Ingenieria Economico

C A P T U L O

1 Fundamentos

OBJETIVOS

A l finalizar el estudio del presente captulo, el lector ser capaz de:

Explicar qu son los exponentes, los logaritmos y los antilogaritmos Plantear y resolver problemas que impliquen su uso Explicar qu es una progresin aritmtica y qu es una progresin geomtrica Plantear y resolver problemas que involucren progresiones

TEMARIO

1.1 Exponentes 1.2 Leyes de los exponentes 1.3 Exponente cero, negativo y fraccionario 1.4 Logaritmos 1.5 Clculo con logaritmos 1.6 Redondeo 1.7 Progresiones aritmticas 1.8 Progresiones geomtricas 1.9 Progresiones geomtricas infinitas 1.10 Resumen

-

2 MATEMTICAS FINANCIERAS

1.1 E X P O N E N T E S

Exponentes enteros positivos

El producto de un nmero real que se multiplica por s mismo se denota por a x a o a a . Si el mismo nmero vuelve a multiplicarse por s mismo se denota axaxao aaa. Para simpli-ficar este tipo de expresiones se acostumbra utilizar una notacin abreviada tal que:

a x a = a1

a x a x a = a3

axaxaxaxa = a5

En la que al smbolo a se le llama base y al nmero escrito arriba y a la derecha del mismo se le llama exponente. E l exponente indica el nmero de veces que la base a se toma como factor.

Por lo tanto podemos decir que si n es un entero positivo y a es cualquier nmero real,

a" = axaxax ...a n factores

E l trmino a" se expresa como "a elevado a la -sima potencia", donde a es la base y n es el exponente o potencia.

E J E M P L O 1.1.1 ) ax ax ax a = a b) bxbxb = b3

c) axaxaxbxb d) e) f) g) ti)

M)(-4)(-4)(-4) = M ) 4 = 256 (-2)(-2)(-2)(6)(6)(6) = (-2)3(6)3 =-1 728 (1 +0.05)(1 +0.05)(1 +0.05)(1 +0.05) = (1 + 0.05)4 = 1.215506: o + o o + 0 0 + 0 = 0 +O 3 (1 -0(1 -d)... (1 -d) = {\-d)n

1.2 L E Y E S D E LOS E X P O N E N T E S

Si a y b son nmeros reales distintos de cero, y m y n son enteros positivos, entonces se pueden aplicar las siguientes leyes de los exponentes.

1.2.1 Producto de dos potencias de la misma base

Para encontrar el producto de dos potencias de la misma base, elvese la base a una potencia igual a la suma de los exponentes.

(1.1)

FUNDAMENTOS 3 _

E J E M P L O 1.2.1 ) a3 x a5 = a3 + s - a"

b) axa' = aA + 2 = a6

c) 2 3 x 2 3 = 2 3 + 3 = 2 6 = 64 d) ( -2) 2 x(-2) 3 = (-2)2 + 3 = (-2) 5=-32 e) (5)(5)2(5)3 = 5 l + 2 + 3 = 5 6 = 15 625

f) ( i+o 2 o+o 1 5 =a+o 2 + , 5 =o+*) 1

1.2.2 Cociente de dos potencias de la misma base

Para encontrar el cociente de dos potencias de la misma base, elvese la base a una potencia igual al exponente del numerador menos el exponente del denominador.

^L=am'n (1-2)

E J E M P L O 1 . 2 . 2 a 3 5 - 2 3 a) =a -a

a

c) - 4 - r - y " y

) _ 2 ! _ = 2 4 - 3 = 2 '=2 2

e) - 2 - 2

1.2.3 Potencia de una potencia

Para elevar la m-sima potencia de a a la -sima potencia elvese la base a a una potencia igual al producto de los dos exponentes.

(1.3)

1.2.4 Potencia del producto de dos factores

Para determinar la -sima potencia del producto de dos factores, encuntrese el producto de cada factor elevado a la -sima potencia.

(ab)" = a"b" (1.4)

E J E M P L O 1 . 2 . 4 a) (abf = a2b2

b) (xy)3=xy c) (3x)4 = 3 4x 4 = 81x4

d) (3x 2) 3 = 3 W = 27x6

e) (2 x 5)2 = 2 2 x 5 2 = 4 x 25 = l00

1.2.5 Potencia del cociente de dos factores

Para determinar la -sima potencia del cociente de dos factores, encuntrese el cociente de cada factor elevado a la -sima potencia.

(1.5)

E J E M P L O 1 . 2 . 5

FUNDAMENTOS 5

E J E M P L O 1 . 2 . 6 ) b3xb4 = bi + 4 = b7

b) x 2 x x 6 = x 2 + 6 = x 8

c) ^- = x5-i=x2 x 3

15 d)

\ x J 3-2 2-1 ) ~y = xi V l=xy

xry

f) 4 = ( i + o 5 - 2 = ( i + o 3 (1+/) 2

g) ( x 4 ) 5 = x 4 x 5 = x 2 0

h)


E J E M P L O 1.3.1 a) (5)*=1 b) (3 f l ) =l

c) -4x = - 4 ( l ) = - ^ s i x * 0


E J E M P L O 1 . 3 . 4

Resuelva las siguientes operaciones con el auxilio de una calculadora electrnica.

a) V5 = 15 l / 2 = 3.87298335 b) VT20 = 120 l / 5 = 2.60517109

125.846 x (0.357)2 c)

(15.6)4(0.674650)5

16.03894685 ^ l / 3

125.846 x0.127449

(59 224.0896)(0.13976313)

0.12466990 8 277.344134

d) 5 000(1 + 0.05)1 2 = 5 000(1.79585633) = 8 979.281632 1

1/3

) 1 000 000

f)

g)

(1 +0.60)3

95 367.43164

( 1 + 0 . 1 5 ) 2 0 - ! _ 16.36653739-1

0.15

1 -(1 +0.325)- '

1 000 000(1.60r = 1 000 000(0.09536743):

0.15 0.05995718 1

0.325 0.325

102.4435826

= 2.89243944

E J E M P L O 1 . 3 . 5 Resuelva las siguientes ecuaciones aplicando las leyes de los exponentes y con auxi-lio de una calculadora electrnica.

a)

b)

c)

I50(l +/) 2 4

( l + 0 2 4

( l + 0 2 4

1 + i

2(1+ i)-4

(1+0

5 000(1

(1

i

-d d d

1

450 450 150 3 2 V 3 = 3 1 / 2 4 . 1/24 1

1/4

0.04683938 1

2 J_

2 ( 0 . 5 ) - ' / 4 - l 0.18920712 1 000 1 000

5 000 (o.2or1/4 (1.49534878) -0.49534878

FUNDAMENTOS 9

d) ( 1 + 0 1 2 = (1+0.15) 4

(1+0 = (1.15) 4 / 1 2

i = ( 1 . 1 5 ) 1 / 3 - l i = 0.04768955

EJERCICIOS DE LAS SECCIONES 1.1 A 1.3

Simplifique: a) a2 x a5

b) a 3 x a 8

c) a 2 x a 4 x a 5

d) bxblxb2

e) (3b) x (5b2) x (6b3) c 3

J) ~J

3 4 a x a

g)

h) aJ

i) (f j) ^ x C v 5 ) 3

(2y)2 x (4y3)4

0 \V)

m) (a2b3f

n)

)

o)

\3

3 x V v

2Z2

p) (1.05)4(1.05)10

(1.30)2(1.30)10(1.30)20 q) 1.30

2. Simplifique: a) x b) a%3


c) amxam

d)

e) a

) (a-2)(a-3) g) (b-2)5

h) (9AT-2)"5

1) ^

j) (a2l3T3

x 7-1/3N O (27-"3)(256)-,/4

m) ( l . 05)^(1.05)-'/2

3 V l / 4

3. Simplifique, usando exponentes:

) 4

b) ( V ? ) ( V ? ) , >2XA/F

c) r=~

d)

e)

Ve? Ve 5

h4-\fab9^2

(ab3T2

4. Resuelva las siguientes operaciones utilizando una calculadora electrr fl) V32

g ) d+0 .18) 4 - ! 0.18

J) 8 500(1 +0.15)^ g ) i - ( i + o.6or5

0.60 h) (1.25)-'V(1.30)2

/) V^25 V064 V082

FUNDAMENTOS 1 1

/ (128.35)2

V (25.12)-"3

5. Resuelva las siguientes ecuaciones utilizando una calculadora electrnica.

) 100(1+O2 = 200 b) 5 000(1 + i) 3 = 1 500 c) 1 250(1 + O60 = 25 000 d) 50 000(1 + T 2 0 = 3 000 e) 10 000(1 +0^ = 6000 f) (1+O4 =1.60 g) ( l+0 , / 4 =1.18 h) ( l+ i ) 1 0 -1=50 ) (1 +) 4 = (1 +0.05)12

j) (1 +/) l 2 = (l +0.30)2

1.4 L O G A R I T M O S

1.4.1 Definicin

Sea N un nmero positivo, y b un nmero positivo diferente de 1; entonces, el logaritmo en base b del nmero TV es el exponente L de la base b tal que bL = N. El enunciado de que L es el logaritmo en base b del nmero N se escribe como

L = \o%hN

E J E M P L O 1.4.1 3 = i 0 g 2 8 ya que 2 3 = 8 4 = l o g 3 8 l yaque 3 4 = 81 2 = log 5 25 ya que 5 2 = 25

En la prctica comn se utilizan dos tipos de logaritmos: naturales cuya base es el nmero e = 2.718281829..., y los logaritmos comunes, cuya base es b = 10. Ambos pueden ser determinados fcilmente con ayuda de una calculadora electrnica o me-diante tablas.

Enseguida se mostrar la utilizacin de los logaritmos base 10 para la simplifi-cacin de clculos complejos. Las leyes y procedimientos generales que aqu se trata-rn tambin se pueden aplicar a los logaritmos naturales, por lo que ambos pueden ser utilizados en forma indistinta.

Los logaritmos base 10 son llamados logaritmos comunes y para identificarlos se utiliza el smbolo:

= log 1 0 A^=logM


Los logaritmos naturales (base e) se simbolizan como sigue:

/ = lognat//=log,/V

log l 000 = 3 ya que 103 = 1 000 log 100 = 2 ya que 102 = 100 log 10= 1 ya que 10' = 10 log 1 = 0 ya que 10 = 1 log 0.10 =-1 ya que io- ' = 0.10 log 0.010 =-2 ya que 10"2 = 0.010 log 0.0010 = -3 ya que 10"3 = 0.0010

Es necesario destacar que N debe ser un nmero positivo, en tanto que el loe N puede ser cualquier nmero real positivo, negativo o cero.

1.4.2 Leyes de los logaritmos

no^lTr l S a r t m O S S m e X P n e n t e s d e h b, las leyes de stos les son aplicables y nos dan como consecuencia tres leyes fundamentales de los logaritmos.* Y

L dE l o s a o s 6 1 P r d U C t ^ n m e r S P S t V 0 S 6 5 ^ 3 l a S U m a d e l o s ' R i t m o s

log (A xB) = logA + logB n ( 1 . 8 )

* Para demostrar estas leyes considrese que:

A = l


E J E M P L O 1 . 4 . 3 Determine el nmero bsico de los siguientes nmeros:

a) 20 000 j) 0.2 b) 2 000 g ) 0.02 c) 200 h) 0.002


1.4.4 Antilogaritmos

Si L = log N, N es llamado antilogaritmo de L y se denota como 7Y = antilog L cuando L = \ogN.

Por ejemplo,

200 = antilog 2.301030 yaque log 200 = 2.301030 0.5 = antilog 0.698970 - 1 ya que log 0.5 = 0.698970 - 1

El antilogaritmo de un logaritmo dado puede ser determinado utilizando una calcula-dora electrnica o por medio de tablas.

E J E M P L O 1 . 4 . 6 Dado log 8.37 = 0.922725 determine el antilogaritmo de los siguientes logaritmos.

a) 2.922725 b) 1.922725 c) 0.922725-3 d) 3.922725 ) 0.922725 - 1

S O L U C I N :

V H H H H H V H H f l i M M H H H H H f l l l ^ H H

a) antilog 2.922725 = 837.00 b) antilog 1.922725 = 83.70 c) antilog 0.922725 - 3 = .008370 d) antilog 3.922725 = 8 370.00 e) antilog 0.922725 - 1 = 0.8370

E J E M P L O 1 . 4 . 7 Utilizando una calculadora electrnica determine el antilogaritmo de los siguientes logaritmos.

