Inmunizacion de Carteras de Renta Fija

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Revista de Economa Aplicada Nmero 26 (vol. IX), 2001, pgs. 57 a 93EA

MODELOS DE INMUNIZACIN DECARTERAS DE RENTA FIJA*

GLORIA M. SOTO PACHECOUniversidad de Murcia

El objetivo de este trabajo es, en primer lugar, esclarecer la multitud demodelos que se engloban bajo el anlisis de duracin y sus implicacionesen la inmunizacin de carteras de renta fija. Con este fin, tras plantear latcnica de la inmunizacin y el modelo tradicional de duracin y sus li-mitaciones, se analizan los distintos modelos de duracin que se hanplanteado en las ltimas dos dcadas mostrando las restricciones quecada modelo implica. En segundo lugar, se examina la evidencia empri-ca ms relevante en el campo de los modelos de duracin desde una vi-sin crtica, ya que, por una parte, en la literatura emprica sobre inmuni-zacin habitualmente se han impuesto restricciones sobre las carterassimuladas que favorecen a ciertos modelos y, por otra parte, subsistencuestiones sin resolver.Palabras clave: inmunizacin, duracin, tipos de inters, gestin de ries-gos, renta fija.Clasificacin JEL: E43, G11.

L a dcada de los setenta constituy el punto de partida de un creciente intersen relacin con los efectos, implicaciones y posibilidades de gestin delriesgo derivado de las fluctuaciones de los tipos de inters. Consecuente-mente, la renta fija y los tipos de inters, que hasta entonces haban sido ob-jeto de escasa atencin, empezaron a protagonizar una parte importante dela investigacin financiera realizada tanto en mbitos profesionales como acadmi-cos, recuperndose, en algunos casos, desarrollos bastante anteriores en el tiempo.ste fue el caso de la duracin, una medida del grado de exposicin al riesgo de in-ters de un activo o cartera de renta fija, cuyo origen se encuentra 1938.

A pesar de las fuertes limitaciones del anlisis de duracin tradicional, queengloba los conceptos de duracin y convexidad, ste sigue siendo consideradoun instrumento bsico en la inmunizacin de carteras debido, bsicamente, a tresrazones: (i) por el hecho de que gran parte de los planteamientos alternativos hansustituido los supuestos en que se basa la duracin por otros igualmente apriorsti-

(*) Deseo agradecer el apoyo prestado por Mara Asuncin Prats y Jos Alberto de Luca y los co-mentarios y sugerencias de dos evaluadores annimos que han contribuido a mejorar la estructurade este trabajo. Agradezco tambin la financiacin de la Fundacin Caja de Madrid.

cos; (ii) porque la evidencia emprica tradicionalmente ha venido mostrando, nosin la inclusin de supuestos muy restrictivos en sus simulaciones, unos resulta-dos muy alentadores a favor de los modelos de duracin ms simples; (iii) por elelevado grado de simplicidad que caracteriza al anlisis de duracin tradicional.No obstante, a lo largo de este ltimo cuarto de siglo, y con un estmulo renovadoen la ltima dcada, han ido surgiendo muy diversos planteamientos alternativosdel modelo de duracin.

Por todo ello, el objetivo de este trabajo es, por una parte, sintetizar algunosde los modelos ms rememorados y las ms recientes extensiones de los modelosde duracin y, por otra, manifestar en qu factores radica el xito que frecuente-mente ha mostrado el modelo tradicional en la investigacin emprica, as comomostrar el estado de la investigacin en torno a los ms recientes planteamientos ysus principales debilidades.

Con tales objetivos, hemos estructurado nuestro trabajo en cuatro secciones.En la primera de ellas partiremos de conceptos bsicos de valoracin de activospara definir la tcnica de la inmunizacin en su concepcin clsica y mostrar lasgrandes restricciones que habitan en el modelo de duracin tradicional. En la se-gunda seccin realizaremos un somero recorrido por las numerosas redefinicionesdel modelo de duracin que se han planteado en las ltimas dos dcadas tantodesde un enfoque terico como emprico. En la tercera seccin se repasar la in-vestigacin emprica realizada en torno a los diferentes modelos, fundamental-mente en el campo de la inmunizacin de carteras de renta fija. Finalmente, en lacuarta seccin se realiza, a modo de conclusin, una valoracin general del cami-no recorrido por la investigacin en el campo que nos ocupa.

1. LA INMUNIZACIN Y EL MODELO TRADICIONAL DE DURACIN

1.1. Inmunizacin, duracin y convexidadLa inmunizacin es una estrategia pasiva en el mbito de las carteras de renta

fija. A diferencia de las estrategias activas, cuyo xito depende de una correcta an-ticipacin por parte del gestor de los desplazamientos de la curva de tipos, las es-trategias pasivas tratan de asegurar un determinado rendimiento para una carterade activos durante un determinado horizonte planificador al margen de cual sea laevolucin de los tipos de inters1. Con este fin, las estrategias pasivas tratan deencontrar un adecuado equilibrio entre dos efectos contrapuestos generados porlos movimientos de la estructura temporal de los tipos de inters (ETTI): el efectoprecio y el efecto reinversin.

Cuando los tipos de inters suben (bajan), los flujos futuros de una cartera derenta fija se descuentan a un mayor tipo de inters con lo que el valor actual de lacartera baja (sube) efecto precio pero, por otra parte, el alza (descenso) de lostipos hace que los flujos que se vayan obteniendo puedan reinvertirse a un mayor(menor) tipo de inters aumentando (descendiendo) el valor final de la inversin

Revista de Economa Aplicada

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(1) Nos referimos al concepto de inmunizacin en sentido fuerte [Bierwag, Kaufman y Toevs(1983)].

Modelos de inmunizacin de carteras de renta fija

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efecto reinversin. La inmunizacin trata, precisamente, de lograr compensarambos efectos, pues ello hace que la cartera se muestre inmune a los cambios enlos tipos de inters.

Desde sus orgenes, la inmunizacin se encuentra estrechamente ligada a laduracin, un concepto debido a Macaulay (1938) que resurgi en repetidas oca-siones en la literatura de primera mitad de siglo bajo diferentes denominaciones.Concretamente, Hicks (1939) y Samuelson (1945) emplearon los trminos venci-miento medio y perodo temporal medio ponderado, respectivamente. Por suparte, Redington (1952), que acu el trmino de inmunizacin para referirse ala inversin en activos de tal forma que el patrimonio existente es inmune a uncambio general en los tipos de inters, haca uso del concepto de trmino mediopara explicar que en un contexto en que la curva de tipos es plana y se desplazaslo paralelamente la inmunizacin se conseguira si los activos eran elegidos detal forma que su trmino medio coincidiera con el de los pasivos y se verificabanciertas condiciones de segundo orden.

De entre todas estas medidas obtenidas de forma independiente fue el trmi-no duracin el que tom popularidad, y ello tras el trabajo emprico de Fisher yWeil (1971). Estos investigadores se interesaron, no por la inmunizacin de unacorriente de pasivos como fue el caso de Redington, sino por la inmunizacin deuna cartera de activos respecto a un determinado y nico horizonte temporal. As,definieron el objetivo de la inmunizacin de la forma en que inicialmente noso-tros hemos hecho: garantizar la rentabilidad de una cartera durante un determi-nado perodo planificador o, dicho de otra forma, que independientemente de cualfuera la evolucin de los tipos de inters, la cartera genere, al menos, la rentabili-dad ofrecida inicialmente por el mercado para dicho horizonte.

Antes de comprobar cmo se puede alcanzar este resultado, es de inters re-flexionar sobre el impacto que los tipos de inters tienen sobre el valor actual deuna cartera de activos. Supongamos, para ello, que se construye una cartera en elinstante actual (0) cuyos flujos de caja vienen dados por F1, F2, ..., Fv. El valorinicial de la cartera vendr dado por:

[1]

donde di es el factor de descuento para el plazo i. Si {0}i es la curva de forwardinstantneos actual,

o, equivalentemente:

donde { 0}i es la ETTI al contado de capitalizacin continua actual.

Supongamos que los tipos al contado de capitalizacin continua cambian ins-tantneamente a { }i. Obviamente, el cambio en el valor actual de la cartera ven-dr dado por:


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Una expansin de Taylor de orden dos del valor actual de la cartera en el en-torno de la ETTI inicial nos permite obtener la siguiente aproximacin al cambioen su valor inicial:

[2]

Atendiendo exclusivamente al primer grupo de trminos, que podemos deno-minar efectos de primer orden del shock, se observa claramente que el aumento delos tipos de inters provoca una reduccin del valor actual de la cartera, ya quepor ahora nicamente estamos considerando el efecto precio. Como asimismo sededuce de la expresin, el impacto del desplazamiento de la ETTI sobre el valorde la cartera depende de la distribucin de sus flujos de caja as como de la mag-nitud del cambio de los tipos de inters. As, dos carteras distintas generarn dife-rentes rendimientos instantneos ante el mismo desplazamiento de la ETTI y lamisma cartera ver variar su valor de forma diferente ante distintos desplazamien-tos de la curva de tipos.

Por tanto, una primera incgnita para descubrir cmo reaccionar nuestracartera es conocer qu tipo de desplazamiento experimentar la ETTI. Desgracia-damente, no es sencillo resolver esta cuestin2. El grfico 1, en donde se han re-presentado los cambios registrados por la ETTI de capitalizacin continua delmercado de deuda pblica espaol cada ao a partir de 1995, nos muestra que stase ha desplazado de forma bien diferente en los aos considerados y que el perfilde los cambios, aunque suave, a priori no admite una sencilla representacin. Encualquier caso, es un hecho que se hace patente en el grfico que los desplaza-mientos no slo afectan al nivel de la curva de tipos, sino tambin de forma signi-ficativa a su pendiente y su curvatura.

En sus orgenes, el modelo de duracin nicamente se ocup del primero delos desplazamientos, que segn muestra la evidencia emprica es el que en mayormedida explica los movimientos de la curva de tipos3 pero que, como hemosvisto, no el nico. Es ms, Macaulay, como consecuencia de las insuperables di-ficultades derivadas de cualquier intento de descubrir las verdaderas tasas de des-cuento para cada perodo futuro [Macaulay (1938), pg. 52], se decant por el

(2) A este respecto puede verse, por ejemplo, Gmez y Novales (1997), en donde, tras la inspec-cin de la curva de tipos del mercado de deuda espaol en el perodo 11/1992 a 10/1996, se con-cluye que no cabe afirmar que el desplazamiento dependa del perfil que inicialmente adopte laETTI y que no se puede asumir que aqul sea paralelo, cuestin sta relevante para el tema queaqu nos ocupa, como se podr apreciar con posterioridad. (3) El cuadro 5 muestra evidencia en este sentido.

uso de la TIR de los bonos en la actualizacin de sus flujos de caja y defini losshocks en trminos del cambio en la TIR, supuestos ambos que carecen de rigorsiempre y cuando la curva de tipos no sea plana y se desplace exclusivamente deforma paralela.

