Informe n 2 laboratorio de Fisica 1 (unmsm)

INFORME DE LABORATORIO N° 2 “TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES fIEE/FISI

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I. OBJETIVOS:

1. Aprender a organizar y graficar los datos experimentales haciendo uso de tablas y papeles gráficos.

2. Aprender técnicas de ajuste de curvas, principalmente el método de lineal y el método de mínimos cuadrados.

3. Aprender técnicas de ajuste de curvas, principalmente el método de regresión lineal y el método de mínimos cuadrados.

II. MATERIALES :

III. FUNDAMENTO TEÓRICO:

Los datos teóricos en un proceso de medición se organizan en tablas. Las tablas de valores así confeccionadas nos informan acerca de las relaciones existentes entre una magnitud y otra. Una alternativa para establecer dichas relaciones es hacer representaciones gráficas en un sistema de ejes coordenados con divisiones milimetradas, logarítmicas y semilogarítmicas, según sea el caso, con el fin de encontrar gráficas lineales (rectas) para facilitarla construcción de las fórmulas experimentales que representen las leyes que gobiernan el fenómeno.

Calculadora científica (6) Hojas de papel milimetrado (2) Hojas de papel logarítmico (1) Hoja de papel semilogarítmico

Papel milimetrado Papel logarítmico Papel semilogarítmico


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USO DEL PAPEL MILIMETRADO:

Empezamos graficando los valores de la tabla de datos en el papel milimetrado:

1. Siempre tenga cuidado de escribir los valores de la variable independiente en el eje de las abscisas y las variables dependientes en el eje de las coordenadas.

2. La distribución de puntos así obtenida se unen mediante una curva suave, usando una regla curva o trazo a media alzada.

3. La representaciones gráficas que aparecen con más frecuencia son: Función lineal y = b + mx Función Potencial y = k xn

Función Exponencial y = k 10xn

Veamos el primer caso, si la distribución de puntos en el papel milimetrado es de tendencia lineal, entonces, se realiza el ajuste de la recta mediante el método de regresión lineal por mínimos cuadrados .Esto significa que la relación que se busca tiene la forma de una recta cuya ecuación es:

y = mx + b

En donde las constantes a determinar son: m la pendiente de la recta y b ordenada en el origen (intercepto), siguiendo el procedimiento que se detalla a continuación:

Primero se construye una tabla de la forma:

Tabla 1xi yi xi yi xi

2

x1 y1 x1 y1 x12

x2 y2 x2 y2 x22

.

.

.xp

.

.

.yp

.

.

.xp yp

.

.

.xp

2

∑ x i ∑ yi ∑ x i y i ∑ x i2

Luego se calcula la pendiente y el intercepto.

m = p∑ x i

y i−¿∑ xi∑ y i

p∑ x i2−(∑ x i)

2¿ ; b =

p∑ x i2∑ y i−∑ x i∑ x i y i

p∑ x i2−(∑ x i)

2

En el segundo caso, cuando la distribución de puntos en el papel milimetrado no es de tendencia lineal; se pasan los datos de la tabla un papel logarítmico o semilogarítmico, en alguno de estos papeles la distribución de los puntos saldrá una recta.


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USO DEL PAPEL LOGARÍTMICO:

Las relaciones de la forma y = k xn ; ( n≠1 ), son funciones potenciales y sus gráficas en el papel logarítmico son rectas de pendientes m = n, que cortan el eje vertical en b = log k. Se recomienda preferentemente usar papel logarítmico 3x3; en donde cada ciclo está asociado a una potencia de base 10. El origen de un eje coordenado logarítmico puede empezar con …., 10-1 , 100 , 101 , 102 , 103 ,…etc.

Al tomar logaritmo decimal a la ecuación y = k xn ; ( n≠1 ) obtenemos logy = mlogx + logk , que tiene la forma lineal Y = mX + b , en donde X = logx, Y = logy y b = logk .Concluimos entonces, que el método de regresión lineal puede ser aplicado a una distribución potencial de puntos, para ello se toma logaritmo decimal a cada uno de los datos de la tabla. Construya la siguiente tabla cuidando de colocar los valores con un mínimo de cuatro decimales de redondeo en cada columna.

xi yi Xi = log xi Yi = log yi Xi Yi =logxi logyi Xi2=(log xi)2

x1 y1 log x1 log y1 logx1 logy1 ( log x1)2

x2 y2 log x2 log y2 logx2 logy2 ( log x2)2

.

.

.xp

.

.

.yp

.

.

.log xp

.

.

.log yp

.

.

.logxp logyp

.

.

.( log x p)

2

∑ log x i ∑ log y i ∑ log x i log y i ∑ (log x i)2

Para determinar la ecuación de la recta en el papel logarítmico, se calculan ahora los valores de:

m = p∑ log x i logy i−¿∑ log x i∑ log y i

p∑ (logxi)2−(∑ logxi)

2¿ ;

b = p∑ (logxi)

2∑ logy i−∑ logxi∑ logxi logyi

p∑ (logx i)2−(∑ logxi)

2

Para encontrar la ecuación de la función potencial y = k xn graficada en el papel milimetrado debemos determinar los valores de m y k. Del párrafo anterior se tiene que m = n y k = 10.

USO DEL PAPEL SEMILOGARÍTMICO:


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Para relaciones exponenciales de la forma y = k 10xn se utiliza papel semilogarítmico, ¿por qué? Construya adecuadamente su tabla para aplicar el método de regresión lineal.

