UNIVERSIDAD DE GRANADA

ESCUELA TCNICA SUPERIOR DE

INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y

PUERTOS

REVISIN DE LAS TEORAS DE CAMPO DE

COMPRESIONES EN HORMIGN

ESTRUCTURAL

TESIS DOCTORAL

ALEJANDRO MATEO HERNNDEZ DAZ

Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos

2012

Editor: Editorial de la Universidad de GranadaAutor: Alejandro Mateo Hernndez DazD.L.: GR 69-2013ISBN: 978-84-9028-267-0

DEPARTAMENTO DE MECNICA DE ESTRUCTURAS E INGENIERA HIDRULICA

ESCUELA TCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS

REVISIN DE LAS TEORAS DE CAMPO DE COMPRESIONES EN HORMIGN ESTRUCTURAL

ALEJANDRO MATEO HERNNDEZ DAZ

Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos

DIRECTORA DE TESIS

LUISA MARA GIL MARTN

Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos

CODIRECTOR DE TESIS

ENRIQUE HERNNDEZ MONTES

Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos

2012

A mi madre

I

ndice

ndice I

Resumen V

Abstract VII

Agradecimientos IX

Captulo 1. Introduccin 1

1.1 Objetivos 2

1.2 Metodologa 2

Captulo 2. Estado de la cuestin 5

2.1 La analoga de la celosa 5

2.2 Teora del Campo de Compresiones 8

2.2.1 Comportamiento a compresin del hormign fisurado 12

2.3 Teora Modificada del Campo de Compresiones 17

2.3.1 Comportamiento del hormign a traccin 19

2.3.2 Estudio a nivel de grieta en la TMCC 24

2.3.3 Recientes simplificaciones de diseo en la TMCC 29

2.4 Rotating-Angle Softened-Truss Model 32

2.5 Teora Unificada del Campo de Compresiones 40

Captulo 3. Anlisis de la hiptesis EPA en el diseo a cortante de elementos de hormign armado

45

II

3.1 Justificacin del problema a analizar 45

3.2 Modelo de anlisis 48

3.3 Transformacin del modelo 51

3.4 Resultados numricos 57

3.4.1 Influencia de la cuanta de armado longitudinal 58

3.4.2 Influencia de la cuanta de armado transversal 60

3.4.3 Influencia de la resistencia del hormign 62

Captulo 4. Ajuste del efecto de tensorrigidez del hormign en el modelo constitutivo del acero

65

4.1 Justificacin del problema a analizar 65

4.2 Coeficiente de ajuste del rea de tensorrigidez del hormign

67

4.3 Estudio de dos casos reales: Arbesman-Conte (1973) y Yoon (1996)

79

Captulo 5. Introduccin de un parmetro de degradacin en el diseo a cortante de vigas de hormign armado

87

5.1 Efecto de degradacin del hormign armado. 87

5.2 Marco analtico y experimental 89

5.3 Reduccin del modelo de cortante 96

5.3.1 Estudio de dos casos reales: Soerensen (1974) y Cladera (2002)

100

5.4 Ajuste mediante mtodos estadsticos 124

5.5 Ajuste mediante algoritmos genticos 127

III

Conclusiones 133

Anexo: Reduccin del modelo de cortante. Listado de figuras. 137

Figura 1: Espcimen H 75/4. 139

Figura 2: Espcimen H 75/4. Entrada y salida de la regin de solubilidad del sistema.

149

Figura 3: Espcimen T-22 155

Figura 4: Espcimen T-21 161

Bibliografa 167

IV

V

Resumen

De entre las teoras desarrolladas para estudiar la respuesta de un elemento de hormign

estructural frente a cortante cabe destacar las denominadas teoras del campo de

compresiones. Aunque estas teoras se desarrollaron aos atrs, recientemente se han

introducido algunas modificaciones en relacin al efecto de tensorrigidez del hormign.

La Tesis plantea una revisin terica de los modelos de campo de compresiones ms

importantes en el diseo a cortante de elementos de hormign armado; dicha revisin se

centra en dos aspectos clave: el primero de ellos es la denominada hiptesis EPA

(tambin conocida como hiptesis de Wagner), segn la cual la direccin del campo

principal de tensiones en el hormign coincide con la del campo principal de

deformaciones. El segundo aspecto a tratar es la cuantificacin del rea de rigidez

tensional del hormign dentro del modelo constitutivo del acero.

La experimentacin desarrollada hasta la fecha confirma la hiptesis EPA como una

simplificacin razonable. No obstante, esta Tesis analiza las diferencias potenciales

entre los ngulos de los campos principales de tensin y deformacin en el hormign

para casos de diseo concretos, y evala la influencia de algunos parmetros mecnicos,

tales como la cuanta de armado o la resistencia del hormign, sobre el efecto de

divergencia de tales ngulos.

La segunda lnea de trabajo de esta Tesis est dedicada al estudio del comportamiento

del acero; las actuales normativas de hormign estructural plantean la resistencia a

cortante de un elemento de hormign armado como la suma de la contribucin del

hormign ms la contribucin del acero, de tal forma que ambas componentes son

invariantes frente a la solicitacin a cortante. Dado que se produce una degradacin del

hormign cuando aumenta el nivel de deformacin de la pieza, es importante que las

teoras de cortante expliquen la variacin de la resistencia a cortante en funcin de la

deformacin en el hormign. La Teora Unificada del Campo de Compresiones (TUCC)

establece que, una vez se alcanza la tensin de cedencia en grieta, las tensiones de

traccin en el hormign afectan nicamente a una determinada parte del rea de

VI

tensorrigidez; asimismo, en esta Tesis se ha probado que la solubilidad del sistema de

ecuaciones de cortante propuesto por las teoras de campo de compresiones viene

controlada por la cuanta del rea de tensorrigidez del hormign. Sobre la base de la

TUCC, y a partir de la aplicacin de un mtodo de anlisis que permita discriminar la

solubilidad del modelo de cortante, se ha formulado un parmetro de degradacin del

hormign.

El resultado final de la tesis es, en primer lugar, un conocimiento ms integral de los

modelos de campo de compresiones para el diseo a cortante en hormign, y en

segundo lugar, un modelo de comportamiento de la armadura ms coherente con el

fenmeno real de adherencia entre hormign y acero.

VII

Abstract

Among the theories to analyze the shear response of a reinforced concrete member, the

most important ones are the so-called Compression Field Theories. Although these

theories were formulated several years ago, recently some improvements concerning the

tension stiffening effect at the concrete have been introduced. The Thesis provides a

theoretical review on the most influential theories concerning compression-field models

for shear in R/C structures; such review focuses on two key issues: the first one is the

so-called Equal Principal Angles hypothesis (EPA hypothesis, also called Wagners

assumption), which states that the direction of principal tensile stress and the direction

of principal tensile strain coincide. The second one is the tension stiffening effect in the

steel constitutive model.

Experimental evidence indicates that EPA assumption is a reasonable simplification.

The Thesis analyzes the potential differences in the angles of principal stress and

principal strain and evaluates the influence of some design parameters, such as the

reinforcement ratio or the concrete strength, on the divergence of these angles.

The second working line of the Thesis is based on the steel behavior; the structural

concrete codes estimate the shear strength as the sum of concrete contribution plus the

steel contribution, in such a way that both components are invariant under different

levels of load. Since an increment of shear strain produces a degradation of concrete, it

is necessary that shear theories define the shear strength as a function of the strain at

concrete. The Refined Compression Field Theory (RCFT) explains that, once yield

stress is reached at crack, tensile stress in concrete affects only a given fraction of the

tension stiffening area. Moreover, this Thesis proves that the solvability of the set of

equations proposed by the compression field theories is controlled by the amount of

tension stiffening area. From the model proposed by RCFT, and using an analytical

VIII

method for discriminating the solvability of shear model, a degradation parameter has

been formulated.

The final results of the Thesis are, first, a more comprehensive knowledge of the

compression-field models for reinforced concrete members subjected to shear, and

second, a constitutive model for reinforcement closer to the real bond mechanisms

between concrete and steel.

IX

Agradecimientos

A mi directora de Tesis, Luisa Mara Gil Martn, por la confianza depositada en mi

persona y en la culminacin de este trabajo, aun cuando el marco de circunstancias

acadmicas y personales no eran las ms propicias. Su disponibilidad y atencin

personal, su constancia en el trabajo y su diligencia han sido fundamentales para la

consecucin de los objetivos previstos.

A mi colega y amigo, Manuel D. Garca Romn, con cuyo apoyo personal y profesional

he contado en el quehacer diario de esta Tesis; sus enseanzas y su valiossima

paciencia han sido determinantes en el desarrollo de este trabajo.

A mi jefe, Enrique Hernndez Montes, por darme la oportunidad de iniciarme

profesionalmente en la investigacin del hormign estructural.

A mi exprofesor y amigo, Javier Gonzlez Martn, por sus acertados y oportunos

consejos en los momentos ms cruciales de mi etapa universitaria. Igualmente, quiero

mostrar mi ms sincero agradecimiento a Jos Mara Medina Hernndez, de cuya mano

he conocido otras facetas de la ingeniera que no se ensean en la Escuela.

Por ltimo, a mi familia; de forma muy especial a mi madre, motor econmico de este

trabajo y la persona a quien debo todo lo que soy hoy en da, y a mi padre, quien un da

despert en m la ilusin y el inters por esta magnfica profesin.

A todos ellos, mi ms sincero agradecimiento.

1

Captulo 1

Introduccin

Se puede afirmar que todava se est buscando una teora que explique el

comportamiento del hormign sometido a esfuerzos cortantes. La transmisin de tales

esfuerzos a travs del alma agrietada de una viga de hormign armado es un proceso

sumamente complejo, segn el cual, primeramente aparece una familia de grietas y

segn se incrementa la carga aparecen nuevas grietas mientras que las iniciales se

propagan y cambian de inclinacin.

La formulacin de una ecuacin (o conjunto de ecuaciones) que determine la resistencia

a cortante de una viga de hormign armado requiere previamente del conocimiento de la

inclinacin de las fisuras en el hormign. Los modelos de campos de compresiones

estn formulados en la mecnica del continuo1 y determinan el ngulo de inclinacin de

las fisuras considerando las deformaciones de la armadura transversal, de la armadura

longitudinal y del hormign (relacin de compatibilidad); esto ltimo, sujeto a unas

condiciones de equilibrio y a unas relaciones tensin-deformacin para la armadura y el

hormign agrietado, permite determinar la respuesta carga-deformacin de una seccin

de hormign armado sometida a cortante.