Este supuesto de curva plana fue superado en el planteamiento de Fisher yWeil (1971) que, no obstante, sigui asumiendo como nico desplazamiento elparalelo, en este caso en la curva de tipos forward instantneos o, lo que es equi-valente, en la curva de tipos al contado de capitalizacin continua4. La expresin[2], en este contexto, podra reescribirse:


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Grfico 1: DESPLAZAMIENTOS ANUALES DE LACURVA DE TIPOS ESPAOLA: 1995-1999

2

1

0

-1

-2

-3

-4

Des

plaz

amie

nto

(pp.)

0 2 4 6 8 10 12 14

Plazo (aos)

1999

19981997

1996

1995

donde el desplazamiento paralelo se define como i = i. Dividiendo por elvalor inicial de la cartera obtenemos la aproximacin a la rentabilidad instantneaque se explica por los conceptos de duracin (de Fisher y Weil) y de convexidad:

(4) Un desplazamiento paralelo de la ETTI de capitalizacin continua equivale a uno multiplicati-vo en la ETTI de capitalizacin compuesta puesto que entre ambas se mantiene la relacin

exp [i] = (1 + ri)donde ri es el tipo de inters de capitalizacin compuesta para el plazo de i perodos.

donde la duracin y convexidad, en este contexto, vienen dadas por las siguientesexpresiones5:


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[3]

[4]

Como se observa en la expresin [3], mientras que la duracin guarda rela-cin con el efecto de primer orden del desplazamiento de la curva de tipos, la con-vexidad interviene en la cuantificacin del efecto de segundo orden. Si la convexi-dad es positiva, circunstancia que en el contexto del modelo tradicional sucedesiempre si hablamos de un nico bono con cupones o de una cartera de ellos endonde no existen posiciones en corto, el sumando de la convexidad ser positivo.Por ello, se argumenta habitualmente que la aproximacin al riesgo de precio queofrece la duracin es una valoracin pesimista, es decir, sobrevalora las cadas enel precio e infravalora los ascensos, y tanto ms cuanto mayor sea la convexidadde la cartera y el cambio en los tipos de inters. Teniendo en cuenta esto, la impli-cacin de una mayor convexidad en el contexto del anlisis tradicional es clara: aigual duracin, una mayor convexidad supondr cambios en los precios en res-puesta a cambios en el rendimiento ms favorables para el inversor.

Al igual que la duracin, la tcnica de la inmunizacin, en sus orgenes, asumisupuestos muy restrictivos. Concretamente, Redington consider curvas de tiposplanas que se desplazaban paralelamente; posteriormente, Fisher y Weil, como co-mentamos, levantaron el supuesto de una curva plana y definieron los shocks (ocambios no anticipados de la curva de tipos) como aqullos no explicados por elmovimiento implcito de la curva (versin fuerte de la teora de las expectativaspuras). Trabajando en el contexto anteriormente considerado, el teorema de inmuni-zacin de Fisher y Weil demostraba que la inmunizacin frente a un nico shock quese produce instantneamente tras la constitucin de la cartera y que adopta la formade un movimiento paralelo de la curva de tipos de capitalizacin continua se lograrasi se igualaba la duracin de la cartera a la amplitud del horizonte planificador. Lajustificacin terica de este argumento es bien sencilla, como se ver a continuacin.

(5) En el contexto de Macaulay, la duracin y la convexidad se definen de forma diferente. Con-cretamente, denotando por y la TIR del bono o la cartera,

y la rentabilidad instantnea viene dada por

Sea { 0}i la ETTI inicial de capitalizacin continua y la magnitud delshock paralelo. En ausencia de shocks, el valor de la cartera al cabo de un hori-zonte planificador de H perodos vendr dado por:


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Si tiene lugar el shock instantneamente tras la constitucin de la cartera y notiene lugar ninguno ms hasta el perodo H, los valores inicial y final de la carterasern:

La cartera estar inmunizada si PH PH , o lo que es equivalente, si() = PH PH 0 . Las dos primeras derivadas con respecto a de esta dife-rencia son:

como se puede deducir, si la cartera no est compuesta de un nico bono cupn cerocon vencimiento en H y todos los flujos de caja son no negativos, Fi 0 i, enton-ces () > 0, es decir, () es una funcin estrictamente convexa del shock.Consecuentemente, si la cartera se configura de tal forma que (0) = 0, la mnimadiferencia posible ser cero y se alcanzar cuando no tenga lugar shock alguno,(0) = 0. Cualquier shock, 0, en definitiva, procurar mayores rendimientosde los que inicialmente se prometan para dicho horizonte planificador, con lo quela cartera estara inmunizada. La condicin para que (0) = 0 viene dada por:

donde el primer trmino, como se puede comprobar, es la duracin de Fisher yWeil. En definitiva, y como anticipbamos, si la duracin coincide con el horizon-te planificador o, lo que es equivalente, con la duracin de un bono cupn cerocon vencimiento al final del horizonte, la cartera estar inmunizada, ya que los

efectos de primer orden del shock se anulan y se obtienen ganancias por convexi-dad. Si, por contra, la duracin y el horizonte no coinciden, los efectos precio yreinversin no se compensarn y uno dominar al otro. Concretamente, si la dura-cin supera al horizonte planificador, si los tipos suben el efecto precio (negativo)superar al efecto reinversin (positivo) y el rendimiento generado ser inferior alprevisto. Lo contrario sucede si los tipos de inters descienden o si la duracin esinferior al horizonte planificador.

1.2. Una sencillez basada en el simplismo: las limitaciones del modelotradicionalLa duracin y la convexidad tradicionales son, como hemos visto, conceptos

extremadamente sencillos, lo que favoreci su amplia expansin durante aos. Sinembargo esta sencillez descansa, en gran medida, en los restrictivos supuestossobre los que se basan.

En particular, el concepto de duracin de Macaulay supone una ETTI planaque se desplaza paralelamente y que valida la TIR como tasa a la que realizar eldescuento de los flujos de caja y como factor de riesgo que se desea gestionar. Elmodelo de Fisher y Weil, aunque elimina el supuesto de ETTI plana, sigue consi-derando el desplazamiento paralelo como el nico relevante. Por ltimo, enambos casos se supone que los cambios en la ETTI son instantneos en el sentidode que se supone que se agotan en un slo momento, es decir, que todo el cambiose produce en un instante y, por otro lado, instantneo desde el mismo momentoen que dicho cambio se produce tras la constitucin de la cartera. Dicho de otraforma, la duracin y convexidad tradicionales miden el riesgo que se derivara deun cambio inmediato en la curva de tipos, pero no de un cambio que tenga lugaren el futuro o se distribuya a lo largo del tiempo.

La clara irrealidad de tales supuestos, sobre todo el que identifica los despla-zamientos de la curva de tipos con un mero cambio en su nivel, han motivado eldesarrollo en la literatura financiera de frmulas alternativas que tratan de recogerms eficazmente y en un contexto ms flexible el verdadero riesgo de inters delas carteras de renta fija. No obstante, muchas de las redefiniciones reposan en unplano estrictamente terico y el concepto tradicional de duracin al que comple-menta la convexidad, aun a pesar de sus limitaciones, sigue siendo considerado uninstrumento bsico en la gestin de carteras y patrimonios. Sin duda alguna, elxito que los modelos de duracin ms simples (bsicamente los tradicionales)mostraron en la investigacin emprica realizada hasta la dcada de los ochentapromovi su extensin aunque, como se ver posteriormente, sus resultados hande analizarse con cierta cautela.

2. OTROS MODELOS DE DURACIONES

En esta seccin veremos los modelos de duracin ms destacados que se hapropuesto en la literatura financiera durante ms de veinte aos de investigacincon el objetivo de solventar, en alguna medida, las limitaciones del modelo tradi-cional. De forma previa a nuestra exposicin, se muestra de inters comentar tresaspectos.


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En primer lugar, es importante destacar que las restricciones de inmunizaciny la duracin (o vector de duraciones, en el caso de definirse varios factores deriesgo) dependen, obviamente, del proceso de cambios asumido para la ETTI. Esms, existen procesos para los cuales es imposible inmunizar en la medida en queno es posible encontrar un bono que genere, al menos, el rendimiento ofrecidoinicialmente por el mercado6.

En segundo lugar, algunos de los modelos que se han venido planteando con-sideran la inmunizacin, no como una tcnica que garantiza la obtencin, comomnimo, del rendimiento inicialmente prometido por el mercado, sino como la bs-queda de carteras cuya sensibilidad a los cambios en los tipos de inters es mni-ma. Ello supone un importante cambio en el marco de referencia ya que, mientrasque en el primer caso, como hemos visto, juega un papel fundamental que el valorfinal de la cartera sea una funcin convexa del shock, en el segundo no es as. Con-secuentemente, los modelos que buscan la minimizacin de sensibilidades, a dife-rencia de los modelos que buscan una rentabilidad garantizada, suelen admitir po-siciones en corto y plantean la inmunizacin como la construccin de una carteratal que su valor sea siempre lo ms cercano posible al valor de un bono cupn cerocon vencimiento al final del horizonte planificador ya que ste, por definicin, ge-nerar el rendimiento inicial. No obstante, si se considera que los efectos de segun-do orden de los desplazamientos de la ETTI son mnimos en la explicacin de losrendimientos, como parece apuntar la evidencia emprica obtenida por Kahn y Lo-choff (1990) y Lacey y Nawalkha (1993) en el caso estadounidense y por Soto(2001) en el espaol, el resultado obtenido segn ambas formas de proceder ha deser muy similar siempre y cuando los modelos estn bien especificados.

Por ltimo, habra que distinguir entre dos enfoques que se han venido utili-zando en la literatura para proponer nuevas medidas de duracin tanto en el pasa-do como en la actualidad: el enfoque emprico y el terico.

Por una parte, los que podemos denominar modelos empricos tratan de ajustarlos desplazamientos y perfiles de la ETTI observados mediante diversas formasfuncionales para posteriormente elaborar las medidas de duracin o sensibilidad co-herentes con dichos desplazamientos o bien, trasladando la prueba emprica al final,evalan la validez de medidas de sensibilidad derivadas de desplazamientos de lacurva de tipos muy simples que, a pesar de ello, pueden recoger una parte bastantesignificativa de la variabilidad efectiva de los tipos de inters. Todo ello se realizaobviando cualquier consideracin en torno a si el cambio de las variables de estado(o factores de riesgo) es coherente con el equilibrio del mercado (ausencia de posi-bilidades de arbitraje). Por ello, no es de extraar que las principales crticas que serealizan a estos modelos procedan del enfoque terico y se centren en esta cuestin.

Los modelos tericos, por su parte, ms escasos y conducentes a duracionescon expresiones ms complejas, con frecuencia denominadas duraciones estocsti-


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(6) Esta cuestin se aborda en Balbs e Ibez (1998), quienes establecen una clara separacinentre carteras maximin (carteras que maximizan el mnimo rendimiento alcanzable) y carteras in-munizadas (que garantizan la obtencin del rendimiento inicialmente prometido por el mercado).Balbs e Ibez muestran, en un contexto muy general, que toda cartera inmunizada es una carteramaximin pero que la implicacin inversa no es necesariamente cierta.

cas o generalizadas, parten de una caracterizacin tericamente coherente de laETTI y de su dinmica estocstica para derivar, a partir de ella, la/s medida/s deduracin correspondientes. El hecho de que las variables de estado de estos mode-los y los procesos estocsticos que rigen su evolucin se hayan de especificar apriori, junto con la circunstancia de que el nmero de variables de estado ha de sermuy reducido (generalmente, una o dos) para garantizar una mnima manejabilidadanaltica, son las principales limitaciones a las que se enfrenta el enfoque terico.

