la estimacin, sabiendo que es inferior a 0.25. Solucin: p = 0.105 Ejercicio 60 En el diario CRDOBA del da 20 de Enero de 2004 se public el resultado de un sondeo sobre intencin de voto en las elecciones al Parlamento Andaluz del 14 de marzo de 2004. Segn la ficha tcnica de la encuesta, el tamao de la muestra fue de 5000 individuos, el nivel de confianza utilizado del 95%, y el error mximo de la estimacin de los que no tienen decidido el voto del 1%. En la pgina 2, del mencionado diario, se estima que el 13.3% de los andaluces no tienen decidido el voto. Analice la coherencia del resultado de la estimacin con la ficha tcnica de la encuesta, si se utiliza un muestreo aleatorio simple. Solucin: Cota de error en la estimacin 0.0094 0.01, los resultados publicados son coherentes con la teora del muestreo aleatorio simple. Ejercicio 61 En una investigacin de mercado se pregunta a 600 personas sobre el inters en consumir un determinado producto, si ste se comercializara en la ciudad. De ellas 55% manifiestan su intencin de consumirlo. Con posterioridad a la encuesta, el fabricante del producto comercial exige que el error de la estimacin sea inferior al 3%, con una confianza del 98%. a) Cumple la investigacin los requisitos exigidos por el fabricante? b) En caso negativo, cul es el valor mnimo del tamao de la muestra para cumplir con las exigencias del fabricante? Solucin: a) Cota de error = 0.04 > 0.03; no se cumplen las exigencias del fabricante. b) n > 1493, tomando como z/2 = 2.33. Ejercicio 62 Para estimar la media de una variable aleatoria X, que se distribuye segn una ley Normal con desviacin tpica 2.5, se toma una muestra aleatoria cuya media es 4.5. Para un nivel de confianza del 99%: a) (1 punto) Halle un intervalo de confianza para la media de la poblacin, si el tamao de esa muestra es 90. b) (1 punto) Determine el tamao mnimo que debera tener otra muestra para obtener un intervalo de confianza, con una amplitud mxima de 1 unidad. Solucin: a) (4.066, 4.933) b) 42


Ejercicio 63 La resistencia a la rotura, de un tipo de hilos de pesca, es una variable aleatoria Normal, con media 4 kg y desviacin tpica 1.4 kg. Se toman muestras aleatorias de 25 hilos de este tipo y se obtiene la resistencia media a la rotura. a) (0.75 puntos) Cmo se distribuye la resistencia media a la rotura? b) (1.25 puntos) Cul es la probabilidad de que la resistencia media a la rotura no pertenezca al intervalo de extremos 3.90 kg y 4.15 kg ? Solucin: a) N(4,0.28) b) 0.6613 Ejercicio 64 Una empresa de telfonos mviles ha hecho un estudio sobre el tiempo que tardan sus bateras en descargarse, llegando a la conclusin de que dicha duracin, en das, sigue una ley Normal de media 3.8 y desviacin tpica 1. Se toma una muestra de 16 mviles de esta empresa. Halle la probabilidad de que: a) (1 punto) La duracin media de las bateras de la muestra est comprendida entre 4.1 y 4.3 das. b) (1 punto) La duracin media de las bateras de la muestra sea inferior a 3.35 das. Solucin: a) 0.0923 b) 0.0359 Ejercicio 65 Se sabe que la velocidad de los coches que circulan por una carretera es una variable aleatoria que sigue una distribucin Normal con desviacin tpica 12 km/hora. a) (1 punto) Se toma una muestra aleatoria de 400 coches que da una velocidad media de 87 km/hora. Obtenga un intervalo con un 95% de confianza, para la velocidad media del total de coches que circulan por esa carretera. b) (1 punto) Calcule el mnimo tamao de la muestra que se ha de tomar para estimar la velocidad media del total de coches que circulan por esa carretera, con un error inferior a 1 km/hora para un nivel de confianza del 99%. Solucin: a) (85.824, 88.176) b) 956 Ejercicio 66 Dada la poblacin de elementos {3, 4, 5, 8}, se pretende seleccionar una muestra de tamao 2, mediante muestreo aleatorio con reemplazamiento. a) (0.5 puntos) Escriba todas las muestras posibles. b) (0.75 puntos) Calcule la varianza de la poblacin. c) (0.75 puntos) Calcule la varianza de las medias muestrales. Solucin: a) {(3,3), (3,4), (3,5), (3,8), (4,4), (4,5), (4,8), (5,5), (5,8), (8,8)} b) 3.5 c) 2.4748 Ejercicio 67 Un fabricante de pilas alcalinas sabe que el tiempo de duracin, en horas, de las pilas que fabrica sigue una distribucin Normal de media desconocida y varianza 3600. Con una muestra de su produccin, elegida al azar, y un nivel de confianza del 95% ha obtenido para la media el intervalo de confianza (372.6, 392.2). a) (1 punto) Calcule el valor que obtuvo para la media de la muestra y el tamao muestral utilizado. b) (1 punto) Cul sera el error de su estimacin, si hubiese utilizado una muestra de tamao 225 y un nivel de confianza del 86.9%? Solucin: a) x = 382.4, n = 144 b) 7.55


Ejercicio 68 El nmero de horas semanales que los estudiantes de Bachillerato de una ciudad dedican al deporte se distribuye segn una ley Normal de media 8 y varianza 7.29. a) (0.5 puntos) Para muestras de tamao 36, indique cul es la distribucin de las medias muestrales. b) (1.5 puntos) Cul es la probabilidad de que la media de una muestra de tamao 36 est comprendida entre 7.82 y 8.36 horas? Solucin: a) N(8,0.45) b) 0.4435 Ejercicio 69 La superficie de las parcelas de una determinada provincia se distribuye segn una ley Normal con media 2.9 Ha y desviacin tpica 0.6 Ha. a) Indique la distribucin de las medias muestrales para muestras de tamao 169. b) Cul es la probabilidad de que una muestra de tamao 169 tenga una superficie media comprendida entre 2.8 y 3 Ha? Solucin: a) N(2.9, 0.046) b) 0.9692 Ejercicio 70 En una poblacin una variable aleatoria sigue una ley Normal de media desconocida y desviacin tpica 2. a) (1 punto) Observada una muestra de tamao 400, tomada al azar, se ha obtenido una media muestral igual a 50. Calcule un intervalo, con el 97% de confianza, para la media de la poblacin. b) (1 punto) Con el mismo nivel de confianza, qu tamao mnimo debe tener la muestra para que la amplitud del intervalo que se obtenga sea, como mximo, 1? Solucin: a) I = (49.783, 50.217) b) n = 76 Ejercicio 71 El peso de los paquetes enviados por una determinada empresa de transportes se distribuye segn una ley Normal, con una desviacin tpica de 0.9 kg. En un estudio realizado con una muestra aleatoria de 9 paquetes, se obtuvieron los siguientes pesos en kilos:

9.5, 10, 8.5, 10.5, 12.5, 10.5, 12.5, 13, 12. a) (1 punto) Halle un intervalo de confianza, al 99%, para el peso medio de los paquetes enviados por esa empresa. b) (1 punto) Calcule el tamao mnimo que debera tener una muestra, en el caso de admitir un error mximo de 0.3 kg, con un nivel de confianza del 90%. Solucin: a) I = (10.227, 11.772) b) n = 25 Ejercicio 72 La duracin de un cierto tipo de bombillas elctricas se distribuye segn una ley Normal con desviacin tpica 1500 horas. a) (1 punto) Si en una muestra de tamao 100, tomada al azar, se ha observado que la vida media es de 9900 horas, determine un intervalo, con el 95% de confianza, para la vida media de esta clase de bombillas. b) (1 punto) Con un nivel de confianza del 99% se ha construido un intervalo para la media con un error mximo de 772.5 horas, qu tamao de la muestra se ha tomado en este caso? Solucin: a) I = (9606, 10194) b) n = 26


