“Año de la promoción de la industria responsable Y del compromiso climático”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA

EXPERIMENTO 2:ONDAS ESTACIONARIASCURSO :

FISICA IISECCION :

0 2INTEGRANTES :

- AYMA ARANDA HARRE B.- .

/10/2014

INFORME DE LABORATORIO

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MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Y AMORTIGUADO

AUTORES

AYMA ARANDA HARRE BAMS20130132I

/10/2014

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I. OBJETIVOS El objetivo de esta experiencia es el de verificar

experimentalmente la relación existente entre la frecuencia (v), tensión(T) , densidad lineal(μ) y longitud de onda(λ) para una onda estacionaria

II. FUNDAMENTO TEÓRICO:Ondas Estacionarias: Cuerda vibrante

Considérese una cuerda de longitud L que está sujeta por un extremo a la pared y por el otro, una fuerza F la mantiene tensa. En estas condiciones, cualquier elemento, dx, de la cuerda, que se elija está en equilibrio. La misma tensión (fuerza) F = T actúa en ambas direcciones. Sin embargo, si empezamos a hacer oscilar el extremo libre de la cuerda, en el que está aplicada la fuerza F, entonces la cuerda se ondea y ahora cada elemento dx de longitud ya no está en equilibrio. Las componentes horizontal y vertical que actúan sobre un elemento dx de la cuerda, son:

FX=Fcos ( α+d α )−Fcos (α )

FY=Fsen ( α+d α )−Fsen (α )

En donde α es el ángulo que, a una distancia x de la pared, forma la fuerza F con el eje X (la horizontal). Evidentemente, será

tanα=dydy

Como α << 1, en todos los puntos de la cuerda, puede aproximarse la tangente ó el seno por el ángulo. Esto es: tg α ≅ sen α ≅ α. (por el mismo argumento, cosα ≈ 0, y no hay componente neta de la fuerza en la dirección horizontal)

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La variación del ángulo α con la distancia x, vendrá dada por:

dα=∂ y∂x

dx=∂2 y∂ x2

dx

Y por tanto, la componente vertical de la fuerza es:

FY=Fsen ( α+dα )−Fsenα=F ( sen (α+dα )−senα )=F∂2 y∂x2

dx

Por otra parte, la masa, dm, del elemento dx, vale: dm= ρSdx , siendo ρ la densidad de

Masa, y S la sección transversal de la cuerda. La ecuación de movimiento será:

FY=dm∂2 y∂x2

; F∂2 y∂2 x2

dx=ρ Sdx∂2 y∂ t2

. Obteniéndose

finalmente,

v2=F/ μ

Siendo µ = α·S la densidad de masa por unidad de longitud de la cuerda y v la velocidad de propagación de la onda. Esta ecuación aparece usualmente escrita de la forma:

Y se conoce como ecuación de ondas. La solución de la ecuación de ondas es siempre de la forma y(x, t)= f (kx±t), como puede demostrarse fácilmente. En efecto, sea z= kx±ωt tenemos:

∂ y∂ t

=∂ f∂ z

∂ z∂ t

=±ω∂ f∂ z

∂2 y∂ t2

=±ω∂2 f∂ z2

∂z∂t

=ω2 ∂2 f

∂ z2

∂2 y∂ t2

= 1F /μ

∂2 y∂ x2

∂2 y∂ t2

= 1v2

∂2 y∂ x2

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∂ y∂ x

=∂ f∂ z

∂ z∂ x

=k∂ f∂ z

∂2 y∂ x2

=k∂2 f∂ z2

∂ z∂x

=k 2∂2 f∂ z2

Sustituyendo las derivadas segundas en la ecuación de onda, se concluye que,

Y que la función y ( x , t )=f (kx ±ωt) , es siempre solución de la ecuación de ondas.

¿Qué diferencia hay entre las soluciones, y ( x , t )=f (kx ±ωt), con distinto signo?