En ambos casos, y como se ver a continuacin, nos encontramos con mode-los unifactoriales, en donde se considera una sola fuente de incertidumbre (o fac-tor de riesgo), y modelos multifactoriales, con varios factores.

Obviamente, los modelos unifactoriales (en donde se incluyen los de Macau-lay y Fisher y Weil) tienen a su favor el hecho de que son mucho ms sencillos,cuestin sta que resulta de especial transcendencia en el caso de los modelos te-ricos. Sin embargo, plantean un serio inconveniente, y es que el reconocimientode que existe una nica fuente de riesgo lleva implcito el supuesto de que los ren-dimientos de los bonos estn perfectamente correlacionados, algo que no pareceapoyar en absoluto la evidencia emprica. Por ello, en las dos ltimas dcadas losesfuerzos se han dirigido en mayor medida a plantear modelos multifactoriales.

Sin duda, dentro del conjunto de modelos multifactoriales son los empricoslos que han aparecido con mayor profusin. Posiblemente, tras la primaca de losmodelos empricos frente a los tericos se encuentra el hecho de que los esfuerzosrealizados para desarrollar nuevos modelos de duracin tienen como objetivo me-jorar las coberturas en un caso extremo, inmunizar y, en este campo, los profe-sionales de las finanzas y los academicistas suelen no coincidir. Hull expresa estadesavenencia de la siguiente forma: En cualquier modelo para r que usemos, slohay determinadas formas en que la estructura temporal puede moverse. Los puris-tas pudieran argumentar que slo se debera cubrir frente a esos movimientos con-cretos en vez de frente todos los posibles movimientos. En la prctica, sin embar-go, se sigue usualmente el procedimiento descrito con anterioridad aunque es encierta medida inconsistente con el modelo que se est usando. Podemos estableceruna analoga con el modelo de Black-Scholes por lo que le concierne. Cuando sevaloran opciones sobre acciones, los analistas suelen suponer que la volatilidad esconstante pero, cuando cubren, reconocen que el modelo es imperfecto y cubrenante cambios en la volatilidad calculando los parmetros vega [Hull (1993), pg.409]. Parece, pues, que las limitaciones a las que se enfrentan los modelos tericosson la fuente de su escasa aplicacin para la gestin del riesgo de inters7.

2.1. Propuestas desde un enfoque empricoDesde el trabajo, pionero en muchos aspectos, de Fisher y Weil, surgi un

gran inters por plantear nuevos modelos de duracin. Desde la ptica emprica, yen un contexto univariante, destacan, siguiendo un orden cronolgico, los trabajosde Bierwag y Kaufman (1977), Bierwag (1977), Khang (1979) y Babbel (1983).


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(7) Es de inters sealar que en el campo de la inmunizacin los modelos tericos se enfrentan aun problema aadido, y es que son muy sensibles a errores de especificacin en el largo plazocuando ste es, precisamente, el horizonte para el que se plantea la inmunizacin.

Mientras que en los dos primeros casos el desplazamiento de la curva detipos (de capitalizacin discreta en el primer trabajo y de capitalizacin continuaen el segundo) se especificaba de forma ad-hoc, en particular, dndole un perfilparalelo y multiplicativo, en los otros dos el objetivo prioritario es tratar de reco-ger la verdadera dinmica de los tipos de inters. As, Khang (1979) define dostipos de desplazamientos coherentes con el hecho de que la volatilidad de lostipos de inters desciende a medida que aumenta el plazo y Babbel (1983) optapor que sea la propia curva de tipos la que exprese, mediante el uso de tcnicas deestimacin, la dependencia entre los cambios en los tipos a corto plazo y los cam-bios en los restantes tipos. Avanzando incluso un paso ms, Babbel reconoca laposibilidad de que dicha dependencia variara a lo largo del tiempo y que pudieraser predecible. En el cuadro 1 se concretan las duraciones correspondientes a losshocks anteriores. A modo de ilustracin, en el grfico 2 se han representado nue-vas curvas de tipos que resultan de aplicar los shocks anteriores (exceptuando elde Babbel) a la ETTI vigente el ltimo da hbil de 1999.

La insuficiencia de los modelos univariantes para captar la dinmica de lacurva de tipos despert el inters por plantear nuevos procesos de cambio y mode-los de duracin de carcter multifactorial, ello a pesar de que la evidencia empri-ca obtenida hasta mediados de los ochenta referida a la inmunizacin de carterasde renta fija apoyaba el uso de la duracin tradicional, como veremos en la terceraseccin. El desarrollo de modelos empricos multifactoriales, en contra de lo quepudiera parecer, ya se inici en los primeros aos de andadura del concepto deduracin, pudindose destacar el trabajo ya citado de Bierwag (1977), en dondese combinaban los desplazamientos paralelo y multiplicativo en uno solo, y un in-teresante artculo de Cooper (1977).

Si dejamos al margen el de Bierwag, y tratamos de establecer una clasifica-cin de los numerosos modelos multifactoriales empricos que se han venidoplanteando, podramos distinguir entre modelos de duraciones paramtricas, deduraciones direccionales y, por ltimo, de duraciones parciales8. Resumidamen-te, sus caractersticas diferenciales vendran a ser las siguientes:

Los modelos de duraciones paramtricas parten del uso de formas funcio-nales multiparamtricas para el ajuste de la curva de tipos y, por ende, de sus des-plazamientos.

Las duraciones direccionales recogen la sensibilidad de las carteras a unnmero limitado de factores, observables o no, que dirigen el movimiento de lacurva de tipos.

Por ltimo, las duraciones parciales cuantifican la sensibilidad de un acti-vo de renta fija a cambios en un limitado conjunto de tipos de inters.


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(8) Se ha de hacer constar que la denominacin que otorgamos a los modelos no coincide necesa-riamente con la original, ya que sta, en muchos casos, o bien no ofrece informacin en torno a susfundamentos, o bien puede inducir a confusin al coincidir con otras definidas en trminos biendistintos o, por otra parte, distanciarse de otras que cuentan con una base similar. Es ms, en algu-nos casos ni tan siquiera se les denomina modelos de duracin.

Revista de Econom

a Aplicada

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Cuadro 1: MODELOS DE DURACIN UNIFACTORIALES EMPRICOS MS REPRESENTATIVOS

Trabajos

Fisher y Weil(1971) Paralelo

Multiplicativo

log-multiplicativo

log-aditivo

Variable en elplazo y entiempo

Bierwag (1977)

Khang (1979)

Babbel (1983)

Tipo dedesplazamiento

Especificacin delmodelo para la ETTI Definicin de la duracin

con i variable a lo largodel tiempo

Notas: desplazamientos definidos sobre la curva de tipos al contado de capitalizacin continua salvo en el caso de Babbel (1983), en donde el shock se de-fine sobre los tipos de capitalizacin compuesta (r).

2.1.1. Modelos de duraciones paramtricasEn este primer grupo de modelos, el de duraciones paramtricas, las medidas

de duracin se definen a partir de la sensibilidad que los activos de renta fijamuestran al cambio en los parmetros de alguna forma funcional que permiteajustar empricamente9 la curva de tipos.

La idea, por tanto, es sencilla. Cualquier curva de tipos, como su propio nom-bre indica, es una curva que puede ajustarse con mayor o menor precisin mediantefunciones matemticas dependientes de un nmero limitado de parmetros. Habien-do elegido una funcin concreta como la ms idnea para este ajuste, los cambiosde los tipos de inters configurarn nuevas curvas que podrn ajustarse mediante lamisma forma funcional, pero ahora con unos parmetros diferentes. As, los par-metros constituyen los factores de riesgo ante los cuales ha de computarse la sensi-bilidad del valor del activo o la cartera para gestionar el riesgo de inters.

La dificultad evidente de esta tarea reside en la eleccin de la funcin quepueda ajustar los muy diversos perfiles que la curva de tipos registrar a lo largodel tiempo. Es tanto as que en el mencionado trabajo de Cooper (1977), que seincluira dentro de esta categora de modelos, se llegan a considerar hasta cuatro


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Grfico 2: CURVAS DE TIPOS TRAS CIERTOS SHOCKS UNIVARIANTES

10,00

9,00

8,00

7,00

6,00

5,00

4,00

3,00

Tipo

s de

inte

rs (

%)

0 2 4 6 8 10 12 14

Plazo (aos)

1999

Log-mult

Paralelo

Multipl.

Log-adit

(9) Con el calificativo de emprico nos referimos al hecho de que las funciones utilizadas no sur-gen de un modelo terico para la curva de tipos, pues stos dan lugar a modelos de duraciones es-tocsticas. En el campo de la estimacin de los tipos de inters a partir de las cotizaciones de losactivos con cupn, al igual que sucede en la prctica de las coberturas, los modelos de ajuste emp-ricos son los que gozan de mayor aceptacin en el mbito profesional.

formas funcionales multiparamtricas para el ajuste de la ETTI de capitalizacincontinua: las propuestas por Cohen, Kramer y Waugh (1966), por Bradley yCrane (1973)10, lo que vendra a ser una simplificacin de la forma funcional pro-puesta por Nelson y Siegel (1987) para la estimacin de la ETTI y una ltima fun-cin ms sencilla que la anterior pero en la misma lnea.

La amplitud de los desarrollos de Cooper nos obliga a omitir la exposicinde su modelo. No obstante, a continuacin nos centraremos en el modelo de Will-ner (1999) y Gmez (1999), en donde se recurre, precisamente, a la forma funcio-nal propuesta por Nelson y Siegel (1987) para obtener un modelo de duracionesque podemos denominar de duraciones exponenciales basndonos en el tipo deexpresiones que se obtienen para la duracin.

La eleccin de la ecuacin de ajuste de Nelson y Siegel por parte de estos au-tores radica, por una parte, en su elevada capacidad para ajustar la nube de tiposde inters y, por tanto, sus desplazamientos y, por otra, en la interpretabilidad desus parmetros, que constituyen los factores de riesgo cuya influencia sobre lacartera se ha de gestionar. Una somera explicacin del modelo de Nelson y Siegelnos permitir ilustrar estas cuestiones.

Nelson y Siegel (1987) contemplaron la posibilidad de que la ETTI de capi-talizacin continua viniera dada por:


70

[5]

donde: 1 es el tipo al contado asinttico (1 = ). Como se aprecia, los cambios

en este parmetro indican un cambio en el nivel de la curva de tipos. 1 + 2 es el tipo al contado para un plazo infinitesimalmente pequeo

(1 + 2 = 0). Por consiguiente, 2, sera la diferencia entre el tipo asinttico yel instantneo, e informara, as, en cierta medida, de la pendiente de la curva detipos. Un 2 indicara un descenso de la pendiente de la curva de tipos.

