Ing. Carmen Bazán A.

POSIBILIDADES Y PROBABILIDADES

� Conteo.- Es el estudio de lo que es posible donde se tiene 2 posibilidades:

� 1.- Donde se puede realizar un listado de todas las posibilidades.

� 2.- Donde no se puede hacer un listado de todas las posibilidades por se de gran magnitud y para calcular el número de posibilidades se utiliza la teoría combinatoria.

� Ej. Cual es la posibilidad de obtener un número entre 1 y 6 al lanzar un dado?

� Enumerando las posibilidades se tiene: 1,2,3,4,5,6�

TEOREMA DE MULTIPLICACION� Si una selección consta de dos pasos, de las cuales el

primero se puede efectuar de «m» maneras y para cada una de estas, la segunda se puede realizar de «n» maneras entonces la selección total o el total de posibilidades se puede hacer: � � �

� Ej. El lanzamiento de 2 dados cuantas opciones de pares de números pueden dar?

� El primer dado tiene 6 opciones m=6

� El segundo dado tiene 6 opciones n=6

� En total se tiene 6 � 6=36 posibilidades de pares de números

Definiciones� Experimento.- Es un proceso mediante el cual se obtiene

un resultado de una observación.

� Exp. Determinístico.- Donde se puede predecir el

resultado.

� Ej. La suma de dos números pares da como resultado un

número par.

� Exp. Aleatorio.- Donde no se puede predecir el resultado.

� Ej. La suma de 2 números enteros, puede dar como

resultado un número par como impar.

Definiciones

�Espacio Muestral (S).- Es el conjunto quecontiene a todos los resultados posibles deun experimento aleatorio o todo el conjuntode posibilidades.

�Evento (E).- O suceso, o es un subconjuntodel espacio muestral. También se consideraun éxito.

Probabilidad

� Si hay n posibilidades igualmente probables, de las

cuales una puede ocurrir «E» (éxito), ya que se

considera como favorable, entonces la probabilidad de

que ocurra dicho éxito de termina: P�E�

�

� Ej. La probabilidad de obtener un 2 en el lanzamiento

de un dado?

� E={2} es un elemento

� S={1,2,3,4,5,6} son 6 elementos

� Entonces: P�E� �

= 0.1666666

Axiomas de la teoría de probabilidades

1. La probabilidad sólo puede tomar valores entre 0 y 10 ≤ P(a) ≤ 1

2. La probabilidad de un suceso seguro es 1, es decir, 100%

3. La probabilidad de un suceso imposible debe ser 0

4. La probabilidad de la intersección de dos sucesos debe ser menor o igual que la probabilidad de cada uno de los sucesos por separado.

P(A ∩ B) ≤ P(A) P(A ∩ B) ≤ P(B)

Axiomas de la teoría de probabilidades

5. La probabilidad de la unión de sucesos debe ser mayor que la de cada uno de los sucesos por separado

P(A U B) >= P(A) P(A U B) >= P(B)

6. Si los sucesos son disjuntos debe ocurrir que:P(A U B) = P(A) + P(B) dado que (A ∩ B) = 0

7. La probabilidad del suceso contrario de A, debe valer;

P ( A ) = 1 – P(A)

Sucesos mutuamente excluyentes y no mutuamente excluyentes.

Dos eventos A y B sonmutuamente excluyentes sino pueden presentarsesimultáneamente

A ∩ B = 0

A U B = A ó B = A + B

Dos eventos no sonmutuamente excluyentes,si la ocurrencia de uno noimposibilita la ocurrenciadel otro.

A ∩ B ≠ 0.

A U B = A + B - A ∩ B.

A B AB

Sucesos independientes y sucesos dependientes

Dos eventos A y B sonindependientes cuando laausencia o presencia de A esindependiente de la presencia oausencia de B.

A ∩ B = (A) (B).

Dos eventos son sucesosdependientes cuando laocurrencia o presencia deA es requisito para lapresencia u ocurrencia deB

A ∩ B = (A)/ (B/A) ; donde / significa dado

A B

A B

Para no olvidar..............

� La probabilidad de AUB se interpreta en el sentidode que por lo menos ocurre uno de dos eventos , en elcaso de que ocurra A pero no B, o si ocurre B pero noA; o que ocurran ambos.

� El evento A y el evento B son mutuamente excluyentesporque no tienen ningún evento en común, es decir,no tienen eventos en intersección.P (AUB) = P (A) + P (B).

La unión de dos o más eventos no excluyentes se obtienede la siguiente forma.P (A U B) = P (A) + P (B) – P(A∩B).