Respondámonos a la siguiente pregunta: Si en un determinado instante de tiempo to y en una determinada posición xo, el valor de la

función es y0 (x0 ,t 0 )=f (k x0±ωt0), al cabo del intervalo de tiempo ∆t,

¿cuánto ha de valer ∆x para obtener el mismo valor yo? Esto es:

f (k x0±ωt 0 )=f ¿

Para ello tendrá que cumplirse que k∆x± ω∆t = 0, es decir: ∆x = ± (ω/k)Δt=±vΔt . Luego el signo (−) en la ecuación de partida conduce a ∆x=+VΔt>0, que indica un desplazamiento positivo. Mientras que el signo (+) conduce a ∆x=-VΔt>0, que es un desplazamiento en la dirección negativa del eje X.

La solución de la ecuación de ondas bien conocida de todos es:

y ( x , t )=Acos(kx±ωt+φ)

Una onda estacionaria es el resultado de la superposición de dos movimientos ondulatorios armónicos de igual amplitud y frecuencia que se propagan en sentidos opuestos a través de un medio. La onda

V=ω /¿K

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estacionaria NO ES una onda viajera, puesto que su ecuación no contiene ningún término de la forma kx−ωt . Por sencillez, tomaremos como ejemplo para ilustrar la formación de ondas estacionarias el caso de una onda transversal que se propaga en una cuerda sujeta por sus extremos en el sentido de izquierda a derecha (→); esta onda incide sobre el extremo derecho y se produce una onda reflejada que se propaga en el sentido de derecha a izquierda (←). La onda reflejada tiene una diferencia de fase de π radianes respecto de la onda incidente. La superposición de las dos ondas, incidente y reflejada, da lugar, en ciertas condiciones, a una onda estacionaria.

Onda incidente, sentido (→): y1=Acos(kx−ωt )

Onda reflejada, sentido (←): y1=Acos(kx−ωt+π )

En estas ecuaciones, k representa el número de ondas k = 2π /λ y ω es la frecuencia

Angular, ω π = 2 / T, siendo λ y T, respectivamente, la longitud de onda y el periodo.

La superposición de ambas ondas, incidente y reflejada, conduce a:

y= y1+ y2=Acos ( kx−ωt )+Acos (kx+ωt+π )=¿

¿ A(cos (kx ) cos (ωt )+sen (kx ) sen (ωt ))+A(cos (kx ) cos (ωt+π )−sen ( kx ) sen (ωt+π ))=2 Asen(kx) sen(ωt )

El término senωt representa la dependencia temporal, mientras que 2Asenkx es la

Amplitud, la cual, obviamente, depende de la posición x. Es decir, los distintos puntos de la cuerda vibran con la misma frecuencia angular ω pero con diferentes amplitudes, que no dependen del tiempo.

Significado físico de la superposición expresada por la ecuación:

y ( x , t )=2 Asen (kx )sen(ωt)

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Como los puntos extremos de la cuerda están fijos por hipótesis, la vibración en ellos

Tiene que ser nula; es decir, si la cuerda donde se propagan las ondas tiene longitud L, en los extremos x = 0 y x = L han de verificarse en cualquier instante las condiciones siguientes:

y (0 )=2 Asen (k 0 ) sen (ωt )=0e y ( L )=2 Asen (kL ) sen (ωt )=0

Y como ha de ser cero para cualquier valor de t, tendrá que ser:

senkL=0⇒kL=nπ (conjunto de los números enteros), por tanto

2πλ

L=nπ ;nλ2

, n ϵ Z

Es decir, solo aparecen ondas estacionarias cuando la longitud de la cuerda sea un

múltiplo exacto de la semi-longitud de onda.

Como la longitud de onda está relacionada con la frecuencia ν =1/T, a través de la expresión v = ω/ k = ν·λ. La expresión anterior se puede también expresar como

v=nυ2 L

III. EQUIPO UTILIZADO:

Computadora con el programa Logger Pro instalado.

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Una interfase LabPro de Vernier

Portapesa con arena.

Balanza electrónica.