Aunque resultados experimentales llevados a cabo sobre elementos de hormign han

puesto de manifiesto que la diferencia entre ambos ngulos es suficientemente pequea

como para poder ser despreciada [42, 43], nunca anteriormente haba sido realizado un

estudio cuantitativo sobre la discrepancia existente entre ambos ngulos.

Por otra parte, durante dcadas se ha venido cuestionando la coherencia de las teoras

del campo de compresiones, principalmente desde el punto de vista del tratamiento del

acero. Como alternativa al modelo tradicional de barra aislada se ha propuesto el

modelo de barra embebida en el que la adherencia entre hormign y acero cobra

especial importancia [5, 19, 23]. La implementacin de modelos compactos que eviten

realizar comprobaciones adicionales de equilibrio entre acero y hormign a nivel de

grieta, as como el anlisis del efecto que la rigidez tensional del hormign produce 1 Se consideran deformaciones medias, esto es, comunes a acero y hormign y medidas sobre una longitud suficiente que incluya varias fisuras.

2

sobre la respuesta tenso-deformacional del acero, han centrado gran parte de la

investigacin en este campo en los ltimos aos.

1.1 Objetivos

Como cualquier otro proceso de revisin, esta Tesis pretende esclarecer aquellos

aspectos ms crticos de los modelos de campo de compresiones, a fin de obtener

soluciones que permitan al ingeniero afrontar nuevos problemas de diseo; dada la

extensin del campo de conocimiento que nos ocupa, y a tenor de lo hasta aqu

expuesto, el objetivo de esta Tesis se centra en dos temas fundamentales: por un lado, el

anlisis de la hiptesis EPA o hiptesis de coincidencia de la direccin del campo

principal de deformaciones y el campo principal de tensiones en el hormign, y por

otro, la implementacin del efecto de degradacin del hormign dentro del modelo

constitutivo del acero.

El anterior objetivo general se concreta en los siguientes objetivos especficos:

a) Cuantificar numricamente el error potencial asociado al uso de la hiptesis

EPA. Analizar la sensibilidad del modelo de campo de compresiones frente a

dicho error y proponer estrategias de diseo para minimizarlo.

b) Analizar el efecto del rea de tensorrigidez del hormign sobre la consistencia

(i.e., la solubilidad) del modelo constitutivo del acero, a nivel particular, y del

modelo analtico de cortante, a nivel general.

c) Sobre la base de la informacin recopilada en b), formular un parmetro de

degradacin para el hormign sometido a cortante.

1.2 Metodologa

En el anlisis de la hiptesis EPA se ha prescindido de campaa experimental al

respecto, sirvindonos exclusivamente del anlisis terico de las ecuaciones aportadas

por las teoras de cortante actualmente en vigor. A esta cuestin se destina ntegramente

el Captulo 3 de la Tesis. El mtodo de anlisis diseado se aplicar a un ejemplo

particular de una viga de hormign armado, y a partir de los resultados numricos

obtenidos para dicho caso y de los datos experimentales disponibles al respecto en la

3

literatura tcnica, se emitirn un conjunto de conclusiones en relacin a los objetivos

especficos propuestos.

En lo que se refiere a la formulacin del parmetro de degradacin del hormign, ha

sido preciso analizar, con carcter previo, el problema de solubilidad del modelo de

cortante. En este sentido, se ha desarrollado un anlisis terico para ajustar el valor del

rea de tensorrigidez del hormign. A esta cuestin se dedica el Captulo 4 de la Tesis.

Finalmente, y sobre la base de dicho ajuste, en el Captulo 5 se formula un parmetro de

degradacin para el hormign a partir de las bases de datos experimentales de cortante

actualmente existentes.

4

5

Captulo 2

Estado de la cuestin

El hormign, aun bajo cargas muy pequeas, presenta grietas orientadas

perpendicularmente a la direccin principal de traccin. Una vez que aparecen estas

grietas, la resistencia a traccin del hormign en el punto de fisuracin queda anulada

completamente, y a partir de ese momento los principios de la Mecnica de Medios

Continuos dejan de ser aplicables.

2.1 La analoga de la celosa

En 1899, Ritter explica el comportamiento interno de una viga de hormign armado en

trminos de un modelo de celosa en la que los elementos a compresin (cordn

superior y diagonales) estn constituidos por el hormign presente en la viga, y los

elementos a traccin estn constituidos por la armadura longitudinal inferior actuando

como tirante y la armadura transversal actuando como montante (Figura 2.1).

Figura 2.1: Esquema original de Ritter sobre la analoga de la celosa1.

En 1902, Mrsch [30] explica y desarrolla el modelo de la celosa con mayor nivel de

detalle afirmando que, si bien los montantes de la celosa se encuentran concentrados en

la armadura vertical, no ocurre lo mismo con las diagonales comprimidas, las cuales

forman un continuo a lo largo de toda la masa de hormign (Figura 2.2). Tanto Ritter

como Mrsch obviaron los esfuerzos de traccin en el hormign fisurado y asumieron la

existencia de un campo de compresiones en el hormign agrietado formando un ngulo

de 45 con la horizontal.

1Adaptado de: RITTER, W. (1899) Die Bauweise Hennebique (Construction Techniques of Hennebique), Schweizerische Bauzeitung, Zrich.

6

Figura 2.2: Analoga de la celosa de Mrsch. Adaptado de [30].

A continuacin se plantea la analoga de la celosa con una orientacin genrica de las

bielas de compresin [13]. Si consideramos un campo de esfuerzos cortantes

uniformemente distribuido en un rea efectiva de ancho bw y profundidad z, la

condicin de equilibrio exige que la resultante del campo de tensiones principales de

compresin en el alma de la viga sea igual a V/sen, siendo V la fuerza cortante (Figura

2.3). A su vez dicha resultante es igual a wb zcos 2 , donde 2 es la tensin media

principal de compresin en el alma de la viga. Se cumple entonces:

tan cotw w

V Vb z sen cos b z

21

(2.1)

La componente longitudinal de la fuerza diagonal de compresin D ser igual a Vcot.

Dicha fuerza debe ser contrarrestada por una fuerza igual de traccin Nv aplicada en la

armadura longitudinal, cuyo valor viene dado por:

cotvN V (2.2)

Asimismo, la fuerza diagonal de compresin referida a la separacin entre estribos s

(i.e., wb s sen 2 ) presenta una componente vertical ( wb s sen 22 ), la cual debe ser

equilibrada por una fuerza de traccin en los estribos, Atst, donde At es la seccin

transversal de los estribos y st es la tensin de traccin los mismos. A partir de la

ecuacin (2.1), se obtiene:

tant stA Vs z

(2.3)

Segn el modelo de bielas a 45, el cortante mximo se alcanzar cuando los cercos alcancen la tensin de cedencia, lo que corresponde a una determinada tensin de

cortante (siendo t = w

Vb z

), tal y como se indica a continuacin:

7

Figura 2.3: Condiciones de equilibrio para la analoga de la celosa bajo una inclinacin genrica de bielas

. Adaptado de [13].

t yt y w t y

w

A fhA f b h fs b s

(2.4)

donde el brazo mecnico z se ha aproximado por el canto h de la viga, y donde fy es la

tensin de cedencia del acero y t es la cuanta de armadura transversal.

La idea inicial de Ritter fue posteriormente modificada ya que la aplicacin estricta del

mtodo de la celosa conduca a valores de tensiones en las armaduras de cortante

claramente superiores a los obtenidos en los ensayos. Esto se debe a que existen otros

mecanismos que colaboran en la resistencia a cortante; en el caso de una viga sin

armadura de cortante el modelo de Ritter supone que la resistencia a cortante es nula y

sin embargo la experimentacin al respecto ha demostrado que no es as .Por otro lado,

si slo se considera el mecanismo de la celosa el acero quedar tensado en exceso.

Adems, en el modelo de Ritter las bielas comprimidas forman 45 con la horizontal y,

en general, se ha comprobado que en hormign armado este ngulo es ligeramente

inferior [20]. Se concluye, por tanto, que los modelos de celosa de Ritter y Mrsch

resultan excesivamente conservadores pues el cortante que resiste una viga segn el

modelo de la celosa es, en cualquier caso, inferior al que en realidad resiste dicha viga.

Atst

8

En 1922, Mrsch realizaba la siguiente afirmacin en relacin a la determinacin del

ngulo de inclinacin de la biela de compresin en hormign [31]:

We have to comment with regards to practical application that is absolutely impossible to

mathematically determine the slope of the secondary inclined cracks according to which one can design

the stirrups. For practical purposes one has to make a possibly unfavorable assumption for the slope

and therefore, with tan2 =, we arrive at our usual calculation for stirrups which presumes =45.

Originally this was derived from the initial shear cracks which actually exhibit this slope.

Las fisuras secundarias a las que se refiere Mrsch son aqullas de menor inclinacin

que se forman al final de la vida de servicio de la viga. Si se tomara la inclinacin de

dichas fisuras como ngulo de biela de diseo se conseguira reducir la cuanta de

armadura transversal necesaria de forma sustancial. Las anteriores ecuaciones de

equilibrio (2.1, 2.2 y 2.3) no son suficientes para calcular el campo de esfuerzos en una

viga sometida a cortante, pues el nmero de variables a determinar (el esfuerzo principal

de compresin 2, la traccin en la armadura longitudinal Nv, la tensin en la armadura

transversal st, y el ngulo de inclinacin de las bielas de compresin) asciende a

cuatro, razn por la cual Mrsch afirmaba la imposibilidad matemtica de determinar la

inclinacin de las bielas de compresin.

2.2 Teora del Campo de Compresiones

Antes de formular una ecuacin basada en los mecanismos de biela, que permita

determinar la resistencia a cortante de una viga o disear los estribos, resulta preciso

conocer el ngulo de inclinacin de las bielas, . En 1929, un ingeniero alemn, H.A.

Wagner, resolvi con xito un problema similar al analizar la resistencia a cortante de

perfiles armados de vigas metlicas una vez producida la cedencia del alma (Figura

2.4). A la vista de las deformaciones observadas, Wagner dedujo que el alma dbil del

perfil no resista a compresin y que, por tanto, el cortante era resistido por un campo

diagonal de tracciones apoyado en las alas de la viga y en los rigidizadores transversales

[4].