El signo del parmetro 3 determina la existencia de un mximo interior (sies positivo) o de un mnimo interior (si es negativo) o monotonicidad (si 3 = 0)en la curva de tipos. Por lo anterior, y teniendo en cuenta que la incidencia de esteparmetro sobre los tipos a corto plazo y a largo plazo es reducida, puede enten-derse que es indicativo de la curvatura que presenta el tramo intermedio de laETTI. Un 3 indicara un mayor grado de concavidad en una curva inicialmentecncava o un menor grado de convexidad en una convexa.

Por ltimo, indica, con su descenso, un mayor ritmo de acercamiento delos forwards instantneos a su valor asinttico 1 y con su aumento, una menorvelocidad de alcance.

(10) Si bien ambas funciones se plantearon para el ajuste de la nube de TIRs, Cooper las aplica alos tipos cupn cero de capitalizacin continua para obtener sus medidas de duracin.

Definida la curva de tipos de capitalizacin continua segn [5], es inmediatoobtener una expresin para el cambio en el valor de la cartera como consecuenciade un shock instantneo11. En su aproximacin lineal, vendra dada por:


71

(11) Willner inicialmente aplica el modelo de Nelson y Siegel para aproximar la curva de TIRs.Posteriormente, y reconociendo que con ello se consigue un ajuste ms preciso, aproxima los tiposde capitalizacin compuesta. Nosotros, no obstante, exponemos el modelo en trminos de los tiposde capitalizacin continua por homogeneidad. Gmez (1999), que ampla el modelo de Willner,trabaja tambin con tipos de capitalizacin continua.

[6]

En este modelo, las medidas de duracin se definiran como:

[7]

representando, respectivamente, la sensibilidad relativa del valor de la cartera acambios en el nivel, la pendiente, la curvatura y la velocidad de convergenciahacia el tipo asinttico de la curva de tipos.

La inmunizacin del valor de la cartera para un horizonte de H perodos re-querir igualar las cuatro medidas de duracin a las de un bono cupn cero convencimiento en H y, siguiendo los supuestos de Gmez (1999), que las convexida-des sean no negativas. Centrndonos en las condiciones de primer orden, las res-tricciones a imponer seran:

Mucho ms simple que el anterior resulta el modelo de duraciones polino-miales propuesto por Chambers y Carleton (1988) y Prisman y Shores (1988)puesto que, frente a la difcil forma funcional de Nelson y Siegel que se traduceen tambin difciles medidas de duracin, de lo que se parte en este caso es de unmero ajuste polinomial de la ETTI de capitalizacin continua y de sus desplaza-mientos. De hecho, la eleccin de un polinomio para ajustar los desplazamientosse justifica, precisamente, por la sencillez del vector de duraciones que se obtiene,a lo que habra de unirse un argumento adicional, y es que toda funcin continua,como en teora ha de ser ETTI y, por ende, sus desplazamientos, puede aproxi-marse con bastante precisin por un polinomio.

Aunque Chambers y Carleton (1988) y Prisman y Shores (1988) parten delmismo tipo de ajuste y centran su inters en la inmunizacin de una cartera de ac-tivos, los dos trabajos difieren considerablemente entre s. As, por ejemplo, en lalnea de lo comentado al inicio de esta seccin, puede decirse que mientras quePrisman y Shores entienden la inmunizacin como la garanta de una rentabilidadmnima, Chambers y Carleton la plantean como una mera minimizacin de sensi-bilidades, lo que les permite, a diferencia de Prisman y Shores, considerar posi-ciones en corto en bonos a la hora de construir carteras inmunizadas. Puesto queeste tipo de posiciones son estrictamente necesarias para construir una cartera queverifique el conjunto de restricciones de inmunizacin del modelo polinomial,mientras que Chambers y Carleton hablan de la posibilidad de eliminar por com-pleto el riesgo de inters, Prisman y Shores plantean diferentes estrategias en lasque la inmunizacin frente a un tipo de desplazamiento de la curva de tipos ha dehacerse a costa de aceptar una cierta exposicin frente a otros tipos de cambios.

Por otra parte, Chambers y Carleton contemplan la posibilidad de shocks noinfinitesimales, lo que les lleva a utilizar un desarrollo de Taylor de orden T, conT > 1 para aproximar el valor de la inversin y, por ltimo, eliminan el supuestode cambios instantneos en la ETTI desarrollando por Taylor el valor de la carteraen un momento futuro.

En las lneas que siguen utilizaremos el marco de anlisis de Chambers yCarleton para presentar el modelo polinomial, si bien por homogeneidad con elresto del trabajo supondremos que el desplazamiento de la ETTI se produce ins-tantneamente tras la constitucin de la cartera. As, supongamos que los despla-zamientos no implcitos de la ETTI de capitalizacin continua son aproximablespor polinomios en el plazo de grado p 1, es decir:


72

[8]

donde s, s = 1, ..., p, son los coeficientes del polinomio que ajusta el desplaza-miento de la ETTI.

Si el shock que desplaza la ETTI de su senda implcita tiene lugar instantne-amente tras la constitucin de la cartera, entonces el cambio relativo en el valor dela cartera vendr aproximado por:

De la expresin anterior se deducen medidas de duracin de la forma:


73

[9]

[10]

y la inmunizacin de la cartera para un horizonte de H perodos exigir que Ds = Hspara todo s, con s = 1, ..., Tp. Si nos centramos exclusivamente en los efectos deprimer orden del shock, podemos comprobar cmo la primera de las restricciones,D1 = H, asla la cartera de desplazamientos paralelos de la curva de tipos; la se-gunda, D2 = H2, de cambios en la pendiente en sentido estricto; la tercera,D3 = H3, de cambios con un perfil cuadrtico en el plazo y as sucesivamente.

En un intento de valorar los dos modelos de duraciones paramtricas quehemos planteado, podramos decir que, como anticipamos, el modelo polinomial dalugar a expresiones mucho ms sencillas e intuitivas para el vector de duracionesque el modelo exponencial. Sin embargo, presenta un inconveniente fundamental, yes su falta de eficiencia. Esto es, el modelo polinomial, en la medida que inmunizafrente a cualquier desplazamiento con perfil suave de la curva de tipos, est inmuni-zando con respecto a shocks poco o muy poco probables que no preocuparan a ungestor pero que, sin embargo, limitan sus grados de libertad a la hora de administrarla cartera. Por contra, el modelo exponencial, restringe el tipo de desplazamientos(pensemos, por ejemplo, en el hecho de que stos siempre presentarn una asntotahorizontal) y, puesto que el modelo de Nelson y Siegel de ajuste de la curva detipos es uno de los que gozan de mayor aceptacin, cabe suponer que los shock ad-misibles son suficientemente cercanos a la realidad. Sin embargo, frente a esta ven-taja, el modelo exponencial presenta un handicap aadido a sus difciles expresio-nes, y es que el gestor ha de disponer con frecuencia de series de tipos cupn cerofiables pues ha de estimar tres de los cuatro parmetros de la ecuacin de Nelson ySiegel para obtener las cuatro medidas de duracin o, en el caso de renunciar a laltima, uno de los cuatro, concretamente el parmetro , que mide la velocidad deconvergencia hacia el tipo asinttico. Una solucin a este problema, agravado porel hecho de que este parmetro resulta ser muy voltil12 y ha de estimarse mediantemtodos no lineales, pasara por suponerlo constante como asume Willner, con loque su estimacin slo habra de realizarse con escasa frecuencia13.

(12) Sirva para ilustrar este hecho que para la totalidad del perodo considerado por Gmez y No-vales (1997), que se extiende de noviembre de 1992 a octubre de 1996, el coeficiente de variacinde este parmetro fue del 58,17%.(13) De hecho, Willner (1996), Barrett, Gosnell y Heuson (1995) y los propios Nelson y Siegel (1987)comentan que el ajuste de la curva es relativamente insensible a los cambios en este parmetro.

2.1.2. Las duraciones direccionalesEn el segundo grupo de modelos, el de duraciones direccionales, se parte de

las interrelaciones entre los tipos de inters como forma de identificar, sobre labase de la informacin pasada de los desplazamientos de la curva de tipos, unconjunto limitado de variables, observables o no, que dirijan con considerableprecisin el patrn de cambios de la ETTI y que, por tanto, constituyen el compo-nente aleatorio cuya influencia sobre el valor de una cartera se trata de gestionar.

En particular, en los modelos de duraciones direccionales se trata de identifi-car las variables de estado xj, j = 1, ..., J, que mejor explican la serie temporal decambios no anticipados en la ETTI segn el modelo lineal:


74

[11]

donde, de nuevo,i es el tipo cupn cero de capitalizacin continua a plazo de iperodos, los j son parmetros constantes en el tiempo y diferentes para cadatipo de inters, y es el componente no sistemtico del cambio en cada tipo querecoge, por tanto, la dinmica no explicada por las variables comunes xj.

La expresin anterior nos permite redefinir la variacin no anticipada y siste-mtica del precio de un activo o cartera de ellos en funcin, exclusivamente, delcambio en las variables de estado. En concreto, la aproximacin lineal al rendi-miento instantneo de la cartera derivado de un shock instantneo vendra dada por:

[12]

Podemos ahora definir un nuevo vector de duraciones de dimensin J conelementos:

[13]

que denominamos genricamente duraciones direccionales, en la medida en queincorporan dentro de su definicin el vector director de los cambios en el conjun-to de tipos implicados en la valoracin de la cartera por unidad de cambio en lasvariables de estado que explican la dinmica de la ETTI.

La inmunizacin de una cartera para un horizonte de H perodos exigir elcumplimiento simultneo del conjunto de restricciones Dj = j,H H con j = 1, ..., J.Por supuesto, en el caso de que la inmunizacin se plantee como garantizar la ren-tabilidad inicialmente prometida, adicionalmente se exigirn condiciones de se-gundo orden.

Una vez especificado el modelo, un segundo paso sera elegir las variables deestado y determinar los parmetros de las ecuaciones de reaccin que ligan elcambio en aqullas con el desplazamiento de la curva de tipos. En este sentido,hemos de hacer un especial hincapi en el hecho de que estos modelos slo recu-rren a la historia de los cambios de la ETTI para tal fin, ya que ste es el elemento

que les diferencia de las especificaciones ad-hoc de los shocks (paralelos, multi-plicativos, funcionalmente dependientes de variables de estado preespecificadas,etc.) que caracterizan a buena parte del resto de modelos, sobre todo a los de corteterico. Esta subordinacin a los datos convierte a los modelos direccionales enlos ms acordes al pasado de las series de tipos pero, al mismo tiempo, abre unfrente peligroso, y es que la validez de estos modelos para la gestin del riesgo deinters depende de que los desplazamientos futuros de la ETTI repliquen el patrnde los cambios acaecidos en el pasado. Por supuesto, se puede argumentar queconviene ir realizando una revisin de las variables de estado y de los parmetrosde las ecuaciones de reaccin a lo largo del tiempo para adecuarlos en mayor me-dida a la dinmica actual del mercado, lo cual est fuera de toda duda y, adems,resulta un ejercicio deseable para aumentar la confianza del gestor en su modelo.Ahora bien, tambin es claro que una cierta estabilidad temporal del modelo esuna cualidad deseable, no slo para evitar nuevos costes de transaccin en las re-estructuraciones de cartera y minimizar el riesgo de proceso estocstico, sino tam-bin porque la necesidad de realizar actualizaciones planteara una serie de nue-vos interrogantes tales como cul ha de ser su frecuencia o cul la dimensin de laventana de datos histricos de la que obtener las estimaciones.