EXTENSION DEL METODO DE REGRESION LINEAL:

El estudio de este método relativamente sencillo y tiene doble interés: de un lado este tipo de diferencia es frecuente entre magnitudes físicas; por otro lado, muchas otras dependencias más complicadas pueden reducirse a la forma lineal mediante un cambio adecuado de variables, algunos casos se muestran en la siguiente tabla:

Forma inicial Cambio Forma linealy = a x2 x2 = z y = a zy = a√ x √ x = z y = a z

y = a exp (nx) ln(y) = z ; ln(a) = b z = nx + by = a xn ln(y) = z ; ln(a) = b ; ln(x) = t z = b + nt

USO DE LA CALCULADORA CIENTIFICA:

Estas calculadoras presentan la función LR del inglés linear regresión lo cual nos permite obtener en forma directa los valores del intercepto (A) y la pendiente (B) de la recta y el factor de correlación (r) usando el método de regresión lineal por mínimos cuadrados.

Existen calculadoras modernas que grafican la tabla de datos y presentan otros modos de regresión tales como: lineal, logarítmica, exponencial, potencial, inversa y cuadrática, aquí el concepto del coeficiente de correlación juega un rol muy importante.

Para hallar la fórmula experimental de la curva obtenida en papel milimetrado haga uso de la siguiente tabla:

Distribución de puntos en CalculadoraPapel

MilimetradoPapel

LogarítmicoPapel

SemilogarítmicoTipo

RegresiónFórmula

Lineal Lineal y = A + BxCurva Lineal Potencial y = AxB

Curva Lineal Exponencial y = A exp(Bx)Curva Lineal Cuadrática y = A + Bx + Cx2

USO DEL COMPUTADOR:

Se pueden construir programas en C, Fortran, Pascal o Basic para hacer los ajustes que se requieran. También se puede usar programas como Gnuplot, Micro cal Origen, entre otros. Pero el más accesible es el EXCEL que nos permite hacer gráficas y


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presentar las curvas de regresión con sus respectivas fórmulas de correspondencia y coeficientes de correlación.


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IV. PROCEDIMIENTO: Se analizarán tres experimentos: la conducción de corriente por un hilo conductor de micrón, la evaluación de agua de un depósito y la actividad radiactiva del radón.

1. En la tabla 1 se tiene las medidas de intensidad de corriente eléctrica i conducida por un hilo conductor de nicrón y la diferencia de potencial V aplicada entre sus extremos.

TABLA 1

i (A) V (V)0.5 2.181.0 4.362.0 8.724.0 17.44

2. La tabla 2 muestra las medidas del tiempo de vaciado (t) de un depósito con agua y las medidas de las alturas del nivel de agua para cuatro llaves de salida de diferentes diámetros (D).

TABLA 2

h (cm) 30 20 10 4 1D (cm) Tiempo de vaciado t (s)

1.5 73.0 59.9 43.0 26.7 13.52.0 41.2 33.7 23.7 15.0 7.83.0 18.4 14.9 10.5 6.8 3.75.0 6.8 5.3 3.9 2.6 1.57.0 3.2 2.7 2.0 1.3 0.8

3. La tabla 3 muestra los porcentajes de las medidas de la actividad radiactiva del radón. El día cero se detectó una desintegración de 4.3 x 1018 núcleos.

TABLA 3

t (dias) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A (%) 100 84 70 59 49 41 34 27 24 20 17


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V. APLICACIONES

1. Grafique las siguientes distribuciones:

De la Tabla 1:

a) Grafique en una hoja de papel milimetrado V vs. i.

De la Tabla 2:

b) En una hoja de papel milimetrado grafique t vs. D. para cada una de las alturas.

c) En una hoja de papel milimetrado grafique t vs. h. para cada diámetro.

d) En una hoja de papel logarítmico grafique t vs. D. para cada una de las alturas.

e) En una hoja de papel logarítmico grafique t vs. h. para cada diámetro.

f) Haga el siguiente cambio de variables z = 1/D 2 y grafique t = t (z) en papel milimetrado.

De la Tabla 3:

g) En una hoja de papel milimetrado grafique A vs. T.

h) En una hoja de papel semilogarítmico A vs. T.


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2. Hallar las fórmulas experimentales:

Regresión Lineal por mínimos Cuadrados (RLMC)

b=∑ x2∑ y−∑ x∑ xy

P∑ x2−¿¿¿

m=P∑ xy−∑ x∑ y

P∑ x2−¿¿¿

a) Obtenga las formulas experimentales usando el método de regresión lineal. para las gráficas obtenidas en los casos a), d), e), f) y h).

CASO A) V vs. i.

Voltaje (v) Intensidad(A)

Yi Xi Xi.Yi Xi2

2.18 0.5 1.09 0.254.36 1 4.36 18.72 2 17.44 4

17.44 4 69.76 16

∑Yi=32.7 ∑ Xi=7.5 ∑ Xi . Yi=92.65 ∑ Xi2=21.25

Por el método de regresión lineal por mínimos cuadrados.

Luego se calcula la pendiente y el intercepto.

m = 4 ( 92.65 )−(7.5)(32.7)

4 (21.25 )−(7.5)2 = 125.3528.75

= 4.36 y = 4.36

b = (21.25) (32.7 )−(7.5)(92.65)

4 (21.25 )−(7.5)2 = 0

28.75 = 0 b = 0

ECUACIÓN DE LA TABLA: Y = 4.36 X


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CASO D)

Diámetro

D (cm)

Tiempo de vaciado t (s)

x y xy x2

log D log t log t log D ¿¿

1.5 73 0.1760 1.863 0.327 0.0309

2 41.2 0.3010 1.614 0.784 0.0906

3 18.4 0.4771 1.264 0.603 0.2276

5 6.8 0.6989 0.8325 0.581 0.4884

7 3.2 0.8450 0.505 0.426 0.714

2.498 6.0793 2.721 1.5515

H=30 cm


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Para hallar el intercepto (b) y la pendiente (m) :

b=(1.5515 ) (6,0793 )−(2.498)(2.422)