Para determinar el ngulo de inclinacin de la traccin diagonal, Wagner consider que

el ngulo de inclinacin de la tensin diagonal de traccin coincida con el ngulo de

inclinacin de las deformaciones principales a traccin. As surgieron las denominadas

teoras de los campos diagonales de traccin.

9

Figura 2.4: Campo diagonal de tracciones en un perfil metlico de alma dbil.

Basndose en el planteamiento anterior y trasladndolo al estudio del hormign se han

formulado aproximaciones conocidas como teoras del campo de compresiones [29].

stas determinan el ngulo de inclinacin de las bielas considerando las

deformaciones de la armadura transversal, de la armadura longitudinal y del hormign.

A partir de las teoras del campo de compresiones se puede estudiar la respuesta carga-

deformacin de una seccin sometida a cortante; para ello se plantean las condiciones

de equilibrio, las condiciones de compatibilidad y las relaciones tensin-deformacin

tanto para la armadura como para el hormign agrietado.

Las teoras de los campos de deformaciones estn formuladas en la mecnica del

continuo, considerando deformaciones medias, esto es, comunes a acero y hormign y

medidas sobre una longitud suficiente que incluya varias fisuras (Figura 2.5a). A partir

del tensor de deformacin de segundo orden (Figura 2.5b), las deformaciones en las

direcciones cartesianas x (longitudinal) e y (transversal) pueden ser obtenidas a partir de

las deformaciones principales 1 and 2:

sincos)(2

cossin

sincos

21

21

22

21

22

t

x

(2.5)

A partir de las dos primeras ecuaciones de (2.5), el ngulo de inclinacin de grietas

puede ser deducido si se considera que dichas grietas estn orientadas en direccin

paralela a la deformacin principal de compresin:

x

t

t

x

1

1

2

22tan (2.6)

10

El convenio de signos adoptado corresponde al definido por Collins y Mitchell [13],

donde las deformaciones a traccin son positivas, tal y como se indica a continuacin:

x es la deformacin media longitudinal,

t es la deformacin media transversal,

1 es la deformacin principal a traccin,

2 es la deformacin principal a compresin, y

es la distorsin media angular de un elemento (i.e., el doble de la deformacin

a cortante).

La deformacin 2 est alineada en la direccin de la biela de compresin (i.e.,

formando un ngulo con el eje longitudinal (Figura 2.5). La ecuacin (2.6) se ha

conocido tradicionalmente como la ecuacin de Wagner.

Para un valor dado de , la ecuacin (2.6) puede ser considerada como una relacin de

compatibilidad entre las tres deformaciones del sistema 2, x y t.

A partir del crculo representado en la Figura 2.5b, se puede deducir la deformacin

media principal a traccin 1 en funcin de otras deformaciones, mediante la siguiente

relacin:

( ) cotx t x x 2

1 2 2

(2.7)

Si hubiera armadura activa, se cumplir adems que

p x p

(2.8)

donde p es la deformacin unitaria de la armadura activa y p es la deformacin

impuesta por el sistema de pretensado.

El significado fsico de la ecuacin (2.6) reside bsicamente en el hecho de que para

bajas inclinaciones de grieta, la armadura transversal se encontrar altamente deformada

mientras que para altas inclinaciones de grieta ser la armadura longitudinal la que

experimente mayores deformaciones.

11

Figura 2.5a: Deformaciones medias en un elemento fisurado.

Figura 2.5b: Crculo de deformaciones medias. Adaptado de [20].

Si consideramos una viga de hormign armado, con armadura simtrica, y sometida a

cortante, se puede deducir que para una determinada solicitacin de cortante V existe un

total de cinco incgnitas: la tensin media de traccin en las barras longitudinales, sx;

la tensin media en los estribos, st; la tensin principal de compresin en el hormign,

2; y la inclinacin de las bielas de compresin. Para determinar estas cinco incgnitas

disponemos de otras cinco ecuaciones, a saber: tres ecuaciones de equilibrio ((2.1), (2.2)

y (2.3)), dos ecuaciones de compatibilidad ((2.6) y (2.7)), y las relaciones constitutivas

del acero y el hormign. As pues, la respuesta carga-deformacin de un elemento de

hormign armado sometido a cortante queda completamente definida. Este ltimo

desarrollo constituy el primer modelo de campo de compresiones y se denomin

Teora del Campo de Compresiones [4].

El comit 445 sobre cortante y torsin perteneciente al ASCE-ACI define en su texto

Recent Approaches to Shear Design of Structural Concrete las ecuaciones de

equilibrio de la TCC en su forma simplificada:

tant st cy (2.9)

12

cotx sx cx (2.10)

tan cot 2 (2.11)

donde x y t son las cuantas de armadura transversal y longitudinal, respectivamente,

y cx y cy son los esfuerzos medios de compresin en el hormign en las direcciones

horizontal y vertical, respectivamente.

Para esfuerzos de compresin relativamente pequeos se puede asumir que 2=2/Ec, y

en el caso de esfuerzos cortantes inferiores a aquellos que provocan la cedencia del

acero, a partir de las ecuaciones (2.6), (2.9), (2.10) y (2.11) se puede deducir la siguiente

expresin para el ngulo de biela a compresin, :

tan x

t

n

n

4

11

11

(2.12)

donde n es el coeficiente de equivalencia entre acero y hormign (n=Es/Ec), con Ec=fc/c,

siendo fc es la resistencia a compresin del hormign ensayado en probeta cilndrica y

c es la deformacin asociada a fc.

2.2.1 Comportamiento a compresin del hormign fisurado

Las tensiones y deformaciones estn relacionadas mediante los modelos tensin-

deformacin de los materiales. Para el hormign a compresin el modelo habitual es

aquel que reproduce el comportamiento del hormign en el ensayo a compresin en

probeta cilndrica; en este caso, la nica deformacin a traccin que experimenta el

hormign es la debida al efecto Poisson. Sin embargo, el caso que nos ocupa es bien

distinto dado que ahora el hormign est solicitado a compresin en una direccin

principal al mismo tiempo que est traccionado segn la otra direccin principal, y

adems est agrietado.

La principal caracterstica de la ley constitutiva del hormign agrietado a compresin es

la considerable disminucin de la tensin pico de compresin en relacin a la obtenida

en el ensayo en probeta cilndrica. Dicho fenmeno de reduccin fue descubierto

inicialmente por Robinson [39], quien no supo determinar el conjunto de variables que

afectaban al coeficiente de disminucin de la tensin pico, pues el alma de las vigas

13

ensayadas estaba sometida a un complejo campo de tensiones y deformaciones

inducidas por la flexin y el cortante. A fin de solucionar este problema, Robinson y

Demorieux [40] decidieron trabajar con paneles de hormign sometidos a tensin bi-

axial, confirmando as la disminucin de la resistencia a compresin del hormign

debido a la presencia de esfuerzos de traccin en la direccin perpendicular.

A fin de investigar las caractersticas tenso-deformacionales del hormign fisurado a

cortante, Vecchio y Collins [42] ensayaron una serie de paneles de hormign armado

sometidos a cortante puro en el denominado Shear Rig de la Universidad de Toronto

(Figura 2.6), salvando adecuadamente algunas de las dificultades tcnicas de

experimentacin hasta entonces encontradas. A partir de los resultados obtenidos, y

como ya haban adelantado Robinson y Demorieux, se dedujo que la tensin principal

de compresin en el hormign 2 no era funcin exclusiva de la deformacin principal

de compresin 2, sino que adems dependa de la deformacin principal a traccin

coexistente (Figuras 2.7 a y b). Vecchio y Collins propusieron a tal efecto la siguiente

relacin:

max

max .

c c

cc

f

ff f

2

2 22 2

21

2

0 8 170

(2.13)

siendo f2max la resistencia mxima por aplastamiento a compresin del hormign.

Belarbi y Hsu [6], a partir de una campaa de ensayos en condiciones similares a los

anteriores y realizados en la Universidad de Houston, sugirieron la siguiente expresin

para la resistencia f2max:

max. cff

2 1

0 91 400

(2.14)

la cual, bajo condiciones de cortadura pura, depende igualmente de la deformacin

principal a traccin coexistente.

Asimismo, los autores de la ecuacin (2.14) desarrollaron el siguiente modelo tenso-

deformacional a compresin del hormign sometido a cortante y torsin:

14

Figura 2.6: Universidad de Toronto: mdulo de ensayo de paneles de hormign [42].

,

/ , /

ce c e c e c

e cc

e e c

f

f

2

2 2 22 0

0 0 0

2

2 0 22 0

0 0

2 1

11 1

2 1

(2.15)

donde para cargas proporcionales (i.e., 1 y 2 se incrementan simultneamente) se

cumple:

. y e

0 01 1

0 9 11 400 1 500

Y para cargas secuenciales (i.e., primero se aplica 1 y despus se incrementa 2) se

cumple:

. y e

0 01

0 9 11 250

Ya que el alma fisurada de una viga de hormign armado est sometida a esfuerzos

cortantes crecientes, tanto la deformacin principal de compresin 2 como la

deformacin principal a traccin 1 aumentan simultneamente. La Figura 2.8a muestra

como las relaciones correspondientes a las ecuaciones (2.13) y (2.15) presentan

comportamientos similares para el caso en que el cociente 1/2 permanezca

aproximadamente constante. Por su parte la Figura 2.8b compara dichas relaciones bajo

la hiptesis menos realista de que 1 permanezca constante, mientras 2 aumenta; en

15

cualquiera de los dos casos, las ecuaciones definidas presentan comportamientos

similares [4].

Mediante el uso de las condiciones de equilibrio anteriormente descritas, las

condiciones de compatibilidad y las correspondientes relaciones constitutivas, es

posible predecir no slo la resistencia sino tambin la respuesta carga-deformacin de

elementos de hormign armado sometidos a cortante. No obstante, dado que la TCC

desprecia la contribucin a traccin del hormign fisurado las deformaciones son

sobrestimadas, con lo que los valores de resistencia a cortante finalmente obtenidos

resultan excesivamente conservadores.

Figura 2.7a: Relacin tensin-deformacin para el hormign agrietado en compresin.