Dependiendo del tipo de variable de estado que se seleccione, dentro del grupode modelos de duraciones direccionales podemos distinguir los de componentesprincipales y los de tipos ptimos. Mientras que los primeros seleccionan como va-riables de estado las resultantes de la aplicacin de la tcnica estadstica del anlisisde componentes principales a la historia de los cambios en la ETTI, los segundoseligen una combinacin de tipos de inters siguiendo algn criterio de ajuste.

En particular, en el primer trabajo en donde se plantea un modelo de tiposptimos, el de Elton, Gruber y Michaely (1990), se propone, para un modelo bi-variante, ordenar la capacidad explicativa de las combinaciones dos a dos de losdiversos tipos de inters en la explicacin de la dinmica del tipo a plazo i segnel valor del producto del R2 de la estimacin MCO de la ecuacin [11]14 y la va-rianza de la variable explicada, es decir, segn R2i 2i.

Ahora bien, puesto que los tipos ptimos lo han de ser para el conjunto detipos de inters, aqullos se definan como la combinacin de tipos (y, z) quemaximizara15:


75

(14) Para evitar problemas de multicolinealidad en la estimacin, la expresin [11] se reescribe entrminos del tipo a menor plazo y la diferencia entre el tipo a mayor plazo y el anterior (o viceversa).(15) Ntese que la inclusin de las varianzas en el criterio de seleccin favorece el ajuste, dada lamisma ponderacin, de los tipos ms voltiles.

donde w es un vector de ponderaciones (no negativas). Por supuesto, la eleccinde un esquema de ponderaciones adecuado para el uso que se va a dar al modeloes una cuestin de gran relevancia, ya que diferentes ponderaciones pueden darlugar a resultados bien distintos, en la medida en que sacrifican el ajuste de deter-minados tipos en favor de un mayor ajuste de otros.

2.1.3. Las duraciones parcialesBajo esta denominacin recogemos un ltimo conjunto de modelos de dura-

cin que concluye en la obtencin de un vector de duraciones cuyos elementos,las duraciones parciales, cuantifican el impacto sobre el valor de la cartera de loscambios en un conjunto de tipos de inters, denominados vrtices de la estructurade tipos, elegidos generalmente de forma ad-hoc. El desplazamiento de la ETTIse define, ahora, por el cambio no anticipado en los tipos de inters vrtices.

El precursor del modelo que aqu presentamos16 es Reitano (1990, 1992,1993, 1996), para quien los cambios en la ETTI, trasladados al contexto de capi-talizacin continua que venimos utilizando, vendran dados por = (i1, i2,..., ip) donde p es el nmero de tipos vrtices considerados.

Puesto que se supone que los tipos a otros vencimientos dependen de los ptipos identificados segn alguna especificacin funcional, tal como la interpola-cin [Reitano (1996), pg. 72], asimismo lo sern sus cambios, de forma quebasta calcular la sensibilidad de la cartera a los cambios en los tipos vrtices paradefinir completamente el impacto sobre el valor de la cartera de cualquier despla-zamiento de la ETTI. En el grfico 3 se ilustra el tipo de ajuste que se consiguedel desplazamiento de la curva de tipos espaola en diciembre de 1999 medianteel uso de tipos vrtices definidos como los tipos a plazos de 15, 12, 9, 6, 3 aos yun mes y un esquema de interpolacin lineal para los plazos intermedios.

La aproximacin lineal al rendimiento instantneo de la cartera en este mo-delo vendra dada por:


76

(16) Por razones de brevedad, slo exponemos en estas lneas el modelo planteado por Reitano, sibien en este grupo de modelos se incluiran tambin los propuestos por Johnson y Meyer (1989) yHo (1992), entre otros.

[14]

donde Dpj es la duracin parcial respecto al j-simo tipo vrtice, definida como:

[15]

expresin en la que, para la interpolacin lineal por tramos propuesta, los j,i seanulan para todo tipo vrtice j no contiguo al tipo a plazo i y para todo tipo aplazo i coincidente con un tipo vrtice que no es el j-simo. La inmunizacin deuna cartera segn este modelo exigira, como condiciones de primer orden, elcumplimiento del conjunto de restricciones Dpj = j,H H con j = 1, ..., p.

Lgicamente, cuanto mayor sea el nmero de tipos vrtices consideradostanto mayor ser la capacidad del modelo para representar cualquier desplaza-miento de la curva de tipos, pero tambin, en la inmunizacin de carteras, la ten-dencia hacia el cash-flow matching (rplica de los flujos de caja) de un activocupn cero con vencimiento al final del horizonte planificador. En este sentido,Hill y Vaysman (1998), entre otros, han calificado al modelo de duraciones par-

ciales como de ineficiente, ya que, al igual que el polinomial, cubre e inmunizaante desplazamientos improbables al no tener en cuenta las interrelaciones queexisten entre los tipos de inters.

2.2. Modelos de duraciones estocsticasEncabezando los planteamientos tericos del modelo de duracin, y como

pionero en la crtica a los modelos empricos, se encuentra el trabajo de Ingersoll,Skelton y Weil (1978), quienes no slo mostraron la falta de substrato terico deestos modelos, sino tambin, y en mayor medida, su total rechazo de la posibili-dad de obtener ganancias por convexidad. A este respecto, explican que cuandoquiera que se muestre que una alguna estrategia de ajuste de duracin d lugar auna cartera que le reporte al inversor ms que la tenencia de un bono al descuentopuro bajo ciertas condiciones y no menos bajo otras, slo puede concluirse quelas posibilidades de arbitraje evitarn que la curva de tipos se comporte de la ma-nera asumida [Fisher, Skelton y Weil (1978), pg. 636].

Tras el trabajo de Ingersoll, Skelton y Weil han sido considerables los esfuer-zos realizados para plantear duraciones estocsticas que, como hemos comentado,parten siempre de una caracterizacin dinmica internamente coherente para laETTI. Expresndonos en unos trminos muy generales, podemos plantear el pro-blema de la siguiente forma: supongamos que los precios de los bonos cupn cero(y, por tanto, la ETTI), pueden expresarse en funcin del plazo y de un conjuntolimitado de variables de estado, f1, ..., fk, que siguen procesos de Ito:


77

Grfico 3: AJUSTE DEL DESPLAZAMIENTO MEDIANTE EL USO DE TIPOS VRTICES

0,20

0,18

0,16

0,14

0,12

0,10

Des

plaz

amie

nto

(pp.)

0 3 6 9

Plazo (aos)12

dfj = j (f1, ..., fk, t) dt + j (f1, ..., fk, t) dwidonde dt es la variacin del tiempo, dw es el incremento de un proceso de Wiener,y j (f1, ..., fk, t) y j (f1, ..., fk, t) son funciones deterministas de sus parmetros yse interpretan como una deriva y una desviacin tpica (o difusin) instantneas,respectivamente.

Aplicando el lema de Ito para obtener el cambio local en el precio de unbono cupn cero, y considerando la estructura de flujos de un bono o cartera, seobtiene la siguiente expresin para el rendimiento instantneo de una cartera:


78

[16]

donde j () es el componente de deriva y Dj (), j = 1, ..., k, son las duraciones ge-neralizadas que se definen como:

[17]

Obviamente, las particularizaciones de j () y j () dan lugar a diferentesprocesos estocsticos. stos, junto con el nmero de variables de estado conside-radas y la forma funcional asumida17 para las primas de riesgo con que el merca-do valora la incertidumbre asociada a cada variable de estado, determinan la com-plejidad del modelo de ETTI y, por consiguiente, del modelo de duracin.

Entre los trabajos en donde se han planteado explcitamente un modelo deduraciones generalizadas, en algunos casos realizando una contrastacin empricadel modelo en un programa de inmunizacin como se ver con posterioridad,caben destacar los unifactoriales de Ingersoll, Skelton y Weil (1978) y Cox, Inger-soll y Ross (1979), los bifactoriales de Brennan y Schwartz (1983), Nelson ySchaefer (1983) y, en nuestro pas, el de Moreno (1999) y, por ltimo, el de tresfactores de Chen (1996). En todos los casos, la inmunizacin se plantea como unaestrategia de cobertura consistente en igualar la respuesta de la cartera al cambioen los factores de riesgo a la de un supuesto bono cupn cero con vencimiento alfinal del horizonte planificador.

Como se observa de la secuencia temporal de los trabajos, al igual que en elcaso de los modelos empricos, los enfoques unifactoriales han dejado paso a losmultifactoriales. Sin embargo, a diferencia de los modelos empricos, el nmerode variables de estado consideradas raramente supera el par ya que, como comen-tamos, el grado de complejidad analtica de estos modelos puede llegar a ser con-

(17) En el caso de modelos de la curva de tipos que surgen de modelos de equilibrio general de laeconoma, como el de Cox, Ingersoll y Ross, la prima se determina endgenamente. No obstante,estos modelos son los menos frecuentes, por lo que la forma funcional de las primas de riesgosuele especificarse ad-hoc en la literatura. Este hecho es objeto de numerosas crticas que, incluso,apuntan la posibilidad de que algunas funciones propuestas pudieran ser inconsistentes con el pro-pio equilibrio del mercado de bonos [vase, por ejemplo, Boero y Torricelli (1996)].

Modelos de inm

unizacin de carteras de renta fija

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Cuadro 2: MODELOS TERICOS PARA LA ETTI EMPLEADOS EN LA OBTENCIN DE DURACIN ESTOCSTICAS

Trabajos

Ingersoll, Skelton y Weil (1978)

Cox, Ingersoll y Ross (1979)

Brennan y Schwartz (1983)

Nelson y Schaefer (1983)

Chen (1996)

Moreno (1999)

Especificacin del modelo para la ETTI

Notas: es el tipo de inters instantneo, es el rendimiento de un bono perpetuo, L es un tipo de inters a largo plazo, y s es el diferencial (spread) entreun tipo a largo y un tipo a corto plazo.

siderable. Desgraciadamente, la evidencia emprica parece mostrar que este esca-so nmero de variables de estado es insuficiente para reflejar la realidad de losdesplazamientos de la curva de tipos.

Una segunda crtica que se realiza a este tipo de modelos es que las variablesde estado y sus procesos suelen especificarse de una forma ad-hoc y, en muchoscasos, sin demasiada justificacin. Es ms, a nivel emprico se han detectado pro-blemas tales como la inestabilidad a lo largo del tiempo de los parmetros de losmodelos y presencia de heterocedasticidad y autocorrelacin en los residuos, todolo cual son seales de mala especificacin del modelo de la ETTI.