5 (1.5515 )−2.4982 =3.3811.517

=2.228

m=5 (2.422 )−(2.498)(6.0793)

5 (1.5515 )−2.4982 =−3.0761.517

=−2.027

Ecuación de la tabla:

Y = 102.228 X−2.027

H=20 cm

Diámetro

D (cm)


x y xy x2

log D log t log t × log D ¿¿

1.5 59.9 0.1760 1.777 0.312 0.0309

2 33.7 0.3010 1.527 0.459 0.0906

3 1409 0.4771 1.173 0.559 0.22765 5.3 0.6989 0.724 0.506 0.48847 2.7 0.8450 0.431 0.364 0.714

2.498 5.632 2.2 1.5515


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b=(1.5515 ) (5.632 )−(2.498)(2.2)

5 (1.5515 )−2.4982 =3.24241.517

=2.137

m=5 (2.2 )−(2.498)(5.632)

5 (1.5515 )−2.4982 =−3.0687

1.517=−2.022

ECUACIÓN DE LA TABLA: Y = 102.137 X−2.022

H=10 cm

Diámetro

D (cm)


x y xy x2

log D log t log t log D ¿¿1.5 43 0.1760 1.6334 0.2874 0.0309

2 23.7 0.3010 1.4424 0.4341 0.0906


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3 10.5 0.4771 1.0211 0.4871 0.2276

5 3.9 0.6989 0.591 0.413 0.4884

7 2 0.8450 0.301 0.2543 0.714

2.498 4.9889 1.8759 1.5515


b=(1.5515 ) ( 4.9889 )−(2.498)(1.8759)

5 (1.5515 )−2.4982 =3.0541.517

=2.013

m=5 (1.8759 )−(2.498)(4.9889)

5 (1.5515 )−2.4982 =−3.0821.517

=−2.032


H= 4

Diámetro

D (cm)


x y xy x2


1.5 26.7 0.1760 1.4265 0.251 0.0309


UNMSM

2 15 0.3010 1.176 0.3539 0.0906

3 6.8 0.4771 0.8325 0.3971 0.2276

5 2.6 0.6989 0.4149 0.2899 0.4884

7 1.3 0.8450 0.1139 0.0962 0.714

2.498 3.9638 1.3881 1.5515


b=(1.5515 ) (3.9638 )−(2.498)(1.3881)

5 (1.5515 )−2.4982 =2.9611.517

=1.434

m=(1.5515 ) (1.3881 )−(2.498)(3.9638)

5 (1.5515 )−2.4982 =−2.9611.517

=−1.951



UNMSM

H=1 cm

Diámetro

D (cm)


x y xy x2


1.5 13.5 0.1760 1.1303 0.1989 0.0309

2 7.8 0.3010 0.892 0.2684 0.0906

3 3.7 0.4771 0.5682 0.271 0.2276

5 1.5 0.6989 0.176 0.123 0.4884

7 0.8 0.8450 -0.096 0.0811 0.714

2.498 2.6705 0.7802 1.5515


UNMSM


b=(1.5515 ) (2.6705 )−(2.498)(0.7801)

5 (1.5515 )−2.4982 =2.19451.517

=1.446

m=(5 ) (0.7801 )−(2.498)(2.6705)

5 (1.5515 )−2.4982 =−2.7704

1.517=−1.826


CASO E)

D= 1.5 cm

h t H T H.T H230 73.00 1.4771 1.8633 2.7522 2.181820 59.90 1.3010 1.7774 2.3141 1.692610 43.00 1.0000 1.6334 1.6334 1.00004 26.00 0.6020 1.4149 0.8517 0.36241 13.00 0.0000 1.1205 0.0000 0.0000∑ 4.3801 7.8095 7.5514 5.2368

b=(∑ H 2∗∑ T−∑ H∗∑ H∗T )

P∗∑ H 2−∑ H2


UNMSM

m=P∗∑ HT−∑ H∗∑T

P∑ H 2−∑ H2

T=A HB

b=(5.2368∗7.3811−4.3811∗7.5514)

5∗5.2368−4.38112 =1.1177

m=(5∗7.5514−4.3811∗7.8095)

5∗5.2368−4.38112 =0.5068

B=m=0.5068

A=10b=101.1177=13.1129

T=13.1129∗H 0.5068

D= 2 cm

b=(∑ H 2∗∑ T−∑ H∗∑ H∗T )

P∗∑ H 2−∑ H2

h t H T H.T H2

30 41.20 1.4771 1.6148 2.3852 2.1818

20 33.70 1.3010 1.5276 1.9874 1.6926

10 23.70 1.0000 1.3747 1.3747 1.0000

4 15.00 0.6020 1.176 0.7079 0.3624

1 7.80 0.0000 0.892 0.0000 0.0000

∑ 4.3801 6.5851 6.4552 5.2368


UNMSM


P∑ H2−∑ H2

T=A∗HB

b=(5.2368∗6.5851−4.3811∗6.4552)

5∗5.2368−4.38112 =0.8875

m=(5∗6.4552−4.3811∗6.5851)

5∗5.2368−4.38112 =0.4901

B=m=0.4901

A=10b=100.8875=7.7179

T=7.7179∗H 0.4901

D=3 cm

h t H T H.T H230 18.40 1.4771 1.2648 1.8682 2.181820 14.90 1.3010 1.1731 1.5262 1.692610 10.50 1.0000 1.0211 1.0211 1.00004 6.80 0.6020 0.8325 0.5011 0.36241 3.70 0.0000 0.5682 0.0000 0.0000∑ 4.3801 4.8597 4.9166 5.2368


UNMSM

b=(∑ H 2∗∑ T−∑ H∗∑ H∗T )

P∗∑ H 2−∑ H2


P∑ H 2−∑ H2

T=A∗HB

b=(5.2368∗4.9407−4.3811∗4.9166)