L = \ogN N= antilog L

a) antilog 4.25 = 17 782.79 b) antilog 1.8 =63.0957 c) antilog-2.356547 =0.0044 d) antilog -1.277366 =0.0528 ) antilog-0.132460 =0.737123 f) antilog 0.132460 = 1.35662

1.5 C L C U L O S C O N L O G A R I T M O S

Como se estableci al principio del captulo, los logaritmos han perdido importancia ante el advenimiento de las calculadoras y computadoras electrnicas que permiten la realizacin

FUNDAMENTOS 17

de complejas operaciones aritmticas con rapidez y precisin. Sin embargo, an deben uti-lizarse los logaritmos para encontrar la solucin de una ecuacin.

En esta seccin se presenta una serie de problemas resueltos mediante el uso de logaritmos.

E J E M P L O 1.5.1 Resuelva las siguientes operaciones por medio de logaritmos.

85 347 x 15 274 a)

125 386 b) (0.03768)2(6.354428)6

c) (5.36)2(67.48)3

356.27) 2

S O L U C I N :

a) log 85 347 x 15 274

log 85 347 + log 15 274 - log 125 386 125 386

= 4.931188 + 4.183953 - 5.098249 = 4.016892

antilog 4.016892 = 10 396.62 b) log [(0.03768)2(6.354428)6] = 2 log 0.03768 + 6 log 6.354428

= 2 (-1.423889) + 6(0.803076) = -2.847778 + 4.818456 = 1.970678

antilog 1.970678 =93.471239

(5.36)2(67.48)3

log

(5.36)2(67.48)J

(356.27)2

(5.36)2(67.48)3 1 (356.27)2

3/4

356.27) 2 3/4

(2 log 5.36 + 3 log 67.48 - 2 log 356.72)

= [2(0.729165) + 3(1.829175) - 2(2.552327)] 4

= 3_ 4

= 3_ 4

= 1.380901 antilog 1.380901 =24.038147

(1.45833 + 5.487525 - 5.104654)

(1.841201)


E J E M P L O 1 .5 .2 Determine el valor de la incgnita i (que representa tasa de inters por periodo) si l 000(1 + O 3 = 3 000.

S O L U C I N :

) Empleando logaritmos:

log 1 000 + 3 og (1 + i) = log 3 000

3 log (1 + 0 = log 3 000 - log 1 000

. H , ., log 3 000 - log 1 000 lOg (1 + I) = 2

3 . 3.477121 - 3 log( l +/) = -

3

log( l +0 = 0.159040

(1 +0 = antilog (0.159040)

1 + = 1.442249

= 1.442249-1

i = 0.442249 = 44.22%

b) Por solucin directa:

1 000(1 + 0 3 = 3 000

( i + o = - 3 0 0 0 1 000

(1 + 0 3 = 3

l + = (3) ' / 3

/ = 1.442249571 - 1

i = 0.442249 = 44.22%

E J E M P L O 1 . 5 . 3 Determine d (tasa compuesta anual de depreciacin) si

900 000(1 - 0 3 = 200 000

FUNDAMENTOS 19

S O L U C I N :

a) Empleando logaritmos:

log 900 + 3 log (1 - d) = log 200 3 log (1 - d) = log 200 - log 900

, . 2 .301030-2.954243 log (\-d)=

3

l o g ( l - d ) =-0.217737 ( l - 0 = a n t i l o g (-0.217737)

-d = 0.605708 - 1

d = 0.394292

d * 39.43%

b) Por solucin directa:

900(1 - 0 3 = 2 0 0

(1 - J ) 3 =200/900

(1 - O3 =0.222222

(1 -d) = V 0.222222

(1 -d) = (0.222222) 1 7 3

(1 -d) =0.605706

-d = 0.605706 - 1

d = 0.394293

d ~ 39.43%

E J E M P L O 1 . 5 . 4 Determine el valor de n (nmero de periodo de conversin) si n son meses y

1 000(1 + .05)" = 5 000

S O L U C I N :

d) Por logaritmos:

log 1 000 + n log (1 + .05) = log 5 000 n log (1.05) = log 5 000 - log 1 000

(0.021189) = 3.698970 - 3.000000

0.698070

0.021189

n = 32.9874

n 33 meses


El tiempo en que un capital quintuplicar su valor dada una tasa de inters de 5% mensual es de aproximadamente 33 meses.

Este tipo de problemas slo puede resolverse mediante el uso de logaritmos.

E J E M P L O 1 . 5 . 5 Determine el valor de n (nmero de periodos de conversin) si representa semestres y

3 500(1 + 0.25)"") = 500

log 3 500 + [- log (1.25)] = log 500

- log 1.25 = log 500 - log 3 500

-(0.096910) = 2.698970 - 3.544068

-0.845098 n =

-0.096910

n = 8.72044

8.72 semestres a

E J E M P L O 1 . 5 . 6 Determine el valor de (nmero de pagos peridicos) si son trimestres y

(1 + 0.18)7- 1

0.18 = 10

S O L U C I N :

a) Por logaritmos: (1 +0.18)"- 1 = 10(0.18)

(1 +0.18)"- 1 = 1.8

(1 +0.18)"= 1.8+ 1

(1.18)" = 2.8

log 1.18 = log 2.8

log 2.8

log 1.18

0.447158

0.07188 ; 6.220723

6.22 pagos trimestrales

FUNDAMENTOS 21

E J E M P L O 1 . 5 . 7 Determine el valor de (nmero de pagos peridicos) si son aos y

i - ( i +o.5or". 25

0.50

S O L U C I N :

a) Por logaritmos:

l (1 + 0.50)"" -(1.50) " -(1.50)"" log 1.50

=

25(0.50) 12.5-1 11.5 log 11.5

log 11.5

log 1.50 1.060698

0.176091 6.023569 6.02 pagos anuales

EJERCICIOS DE LAS SECCIONES 1.4 A 1.5

6. Determine el logaritmo L.

a) L = log3(27) b) L = log5 (0.008) c) L = log8 Vr54 d) L = log 1 0= 1/V00 e) L = log2 = V44"

7. Determine el nmero 7Y.

a) log2/V=3 b) log5/V=3 c) log 4 N=l/2 d) log6/V=5 ) log l 0/V=2

8. Determine la caracterstica de:

a) 8 b) 5 210 c) 85 900 d) 3.25 e) 0.018 j) 45.60


9. Determine la mantisa de:

a) 2 b) 0.20 c) 0.020 d) 0.040 e) 0.080 f) 8 000

10. Determine el logaritmo comn de:

a) 24 b) 82.320 c) 0.0035 rf) 7.489


La suma de una progresin aritmtica puede escribirse como sigue:

5 = /, + (r, + d) + (t + 2d) + ... + (u - 2d) + (u - d) + u

pero tambin puede escribirse en forma inversa:

S=u +(u-d) + (u-2d)+ ... +(r, + Id) + (tx + d) + .

Si se suman las dos expresiones trmino a trmino se tiene:

2 5 = (j + u) + (r, +) + ;..+ (t +u) + (r, + u) 2 S = (j + )

S = n/2(tl + u) (1.12)*

As, la suma de una progresin aritmtica de n trminos es igual a la suma del primero y el ltimo trmino multiplicado por n y dividido entre dos.

E J E M P L O 1.7.1 Determine el 10o. trmino y la suma de la siguiente progresin aritmtica: 3, 7, 11...

S O L U C I N :

a) Se determina el ltimo trmino aplicando (1.9) y considerando tl = 3, n = 10 y d = 4:

u = j + (n - X)d u = 3 + (10 - 1)4 = 3 + 36 = 39

b) Para determinar la suma se aplica la frmula 1.12:

S = K/2(] + u) S= 10/2(39 + 3) 5 = 5(42) 5 = 210

Una alternativa de clculo es la frmula (1.13):

5 = /2[2r, +(n-l)d] S= 10/2[2(3)+ 1 0 - 1)4] S=5[6 + (9)(4)] 5=5(42) 5=210

* Sustituyendo (1.11 ) en (1.12) se tiene:

t'ilKhtA-M (,-,3) Simplificando: S = n/2 [2 tx + (n -1 )d]

FUNDAMENTOS 25

E J E M P L O I . 7 . 2 Determine el ltimo trmino y la suma de la progresin aritmtica. 48, 45, 42... si cuenta con 15 trminos.

S O L U C I N :

a) Se determina el ltimo trmino aplicando (1.11) considerando que r, = 48 n = 15 y = -3

u = tl + (n- \)d M = 48 + (15- l ) ( -3) M = 48 + (14)(-3) M = 4 8 - 4 2 = 6

b) La suma se determina aplicando (1.12):

5 = M/2(, + ) 5= 15/2(48 + 6) 5=7.5(54) 5 = 405

E J E M P L O 1 . 7 . 3 E l primer trmino de una progresin aritmtica es: f, = -2 , el ltimo trmino 485 = 253. Determine nyd.

S O L U C I N :

Sustituyendo en (LIO) se tiene:

5 = w/2(/, + u) 253 = n/2(-2 + 48) 506 = (46)

= 506/46= 11

En (1.11) se sustituyen los datos conocidos y se determina d:

u = t\ + (n- \)d 48 =-2+ (11 -\)d 50 = 10J

= 50/10 = 5

E J E M P L O 1 . 7 . 4 Conocidos r5 = 27, r7 = 35,

determine r, y 5 7


S O L U C I N :

t7 = , + 6d= 35 r5 = tx + 4^ = 27

Restando la ecuacin t de 7 se tiene que:

(tx +6d)- (tx + 4d) = 35 - 27 2d=S = 8 / 2 = 4

Para determinar r, se sustituye en cualquier ecuacin y se tiene:

tx + 6 = 3 5 r, + 6(4) = 35 r, = 3 5 - 2 4 , = 11

La suma se determina sustituyendo los valores conocidos en (1.12):

5 7 = 7/2(11 +35) S7 = 3.5(46) 5 7 = 161

E J E M P L O 1 . 7 . 5 Se recibe un prstamo bancario de $12 000.00, el cual se acuerda pagar mediante 12 pagos mensuales de $1 000.00 ms intereses sobre saldos insolutos a razn de 5% mensual. Qu cantidad de intereses se paga en total?

S O L U C I N :

El primer pago que debe hacerse ser de $1 000.00 de capital ms $600.00 de intere-ses (5% de 12 000.00). E l segundo ser de $1 000.00 ms $550.00 (5% de 11 000); el tercero de 1 000.00 ms 500.00(5% de 10 000.00), y as sucesivamente.

, = 600.00 = -50.00 = 1 2

Aplicando la frmula (1.13) se tiene:

S = n/2[2t +(n-l)d] S= 12/2[2(600) + ( 1 2 - l)(-50)] S=6[l 200 +-550] S= 6(650) S = 3 900

Deber pagar $3 900.00 de intereses

FUNDAMENTOS 27

EJERCICIOS DE L A SECCIN 1.7

16. Determine el ltimo trmino y la suma de las progresiones siguientes:

a) 11,23,35... 12 trminos b) 5,-3,-11... 10 trminos c) 1/2,5/8,3/4... 7 trminos d) 1/4,1/12,-1/12... 20trminos e) 1.00,1.05,1.10... 12 trminos

17. Determine la suma de:

a) Los nmeros pares de 1 a 100 b) Los nmeros nones de 9 a 100 c) Los nmeros enteros mltiplos de 5, de 10 a 500

18. En una progresin aritmtica se tiene:

a) tl = 8 t5 = 36; determine d, tx0 y S]0 b) t = 60 / | 0 = 5; determine d, tx y 5 I 0 c) ?3 = 8 = 9n = 8; determine d, t{ y Ss d) t = -5d = -1/4 = 12; determine tx y Sn

19. Una empresa recibe un prstamo bancario de $30 000.00 que acuerda liquidar en 10 pagos semestrales ms intereses sobre saldos insolutos a razn de 30% semestral. Qu cantidad total de intereses debe pagar?

P R O G R E S I O N E S G E O M T R I C A S

Una progresin geomtrica es una sucesin de nmeros llamados trminos, tales que dos nmeros consecutivos cualesquiera, de la misma, guardan un cociente o una razn comn. En otras palabras, esto quiere decir que cualquier trmino posterior puede ser obtenido del anterior multiplicndolo por un nmero constante llamado cociente o razn comn.

3, 6, 12, 24, 48... es una progresin geomtrica cuya razn comn es 2. -2, 8 -32, 128... es una progresin geomtrica cuya razn comn es -4. t, tr, tr2, tr3, tr4... es una progresin geomtrica cuya razn comn es r.