Por ambas razones, no es de extraar que los modelos tericos gocen demenor aceptacin que los modelos empricos a efectos no slo de la inmunizacinsino tambin, en general, de la gestin del riesgo de inters. Sin ir ms lejos, elconocido RiskMetrics de la banca Morgan propone el uso de un modelo basado entipos vrtices para la cuantificacin del riesgo de inters de las carteras de rentafija. En cualquier caso, sigue existiendo una razn de peso para la continuidad delos modelos tericos para la ETTI en la literatura financiera: su utilidad a la horade valorar derivados sobre tipos de inters.

3. LA EVIDENCIA EMPRICA EN TORNO A LOS MODELOS DE DURACIN

En esta seccin presentaremos los principales resultados que se desprendende la investigacin emprica realizada en torno a la efectividad de las diferentesmedidas de duracin desde el trabajo de Fisher y Weil (1971), pionero en estecampo. Nuestro inters necesariamente habr de centrarse, por la profusin de tra-bajos, en aqullos que mayor calado han tenido entre los investigadores de la du-racin, en los referentes a los modelos de duraciones multifactoriales empricastratados anteriormente y, por ltimo, en los aplicados al caso espaol. En cuanto ala evidencia emprica relativa a los modelos de duraciones empricas multifacto-riales, analizaremos la obtenida en el campo de las duraciones paramtricas y di-reccionales de factores observables y no observables, ya que la evidencia en tornoa los modelos de duraciones parciales es escasa y se encuentra muy dispersa.

Con el fin de obtener una visin global de los resultados alcanzados por losdiferentes modelos en programas de inmunizacin, hemos resumido en el cuadro3 los principales rasgos que definen los trabajos considerados y sus conclusiones.La evidencia relativa a los modelos direccionales, aunque ausente en el cuadro,ser analizada con posterioridad, ya que sta se ha centrado en obtener y analizarlas direcciones del cambio en la ETTI sin extender la aplicacin emprica de losmodelos a la inmunizacin.

Exceptuando el trabajo de Chambers, Carleton y McEnally (1988), en dondese somete a examen el modelo polinomial, la principal conclusin que se obtienedel cuadro es la existencia de una amplia evidencia favorable a los modelos de du-racin unifactoriales ms simples. Concretamente, las medidas de duracin quepresumen desplazamientos paralelos de la curva de tipos, como la de Macaulay(1938), la de Fisher y Weil (1971), o la de Bierwag (1977), presentan un grado devalidez no inferior al de medidas de duracin ms complejas, como la duracin


80

Modelos de inm

unizacin de carteras de renta fija

81

Cuadro 3: PRINCIPALES RESULTADOS DE LA INVESTIGACIN EMPRICATrabajos Perodo Tcnica Estrategias testadas ResultadosFisher y Weil (1971) 1925-1968 Inmunizacin DFW DFW Vto

H = 5, 10 y 20 aos Vencimiento (1 bono)Bierwag, Kaufman, 1925-1978 Inmunizacin DM, DFW, DB y DK/M Bono a cp y a lp ofrecen losSchweitzer y Toevs (1981) H = 10 aos peores resultados

Bono a cp (vto 1 ao) Estrategias de duracin VtoBono a lp (vto 20 aos) Entre las estrategias de duracin:

DFW~DB DM DK/MVencimiento (1 bono)

Bierwag, Kaufman 1957-1974 Inmunizacin DM, DFW, DB y DK/M Estrategias de duracin (excepto DK/M ) Vtoy Toevs (1982) H = 5 aos Vencimiento (1 bono)Babbel (1983) 1947-1980 Inmunizacin DFW y DBB, siguiendo DFW DBB Vto Bono a cp

H = 5 aos las estrategias de: Inmunizacin Forward-looking Inmunizacin: D = H Forward-looking: D < HBono a cp (vto 6 meses)Vencimiento (1 bono)

Brennan y Schwartz (1983) 1958-1979 Inmunizacin DFW en cartera ladder DBS/cp:lp no es claramente mejor que DFWH = 5 y 10 aos y DBS/cp:lprplica de laevolucin mensualde carteras de bonos

Ingersoll (1983) 1950-1976 Inmunizacin DFW en carteras bullet, Las estrategias a cp y lpH = 5 aos barbell y ladder ofrecen los peores resultados

Cartera de bonos a cp Vto ~ DM ~ DFW(vto 2 ao)Carteras de bonos a lp(vto 10 aos)Vencimiento (1 bono)

Revista de Econom

a Aplicada

82

Cuadro 3: PRINCIPALES RESULTADOS DE LA INVESTIGACIN EMPRICA (CONTINUACIN)Trabajos Perodo Tcnica Estrategias testadas Resultados

Nelsol y Schaefer (1983) 1930-1979 Rplica de la DFW D NS/cp:sp se comport ligeramente peorrentabilidad DNS/cp y D NS/lp que DFWde bonos con vto D NS/cp:sp (slo para la Entre los modelos de 1 factor:en 5, 10 y 15 aos rplica de bonos a 10 aos) DFW ~ DNS/lp Vto D NS/cp

Vencimiento(cartera de bonos)

Chambers, Carleton 1976-1980 Inmunizacin DM DP7 ~ DP6 ~ DP5 ~ DP4 DP3 DP2 DM y McEnally (1988) H de 1 a 15 Vector de duraciones Vencimiento Ingenua

trimestres polinomiales de hasta 7 elementos.Vencimiento (cartera de bonos)Ingenua (cartera de todos los bonosdisponibles en igual proporcin)

Notas: ab indica que la estrategia a mejora los resultados de la b, mientras que a~b indica que ambas estrategias ofrecen resultados similares. DM es laduracin de Macaulay (1938); DFW es la de Fisher y Weil (1971) o, equivalentemente, la duracin de shock multiplicativo de los tipos de capitalizacincompuesta de Bierwag y Kaufman (1977); DB la de Bierwag y Kaufman (1977) de shock paralelo en la ETTI de capitalizacin compuesta; DBB es la du-racin de Babbel (1983) de desplazamiento de la ETTI de capitalizacin compuesta de magnitud variable entre plazos y a lo largo del tiempo; DK/M es laduracin log-multiplicativa de Khang (1979); DBS/cp:lp es el modelo de duraciones estocsticas de Brennan y Schwartz (1983) basado en un tipo a corto(1 mes) y un tipo a largo plazo (ms de 20 aos); DNS/cp, DNS/lp y DNS/cp:sp son las duraciones estocsticas de Nelson y Schaefer (1983) de tipo a corto(1 ao), de tipo a largo (13 aos) y de tipo a largo (13 aos) y su diferencial respecto a un tipo intermedio (5 aos), respectivamente; DPi es el vector deduraciones polinomiales de Chambers y Carleton (1988) de dimensin i.

log-multiplicativa propuesta por Khang (1979), las duraciones estocsticas unifac-toriales de tipo a corto plazo y a largo plazo, y los modelos de duracin estocsti-ca de dos factores. Por supuesto, y con la nica excepcin del trabajo de Ingersoll(1983), las primeras mejoran sustancialmente el comportamiento de la estrategiade vencimiento, trmino comparativo habitual de los modelos de duracin en losestudios de inmunizacin, y que consiste en la adquisicin y mantenimiento de unbono o cartera con vencimiento medio al final del horizonte planificador.

Ahora bien, en los ejercicios de simulacin planteados en muchos de estostrabajos llama la atencin la existencia de fuertes similitudes que, a nuestro juicio,colaboran claramente en la obtencin de tales resultados. En particular, dichas si-militudes se refieren a la amplitud de los horizontes de planificacin consideradosen los ejercicios de inmunizacin y a la estructura de las carteras simuladas.

En relacin con la amplitud de los horizontes de planificacin, H, el cuadromuestra cmo stos no suelen ser inferiores a cinco aos. Si bien este hechopuede justificarse por el plazo medio y largo para el que se plantea, en la prctica,la inmunizacin de carteras, tambin es cierto que la consideracin de perodosamplios tiende a incorporar en los resultados un sesgo favorable a los modelos deduracin ms sencillos, de carcter unifactorial.

La eficacia creciente de los modelos de duracin unifactoriales con la amplituddel horizonte planificador ha sido puesta de manifiesto, entre otros, por Fisher yWeil (1971), Bierwag, Kaufman y Toevs (1982) y Fooladi y Roberts (1992). Estehecho se atribuye al alto nivel de volatilidad que presentan los tipos a corto y queimpide que un modelo de un slo factor sea capaz de reflejar con suficiente gradode precisin el desplazamiento de la totalidad de ETTI y, en particular, el tramocorto de la curva. Obviamente, cuanto mayor es el horizonte de planificacin,menor es el peso en la cartera de los flujos con vencimiento a corto plazo, de formaque la infraespecificacin del desplazamiento del tramo corto de la curva medianteun modelo de un solo factor acorde a algn concepto de duracin unifactorial nomermar considerablemente los resultados de las carteras as inmunizadas.

Junto al anterior, creemos que pueden ofrecerse dos argumentos adicionalespara explicar el buen comportamiento de los modelos de duracin unifactoriales enhorizontes largos. Por una parte, pudiera suceder que, para un perodo amplio detiempo, los cambios en el perfil de la curva de tipos, al menos parcialmente, se vie-ran compensados entre s, de forma que las medidas de duracin ms simples po-dran ofrecer una eficaz inmunizacin. Una segunda explicacin vendra dada porlas caractersticas de la estrategia de vencimiento con un solo bono con cuponesperidicos en horizontes cortos. Mientras que esta estrategia es difcil de superaren horizontes cortos por los modelos de duracin, no slo de carcter unifactorialsino tambin multifactorial, sucede lo contrario cuando los horizontes son amplios.En efecto, un solo bono con vencimiento al final del horizonte planificador simula-r la sensibilidad de un bono cupn cero con vencimiento tambin entonces enmayor medida cuanto menor sea el vencimiento de ambos o, lo que es equivalenteen la estrategia de inmunizacin, cuanto menos amplio sea el horizonte planifica-dor. Por esta razn, el grado de exposicin al riesgo de inters de la estrategia devencimiento con un solo bono para horizontes cortos puede ser considerablementereducido. Si, por otra parte, a este hecho unimos la ventaja con que cuenta la estra-


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tegia de vencimiento derivada de la ausencia de reestructuraciones18, resulta fcil-mente comprensible que sta sea una alternativa difcil de superar por los modelosde duracin en programas de inmunizacin de horizonte reducido.

El segundo punto de coincidencia en la investigacin emprica, la estructurade las carteras de inmunizacin simuladas, fue analizado por Fooladi y Roberts(1992) y, posteriormente, por Bierwag, Fooladi y Roberts (1993) y Soto (2001). Endichos trabajos se pone de manifiesto que muchos de los tests de inmunizacin lle-vados a cabo con un resultado muy favorable para las medidas de duracin unifac-toriales ms simples coincidan en la inclusin en las carteras simuladas de un acti-vo con vencimiento cercano al fin del horizonte planificador19. Este hecho setraduce en que una parte importante de los flujos de caja de las carteras se sitan alfinal del horizonte y, por consiguiente, provoca que las carteras inmunizadas, in-cluso con medidas de duracin muy simples, simulen en gran medida el comporta-miento de un bono cupn cero con vencimiento al final del horizonte planificador.