Pedazo de hilo

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Superpolea vernier

Soporte universal

Regla milimetrada metálica

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Kit de ondas estacionarias

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IV. PROCEDIMIENTO. TOMA DE DATOS:

PRIMERA PARTE: Montaje experimental

1. Determine la densidad lineal de la cuerda(μ¿2. Coloque unos 10g de arena en el vaso, cuyo peso hará de fuerza tensora este peso

debe ser aproximadamente de 0.20 N.

3. Utilizando la relación f n=n2L √T

μ¿), deduzca el valor de la frecuencia para n=2 y para

L=1m. Su valor de frecuencia debe estar alrededor de los 20 Hz, si su frecuencia calculada fuese menor a los 20 Hz, modifique su configuración.

4. Configure el software de modo que la frecuencia de la señal senoidal sea la deducida en el paso (3).

5. Pasar el hilo a través del orificio del eje del parlante.6. Ate un extremo de este hilo al soporte universal y el otro extremo (haciéndolo pasar a

través de la polea) a un porta pesa, de tal manera que el hilo se mantenga tenso. coloque el vibrador a la mitad de la cuerda. La configuración debe quedar como la figura siguiente:

7. Conecte el cable del generador al canal 4(CH4).8. Conecte la interface al computador.9. Energice la interface y el computador.10. Configure el generador de tensión (CH4) a una señal tipo senoidal con una frecuencia

igual a la deducida en el paso 3 del anterior proceso y con amplitud de 4V.

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SEGUNDA PARTE: Frecuencia variable

1. Calcule el valor que debe tener las demás frecuencias para que se pueda visualizar los demás modos de vibración .Coloque sus datos en la tabla 1.

2. Coloque ahora el vibrador en uno de para cada modo de vibración .Modifique ligeramente la frecuencia para que se visualice adecuadamente la forma estacionaria. Este valor de frecuencia es el valor experimental .Coloque sus datos en la tabla 1.

TABLA 01: Frecuencia variable.

η 2 3 4 5 6

υteorico

υexperimental

TERCERA PARTE: Masa variable

1. Con la configuración obtenida en el paso 2 de la parte segunda, calcule el valor que debe tomar la masa para que se visualice los demás modos de vibración. Estos valores serán teóricos, anótelos en la tabla 2.

2. Modifique el valor de la masa (tensión) para que se visualice los demás modos de vibración, tomando como referencia los valores hallados en el paso anterior. Modifique ligeramente el valor de la masa de modo que se visualice correctamente las ondas estacionarias. Estos valores serán los experimentales, anótelos en la tabla 2.

TABLA 2: Masa variable:

η 2 3 4 5 6

mteorico

mexperimental

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V. CALCULOS Y RESULTADOS:

VI. CONCLUSIONES: 

 

Podemos concluir que la longitud de onda disminuye si la frecuencia aumenta, ya que en las gráficas esta tienen un comportamiento decreciente, por tanto son inversamente proporcionales.

Si hay una mayor tensión sobre la cuerda, la longitud de onda aumentara, ya que estas tienen un comportamiento directamente proporcional.

Los nodos son puntos de la cuerda donde no se trasmite energía en estos, en cambio en los antinodos son los puntos donde la amplitud es máxima.

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La velocidad de propagación de una onda depende de la tensión que hay en la cuerda por tanto a un aumento de tensión en una misma cuerda, su velocidad será mayor.

Al aumentar la frecuencia la longitud de onda (lambda) disminuye porque ante el aumento de la frecuencia empiezan a parecer una mayor cantidad de nodos y antinodos (armónicos), haciendo que lambda disminuya.

VII. BIBLIOGRAFIA:o TIPLER, MOSCA: Física para la ciencia y la tecnología Vol. 1 5ta

Edición.

o RUSELL C. HIBBELER: Ingeniería Mecánica Dinámica

decimosegunda edición

o SERWAY: Física para las ciencias y la ingeniería volumen I- 5ta

edición.

o SEARS – SEMANSKY: Física universitaria, tomo I - 12ava edición.

o HUGO MEDINA GUZMAN: Física II.

o HUMBERTO LEYVA: Física II – Tomo 2