5∗5.2368−4.38112 =0.6199

m=(5∗4.9166−4.3811∗4. .8597)

5∗5.2368−4.38112 =0.4202

B=m=0.4202

A=10b=100.6199=4.1677

T=4.1677∗H 0.4202

D= 5 cm

h t H T H.T H230 6.80 1.4771 0.8325 1.2296 2.181820 5.30 1.3010 0.7242 0.9421 1.692610 3.90 1.0000 0.5563 0.5563 1.00004 2.60 0.6020 0.4149 0.2497 0.36241 1.50 0.0000 0.1760 0.0000 0.0000∑ 4.3801 2.7039 2.9777 5.2368


UNMSM

b=(∑ H 2∗∑ T−∑ H∗∑ H∗T )

P∗∑ H 2−∑ H2


P∑ H2−∑ H2

T=A∗HB

b=(5.2368∗2.7039−4.3811∗2.9777)

5∗5.2368−4.38112 =0.1593

m=(5∗2.9777−4.3811∗2.7039)

5∗5.2368−4.38112 =0.4352

B=m=0.4352

A=10b=100.1593=1.4431

T=1.4431∗H 0.4352

D= 7 cm

h t H T H.T H230 3.20 1.4771 0.5051 0.7460 2.1818


UNMSM

20 2.70 1.3010 0.4313 0.5615 1.692610 2.00 1.0000 0.3010 0.3010 1.00004 1.30 0.6020 0.1139 0.0685 0.36241 0.80 0.0000 -0.0969 0.0000 0.0000∑ 4.3801 1.14051 1.6770 5.2368

b¿(∑ H 2∗∑ T−∑ H∗∑ H∗T )

P∗∑ H 2−∑ H2


P∑ H2−∑ H2

T=A∗HB

b=(5.2368∗1.1405−4.3811∗1.6770)

5∗5.2368−4.38112 =−0.1113

m=(5∗1.6770−4.3811∗1.1405)

5∗5.2368−4.38112 =0.4847

B=m=0.4847

A=10b=10−0.1113=0.7739

T=0.7739∗H 0.4647

CASO F)


UNMSM

h = 30 cm z=1

D2

Dx i =

1

D2 y i x i y i x i2

1.51

(1.5)2=0.4444

73.0 (0.4444 )(73.0)=32.4412 (0.4444 )2=0.1974

21

(2.0)2=0.25 41.2 (0.25 ) (41.2 )=10.3 (0.25 )2=0.0625

31

(3.0)2=0.1111 18.4 (0.1111 ) (18.4 )=2.0442 (0.111 )2=0.0123

51

(5.0)2=0.04 6.8 (0.04 ) (6.8 )=0.272 (0.04 )2=0.0016

71

(7.0)2=0.0204 3.2 (0.0204 ) (3.2 )=0.0652 (0.0204 )2=0.0004

∑ x i=0.8659 ∑ yi=142.6 ∑ x i y i=45.1226 ∑ x i2=0.2742

m=5 (45.1226 )−(0.8659)(142.6)

5(0.2742)−(0.8659)2 =225.613−123.4773

1.371−0.7497=

102.13570.6213

=164.3903

b=∑ xi2∑ y i−¿∑ x i∑ x i y i

p∑ x i2−(∑ x i)

2 ¿

b=(0.2742 ) (142.6 )−(0.8659)(45.1226)

5 (0.2742 )−(0.8659)2 =39.1009−39.0716

1.371−0.7497=

0.02930.6213

=0.0471

y=164.33903 x+0.0471


UNMSM

H= 20 cm

Dx i =

1

D2 y i x i y i x i2

1.51

(1.5)2=0.4444 59.9 (0.4444 )(59.9)=26.6195 (0.4444 )2=0.1974

21

(2.0)2=0.25 33.7 (0.25 ) (33.7 )=8.425 (0.25 )2=0.0625

31

(3.0)2=0.1111 14.9 (0.1111 ) (14.9 )=1.6553 (0.111 )2=0.0123

51

(5.0)2=0.04 5.3 (0.04 ) (5.3 )=0.212 (0.04 )2=0.0016

71

(7.0)2=0.0204 2.7 (0.0204 ) (2.7 )=0.0550 (0.0204 )2=0.0004

∑ x i=0.8659 ∑ yi=116.5 ∑ x i y i=36.9668 ∑ x i2=0.2742

m=5 (36.9668 )−(0.8659)(116.5)

5(0.2742)−(0.8659)2 =184.834−100.8773

1.371−0.7497=

83.95670.6213

=135.1306

b=(0.2742 ) (116.5 )−(0.8659)(36.9668)

5 (0.2742 )−(0.8659)2 =31.9443−32.0095

1.371−0.7497=

−0.06520.6213

=−0.1049

y=135.1306 x−0.1049

Dx i =

1

D2 y i x i y i x i2

1.51

(1.5)2=0.4444 43.0 (0.4444 )(43.0)=19.1092 (0.4444 )2=0.1974

21

(2.0)2=0.25 23.7 (0.25 ) (23.7 )=5.925 (0.25 )2=0.0625

31

(3.0)2=0.1111 10.5 (0.1111 ) (10.5 )=1.1665 (0.111 )2=0.0123

51

(5.0)2=0.04 3.9 (0.04 ) (3.9 )=0.156 (0.04 )2=0.0016

71

(7.0)2=0.0204 2.0 (0.0204 ) (2.0 )=0.0408 (0.0204 )2=0.0004

∑ x i=0.8659 ∑ yi=83.1 ∑ x i y i=26.3975 ∑ x i2=0.2742

H = 10cm


UNMSM

m=5 (26.3975 )−(0.8659)(83.1)