Tomando el ltimo ejemplo se puede generar una progresin geomtrica con 6 tr-minos:

txr, tx?, t/, t/, t/

De ella se desprende que el ltimo trmino es igual a:

M = f l r " ' 1 (1.14)

y que una progresin con trminos adoptar la forma:

tx,txr,t/ . . . 1 r " ~ 3 , / | / , - 2 , f l ^ - '


La suma de esta progresin es igual a:

S=ti + r,r + txr2+ ... txr"-3+ txr""2 + tirn~l

multiplicando ambos lados de la ecuacin por r, se tiene:

rS = txr + txr2 + txri + ... + txr"~2 + txr"~x + txr"

Restando la segunda expresin se tiene:

$~*S = *i + (f j r- tf) + (r,/-2 - ,?-2) + .. .(r,r" " 2 - - 2 ) + ( f - ' - / ' " ') -S-rS=tx-txr"

Por lo que

S(l-r) = tx-txr"

\-r 1 - / ( l - O

1 -r

Es conveniente utilizar la frmula anterior cuando r < 1 y la expresin

(^ ' -1) S=t, r- 1

(1.15)

(1.15')

cuando r > 1. Una progresin geomtrica ser creciente si la razn comn r es positiva mayor que 1.

E J E M P L O 1.8.1 Genere una progresin de 5 trminos si , = 3 y r = 4.

S O L U C I N :

3, 12, 48, 192, 768

Una progresin geomtrica ser decreciente si la razn comn r es positiva menor que 1.

E J E M P L O 1 .8 .2 Genere una progresin geomtrica de 5 trminos considerando r, = 80 y r = 1/4.

S O L U C I N :

80, 20,5, 1.25,0.3125

E J E M P L O 1 . 8 . 3

FUNDAMENTOS 29

Encuentre el 10o. trmino y la suma de los primeros 10 trminos de las siguientes progresiones:

a) 1,2,4,8 b) (1 + 0.04)-', (1 + 0.04E 2, (1 + 0.04E 3.

S O L U C I N :

a) Para determinar el 1 Oo. trmino se aplica la frmula (1.14) considerando que r, = l , r = 2:

u = txr-x

u = 1 (2 ) 1 0 _ 1

u= l (2 ) 9

w = 1(512) = 512

La suma de la progresin se obtiene por:

S= 1

2 - 1 1 024 - 1

1 5= 1 023

En la segunda progresin se tiene que: - i _ tx = (1.04)'' r = (1.04) _ 1 yn = 10

Para calcular el 10o. trmino se aplica (1.14):

= (1.04)-' [ (1 .04r ' ] 1 0 - !

= (1.04)"' (1.04)"9

M = (1.04)-10

u = 0.675564

La suma se determina aplicando la frmula (1.15) pues r


5 = (1:04)0 1 - 1 .04) - ' 0

1.04-(1.04) e_ l - ( 1 . 0 4 r I Q 1 - (1.04)-'

1.04-1 0.04

1.675

0.04 S= l ~ - 6 7 5 5 5 4 =8.110896

E J E M P L O 1 . 8 . 4 Una progresin geomtrica tiene como primero y ltimo trmino tt = 80, tn =1 1/4; r = 1/2.

Determine y S.

S O L U C I N :

Sustituyendo los valores conocidos en (1.14):

u = t]r"~l

1 1/4 = 80(1/2)"-' 5/320 = (1/2)"-'

1/64 = (1/2)"-'

Poniendo 1/64 en funcin de 1/2 se tiene:

1/64 = (1/2)6 (ya que 2 6 = 64)

por lo tanto:

(1/2)"-' =(l /2) 6

- 1 = 6 =6+ 1 n =7

Se aplica (1.15) para determinar la suma:

1 - r " 5 = ,

1 -r

5 = 80 ^ ( 1 / 2 > 7 = 8 0 - Q - " 2 1 i 1 (1/2) .5

S= 158.75

FUNDAMENTOS 31

E J E M P L O 1 . 8 . 5 Una progresin geomtrica cuenta entre sus trminos a% = 8 y r 6 = 5l2. Determine t%

S O L U C I N :

Se tiene que f = tV~'

3 = / / = 8 y / 6 = r 1 r 5 = 512

8 8 De la primera ecuacin se despeja t, = y se sustituye en la segunda ecuacin r5

r r-= 512:

8 ^ = 5 1 2 r2

& = 512 r 3 =512/8 r 3 =64 r = (64) 1 / 3

r = 4

Sustituyendo:

f,^ -2 = 8 f l (4) 2 = 8 ,(16) = 8

t ~ 8 - 1 1 16 2

Para determinar r 8 se aplica (1.14):

u = txr"-x

w= l /2(4) 8 - ' u = l/2(4)7

= 1/2(16 384) = 8 192

La suma se calcula utilizando (1.15'):

rJ'- 1

r- 1

5 = ( M 4 8 " 1

\ 2 / 4 - 1

s _ J . l j 65 535

5 = 10 922.50


E J E M P L O 1 . 8 . 6 La inflacin de un pas se ha incrementado en un 40% en promedio durante los lti-mos 5 aos. Cul es el precio actual de un bien que tena un precio de $100.00 hace 5 aos?

S O L U C I N :

u = t/'~]

u= 100(1.40) 6 - ' u= 100(1.40) 5

u= 100(5.37824) = 537.82

Puede esperarse que el precio del bien se haya ms que quintuplicado en ese periodo dada una inflacin promedio del 40%, puesto que dicha inflacin se va calcu-lando sobre la del ao anterior, que a su vez lo fue sobre la del anterior y as sucesiva-mente.

Aplicando (1.14) se tiene:

EJERCICIOS DE L A SECCIN 1.8

20. Determine el ltimo trmino y la suma de las siguientes progresiones:

a) 7,35,175... 10 trminos b) 5,-20,80... 8 trminos c) 2/3,2/15,2/75... 15 trminos d) 3/4,-1/4,1/12... 12 trminos

21. En una progresin geomtrica se tiene:

) h = 4 '6 = 972; determine r, t% y Ss b) h = 20 h = 1 620; determine r, tx y S7 c) h = 8 0.5 = 9; determine r, tx y Sg d) tn = -1/8 r = -1/4 n = 8; determine , y 5 8 e) h = 1.04 r = 1.04; determine tn y Sn

22. Un jugador de ajedrez solicit al rey despus de haberle enseado este juego, que en pago le diese 1 grano de trigo por el primer cuadro, 2 por el segundo, 4 por el tercero, 8 por el cuarto y as sucesivamente. Cuntos granos deba darle por el cuadro nmero 32? Cuntos granos deba darle por los cuadros 1 al 32? Imagine usted la cantidad si el tablero de ajedrez tiene 64 cuadros.

23. Un equipo de cmputo con valor de $10 000.00 es depreciado cada mes 10% de su valor al comienzo del mes. Cul ser la depreciacin en el 12o. mes?

24. Una persona deposita en un banco $5 000.00. El banco le paga un inters mensual de 3% sobre el saldo que tenga acumulado al principio del mes. Si dicho inters se reinvierte mes a mes en la misma cuenta, qu cantidad habr reunido al cabo de un ao?

FUNDAMENTOS 33

1.9 P R O G R E S I O N E S G E O M T R I C A S INFINITAS

Considrese la progresin geomtrica

1, 1/2, 1/4, 1/8...

Cuyo primer trmino es 1 y cuya razn es r = 1/2 La suma de los primeros n trminos es

s = i-(mr_ 1 - 1/2

1 (1/2)"

1-1/2 1 - 1/2

5 = 2 - ( l / 2 ) " - 1

Para cualquier n, la diferencia 2 - Sn = (1/2)" - 1 es positiva, y se vuelve ms pequea a medida que crece n. Si n crece sin lmite (tiende al infinito) se dice que S se aproxima a 2 como lmite.

lm Sn = 2 n -> co

Para una progresin geomtrica

La suma de los primeros n trminos puede escribirse como

S " t ] l - r ~ 1 - r 1 - r

Cuando -1


S O L U C I N :

Aplicando (1.16) se tiene r, = r = 1/3

(-1


Un logaritmo es el exponente al cual debe elevarse una base para obtener un nmero determinado.

bL = N

Como exponentes que son, los logaritmos se sujetan a las leyes que los rigen y, en virtud de ello, van a ser de gran utilidad para simplificar clculos aritmticos.

Tres leyes fundamentales de los logaritmos se derivan de la aplicacin de las leyes de los exponentes:

1. log {A x B) = log A + log B

2. log = log A - log B B

3. log A" = n log A

As, aplicando logaritmos, la multiplicacin de dos nmeros se convierte en la suma de sus logaritmos, un cociente en una resta y una potencia en una multiplicacin.

Una progresin aritmtica es una sucesin de nmeros llamados trminos, tales que cualesquiera dos nmeros consecutivos de la sucesin estn separados por una misma can-tidad llamada diferencia comn.

Las progresiones aritmticas son la base terica del inters y del descuento simples. Las progresiones geomtricas son, a su vez, la base del inters compuesto y las anua-

lidades, y se definen como una sucesin de nmeros llamados trminos, tales que cuales-quiera dos nmeros consecutivos de la misma guarden un cociente o razn comn.

En una progresin geomtrica cualquier nmero posterior puede ser obtenido del an-terior multiplicndolo por un nmero constante llamado cociente o razn comn.

COMPROBACIN DE CAPTULO

Si se ha ledo el captulo completo, el lector debe:

Comprender el concepto de exponente. Conocer y aplicar las leyes de los exponentes. Comprender el concepto de logaritmos. Determinar el logaritmo comn de un nmero. Comprender el concepto de caracterstica. Comprender el concepto de mantisa. Conocer y aplicar las leyes de los exponentes. Determinar el antilogaritmo de un logaritmo. Efectuar clculos utilizando logaritmos. Comprender el concepto de progresin aritmtica. Comprender el concepto de progresin geomtrica. Comprender el concepto de progresin geomtrica infinita.

FUNDAMENTOS 37

TRMINOS Y CONCEPTOS IMPORTANTES

Base Exponente Exponente cero Exponente negativo Exponente fraccionario Logaritmo Caracterstica

Mantisa Antilogaritmo Progresin aritmtica Diferencia comn Progresin geomtrica Cociente o razn comn Progresin geomtrica infinita

FRMULAS IMPORTANTES

Exponentes

amxa" = a", + "

a'"

a"

(a'")" = am"

(abf = a"b"

^ . V = b) b"

Logaritmos

log (AxB) = log A + log B

log ) = log A - log B

log A" = n log A

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

(1.6)

(1.7)

(1.8)

(1.9)

(LIO)

Progresiones aritmticas

u = t+(n- \)d

S = -(t,+u) 2

S = -[2ti + (n-\)d] 2

Progresiones geomtricas

(1 - r") S= t, para r < 1

S = tt (f - 1) r- 1

para r >

(1.11)

(1.12)

(1.13)

(1.14)

(1.15)

(1.15')

Progresiones geomtricas infinitas

5 = = cuando (-1 < r < 1) (1.16)

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

1. Simplifique. 4 3 5

a) ax x a x b) a2y5xby c) aVxaY d) (3x5)(5x2)(2x)

c) aV x a2y3 x x 2 v 6


e) y .,5

y 6

g) (x2y3) x (XV5)

4 3 y x y A) (d2)5

) (;3)3 x ( 2) 3

j)

t) (x3y5)2

(3x2)4(x3)5

(9x4)(9x4)2

5x \3

\ y 5 / x3 \ 2

ni)

x y x x V y V / x y 2 / / 2Z5 \ 3

V x 3y 5 / o) (1+0.06) 3x(l+0.06) 1 2

(1.80)5 x(1.80)3 x(1.80)2 P) 1

(1.80) 2. Simplifique.

a) 1 6) (5a?x(3ar c) by5xbm

)

bm bm X 6/8 \ |/4

y) (^Xx-^tO g) 0;~2)3 h) (y-3) V ) " 2

) (- , / 4r 2

./) (a"2'5)

-1/5 y

0 (125 -1/5)(125)-2/5

m) (1 +0.075)"5 x (1 + 0.075)

FUNDAMENTOS

Simplifique usando exponentes.

a) b)

c)

d)

V y - 3

b3 x Na2

Determine el logaritmo L.

a) L = lg 2 (512)

b) L = log4 i ) b) V 64/ c) L = log5 \3 125

d) L = log 1 0 Vio 000

Determine el nmero N.