Ejercicio 73 Una variable aleatoria puede tomar los valores 20, 24 y 30. Mediante muestreo aleatorio simple se forman todas las muestras posibles de tamao 2. a) (0.75 puntos) Escriba todas las muestras posibles. b) (1.25 puntos) Calcule la media y varianza de las medias muestrales. Solucin: a) {(20,20), (20,24), (20,30), (24,24), (24,30), (30,30)} b) x = 24.666, s2 = 8.444 Ejercicio 74 a) (1 punto) De una poblacin Normal de media desconocida y desviacin tpica 6, se extrae la siguiente muestra

82, 78, 90, 89, 92, 85, 79, 63, 71. Determine un intervalo de confianza, al 98%, para la media de la poblacin. b) (1 punto) Determine el tamao que debe tener otra muestra de esta poblacin para que un intervalo de confianza para la media, al 98%, tenga una amplitud igual a 4.66. Solucin: a) I = (76.348, 85.652) b) n = 36 Ejercicio 75 En una poblacin, una variable aleatoria sigue una ley Normal de media desconocida y desviacin tpica 3. a) (1 punto) A partir de una muestra de tamao 30 se ha obtenido una media muestral igual a 7. Halle un intervalo de confianza, al 96%, para la media de la poblacin. b) (1 punto) Qu tamao mnimo debe tener la muestra con la cual se estime la media, con un nivel de confianza del 99% y un error mximo admisible de 2? Solucin: a) I = (5.874, 8.125) b) n = 15 Ejercicio 76 a) (0.75 puntos) En una poblacin hay 100 personas: 60 mujeres y 40 hombres. Se desea seleccionar una muestra de tamao 5 mediante muestreo estratificado con afijacin proporcional. Qu composicin tendr dicha muestra? b) (1.25 puntos) En la poblacin formada por los nmeros 2, 4, 6 y 8, describa las posibles muestras de tamao 2 seleccionadas por muestreo aleatorio simple, y calcule la varianza de las medias muestrales. Solucin: a) 3 mujeres y 2 hombres b) {(2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (4,4), (4,6), (4,8), (6,6), (6,8), (8,8)}; V = 2.49 Ejercicio 77 (2 puntos) El peso de los adultos de una determinada especie de peces sigue una ley Normal de desviacin tpica 112 g. Cul es el tamao mnimo de la muestra de peces que debera tomarse para obtener, con una confianza del 95 %, la media de la poblacin con un error menor de 20 g? Solucin: n = 121 Ejercicio 78 Sea la poblacin de elementos {22, 24, 26}. a) (0.5 puntos) Escriba todas las muestras posibles de tamao 2, escogidas mediante muestreo aleatorio simple. b) (0.75 puntos) Calcule la varianza de la poblacin. c) (0.75 puntos) Calcule la varianza de las medias muestrales. Solucin: a) {(22,22), (22,24), (22,26), (24,24), (24,26), (26,26)} b) 2.67 c) 1.33


Ejercicio 79 La duracin de un viaje entre dos ciudades es una variable aleatoria Normal con desviacin tpica 0.25 horas. Cronometrados 30 viajes entre estas ciudades, se obtiene una media muestral de 3.2 horas. a) (1.5 puntos) Halle un intervalo de confianza, al 97%, para la media de la duracin de los viajes entre ambas ciudades. b) (0.5 puntos) Cul es el error mximo cometido con dicha estimacin? Solucin: a) I = (3.1, 3.299) b) 0.1h Ejercicio 80 La estatura de los soldados de un cuartel sigue una distribucin Normal con desviacin tpica 12 cm. a) (0.5 puntos) Indique la distribucin que sigue la media de la estatura de las muestras de soldados de ese cuartel, de tamao 81. b) (1.5 puntos) Si se desea estimar la estatura media de los soldados de ese cuartel de forma que el error no sobrepase los 3 cm, cuntos soldados debern escogerse para formar parte de la muestra si se utiliza un nivel de confianza del 97%? Solucin: a) N(,1.33) b) n = 76 Ejercicio 81 El ndice de resistencia a la rotura, expresado en kg, de un determinado tipo de cuerda sigue una distribucin Normal con desviacin tpica 15.6 kg. Con una muestra de 5 de estas cuerdas, seleccionadas al azar, se obtuvieron los siguientes ndices:

280, 240, 270, 285, 270. a) (1 punto) Obtenga un intervalo de confianza para la media del ndice de resistencia a la rotura de este tipo de cuerdas, utilizando un nivel de confianza del 95%. b) (1 punto) Si, con el mismo nivel de confianza, se desea obtener un error mximo en la estimacin de la media de 5 kg, ser suficiente con elegir una muestra de 30 cuerdas? Solucin: a) I = (255.325, 282.674) b) No, hacen falta 38. Ejercicio 82 La longitud de los tornillos fabricados por una mquina sigue una ley Normal con desviacin tpica 0.1 cm. Se ha seleccionado una muestra aleatoria y, con una confianza del 95%, se ha construido un intervalo, para la media poblacional, cuya amplitud es 0.0784 cm. a) (1 punto) Cul ha sido el tamao de la muestra seleccionada? b) (1 punto) Determine el intervalo de confianza, si en la muestra seleccionada se ha obtenido una longitud media de 1.75 cm. Solucin: a) n = 25 b) I = (1.71, 1.789) Ejercicio 83 El nmero de horas semanales que los adolescentes dedican a ver la televisin se distribuye segn una ley Normal de media 9 horas y desviacin tpica 4. Para muestras de 64 adolescentes: a) (0.5 puntos) Indique cul es la distribucin de las medias muestrales. b) (1.5 puntos) Calcule la probabilidad de que la media de una de las muestras est comprendida entre 7.8 y 9.5 horas. Solucin: a) N(9,0.5) b) 0.8331


Ejercicio 84 Se supone que la puntuacin obtenida por cada uno de los tiradores participantes en la sede de Gdor de los Juegos Mediterrneos Almera 2005, es una variable aleatoria que sigue una distribucin Normal con desviacin tpica 6 puntos. Se toma una muestra aleatoria de tamao 36 que da una media de 35 puntos. a) (1 punto) Obtenga un intervalo, con un 95% de confianza, para la puntuacin media del total de tiradores. b) (1 punto) Calcule el tamao mnimo de la muestra que se ha de tomar para estimar la puntuacin media del total de tiradores, con un error inferior a 1 punto y con un nivel de confianza del 99%. Solucin: a) I = (33.04, 36.96) b) n = 239 Ejercicio 85 El peso de los cerdos de una granja sigue una ley Normal con desviacin tpica 18 kg. a) (1 punto) Determine el tamao mnimo de una muestra para obtener un intervalo de confianza, para la media de la poblacin, de amplitud 5 kg con un nivel de confianza del 95%. b) (1 punto) Si la media de los pesos de los cerdos de la granja fuera 92 kg, cul sera la probabilidad de que el peso medio de una muestra de 100 cerdos estuviese entre 88 y 92 kg? Solucin: a) n = 200 b) 0.4868 Ejercicio 86 Sea X una variable aleatoria Normal de media 50 y desviacin tpica 4. a) (1 punto) Para muestras de tamao 4, cul es la probabilidad de que la media muestral supere el valor 54? b) (1 punto) Si X 16 indica la variable aleatoria media muestral para muestras de tamao 16, calcule el valor de a para que P(50 a X 16 50+ a) = 0.9876. Solucin: a) 0.228 b) a = 2.5 Ejercicio 87 La longitud de la ballena azul se distribuye segn una ley Normal con desviacin tpica 7.5 m. En un estudio estadstico realizado a 25 ejemplares se ha obtenido el intervalo de confianza (21.06, 26.94) para la longitud media. a) (0.5 puntos) Calcule la longitud media de los 25 ejemplares de la muestra. b) (1.5 puntos) Calcule el nivel de confianza con el que se ha construido dicho intervalo. Solucin: a) x = 24 b) 95% Ejercicio 88 De una poblacin Normal, con media desconocida y varianza 81, se extrae una muestra aleatoria que resulta tener una media muestral de 112. a) (1 punto) Obtenga un intervalo de confianza, al 95 %, para la media poblacional, si el tamao de la muestra es 49. b) (1 punto) Cul debe ser el tamao mnimo de la muestra si se desea que el error cometido, al estimar la media poblacional, sea inferior a 2, para un nivel de confianza del 90 %? Solucin: a) I = (109.48, 114.52) b) n = 55