5 (0.2742)−(0.8659)2 =131.9875−71.9562

1.371−0.7497=

60.03130.6213

=96.6220

b=(0.2742 ) (83.1 )−(0.8659)(26.3975)

5 ( 0.2742 )−(0.8659)2 =22.7860−22.8575

1.371−0.7497=

−0.07150.6213

=−0.1150

y=96.6220 x−0.1150

H = 4cm

D x i = 1

D2 y i x i y i x i2

1.51

(1.5)2=0.4444 26.7 (0.4444 )(26.7)=11.8654 (0.4444 )2=0.1974

21

(2.0)2=0.25 15.0 (0.25 ) (15.0 )=3.75 (0.25 )2=0.0625

31

(3.0)2=0.1111 6.8 (0.1111 ) (6.8 )=0.7554 (0.111 )2=0.0123

51

(5.0)2=0.04 2.6 (0.04 ) (2.6 )=0.104 (0.04 )2=0.0016

71

(7.0)2=0.0204 1.3 (0.0204 ) (1.3 )=0.0265 (0.0204 )2=0.0004

∑ x i=0.8659 ∑ yi=52.4 ∑ x i y i=16.5013 ∑ x i2=0.2742

m=5 (16.5013 )−(0.8659)(52.4)

5(0.2742)−(0.8659)2=

82.5065−45.37311.371−0.7497

=36.52740.6213

=58.7918

b=(0.2742 ) (52.4 )−(0.8659)(16.5013)

5 (0.2742 )−(0.8659)2 =14.3680−14.2884

1.371−0.7497=

0.07960.6213

=0.1281

y=58.7918 x+0.1281

D x i = 1

D2 y i x i y i x i2

1.51

(1.5)2=0.4444 13.5 (0.4444 )(13.5)=5.9994 (0.4444 )2=0.1974

21

(2.0)2=0.25 7.8 (0.25 ) (7.8 )=1.95 (0.25 )2=0.0625

31

(3.0)2=0.1111 3.7 (0.1111 ) (3.7 )=0.4110 (0.111 )2=0.0123

51

(5.0)2=0.04 1.5 (0.04 ) (1.5 )=0.06 (0.04 )2=0.0016


UNMSM

71

(7.0)2=0.0204 0.8 (0.0204 ) (0.8 )=0.0163 (0.0204 )2=0.0004

∑ x i=0.8659 ∑ yi=27.3 ∑ x i y i=8.4367 ∑ x i2=0.2742

h = 1cm

m=5 (8.4367 )−(0.8659)(27.3)

5(0.2742)−(0.8659)2 =42.1635−23.6390

1.371−0.7497=

18.52450.6213

=29.8157

b=(0.2742 ) (27.3 )−(0.8659)(8.4367)

5 (0.2742 )−(0.8659)2 =7.4856−7.30531.371−0.7497

=0.18030.6213

=0.2901

y=29.8157 x+0.2901

CASO H) A vs. t.

X LgY XLgY X²

0 2 0 0

1 1.9242 1.9242 1

2 1.8450 3.69 4

3 1.7708 5.3124 9

4 1.6901 6.7604 16

5 1.6127 8.0635 25

6 1.5314 9.1884 36

7 1.4313 10.0191 49

8 1.3802 11.0416 64

9 1.3010 11.709 81

10 1.2304 12.3040 100

∑X=55 ∑LgY=17.7171 ∑XLgY=80.0126 ∑X²=385


UNMSM

m = 11 (80.0126 )−55 (17 . 7171)

11 (385 )−(55) ² = -0.0779

b = 385 (17.7171 )−55(80 . 0126)

11 (385 )−(55) ² = 2.0003

ECUACIÓN DE LA TABLA: Y = 102.0003 10−0.0779 X

b) Haciendo uso de la calculadora científica encuentre las formulas experimentales e indique el factor de correlación para todos las gráficas obtenidas en los casos desde la a) hasta la h).

Para hallar el coeficiente de correlación usaremos la siguiente fórmula


UNMSM

r=∑ xy√¿¿¿Caso a) r= 92.65

√21.25 x8584.02=1

Caso b) Para h=30 - r= 303.5

√89.25∗7421.48=¿0.3729

Para h=20 - r= 247.5

√89.25∗4981=¿0.3709

Para h=10 - r= 176.9

√89.25∗2540.15=0.3715

Para h=4 - r= 88587.76

√89.25∗992.58=0.37814

Para h=1 - r= 23175.54

√89.25∗259.67=0.3944

Caso c) Para D=1.5 - r= 16523849.6

√1417∗11661.15=0.9688

Para D=2 - r= 2214.8

√1417∗3680.66=0.9698

Para D=3 - r= 985.9

√1417∗730.75=0.9688

Para D=5 - r= 360.9

√1417∗98.55=0.9657

Para D=7 - r= 176

√1417∗23.86=0.9571

Caso d) Para h=30 - r= 2.42

√1.5515∗8.6273=0.663

Para h=20 - r= 2.207

√1.5515∗7.5793=0.6423

Para h=10 - r= 1.855

√1.5515∗6.0403=0.6061

Para h=4 - r= 1.3901

√1.5515∗4.2960=0.5384


UNMSM

Para h=1 - r= 0.7795

√2.4364∗1.5515=0.4009

Caso e) Para D=1.5 - r= 7.5566

√12.6115∗5.2368=0.9298

Para D=2 - r= 6.4552

√5.2368∗9.009=0.9397

Para D=3 - r= 4.9166

√5.0344∗5.2368=0.9575

Para D=5 - r= 3.0124

√1.7699∗5.2368=0.9894

Para D=7 - r= 1.6766

√5.2368∗0.5541=0.9842

Caso f) Para h=30 - r= 45.1261

√7421.48∗0.2743=1

Para h=20 - r= 36.9698

√4981.09∗0.2743=1

Para h=10 - r= 26.3995

√2540.15∗0.2743=0.9998

Para h=4 - r= 16.5026

√992.58∗0.2743=0.9999

Para h=1 - r= 8.4374

√259.67∗0.2743=0.9997


UNMSM

c) Haciendo uso del MS EXCEL grafique y presente formulas experimentales y el factor de correlación para todos los casos desde la a) hasta la h).