1) iog2N = 0 b) \og3N = -3 c) log5/V = -1 d) \og9N = 1/2 e) = 0 f) = 3/2

Determine la caracterstica de:

a) 125 b) 347 250 c) 0.0000578 d) 4.75862475 e) 0.3 f) 35.4 g) 1348 h) 40 /) 172.35 J) 1.0005

Determine la mantisa de:

a) 3 b) 30 c) 300 d) 3 000 e) 0.0003 f) 0.50 g) 4 h) 1.60 i) 9 ./) 2 700


8. Determine el logaritmo comn de:

a) 318 b) 600 c) 8 524 d) 0.375 e) 7.32 f) 1 000 000 g) 45 372 000 h) 0.0000045 0 35.5 J) 40

9. Determine el antilogaritmo de:

a) 1.301030 b) 1.301030 c) -1.301030

C A P T U L O

2 Inters simple

OBJETIVOS

A l finalizar el estudio del presente captulo, el lector ser capaz de:

Explicar los conceptos de inters simple, tiempo, capital, monto, valor actual, inters, descuento y ecuaciones de valores equivalentes

Distinguir y explicar la diferencia entre descuento real y descuento comercial, y tiempo real y tiempo aproximado

Plantear y resolver ejemplos de clculos de tasa, tiempo, capital, monto, valor actual y descuento a inters simple

Plantear y resolver ejemplos de ecuaciones de valores equivalentes a inters simple

TEMARIO

2.1 Introduccin y conceptos bsicos 2.2 Monto 2.3 Valor actual o presente 2.4 Inters 2.5 Tasa y tipo de inters 2.6 Plazo o tiempo 2.7 Tiempo real y tiempo aproximado 2.8 Descuento 2.9 Grficas de inters simple 2.10 Ecuaciones de valores equivalentes 2.11 Aplicaciones 2.12 Resumen


I N T R O D U C C I N Y C O N C E P T O S BSICOS

Supngase la siguiente situacin: El seor Lpez obtiene un prstamo por $20 000.00 que solicit a un banco, y acuerda

pagarlo, despus de dos meses, entregndole al banco $21 400.00. Este caso permite ejem-plificar una operacin en la que interviene el inters simple. E l supuesto fundamental de que se parte es que el dinero aumenta su valor con el tiempo: el seor Lpez obtuvo inicial-mente $20 000.00 y pag, dos meses despus, $21 400.00; los $20 000.00 que obtuvo inicialmente ms $ 1 400.00 de inters que, de acuerdo con el supuesto bsico, es la cantidad que aument el valor del prstamo original en dos meses. Desde el punto de vista del banco, esos intereses son su ganancia al haber invertido su dinero en el prstamo, y desde el punto de vista del seor Lpez, son el costo de haber utilizado los $20 000.00 durante dos meses.

Los elementos que intervienen en una operacin de inters simple son, de acuerdo con el mismo ejemplo:

C = el capital que se invierte = $20 000.00 t = el tiempo o plazo = dos meses / = el inters simple = $1 400.00

M = el monto = capital ms intereses = $21 400.00 i - la tasa de inters

La tasa de inters refleja la relacin que existe entre los intereses y el capital; en el ejemplo:

. = M o a o o _ 0 0 7 20 000.00

Este cociente indica, si se le multiplica por 100, que el capital gan 7% de inters en dos meses; $ 1 400.00 es 7% de $20 000.00. Luego, para convertir a la misma base, se acos-tumbra expresar tanto la tasa de inters i como el tiempo t en unidades de ao, por lo que, segn el ejemplo, t = 2 meses, y si el ao tiene 12 meses, el tiempo expresado en unidades de ao es:

t = 2/12 = 1/6 , y 0-^1/

Y la tasa de inters, si es de 0.07 por bimestre, en 6 bimestres ser: ' &f

i - 0.07(6) = 0.42 o, expresado en porcentaje: 0.42 x 100 = 42% anual

Tambin se hace la diferenciacin entre:

a) la tasa de inters 0.42 (expresada en decimales) y b) el tipo de inters 42% (expresado en porcentaje).

Es importante observar que ambas son slo expresiones distintas de lo mismo, slo que la primera es la forma algebraica de plantearlo, mientras que su expresin porcentual es la que ms se utiliza cuando se le maneja verbalmente y tambin es de uso comn hablar de tasas porcentuales de inters (por ejemplo: "con una tasa de 50% anual").

INTERS SIMPLE 45

Resumiendo y abundando sobre el ejemplo:

y se puede observar que, en general:

M = C + / (2-1) 21 400.00 = 20 000.00 + 1 400.00

El monto es igual al capital ms los intereses

/ = C i t (2.2) 1 400.00 = 20 000.00 (0.42) (1/6)

El inters es igual al capital multiplicado por la tasa y luego por el tiempo. Combinan-do las dos expresiones anteriores:

M=C+Cit (2.3)

M = C( l - it) = 20 000.00[1 + 0.42(1/6)] = 20 000.00(1.07) = 21 400.00

A l factor (1 + it) se le conoce como factor de acumulacin con inters simple. Otra relacin que se puede observar es:

M=C(\+it) (2-4)

C = M = M{1 +/?)"1 =21 400.00(1.07)-' =21 400.00(0.934579) (1 -7)

C = 20 000.00

Este caso podra pensarse, con las mismas cantidades, en los siguientes trminos: el seor Chvez tiene una deuda de $21 400.00 que debe pagar dentro de dos meses. Si la operacin est pactada a 42% anual de inters simple, cunto debera pagar para saldar su deuda el da de hoy?

La respuesta es, desde luego, $20 000.00. En este caso se comprender por qu se acostumbra llamar a esta cantidad valor actual de la deuda o, lo que es lo mismo, valor actual de la operacin. Es necesario observar que el capital y el valor actual representan lo mismo, slo que en contextos diferentes: el capital es una cantidad que se invierte ahora para obtener despus un monto superior, y el valor actual es, precisamente, el que tiene en este momento una cantidad cuyo valor se ha planteado en una fecha futura. En ltima ins-tancia, ambos conceptos se pueden pensar y plantear uno en funcin del otro.

Enseguida se presentan otros ejemplos, para ilustrar ms ampliamente los diversos conceptos introducidos hasta aqu.

C = $20 000.00 / = $1 400.00 r= 1/6 i = 0.42

M = $21 400.00


2.2 M O N T O

E J E M P L O 2.2.1 Un comerciante adquiere un lote de mercanca con valor de $3 500.00 que acuerda liquidar haciendo un pago de inmediato por $1 500.00 y un pago final 4 meses des-pus. Acepta pagar 60% de inters anual simple sobre su saldo. Cunto deber pagar dentro de 4 meses?

_ S O L U C I N :

? ^ ) \ ' c = 3 5 0 00 - 1 500.00 = 2 000.00 fe i = 0.60

-*' ^ W / = 4/12= 1/3 M = 2 000.00[1 + (0.60)(l/3)] = 2 000.00(1.2)

= $2 400.00

Deber pagar $2 400.00, de los cuales $2 000.00 son el capital que adeuda y $400.00, los intereses de 4 meses.

E J E M P L O 2.2.2 Una persona deposita $150 000.00 en un fondo de inversiones burstiles que garanti-za un rendimiento de 2.8% mensual. Si la persona retira su depsito 24 das despus cunto recibe?

S O L U C I N :

C = 150 000.00 / = 2.8% mensual t = 24/30

M= 150 000.00(l+0.028)(4/5) = 150 000.00(1 +0.0224) = 153 360.00

Obsrvese que en este caso se plantea tanto el tiempo como la tasa en meses.

2.3 V A L O R A C T U A L O P R E S E N T E

E J E M P L O 2.3.1 Una persona participa en una "tanda" y le toca el decimoctavo mes para cobrar Si dentro de 18 meses recibir $30 000.00, cul es el valor actual de su tanda, con un inters simple de 20% anual?

INTERS SIMPLE 47

S O L U C I N :

M = $30 000.00, es un monto, pues se trata de una cantidad de la que se dispon-dr en una fecha futura.

t= 18/12= 1.5 i = 20% anual

M = C ( 1 + it) M 30 000.00

~ (l+/0~~ [1+(0.2(1.5)] C = 30 000/1.30 = $23 076.92

$23 076.92 es el valor actual de $30 000.00, realizables dentro de 18 meses con 20% anual de inters simple.

p I C M P L O 2 3 2 Un individuo compr un automvil nuevo por el cual pag $ 195 000.00 el primero de enero, y lo vende el primero de junio del ao siguiente en $256 000.00. Aparte del uso que ya le dio, del seguro que pag, y otros gastos que hizo, considerando solo los valores de compra y venta, fue conveniente como inversin la operacin realizada si la tasa de inters de mercado era de 25%?

S O L U C I N :

En este caso, para evaluar la conveniencia se calcula el valor actual de $256 000.00, 17 meses atrs, a una tasa similar a las vigentes en ese lapso, para comparar esa cantidad con lo que se pag.

Valor actual de $256 000, 17 meses antes, a 25% anual simple

__ 256 000 _ 256 000

1 +(17/12)(0.25) 1.354167

C=$189 046.15

Dej de ganar $195 000.00 - $189 046.15 = $5 935.85 aproximadamente, al haber invertido en el automvil en vez de haberlo hecho en una inversin bancana o burstil que habra tenido el mismo rendimiento del mercado.

Pagado el primero de enero

195 000

2.4 I N T E R S

E J E M P L O 2 4 1 Una persona obtiene un prstamo de $50 000.00 y acepta liquidarlo ao y medio despus. Acuerda que mientras exista el adeudo pagar un inters simple mensual de 3.5%. Cunto deber pagar de intereses cada mes?


S O L U C I N :

a) C = 50 000.00 r = 1 mes "i = 0.035% / = 50 000(0.035)(1) = $1 750.00

Tendr que pagar $1 750.00 mensuales. Puesto que la tasa de inters y el plazo estn expresados en meses (la misma

unidad para ambos conceptos), el clculo del inters es directo.

b) Para resolver este mismo ejemplo, pero expresando las cantidades en periodos anuales (ya no mensuales);

S O L U C I N :

C = 50 000 = 1/12 f = (0.035)(12) = 0.42 anual / = 50 000/l/12)(0.42) = $1 750.00

E J E M P L O 2 . 4 . 2 Si alguien deposita $75 000.00 en una cuenta bancaria que ofrece pagar 2.35% men-sual simple, cunto recibir mensualmente de intereses?

S O L U C I N :

C = $75 000.00 i = 0.0235 mensual / = $75 000.00(0.0235)(1) I = $1 762.50 mensuales

EJERCICIOS DE LAS SECCIONES 2.1 A 2 .4

1. Se obtiene un crdito por $ 180 000.00 a 160 das con 30% simple. Qu cantidad debe pagar al vencerse su deuda?

2. Qu cantidad por concepto de inters simple mensual produce un capital de $40 000.00 al 33% anual simple?

3. Si una persona deposita hoy $50 OOftOO a plazo fijo con 2.20% de inters mensual, y no retira su depsito y reinvierte sus intereses, cunto tendr en su cuenta 3 meses despus si la tasa de inters no vara?

4. Una persona adquiere en esta fecha un automvil que cuesta $220 000.00. Si suponemos que el vehculo aumenta su valor en forma constante y a razn del 2% mensual, cul ser su valor despus de 2 meses? i

INTERS SIMPLE 49

5. Mara Eugenia desea adquirir un inmueble dentro de 2 aos. Supone que el enganche que habr de pagar hacia esas fechas ser de $60 000.00. Si desea tener esa cantidad dentro de 2 aos, qu cantidad debe invertir en su depsito de renta fija que rinde 3% de inters mensual simple?

6. Qu cantidad debe invertir hoy al 1.8% de inters simple mensual para tener $20 000.00 dentro de dos meses?

7. Cul es el valor actual de un pagar por $5 000.00 que vence el 15 de diciembre si se considera un inters del 25% anual simple y hoy es 11 de julio?

8. Para terminar de saldar una deuda, una persona debe pagar $3 500.00 el 15 de julio. Con qu cantidad pagada hoy, 13 de marzo, liquidara su deuda si se considera un inters de 36% anual?

9. Un mes despus de haber obtenido un prstamo, Jos Luis debe pagar exactamente $850.00. Cunto obtuvo en prstamo, si el pago que debe hacer incluye intereses al 40% anual?

10. Cul es el valor actual de una letra de cambio por $9 000.00 que vence dentro de 60 das, si la tasa de inters es de 27% anual?

11. Una persona que cobra $5 000.00 mensuales de sueldo es despedida por problemas financieros de la empresa. A l despedir al trabajador se le paga su correspondiente indemnizacin, que inclu-yendo 3 meses de sueldo, das por antigedad y descuentos por impuestos, arroja un saldo neto de $45 000.00. Qu ingreso fijo mensual le representara al ahora desempleado depositar el monto de su liquidacin en una inversin que paga 18% de inters simple anual?