Regla del producto de probabilidades

Sean dos eventos, la probabilidad del evento intersección se usa

para eventos independientes y dependientes será:

1.P (A∩B) = P(A) * P(B) eventos independientes

2.P (A∩B) = P(A)*P(A/B) eventos dependientes

Probabilidad CondicionalAquí hablamos de buscar la probabilidad de la ocurrencia de B acondición de que acontezca A, lo cual implica que A ya ocurrió odebe ocurrir forzosamente.

La probabilidad condicional de B en A se expresa:

P (B/A) = P (A∩B)

P(A)

esta indica que;

La probabilidad de B, a condición de A, es igual al número deeventos en intersección de A y B entre el número de eventos en A.

Otros conceptos

� Evento Compuesto => es aquel que está formado por dos o más eventos elementales.

� La probabilidad de un evento compuesto es igual a la suma de las probabilidades de los eventos elementales que lo componen ( eventos mutuamente excluyentes)

� Ejemplo: en el caso del lanzamiento de un dado, cae número impar o parA = ( 1,3,5) P (A) = 1/6+1/6+1/6 = 3/6 = 1/2B = (2,4,6) P (B) = 1/6+1/6+1/6 = 3/6 = 1/2

Que la realidad presenta sucesos compuestos, los que seforman uniéndolos, interceptándolos ycomplementándolos.

Dado los sucesos A y B, se tiene:

a) A ∩∩∩∩ B : sucede A y sucede B

P(A ∩∩∩∩ B ) = P(A) * P(B)

b) A U B: sucede A ó B

P(AUB)= P(A) + P(B) – P(A ∩∩∩∩ B)

c) Ǎ = no sucede A, P(Ǎ) = 1 – P(A) ( complemento de A)

d) P(A ∩∩∩∩ B )= P(A/B)P(B) probabilidad condicional

� TECNICAS DE CONTEO

� Se utilizan para determinar el no. de elementos de un espacio muestral.

� PRINCIPIO DE LA ADICIÓN.- Si un suceso “a” puede ocurrir de n maneras y un suceso “b” de m maneras; el suceso a ó b puede ocurrir de (n+m) formas.

� PRINCIPIO DEL PRODUCTO.- Si un suceso “a” puede ocurrir de n formas y un suceso “b” de m formas; el suceso (a*b) puede ocurrir de (n*m) maneras diferentes.

� VARIACIONES.- Variaciones de n elementos tomados de r en r, son las distintas agrupaciones de m elementos que se pueden formar con los n elementos y que difieren unas de otras en algún elemento o en el orden.

� Variaciones sin Reposiciön:

�

)!/(,

rnn!V rn−=

� Variaciones con Reposiciön:

� PERMUTACIONES.- Las permutaciones de n elementos son las distintas formas en que se pueden ordenar dichos elementos.

�

nVRr

rn=

;

1*2*3).......2)(1( −−= nnnPn

!nP n=

� COMBINACIONES.-Combinaciones de n elementos tomados de r en r, es el no. de subconjuntos de tamaño r que se pueden formar con n elementos (los conjuntos no están ordenados)

)!(!!

rnr

n

r

nCn,r

−=

=

Regla de Bayes

� Proporciona un método para calcular la probabilidad a posteriori en base a probabilidades a priori y alguna otra información.

�

Ej: Una empresa manufacturera recibe embarques de partes de dos

proveedores distintos. Sea A1 el evento de que una parte provenga

del proveedor 1 y A2 el evento de que una parte provenga del

proveedor 2.

Actualmente 65% de las partes que compra la empresa provienen

del proveedor 1 y 35% del proveedor 2. En consecuencia asignamos

a priori: P(A1)=0.65 y P(A2)=0.35.

La calidad de las partes varían según su origen. Los datos históricos

sugieren que el desempeño en términos de calidad de los 2

proveedores son los siguientes:

Probabilidad

a priori

Información

nueva

Aplicación

del T. Bayes

Probabilidad

a posteriori

Si G representa el evento de que una parte es buena y B el evento de que una parte es

mala, la información da como resultado los siguientes valores de probabilidad

condicional:

P(G\A1)=0.98 P(B\A1)=0.02

P(G\A2)=0.95 P(B\A2)=0.05

% de piezas buenas % de piezas malas

Proveedor 1 98 2

Proveedor 2 95 5

Sustituyendo

Resultado� Al principio se tenía una probabilidad de 0.65 de que

una parte seleccionada al azar fuera del proveedor 1; sin embargo ante la información de que una parte es defectuosa, la probabilidad de que provenga del proveedor 1 baja a 0.4262.

� De hecho, si una parte es defectuosa hay más del 50% de probabilidad de que dicha parte sea del proveedor 2, es decir 0.5738.