Figura 2.7b: Influencia de la deformacin principal a traccin en la resistencia a compresin del hormign

[42].

max .c

cff f

2 10 8 170

16

Figura 2.8a: Relacin tensin-deformacin a compresin del hormign: cargas proporcionales.

Figura 2.8b: Relacin tensin-deformacin a compresin del hormign:

cargas secuenciales [4].

2

cf

32 10

2

cf

32 10

17

2.3 Teora Modificada del Campo de Compresiones

La Figura 2.9 muestra el alma de una viga de hormign armado antes y despus de la

fisuracin. Antes de producirse la fisuracin el cortante es resistido por tracciones y

compresiones diagonales en el hormign actuando a 45, donde 1 y 2 son las tensiones

principales de traccin y compresin, respectivamente. Una vez que se produce la

fisuracin tiene lugar una reduccin sustancial de la resistencia a traccin del hormign;

segn la TCC, una vez el hormign ha fisurado ste pierde totalmente su resistencia a

traccin, y a partir de ese instante, 1 = 0. No obstante, el hormign s contribuye

despus de fisurado, y por consiguiente, debe considerarse una resistencia media del

hormign a traccin entre grietas. De esta forma surge la denominada Teora

Modificada del Campo de Compresiones (TMCC) [13, 42].

Figura 2.9: Diferencia entre la TCC y la TMCC.

La tensin principal de traccin en el hormign fisurado vara en magnitud desde cero

en la localizacin de la grieta hasta un valor mximo entre grietas. Dado que las

ecuaciones de equilibrio son obtenidas por integracin del campo de tensiones en la

totalidad de la seccin transversal, se puede trabajar con valores medios de los esfuerzos

de traccin a la hora de formular dichas ecuaciones de equilibrio; stas han sido

deducidas para una viga simtrica de hormign con armadura pasiva y activa [13]. A

partir del tensor de tensiones medias en el hormign (Figura 2.10), se puede deducir la

siguiente relacin para el esfuerzo principal de compresin, 2:

tan cotw

Vb z

2 1 (2.16)

Antes de fisurar

1 = 2, = 45

TMCC

1 0

TCC

1 = 0

18

La descompensacin de la proyeccin vertical de resultantes de las tensiones principales

2 y 1 debe ser equilibrada por una fuerza de traccin en la armadura transversal

(Figura 2.11), tal y como se indica a continuacin:

cosst st wA sen b s 2 22 1

(2.17)

Si el esfuerzo axil que solicita la seccin es nulo, la descompensacin de la proyeccin

longitudinal de las resultantes de las tensiones principales 2 y 1 debe ser equilibrada

mediante una fuerza de traccin en la armadura longitudinal, tal y como se indica a

continuacin:

cossx sx p p wA A sen b z 2 22 1

(2.18)

donde Asx es el rea total de la armadura longitudinal pasiva, Ap es el rea total de la

armadura longitudinal activa, y p es la tensin media en la barra de pretensado.

Figura 2.10: Crculo de tensiones medias del hormign. Adaptado de [20].

Sustituyendo el valor de 2 de la ecuacin (2.16), la ecuacin (2.18) adopta la siguiente

expresin:

cotsx sx p p wA A V b z 1

(2.19)

Asimismo, sustituyendo el valor de 2 de la ecuacin (2.16) en la ecuacin (2.17), se

obtiene la siguiente relacin:

cot cotst stwAV b z z

s 1

(2.20)

19

Figura 2.11: Estudio del equilibrio para la Teora Modificada del Campo de Compresiones (TMCC) [13].

La ecuacin (2.20) expresa la resistencia a cortante de un elemento de hormign armado

como la suma de la contribucin del hormign (Vc), la cual depende de la distribucin

de esfuerzos de traccin en el hormign, y la contribucin del acero (Vs), la cual

depende del esfuerzo medio de traccin en los estribos. Existe analoga formal entre la

formulacin as obtenida y la propuesta a tal efecto por la norma ACI (V = Vc+Vs).

En lo que a la ecuacin de comportamiento del acero se refiere, tanto la TCC como la

TMCC consideran modelos bilineales de tensin-deformacin, tal y como se muestra a

continuacin [20]:

,

,

,

,

s x x ysx

y x y

s t t yst

y t y

Ef

Ef

(2.21)

2.3.1 Comportamiento del hormign a traccin

El hormign es un material que resiste muy poco a traccin y que, por tanto, rompe bajo

tensiones de traccin muy pequeas. No obstante, para deformaciones superiores a la

Atst

20

correspondiente a la resistencia media de traccin del hormign fctm, la contribucin del

hormign no es despreciable. Una vez que aparece la primera grieta el hormign deja de

contribuir en la zona de la grieta pero contina contribuyendo en la zona entre grietas.

En consecuencia, la deformacin total experimentada por la barra de acero embebida en

hormign, aun cuando existan numerosas grietas, ser menor que la que experimentara

la misma barra aislada (Figura 2.12).

Figura 2.12: Esquema de modelo constitutivo del acero para barra embebida y para barra

aislada.

Justo antes de que se forme la primera grieta la tensin del hormign es fctm, y su

deformacin es ctm. Una vez formada la primera grieta, la tensin media de traccin en

el hormign disminuye, y decrecer tanto ms cuantas ms grietas se produzcan (es

decir, conforme aumente la deformacin principal a traccin en el hormign, Figura

2.13). Collins y Mitchell definen la siguiente relacin tensodeformacional del

hormign a traccin [4, 7]:

,

,

c ctm

ctmctm

Ef

1 1

1 211

11 500 (2.22)

Donde:

1 Coeficiente en funcin de la adherencia acero-hormign

s

s

21

1 para barras corrugadas

0.7 para barras lisas, cables y cordones con muescas

0 para barras sin adherencia

2 Coeficiente en funcin del tipo de carga

1.0 para carga rpida no cclica

0.7 para cargas duraderas o repetitivas

Figura 2.13: Relacin tensin-deformacin media para el hormign a traccin. Adaptado de [42].

El fenmeno de la contribucin a traccin del hormign se denomina tensorrigidez. La

tensorrigidez no afecta a toda el rea de la seccin transversal sometida a traccin sino

slo a una parte situada en el entorno de la barra de acero (Figura 2.14). Al rea

afectada se le denomina rea efectiva Ac y, segn establece el Cdigo Modelo [12],

equivale a la zona rectangular en torno a la barra de acero a una distancia no superior a

7.5, siendo el dimetro de la barra en cuestin.

Figura 2.14: rea efectiva de hormign a traccin.

22

Durante los ltimos aos diferentes autores han propuesto distintas expresiones para la

relacin tenso-deformacional del hormign agrietado a traccin. En 1982 Vecchio y

Collins propusieron una primera relacin a este respecto, la cual funcionaba

particularmente bien para los elementos de hormign armado ensayados en el Toronto

Panel Tester de la Universidad de Toronto, y cuya ecuacin vena dada por la siguiente

expresin [7, 13]:

ctmf

1 11 200

(2.23)

Algunos aos ms tarde, en 1987, Collins y Mitchell mejoraron el anterior modelo de

ensayo experimental, obteniendo la ya indicada ecuacin (2.22). Una tercera

contribucin en este sentido fue la de Belarbi y Hsu [5, 22, 33], obtenida a partir de la

ecuacin inicialmente propuesta por Tamai et al., y cuya expresin viene dada por

(Figura 2.15):

.

, .

, .

.

c

ctm

Ef

1 1

11 0 41

0 00008

0 00008

0 00008

(2.24)

Tal y como se puede observar, la rigidez a traccin del hormign fisurado vara

sensiblemente de un caso a otro. Segn Bentz [7], la razn de la diferencia entre las

distintas relaciones propuestas reside en el efecto de la adherencia hormign-acero, y

propone definir la rigidez a traccin del hormign fisurado como una funcin de las

caractersticas de adherencia de la armadura.

Figura 2.15: Relacin tensin-deformacin a traccin del hormign, segn Belarbi y Hsu [4, 22].

1

1 0.00008

fctm

1 1cE

0.4

1 11

Zona de post-fisuracin

0.00008 , 0.00008ctmf

23

En aquellos puntos donde el hormign armado est compuesto por barras de acero de

bajo dimetro y muy prximas entre s se prevn mejores caractersticas de adherencia

que en aquellos otros donde la distancia entre barras de mayor dimetro es superior. Por

tanto, un parmetro apropiado para medir la adherencia hormign-acero es aquel que

resulta de dividir el rea efectiva de hormign a traccin entre la suma de permetros de

todas las barras adheridas a dicha rea, tal y como se indica a continuacin [7]:

c

b

AMd

(2.25)

donde M es el parmetro de adherencia (mm), y db es el dimetro de la barra adherida al

hormign. En la Figura 2.16a se muestran las caractersticas de las secciones ensayadas

en cada uno de los tres casos comentados anteriormente, y sus respectivos parmetros

de adherencia.

Si se representa el coeficiente del denominador en las tres relaciones anteriores frente al

parmetro de adherencia de las secciones a partir de las cuales han sido obtenidas, se

puede observar que para elementos con caractersticas pobres de adherencia (i.e, altos

valores de M), la rigidez a traccin del hormign es ms baja (Figura 2.16b). Los puntos

representados en la Figura 2.16b se ajustan claramente a una recta de pendiente 3.6; sin

embargo, si se representan los mismos coeficientes en funcin de la cuanta de armado

en lugar del parmetro de adherencia, la dispersin obtenida es notablemente mayor,

razn por la cual Bentz propone la siguiente relacin tenso-deformacional para el

hormign a traccin:

,

, .

siendo

c ctm

ctmctm

c

b

EfM

AMd

1 1

1 211

11 3 6 (2.26)

En el caso de elementos solicitados bi-axialmente, las propiedades de adherencia suelen

ser distintas entre la armadura transversal y la longitudinal, en cuyo caso Bentz

recomienda adoptar como parmetro de adherencia global del elemento el menor de los

dos parmetros resultantes; as pues, la rigidez a traccin del hormign fisurado quedar

definida por la direccin con mejores propiedades de adherencia.

24

Figura 2.16a: Caractersticas de adherencia de las distintas secciones ensayadas.

Figura 2.16b: Coeficiente de rigidez tensional vs. Parmetro de adherencia [7].

2.3.2 Estudio a nivel de grieta en la TMCC

Por ahora slo se han tratado tensiones y deformaciones medias, teniendo en cuenta que

stas varan de un punto a otro, especialmente entre las grietas y las zonas entre grietas.