12. Qu cantidad de dinero colocada en una inversin de renta fija que paga 20% de inters simple anual produce intereses mensuales por $450.00?

13. Cunto debe pagar por concepto de intereses una persona que tiene una deuda por $22 000.00 si la liquida 6 meses despus y le cobran intereses a razn del 26% anual simple?

14. Cunto tendra que pagar mensualmente por concepto de intereses una persona que adeuda $7 500.00 si le cobran 18% simple semestral?

15. Salom tiene 2 deudas:

a) Le debe $80 000.00 a un banco que cobra 3.5% mensual. b) Compr a crdito un automvil; pag determinado enganche y le qued un saldo de

$125 000.00 que comenzar a pagar dentro de 8 meses; mientras tanto, debe pagar 24% de inters simple anual durante ese lapso.

Cunto pagar en los prximos 6 meses por concepto de intereses? 16. Los movimientos de la cuenta de crdito de un cliente en un almacn fueron:

Saldo registrado el 14 de febrero $ 450 Cargo el 27 de febrero $ 150 Abono el 31 de marzo $ 400 Cargo el 15 de abril $1000 Cargo el 30 de abril $ 100

Si el almacn cobra 34% anual de inters, qu cantidad deber pagar el cliente el 15 de mayo para saldar la cuota?

17. Cul es el saldo de una cuenta de crdito a la que se le carga 58% de inters simple^anual, y que ha tenido los siguientes movimientos?

1 de marzo saldo 15 de marzo abono 31 de marzo cargo 15 de mayo abono

31 de mayo abono

$850 $150 $450 $200 $250

BistfOTet I

50 MATEMTICAS FINANCIERAS r 18. Siendo 30% anual un tipo razonable de inters de rendimiento del dinero, cul de las tres

ofertas de venta siguientes es ms conveniente para la compra de un terreno?

a) $90 000.00 de contado b) $45 000.00 de contado y el saldo en dos pagars: uno por $25 000.00 a 30 das, y otro por

la misma cantidad a 60 das. c) $30 000.00 de contado y un pagar de $64 000.00 a 30 das.

19. A las tasas vigentes, cunto rinde de intereses mensuales un milln de pesos en un depsito a plazo fijo de

a) 28 das? b) 91 das? c) 180 das?

20. A las tasas vigentes qu cantidad se recibira al final de la transaccin por un pagar con rendimiento liquidable al vencimiento por $50 000.00 a un plazo de 3 meses?

2.5 T A S A Y TIPO D E INTERS

E J E M P L O 2 . 5 . 1 Una persona compra un reproductor de discos compactos que cuesta $1 500.00. Paga un enganche de $800.00 y acuerda pagar otros $800.00 tres meses despus. Qu tipo de inters simple pag?

S O L U C I N :

d e M = C ( l +it)

INTERS SIMPLE 51

C = 195 000 M = 256 000

t = 17/12 meses ; = ?

256 000 = 195 000[1+/(17/12)]

256 000 195 000

= 1 + 17/12 /= 1.312821

= 1.312821 - 1 =0.312821 12

j_ 12(0.312821) ^ 0 2 2 0 8 1 4 17

La tasa es de 0.2208 anual simple. Ntese que si se hubiera preguntado el tipo de inters la respuesta hubiera sido,

convirtiendo simplemente a porcentaje:

22.08% de inters anual simple.

S O L U C I N :

y, con / = Cit

C = 1 500 - 800 = t = 3/12 = 0.25 / = $800 -$700;

$100.00 $100.00

700, la cantidad que queda a deber.

$100

: $700.00 (0.25) /(700.00)(0.25) = (100.00/175.00) 0.57142857

175.00

E J E M P L O 2 . 5 . 3 Cul es la tasa de inters simple mensual equivalente a una tasa del 54% anual?

i = -P^M = 0.045 o 4.5% mensual 12

Pag un inters de 57.14%, o 4.76% mensual.

E J E M P L O 2 . 5 . 4 Cul es el tipo de inters mensual simple equivalente a una tasa del 0.165 semestral?

E J E M P L O 2 . 5 . 2 En el ejemplo de la persona que compr el automvil el primero de enero en $95 000.00 y lo vendi 17 meses despus en $256 000.00 qu tasa de inters simple anual le rindi su inversin?

= - 1 6 5 - = 0.0275 = 2.75% mensual 6


2.6 P L A Z O O T I E M P O

INTERS SIMPLE 53

E J E M P L O 2 . 6 . 1

E J E M P L O 2 . 6 . 2

2 7 T I E M P O R E A L Y T I E M P O A P R O X I M A D O

En cunto tiempo se duplica un capital invertido al 49% de inters anual simple?

De M = C( 1 + it) Suponiendo M = 2 y C = 1 2 = 1[1 + (0.49)] 1 +0.49 t = 2

0.49 ' = 2 - 1 = 1 t = 1/0.49 t = 2.04 aos

04 aos = 365(.040) das = 14.84 das t = 2 aos y 15 das, aproximadamente

Ntese que para calcular esto slo se necesit suponer un monto del doble de cual-quier capital. Utilizando M= 30 C = 15

30 = 15(1 +0.49/) 30/15 = 1 +0.49 t

2 = 1+ 0.49 t que es la misma expresin anterior.

EJEMPLO 2 . 7 . 1

En cunto tiempo se acumularan $5 000.00 si de depositaran hoy $3 000.00 en un fondo que paga 4% simple mensual?

M = 5 000 C = 3 000 i = 0.04 mensual

5 000.00 = 3 000.00(1 +0.04?)

5 000

3 000

1.666667 0.04 t

i

=,!.+ 0.04 t

- 1 + 0.04 t 0.666667 0.666667/0.04

t = 16.67 meses

Como la tasa i estaba dada en meses, e! resultado que se obtiene en t tambin est en meses, y 0.67 meses = 0.67 (30) das = 20.1 das; entonces, se acumulan $5 000.00, si se depositan hoy $3 000.00 a 4% mensual simple en 16 meses y 20 das, aproximada-mente.

Existen situaciones en las que el plazo de una operacin se especifica mediante fechas, en lugar de mencionar un nmero de meses o aos.

Cul ser el monto el 24 de diciembre de un capital de $10 000.00 depositado el 15 de mayo del mismo ao en una cuenta de ahorros que paga 49% anual simple?

C = 10 000 i = 0.49 r=?

Para calcular el tiempo real es necesario determinar el nmero de das que trans-curren entre las dos fechas (obsrvese que el 15 de mayo no se incluye, ya que si se deposita y retira una cantidad el mismo da, no se ganan intereses).

16 das de mayo 30 das de junio 31 das de julio 31 das de agosto 30 das de septiembre 31 das de octubre 30 das de noviembre 24 das de diciembre

223

y, t = 223/365

M= 10 000[1 + (019)(223/365)] M= 10 000(1.116082) M= 11 160.82

b) En muchos casos se calcula el tiempo en forma aproximada, contando meses enteros de 30 das y aos de 360 das:

del 16 de mayo al 15 de diciembre hay 7 meses, ms 9 das del 16 de diciembre al 24 de diciembre:

7(30)+ 9 = 219 das Ct = 219/360

M = $10 000.00t 1 + 0.1 (219/360)] = = 10 000(1.115583) = 11 155.83

Aunque ocasiona diferencias en los valores que se obtienen, se utiliza el clculo aproxi-mado del tiempo debido a que es ms sencillo.


E J E M P L O 2 . 7 . 2 El 11 de julio se firm un pagar por $1 700.00 con 38% de inters, en qu fecha sern $150.00 los intereses?

a) Con tiempo exacto:

/ = 150 C = 1 700 i = 0.38 I = Cit

150 = $1 700.00(0.38)/ 150 = $646.00/

150

INTERS SIMPLE 55

31. Cul es la tasa de inters simple proporcional bimestral equivalente a una tasa de 36% anual? 32. Cul es la tasa simple anual equivalente a una tasa trimestral simple de 12.5%? 33. Cul es la fecha de vencimiento de un pagar contratado el 15 de junio a un plazo de 180 das? 34. Una seora reembolsa $205.08 por un pagar de $185.00 firmado el 10 de mayo con 38% de

inters simple anual. Cundo lo pag? 35. Una persona adquiere una licuadora que cuesta $320.00 el 14 de agosto y la paga el 26 de

noviembre con un abono de $350.00. Qu tasa de inters simple anual exacto pag? '36. El 15 de febrero se firm un pagar por $1 500.00 con 32% de inters simple anual. En qu

fecha sern $400.00 los intereses? 37. Investigese qu tasa de inters simple mensual carga alguna tienda de departamentos sobre

cuentas de crdito corriente. 38. Cul es la tasa de inters simple anual que pagan los Bonos del Ahorro Nacional si duplican la

inversin en cinco aos? t ~ ~ ~ 0.23219814 aos, pues la tasa est en aos

646

0.23219814(365) = 84.75 o aproximando, 85 das 2.8 D E S C U E N T O

A l 31 de julio A l 31 de agosto A l 30 de septiembre

20 20 + 31 =51 51 +30 = 81

El 4 de octubre se acumulan $150.00 de intereses.

b) Con tiempo aproximado:

/ = 0.23219814 (igual que en )) 0.23219814(360) = 83.59 o, aproximando, 84 das

84 das son dos meses y 24 das, por lo que del 11 de julio ms dos meses = 11 de septiembre. 11 de septiembre ms 24 das = 5 de octubre.

EJERCICIOS DE LAS SECCIONES 2 .5 A 2 .7 21.

,22. /n,

24. 2^5. 26. 27. 28.

/29.

30.

Encuntrese el inters simple: a) real y b) aproximado u ordinario de un prstamo de $ 1 500.00 a 60 das, con el 35% de inters anual simple. Qu forma de calcular el tiempo, real u ordinario, produce una mayor cantidad de intereses? De acuerdo con el tiempo ordinario, cuntos das transcurren del 15 de marzo al 18 de diciem-bre? De acuerdo con el criterio real, cunto tiempo transcurre del 14 de mayo al 15 de noviembre? A qu tasa de inters simple anual $2 500.00 acumulan intereses por $500.00 en 6 meses? A qu tasa de inters simple se duplica un capital en 11 meses? En qu tiempo $2 000.00 se convierten en $2 500.00 a 54% de inters simple anual? Una persona le prest $400.00 a un amigo, y 4 meses despus le cobr $440.00. Qu tasa anual de inters pag el amigo? El seor Martnez obtiene un prstamo por $2 000.00 y paga despus de 8 meses $2 400.00 Qu tasa de inters mensual simple le cobraron? Una bicicleta cuesta $800.00. Un comprador paga $500.00 al contado y el resto a 60 das, con un recargo de 5% sobre el precio de contado. Qu tasa de inters anual simple le aplicaron?

EJEMPLO 2 . 8 . 1

El descuento es una operacin de crdito que se lleva a cabo principalmente en instituciones bancarias, y consiste en que stas adquieren letras de cambio o pagars, de cuyo valor no-minal descuentan una suma equivalente a los intereses que devengara el documento entre la fecha en que se recibe y la fecha del vencimiento. Con esto se anticipa el valor actual del documento.

Existen bsicamente dos formas de calcular el descuento:

El descuento real o justo E l descuento comercial

Ahora ser analizado el segundo tipo:

Descuento comercial En este caso la cantidad que se descuenta se calcula sobre el valor nominal del documento, como se ilustra en el siguiente ejemplo:

Obsrvese el pagar que aparece en la pgina siguiente. Si el banco realiza operaciones de descuento a 20% anual, y si el seor Daz

desea descontar el documento el 15 de junio, los $185 000 (el valor nominal del pagar) devengarn los siguientes intereses (descuento) durante los 2 meses en que se adelanta el valor actual del documento:

r descuento = D

D = Mit = Mdt (2.5)

en donde d representa tasa de descuento

185 000(2/12)(0.20) = 185 000(0.033333) = 6 166.67


'Mxico, 2). CX 10 a de -Jijo de 19- $- 133 000

de-

Por este PAGAR prometo(emos) pagar incondicionalmente a la orden Cflfredo Diaz TJiflanueua . ,, 13 . aaoslo * el da de -t

de 19- la cantidad de- ciento ocAenia y cinco mil pesos 001100

valor recibido en mercanca a mi (nuestra) entera satisfaccin.

En caso de que no pague(mos) puntualmente, me(nos) obligo(amos) a cubrir el % mensual por concepto de intereses moratorios, sin que por eso se entienda prorroga-

do el plazo. Este documento forma parte de una serie de documentos, por lo que la falta de pago de uno de ellos faculta aplicar el Artculo 79 en relacin con el No. 174 de la Ley general de ttulos y operaciones de crdito.