Ejercicio 89 Se sabe que la antigedad de los coches fabricados por una empresa es una variable aleatoria Normal, con desviacin tpica 2.9 aos. a) (1 punto) Un estudio realizado sobre una muestra aleatoria de 169 coches, de esa empresa, revela que la antigedad media de la muestra es 8.41 aos. Obtenga un intervalo de confianza, al 90 %, para la antigedad media de la poblacin. b) (1 punto) Determine el nmero mnimo de coches que debe componer una muestra, para obtener, con un nivel de confianza del 95 %, un error de estimacin menor que 0.35 aos. Solucin: a) I = (8.043, 8.776) b) n = 264 Ejercicio 90 En un hospital se ha tomado la temperatura a una muestra de 64 pacientes para estimar la temperatura media de sus enfermos. La media de la muestra ha sido 37.1 C y se sabe que la desviacin tpica de toda la poblacin es 1.04 C. a) (1 punto) Obtenga un intervalo de confianza, al 90 %, para la media poblacional. b) (1 punto) Con qu nivel de confianza podemos afirmar que la media de la poblacin est comprendida entre 36.8 C y 37.4 C? Solucin: a) I = (36.886, 37.313) b) 99.46% Ejercicio 91 a) (1 punto) Se sabe que la desviacin tpica de los salarios de una poblacin es 205 euros. Determine un intervalo, con el 90 % de confianza, para el salario medio de la poblacin, sabiendo que el salario medio correspondiente a una muestra de 2500 personas ha sido de 1.215 euros. b) (1 punto) Elegida otra muestra grande, cuya media ha sido 1.210 euros, se ha obtenido, con un 95 % de confianza, el intervalo (1199.953, 1220.045). Cul es el tamao de esta muestra? Solucin: a) I = (1208.255, 1221.744) b) n = 1600 Ejercicio 92 El permetro craneal de una poblacin de varones adultos sigue una ley Normal con desviacin tpica 4 cm. a) (1.5 puntos) Obtenga un intervalo de confianza, al 95 %, para el permetro craneal medio, sabiendo que una muestra aleatoria de 100 individuos de esa poblacin tiene una media de 57 cm. b) (0.5 puntos) Con el mismo nivel de confianza, si se aumenta el tamao de la muestra, razone si aumenta, disminuye o no vara la amplitud del intervalo. Solucin: a) I = (56.216, 57.784) b) Disminuye Ejercicio 93 Se sabe que la desviacin tpica del peso de las naranjas que se producen en una determinada huerta es de 20 gramos. Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 naranjas de esa huerta, siendo su peso medio 200 gramos. a) (0.75 puntos) Indique la distribucin aproximada que siguen las medias de las muestras de ese tamao y justifique su respuesta. b) (1.25 puntos) Calcule un intervalo de confianza, a un nivel del 95 %, para el peso medio de las naranjas de esa huerta. Solucin: a) N(200,2) b) I = (196.08, 203.92)


Ejercicio 94 El tiempo que la poblacin infantil dedica semanalmente a ver la televisin, sigue una ley Normal con desviacin tpica 3 horas. Se ha seleccionado una muestra aleatoria de 100 nios y, con un nivel de confianza del 97 %, se ha construido un intervalo para la media poblacional. a) (1.25 puntos) Calcule el error mximo cometido y el tiempo medio de la muestra elegida, sabiendo que el lmite inferior del intervalo de confianza obtenido es 23.5 horas. b) (0.75 puntos) Supuesto el mismo nivel de confianza, cul debera haber sido el tamao mnimo de la muestra para cometer un error en la estimacin inferior a media hora? Solucin: a) E = 0.651, x = 24.15 b) n = 170 Ejercicio 95 Sea una poblacin cuyos elementos son 1, 2, 3. Mediante muestreo aleatorio simple se pretende seleccionar una muestra de tamao 2. a) (0.75 puntos) Escriba las posibles muestras. b) (1.25 puntos) Calcule la varianza de las medias muestrales. Solucin: a) {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3) (3,3)} b) 0.333 Ejercicio 96 Se sabe que la estatura de los individuos de una poblacin es una variable aleatoria que sigue una distribucin Normal con desviacin tpica 6 cm. Se toma una muestra aleatoria de 225 individuos que da una media de 176 cm. a) (1 punto) Obtenga un intervalo, con un 99 % de confianza, para la media de la estatura de la poblacin. b) (1 punto) Calcule el mnimo tamao de muestra que se ha de tomar para estimar la estatura media de los individuos de la poblacin con un error inferior a 1 cm y un nivel de confianza del 95%. Solucin: a) I = (174.969, 177.030) b) n = 139 Ejercicio 97 (2 puntos) En un pueblo habitan 700 hombres adultos, 800 mujeres adultas y 500 menores. De l se quiere seleccionar una muestra de 80 personas, utilizando, para ello, muestreo estratificado con afijacin proporcional. Cul ser la composicin que debe tener dicha muestra? Solucin: 28, 32 y 20 Ejercicio 98 El tiempo de espera, en minutos, de los usuarios en una determinada parada de autobs sigue una distribucin Normal de media y desviacin tpica 1.5 minutos. a) (0.75 puntos) Cmo se distribuye el tiempo medio de espera para muestras aleatorias de tamao 16? b) (1.25 puntos) Si hemos tomado una muestra aleatoria de 16 usuarios, cuya media es 5 minutos, determine el intervalo de confianza, al 95 %, para la media poblacional. Solucin: a) N(,0.375) b) I = (4.265, 5.735)


Ejercicio 99 (2 puntos) El peso de los alumnos de un Instituto es una variable aleatoria que sigue una distribucin Normal de media , desconocida, y desviacin tpica 8 kg. Cul es el tamao mnimo que debe tener una muestra para que permita estimar con un error mximo de 3 kg y un nivel de confianza del 99 %? Solucin: n = 48 Ejercicio 100 Se ha medido la talla de 100 personas elegidas al azar, mediante muestreo aleatorio simple, de entre los estudiantes varones de bachillerato de una gran ciudad, obtenindose una talla media de 1.75 m. Se sabe que la desviacin tpica de la poblacin es 0.2 m. a) (1 punto) Halle un intervalo de confianza, al 90 %, para la media poblacional de la talla de los estudiantes. b) (1 punto) Con qu nivel de confianza se ha construido el intervalo (1.73, 1.77) para la media poblacional? Solucin: a) I = (1.717, 1.782) b) 69% Ejercicio 101 (2 puntos) El peso de los peces adultos que se cran en una piscifactora se distribuye segn una ley Normal con desviacin tpica 9 g. Los pesos, en gramos, de una muestra aleatoria de 9 peces adultos de esa piscifactora son:

310, 311, 309, 295, 280, 294, 303, 305, 293. Determine un intervalo de confianza, al 95 %, para el peso medio de los peces adultos de esa piscifactora. Solucin: I = (294.120, 305.880) Ejercicio 102 (2 puntos) En una muestra aleatoria de 1000 personas de una ciudad, 400 votan a un determinado partido poltico. Calcule un intervalo de confianza al 96 % para la proporcin de votantes de ese partido en la ciudad. Solucin: I = (0.368, 0.431) Ejercicio 103 (2 puntos) En una poblacin, una variable aleatoria sigue una ley Normal de media desconocida y desviacin tpica 9. De qu tamao, como mnimo, debe ser la muestra con la cual se estime la media poblacional con un nivel de confianza del 97 % y un error mximo admisible igual a 3? Solucin: n = 43 Ejercicio 104 (2 puntos) Se ha lanzado un dado 400 veces y se ha obtenido 80 veces el valor cinco. Estime, mediante un intervalo de confianza al 95 %, el valor de la probabilidad de obtener un cinco. Solucin: I = (0.160, 0.239)