De esta forma, en el punto de fisuracin la traccin en el hormign es nula mientras que

la tensin en la armadura es mxima.

Para pequeos valores del esfuerzo cortante la traccin se trasmite a travs de las grietas

mediante aumentos locales en la tensin de las barras de acero. Sin embargo, a ciertos

niveles de cortante la tensin en la armadura del alma podra alcanzar el valor de

cedencia, en cuyo caso un aumento posterior del esfuerzo cortante requerira de la

aparicin de tensiones de cortante locales ci en el hormign [4, 13], a fin de poder

25

trasmitir el incremento de traccin a travs de la grieta (Figura 2.17); segn el modelo

bi-lineal de comportamiento del acero correspondiente a la TMCC, despus que la

armadura alcanza su lmite elstico ya no absorbe ms tensin.

Figura 2.17: Tensiones locales en la grieta de una viga sometida a cortante [13].

La capacidad de la interfase de la grieta para trasmitir dichas tensiones locales

depender del ancho de grieta w y del tamao de rido a. El valor mximo de ci viene

dado por la expresin (Bhide y Collins, 1989) [4]:

.

.

cci

fw

a

0 18240 3

16

(2.27)

donde ci se mide en MPa y a y w se miden en mm. En la ecuacin (2.27) no se han

tenido en cuenta los efectos favorables producidos por compresiones locales en la

interfase de la grieta.

As pues, vamos a trabajar paralelamente con dos familias de tensiones equivalentes;

por un lado, las tensiones medias calculadas segn la formulacin de la TMCC, y por

otro, las tensiones locales a nivel de grieta (Figura 2.18). Las dos familias de tensiones

de la Figura 2.18 deben de ser estticamente equivalentes; por tanto, ambas

componentes verticales deben ser iguales, tal y como se indica a continuacin:

tan tan tanw

st st st y ci wb zz zA A f b z

s s

1

(2.28)

A partir de la ecuacin (2.28) se puede deducir el valor de la traccin trasmitida por el

hormign a travs de la grieta, 1:

26

tan stci y stw

A fsb

1

(2.29)

El ancho de fisura w se puede obtener como el producto de la deformacin principal a

traccin por el espaciamiento medio de las grietas sm, segn se indica a continuacin:

mw s 1 (2.30)

donde:

cosm

mx mv

s sens s

1

En la expresin anterior smx y smv son las separaciones entre grietas en las direcciones

longitudinal y transversal, respectivamente (Figura 2.19)

El Cdigo Modelo propone una formulacin para estimar las separaciones entre grietas,

deducida para el ancho de fisura en superficie (Figura 2.20):

x bxmx x

x

bvmv v

v

s ds c k k

dss c k k

1 2

1 2

210

210

(2.31)

donde cx y cv son las distancias del centro de gravedad de la seccin bruta a la armadura

longitudinal y vertical, respectivamente. Asimismo,

k1 = {0.4; barras corrugadas; 0.8; barras lisas o tendones}

k2 = 0.25

t=Ast/(bws)

x=(Asx + Ap)/( bwz)

Un ltimo lmite del valor de la resistencia a cortante viene dado por la tensin de

cedencia de la armadura longitudinal. Las componentes horizontales de la familia de

tensiones medias y la familia de tensiones locales deben verificar la siguiente

inecuacin:

27

Figura 2.18: Tensiones medias y tensiones locales a nivel de grieta. Adaptado de [13].

Figura 2.19: Separacin entre grietas. Adaptado de [13].

cotstsx y p p sx sx p p w y st ww

AA f A f A A f b z f b zb s

21 1

(2.32)

donde el lmite elstico fy de la armadura pasiva y el lmite elstico fp de la armadura

activa se alcanzan a nivel de la grieta.

Las ecuaciones del estudio a nivel de grieta de la TMCC introducen tantas incgnitas

nuevas como ecuaciones en el proceso de diseo a cortante, si bien slo modifican el

1 st stA st yA f

ci

TENSIONES LOCALES EN GRIETA

TENSIONES MEDIAS DE CLCULO

28

comportamiento a traccin del hormign (Figura 2.21); a partir de las ecuaciones (2.27)

y (2.29), y suponiendo que la armadura transversal han alcanzado su tensin de

cedencia (st = fy), se deduce la siguiente expresin lmite para 1:

. tan

.cf

wa

10 18

240 316

(2.33)

Limitando el valor del esfuerzo principal de traccin en el hormign se cuenta con la

posibilidad de fallo del mecanismo denominado aggregate interlock, responsable de la

trasmisin de fuerzas a travs de la grieta, y se evita la propagacin de grieta a partir de

un determinado nivel de tensin cortante.

Figura 2.20: Parmetros sx, s, cx, cv. Adaptado de [13].

Figura 2.21: Relacin tensin-deformacin a traccin del hormign corregida a nivel de grieta [4].

1

ctm

fctm

1

Ec. (2.22)

w = 1sm

Ec.( 2.33)

Inicio de propagacin de grieta

29

2.3.3 Recientes simplificaciones de diseo en la TMCC

Mediante la aplicacin de un conjunto de simplificaciones es posible redefinir las

ecuaciones bsicas de la TMCC a fin de que puedan ser utilizadas en un modo ms

prctico en el diseo de secciones de hormign armado sometidas a cortante combinado

con axil y flector [8].

La contribucin a cortante del hormign Vc debida al campo principal de tracciones

puede ser expresada como:

c c wV f b z (2.34)

El factor depende de la distribucin media de tensiones de traccin en el hormign

fisurado; considerando que la resistencia media a traccin del hormign fctm es igual a

0.33fc (segn [2]), y que segn la ecuacin (2.20) la contribucin a cortante del

hormign puede ser expresada como Vc = 1bwzcot, a partir de la ecuacin (2.34) el

factor queda expresado de la siguiente manera:

. cot

1 2

1

0 331 500

(2.35)

Es preciso tener en cuenta que la transmisin de tracciones a travs de la grieta

depender del ancho de la misma, por lo que un ancho de grieta excesivo limitara la

tensin media en el hormign y el esfuerzo tangencial en la grieta ci alcanzara un valor

crtico. A partir de las ecuaciones (2.33) y (2.34) es ahora posible determinar el valor

lmite de para el cual se producira un colapso de la estructura por propagacin de la

grieta bajo cortante, tal y como se indica a continuacin:

.

. msa

1

0 18240 3

16

(2.36)

Como se puede deducir de la expresin anterior, a medida que la deformacin principal

a traccin 1 aumenta, la contribucin a cortante Vc del hormign disminuye.

Para elementos sin armadura transversal el parmetro sm ser igual a sx/sen, en cuyo

caso la ecuacin (2.36) puede ser expresada como [8]:

30

... x

xx

ssen

ssa

1

0 180 6860 3

3516

(2.37)

El mximo valor de , y por consiguiente, la mxima resistencia a cortante en post-

fisuracin, ser aquel que satisfaga simultneamente las ecuaciones (2.35) y (2.37), por

lo que resulta la siguiente expresin:

.. xssenTan

1

1

1 2580 568

1 500 (2.38)

En el caso de elementos sin armadura transversal, se cumple la siguiente relacin:

cot 22 1

(2.39)

Dado que en este tipo de elementos el campo de esfuerzos de compresin es

relativamente pequeo, se puede tomar como aproximacin suficiente que / cE 2 2 ,

donde Ec=4950 cf (MPa); combinando las ecuaciones (2.7) y (2.39) se obtiene la

siguiente expresin:

cot( cot )x

42

1

1

115000 1 500

(2.40)

La forma en que la anterior ecuacin geomtrica relaciona la deformacin principal a

traccin 1 y el ngulo de biela para diferentes valores de x se muestra en la Figura

2.22; los puntos de interseccin de las curvas representadas definen los valores de y 1 que satisfacen simultneamente las ecuaciones (2.38) y (2.40). Se puede comprobar que

a medida que el espaciamiento entre grietas sx aumenta, el valor de disminuye. El

hecho observado es que grandes vigas de hormign armado sin armadura transversal

colapsan para esfuerzos cortantes menores que vigas geomtricamente semejantes pero

ms pequeas, lo que se conoce como efecto tamao en cortante [8, 13].

Los valores de para elementos sin armadura transversal dependen tanto de la

deformacin longitudinal x como del parmetro de espaciamiento sx; as pues, se

definen dos tipos de factores relacionados con efectos distintos: por un lado, el factor

31

correspondiente al efecto deformacional (strain effect factor) y por otro, el factor

correspondiente al efecto tamao (size effect factor). Ambos factores no son

realmente independientes; sin embargo, en las simplificaciones de la TMCC se obvia

esta interdependencia y se asume que el trmino puede ser expresado como el

producto de dichos factores, tal y como se indica a continuacin [8]:

.

x xs

0 4 13001 1500 1000

(2.41)

La TMCC simplificada propone la siguiente expresin para el ngulo de inclinacin de

las bielas de compresin :

deg . degxxs

29 7000 0 88 75

2500 (2.42)

Al igual que en el caso del factor , la ecuacin (2.42) define el ngulo de biela como el

producto de los trminos correspondientes al factor de tamao y al factor

deformacional.

En el caso de elementos de hormign con armadura longitudinal y transversal

sometidos a un estado de solicitacin prximo al de colapso por cortante, la TMCC

estima cambios sustanciales en las contribuciones a cortante tanto del hormign como

del acero. Generalmente, despus de alcanzado el lmite de cedencia de la armadura

transversal, el ngulo se reducir, lo que a su vez producir un incremento de la

contribucin a cortante del acero, as como una mayor tensin de traccin en la

armadura longitudinal. La solucin propuesta a este respecto por la TMCC simplificada

consiste en considerar el valor de para el cual la contribucin a cortante del hormign

es mxima. Igualmente, y con un fin tambin simplificativo, se propone utilizar las

mismas expresiones de los factores de tamao y deformacional tanto para elementos sin

armadura transversal como con ella.