Beatriz GAoez JIConief

y esos $6 166.67 es el descuento que se aplica:

valor nominal menos descuento

valor anticipado

185 000.00 6 166.67

178 833.33

Y el seor Daz recibe entonces $178 833.33, que es el valor comercial del documen-to el 15 de junio, ya que se aplic el descuento comercial. Tal como se haba sealado al principio el descuento se calcul con base en el valor nominal del pagar.

E J E M P L O 2 . 8 . 2 Una empresa descont en un banco un pagar. Recibi $166 666.67. Si el tipo de descuento es de 30% y el vencimiento del pagar era 4 meses despus de su descuen-to. Cul era el valor nominal del documento en la fecha de su vencimiento?

S O L U C I N :

Aqu C= 166 666.67 = 0.30 t = 4/12= 1/3

Se sabe que el descuento (D) = Mdt y M = C + D

D = (C + D)dt=Cdt + Ddt D-Ddt= Cdt D{\ -df) = Cdt

D = Cdt

1 -dt

INTERS SIMPLE 57

166 666.67(0.30)(l/3) 166 666.67(0.10) = 16 666^67

T ^ U O X l ^ T i " 0 - 1 0 - 9 0

D = $18 518.52

Y el valor del pagar en su fecha de vencimiento es:

166 666.67 + 18 518.52 = $185 185.19

E . C M P L O 2 8 3 Una empresa descuenta un documento por el cual recibe $945.05. Si el tipo de desE J E M P L O F ^ ^ ^ ^ i o r n o m . n a i d d d o c u m e n t o e r a d e $ j 0 0 0 0 0 > c u a n t 0 t i e m p 0

faltaba para el vencimiento de su obligacin?

S O L U C I N :

M = 1 000 C = 945.05 / = 0.25

D = 1 000 - 945.05 D = 54.95 D = Mit

54.95 = 1 000(0.25)

0.21980/aos = 0.21980(12) meses ~ 2.64 meses

0.64 meses (30) = 19.20 o, aproximando, 19 das

El plazo es de 2 meses y 19 das.

Descuento real o justo A diferencia del descuento comercial, el descuento justo se calcula sobre el valor real que se anticipa, y no sobre el valor nominal.

* *

E J E M P L O 2 . 8 . 4 Con los datos del ejemplo 2.8.1:

M = $185 000 t = 2/12 d = 0.20


S O L U C I N :

De acuerdo con el descuento real, sustituyendo en la frmula del monto a inters simple (el inters real):

185 000 = C[1 +0.20(2/12)] 185 000 = C(1 +0.033333)

C - 1 8 5 0 0 0 =179 032.26 1.033333

Por lo que el descuento es de:

185 000 - 179 032.26 = $5 967.74

que es un tanto inferior al descuento comercial.

E J E M P L O 2 . 8 . 5 De los datos del ejemplo 2.8.2:

C = 166 666.67 = 0.30 = 1/3

S O L U C I N :

M= 166 666.67[1 +0.3(1/3)] M = 166 666.67(1.10) M = $183 333.34

Si la operacin se hubiera llevado a cabo bajo descuento real, el valor nominal del pagar habra sido de $183 333.34.

Obsrvese la diferencia con los resultados obtenidos en el ejemplo 2.8.2, bajo descuento comercial.

descuento justo = $83 333.34 - 166 666.67 = 16 666.67 descuento comercial = 185 185.19- 166 666.67= 18 518.52

El descuento justo equivale al 10% del capital, en tanto que el descuento comercial equivale al 10% del monto.

E J E M P L O 2 . 8 . 6 De los datos del ejemplo 2.8.3:

M = 1 000 C = 945.05 = 0.25

INTERS SIMPLE 59

S O L U C I N :

M = C ( l + efr) 1 000 = 945.05(1 +0.250

- i 0 0 0 - = (1 + 0.25,) 945.05

1.058145 = 1 +0.25 1.058145 - 1 = 0.25 0.058145

0.25 t = 0.232580

0.232580 aos = 2.79096 meses = 2 meses 23.72 das

Plazo con descuento comercial: 2 meses y 19 das Plazo con descuento real: * 2 meses y 24 das

2.9 G R F I C A S D E INTERS S I M P L E

Graficar / y M en un sistema de coordenadas rectangulares ayuda a observar lo que ocurre al dinero con el tiempo.

2.9.1 Grfica de / Ya se vio que / = Cit Si se supone que C = 1 Entonces / = ti

As, la grfica de los valores de / en funcin del tiempo son lneas rectas que pasan por el origen y que tienen como pendiente i, como puede apreciarse en la grfica A.


G R F I C A B

0.50

t (aos)

Obsrvese que, como era de esperarse, la recta sube ms rpidamente (el inters es mayor) cuando la pendiente (la tasa de inters) es mayor.

2.9.2 Grfica de M

De M= C(l + it) SiC= M=\+it

y (1 + it) representa el monto de $1 para diferentes valores de iyet (Grfica B ) A l igual que en la grfica del inters, la recta sube con mayor rapidez (el inters es

mayor) cuando la pendiente (la tasa de inters) es mayor.

EJERCICIOS DE LAS SECCIONES 2.8 Y 2 .9

39. Hgase una grfica del inters que se produce en un mes con un capital de $ 1 000 invertidos en depsitos a plazo fijo de:

a) 60 das b) 90 das c) 180 das d) 360 das

40. Hganse otras grficas para las mismas alternativas anteriores, pero considerando el monto 41. Cual es el descuento comercial de un documento que vence dentro de 5 meses y que tiene un

valor nominal de $3 850.00, si se le descuenta al 18% 3 meses antes de su vencimiento? 42. Cual es el descuento real del documento del ejercicio 41? 43. Si se descuenta el documento de la pgina siguiente al 23% el 29 de agosto,

a) Cul sera el descuento comercial? b) Cul sera el descuento justo?

INTERS SIMPLE 61

No. Tjiiuaianeio Sro. 10 , a de de 19-

330 OOO

de

Por este PAGAR prometo(emos) pagar incondicionalmente a la orden CZlffonso JlCai-tinez Sncez . . . 13 , oc/ure ' el da de -

de 19- la cantidad de-Quinienlos oc/jen/cz mifpesos oohoo

valor recibido en -efectiuo

a mi (nuestra) entera satisfaccin.

En caso de que no pague(mos) puntualmente, me(nos) obligo(amos) a cubrir el % mensual por concepto de intereses moratorios, sin que por eso se entienda prorroga-

do el plazo. Este documento forma parte de una serie de documentos, por lo que la falta de pago de uno de ellos faculta aplicar el Artculo 79 en relacin con el No. 174 de la Ley General de Ttulos y Operaciones de Crdito.

44. En qu fecha se descont un documento con valor nominal de $3 000.00, si su fecha de venci-miento era el 29 de diciembre, el tipo de descuento 15% y el descuento comercial $112.50?

45. En qu fecha se descont un documento con valor nominal de $5 750.00, si su fecha de venci-miento era el 15 de octubre, el tipo de descuento comercial 32% y el descuento $531.56?

46. En qu fecha se descont un documento con valor nominal de $1 250.00, si su fecha de venci-miento era el 27 de junio, el tipo de descuento 42% y se recibieron $1 217.92 netos?

47. Qu tasa de descuento real se aplic a un documento con valor nominal de $700.00, si se descont 60 das antes de su vencimiento y se recibieron $666.67 netos? Considere a) tiempo aproximado y b) tiempo real.

48. Qu tasa de descuento real se aplic a un documento con valor nominal de $1 000.00, si se descont 45 das antes de su vencimiento y el descuento fue de $30.48?

49. Qu tasa de descuento comercial se aplic a un documento con valor nominal de $ 1 750.00, si se descont 90 das antes de su vencimiento y se recibieron $1 592.50 netos?

50. Qu tasa de descuento comercial se aplic a un documento con valor nominal de $38 500.00, si ys*r- se descont 15 das antes de su vencimiento y el descuento fue de $315.00?

51. !Cul es el valor nominal de un pagar por el cual se recibieron $1 439.79, si se descont comercialmente a un tipo de 17%, 85 das antes de su vencimiento?

52. Cul era el valor nominal de un documento que se descont comercialmente 2 meses antes de su vencimiento, si el tipo de descuento fue de 18% y el descuento import $ 150.00?

53. Con qu tiempo de anticipacin se descont un documento cuyo valor era de $4 270.00, si el tipo de descuento comercial fue de 27% y el descuento aplicado fue de $288.22?

54. Con qu anticipacin se descont un documento cuyo valor nominal era de $ 1 300.00, con tipo de descuento comercial del 35%, si la cantidad neta recibida fue de $1 154.04?

55. Cul era la fecha de vencimiento de un pagar con valor nominal de $3 500.00, por el cual se recibieron $3 420.36 netos el 14 de julio, si el tipo comercial de descuento aplicado fue del 22%?

56. Cul era la fecha de vencimiento de un pagar con valor nominal de $240 000.00, por el que se recibieron $227 650.73 el 14 de diciembre, si el tipo real de descuento aplicado fue de 22%?

57. Cul era la fecha de vencimiento de un pagar nominal de $ 17 000.00 que se descont comer-cialmente al 27% el 12 de enero, habiendo ascendido a $420.75 el descuento?

^ 58. Cul era la fecha de vencimiento de un pagar con valor nominal de $748.00, que fue descon-tado a tasa real, el 17 de octubre, al 11.5%, y cuyo descuento ascendi a $15.69?

59. El seor Lpez le debe al seor Montiel $5 000.00. ste acepta como pago un documento a 90 das; si el seor Montiel puede descontar ste de inmediato en un banco que aplica un tipo de


descuento del 30% anual simple, cul debe ser el valor nominal del documento para que e] seor Montiel reciba del banco $5 000.00?

60. Si un banco desea ganar 15% de inters simple en el descuento de documentos, qu tasa de descuento debe utilizar si el plazo es de a) 3 meses, y b) 9 meses?

*s 61. El Banco del Norte descuenta a un cliente al 20% un pagar con valor nominal de $2 500 000.00 que vence en 60 das. Ese da el Banco del Norte descuenta en el Banco Agrcola ese mismo documento al 18%. Cul fue la utilidad del Banco del Norte?

62. Cul es el precio de colocacin de un certificado de tesorera (CETE), con valor nominal de $ 10.00, que se coloca con una tasa de descuento de 18.82%, y que tiene un vencimiento a 28 das?

2.10 E C U A C I O N E S D E V A L O R E S E Q U I V A L E N T E S

Es un caso muy frecuente, y por eso importante, que en las operaciones financieras haya dos o ms transacciones diferentes que deban replantearse para expresarlas en una opera

, cin nica. Este concepto de ecuaciones de valores equivalentes es uno de los ms importantes en

matemticas financieras, por lo que es necesario asegurarse de que se comprenda cabal-mente. En todos los dems temas se encontrarn abundantes ejemplos de este concepto.

En su forma ms simple podra considerarse, por ejemplo, que la frmula del monto a inters simple es una ecuacin de valores equivalentes, ya que

M=C(\ + it)

El monto M es equivalente a un capital C, colocado a un tiempo / y a una tasa i. Enseguida se presentan otros ejemplos:

E J E M P L O 2 . 1 0 . 1 En cierta fecha una persona firm un pagar por $120 000 a 90 das, a 25%. Treinta das despus, contrajo una deuda por $ 100 000 para pagarla 2 meses despus, sin inte-reses. Dos meses despus de la primera fecha, acord con un acreedor pagar $ 150 000 en ese momento y, para saldar el resto de su deuda, hacer un pago final 3 meses despus de la ltima fecha, con inters del 30%. Determnese el pago final convenido.

S O L U C I N :

En primer lugar, conviene identificar que son 4 las operaciones implicadas, 2 de con-tratacin de deuda y 2 de pago. Por otro lado, obsrvese que el valor total de las operaciones de adeudo debe ser igual al valor total de las operaciones de pago:

Operaciones de contratacin de deuda Operaciones de pago

I. $120 000 a 90 das a 5% A. $150 000 2 meses despus II. 30 das despus $100 000 a dos meses, B. Pago final (desconocido), 5 meses

sin inters. despus de la primera fecha

INTERS SIMPLE 63

Con base en el cuadro anterior se puede plantear la equivalencia en este simple ejem-

plo, como:

\ + \\=A + B

De esta idea proviene el nombre de ecuaciones equivalentes. Se acostumbra utilizar lo que se conoce como "diagramas de tiempo y valor

para representar la situacin grficamente:

0 1 2 3 4 5

120 000

Sobre la recta se representa el tiempo; en este caso, en meses.