CASO A)

i (A) v (V)0.5 2.181 4.362 8.724 17.44

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Y = 4.36X

Y = 4.36XLinear (Y = 4.36X)

intensidad (A)

volta

je(V

)

CASO B)

H= 30 cm

1 2 3 4 5 6 7 80

10

20

30

40

50

60

70

80

f(x) = 166.965437216185 x -̂2.01433568674717

ALTURA CONSTANTE EN 30cm


UNMSM

D (cm)

t (s)

1.5 73.02 41.23 18.45 6.87 3.2


UNMSM

H= 20 cm

H=10 cm

1 2 3 4 5 6 7 80

10

20

30

40

50

60

70

f(x) = 135.845456256343 x -̂2.01389813238105


1 2 3 4 5 6 7 80

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

f(x) = 94.6428242031613 x -̂1.98491646538374


D (cm) t (s)1.5 59.92 33.73 14.95 5.37 2.7

D (cm) t (s)1.5 43.02 23.73 10.55 3.97 2.0


UNMSM

H= 4cm

1 2 3 4 5 6 7 80

5

10

15

20

25

30

f(x) = 58.4211089844038 x -̂1.94884532788623

ALTURA CONSTANTE EN 4 cm

D (cm) t (s)1.5 26.72 15.03 6.85 2.67 1.3


UNMSM

H= 1 cm

D (cm) t (s)1.5 13.52 7.83 3.75 1.57 0.8

CASO C)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.50

2

4

6

8

10

12

14

16

f(x) = 27.8648097447666 x^-1.82281645529233

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.000.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

70.00

80.00

f(x) = 17.4220202542866 ln(x) + 7.83696588327661R² = 0.94863709765356

ALTURA VS TIEMPO CUANDO EL DIAMETRO ES 1.5 cm

ALTURA (CM)

TIEM

PO(S

)

h (cm) t (s)30 73.020 59.910 43.04 26.71 13.5


UNMSM

0 5 10 15 20 25 30 350.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

35.00

40.00

45.00

f(x) = 9.64322591830472 ln(x) + 4.82805283796686R² = 0.941446018364728

ALTURA VS TIEMPO CUANDO EL DIAMETRO ES 2 cm

ALTURA(CM)

TIEM

PO(S

)

0 5 10 15 20 25 30 350.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

18.00

20.00

f(x) = 4.21616416982284 ln(x) + 2.35531460191395R² = 0.935299667953378

ALTURA VS TIEMPO CUANDO EL DIAMETRO ES 3cm

ALTURA(CM)

TIEM

PO(S

)

h (cm) t (s)30 41.220 33.710 23.74 15.01 7.8

h (cm) t (s)30 18.420 14.910 10.54 6.81 3.7


UNMSM

0 5 10 15 20 25 30 350.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

f(x) = 1.48823467422729 ln(x) + 1.01798983317151R² = 0.926165117642997


ALTURA(CM)

TIEM

PO(S

)

0 5 10 15 20 25 30 350.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

f(x) = 0.701745428490422 ln(x) + 0.584465912980113R² = 0.946818819951521

ALTURA VS TIEMPO CUANDO EL DIAMETRO ES 7

ALTURA(CM)

TIEM

PO(S)

h (cm) t (s)30 6.820 5.310 3.94 2.61 1.5

h (cm) t (s)30 3.220 2.710 2.04 1.31 0.8


UNMSM

CASO D

H=30 cm

H=20 cm

1 101

10

10059.9

33.7

14.9

5.3

2.7

t vs. D cuando H=20cm

Diámetro

Tiem

po d

e va

ciad

o y = -8.8317x + 55.977

R² = 0.7158

1 101

10

10073

41.2

18.4

6.8

3.2

t vs. D cuando H=30 cm

Diámetro

Tiem

po d

e va

ciad

o

y = -10.775x + 68.388

R² = 0.7199

D (cm) t (s)1.5 73.02 41.23 18.45 6.87 3.2

D (cm) t (s)1.5 59.92 33.73 14.95 5.37 2.7


UNMSM

H=10 cm

1 101

10

100

43

23.7

10.5

3.9

2

t vs. D. cuando H=10cm

Diámetro

Tiem

po d

e va

ciad

o

y = -6.2774x + 39.846

R² = 0.7072

1 101

10

10059.9

33.7

14.9

5.3

2.7

t vs. D cuando H=20cm

Diámetro

Tiem

po d

e va

ciad

o y = -8.8317x + 55.977

R² = 0.7158

D (cm) t (s)1.5 43.02 23.73 10.55 3.97 2.0


UNMSM

H= 4 cm

H= 1 cm

1 100.1

1

10

100

13.57.8

3.7

1.5

0.8

t vs. D cuando H=1 cm

Diametro

Tiem

po

de

vaci

ado

y = -1.9692x + 12.746

R² = 0.7292

1 101

10

100

26.7

15

6.8

2.6

1.3

t vs. D. cuando H=4 cm

Diámetro cm

Tiem

po d

e va

ciad

o

y = -3.9101x + 24.947

R² = 0.7172

D (cm) t (s)1.5 26.72 15.03 6.8 5 2.67 1.3

D (cm) t (s)1.5 13.52 7.83 3.75 1.57 0.8


UNMSM

Caso e)

h (cm) t (s)30 73.020 59.910 43.04 26.71 13.5

h (cm) t (s)30 41.220 33.710 23.74 15.01 7.8

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.000.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