Los favorables resultados alcanzados por Chambers, Carleton y McEnally(1988) para el modelo de duraciones polinomiales tampoco se encuentran exentosde matizacin debido, nuevamente, a la estructura de las carteras simuladas. Enefecto, con el objeto de contar con una sola cartera en la simulacin de cada estra-tegia para cada perodo, en el trabajo se opta por la eleccin de aqulla que, verifi-cando las restricciones particulares que definen cada estrategia y admitiendo laadopcin de posiciones en corto, presenta la mxima dispersin entre los activosdisponibles como va para minimizar el riesgo no sistemtico de la posicin. Estecriterio no resulta inocuo a efectos de los resultados que se obtienen para las dife-rentes estrategias que simulan, pues penaliza las carteras inmunizadas medianteun vector de duraciones de menor dimensin. Ello se debe a que el criterio provo-ca que las carteras se integren por activos de vencimiento diverso, o tipo ladder,en mayor medida cuanto menor es el nmero de restricciones que se incorporen.

Avanzando un paso en la investigacin en torno a la influencia de la estructu-ra de cartera, Bierwag y Fooladi y Roberts (1993) compararon el grado de inmu-nizacin que conseguan las carteras inmunizadas con la duracin tradicional queincluan un activo con vencimiento al final del horizonte de planificacin con laque conseguan las carteras inmunizadas mediante el mismo concepto de duracinpero que minimizaban, en un caso, y anulaban, en otro, la medida del riesgo deinmunizacin de Fong y Vasicek (1983, 1984). De esta comparacin infirieronque la inclusin de dicho activo aade ms al funcionamiento de la coberturaque el control de M2 (pg. 1.163). En la misma lnea, Soto (2001) analiza desdela ptica del modelo polinomial y para el mercado espaol de deuda el nmero derestricciones que han de imponerse sobre las carteras que incluyen, en un caso, yexcluyen, en otro, el bono con vencimiento ms cercano al final del horizonte pla-

(18) Ntese que la necesidad de practicar reestructuraciones en las carteras inmunizadas, por unlado, pone de manifiesto la prdida de la identidad entre duracin y horizonte planificador que hade mantenerse en defensa de shocks que acontecen en cualquier momento y, por otro lado, incor-pora costes en trminos de comisiones y diferenciales de precio comprador/vendedor.(19) Esta restriccin no fue considerada en el trabajo de Ingersoll (1983), lo cual justificara susdesafortunados resultados.


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nificador para lograr la inmunizacin. Su conclusin no puede ser ms clara:mientras que en las primeras puede ser suficiente seguir la estrategia de inmuniza-cin tradicional y, as, igualar la duracin tradicional a la amplitud del horizonteplanificador, en las segundas es necesario inmunizar frente a cambios en el nivel,la pendiente y la curvatura de la ETTI.

Centrndonos ahora en la investigacin realizada en el campo de los modelosde duraciones direccionales, cabra destacar los esfuerzos realizados en nuestropas por desarrollar este tipo de modelos, sobre todo en el mbito de factores ob-servables e inspirndose en el trabajo de Elton, Gruber y Michaely (1990).

Ahora bien, como se muestra en el cuadro 4, de las investigaciones naciona-les en el campo de factores observables no se desprende un resultado unnimepara el modelo de dos tipos ptimos que, obviamente, ofrece un ajuste de los des-plazamientos de la ETTI superior al que se alcanza con el modelo unifactorial. Encualquier caso, cabe destacar que los modelos bifactoriales se caracterizan por re-coger en la combinacin ptima de tipos uno a corto y otro a medio o largo plazo.

La deteccin, en estos trabajos, de diferentes combinaciones de tipos pti-mos para el modelo bifactorial puede encontrar su justificacin en varias cuestio-nes de relevancia dispar. En efecto, mientras que, por un lado, pudiera deberse aluso de esquemas de ponderacin bien diferentes, al nmero y plazo de los tiposde inters considerados, o a la frecuencia con que se han medido los cambios enla ETTI, por otro lado pudiera dar cuenta de un rasgo ms preocupante: la inesta-bilidad de las relaciones que unen los cambios en los tipos de inters.

Como se coment anteriormente, la estabilidad de estas relaciones, materiali-zada no slo en el mantenimiento en el tiempo de la combinacin ptima de tipos,sino tambin de los coeficientes de las expresiones que definen los cambios encada tipo de inters sobre la base de los cambios de aqullos, no es una cuestintrivial. Aunque es cierto que el paso del tiempo har necesario calibrar el modelocon determinada frecuencia, no lo es menos que cuanto menores sean los cambiosen el modelo menor ser el riesgo de proceso estocstico, menor el impacto sobrelos resultados de la cartera de los costes de transaccin y, por supuesto, mayor laconfianza del gestor en su modelo.

Aunque sera deseable que el examen de la estabilidad de los modelos direc-cionales para el caso espaol fuera tan intensiva como la llevada a cabo por Elton,Gruber y Michaely, esta tarea se enfrenta a una seria limitacin, y es que se carecede una serie histrica suficientemente amplia de la curva de deuda espaola, bsi-camente debido a que nuestro mercado slo alcanz unas cotas de desarrolloaceptables hace escasos aos. En estas condiciones, tanto la estimacin como, ensu caso, la contrastacin de los modelos en el caso espaol, ha de realizarse conseries de tipos de reducida amplitud en donde la verdadera dinmica de la ETTIpudiera obscurecerse por posibles episodios de carcter coyuntural.

Por ejemplo, la evidencia aportada en Navarro y Nave (1997) da muestras dela existencia de un comportamiento diferencial de la curva de tipos espaola du-rante la crisis del SME. Si la muestra utilizada para obtener la combinacin pti-ma de tipos se inicia el 09.1993 en vez de a principios del mismo ao, sta pasa aser la formada por los tipos a 2 y 5 aos, con lo que las variables de estado sondos tipos intermedios en vez de un tipo a corto plazo y otro a medio plazo. Esta

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Cuadro 4: EVIDENCIA EN TORNO A LOS TIPOS DE INTERS PTIMOSContreras, Ferrer, Contreras, Ferrer,

Elton, Gruber y Navarro y Nave Navarro y Nave Navarro y Nave Navarro y NaveMichaely (1990) (1995) (1996) (1996) (1997)

Perodo de estimacin 1957-1961 01.1993-12.1994 01.1993-06.1994 07.1993-06 1996 01.1993-12.19941972-1976

Perodos de contrastacin 1962-1966 12.1994-06.19961967-19711977-19811982-1986

Esquema de a) Equiponderacin Pesos de los flujos Equiponderacin Equiponderacin Pesos de los flujosponderaciones a) tramos anuales de los 5 mayores tramos anuales tramos anuales de los 5 mayores

b) Importancia de cada FondTesoros FIM FondTesoros FIMb) tipo en cartera ladder espaoles espaoles

Cambio no anticipado Mensual Semanal Semanal Mensual Semanal

Criterios

Tipo ptimo 4 aos 5 aos 3 aosmodelo unifactorial

Tipos ptimos 8 meses y 6 aos 2 meses y 3 aos 5 meses y 5 aos 1er criterio*: 2 meses y 3 aos3 aos y 8 aos2 criterio:4 meses y 7 aos

Notas: (*) Mientras que en el resto de trabajos las combinaciones de tipos ptimos son similares bajo las dos definiciones del cambio no anticipado en laETTI que se utilizan (movimiento no implcito de la curva y todo cambio en los tipos al contado), en ste se obtiene la combinacin recogida en el cuadropara la primera definicin de los cambios y la combinacin de los tipos a 16 meses y 8 aos para la segunda.

situacin se repite, como se observa en el cuadro, en el trabajo de Navarro y Nave(1996) cuando se sigue el criterio de Elton et al. para determinar la combinacinptima de tipos, esta vez con un esquema de pesos diferente al considerado en eltrabajo de 1997. Sin duda, la extrema volatilidad experimentada por los tipos acorto plazo durante la crisis del sistema de cambios europeo explica que el tramocorto de la ETTI juegue un papel importante en la determinacin de la combina-cin de tipos ptima segn el criterio de Elton et al. para 1993 y para cualquierperodo de amplitud reducida que incluya este ao.

La estabilidad de las interrelaciones entre los cambios en los tipos de interses tambin una caracterstica deseable para otro tipo de modelizacin multivarian-te y emprica de la dinmica de la curva de tipos ms flexible que la anterior, labasada en el anlisis de componentes principales, segundo de los modelos decambio del que se deriva la obtencin de un vector de duraciones direccionales.

La investigacin realizada en este mbito, aplicada a diferentes mercados yperodos, coincide unnimemente en la identificacin de tres componentes princi-pales como suficientes para explicar la dinmica de la curva de tipos. stos se de-finen, sobre la base del impacto aproximado que tienen sobre el perfil de la ETTIy ordenndose segn su importancia, como un factor de nivel, uno de pendiente yuno de curvatura aunque, como apuntan Litterman y Scheinkman (1991, pg. 57),el componente de pendiente no se corresponde exactamente con ninguna de lasmedidas de pendiente comnmente utilizadas ya que, de hecho, su perfil escurvo pero, sin embargo, montono.

Destaca claramente, entre los tres componentes principales, el componente denivel, que es capaz de explicar ms del 70% de la variabilidad de los tipos de inte-rs (cuadro 5). Tan alto dato ofrece una justificacin adicional al hecho de que losmodelos de duracin ms simples basados en la consideracin, exclusivamente, deun factor de nivel sean tan difciles de desbancar por la investigacin aplicada, m-xime cuando, como hemos comentado con anterioridad, se incorporan restriccionessobre la estructura de cartera que potencian la eficacia de la duracin tradicional.

4. CONCLUSIONES

En este trabajo se ha llevado a cabo, por primera vez, una extensa revisindel concepto de duracin desde sus orgenes hasta algunas de sus ms modernasredefiniciones y, por otra parte, se ha analizado la evidencia emprica existente eneste campo con una visin crtica.

En lo que se refiere a modelos de duracin, la investigacin ha discurridoentre dos vas paralelas, el ms completo empirismo y el desarrollo de modelostericos. En ambos casos, la secuencia de los modelos nos muestra que el enfoqueunivariante de los primeros aos rpidamente dio paso a uno multivariante, capazde recoger con mayor efectividad el patrn de los cambios en la curva de tipos.