Ejercicio 105 (2 puntos) De 500 encuestados en una poblacin, 350 se mostraron favorables a la retransmisin de debates televisivos en tiempos de elecciones. Calcule un intervalo de confianza, al 99.5 %, para la proporcin de personas favorables a estas retransmisiones. Solucin: I = (0.642, 0.757) Ejercicio 106 a) (1.25 puntos) Sea la poblacin {1, 5, 7}. Escriba todas las muestras de tamao 2, mediante muestreo aleatorio simple, y calcule la varianza de las medias muestrales. b) (0.75 puntos) De una poblacin de 300 hombres y 200 mujeres se desea seleccionar, mediante muestreo aleatorio estratificado con afijacin proporcional, una muestra de tamao 30 distribuida en los dos estratos, cul ser la composicin de la muestra? Solucin: a) {(1,1), (1,5), (1,7), (5,5), (5,7), (7,7)}; V = 3.111 b) 18 hombres y 12 mujeres. Ejercicio 107 (2 puntos) Para estudiar el gasto mensual en telfono mvil de los jvenes de una ciudad se ha elegido una muestra aleatoria de 16 estudiantes, con los resultados siguientes, expresados en euros:

4, 6, 30, 14, 16, 14, 15, 16, 22, 8, 3, 56, 42, 26, 30, 18. Admitiendo que este gasto mensual sigue una ley Normal con desviacin tpica 13.78 euros, determine un intervalo de confianza, al 95 %, para la media del gasto mensual. Solucin: I = (13.247, 26.752) Ejercicio 108 Las calificaciones obtenidas por los estudiantes de Matemticas siguen una ley Normal de media desconocida y desviacin tpica 1.19. Para una muestra de esa poblacin se obtiene que (6.801, 6.899) es un intervalo de confianza, al 92 %, para la media poblacional. a) (0.5 puntos) Determine la media muestral. b) (1.5 puntos) Determine el tamao de la muestra. Solucin: a) x = 6.85 b) n = 1809 Ejercicio 109 Una variable aleatoria sigue una distribucin Normal con desviacin tpica 15. a) (1 punto) Construya un intervalo de confianza para la media de la poblacin, con un nivel de confianza del 99.5 %, sabiendo que una muestra de 20 individuos tiene una media de 52. b) (1 punto) Cul debe ser el tamao mnimo de una muestra de esta poblacin para que un intervalo de confianza, con nivel del 90 %, para la media de la poblacin tenga una amplitud inferior a 3 unidades? Solucin: a) I = (42.575, 61.425) b) n = 271 Ejercicio 110 La estatura de 1000 soldados sigue una distribucin Normal de media 175 cm y desviacin tpica 6.7 cm. a) Cuntos soldados tendrn una estatura comprendida entre 170 cm y 182 cm? b) Cunto miden el ms pequeo y el ms alto? Solucin: a) 957 soldados b) 154.3 cm el menor y 195.7 el mayor.


Ejercicio 111 Sea X la variable aleatoria que mide el peso de un pjaro adulto. La media de X es 109g y la desviacin tpica 5 g. Si escogemos una muestra aleatoria de 100 individuos de esta poblacin, determine la probabilidad de que la suma de los pesos de los 100 individuos sea menor de 11 kilogramos. Solucin: 0.9772 Ejercicio 112 La vida til de un ordenador sigue una distribucin Normal con desviacin tpica de 3 meses. Se toma una muestra formada por 25 ordenadores. a) Calcule la probabilidad de que la media muestral tome valores que disten de la media ms de un mes. b) Halle la longitud del intervalo de confianza centrado en la media, al 95%. Solucin: a) 0.097 b) 2.352 Ejercicio 113 La estatura de una poblacin femenina se distribuye Normalmente con media 1.68m y desviacin tpica 0.08m. Una fbrica de confecciones est interesada en la distribucin de las tallas, por ello desea saber: a) El porcentaje de mujeres cuya estatura est comprendida entre 1.66m y 1.70m. b) El porcentaje de mujeres cuya estatura media es superior a 1.70m, en una muestra de 100 de ellas. Solucin: a) 19.74% b) 0.62% Ejercicio 114 Se sabe que los estudiantes de una provincia duermen un nmero de horas diarias que se distribuye segn una ley Normal de media horas y desviacin tpica = 2 horas. a) (1 punto) A partir de una muestra de 64 alumnos se ha obtenido el siguiente intervalo de confianza (7.26, 8.14) para la media de la poblacin. Determine el nivel de confianza con que se ha construido dicho intervalo. b) (1 punto) Determine el tamao muestral mnimo necesario para que el error que se cometa al estimar la media de la poblacin por un intervalo de confianza sea, como mximo, de 0.75 horas, con un nivel de confianza del 98 %. Solucin: a) 92.16% b) n = 39 Ejercicio 115 El gasto anual, en videojuegos, de los jvenes de una ciudad sigue una ley Normal de media desconocida y desviacin tpica 18 euros. Elegida, al azar, una muestra de 144 jvenes se ha obtenido un gasto medio de 120 euros. a) (0.5 puntos) Indique la distribucin de las medias de las muestras de tamao 144. b) (0.75 puntos) Determine un intervalo de confianza, al 99 %, para el gasto medio en videojuegos de los jvenes de esa ciudad. c) (0.75 puntos) Qu tamao muestral mnimo deberamos tomar para, con la misma confianza, obtener un error menor que 1.9? Solucin: a) N(120,1.5) b) I = (116.136, 123.864) c) n = 596


Ejercicio 116 Un agricultor vende una determinada hortaliza con un peso medio de 81g y una desviacin tpica de 15 g. a) Halle la probabilidad de que una muestra de 100 hortalizas tenga un peso inferior a 7.8Kg. b) Se sabe que el 80% de los lotes de hortalizas que vende ese agricultor supera cierto peso. Cul es ese peso? Solucin: a) 0.0228 b) 79.74 kg Ejercicio 117 El gasto mensual de los estudiantes de un Instituto se distribuye segn una ley Normal de media desconocida y desviacin tpica 4 euros. Se ha seleccionado una muestra aleatoria y, con una confianza del 97 %, se ha construido un intervalo para la media poblacional cuya amplitud es 2.17 euros. a) (1.5 puntos) Cul ha sido el tamao de la muestra seleccionada? b) (0.5 puntos) Calcule el gasto mensual medio de la muestra tomada sabiendo que el lmite inferior del intervalo de confianza es 83915 euros. Solucin: a) n = 64 b) 85 Ejercicio 118 Los resultados de un test de sensibilidad musical realizado a los alumnos de un Conservatorio se distribuyen segn una ley Normal de media 65 y desviacin tpica 18. a) (0.75 puntos) Cul es la distribucin de la media muestral para muestras de tamao 25? b) (1.25 puntos) Para muestras aleatorias de tamao 100, halle la probabilidad de que su puntuacin media est comprendida entre 63 y 67 puntos. Solucin: a) N(65, 3.6) b) 0.773 Ejercicio 119 El peso neto de las bolsas de almendras de una determinada marca es una variable aleatoria Normal con media , desconocida, y varianza 2 = 50.4 g2. Se sabe que 35 bolsas, elegidas al azar, han dado un peso total de 8.652 g. a) (1.5 puntos) Calcule un intervalo, con un nivel de confianza del 90 %, para . b) (0.5 puntos) A partir de qu nivel de confianza, el correspondiente intervalo para contiene el valor 250 g? Solucin: a) I = (245.225, 249.174) b) 98% Ejercicio 120 a) (1 punto) Los valores:

52, 61, 58, 49, 53, 60, 68, 50, 53 constituyen una muestra aleatoria de una variable aleatoria Normal, con desviacin tpica 6. Obtenga un intervalo de confianza para la media de la poblacin, con un nivel de confianza del 92 %. b) (1 punto) Se desea estimar la media poblacional de otra variable aleatoria Normal, con varianza 49, mediante la media de una muestra aleatoria. Obtenga el tamao mnimo de la muestra para que el error mximo de la estimacin, mediante un intervalo de confianza al 97 %, sea menor o igual que 2. Solucin: a) I = (52.5, 59.5) b) n = 58


Ejercicio 121 (2 puntos) La edad de los nios que van a un parque sigue una ley Normal de media 8 aos y desviacin tpica 2.1 aos. En un momento determinado hay 25 nios en ese parque. Cul es la probabilidad de que la edad media de ese grupo est entre 8.5 y 9 aos? Solucin: 0.1083 Ejercicio 122 Un fabricante produce tabletas de chocolate cuyo peso en gramos sigue una ley Normal de media 125 g y desviacin tpica 4 g. a) (1 punto) Si las tabletas se empaquetan en lotes de 25, cul es la probabilidad de que el peso medio de las tabletas de un lote se encuentre entre 124 y 126 gramos? b) (1 punto) Si los lotes fuesen de 64 tabletas, cul sera la probabilidad de que el peso medio de las tabletas del lote superase los 124 gramos? Solucin: a) 0.7888 b) 0.9772 Ejercicio 123 Una variable aleatoria sigue una ley Normal con media desconocida y desviacin tpica 2.4. Se quiere estimar la media poblacional, con un nivel de confianza del 93 %, para lo que se toman dos muestras de distintos tamaos. a) (1 punto) Si una de las muestras tiene tamao 16 y su media es 10.3, cul es el intervalo de confianza correspondiente? b) (1 punto) Si con la otra muestra el intervalo de confianza es (9.776, 11.224), cul es la media muestral? Cul es el tamao de la muestra? Solucin: a) I = (9.212, 11.387) b) x = 10.5, n = 37 Ejercicio 124 (2 puntos) El salario de los trabajadores de una ciudad sigue una distribucin Normal con desviacin tpica 15 euros. Se quiere calcular un intervalo de confianza para el salario medio con un nivel de confianza del 98%. Determine cul es el tamao mnimo de la muestra que se necesitara recoger para que el intervalo de confianza tenga una amplitud, como mximo, de 6 euros. Solucin: n = 136. Ejercicio 125 (2 puntos) En una encuesta representativa realizada a 1230 personas de una ciudad, se obtuvo como resultado que 654 de ellas van al cine los fines de semana. Calcule un intervalo de confianza, al 97%, para la proporcin de asistencia al cine los fines de semana en dicha ciudad. Solucin: I = (0.500, 0.561) Ejercicio 126 En una granja avcola se ha tomado una muestra aleatoria de 200 polluelos de pato, entre los cuales se encontraron 120 hembras. a) (1.5 puntos) Halle un intervalo de confianza, con un nivel del 98%, para la proporcin de hembras entre estos polluelos. b) (0.5 puntos) Razone, a la vista del intervalo encontrado, si a ese nivel de confianza puede admitirse que la verdadera proporcin de hembras de pato en esa granja es 0.5. Solucin: a) I = (0.519, 0.680) b) No.


Ejercicio 127 Se han tomado las tallas de 16 bebs, elegidos al azar, de entre los nacidos en un cierto hospital, y se han obtenido los siguientes resultados, en centmetros:

51, 50, 53, 48, 49, 50, 51, 48, 50, 51, 50, 47, 51, 51, 49, 51. La talla de los bebs sigue una ley Normal de desviacin tpica 2 centmetros y media desconocida. a) (0.75 puntos) Cul es la distribucin de las medias de las muestras de tamao 16? b) (1.25 puntos) Determine un intervalo de confianza, al 97 %, para la media poblacional. Solucin: a) N(50, 0.5) b) I = (48.915, 51.085) Ejercicio 128 En una muestra aleatoria de 256 individuos se ha obtenido una edad media de 17.4 aos. Se sabe que la desviacin tpica de la poblacin Normal de la que procede esa muestra es de 2 aos. a) (1 punto) Obtenga un intervalo de confianza al 95% para la edad media de la poblacin. b) (1 punto) Cul debe ser el tamao mnimo de la muestra para que el correspondiente intervalo de confianza, al 90%, tenga de amplitud a lo sumo 0.5? Solucin: a) I = (17.155, 17.645) b) n = 174 Ejercicio 129 De una poblacin Normal, con media desconocida y varianza 36, se extrae una muestra aleatoria que resulta tener una media muestral de 173. a) (1 punto) Obtenga un intervalo de confianza del 97 % para la media poblacional, si el tamao de la muestra es 64. b) (1 punto) Cul debe ser el tamao mnimo de la muestra, si se desea que el error cometido al estimar la media poblacional sea inferior a 1.2, para un nivel de confianza del 95 %? Solucin: a) I = (171.372, 174.627) b) n = 97 Ejercicio 130 En una Universidad se toma, al azar, una muestra de 400 alumnos y se observa que 160 de ellos han aprobado todas las asignaturas. a) (1 punto) Halle un intervalo de confianza, al 97%, para estimar el porcentaje de alumnos de esa Universidad que aprueban todas las asignaturas. b) (1 punto) A la vista del resultado anterior se pretende repetir la experiencia para conseguir que el error no sea superior a 0.04, con el mismo nivel de confianza. Cuntos alumnos, como mnimo, ha de tener la muestra? Solucin: a) I = (0.315, 0.484) b) n = 707 Ejercicio 131 Se ha lanzado al aire una moneda 200 veces y se ha obtenido cara en 120 ocasiones. a) (1 punto) Estime, mediante un intervalo de confianza, al 90%, la probabilidad de obtener cara. b) (1 punto) Se pretende repetir la experiencia para conseguir que el error cometido sea inferior a 0.03, con un nivel de confianza del 97%. Cul debe ser el tamao mnimo de la muestra? Solucin: a) I = (0.543, 0.656) b) n = 114


Ejercicio 132 (2 puntos) Para realizar una encuesta en un Instituto se selecciona, aleatoriamente, una muestra de 50 alumnos y se les pregunta si tienen reproductores de mp3, contestando afirmativamente 20 de ellos. Calcule un intervalo de confianza, al 96%, para la proporcin de alumnos que poseen reproductores de mp3 en la poblacin total de alumnos del Instituto. Solucin: I = (0.257, 0.0542) Ejercicio 133 Se sabe que las puntuaciones de un test siguen una ley Normal de media 36 y desviacin tpica 4.8. a) (1 punto) Si se toma una muestra aleatoria de 16 individuos, cul es la probabilidad de que la media de esta muestra sea superior a 35 puntos? b) (1 punto) Qu porcentaje de muestras de tamao 25 tiene una media muestral comprendida entre 34 y 36? Solucin: a) 0.7976 b) 48.1389% Ejercicio 134 Se sabe que (45.13, 51.03) es un intervalo de confianza, al 95%, para la media de una variable aleatoria que sigue una distribucin Normal con desviacin tpica 15. a) (0.5 puntos) Cul es el error cometido? b) (1.5 puntos) Calcule, con el mismo nivel de confianza, el tamao muestral mnimo necesario para que el error no sea superior a 1.8. Solucin: a) e = 2.95 b) n = 267 Ejercicio 135 Con los datos de una muestra aleatoria se estima que el porcentaje de hogares con conexin a Internet es del 30%, con un error mximo de la estimacin de 0.06 y un nivel de confianza del 93%. a) (0.5 puntos) Obtenga el intervalo de confianza, al 93%, de la proporcin de hogares con conexin a Internet. b) (1.5 puntos) Calcule el tamao mnimo de la muestra utilizada. Solucin: a) I = (0.24, 0.36) b) n = 192 Ejercicio 136 En una poblacin una variable aleatoria sigue una ley Normal con desviacin tpica 8. Se ha elegido, al azar, una muestra de tamao 100 y su media ha sido 67. a) (1 punto) Calcule el intervalo de confianza, al 93%, para la media de la poblacin. b) (1 punto) Cuntos datos, como mnimo, son necesarios para estimar, con un nivel de confianza del 99%, la media de la poblacin con un error no superior a 2? Solucin: a) I = (65.550, 68.449) b) n = 107 Ejercicio 137 (2 puntos) Para estimar la proporcin de estudiantes de una Universidad que est a favor de un aumento del importe de las becas, se entrevist, aleatoriamente, a 500 estudiantes, de los cuales 465 respondieron afirmativamente. Calcule el intervalo de confianza, al 98%, en el cual se hallar la proporcin de la poblacin universitaria que est a favor del aumento de la cuanta de las becas. Solucin: I = (0.903, 0.956)