La Figura 2.23 compara los valores de asociados a la mxima contribucin a cortante

del hormign con aquellos obtenidos a partir de la ecuacin (2.42); como se puede

observar, valores altos de conllevan un diseo bastante conservativo pues implican

menor contribucin a cortante del acero. En elementos con armadura longitudinal y

transversal el espaciamiento de las fisuras ser generalmente inferior a 300 mm, y por

tanto, se toma un valor de sx igual a 300 mm tanto en la ecuacin (2.41) como en la

32

2.42. Por otra parte, la Figura 2.23 compara tambin los valores del factor estimados a

partir de la TMCC con los obtenidos mediante la ecuacin (2.41), y como se puede

observar los resultados menos conservativos (i.e., mayor contribucin a cortante del

hormign) estn relacionados con deformaciones longitudinales x relativamente bajas.

Figura 2.22: Efecto tamao en elementos sin armadura transversal [8].

2.4 Rotating-Angle Softened-Truss Model

El profesor Thomas T.C. Hsu y sus colaboradores de la Universidad de Houston

(Belarbi y Hsu 1991, 1994, 1995; Pang y Hsu 1995; Hsu, 1993) desarrollaron una

metodologa de anlisis distinta en relacin a la inclusin del campo principal de

tracciones del hormign en la resistencia a cortante; este nuevo procedimiento se

denomin Rotating Angle Softened Truss Model (RA-STM) [4]. Al igual que la

TMCC, este mtodo asume que la inclinacin de la direccin principal de tensin

coincide con la de la direccin principal de deformacin. Por lo general, este ngulo

decrecer a medida que la fuerza de cortante se incremente; de ah el nombre de esta

teora alternativa.

33

Figura 2.23: Anlisis comparativo de los parmetros y para elementos de hormign armados

transversalmente [8].

Esta nueva teora satisface los tres principios fundamentales de la mecnica de

materiales: 1) equilibrio de esfuerzos, 2) compatibilidad de deformaciones y 3) leyes

constitutivas de los materiales. As pues, con este modelo alternativo se puede predecir

no slo la resistencia a cortante de un elemento sino tambin su funcin de respuesta

Carga vs. Deformacin. Al igual que ocurra en la TMCC, se consideran valores medios

de las distribuciones de tensiones y deformaciones a fin de poder aplicar los principios

de la mecnica del continuo as como las relaciones de transformacin de la Teora de la

Elasticidad, plasmadas grficamente en el crculo de Mohr.

34

Figura 2.24a: Campos de tensiones y sistemas de ejes coordenados en un ensayo a cortante de un panel de

hormign.

Figura 2.24b: Universal Panel Tester (Universidad de Houston) [33].

En la Figura 2.24a se muestra un esquema de un panel de hormign armado sometido a

esfuerzos normales y cortantes coplanarios entre s. Las direcciones de las barras de

armado longitudinal y transversal se han designado mediante los ejes l y t,

respectivamente, constituyendo el sistema coordenado l - t. El conjunto de tres esfuerzos

coplanarios l , t y l t puede ser reemplazado por un par de esfuerzos principales {1,

35

2} orientados segn los ejes 1 y 2 del sistema de ejes principales. El ngulo entre la

direccin principal de compresin (eje 2) y la direccin del armado longitudinal se

denota como 2. En el Universal Panel Tester (Figura 2.24b), que es como se

denomina el mdulo de ensayo a cortante de la Universidad de Houston, las cargas son

aplicadas biaxialmente a lo largo de las direcciones principales 1 y 2 del panel,

mientras las barras de armado longitudinales quedan orientadas segn un ngulo 2

respecto a la direccin principal de compresin; de ah que dicho ngulo se denomine

fixed angle. Las direcciones principales de tensin y deformacin del hormign

fisurado son definidas mediante el sistema de ejes coordenados d - r. El eje d, que

representa la direccin principal de compresin en el hormign, est orientado segn un

ngulo respecto a la direccin de armado longitudinal. Cuando la tensin media en las

armaduras longitudinal y transversal es idntica, la direccin principal de compresin en

post-fisuracin (eje d) coincide con la direccin de la compresin aplicada (eje 2), y en

este caso = 2. Sin embargo, cuando los esfuerzos medios de traccin en las

armaduras longitudinal y transversal son distintos, el eje d se desva respecto el eje 2, y

en ese caso < 2. Ya que el ngulo disminuye a medida que aumenta la carga

aplicada, tambin a este ltimo se le denomina rotating angle. De acuerdo a lo

anteriormente expuesto, los esfuerzos principales en el hormign fisurado se denotan

como d y r para compresin y traccin, respectivamente.

2.4.1 Ecuaciones de equilibrio, de compatibilidad y constitutivas

Las tres ecuaciones de equilibrio de la RA-STM se obtienen a partir de las ecuaciones

de transformacin entre el sistema coordenado d - r y el sistema coordenado l - t,

resultando las siguientes expresiones:

cos

coscos

l d r l l

t d r t t

lt d r

sen fsen f

sen

2 2

2 2

(2.43)

donde l y t son las cuantas de acero longitudinal y transversal, y lf y tf son los

esfuerzos medios de traccin en las armaduras longitudinal y transversal,

respectivamente.

36

Igualmente, las tres ecuaciones de compatibilidad se obtienen a partir de las relaciones

de transformacin de deformaciones entre los sistemas coordenados d - r y l - t, tal y

como se indica a continuacin:

cos

coscos

l d r

t d r

lt d r

sensen

sen

2 2

2 2

(2.44)

donde d y r son las deformaciones principales del hormign medidas en el sistema

coordenado d - r.

El anterior conjunto de seis ecuaciones requiere de tres relaciones constitutivas, a saber:

a) Relacin tensin-deformacin del hormign a compresin, donde se relaciona la

tensin de compresin d con la deformacin d en el sistema coordenado d - r, y

cuya expresin ya ha sido indicada en la ecuacin (2.15)2.

b) Relacin tensin-deformacin del hormign a traccin, donde se relaciona la

tensin de traccin r con la deformacin r en el sistema coordenado d-r, y cuya

expresin ya ha sido indicada en la ecuacin (2.24).

c) Relacin tensin-deformacin de la armadura longitudinal y transversal a

traccin; en este caso, la RA-STM presenta una importante novedad en relacin

a la TMCC, pues evita la verificacin de tensiones a nivel de grieta mediante un

ajuste de la relacin tenso-deformacional del acero.

La grfica tensin-deformacin del acero de armar generalmente se considera

elstica-perfectamente plstica, con un techo tensional correspondiente al nivel

de cedencia del acero. Sin embargo, cuando la armadura se encuentra adherida

en la prctica totalidad de su contorno a la masa de hormign, la relacin tenso-

deformacional media del acero es notablemente distinta. Considrese la viga de

hormign armado de la Figura 2.25, sometida a una fuerza de traccin montona

creciente. Inicialmente, la adherencia entre el hormign y el acero permite una

transferencia casi total del esfuerzo de traccin resistido por la armadura al

hormign adherido a la misma. En el momento en que se alcanza el pico de

resistencia a traccin del hormign (fctm), ste se agrieta; por equilibrio, en el 2 En el presente trabajo, y a fin de utilizar una simbologa unificada y coherente con el resto de teoras de campos de compresiones, se ha sustituido los subndices d y r originales de la RA-STM por 2 y 1, respectivamente.

37

punto de fisuracin la tensin de la armadura es mxima mientras que la del

hormign es nula. A partir de ese instante, y si la carga contina aumentando, la

armadura continuar trasmitiendo traccin al hormign hasta que ste vuelva a

agrietarse nuevamente. En el instante en que la armadura alcanza su nivel de

cedencia en grieta, en las zonas entre grietas la tensin de la armadura es inferior

a su lmite elstico, y esto es debido a la colaboracin a traccin del hormign

adherido al acero (Figura 2.25). Este proceso culmina cuando la separacin entre

grietas consecutivas es tan pequea que la adherencia residual entre el acero y el

hormign no resulta suficiente para seguir trasmitiendo traccin al hormign, o

hasta que la armadura alcanza el nivel de cedencia en grieta.

Figura 2.25: Esquema de distribucin de fuerzas, esfuerzos normales, deformaciones y esfuerzos de

adherencia entre dos grietas consecutivas de una viga de hormign armado.

La RA-STM propone dos modelos de curvas tensin-deformacin para el acero:

c.1) el primero de ellos consiste en una nica curva obtenida a partir de la

siguiente expresin analtica de Richard y Abbott [38] (Figura 2.26):

38

/s p s

s mm

s p s

E Ef

E Ef

1

0

1

(2.45)

donde fs es la tensin media en la armadura, Ep es el mdulo plstico del

acero (cuyo valor suele oscilar entre el 1.8% y el 2.5% del valor del

mdulo elstico del acero Es), f0 es la tensin de interseccin entre las

asntotas correspondientes a los tramos elstico y plstico (cuyo valor es

aproximadamente del 89% del lmite elstico del acero), y m es el

parmetro de curvatura del acuerdo que une los tramos elstico y

plstico, y su valor es funcin de la tensin aparente de cedencia fy*, tal y

como se indica a continuacin:

*.

y

n

mff

0 5

1 (2.46)

donde fn es el punto de interseccin de las curvas elstica y plstica, cuyo

valor es aproximadamente de un 91% del lmite elstico del acero, y

viene dado por la siguiente ecuacin:

sn

s p

Ef fE E

0

(2.47)

La tensin aparente de cedencia fy* es el esfuerzo de traccin que solicita

la armadura en la zona entre fisuras cuando dicha armadura alcanza en

grieta la tensin de cedencia. A efectos prcticos, los autores de la RA-

STM proponen la siguiente expresin simplificada para el clculo de

dicha tensin:

.*y cr

y y

f ff f

1 541

(2.48)

donde es la cuanta de armadura longitudinal o transversal, segn

corresponda.

39

c.2) El segundo de ellos consiste en un modelo bilineal simplificado

compuesto de dos lneas rectas con distinta pendiente; la primera recta

corresponde a la regin elstica y su pendiente es Es, mientras que la

segunda recta corresponde al tramo plstico y su pendiente es Ep. La

formulacin propuesta a este respecto por la RA-STM se indica a

continuacin [5, 22, 23]:

,

. . . ,

(2.49)

. , B=

s s s s n

ss y s s n

y

s ctmn

y

E

Ef B Bf

siendo

E fBf

0 91 2 0 02 0 25

10 93 2.

y . ( )ctm cky

f f MPaf

1 5

0 3

donde n es el valor de deformacin correspondiente a la interseccin

entre los dos tramos rectos dados por la ecuacin (2.49), y fck es la

resistencia caracterstica a compresin del hormign.