Sobre el tiempo. 0 est marcada la operacin I Sobre el tiempo 1 est marcada la operacin II Sobre el tiempo 2 est marcada la operacin A Sobre el tiempo 5 est marcada la operacin B

En esta ltima operacin, la ^representa la cantidad que se est buscando. Ahora bien, para determinar la equivalencia es necesario encontrar el valor de

las diferentes operaciones en una sola fecha para que sea posible compararlas. Esto es as porque, como se sabe, el valor del dinero es diferente en tiempos diferentes, y las operaciones estn planteadas en tiempos distintos.

La fecha que se elige para hacer coincidir el valor de las diferentes operaciones se conoce como fecha focal, y en el ejemplo es fcil ver que resulta conveniente escoger como fecha focal el momento en que se debe realizar el pago final para saldar todas las operaciones (5 meses despus de la primera fecha). As,

I. E l valor de la operacin I dentro de 5 meses es:

120 000[1 + (0.25)(3/12)] = 120 000(1.0625) = 127 500 que es su valor a los 90 das (3 meses)

y luego de su valor a 90 das hasta el 5o. mes (2 meses ms), a 30% que fue lo convenido para saldar la operacin.

127 500[1 + (0.30)(2/12)] = 127 500(1.0500) = 133 875

La operacin I (120 000 en el tiempo 0) equivale a $133 875 en 5 meses.


II. Para la operacin II:

Esta operacin se contrat sin intereses, por ello vale 100 000 dos meses antes de la fecha focal y en sta su valor ser:

100 000[1 + (0.30)(2/12)] = 100 000(1.0500) = 105 000

A. Para sta, los $150 000 que pag a los 2 meses, valen al quinto mes:

150 000[1 + (0.30)(3/12)] = 150 000(1.075) = $161 250

B. Finalmente, X se realizar en la fecha focal por lo que estar dado a su valor en ese momento.

Volviendo al planteamiento de la ecuacin de valores equivalentes.

Valor total de las deudas = valor total de los pagos \ + \\=A+B

133 875 + 105 000 = 161 2 5 0 + ^ X = 133 875 + 105 000 - 161 250 X=ll 625

Cantidad que habr de pagar en el quinto mes para saldar todas las operaciones. Ahora conviene observar en forma resumida todo lo que se hizo para llegar a la

solucin.

Valor total de las deudas = valor total de los pagos I + II =A+B

133 875 + 105 000 = 161 250 +X

27 500(1.0500)+ 100 000(1.0500) = 150 000(1.0750)+^ 120 000(1.0625)( 1.0500) + 100 000(1.0500) = 150 000(1.0750) +X 120 000[1 + (0.25)(3/12)][l + (0.30)(2/12)] + 100 000[1 + (0.30)(2/12)] = 150 000[1 + (0.30)(3/12)]+^

Esta expresin representa el planteamiento completo, donde a cada cantidad se le aplicarn los valores correspondientes de tiempos y tasas de inters para encontrar su valor en la fecha focal.

En los casos de inters simple es muy importante identificar la fecha focal de acuerdo con lo pactado en las operaciones, pues el cambio de fecha focal produce variaciones en las cantidades. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

E J E M P L O 2 . 1 0 . 2 Resulvase el ejemplo 2.10.1 utilizando como fecha focal el cuarto mes, en vez del quinto.

INTERS SIMPLE 65

S O L U C I N :

Deudas = Pagos

120 000[1 + (0.25)(3/l2)][1 + (0.3)(1/12)] + 100 000[1 + (0.3)(1/12)]

150 000[1 + (0.3)(2/12)]+--1 +(0.3)(1/12)

120 000(1.0625)(1.0250) = 100 000(1.0250)

150 000(1.0500) + 1.0250

130 687.50 + 102 500 = 157 500 + 1.0250

233 187.50 - 157 500 = 1.0250

X=75 687.50(1.0250) X= 77 579.69

Y esta cantidad es diferente a la que se encontr utilizando el quinto mes como fecha focal. Este ejemplo indica que en el caso de las ecuaciones de valores equiva-lentes a inters simple, las fechas focales diferentes producen resultados diferentes.

Una persona contrajo una deuda hace 8 meses por $200 000 con 40% de inters sim-ple, y que vence dentro de 4 meses. Adems, debe pagar otra deuda de $150 000 contrada hace 2 meses, con 35% de inters simple y que vence dentro de dos meses. Considerando un inters de 42%, qu pago deber hacer hoy para saldar sus deudas, si se compromete a pagar $100 000 dentro de 6 meses?

S O L U C I N :

Las deudas son $200 000 de 8 meses antes, que vence dentro de 4 meses, a 40% y de $150 000 de 2 meses antes, que vence dentro de 2 meses, a 35%; los pagos son: X hoy, $100 000 dentro de 6 meses.

La fecha focal es el da de hoy El diagrama de tiempo y valor es:


El valor de la primera deuda a su vencimiento es:

200 000[1 +0.40(12/12)] 200 000(1.4) = 280 000

y su valor en la fecha focal

280 000 280 000 245 614.04 1+(0.42)(4/12) 1.14

E l valor de la segunda deuda a su vencimiento es:

150 000[1 +0.35(4/12)]= 167 500

y su valor en la fecha focal

167 500 167 500 1+(0.42)(2/12) 1.07

E l valor de $100 000 en la fecha focal

100 000 100 000 1+(0.42)(6/12) 1.21

en donde

156 542.06

= 82 644.63

X= 245 614.04 + 156 542.06 - 82 644.63 X = 3 1 9 5 1 . 4 7

2.11 APLICACIONES. Ventas a plazo. Tarjetas de crdito. Prstamos prendarios (empeo). Pagos anticipados de facturas

E J E M P L O 2 . 1 1 . 1 Supngase que una persona tiene una cuenta de crdito en un almacn, sobre la que paga 18% de inters y que ha tenido los siguientes movimientos en los ltimos meses:

Saldo al 1 o. de junio $4 000 Abono el 16 de junio $2 000 Cargo el 11 de julio $2 500 Cargo el 31 de julio $ 150 Abono el 15 de agosto $2 000

Calclese el saldo al 15 de septiembre.

S O L U C I N :

lo. al 16 de junio, el saldo de $4 000 causa inters y llega a un monto de:

4 000[1 + 1.018(15/360)] =4 000(1.0075)

INTERS SIMPLE 67

4 030 monto al 16 de junio (2 000) menos lo abonado el 16 de junio 2 030 este saldo causa inters durante 25 das, por lo que se convierte en un

monto de

2 030 [1 + 0.18(25/360)] = 2 030(1.0125) = 2 055.38

2 055.38 Saldo al 11 de julio, antes del cargo, ms 2 500.00 el cargo causado el 11 de julio 4 555.38 Saldo al 11 de julio. Este saldo, que incluye el cargo del 11 de julio, causa

inters durante 20 das, y llega el 31 de julio a un monto de:

4 555.38 [1 +0.18(20/360)] =(1.0100)

4 600.93 Saldo al 31 de julio, antes del cargo, ms 150.00 el cargo causado el 31 de julio

4 750.93 Saldo al 31 de julio, que el 15 de agosto se convierte en un monto de:

4 750.93 [1 + 0.18(15/360)] = 4 750.93(1.0075)

4 786.56 2 000.00 menos el abono del 15 de agosto

2 786.56 saldo que crece al 15 de septiembre a un monto de:

2 786.56 [1 + 0.18(1/12)] = 2 786.56(1.0150)

2 828.35 que es el saldo al 15 de septiembre.

Enseguida se va a analizar la forma en que se calculan los intereses que se cargan a los cuentahabientes de tarjetas de crdito. En este caso particular, obsrvense los estados de cuenta que se muestran en la pgina siguiente de un tarjetahabiente bancario.

S O L U C I N :

Obsrvese que el primer estado de cuenta trae las operaciones recibidas hasta el 5 de abril. Esto se observa en0 . E l segundo incluye las operaciones recibidas hasta el 5 de mayo. Por esto, a aqul se le llamar "estado de cuenta de marzo", y a ste, "estado de cuenta de abril".

Independientemente de las diversas secciones que contienen los estados de cuenta, las que interesan en esta cuenta son: . "saldo promedio sin compras y disposiciones en el mes". En el estado de cuenta de abril, es igual al de marzo; es decir, se trata del "saldo nuevo" del estado de cuenta anterior.


ESTADO DE CUENTA DE TARJETA DE CRDITO S U S A L D O A N T E R I O R

899.18 ( S U N U M E R O D E C U E N T A

010049840793

S U S P A G O S Y A B O N O S

1 2 3 0 . 4 5 S A L D O P R O M E D I O SIN

C O M P R A S Y DISR EN EL M E S

+ S U S C O M P R A S Y D I S P O S I C I O N E S

692.33 ( S A L D O P R O M E D I O C O M P R A S

YDISP. M E S ANTERIOR _

L A S O P E R A C I O N E S R E C I B I D A S DESPUS D E L

LIMITE DE CREDITO

10 000

. S U S A L D O N U E V O

361.06 ' C R E D I T O D I S P O N I B L E

9 638.94 06/04

M N I M O A P A G A R

36.10 FAVOR DE PAGAR A N T E S DE

01 06 XX

MAR MAR MAR MAR MAR MAR MAR MAR MAR MAR MAR

N U M E R O PS REFERFNCIA

58023 77

79323 82117 43149 34602

278 21066 51801 34601 8968

A P A R E C E R A N E N E L P R X I M O E S T A D O D E C U E N T A

D E T A L L E D E S U S M O V I M I E N T O S

REST LA TABLITA REST C EST SI BON CA MEX DE AVIACIN CA MEX DE AVIACIN SU PAGO.... GRACIAS REST ANDRE

SU PAGO. SU PAGO.

GRACIAS GRACIAS

COM POR APERT CRED

A U T . 162 8 -83

PRIMER E S T A D O D E C U E N T A

P O B L A C I N

MEXICO D F MXICO D F MXICO D F MXICO D F

MXICO D F

S U S C O M P R A S Y P A G O S

27.41 137.43 35.57 117.82 117.82 275.43 39. 60

214 .18 639.48 315.54 2.50

C O N S E R V E E S T A SECCIN P A R A RCORD D E S U S G A S T O S

28049 ESTADO DE CUENTA DE TARJETA DE CRDITO S U S A L D O A N T E R I O R

361.06 C S U N U M E R O D E C U E N T A

010049840793

S U S P A G O S Y A B O N O S

S A L D O P R O M E D I O SIN

C O M P R A S Y DISP. EN EL M E S 361. 06 (-^ i

+ S U S C O M P R A S Y D I S P O S I C I O N E S

S A L D O P R O M E D I O C O M P R A S YDISP. M E S ANTERIOR

5 1 9 . 5 7

L A S O P E R A C I O N E S R E C I B I D A S DESPUS D E L

h I N T E R E S E S

4 6 . 4 9 (

LIMITE DE CRDITO

.10 000

= S U S A L D O N U E V O

407.55 ( C R E D I T O D I S P O N I B L E

9 592.45

M I N I M O A P A G A R

11.87 FAVOR DE PAGAR A N T E S DE

01 06 X X A P A R E C E R A N E N E L P R X I M O E S T A D O D E C U E N T A

F E C H A N U M E R O DE REFERENCIA D E T A L L E D E S U S M O V I M I E N T O S P O B L A C I O N S U S C O M P R A S Y P A G O S

M A R 06 CARGOS POR COBRANZA 100 00

M

A l IT 1R9 -v -

S E G U N D O E S T A D O D E C U E N T A C O N S E R V E E S T A SECCIN P A R A RCORD D E S U S G A S T O S

INTERS SIMPLE 69

. Es tambin el "saldo nuevo" del estado de cuenta anterior, que a su vez es igual al , como puede verse en el estado de cuenta de abril.

. "Saldo promedio de compras y disposiciones en el mes anterior", es lo que en los bancos se conoce como "saldo promedio de compras y disposiciones" y que se refiere al saldo promedio de compras del estado de cuenta anterior:

Los 519.57 del del estado de cuenta de abril se calcularon con los gastos que aparecen anotados en el estado de cuenta de marzo, de la siguiente manera:

E l primer cargo que aparece en la seccin "detalle de movimientos" es de $27.41 correspondientes al 6 de marzo (vase el primer rengln). Esta suma estuvo cargada al banco 31 das (del 6 de marzo al 5 de abril), que es la fecha de corte del estado de cuenta de marzo, segn se puede apreciar en la seccin .