70.00

80.00f(x) = 1.99527972027972 x + 17.0413636363636R² = 0.958984701792988

ALTURA VS TIEMPO CUANDO EL DIAMETRO ES 1.5 cm

ALTURA (CM)

TIEM

PO(S

)

0 5 10 15 20 25 30 350.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

35.00

40.00

45.00f(x) = 1.11293706293706 x + 9.81181818181818R² = 0.966480236848061


ALTURA(CM)

TIEM

PO(S

)


UNMSM

h (cm) t (s)30 18.420 14.910 10.54 6.81 3.7

h (cm) t (s)30 6.820 5.310 3.9

0 5 10 15 20 25 30 350.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

35.00

40.00

45.00f(x) = 1.11293706293706 x + 9.81181818181818R² = 0.966480236848061


ALTURA(CM)

TIEM

PO(S

)

0 5 10 15 20 25 30 350.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

18.00

20.00f(x) = 0.489510489510489 x + 4.49636363636364R² = 0.971719203293375

ALTURA VS TIEMPO CUANDO EL DIAMETRO ES 3cm

ALTURA(CM)

TIEM

PO(S

)

0 5 10 15 20 25 30 350.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

f(x) = 0.174125874125874 x + 1.75636363636364R² = 0.977176981233776


ALTURA(CM)

TIEM

PO(S

)


UNMSM

4 2.61 1.5

h (cm) t (s)30 3.220 2.710 2.04 1.31 0.8

CASO F)

D (cm) Z = 1/D2 t (s)1.5 0.4444 73.02 0.25 41.23 0.1111 18.45 0.04 6.87 0.02 3.2

0 5 10 15 20 25 30 350.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

f(x) = 0.174125874125874 x + 1.75636363636364R² = 0.977176981233776


ALTURA(CM)

TIEM

PO(S

)

0 5 10 15 20 25 30 350.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50f(x) = 0.0804195804195804 x + 0.954545454545455R² = 0.958368056813653

ALTURA VS TIEMPO CUANDO EL DIAMETRO ES 7

ALTURA(CM)

TIEMP

O(S)


UNMSM

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

10

20

30

40

50

60

70

80

f(x) = 164.475953577415 xR² = 0.999988125116028

T (s) vs Z H=30 cm

t (s)Linear (t (s))Linear (t (s))

Tíie

mpo

(s)

D (cm) Z = 1/D2 t (s)1.5 0.4444 59.92 0.25 33.73 0.1111 14.95 0.04 5.37 0.02 2.7

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

10

20

30

40

50

60

70

f(x) = 134.7476914776 xR² = 0.999997274848754

T (s) vs Z H=20 cm

t (s)Linear (t (s))Linear (t (s))

tiem

po (s

)

D (cm) Z = 1/D2 t (s)1.5 0.4444 43.02 0.25 23.73 0.1111 10.55 0.04 3.97 0.02 2.0


UNMSM

D (cm) Z = 1/D2 t (s)1.5 0.4444 26.72 0.25 15.03 0.1111 6.85 0.04 2.67 0.02 1.3

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

5

10

15

20

25

30

f(x) = 60.1490362661913 xR² = 0.999936369327382

T (s) vs Z H= 4 cm

t (s)Linear (t (s))

Tiem

po (s

)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

f(x) = 96.2210121750241 xR² = 0.999910242753801

T (s) vs Z H=10 cm

t (s)Linear (t (s))

Tiem

po (s

)


UNMSM

D (cm) Z = 1/D2 t (s)1.5 0.4444 13.52 0.25 7.83 0.1111 3.75 0.04 1.57 0.02 0.8

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

2

4

6

8

10

12

14

16

f(x) = 30.7524859152822 xR² = 0.999123598604771

T (s) vs Z H= 1

t (s)Linear (t (s))

tiem

po (s

)

Caso g)

t (dias) A(%)

0 1001 842 703 594 495 416 347 278 249 20

10 17

Caso h)

0 2 4 6 8 10 120

20

40

60

80

100

120

f(x) = − 8.07272727272727 x + 88.0909090909091R² = 0.941724986266033

T vs A(%)

A(%)Linear (A(%))

tiempo en días

Porc

enta

je d

e de

sinte

grac

ión


UNMSM

t (dias) A(%)

0 100

1 84

2 70

3 59

4 49

5 41

6 34

7 27

8 24

9 20

10 17

d) Compara sus resultados. ¿Cual(es) de los métodos de regresión le parece confiable?

Comparando los resultados obtenemos diferencias de decimales con respecto a los cálculos en Excel y la calculadora científica. Discutiendo con el grupo los resultados del Excel nos es más confiable

3.- Interpolación y extrapolación:

Considerando sus gráficos (en donde ha obtenido rectas)

a) Calcular el tiempo en que se ha desintegrado el 50% de los núcleos de radón, según la tabla 3.