Ejercicio 138 Los pesos de 4500 estudiantes de Bachillerato de una ciudad estn distribuidos normalmente con una media de 56.5 kg. y una desviacin tpica de 2.5 kg. Si se selecciona al azar una muestra de 16 estudiantes, Cul es la probabilidad de que tenga una media superior a 58 kg? Solucin: 0.0125 Ejercicio 139 En una encuesta realizada a 150 familias de una determinada poblacin, se encontr que en 25 de ellas haba tres o ms hijos. Halla el intervalo de confianza para estimar la proporcin real de las familias en las que hay tres o ms hijos, con un nivel de confianza del 90%. Solucin: I = (0.12, 0.22). Ejercicio 140 Estamos interesados en realizar un estudio sobre los deportes practicados por los alumnos de un determinado instituto. Es adecuada la eleccin de la muestra en cada caso? Por qu? a) En el instituto hay matriculados 495 alumnos de 3 ESO, 465 de 4 de ESO, 285 de

1 de Bachillerato y 255 de 2 de Bachillerato. Queremos seleccionar una muestra en la que estn representados los cuatro cursos. Por ello, elegimos al azar a 50 alumnos de cada uno de los cuatro niveles.

b) De los 1500 alumnos del instituto, elegimos al azar a cinco de ellos. Solucin: a) El nmero de alumnos matriculados en cada uno de los cuatro niveles es diferente.

Estamos considerando porcentajes distintos dentro de cada grupo. La eleccin no es adecuada. Si queremos una muestra de 200 alumnos en la que estn representados los cuatro niveles, tendramos que usar muestreo estratificado con afijacin proporcional, con lo que se tiene:

66 alumnos de 3 ESO, 62 alumnos de 4 ESO, 38 alumnos de 1 Bachillerato, 34 alumnos de 2 de Bachillerato

b) La eleccin tampoco es adecuada, pues cinco alumnos es un nmero muy bajo dentro de la poblacin, y la muestra no ser representativa.

Ejercicio 141 En el instituto de cierta localidad se imparten cuatro niveles diferentes: 1, 2, 3 y 4 de ESO, habiendo matriculados un total de 800 alumnos. En 1 ESO hay 160 alumnos, en 2 hay 240 y en 3 hay 208. a) Queremos elegir una muestra de 50 alumnos en la que estn representados los cuatro

niveles. Cuntos alumnos habra que seleccionar de cada curso si elegimos la muestra mediante muestreo aleatorio estratificado proporcional?

b) Explica cmo se obtendr una muestra de 50 alumnos, entre todos los del instituto, mediante un muestreo aleatorio sistemtico.

Solucin: a) 10 alumnos de 1, 15 alumnos de 2, 13 alumnos de 3 y 12 alumnos de 4o b) El coeficiente de elevacin es 16, por tanto, el origen se obtendr eligiendo

aleatoriamente un nmero entre 1 y 16. Empezando en ese nmero, iramos eligiendo de 16 en 16 (previamente los alumnos estaran numerados).


Ejercicio 142 Indica si los siguientes mtodos de obtencin de una muestra son adecuados o no. Razona tu respuesta: a) Para hacer un estudio sobre las actividades de ocio preferidas por los habitantes de

una determinada localidad, encuestamos a 200 estudiantes elegidos al azar a la salida del instituto.

b) Para ver el nivel de estudios de los vecinos de una localidad, se escogen al azar 300 nmeros de telfono de la gua, se hacen las llamadas y se obtiene as una muestra de aproximadamente 300 datos.

Solucin: a) No es adecuado, pues solo estamos teniendo en cuenta a un grupo (el de los

estudiantes del instituto) dentro de la poblacin. Habra que preguntar tambin a nios, adultos y ancianos. Adems, habra que determinar el nmero de datos dentro de cada grupo.

b) Tampoco es adecuado. Tal vez existan grupos muy desfavorecidos en la localidad, que no tengan telfono, y no sean tenidos en cuenta. Adems, si hacemos llamadas a 300 hogares, estamos considerando muchas ms de 300 personas.

Ejercicio 143 En un barrio hay 400 habitantes, distribuidos en cuatro urbanizaciones: el 12% viven en A, el 20% en B, el 36% en C y el 32% en D. Para confeccionar una muestra de 50 habitantes mediante muestreo aleatorio estratificado proporcional, cuntas personas hay que seleccionar de cada una de las cuatro urbanizaciones? Solucin: Tendremos que seleccionar:

12% de 50 = 6 habitantes de A 20% de 50 = 10 habitantes de B 36% de 50 = 18 habitantes de C 32% de 50 = 16 habitantes de D

Ejercicio 144 En una moneda defectuosa, la probabilidad de obtener cara es de 0.586. Si hacemos tandas de 40 lanzamientos: a) Cmo se distribuye la proporcin de caras en esas tandas? b) Cul es la probabilidad de que la proporcin de caras en una tanda sea mayor de

0.6? Solucin: a) N (0.586, 0.078). b) La probabilidad pedida es 0.3669. Ejercicio 145 El 1% de las soldaduras hechas en una mquina son defectuosas. Cada da se revisan 1000 de ellas. a) Cmo se distribuye la proporcin diaria de soldaduras defectuosas (entre las 1000

que se revisan cada da)? b) Cul es la probabilidad de que, en un da, haya entre 8 y 10 soldaduras defectuosas

(ambos incluidos)? Solucin: a) N (0.01, 0.003). b) La probabilidad pedida es 0.3488.


Ejercicio 146 En cierto instituto de Enseanza Secundaria hay matriculados 800 alumnos. A una muestra seleccionada aleatoriamente de un 15% de ellos, se les pregunt si utilizaban la cafetera del instituto. Contestaron negativamente un total de 24 alumnos. Halle el intervalo de confianza del 99% para estimar la proporcin de alumnos que utilizan la cafetera del instituto. Solucin: I = (0.706, 0.894) Ejercicio 147 Una moneda est trucada de manera que 40 de cada 100 veces que se lanza sale cara. Cuntas veces se ha de lanzar esta moneda, como mnimo, para que la proporcin de caras obtenidas no difiera de la proporcin verdadera en ms de un 2%, con un nivel de confianza del 90%? Solucin: n = 1623.6, por tanto, tendramos que lanzar la moneda, como mnimo, 1624 veces. Ejercicio 148 En cierta ciudad se sabe que el porcentaje de habitantes con estudios superiores se sita en torno al 15%. Se desea actualizar los datos y, para ello, se va a extraer una muestra aleatoria de tamao n para hacer la estimacin del porcentaje actual. De que tamao mnimo deberemos seleccionar la muestra para que le error en la estimacin de la proporcin sea menor de 0.02, con un nivel de confianza del 95.44%? Solucin: Deberemos seleccionar una muestra de, al menos, 1275 habitantes. Ejercicio 149 La duracin de un determinado tipo de pilas sigue una distribucin normal con una media de 50 horas y una desviacin tpica de 5 horas. Empaquetamos las pilas en cajas de 16: a) Cul es la probabilidad de que la duracin media de las pilas de una de las cajas sea

inferior a 48 horas? b) Cul es la distribucin de la duracin media de las pilas de las cajas? Solucin: a) La probabilidad pedida es 0.0548. b) N (50, 1.25). Ejercicio 150 El peso de las truchas de una piscifactora se distribuye segn una normal de media 150 gramos y varianza 1225 gramos2. Halla un intervalo en el que se encuentren el 95% de las medias de pesos de las muestras de tamao 50. Solucin: I = (140.298, 159.702) Ejercicio 151 La media de las medidas de los dimetros de una muestra aleatoria de 200 bolas de rodamiento, fabricadas por cierta mquina, fue de 0.824 cm, y la desviacin tpica fue de 0.042 cm. Halla los lmites de confianza al 95% para el dimetro medio de las bolas fabricadas por esa mquina. Solucin: I = (0.818, 0.830).