Sin embargo, se daba la paradoja de que la evidencia emprica en materia deinmunizacin mostraba que los modelos ms simples eran suficientemente vli-dos para este objetivo, todo lo cual sin duda justifica que durante dcadas la dura-cin y la convexidad tradicionales hayan gozado de plena aceptacin. Comohemos visto, la importancia que revisten los cambios en el nivel de la curva de


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Cuadro 5: PORCENTAJE DE VARIABILIDAD DE LA ETTI EXPLICADA POR LOS TRES PRIMEROS CP

Mercado de CP de CP deTrabajos deuda pblica Perodo CP de nivel pendiente curvatura TotalLitterman y Scheinkman (1991) EEUU 1984-1988 88,1 8,4 2,0 98,4Barber y Copper (1996) EEUU 1985-1991 80,9 11,8 4,4 97,1Bliss (1997) EEUU 1970-1995 80,6 11,6 3,1 95,3Steeley (1990) Reino Unido 1985-1987 96,9 2,1 0,7 99,7Kahn y Gulrajani (1993) Canad 1988-1992 89,2 7,8 2,2 99,2DEcclesia y Zenios (1994) Italia 1988-1992 93,9 5,5 0,4 99,8Navarro y Nave (1995) Espaa 1993-1995 72,2 16,5 7,1 95,8

tipos, la gran amplitud de los horizontes de planificacin y, sobre todo, la estruc-tura de las carteras simuladas en estas investigaciones han sido elementos que hanfavorecido al modelo de duracin tradicional frente a sus contrincantes.

Lgicamente, buena parte de este fracaso cabe tambin atribuirse a los pro-pios modelos de duracin que se han venido proponiendo. En el caso de los teri-cos, la eleccin ad-hoc de las variables de estado y de su dinmica restan efectivi-dad a unos modelos que, adems, ven aumentar su grado de complejidad a pasosagigantados conforme crece el nmero de variables de estado consideradas.

Los planteamientos empricos de carcter multifactorial, que gozan en trmi-nos generales de mayor aceptacin que los anteriores, forman un grupo muchomenos homogneo, lo que nos ha llevado a distinguir entre modelos de duracionesparamtricas (polinomiales y exponenciales), direccionales (de componentes prin-cipales y de tipos ptimos) y parciales (de tipos vrtices). Al margen de la crtica,procedente del enfoque terico, de la inconsistencia de estos modelos con el equili-brio de los mercados, los principales problemas a los que se enfrentan varan enfuncin del modelo. As, los modelos de duraciones polinomiales y parciales hansido acusados de ser excesivamente restrictivos, en la medida que inmunizan antedesplazamientos poco probables de la curva de tipos. Los modelos direccionales,por otra parte, en la medida en que se derivan exclusivamente de la historia de loscambios en la ETTI, se muestran especialmente vulnerables a perodos o situacio-nes en las que la curva evolucione de una forma inusual. Por ltimo, los de dura-ciones exponenciales plantean el problema de que requieren la estimacin de losparmetros de una ecuacin de ajuste de la ETTI que pudiera ser complicada.

Sea como fuere, la historia de los cambios en la ETTI nos muestra que el perfilde los desplazamientos incorpora cambios en el nivel, la pendiente y la curvatura dela estructura de tipos y, por ello, stos son los factores de riesgo cuyo impacto sobrelas carteras se ha de gestionar. El modelo tradicional se centr en el ms importantede ellos, el factor de nivel. El modelo direccional de tipos ptimos y los modelostericos de dos variables de estado avanzaron un paso ms y, por ltimo, en un es-calafn ms alto se encuentran el resto de modelos multifactoriales expuestos.

La cuestin de si la capacidad de los diferentes modelos para recoger la din-mica de la curva de tipos compensa las limitaciones que presentan es una cuestinan pendiente de resolver desde un punto de vista emprico ya que, al igual que hasucedido en muchos de los trabajos en donde se han planteado nuevos modelos deduracin, el modelo contrincante a nivel emprico bsicamente ha sido el modelotradicional cuando, como vemos, sta no es la nica comparacin relevante. No dejade ser sorprendente que casi una dcada despus de que Langetieg propusiera queun test algo ms robusto sera comparar las estrategias de cartera que enfrentan almejor modelo de duracin contra el mejor modelo de equilibrio [Langetieg(1983), pg. 38] sigamos sin saber siquiera cul de los planteamientos ya existenteses el mejor siguiendo cada enfoque. Incluso podemos poner en entredicho la rele-vancia de la comparativa modelos tericos vs. modelos empricos si entendemosque los dos enfoques no son rivales desde el mismo momento en que se enfrentan aun mismo reto: comprender la dinmica de los tipos de inters. Todo avance en esteterreno nos ha de permitir desvelar algunas de nuestras incgnitas.


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REFERENCIAS BIBLIOGRFICASBabbel, D. (1983): Duration and the term structure of interest rate volatility. En G. G.

Kaufman, G.O. Bierwag, y A. Toevs (ed.): Innovations in bond portfolio management,JAI Press, Greenwich.

Balbs, A. y A. Ibez (1998): When can you immunize a bond portfolio?, Journal ofbanking and finance, vol. 22, pgs. 1.471-1.595.

Barber, J.R. y M.L. Copper (1996): Immunization using principal component analysis,Journal of portfolio management, verano, pgs. 99-105.

Barrett, W., T. Gosnell y A. Heuson (1995): Yield curve shifts and the selection of immu-nization strategies, Journal of fixed income, septiembre, pgs. 53-64.

Bierwag, G.O. (1977): Immunization, duration, and the term structure of interest rates,Journal of financial and quantitative analysis, 12, pgs. 725-742.

Bierwag, G.O. y G.G. Kaufman (1977): Coping with the risk of interest-rate fluctuations:a note, Journal of business, vol. 50, 3, pgs. 364-370.

Bierwag, G.O., I. Fooladi y G.S. Roberts (1993): Designing an immunized portfolio: IsM-squared the key?, Journal of banking and finance, vol. 17, 6, pgs. 1.147-1.170.

Bierwag, G.O., G.G. Kaufman y A.L. Toevs (1982): Single factor duration models in adiscrete general equilibrium framework, Journal of finance, vol. 37, 2, pgs. 325-338.

Bierwag, G.O., G.G. Kaufman y A.L. Toevs (1983): Recent developements in bond port-folio immunization strategies. En G. G. Kaufman, G.O. Bierwag, y A. Toevs (ed.): In-novations in bond portfolio management, JAI Press, Greenwich.

Bierwag, G.O., G.G. Kaufman, R. Schweitzer, R. y A.L. Toevs (1981): The art of risk ma-nagement in bond portfolios, Journal of portfolio management, primavera, pgs. 27-36.

Bliss, R.R. (1997): Movements in the term structure of interest rates, Economic review,FRB of Atlanta, cuarto trimestre, pgs. 16-33.

Boero, G. y C. Torricelli (1996): A comparative evaluation of alternative models of theterm structure of interest rates, European journal of operational research, 93, pgs.205-223.

Bradley, S.P. y D.B. Crane (1973): Management of commercial bank government securityportfolios: An optimization approach under uncertainty, Journal of bank research, pri-mavera, pgs. 18-30.

Brennan, M.J. y E.S. Schwartz (1983): Duration, bond pricing, and portfolio manage-ment. En G. G. Kaufman, G.O. Bierwag, y A. Toevs (ed.): Innovations in bond portfo-lio management, JAI Press, Greenwich.

Chambers, D.R. y W.T. Carleton (1988): A generalized approach to duration. En A.H.Chen (ed.): Research in finance, vol.7, JAI Press, Greenwich.

Chambers, D.R., W.T. Carleton y R.W. McEnally (1988): Immunizing default-free bondportfolios with a duration vector, Journal of financial and quantitative analysis, vol.23, 1, pgs. 89-104.

Chen, L. (1996): Interest rate dynamics, derivatives pricing, and risk management, Lecturenotes in economics and mathematical systems, vol. 435, Springer.

Cohen, K.J., R.L. Kramer y W.H. Waugh (1966): Regression yield curves for US. Go-vernment securities, Management science, vol. 13, 4, pgs. 168-175.

Contreras, D., R. Ferrer, E. Navarro y J.M. Nave (1995): Anlisis de la duracin a partirde un modelo bifactorial emprico de la estructura temporal de los tipos de inters, IIJornadas de economa financiera, vol. 2, Bilbao.

Contreras, D., R. Ferrer, E. Navarro y J.M. Nave (1996): Anlisis factorial de la estructuratemporal de los tipos de inters en Espaa, Revista espaola de financiacin y conta-bilidad, vol. 25, 86, pgs. 139-160.


90

Cooper, I.A. (1977): Asset values, interest-rate changes, and duration, Journal of finan-cial and quantitative analysis, vol. 12, diciembre, pgs. 701-723.

Cox, J., J.E. Ingersoll y S.A. Ross (1979): Duration and the measurement of basis risk,Journal of business, vol. 52, 1, pgs. 51-61.

DEcclesia, R.L. y S.A. Zenios (1994): Risk factor analysis and portfolio immunization inthe Italian bond market, Journal of fixed income, septiembre, pgs. 51-58.

Elton, E.J., M.J. Gruber y R. Michaely (1990): The structure of spot rates and immuniza-tion, Journal of finance, vol. 45, 2, pgs. 629-642.

Fisher, L. y R.L. Weil (1971): Coping with the risk of interest-rate fluctuations: Returnsto bondholders from naive and optimal strategies, Journal of business, 4, pgs. 408-431.

Fong, H.G. y O.A. Vasicek (1983): The tradeoff between return and risk in immunizedportfolio, Financial analysts journal, septiembre-octubre, pgs. 73-78.

Fong, H.G. y O.A. Vasicek (1984): A risk minimizing strategy for portfolio immuniza-tion, Journal of finance, vol. 39, 5, pgs. 1.541-1.546.

Fooladi, I. y G.S. Roberts (1992): Bond portfolio immunization: Canadian test, Journalof economics and business, vol. 44, 1, pgs. 3-17.

Gmez, I. (1999): Aproximacin al riesgo de precio de un activo de renta fija a travs de unmodelo de duracin multifactorial paramtrico, VII Foro de finanzas, Valencia, 18 pgs.

Gmez, I. y A. Novales (1997): Estrategias de inmunizacin ante posibles desplazamien-tos en la estructura temporal, Anlisis financiero internacional, diciembre-enero,pgs. 15-39.

Gmez, I. y A. Novales (1999): Inmunizacin de una cartera de renta fija con un modelode duracin multifactorial, Universidad Complutense de Madrid, Documento de traba-jo, 38 pgs.

Hicks, J.R. (1939): Value and capital, Oxford University Press, Oxford.Hill, C.F. y S. Vaysman (1998): An approach to scenario hedging, Journal of portfolio

management, invierno, pgs. 83-92Ho, T.S.Y. (1992): Key rate durations: Measures of interest rate risks, Journal of fixed

income, septiembre, pgs. 29-44.Hull, J.C. (1993): Options, futures and other derivative securities, Prentice-Hall Internatio-

nal, New Jersey.Ingersoll, J. (1983): Is immunization feasible? Evidence from the CRSP data. En G. G.

Kaufman, G.O. Bierwag, y A. Toevs (ed.): Innovations in bond portfolio management,JAI Press, Greenwich.

Ingersoll, J.E., J. Skelton y R.L. Weil (1978): Duration forty years later, Journal of fi-nancial and quantitative analysis, noviembre, pgs. 627-652.

Johnson, B.D. y K.R. Meyer (1989): Managing yield curve risk in an index environment,Financial analysts journal, noviembre-diciembre, pgs. 51-59.

Kahn, R.N. y D. Gulrajani (1993): Risk and return in the Canadian bond market, Journalof portfolio management, primavera, pgs. 86-93.

Kahn,

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