Figura 2.26: Relacin tensin-deformacin del acero segn el modelo de Richard-Abbott (Hsu et al.,

1994). Adaptado de [5].

40

En la Figura 2.27 se muestran las predicciones de resistencia a cortante de la TCC

(CFT, en ingls), la TMCC (MCFT, en ingls) y la RA-STM correspondientes a dos

series de paneles de hormign armado. Como se puede observar, tanto la TMCC como

la RA-STM arrojan resultados similares para bajas cuantas de armado transversal; sin

embargo, los valores de resistencia obtenidos segn la RA-STM son generalmente ms

bajos que los correspondientes a la TMCC para altas cuantas de armadura transversal

[4].

Figura 2.27: Prediccin de la resistencia a cortante de dos series de paneles de hormign armado segn

diferentes teoras de campos de compresiones. Adaptado de [4].

2.5 Teora Unificada del Campo de Compresiones

El mdulo elstico de la armadura (Es) permanece constante mientras la tensin de

cedencia del acero no se alcance en ningn punto del elemento, y en particular, en las

secciones en las que el hormign ha fisurado. Una vez el acero alcanza su lmite

elstico, su mdulo de deformacin prcticamente se anula; como se ha visto, la TMCC

adopta una formulacin tenso-deformacional del acero elstica-perfectamente plstica,

con un valor del mdulo plstico del acero constante e igual a cero. Por su parte, la RA-

STM adopta una formulacin bi-lineal en la que el mdulo de deformacin del acero,

despus de alcanzado su nivel de cedencia, toma valor positivo. En el caso de la TMCC,

41

y debido al modelo tensin-deformacin utilizado, es preciso realizar una verificacin

tensional en grieta.

Una relacin constitutiva distinta a las enunciadas por las anteriores teoras de campo de

compresiones, y basada en la formulacin de la rigidez a traccin del hormign, es la

que presenta la Teora Unificada del Campo de Compresiones [19].

La TUCC (Refined Compression Field Theory, en ingls) propone que los modelos

de acero y de tensorrigidez del hormign deben de estar relacionados sin ninguna

formulacin adicional. Siempre que el acero no entre en cedencia en la grieta, el mdulo

de deformacin del acero ser Es. Cuando en una grieta el acero alcance su lmite

elstico, el mdulo de deformacin del acero se ver alterado. Si se establece el

equilibrio entre la seccin de la grieta (donde se ha producido la cedencia del acero) y

una seccin que represente el estado medio de tensiones (Figura 2.28) se cumplir que:

, ,grieta seccin media

s y s s av c ct avA f A A

(2.50)

donde As es la seccin transversal de la barra de acero en cuestin y s,av y ct,av son las

tensiones medias de traccin en la armadura y en el hormign, respectivamente, en una

seccin genrica entre grietas.

Figura 2.28: Barra sometida a traccin. El acero ha alcanzado la tensin de cedencia fy [19, 20].

42

A partir de la ecuacin (2.50) se puede deducir el valor medio de la tensin en la

armadura embebida en hormign:

, max,

max

,

,

cy ct av ct

ss av

s ct ct

AfA

E

(2.51)

donde max es la deformacin correspondiente a la primera cedencia en grieta, cuyo valor

se puede calcular a partir de la ecuacin (2.50), tal y como se indica a continuacin:

maxmax , max

ctm

cs y s s s c ct av y

s s

fAE A E A AA E

1 2

1 500 (2.52)

siendo y la deformacin correspondiente a la tensin de cedencia del acero. Al igual

que la RA-STM, la TUCC propone un modelo constitutivo basado en el principio de

adherencia hormign-acero, lo que evita comprobaciones adicionales de equilibrio a

nivel de grieta; la novedad de la TUCC es que, a diferencia de la RA-STM, utiliza el

mismo modelo de tensorrigidez del hormign que la TMCC (Figura 2.29).

Figura 2.29: Relacin tensin-deformacin media del acero para diferentes valores del rea

efectiva de hormign.

s

s

43

Tanto la tensin media en el acero (s,av ) como la tensin media en el hormign (ct,av)

son funcin de una nica y comn deformacin entre ambos, ct . As pues, a partir de la

ecuacin (2.51) se puede obtener una curva tensin-deformacin media del acero

embebido en hormign.

Como se ha mencionado previamente, la tensorrigidez no afecta a toda el rea de la

seccin transversal sometida traccin sino slo a una parte situada en el entorno de la

barra de acero (Ac) cuyo valor, en fenmenos de traccin, suele adoptarse igual al rea

en torno a la barra a una distancia no superior a 7.5. Sin embargo, una posible

hiptesis a este respecto es la de considerar dicha rea como una funcin de la

deformacin hormign-acero, o bien, de la separacin entre fisuras consecutivas,

teniendo en cuenta as la tendencia a la degradacin que experimenta el hormign por

efecto del cortante. Sin embargo, an es precisa una investigacin ms profunda en este

sentido a fin de clarificar todo lo concerniente en relacin a tales aspectos. A esta

cuestin se dedican los Captulos 4 y 5 de esta Tesis.

44

45

Captulo 3

Anlisis de la hiptesis EPA en el diseo a cortante de elementos de hormign armado

3.1 Justificacin del problema a analizar.

Las dos hiptesis fundamentales comunes a todas las teoras de campo de compresiones

[5, 19 y 42] son:

- En trminos medios, la deformacin axial de la armadura es idntica a la

deformacin del hormign en la misma direccin. En este sentido se considera

un nico tensor de deformacin que representa las deformaciones medias del

hormign armado.

- Los ngulos de inclinacin de los esfuerzos principales coinciden con los

ngulos de inclinacin de las deformaciones principales [42]. Esto es lo que

tradicionalmente se conoce como hiptesis de Wagner, y que en el marco de

esta Tesis se ha denominado hiptesis EPA (Equal Principal Angles).

En 1986, los profesores Vecchio y Collins de la Universidad de Toronto afirmaban, en

relacin a su Teora Modificada del Campo de Compresiones, que en elementos

armados longitudinal y transversalmente las direcciones de los campos principales de

tensin y deformacin se desviaban aproximadamente 10 [42]. La Figura 3.1 muestra

los resultados obtenidos por Vecchio y Collins tras el ensayo de 30 paneles cuadrados

de hormign de 89 cm de lado y 7 cm de espesor.

Por su parte, la Figura 3.2 muestra el patrn de agrietamiento observado en un panel de

hormign armado que fue sometido a traccin uniaxial combinada con cortante, y que

slo contena armadura en la direccin de aplicacin de la traccin [4]. Las primeras

fisuras presentaban inclinaciones en torno a 71 respecto al eje horizontal. A medida que

la carga aplicada iba aumentando nuevas grietas se formaban con orientaciones cada vez

ms prximas a la direccin de armado, mientras el ancho de dichas grietas aumentaba

progresivamente. Finalmente, la rotura del elemento se alcanz mediante una rpida

propagacin de las ltimas fisuras producidas, las cuales en el momento del colapso

46

presentaban inclinaciones aproximadas de 33 respecto al eje horizontal. En este caso, la

direccin principal de tensin aplicada difera hasta 20 respecto de la direccin

principal de deformacin observada (Bhide y Collins, 1989). La inclinacin estimada,

basada en la hiptesis EPA, quedaba a medio camino entre la direccin de deformacin

observada y la direccin de tensin aplicada [4].

Figura 3.1: Teora Modificada del Campo de Compresiones (Vecchio y Collins, 1986) [42].

Figura 3.2: Variacin de la inclinacin de la fisuracin por incremento de la carga aplicada en un

elemento de hormign armado [4].

47

Basndose en estos resultados, los precursores de las teoras de campo de compresiones

en hormign consideraron que la determinacin de la inclinacin de los esfuerzos

principales en el hormign a partir de la hiptesis EPA constitua una simplificacin

razonable [4, 42].

En 1996 Thomas T.C. Hsu admita la influencia de la cuanta de armado sobre la

inclinacin relativa de los campos principales de tensin y deformacin, realizando la

siguiente afirmacin en relacin a su teora RA-STM [22]:

After initial cracking, the change in direction of the subsequent cracks are due to

changes in the direction of the principal tensile stresses in the concrete, which, in turn,

are dependent on the relative amount of steel in the longitudinal and transverse

directions.

Figura 3.3: Panel V19 (Vecchio, 2000) [43].

Finalmente, en el ao 2000 Vecchio indicaba que los ngulos de las tensiones y

deformaciones principales no tienen por qu ser necesariamente iguales en estadios

avanzados de la deformacin por cortante [43]. La Figura 3.3 muestra los ngulos de los

campos principales de tensin y deformacin de un panel de hormign, con una cuanta

de armado longitudinal x = 1.8% y una cuanta de armado transversal v = 0.7%,

sometido a cortante puro (x; v; = 0; 0; 1). La tendencia observada fue que la tasa de

variacin de la inclinacin en la tensin principal permaneca ligeramente por debajo de

la correspondiente a la deformacin principal. Antes de alcanzar la fisuracin ambos

48

campos formaban 45 respecto a la direccin de armado; una vez se forma la primera

fisura tiene lugar un incremento brusco en la direccin de la deformacin principal de

traccin, acompaado de un pequeo cambio en la direccin de la tensin principal

correspondiente. Conforme la tensin aplicada aumenta la tasa de variacin de sendos

ngulos comienza a igualarse paulatinamente, manteniendo una diferencia entre ambos

casi constante en la ltima etapa del ensayo.

3.2 Modelo de anlisis

Como ya se ha indicado en el Captulo 2 de esta Tesis, la Teora Modificada del Campo

de Compresiones predice la resistencia a cortante de un elemento de hormign armado,

y su funcin de respuesta Carga vs. Deformacin, mediante el planteamiento del

siguiente sistema de ecuaciones:

- 3 ecuaciones de equilibrio1

tan cote ew

Vb z

2 1

(2.16)

cosst st e e wA sen b s 2 22 1

(2.17)

cos

cot

sx sx e e w

e w

A sen b z

V b z

2 22 1

1

(2.18 y 2.19)

- 2 ecuaciones de compatibilidad

xc

t

Tan

2 2

2 (2.6)

x t 1 2 (2.7)

1 En el mbito de esta Tesis e es el ngulo del campo de esfuerzos principales de compresin

(establecido por equilibrio), a diferencia del ngulo del campo principal de deformaciones que

denotaremos como c.