T(dias) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A(%) 100 84 70 59 49 41 34 27 24 20 17

T A T LogA T.LogA T 2

0 100 0 2 0 01 84 1 1.9243 1.9243 12 70 2 1.8451 3.6902 43 59 3 1.7709 5.3127 94 49 4 1.6901 6.7608 165 41 5 1.6127 8.0635 256 34 6 1.5315 9.189 367 27 7 1.4314 10.0198 498 24 8 1.3802 11.0416 649 20 9 1.3010 11.709 8110 17 10 1.2304 12.304 100

∑T=55 ∑ LogA=17.7177 ∑T .LogA=80.0149 ∑T 2=385

Hallando pendiente “m”:

0 2 4 6 8 10 121

10

100f(x) = − 8.07272727272727 x + 88.0909090909091R² = 0.941724986266033

T vs A(%)

A(%)Linear (A(%))

Tiempo en dias

Porc

enta

je d

e de

sinte

grac

ión


UNMSM

m=p∑ T . LogA−∑ T ∑ LogA

p∑T 2−¿¿¿

m=11 (80.0149 )−(55)(17.7177)

11(385)−(55)2

m=−0.0779

Hallando “b”

b=¿¿¿

b=385(17.7177)−55(80.0149)

11(385)−(55)2

b=2.0004

FORMULA

y=A . 10BX

DONDE

A=10b y B=m

ENTONCES TENEMOS QUE PARA A=50 “T” SERA:

50=(10¿¿2.0004 )(10−0.0779 T )¿

T=3.8694

TABLA 3

b) Halle los tiempos de vaciado de agua si:

ALTURA h(cm)

DIAMETRO d(cm)

Xi=Logdi Yi=Loghi XiYi Xi2

20 4.0 0.602 1.301 0.783 0.36240 1.0 0 1.602 0 025 3.5 0.544 1.398 0.761 0.29649 1.0 0 1.690 0 0

Hallando m y b


UNMSM

m=4 (1.544 )− (1.146 )(5.991)

4 (0.65 )−1.1462 =−0.68961.2866

=−0.536

b=(0.65 ) (5.991 )−(1.146 )(1.544 )

4 (0.65 )−1.1462 =2.12471.2866

=1.651

La fórmula quedaría:

Y=101.651 x−0.536

Ahora reemplazando los valores (d) en la fórmula, el cuadro quedaría de la siguiente manera:

4. Haga w=√hd2 para las alturas y diámetros correspondientes y complete la

tabla:

CASOS ALTURA h(cm)

DIAMETRO d(cm)

TIEMPO t(s)

01 20 4.0 21.48402 40 1.0 44.3603 25 3.5 23.03804 49 1.0 44.36


UNMSM

t(s) 73.0 43.0 26.7 15.0 10.5 3.9 1.5

w=√hd2

√30(1.5)2 =2.4343 √10

(1.5)2 =1.4054 √4(1.5)2 =0.8888 √4

(2)2 =0.5 √10(3)2 =0.3513 √10

(5)2 =0.1264√1(5)2 =0.04

t=73.0: w ₁ = √301.52 = 2.4343

t=43.0: w ₂ = √101.52 = 1.4054

t=26.7: w ₃ = √41.52 = 0.8888

t=15.0: w ₄ = √422 = 0.5

t=10.5: w ₅ = √1032 = 0.3513

t=3.9: w ₆ = √1052 = 0.126

t=1.5: w ₇ = √152 = 0.04


UNMSM

5. Grafique t = t (w) en papel milimetrado. Si la distribución es lineal haga el ajuste respectivo. Luego encuentre la ecuación experimental correspondiente: t=t (h . d)

x i y i x i y i x i2

2.4343 73.0 (2.4343)(73.0)=177.7039 (2.4343 )2=5.9258

1.4054 43.0 (1.4054 ) ( 43.0 )=60.4322 (1.4054 )2=1.9751

0.8888 26.7 (0.8888¿(26.7)=23.7309 (0.8888 )2=0.7899

0.5 15.0 (0.5 ) (15.0 )=7.5 (0.5 )2=0.25

0.3513 10.5 (0.3513 ) (10.5 )=3.6886 (0.3513 )2=0.1234

0.1264 3.9 (0.1264 ) (3.9 )=0.4929 (0.1264 )2=0.0159

0.04 1.5 (1.4054 ) ( 43.0 )=0.06 (0.04 )2=0.0016

∑ x i=5.7462 ∑ yi=173.6 ∑ x i y i=273.6085 ∑ x i2=9.0817

m=7 (273.6085 )−(5.7462)(173.6)

7 (9.0817)−(5.7462)2=

1915.2595−997.540363.5719−33.0188

=917.719230.5531

=30.0368

b=(9.0817 ) (173.6 )−(5.7462)(273.6085)

7(9.0817)−(5.7462)2 =1576.5831−1572.2091

63.5719−33.0188=

4.37430.5531

=0.1431

t=mw+b

t=30.0368 w+0.1431

6. Para investigar:

a) Encuentre la fórmula t=t(h.d) :

t=30.0368 w+01431

b) Hallar t para h=15 cm y D=6 cm

t = 30.0368 √1562 + 0.1431 = 3.3745

c) Hallar t para h=40 cm y D=1 cm


UNMSM

t = 30.0368 √4012 + 0.1431 = 190.1125

CONCLUSIONES

Los datos teóricos que obtuvimos de un proceso de medición se organizan en tablas.

Las gráficas sirven para poder establecer relaciones de distintas magnitudes en un sistema de eje de coordenadas con divisiones logarítmicas, semilogarítmicas y milimetradas. Lo usaremos según sea el caso para transformar la gráfica exponencial o logarítmica en una lineal para facilitar la formula experimental que representen dicho fenómeno.

Un método aprendido es el METODO DE REGRESION LINEAL. Hay dependencias entre magnitudes físicas, también hay dependencias más complicadas que pueden reducirse a la forma lineal mediante un cambio de variables. Este método facilita las dependencias físicas u otras.

El uso del Excel fue beneficioso en este informe pues esboza las gráficas exactas de acuerdo a los datos teóricos.

ENLACE EXTERNO

http://www.monografias.com/trabajos85/coeficiente-correlacion-karl-pearson/coeficiente-correlacion-karl-pearson.shtml (Pagina usada para obtener la formula del factor correlación con el uso de la calculadora científica pregunta 2.b)

http://www.monografias.com/trabajos85/coeficiente-correlacion-karl-pearson/coeficiente-correlacion-karl-pearson.shtml



Informe n 2 laboratorio de Fisica 1 (unmsm)

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