El segundo cargo $137.43 del 7 de marzo estuvo 30 das, y as sucesivamente, se determina el tiempo de vigencia de todos los cargos:

(A) (B) (C) (D) Fecha del Nmero de

cargo $ cargo das de vigencia ( B ) x ( C )

Marzo 06 27.41 31 849.71 Marzo 07 137.43 30 4 122.90 Marzo 07 35.57 30 1 067.10 Marzo 07 117.82 30 3 534.60 Marzo 14 117.82 23 2 709.86 Marzo 19 39.60 18 712.80 Marzo 25 214.18 12 2 570.16 Marzo 29 2.50 8 20.00

15 587.13

Enseguida, para calcular el saldo promedio de compras se multiplica cada cargo por el nmero de das de su vigencia. Esto se realiza aqu y se anota en la columna (D) de la tabla anterior y se suman los productos de esta ltima columna, lo cual da un total de $15 587.13. Finalmente, esta cantidad se divide entre 30 (das de un mes comercial) para obtener el saldo promedio.

1 5 5 8 7 - 1 3 = $519.57 30

que es la cantidad que aparece en la seccin @. "Saldo promedio de compras y dispo-siciones en el mes anterior" del estado de cuenta de abril.


El saldo nuevo, que en cualquier estado de cuenta es igual a:

Estado de cuenta Concepto marzo abril

Saldo anterior menos "sus pagos y abonos" ms sus compras y disposiciones ms intereses

Su nuevo saldo

899.18 1 230.45

692.33

361.06

361.06

46.49

407.55

."Detalle de movimientos". Se anotan los detalles de los gastos y/o pagos efectuados durante el mes y recibidos hasta antes de la fecha de corte.

. Pagos y abonos efectuados en el mes; en el estado de cuenta de marzo:

275.43 + 639.48

, 315.54

1 230.45

en abril no se pag nada.

Sus compras y disposiciones. En marzo:

27.41 137.43 35.57

117.82 117.82 39.60

214.18 2.50

692.33

no se gast nada.

. "Inters". En marzo no se causaron intereses, ya que, de acuerdo con el contrato que se establece con el banco, si el cliente paga cuando menos el total de su "saldo anterior" (seccin $899.18 en ese caso) no se le cargan intereses. Y en mar-zo este tarjetahabiente pag $1 230.45.

En abril s se causaron intereses ($46.49), que se calcularon de la siguiente ma-nera:

. "Saldo promedio sin compras y disposiciones en el mes" $361.06

INTERS SIMPLE 71

ms

. "Saldo promedio de compras y disposiciones en el mes anterior"

519.57

880.63

Y sobre este total se aplica la tasa de inters simple mensual, que suele variar cuando menos un poco de mes a mes, pero que en el ejemplo era de 5.28%. As,

I=Cit = 880.63(0.0528)(1) = 46.49

EJEMPLO 2 . 1 1 . 3 Una persona acude al Nacional Monte de Piedad a empear un televisor, para lo cual presenta el aparato y la correspondiente factura. E l valuador que examina la prenda le ofrece un prstamo por $1 500.00, que es aceptado por el solicitante. Si esta institu-cin carga 2.5% mensual sobre el prstamo, cunto deber pagar el dueo del televi-sor para recuperar el aparato despus de 50 das de otorgado el prstamo?

S O L U C I N :

Es un caso de monto, en donde

C = 1 500 i = 0.025 mensual t = 50/30 meses

M= 1 500[1 +0.025(50/30)]= 1 500(1.0417) M = $ l 562.50

EJEMPLO 2 . 1 1 . 4 Para tratar de lograr el pronto pago de sus facturas los proveedores ofrecen descuento por el pago anticipado. 5/10, K/30 podran ser los trminos impresos en una factura, los cuales indican que se otorga un descuento del 5% si se paga a ms tardar en 10 das, y rc/30 seala que si se paga en un plazo de 10 a 30 das se debe cubrir el importe neto.

Si un comerciante recibe una factura por $12 000 en esos trminos:

a) Le conviene obtener un prstamo con intereses a 30% para pagar la factura al dcimo da?

b) Cul es la mayor tasa de inters simple con la que le convendra obtener crdito para aprovechar el descuento?


Si utiliza el dinero prestado, tendra que utilizarlo 20 das: de cuando paga a cuando vence el importe neto de la factura. Hacer esto le costara:

/ = 11 400(0.30)(20/360) = $190

y como lo que le cuesta el prstamo es inferior a lo que se ahorra, s le convendra pagar con el prstamo a los 10 das, ya que ahorrara:

6 0 0 - 190 = $410

b) Si lo que ahorra por el pronto pago son $600, la mayor tasa que podra aceptar sera la que produjera intereses por esa cantidad de un capital de $11 400 en 20 das:

600 = 11 400(020/360 600 = 11 400(0.05555556)/ 600 = 6.3333/

i = 0.9474 anual simple

EJERCICIOS DE LAS SECCIONES 2.10 Y 2.11

62. Una persona debe pagar $2 500.00 en 3 meses, y $8 500.00 en 6 meses. Qu cantidad deber

pagar hoy para saldar sus deudas si se considera una tasa de 12% simple? La seora Moreno adeuda $5 000.00 que ya incluyen con intereses, y debe pagarlos dentro de 8 meses. Si hace un pago de $3 000.00 dentro de 2 meses, cunto deber pagar al cabo de los O. 8 meses si se considera la operacin al 30% anual, y se usa como fecha focal dentro de 8 meses? (64) El seor Gmez presta el 14 de julio $3 500.00 a 5 meses y medio al 10% de inters simple.

Tambin presta, 4 meses despus, otros $2 000.00 con 14% de inters y vencimiento a 3 meses. Si considerara para la equivalencia una tasa de 15%, qu cantidad recibida por el seor Gmez el 14 de diciembre liquidara esos prstamos?

65. Suponiendo que el Nacional Monte de Piedad cobre 5.5% mensual por los prstamos que hace sobre prendas pignoradas, cunto tendra que pagar dentro de 3 meses una persona que empe- hace un mes un televisor por el que le prestaron $800.00, y que el da de hoy empea un reloj por el que le prestan $750.00?

\ / _ 66. El seor Garca firma tres pagars:

uno, por $400.00, para pagarlo en 4 meses, con 25% de inters

INTERS SIMPLE 73

otro por $ 195.00, para pagarlo en 9 meses al 20% un tercero por $350.00, para pagarlo en 5 meses sin intereses.

Si al cabo de 3 meses decide liquidar los 3 documentos pagando $450.00 en ese momento, y haciendo un pago final 6 meses despus, cul ser el importe de este pago si la operacin de equivalencia se calcula con intereses de 21 %?

67. Una persona adeuda $SQCL-L0 que debe liquidar dentro de 8 meses, y que ya incluye los intere-ses, $450.00 contratados hoy al 24% para pagar dentro de 6 meses. Si decide saldar sus deudas con 2 pagos iguales, uno dentro de 10 meses y el otro dentro de un ao, y la operacin se calcula al 25%, cul ser el importe de esos 2 pagos iguales si usa como fecha focal:

a) dentro de 10 meses? b) dentro de un ao?

Comntese la diferencia entre los resultados de a) y b). 68. Si una persona invierte hoy cierta cantidad en un proyecto que le redita $50 000.00 al cabo de

4 meses, y $30 000.00 despus de 6 meses, qu cantidad tendra que haber invertido para lograr un rendimiento de 16% sobre su inversin?

69. Una pareja de recin casados adquiere un refrigerador que cuesta $2 200.00, y paga $800.00 al contado. El saldo acuerdan pagarlo con 3 pagos iguales a los 30, 60 y 90 das. Si el inters que les cobran es de 30% anual simple, a cunto asciende cada uno de esos pagos?

70. Una persona tiene 2 opciones para pagar un prstamo:

pagar $2 000.00 a los 5 meses y $3 000.00 a los 10 meses, o pagar $ Ia los 3 meses y $3Xa los 8.

Si las opciones son equivalentes y el dinero vale 18% anual simple, encuntrese Xusando como fecha focal dentro de 8 meses.

71. Un usuario del Nacional Monte de Piedad empe una alhaja el 15 de diciembre y la rescat el 15 de febrero del ao siguiente con un pago de $207.00. Si esa institucin cobra 4.5% mensual, cunto le prestaron al cliente por su alhaja?

72. Cul sera el precio de contado de un automvil que se pag con

un enganche de $48 500 un abono de $38 500 realizado 6 meses despus de la compra un pago final de $35 500 ocho meses despus de la compra

si el costo del prstamo fue de 2% mensual simple? El 16 de junio una persona contrajo una deuda por $3 000.00 para pagarla el 16 de octubre con intereses de 29% simple anual. La deuda se documenta mediante un pagar en el que se especi-fica, adems de las condiciones de la operacin, una clusula que seala que en caso de morato-ria en el pago el deudor deber pagar un 5% de inters mensual. Cunto deber cobrar el acreedor si el deudor le paga el 5 de noviembre? El seor Rodrguez firma un pagar por $675.00 a 8 meses de plazo e inters de 10%. Si efecta 2 pagos antes del vencimiento, uno por $ 150.00 a los 2 meses, y otro por $200.00 a los 4 meses, cul es el saldo que debe pagar al vencerse el pagar? En un almacn se vende un comedor en $4 850.00 de contado. A un plazo de 3 meses se vende mediante 3 pagos mensuales de $ 1 744.40. Qu tasa de inters simple mensual se cobra en el plan a crdito?, utilcese como fecha focal el da de la compra. Obsrvense los dos estados de cuenta de un usuario efe tarjetas de crdito que corresponden a 2 meses sucesivos. Cul fue la tasa de inters cobrada en el estado de cuenta posterior?

73.

74.

- 75.

76.


37830

S U S A L D O A N T E R I O R

146.35

LIMITE CRDITO 12 5 0 0 . 0 0 S U S P A G O S Y A B O N O S

ESTADO DE CUENTA DE TARJETA DE CRDITO BANCAMEX

100.00 S U S C O M P R A S Y

D I S P O S I C I O N E S

40.00 + I N T E R E S E S

5.02 S U S A L D O N U E V O

91.37 M N I M O A P A G A R

50 . 00 S U N M E R O D E C U E N T A

690057125194 S A L D O P R O M E D I O SIN

C O M P R A S Y DISP. EN EL M E S

85.15 S A L D O P R O M E D I O C O M P R A S

Y DISP M E S ANTERIOR LIMITE DE CREDITO C R E D I T O D I S P O N I B L E

12 408.63 FAVOR DE PAGAR ANTES DE

25/05/xx L A S O P E R A C I O N E S R E C I B I D A S DESPUS D E L 05/05/98 APARECERN E N E L P R X I M O E S T A D O D E C U E N T A

ABR MAY

DE REFERENCIA

90517 907

AUT. 162 8-83

D E T A L L E D E S U S M O V I M I E N T O S

SU PAGO GRACIAS OSTIONERA COSTA AZUL

P O B L A C I N

MEXICO D F

S U S C O M P R A S Y P A G O S I-)

100 40

C O N S E R V E ESTA SECCIN PARA RCORD DE S U S G A S T O S

00 00

37652 LIMITE

S U S A L D O A N T E R I O R

91.37

C R E D I T O 12 5 0 0 . 0 0 - S U S P A G O S Y A B O N O S

50.00

ESTADO DE CUENTA DE TARJETA DE CRDITO BANCAMEX S U S C O M P R A S Y D I S P O S I C I O N E S

^ I N T E R E S E S

4.00 = S U S A L D O N U E V O

45.37 M I N I M O A P A G A R

45. 37 S U N M E R O D E C U E N T A 690057125194

S A L D O P R O M E D I O SIN C O M P R A S Y DISP EN EL M E S

71.09 S A L D O P R O M E D I O C O M P R A S

Y DISP. M E S ANTERIOR LIMITE DE CREDITO C R E D I T O D I S P O N I B L E

12 454.63 FAVOR DE PAGAR A N T E S DE

26/06/xx L A S O P E R A C I O N E S R E C I B I D A S DESPUS D E L 05/06/98 A P A R E C E R N E N E L P R X I M O E S T A D O D E C U E N T A

MAY 23 DE REFERENCIA

90517 D E T A L L E D E S U S M O V I M I E N T O S

SU PAGO. GRACIAS P O B L A C I O N

S U S C O M P R A S Y P A G O S H

50 00

C O N S E R V E ESTA SECCIN P A R A RCORD DE S U S G A S T O S

INTERS SIMPLE 75

2.12 R E S U M E N

En este captulo se revis el importante concepto del inters simple y q

Ingenieria Economico

Documents

Transcript of Ingenieria Economico