49

- 2 relaciones tensin-deformacin del acero, una para la armadura

longitudinal y otra para la armadura transversal

,

,

,

,

s x x ysx

y x y

s t t yst

y t y

Ef

Ef

(2.21)

siendo y la deformacin correspondiente al lmite de cedencia del acero.

- Comportamiento del hormign a traccin

,

,

c ctm

ctmctm

Ef

1 1

1 211

11 500

(2.22)

- Comportamiento del hormign a compresin

max

max .

c c

cc

f

ff f

2

2 22 2

21

2

0 8 170

(2.13)

En el sistema de 9 ecuaciones no lineales anterior hay 9 incgnitas: , x, t, V, 2, 1, 2,

sx y st, cuando dicho sistema se resuelve para un determinado valor de la deformacin

1. Adems, deber efectuarse la comprobacin en grieta en relacin al lmite de

cedencia de la armadura [13].

Para el desarrollo analtico del presente captulo se van a asumir dos alteraciones en

relacin a la formulacin planteada por la TMCC; la primera de ellas consiste en

adoptar como ecuacin de tensorrigidez del hormign la propuesta por Bentz (2005) [7],

que relaciona el rea efectiva de hormign a traccin (Ac) con el parmetro de

adherencia entre hormign y acero (M), y cuya expresin recordamos a continuacin:

50

,

, .

siendo

c ctm

ctmctm

c

b

EfM

AMd

1 1

1 211

11 3 6

(2.26)

La segunda alteracin consiste en adoptar como ecuacin de comportamiento del acero

la propuesta por la TUCC (Hernndez Montes y Gil Martn, 2005) [19], basada en el

modelo de rigidez tensional de Bentz, y cuya expresin recordamos a continuacin:

, max,

max

,

,

cy ct av ct

ss av

s ct ct

AfA

E

(2.51)

donde max es la deformacin correspondiente a la primera cedencia del acero en grieta y

se calcula a partir de la ecuacin (2.52). En la anterior ecuacin, y en relacin al

procedimiento que aqu se plantea, el rea efectiva de hormign a traccin (Ac) se

adopta igual al rea rectangular en torno a la barra a una distancia no mayor de 7.5 -

siendo el dimetro de la barra en cuestin-, rea generalmente adoptada en fenmenos

de traccin [12, 16, 17].

Paralelamente, y a modo comparativo, utilizaremos la ecuacin de comportamiento del

acero propuesta por la RA-STM [5, 22, 23], cuya expresin recordamos a continuacin:

.

,

. . . ,

. , B= y . ( )

s s s s n

ss y s s n

y

s ctmn ctm ck

y y

E

Ef B Bf

siendo

E fB f f MPaf f

1 5

0 91 2 0 02 0 25

10 93 2 0 3

(2.49)

Para la relacin tenso-deformacional del acero propuesta por la RASTM, el modelo de

tensorrigidez del hormign vendr dado por [5, 33]:

.

, .

, .

.

c

ctm

Ef

1 1

11 0 41

0 00008

0 00008

0 00008

(2.24)

51

La razn de prescindir de la comprobacin en grieta propuesta por la TMCC se debe al

hecho de que las ecuaciones en que se basa dicho procedimiento han sido deducidas a

partir de la hiptesis de Wagner, siendo sta precisamente la hiptesis que se pretende

refrendar en esta Tesis, por lo que obviaremos dicha comprobacin sirvindonos

nicamente de aquellas ecuaciones de comportamiento del acero basadas en la

tensorrigidez del hormign (i.e., TUCC y RA-STM).

3.3 Transformacin del modelo

El anlisis de la hiptesis EPA requiere una transformacin del modelo analtico de

cortante propuesto por las teoras de campo de compresiones en los trminos que a

continuacin se describen.

Despejando el valor de la fuerza cortante V que proporciona la ecuacin (2.19), y

sustituyendo en la ecuacin (2.16), la tensin principal de compresin en el hormign

(2) puede ser expresada como:

112 1 12x sxsx sx w e

e ew e

A b z TanTan Cot

b z Cos

(3.1)

Asimismo, la ecuacin (2.17) se puede reescribir de la siguiente forma:

2

12 2

t st e

e

CosSin

(3.2)

A partir de las ecuaciones (3.1) y (3.2) se obtiene la siguiente expresin para el valor del

ngulo del campo principal de tensiones, e:

121

t ste

x sx

Tan

(3.3)

Sustituyendo la tensin principal 1 por algunos de los modelos constitutivos del

hormign a traccin indicados al principio de este captulo (ecuaciones (2.24) o (2.26)),

y las tensiones medias en las armaduras, sx y st, por la expresin del modelo tenso-

deformacional de acero embebido en hormign (ecuaciones (2.49) o (2.51)), la ecuacin

(3.3) puede ser resuelta en trminos del ngulo e. Esta transformacin permite expresar

52

e como una funcin de las deformaciones de las armaduras y la deformacin principal

a traccin del hormign, segn se indica a continuacin:

12 ,, txee FTan (3.4)

La ecuacin (3.4) proporciona el ngulo de tensiones principales o ngulo de

equilibrio- como funcin del campo de deformaciones. A efectos del procedimiento

analtico que aqu se plantea se ha obviado el hecho de que la relacin tensin-

deformacin considerada en la ecuacin (3.4), tanto para el acero como para el

hormign, ha sido obtenida a partir de ensayos uniaxiales de los materiales (donde las

direcciones principales de tensin y deformacin son colineales).

A partir de la ecuacin de compatibilidad (2.6), el ngulo del campo principal de

deformaciones c tambin puede ser expresado como una funcin de las deformaciones

x, t y 1, segn se indica a continuacin:

121

12 ,,

txccx

tc FTanTan

(3.5)

El modelo analtico formado por las ecuaciones (3.4) y (3.5) ha sido aplicado a un

ejemplo de una seccin tpica de hormign armado (Figura 3.4)

2

2

300

300 c amm

recubrimiento = 30 mm

Figura 3.4: Seccin tipo de viga de hormign armado. Cotas en mm.

53

Los parmetros mecnicos (cuantas de armado y resistencia del hormign) de la

seccin de la Figura 3.4 han sido evolucionados a travs de un total de 15 especmenes,

y cada espcimen se ha analizado bajo cuatro hiptesis de deformacin distintas (ver

Tablas 3.1 y 3.2). A lo largo de los 15 especmenes la seccin de hormign pasa de estar

poco armada a estarlo fuertemente; en concreto, la cuanta de armadura longitudinal

vara entre x=0.0068 y x=0.0529, mientras que la cuanta de armadura transversal

vara entre t=0.0045 y t=0.0279. La resistencia caracterstica del hormign a

compresin (fck) vara entre 25 y 45 MPa, y la tensin de cedencia de la armadura es

400 MPa en todos los casos.

Por su parte, las hiptesis de deformacin SH1 a SH4 han sido elegidas a fin de

considerar la respuesta tanto elstica como plstica de los especmenes analizados.

Tabla 3.1: Especmenes

Espcimen fck

(MPa)

ARMADURA

LONGITUDINAL x (%)

ARMADURA

TRANSVERSAL t (%)

S 1 25 214(T) + 210(C) 0.68 C 8 a 75 mm 0.45

S 2 25 216(T) + 216(C) 1.17 C 8 a 75 mm 0.45

S 3 25 416(T) + 416(C) 2.36 C 10 a 75 mm 0.70

S 4 25 420(T) + 420(C) 3.72 C 10 a 75 mm 0.70

S 5 25 425(T) + 520(C) 5.29 C 10 a 75 mm 0.70

S 6 25 214(T)+ 210(C) 0.68 C 8 a 75 mm 0.45

S 7 25 214(T)+ 210(C) 0.68 C 10 a 75 mm 0.70

S 8 25 214(T)+ 214(C) 0.91 C 12 a 75 mm 1.01

S 9 25 214(T)+ 214(C) 0.92 C 14 a 75 mm 1.37

S 10 25 214(T)+ 214(C) 0.92 C 16 a 75 mm 1.79

S 11 25 214(T)+ 210(C) 0.68 C 8 a 75 mm 0.45

S 12 30 214(T)+ 214(C) 0.90 C 10 a 75 mm 0.70

S 13 35 220(T)+ 220(C) 1.89 C 14 a 75 mm 1.37

S 14 40 225(T)+ 225(C) 3.01 C 16 a 75 mm 1.79

S 15 45 232(T)+ 232(C) 5.09 C 20 a 75 mm 2.79

La Figura 3.5 muestra la representacin grfica de las ecuaciones (3.4) y (3.5) como

funcin de la deformacin longitudinal x y bajo la hiptesis de deformacin SH1 (1 =

0.00075 y t = 0.0006). Como se puede observar, la ecuacin (3.5) presenta una asntota

vertical en x= 1. El modelo constitutivo del acero utilizado en este caso es el propuesto

54

por la TUCC [19] (ecuaciones (2.51) y (2.52)), mientras que como modelo constitutivo

del hormign a traccin se ha empleado el propuesto por Bentz [7] (ver ecuacin

(2.26)).

Tabla 3.2. Hiptesis de deformacin

Strain hypothesis t 1

SH 1 0.0006 0.00075

SH 2 0.0008 0.00100

SH 3 0.0010 0.00200

SH 4 0.0020 0.00400

Las curvas de la Figura 3.5 intersectan para un valor de la deformacin x dentro del

intervalo [0, 1]. Este intervalo se puede dividir en dos regiones (Figura 3.6): Regin I,

donde la direccin del campo principal de deformaciones (c) es menor que la direccin

del campo principal de tensiones, y Regin II, donde ocurre justamente lo contrario (i.e.,

c > e). El punto de interseccin de ambas funciones corresponde a la hiptesis EPA y

se produce para un valor de la deformacin longitudinal x = x,EPA, siendo ste el valor

de la deformacin longitudinal estimado por aquellas teoras de campo de compresiones

que asumen la hiptesis EPA como base de su modelo de cortante.

De la Figura 3.6 se deduce igualmente que el ngulo de biela correspondiente a la

hiptesis EPA (EPA) permanece siempre dentro del rango [c, e], y generalmente se

asume igual a c. Las deformaciones 1, t y x pueden ser obtenidas empricamente, de

tal forma que c pueda ser estimado a partir de la expresin (2.6). Si llamamo