Ejercicio 152 La edad de los alumnos que se presentan a las pruebas de acceso a la universidad sigue una distribucin normal con varianza 0.36. Deseamos estimar la edad media de dichos estudiantes con un error menor de 0.2 aos y con una confianza del 99.5%. De qu tamao, como mnimo, debemos seleccionar la muestra? Solucin: n = 71.06, por tanto, debemos seleccionar, como mnimo, 72 estudiantes. Ejercicio 153 La edad de los miembros de una determinada asociacin sigue una distribucin N(, ). Sabemos que la distribucin de las medias de las edades en muestras de tamao 36 tiene como media 52 aos y como desviacin tpica 0.5. a) Halla la media y la desviacin tpica de la edad de los miembros de la asociacin. b) Cul es la probabilidad de que un miembro de la asociacin, elegido al azar, sea mayor de 60 aos? Solucin: a) N (52, 3). b) La probabilidad pedida es 0.0038. Ejercicio 154 En un test de matemticas que se pas a 1000 alumnos de 2 de Bachillerato, se observ que las puntuaciones obtenidas seguan una distribucin N (67, 20). Si consideramos muestras de 15 alumnos de los que hicieron el test, halla un intervalo en el que se encuentren el 99.73% de las puntuaciones medias de los alumnos de cada muestra. Solucin: I = (51.51, 82.49) Ejercicio 155 En una muestra aleatoria de 200 estudiantes de 2 de Bachillerato, se ha observado que la asistencia media a una serie de actos culturales celebrados durante el mes de mayo fue igual a 8, con una desviacin tpica igual a 6. Determina el intervalo de confianza para la asistencia media de los alumnos de 2 de Bachillerato a los actos culturales celebrados durante el mes de mayo, con un nivel de significacin del 5%. Solucin: I = (7.17, 8.83). Ejercicio 156 Se est estudiando el consumo de gasolina de una determinada marca de coches. Para ello se escogen 50 automviles al azar y se obtiene que el consumo medio es de 6.5 litros. Con independencia de esta muestra, se sabe que la desviacin tpica del consumo de ese modelo de coches es 1.5 litros. a) (1 punto) Halle un intervalo de confianza, al 97 %, para el consumo medio de gasolina de los coches de esa marca. b) (1 punto) El fabricante afirma que el consumo medio de gasolina de sus vehculos est comprendido entre 6.2 y 6.8 litros. Con qu nivel de confianza puede hacer dicha afirmacin? Solucin: a) I = (5.95376, 7.04624) b) 84%


Ejercicio 157 Se sabe que el contenido de fructosa de cierto alimento sigue una distribucin normal cuya varianza es conocida, teniendo un valor de 0.25. Se desea estimar el valor de la media poblacional mediante una muestra, admitindose un error mximo de 0.2 con una confianza del 95%. Cul ha de ser, como mnimo, el tamao de la muestra? Solucin: n = 24.01, por tanto, debemos tomar una muestra de tamao, como mnimo, 25. Ejercicio 158 Se desea estimar la proporcin de individuos zurdos en una determinada ciudad. Para ello se toma una muestra aleatoria de 300 individuos resultando que 45 de ellos son zurdos. a) (1.5 puntos) Calcule, usando un nivel de confianza del 97%, el correspondiente intervalo de confianza para la proporcin de individuos zurdos de la poblacin. b) (0.5 puntos) Sera mayor o menor el error de estimacin si se usara un nivel de confianza del 95%? Razone la respuesta. Solucin: a) (0.105, 0.194) b) El error es menor porque la relacin entre el error y el nivel de confianza es directa. Ejercicio 159 (2 puntos) Una variable aleatoria sigue una ley Normal con desviacin tpica 6. De qu tamao, como mnimo, se debe elegir una muestra que nos permita estimar la media de esa variable con un error mximo de 2 y una confianza del 99%? Solucin: n = 60 Ejercicio 160 La longitud de los cables de los auriculares que fabrica una empresa es una variable aleatoria que sigue una ley Normal con desviacin tpica 4.5 cm. Para estimar la longitud media se han medido los cables de una muestra aleatoria de 9 auriculares y se han obtenido las siguientes longitudes, en cm:

205, 198, 202, 204, 197, 195, 196, 201, 202. a) (1 punto) Halle un intervalo de confianza, al 97%, para la longitud media de los cables. b) (1 punto) Determine el tamao mnimo que debe tener una muestra de estos auriculares para que el error de estimacin de la longitud media sea inferior a 1 cm, con el mismo nivel de confianza del apartado anterior. Solucin: a) (196.745, 203.255) b) n = 96 Ejercicio 161 (2 puntos) Se ha aplicado un medicamento a una muestra de 200 enfermos y se ha observado una respuesta positiva en 140 de ellos. Estmese, mediante un intervalo de confianza del 99%, la proporcin de enfermos que responderan positivamente si este medicamento se aplicase a la poblacin de la que se ha extrado la muestra. Solucin: (0.616, 0.783)


Ejercicio 162 El nmero de das de permanencia de los enfermos en un hospital sigue una ley Normal de media das y desviacin tpica 3 das. a) (1 punto) Determine un intervalo de confianza para estimar , a un nivel del 97 %, con una muestra aleatoria de 100 enfermos cuya media es 8.1 das. b) (1 punto) Qu tamao mnimo debe tener una muestra aleatoria para poder estimar con un error mximo de 1 da y un nivel de confianza del 92%? Solucin: a) (7.449, 8.751) b) n = 28 Ejercicio 163 Sea la poblacin {1,2,3,4}. a) (1 punto) Construya todas las muestras posibles de tamao 2, mediante muestreo aleatorio simple. b) (1 punto) Calcule la varianza de las medias muestrales. Solucin:

a) {{1,1}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,2}, {2,3}, {2,4}, {3,3}, {3,4}, {4,4}} b) 0.625

Ejercicio 164 (2 puntos) Tomada al azar una muestra de 90 alumnos de un Instituto se encontr que un tercio habla ingls. Halle, con un nivel de confianza del 97%, un intervalo de confianza para estimar la proporcin de alumnos de ese Instituto que habla ingls. Solucin: (0.225, 0.440) Ejercicio 165 El tiempo de utilizacin diaria de ordenador entre los empleados de una empresa sigue una distribucin Normal de media y desviacin tpica 1.2 horas. a) (1.25 puntos) Una muestra aleatoria de 40 empleados tiene una media del tiempo de utilizacin de 2.85 horas diarias. Determine un intervalo de confianza, al 96%, para la media del tiempo de utilizacin diaria de ordenador. b) (0.75 puntos) Calcule el tamao mnimo que debera tener una muestra para estimar la media del tiempo de utilizacin diaria del ordenador con un error no superior a 0.75 horas y el mismo nivel de confianza del apartado anterior. Solucin: a) (2.46, 3.24) b) n = 11 Ejercicio 166 El peso, en kg, de los alumnos de primaria de un colegio sigue una distribucin Normal de media 28 kg y desviacin tpica 2.7 kg. Consideremos muestras aleatorias de 9 alumnos. a) (0.5 puntos) Qu distribucin sigue la media de las muestras? b) (1.5 puntos) Si elegimos, al azar, una de esas muestras, cul es la probabilidad de que su media est comprendida entre 26 y 29 kg? Solucin:

a) N(28,0.9) b) 0.8533


Ejercicio 167 (2 puntos) En un centro de anillamiento de aves se ha detectado que en una muestra de 250 ejemplares de una especie, 60 son portadoras de una bacteria. Obtenga un intervalo de confianza, al 97%, para la proporcin de aves de esa especie que son portadoras de la bacteria. Solucin: (0.181, 0.298) Ejercicio 168 (2 puntos) En una muestra representativa de 1200 residentes de una ciudad, 450 utilizan habitualmente el transporte pblico. Obtenga el intervalo de confianza, al 90%, de la proporcin de residentes en la ciudad que utilizan habitualmente el transporte pblico. Solucin: (0.352, 0.397) Ejercicio 169 El consumo, en gramos, de un cierto producto sigue una ley Normal con varianza 225 g2. a) (1 punto) A partir de una muestra de tamao 25 se ha obtenido una media muestral igual a 175 g. Halle un intervalo de confianza, al 90%, para la media del consumo. b) (1 punto) Cul debe ser el tamao mnimo de la muestra para que el correspondiente intervalo de confianza, al 95%, tenga una amplitud mxima de 5? Solucin:

a) (170.065, 179.935) b) n = 35

Ejercicio 170 En una muestra aleatoria de 100 individuos se ha obtenido, para la edad, una media de 17.5 aos. Se sabe que la edad en la poblacin, de la que procede esa muestra, sigue una distribucin Normal con una desviacin tpica de 0.8 aos. a) (1.5 puntos) Obtenga un intervalo de confianza al 94%, para la edad media de la poblacin. b) (0.5 puntos) Qu error mximo se comete en la estimacin anterior? Solucin:

a) (17.35, 17.65) b) 0.15

Ejercicio 171 El cociente intelectual de los alumnos de un centro educativo se distribuye segn una ley Normal de media 110 y desviacin tpica 15. Se extrae una muestra aleatoria simple de 25 alumnos. a) (1.5 puntos) Cul es la probabilidad de que la media del cociente intelectual de los alumnos de esa muestra sea superior a 113? b) (0.5 puntos) Razone cmo se vera afectada la respuesta a la pregunta anterior si el tamao de la muestra aumentase. Solucin:

a) 0.159 b) La probabilidad pedida disminuye al aumentar el tamao de la muestra.


Ejercicio 172 Se desea estimar la proporcin de fumadores de una poblacin mediante una muestra aleatoria. a) (1 punto) Si la proporcin de fumadores en la muestra es 0.2 y el error cometido en la estimacin ha sido inferior a 0.03, con un nivel de confianza del 95%, calcule el tamao mnimo de la muestra. b) (1 punto) Si en otra muestra de tamao 280 el porcentaje de fumadores es del 25% determine, para un nivel de confianza del 99%, el correspondiente intervalo de confianza para la proporcin de fumadores de esa poblacin. Solucin:

a) n = 683 b) (0.183, 0.316)

Ejercicio 173 El tiempo que se tarda en la caja de un supermercado en cobrar a los clientes sigue una ley Normal con media desconocida y desviacin tpica 0.5 minutos. Para una muestra aleatoria de 25 clientes se obtuvo un tiempo medio de 5.2 minutos. a) (1 punto) Calcule un intervalo de confianza, al nivel del 97%, para el tiempo medio que se tarda en cobrar a los clientes. b) (1 punto) Indique el tamao muestral mnimo necesario para estimar dicho tiempo medio con un error mximo de 0.5 y un nivel de confianza del 96%. Solucin:

a) (4.983, 5.417) b) n = 5

Ejercicio 174 El tiempo (en horas) que permanecen los coches en un determinado taller de reparacin es una variable aleatoria con distribucin Normal de desviacin tpica 4 horas. a) (1 punto) Se eligieron, al azar, 16 coches del taller y se comprob que, entre todos, estuvieron 136 horas en reparacin. Determine un intervalo de confianza, al 98.5%, para la media del tiempo que permanecen los coches en ese taller. b) (1 punto) Determine el tamao mnimo que debe tener una muestra que permita estimar la media del tiempo que permanecen en reparacin los coches en ese taller con un error en la estimacin no superior a una hora y media y con el mismo nivel de confianza del apartado anterior. Solucin:

a) (6.07, 10.93) b) n = 42

Ejercicio 175 En un estudio de mercado del automvil en una ciudad se ha tomado una muestra aleatoria de 300 turismos, y se ha encontrado que 75 de ellos tienen el motor diesel. Para un nivel de confianza del 94%: a) (1.5 puntos) Determine un intervalo de confianza de la proporcin de turismos que tienen el motor diesel en esa ciudad. b) (0.5 puntos) Cul es el error mximo de la estimacin de la proporcin? Solucin:

a) (0.202, 0.297) b) 0.0475


Ejercicio 176 (2 puntos) Escriba todas las muestras de tamao 2 que, mediante muestreo aleatorio simple (con reemplazamiento), se pueden extraer del conjunto {8, 10, 12} y determine el valor de la varianza de las medias de esas muestras. Solucin: {{8, 8}, {8, 10}, {8,12}, {10, 10}, {10, 12}, {12, 12}}; 2 = 2 Ejercicio 177 a) (1 punto) En una poblacin, una variable aleatoria X sigue una distribucin Normal de media 50 y desviacin tpica 9. Se elige, al azar, una muestra de tamao 64 de esa poblacin. Cul es la probabilidad de que la media muestral est comprendida entre 48 y 52? b) (1 punto) En una empresa de gas trabajan 150 personas en mantenimiento, 450 en operaciones, 200 en servicios y 100 en cargos directivos. Con objeto de realizar una encuesta laboral, se quiere seleccionar una muestra de 180 trabajadores de esa empresa por muestreo aleatorio estratificado con afijacin proporcional, qu nmero de trabajadores se debe elegir de cada grupo? Solucin:

a) 0.925 b) 3 de mantenimiento, 9 de operaciones, 4 de servicios y 2 cargos directivos.

Ejercicio 178 Una variable aleatoria X se distribuye de forma Normal, con media y desviacin tpica = 0.9. a) (1 punto) Una muestra aleatoria de tamao 9 ha proporcionado los siguientes valores de X:

7.0, 6.4, 8.0, 7.1, 7.3, 7.4, 5.6, 8.8, 7.2 Obtenga un intervalo de confianza para la media , con un nivel de confianza del 97%. b) (1 punto) Con otra muestra, se ha obtenido que un intervalo de confianza para , al 95%, es el siguiente (6.906, 7.494). Cul es el tamao de la muestra utilizada? Solucin:

a) (6.549, 7.851) b) n = 36

Ejercicio 179 (2 puntos) Tomando, al azar, una muestra de 80 empleados de una empresa, se encontr que 20 usaban gafas. Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de confianza para estimar la proporcin de empleados de esa empresa que usan gafas. Solucin: (0.170, 0.329) Ejercicio 180 El gasto que hacen las familias espaolas en regalos de Navidad sigue una ley Normal de media desconocida y desviacin tpica 84 euros. Para estimar esta media se seleccion una muestra aleatoria y se obtuvo el intervalo de confianza (509.41, 539.79), con un nivel de confianza del 97%. a) (0.5 puntos) Cul ha sido la media de la muestra escogida? b) (1.5) Qu tamao tena la muestra? Solucin: a) 524.6 b) n = 144


Ejercicio 181 Los jvenes andaluces duermen un nmero de horas diarias que se distribuye segn una ley Normal de media desconocida, , y desviacin tpica 2 horas. A partir de una muestra de 64 jvenes se ha obtenido una media de 7 horas. a) (1 punto) Halle un intervalo de confianza, al 97%, para la media poblacional . b) (1 punto) Manteniendo la misma confianza, cul debe ser el tamao mnimo de la muestra para estimar la media de horas de sueo, cometiendo un error mximo de 0.25 horas? Solucin:

a) (6.457, 7.542) b) n = 302

inferenc.PDF

Documents

Transcript of inferenc.PDF